2015年高中数学 第二章 第2课时 直线的斜率配套练习2 苏教版必修2

解析几何部分（共：1—17课时及每章评价）参考答案：第1课时 直线的斜率（1）1．D 2．C 3．D 4．4- 5．1k ≤ 6．可以是(2,4)，不惟一． 7．由题意，()132212a -=++，∴2a =-．8．当1m =时，直线l 与x 轴垂直，此时直线斜率不存在； 当1m ≠时，直线斜率34111k m m-==--． 9．在直线斜率为0，OC 边所在直线斜率不存在，BC 边所在直线斜率为43-．10．由AB AC k k ≠，可得1112383k --≠---， ∴1k ≠．第2课时 直线的斜率（2）1．C 2．B 3．D 4．60o． 5．6 6． (0,2)7． 045α≤<o o 或135180α<<o o．8．倾斜角为45o时斜率为1，倾斜角为135o时斜率为1-．9．直线l 上任一点(,)M m n 经平移后得(3,1)N m n -+在l 上，由两点的斜率公式得(1)1(3)3l n n k m m +-==---．10．直线2l 的倾斜角为180(6015)135α=--=oooo， ∴2tan135tan 451k ==-=-oo．第3课时 直线的方程（1）1．C 2．D 3．A 4．D 5．（1）4y =-；（2）23y x =-- 6．1y +6y x =-+7．由直线1l 的方程2y =+可得1l 的倾斜角为60o ，∴直线l 的倾斜角为30o，斜率为tan 303=o，所以，直线l 的方程为12)y x -=-，即1y x =-+．8． 1:1:(2)-9．由直线1l的方程20x y -+=可求得1l 的斜率为1， ∴倾斜角为145α=o，由图可得2l 的倾斜角2115αα=+o∴直线2l 的斜率为tan 60=o， ∴直线2l 的方程为2)y x -=-0y -=．10．设直线方程为34y x b =+， 令0x =，得y b =；令0y =，得43x b =-， 由题意，14||||623b b ⨯-⨯=，29b =，∴3b =±， 所以，直线l 的方程为334y x =±．第4课时 直线的方程（2）1．D 2．D 3．B 4． 2y x =或1y x =+ 5．3 6． 10x y +-=或32120x y -+=7．设矩形的第四个顶点为C ，由图可得(8,5)C ， ∴对角线OC 所在直线方程为005080y x --=--，即580x y -=，AB 所在直线方程为185x y+=，即58400x y +-=． 8．当截距都为0时，直线经过原点，直线斜率为43-，方程为43y x =-；当截距都不为0时，设直线方程为1x ya a +=， 将点(3,4)-代入直线方程得341a a-+=，解得1a =-， 所以，直线方程为430x y +=或10x y ++=．9．当0t =时，20Q =；当50t =时，0Q =，故直线方程是15020t Q +=．图略． 10．直线AB 的方程为3x =，直线AC 的方程为123x y+=，直线x a =与,AB AC 的交点分别为(,3)a 、63(,)2a a -，又∵92ABC S ∆=，∴1639(3)224a a -⋅⋅-=，∴a =（舍负）．第5课时 直线的方程（3）1．B 2．D 3．B 4．D 5． 350x y -+= 6．24- 7．当2a =时，直线方程为2x =不过第二象限，满足题意；当20a -≠即2a ≠时，直线方程可化为1(4)2y x a a =+--， 由题意得2010240a a a -≠⎧⎪⎪>⎨-⎪-≤⎪⎩，解得24a <≤，综上可得，实数a 的取值范围是24a ≤≤． 8．（1）由题意得：22(23)(21)m m m m ---=+-， 即2340m m --=，解得43m =或1-（舍） （2）由题意得：22(23)(21)260m m m m m ----+--+=，即23100m m +-=，解得2m =-或53． 9．方法1：取1m =，得直线方程为4y =-， 取12m =，得直线方程为9x =， 显然，两直线交点坐标为(9,4)P -，将P 点坐标分别代入原方程得(1)9(21)(4)5m m m -⨯+-⨯-=-恒成立，所以，不论m 取什么实数，直线(1)m x -+(21)5m y m -=-总经过点(9,4)P -．方法2：原方程可整理得(21)(5)0x y m x y +--+-=，当21050x y x y +-=⎧⎨+-=⎩成立，即94x y =⎧⎨=-⎩时，原方程对任意实数m 都成立，∴不论m 取什么实数，直线过定点(9,4)-．10．方程0x y k +-=可变形为23)9k =-， 当90k -=即9k =时，方程表示一条直线90x y +-=； 当90k -<即9k >时，方程不能表示直线；当90k ->即9k <3= ∵方程仅表示一条直线，∴30+>且30-<，即0k <．综上可得，实数k 的取值范围为9k =或0k <．第6课 两直线的交点1．D 2．D 3．B 4．B 5．－3 6．6或-6 7．10，-12，-2 8．32190x y -+=9．4m =，或1m =-，或1m =．（提示：如果三条直线不能围成三角形，则有两种情形，一是其中有平行的直线，二是三条直线交于一点．） 10．(1)表示的图形是经过两直线210x y -+=和2390x y ++=的交点(3,1)--的直线（不包括直线2390x y ++=）．(2)30x y -=或40x y ++=．（提示：可设所求直线方程为21(239)0x y x y λ-++++=，即(21)(32)910x y λλλ++-++=．若截距为０，则910λ+=，即19λ=-，此时直线方程为30x y -=；若截距不为０，则21132λλ+-=--，即3λ=，此时直线方程为40x y ++=．） 11．直线l 的方程为60x y += 12．22b -≤≤（数形结合）第7课 两直线的平行与垂直（1） 1．D 2．B 3．C 4．平行, 不平行5．平行或重合 6．-2 ， 0或10 7．四边形ABCD 是平行四边形． 8．32A C =≠-且9．2,2m n == 10．20x y += 11. 3440x y +-=12.860860x y x y -+=--=或(提示：Q 所求直线与已知直线l ：8610x y -+=平行，∴设所求直线的方程为860x y λ-+=，与两坐标轴的交点为λ（-，0）8，λ（0，）6．又该直线与两坐标轴围成的三角形面积为８，∴1||||8286λλ⋅-⋅=，λ∴=±，故所求直线方程为860x y -+=或860x y --= 第8课 两直线的平行与垂直（2）1. B2. C3. C4. C5. B6. 垂直，不垂直7. 32y x =+8. 2，-2，09. 20x y -= 10. 310x y ++=和330x y -+= 11. 1a =-或92a =-12.270x y +-=,10x y -+=,250x y +-=(提示:由于点A 的坐标不满足所给的两条高所在的直线方程,所以所给的两条高线方程是过顶点B ,C 的,于是2AB k =-,1AC k =,即可求出边AB ,AC 所在的直线方程分别为270x y +-=,10x y -+=.再由直线AB 及过点B 的高,即可求出点B 的坐标(3,1),由直线AC 及过点C 的高,即可求出点C 的坐标(1,2).于是边BC 所在的直线方程为250x y +-=.)第9课 平面上两点间的距离１．C 2．C 3．C 4．A5．B 6．22y y =-=-或 7．47240x y +-= 8．23120x y +-=912|x x - 10．13410x x y =++=或 11．5150x y --=12．(1) (2,0)P -；(2) (13,0)P ，此时||PM PN -． 13．54x =（提示：y =数形结合，设(1,1),(2,3),(,0)A B P x ，则y PA PB =+）第10课时 点到直线的距离（1）１．()A ２．()C ３．()D ４．()A ５．()C ６．()A ７．5８．2a =或463９．设所求直线方程为340x y m -+=，=解得：14m =或12m =-（舍），所以，所求的直线方程为：34140x y -+=．１０．由题意第一、三象限角平分线的方程为y x =，设00(,)P x y ，则00x y =，即00(,)P x x ．= 解得：01x =或09x =-，所以点P 的坐标为：(1,1)或(9,9)--．11．由题意：当直线l 在两坐标轴上的截距为0时， 设l 的方程为y kx =（截距为0且斜率不存在时不符合题意）=k = 122-±，所以直线l 的方程为：122y x -±=． 当直线l 在两坐标轴上的截距不为0时，设l 的方程为1x ya a+=，即0x y a +-=，=a =13或1a =， 所以直线l 的方程为：130x y +-=或10x y +-=．综上所述：直线l 的方程为：122y x -±=或130x y +-=或10x y +-=． １２．设(,1)M t t -，则M 到两平行线段的距离相等，∴43t =，即41(,)33M ∵直线l 过(1,1)P -，41(,)33M 两点，所以，l 的方程为2750x y +-=．第11课时 点到直线的距离（2）１．()B ２．()C ３．()A ４．18 ５．(1,2)或(2,1)- ６．34210x y +-=７．320８．4310x y +-=９．设l ：320x y C -+=则1d =2d =1221d d =，所以|1|2|13|1C C +=+，解得：25C =-或9-， 所以l 的方程为：32250x y --=或3290x y --=．１０．证明：设(,)P a b ，则221a b -=P 到直线1l ，2l的距离分别为1d =，2d = ∴2212||122a b d d -==g． １１．设(,)M x y 为A ∠的平分线AD 上任意一点，由已知可求得,AC AB 边所在直线方程分别为5120x y -+=，5120x y --=，由角平分线的性质得：=∴512512x y x y -+=--或512(512)x y x y -+=---， 即6y x =-+或y x =，由图知：AC AD AB k k k <<，∴155AD k <<，∴6y x =-+不合题意，舍去，所以，A ∠的平分线AD 所在直线方程y x =． １２．设CD 所在直线方程为30x y m ++=，=，解得7m =或5m =-（舍）．所以CD 所在直线方程为370x y ++=．因为AB BC ⊥所以设BC 所在直线方程为30x y n -+=，=，解得9n =或3n =-．经检验BC 所在直线方程为390x y -+=，AD 所在直线方程为330x y --=．综上所述，其它三边所在直线方程为370x y ++=，390x y -+=，330x y --=．第12课时 圆的方程（1）１．()B ２．()C ３．()B ４．()C ５．()C ６．()B ７．（1）0a =；（2）||b r =；（3）310a b +-=． ８．22(6)36x y -+=９．C e 的圆心为(3,2)C -，C 'e 的圆心与(3,2)C -关于10x y -+=对称， ∴设C 'e 的圆心为(,)C a b '则3210222113a b b a +-⎧-+=⎪⎪⎨+⎪=-⎪-⎩g ，解得：34a b =-⎧⎨=⎩，C 'e 的标准方程为：22(3)(4)36x y ++-=．１０．由题意可设C e 的圆心为(,)C a b 半径为r ，则||2a =当2a =时，C e ：222(2)()x y b r -+-= 因为C e 与直线20x y +-=相切于点(1,1)P ， ∴222(12)(1)b r -+-= ①且1(1)112b--=--g ② 联立方程组，解得：2b =，r =所以C e 的方程为：22(2)(2)2x y -+-=同理，当2a =-时，C e 的方程为：22(2)(2)18x y +++=综上所述：C e 的方程为：22(2)(2)2x y -+-=或22(2)(2)18x y +++=１１．由题意设C e 的方程为222()()x a y b r -+-=，由C e 经过点(2,1)-，得：222(2)(1)a b r -+--=①由C e 与直线10x y --=r =② 由圆心在直线2y x =-上，得：2b a =-③联立方程组，解得：918a b r ⎧=⎪=-⎨⎪=⎩，或12a b r ⎧=⎪=-⎨⎪=⎩所以，C e 的方程为：22(9)(18)338x y -++=或22(1)(2)2x y -++=．１２．设⊙C 的方程为：222()()x a y b r -+-=，∵⊙C 与x 轴相切，所以22r b =①，又∵圆心(,)C a b 到直线0x y -=的距离为：d =∴222r +=，即 22()142a b r -+=②，又圆心在直线30x y -=上，所以30a b -=③联立方程组，解得133a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩或133a b r =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以C e 的方程为：22(1)(3)9x y -+-=或22(1)(3)9x y +++=．第13课时 圆的方程（2）１．()C ２．()D ３．()B ４．12k <-５．2 ６．2π７．5，5 ８．2或23-９．圆方程为220x y Dx Ey F ++++=，将(0,0)，(1,1)两点坐标代入方程分别得0F = ①20D E F +++= ②又∵圆心(,)22D E--在直线30x y --=上，∴60E D --= ③解由①②③组成的方程组得4,2,0D E F =-==，∴所求圆方程为22420x y x y +-+=，圆心(2,1)-１０．证明：将034222=+--+y x y x 化为22(1)(2)2x y -+-= 则点与圆心之间的距离的平方为222(41)(2)17125m m m m -+-=-+ 又∵圆的半径的平方为2，∴2171252m m -+-217123m m =-+ 令2()17123f x m m =-+0∆<，即2()17123f x m m =-+恒大于0，即点与圆心之间的距离恒大于圆的半径，所以无论实数m 如何变化，点(4,)m m 都在圆034222=+--+y x y x 之外．11．设所求圆的方程为： 022=++++F Ey Dx y x令0y =，得20x Dx F ++=．由韦达定理，得12x x D +=-，12x x F =由12||x x -=6=，∴2436D F -=． 将(1,2)A ，(3,4)B 分别代入022=++++F Ey Dx y x ，得25D E F ++=-，3425D E F ++=-．联立方程组，解得12D =，22E =-，27F =或8D =-，2E =-，7F =所以所求的圆的方程为221222270x y x y ++-+=或228270x y x y +--+=12．证明：由题意22210250x y ax ay a ++---=，∴2225()()102524a a x a y a ++-=++ 令25()10254a f a a =++，则0∆<， ∴()0f a >即22(25)(210)0x y a x y +-+--=，表示圆心为(,)2a a -若22(25)(210)0x y a x y +-+--=对任意a 成立，则222502100x y x y ⎧+-=⎨--=⎩，解得34x y =⎧⎨=-⎩或5x y =⎧⎨=⎩，即圆恒过定点(3,4)-，(5,0)．第14课时 直线与圆的位置关系1．C 2．C 3．D 4．B 5．34250x y +-= 6．40x y +±=7 8． 247200x y --=和2x =；7 9．22(3)(1)9x y -+-=或22(3)(1)9x y +++=． 10．16m =-．11． 4330x y ++=或3430x y +-=．第15课时 圆与圆的位置关系 ⒈B ⒉B 3．D 4．A5．20x y -+= 6．260x y -+= ，6 7．(1,1) 8．22(3)(1)5x y -+-= 9．224(1)(2)5x y ++-=10．（1）240x y -+=； （2）22(2)(1)5x y ++-=； （3）22(3)(3)10x y ++-=． 11． 3r =±．第16课时 空间直角坐标系1．B ⒉C 3．C 4．D5．(2,0,0)、(0,3,0)- 6．(0,4,2)7．442110x y z ++-=8．略 9．略10．提示（1）只要写出的三点的纵坐标和竖坐标分别相等即可；（2）只要写出的三点的竖坐标相等即可．11．111212121x x y y z z x x y y z z ---==---21(x x ≠且21y y ≠且21)z z ≠．第17课时 空间两点间的距离1．D 2．D 3．A 4．A 5．(0,2,0) 6．222(1)(2)(4)9x y z -+++-=7．7 8．(1,0,0)P ± 9．[提示]建立空间直角坐标系，由中点坐标公式求出,P Q 两点坐标，用两点间距离公式即可求得线段PQ2．10．（1）(1,2,1)[提示]设重心G 的坐标为(,,)x y z ，则222GA GB GC ++2233x y =+22236126643(1)3(2)z x y z x y +---+=-+-23(1)46z +-+．当1,2,1x y z ===时，点G 到,,A B C 三点的距离的平方和最小，所以重心的坐标为(1,2,1)．（2）1,8,9x y z ===．第二章《解析几何初步》评价与检测参考答案：1．C 2．D 3．B 4．B 526．0d ≤≤ 7．4个 8．60 9．67250x y +-= 10．2750x y +-= 11．22(2)(2)25x y -++= 12．(1,0)A -，C (5,6)- 13．B14．C 15．A 16．D 17．11(,)102- 18．4a =±19．20,x y y x ++==，y x = 20．10 21．解：设与51270x y ++=平行的边所在直线方程为5120x y m ++=(7)m ≠，则=解得19m =-， ∴直线方程为512190x y +-=，又可设与51270x y ++=垂直的边所在直线方程为1250x y n -+=()n R ∈，则=解得100n=或74，∴另两边所在直线方程为1251000x y-+=，125740x y-+=22．解：设()2,1B-，()4,2C，()2,3D第四个顶点的坐标为(),A m n.则有BC所在直线的斜率为32BCk=；CD所在直线的斜率为12CDk=-；BD所在直线的斜率不存在.①若BD∥AC，BC∥AD，则AC所在直线的斜率不存在.4m∴=.又BC ADk k=，即33242n-=-，6n∴=.∴平行四边形第四个顶点的坐标为()4,6.②若BD∥AC，CD∥BA，则AC所在直线的斜率不存在.4m∴=.又CD BAk k=，即()11242n---=-，2n∴=-.∴平行四边形第四个顶点的坐标为()4,2-.③若CD∥BA，BC∥AD，则,CD BABC ADk kk k=⎧⎨=⎩()11223322nmmnnm--⎧-=⎪=⎧⎪-⇒⇒⎨⎨=-⎩⎪=⎪-⎩∴平行四边形第四个顶点的坐标为()0,0.综上所述，平行四边形第四个顶点的坐标可为()4,6或()4,2-或()0,0.23．解：设1122(,),(,)P x y Q x y，由2223060x yx y x y c+-=⎧⎨++-+=⎩消去x得2520120y y c-++=，∴由韦达定理知：12124125y y c y y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩Q OP OQ ⊥，12121y y x x ∴⋅=-， 即12120x x y y +=，又12121212(32)(32)96()4x x y y y y y y =--=-++∴121296()50y y y y -++=， 也就是12964505c +-⨯+⨯=解之，得3c =． 从而所求圆的方程为22630x y x y ++-+=24．解：设1122(,),(,)P x y Q x y ，则1|OP x ==，2|OQ x ==．,P Q Q 为直线与圆的交点，∴ 12,x x 是方程22(1)(86)210x m m x ++-+=的两根， ∴12221,1x x m=+ ∴ 2221(1)211OP OQ m m ⋅=+=+。

．直线与方程
．直线的斜率
．理解直线的倾斜角和斜率的概念及它们之间的关系．(难点)
．掌握过两点的直线斜率计算公式．(重点)．了解直线的倾斜角的范围，能根据直线的倾斜角求出直线的斜率．(易错
点)
[基础·初探]
教材整理直线的斜率
阅读教材～例，完成下列问题．
已知两点(，)，(，)，如果≠，那么直线的斜率为＝
(
≠
)，如果＝，那么直线的斜率
．
不存在
．若直线过点()，(＋)，则此直线的斜率是．
【解析】过点()，(＋)的斜率＝＝.
【答案】
．若直线的斜率为－，其中(－，－)，()，则的值是.
【导学号：】【解析】∵＝－，∴＝－.
【答案】－
教材整理直线的倾斜角
阅读教材～，完成下列问题．
．直线的倾斜角
在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，把轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角，并规定：与轴平行或重合的直线的倾斜角为°.
倾斜角α的范围为°≤α<°.
．直线的斜率与倾斜角的关系
()从关系式上看：若直线的倾斜角为α(α≠°)，则直线的斜率＝α.
()从几何图形上看：
．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
()任意一条直线都有倾斜角，也都有斜率．(×)
()平行于轴的直线的倾斜角是°或°.(×)
()若两条直线的倾斜角相等，则它们的斜率也相等．(×)
()若是直线的斜率，则∈.(√)
．直线的倾斜角α＝°，则其斜率为．
【解析】直线的斜率为°＝－°＝－.。

2．1.1 直线的斜率交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度．如右图，沿着这条道路从A 点前进到B 点，在水平方向前进的距离为AD ，竖直方向上升的高度为DB(如果是下降，则DB 的值为负实数)，则坡度k ＝上升高度水平距离＝DB AD，坡度k ＞0表示这段道路是上坡，k 值越大上坡越陡，如果k 太大，车辆就爬不上去，还容易出事故；k ＝0表示是平路；k ＜0表示下坡，|k|值越大说明下坡越陡，|k|太大同样也容易出事故．因此在道路规划铺设时必须充分考虑这一点，那么，如何设计道路的坡度，才能避免事故发生？1．当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴所在的直线按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l 重合所成的角α叫做直线l 的倾斜角．特别地，当直线l 与x 轴平行或重合时，规定α＝0°.故α的取值范围是[0，180°)．2．我们将一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值tan α，称为这条直线的斜率，通常用k 表示．即k ＝tan α.由定义知，倾斜角为90°的直线没有斜率． 3．求直线斜率的两种常用方法是：(1)定义k ＝tan α(α≠90°)；(2)斜率公式k ＝y2－y1x2－x1(x1≠x2)．4．平面直角坐标系内每一条直线都有一个确定的倾斜角α，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角α相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角α不相等．因此，我们可用倾斜角α表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度．5．在平面直角坐标系中，已知直线上的一个定点不能确定一条直线的位置．同样，已知直线的倾斜角α，也不能确定一条直线．但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定一条直线．因此，确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点和它的倾斜角，二者缺一不可．6．倾斜角不等于90°的直线都有斜率，而且倾斜角不同，直线的斜率也不同．因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度．7．任何一条直线都有唯一的倾斜角，但是任何一条直线并不是都存在斜率．8．若直线l 的方程为y ＝x ·tan α＋2，则直线的斜率是tan_α，但α不一定是直线l 的倾斜角．一、直线的斜率公式经过两点P(x1，y1)、Q(x2，y2)的直线的斜率公式：k ＝y2－y1x2－x1，其适用范围是x1≠x2. ①斜率公式可通过直线上任意两点的坐标表示，很多时候比利用几何法由倾斜角求斜率更方便； ②斜率公式与两点的顺序无关，也就是说两点的纵、横坐标在公式中的次序可以同时调换(要一致)；③如果y2＝y1(x1≠x2)，则直线与x 轴平行或重合，k ＝0；如果x1＝x2，y1≠y2，则直线与x 轴垂直，倾斜角α＝90°，斜率k 不存在．二、直线的倾斜角和斜率的概念(1)直线的倾斜角的定义分为两个部分：一是与x 轴相交的直线，其倾斜角是用旋转角来定义的；二是与x 轴平行和重合的直线，其倾斜角是规定的．关于与x 轴相交的直线的倾斜角的理解，要抓住3个要素：①将x 轴绕着交点旋转到和直线重合；②按逆时针方向旋转；③α为最小正角．(2)平面内任何一条直线都有唯一的倾斜角α，其范围是0°≤α＜180°，倾斜角是一个几何概念，它直观地表示了直线相对x 轴正方向的倾斜程度．(3)直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率．倾斜角不是90°的直线都有斜率，当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，此时直线垂直于x 轴，斜率k ＝tan α(α≠90°)表示直线相对于x 轴的倾斜程度．特别当α∈(0°，90°)时，k ＞0；当α∈(90°，180°)时，k ＜0.基础巩固知识点一 直线的斜率1．经过点M(1，－2)、N(－2，1)的直线的斜率是________，倾斜角是________．解析：由斜率公式得k ＝－2－11＋2＝－1. 答案：－1 135°2．过点M(－2，m)、N(m ，4)的直线的斜率等于2，则m 的值为________．解析：由斜率公式得4－m m ＋2＝2，解得m ＝0. 答案：03．设A(t ，－t ＋3)、B(2，t －1)、C(－1，4)，直线AC 的斜率等于直线BC 的斜率的3倍，则实数 t 的值为________．解析：由题意得：kBC ＝t －53，∴kAC ≠0.故kAC ＝－t －1t ＋1＝－1. 于是：t －53＝－13，即t ＝4. 答案：4知识点二 直线的倾斜角4．若直线x ＝1的倾斜角为α，则α为________．解析：直线x ＝1与y 轴平行，故α＝90°.答案：90°5．直线l 经过原点O 和点P(－1，－1)，则它的倾斜角是________．解析：过点P 作PA ⊥x 轴，垂足为A ，则在Rt △POA 中，∠POA ＝45°，即倾斜角是45°. 答案：45°6．一条直线l 与x 轴相交，其向上方向与y 轴正方向所成的角为α(0°＜α＜90°)，则其倾斜角为________．解析：若直线l 的倾斜角为锐角，则为90°－α；若直线l 的倾斜角为钝角，则为90°＋α. 答案：90°－α或90°＋α知识点三 直线的倾斜角与斜率的关系7．若直线的斜率为－3，则直线的倾斜角是________．解析：由k ＝－3，则tan α＝－3，得α＝120°.答案：120°8．已知直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，如图所示，则k1、k2、k3的大小关系为________．解析：由图可知直线l1的倾斜角为钝角，∴k1＜0.直线l2与直线l3的倾斜角均为锐角，且直线l2倾斜角较大，∴k2＞k3＞0.答案：k1＜k3＜k29．已知P(3，－1)、M(6，2)、N(－3，3)，直线l 过点P ，若直线l 与线段MN 相交，求直线l 的倾斜角的取值范围．解析：考虑临界状态：令直线PM 的倾斜角为α1，直线PN 的倾斜角为α2，由已知得tan α1＝1，tan α2＝－33，故直线PM 的倾斜角为45°.直线PN 的倾斜角为150°，依据倾斜角定义并结合图形可知符合条件的直线l 的倾斜角的取值范围为[45°，150°]．能力升级综合点一 直线的斜率与倾斜角的关系应用10．已知直线l 的倾斜角是直线y ＝33x ＋5的倾斜角的2倍，则直线l 的斜率为(C) A ．1 B.232C. 3 D ．－ 3解析：直线y ＝33x ＋5的斜率为33，则其倾斜角为30°，故直线l 的倾斜角为60°，∴kl ＝ 3.11．若过点P(1－a ，1＋a)和Q(3，2a)的直线的倾斜角为钝角，求实数a 的取值范围．解析：直线PQ 的倾斜角为钝角，则意味着直线的斜率小于0，由kPQ ＝2a －（1＋a ）3－（1－a ）＝a －12＋a＜0，解得：－2＜a ＜1，故a 的取值范围是(－2，1)．综合点二 斜率与共线12．若三点A(2，2)、B(a ，0)、C(0，b)(ab ≠0)共线，则1a ＋1b的值等于________． 解析：∵A(2，2)，B(a ，0)，C(0，b)三点共线，∴kAB ＝kAC.∴－2a －2＝b －2－2.∴a －2＝4b －2.∴a ＝2b b －2. ∴1a ＋1b ＝b －22b ＋1b ＝b －2＋22b ＝b 2b ＝12. 答案：1213．已知A(1，1)、B(3，5)、C(a ，7)、D(－1，b)四点共线，求a ，b 的值．解析：∵A 、B 、C 、D 四点共线，∴直线AB 、AC 、AD 的斜率相等，即kAB ＝5－13－1＝2， kAC ＝7－1a －1，kAD ＝b －1－1－1. ∴2＝6a －1＝b －1－2，解得a ＝4，b ＝－3.综合点三 数形结合解题14．已知两点A(－3，4)、B(3，2)，过点P(2，－1)且不垂直于x 轴的直线l 与线段AB 有公共点，求直线l 的斜率k 的取值范围．解析：如右图所示，由题可知：kPA ＝4＋1－3－2＝－1，kPB ＝2－（－1）3－2＝3.如图所示，当点P 在线段AB 上移动时，寻找分界线，即倾斜角为90°的分界线，并明确，当倾斜角从小于90°方向趋向于90°时，斜率逐步增大且趋向于正无穷；当倾斜角从大于90°的方向趋向于90°时，斜率逐步减小，且趋向于负无穷．从而可知，所求的斜率的范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．。

课后训练千里之行 始于足下1．已知两点A (x ，－2)，B (3,0)，并且直线AB 的斜率为12，则x 的值是__________． 2．若两直线l 1，l 2的倾斜角分别为α1，α2，则下列四个命题中正确的是__________．(填序号)①若α1＜α2，则两直线的斜率k 1＜k 2②若α1＝α2，则两直线的斜率k 1＝k 2③若两直线的斜率k 1＜k 2，则α1＜α2④若两直线的斜率k 1＝k 2，则α1＝α23．已知经过两点(5，m )和(m,8)的直线的斜率大于1，则m 的取值范围是__________．4．已知三点(2，－3)，(4,3)及(5,)2k 在同一条直线上，则k 的值是__________．5．(1)过点A (2，b )和点B (3，－2)的直线的倾斜角为135°，则b 的值是__________．(2)已知点P (3,2)，点Q 在x 轴上，若直线PQ 的倾斜角为45°，则点Q 的坐标为__________．6．在下列叙述中：①一条直线倾斜角为α，则它的斜率为k ＝tan α；②若直线斜率k ＝－1，则它的倾斜角为135°；③若A (1，－3)，B (1,3)，则直线AB 的倾斜角为90°；④若直线过点(1,2)，且它的倾斜角为45°，则这条直线必过(3,4)点； ⑤若直线斜率为34，则这条直线必过(1,1)与(5,4)两点． 请选择所有正确命题的序号：__________.7．求满足下列条件的倾斜角或斜率．(1)已知a ，b ，c 是两两不等的实数，求经过P (b ，b ＋c )，Q (a ，c ＋a )两点的直线倾斜角．(2)已知两点A (－1,3)，(1,3B ，直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的一半，求直线l 的斜率．8．(1)已知点A 的坐标为(3,4)，在坐标轴上有一点B ，若直线AB 的斜率为－1，求B 点的坐标．(2)已知直线l 1和l 2关于直线y ＝x 对称，若直线l 1l 2的斜率． 百尺竿头 更进一步已知实数x ，y 满足y ＝－2x ＋8，且2≤x ≤3，求y x的最大值和最小值．参考答案与解析千里之行 始于足下1．－1 ∵02132AB k x -(-)==-，∴x ＝－1. 2．④ 在①②选项中，若α1＝90°，则k 1不存在，①②都错，在③选项中，若k 1＝－1，k 2＝1，则α1＝135°，α2＝45°，α1＞α2，③错，④正确． 3.135,2⎛⎫ ⎪⎝⎭∵815m k m -=>-，∴1352m <<. 4．12 ∵三点共线，∴过同一点的斜率相同， ∴33324252k ++=--，解得k ＝12. 5．(1)－1 (2)(1,0) (1)由条件得2tan 135123b +=︒=--，解得b ＝－1. (2)设Q (x,0)，则2tan 4513x=︒=-，解得x ＝1. 6．②③④ ①当α＝90°时，斜率k 不存在，故错误；②倾斜角的正切值为－1时，倾斜角为135°，故正确；③直线AB 与x 轴垂直，斜率不存在，倾斜角为90°，故正确； ④直线过定点(1,2)，斜率为1， 又42131-=-，故直线必过(3,4)，故正确； ⑤斜率为34的直线有无数条，所以直线不一定过(1,1)与(5,4)两点，故错误． 7．解：(1)∵a ，b ，c 是两两不等的实数， ∴斜率1b c c a b a k b a b a+---===--. ∴倾斜角为45°.(2)AB k ==tan α=α∈[0°，180°)． ∴直线AB 的倾斜角为60°.由题意可知l 的倾斜角为30°，∴直线l的斜率=tan 30l k ︒=. 8．解：(1)由直线AB 的斜率k AB ＝－1.①当点B 在x 轴上时，设点B 的坐标为(a,0)， 则4013a--=-，得a ＝7.②当点B 在y 轴上时，设点B 的坐标为(0，b )，则4130b --=-，得b ＝7. 故B 点的坐标为(7,0)或(0,7)．(2)在l 2上任取不同的两点A (a ，b )，B (c ，d )，因为l 1与l 2关于直线y ＝x 对称，所以A ，B 两点关于直线y ＝x 的对称点A ′(b ，a )，B ′(d ，c )就一定在l 1上． 设l 1的斜率为k 1，l 2的斜率为k 2，则1a c k b d -==-∴21b d k a c a c b d-====---百尺竿头 更进一步解：如图，由已知，点P (x ，y )在线段AB 上运动，其中A (2,4)，B (3,2)，而00y y x x -=-，其几何意义为直线OP 的斜率．由图可知k OB ≤k OP ≤k OA ， 而23OB k =，k OA ＝2，。

2.1.1 直线的斜率【课时目标】1．理解直线的倾斜角和斜率的概念．2．掌握求直线斜率的两种方法．3．了解在平面直角坐标系中确定一条直线的几何要素．1．在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按________________旋转到和直线重合时所转过的____________称为这条直线的__________，并规定：与x轴平行或重合的直线的倾斜角为________，直线的倾斜角α的范围是__________．2．已知直线l上两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，若x1≠x2，则____________为直线l的斜率．当直线l与x轴不垂直时，直线的斜率k与倾斜角α之间满足________，斜率的取值范围为________，当直线l与x轴垂直时，直线的斜率__________．一、填空题1．对于下列命题①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°；②若k是直线的斜率，则k∈R；③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中正确命题有________个．2．斜率为2的直线经过点A(3,5)、B(a,7)、C(－1，b)三点，则a、b的值分别为________和________．3．直线经过原点和点(－1，－1)，它的倾斜角是______________________________．4．直线l过原点(0,0)，且不过第三象限，那么l的倾斜角α的取值范围是______________．5．若图中直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则k1、k2、k3的大小关系为______________．6．若直线平行于y轴，其倾斜角为α，则α＝________．7．若直线AB与y轴的夹角为60°，则直线AB的倾斜角为________，斜率为________．8．如图，已知△ABC为等腰三角形，且底边BC与x轴平行，则△ABC三边所在直线的斜率之和为________．9．已知直线l的倾斜角为α－20°，则α的取值范围是____________．二、解答题10．如图所示，菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，求菱形ABCD 各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率．11．一条光线从点A (－1,3)射向x 轴，经过x 轴上的点P 反射后通过点B (3,1)，求P 点的坐标．能力提升12．已知实数x ，y 满足y ＝－2x ＋8，当2≤x ≤3时，求y x的最大值和最小值．13．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，a >b >c >0，则f a a ，f b b ，f cc的大小关系是________________．1．利用直线上两点确定直线的斜率，应从斜率存在、不存在两方面入手分类讨论，斜率不存在的情况在解题中容易忽视，应引起注意．2．三点共线问题：(1)已知三点A ，B ，C ，若直线AB ，AC 的斜率相同，则三点共线；(2)三点共线问题也可利用线段相等来求，若AB ＋BC ＝AC ，也可断定A ，B ，C 三点共线．3．斜率公式的几何意义：在解题过程中，要注意开发“数形”的转化功能，直线的倾斜角与斜率反映了某一代数式的几何特征，利用这种特征来处理问题更直观形象，会起到意想不到的效果．第2章 平面解析几何初步§2．1 直线与方程 2．1．1 直线的斜率答案知识梳理1．逆时针方向 最小正角 倾斜角 0° 0°≤α<180°2．k ＝y 2－y 1x 2－x 1k ＝tan α k ∈R 不存在作业设计 1．3解析 ①②③正确． 2．4 －3解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧k AC ＝2，k AB ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧b －5－1－3＝2，7－5a －3＝2.解得a ＝4，b ＝－3．3．45°4．90°≤α<180°或α＝0°解析 倾斜角的取值范围为0°≤α<180°，直线过原点且不过第三象限，切勿忽略x 轴和y 轴． 5．k 1<k 3<k 2解析 由图可知，k 1<0，k 2>0，k 3>0， 且l 2比l 3的倾斜角大． ∴k 1<k 3<k 2． 6．90°7．30°或150° 33或－338．09．20°≤α<200°解析 因为直线的倾斜角的范围是[0°，180°)，所以0°≤α－20°<180°，解之可得20°≤α<200°． 10．解 αAD ＝αBC ＝60°，αAB ＝αDC ＝0°，αAC ＝30°， αBD ＝120°．k AD ＝k BC ＝3，k AB ＝k CD ＝0，k AC ＝33，k BD ＝－3．11．解 设P (x,0)，则k PA ＝3－0－1－x ＝－3x ＋1，k PB ＝1－03－x ＝13－x，依题意，由光的反射定律得k PA ＝－k PB ，即3x ＋1＝13－x，解得x ＝2，即P (2,0)．12．解y x ＝y －0x －0其意义表示点(x ，y )与原点连线的直线的斜率． 点(x ，y )满足y ＝－2x ＋8，且2≤x ≤3，则点(x ，y )在线段AB 上，并且A 、B 两点的坐标分别为A (2,4)，B (3,2)，如图所示．则k OA ＝2，k OB ＝23．所以得y x 的最大值为2，最小值为23．13．f c c >f b b >f aa解析 画出函数的草图如图，f xx可视为过原点直线的斜率．。

第2章 平面解析几何初步2.1 直线与方程2.1.1 直线的斜率5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.过点P(1,3)和Q(0,5)的直线的斜率为( )A.2B.-2C.21D.21- 思路解析：考查直线斜率的求法.由于直线上有两已知点,故用斜率公式求之.由斜率公式知21035-=--=k . 答案：B2.已知直线l 1的斜率为0,且直线l 1⊥l 2,则直线l 2的倾斜角为( )A.0°B.90°C.135°D.180° 思路解析：考查垂直两直线倾斜角之间的关系.因为l 1的斜率为零,其倾斜角为0°,所以l 2的倾斜角为90°，可作图后利用“数形结合”的思想解决.答案：B3.直线l 经过(0,0)、(1,3-)，则直线l 的倾斜角为__________.思路解析：考查直线斜率和倾斜角之间的关系.由斜率公式知30103-=---=k ，由斜率与倾斜角的关系知3-=tanα，且α∈［0,π)，所以α=32π. 答案：32π 10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.与y 轴平行的一条直线,其倾斜角为α,则α( )A.等于0°B.等于45°C.等于90°D.不存在思路解析：考查倾斜角的定义.在平面直角坐标系中作出任一条与y 轴平行的直线,这条直线与x 轴相交且可以看成是由x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转90°后得到的,由倾斜角的定义，可知这条直线的倾斜角为90°.答案：C2.已知直线l 的斜率大小为tan240°,则l 的倾斜角为( )A.30°B.60°C.120°D.240°思路解析：考查倾斜角的范围和三角函数值等相关知识.由tan240°=3,知这条直线的斜率为3,如果设l 的倾斜角为α,则由斜率和倾斜角的关系得tanα=3,又由倾斜角的范围是［0°，180°)知,直线l 的倾斜角为60°.答案：B3.若A(1,-1)、B(3,3)、C(5,a)三点在一条直线上，则a=________思路解析：考查斜率公式的应用.三点在一条直线上,则任意两点连线的斜率相等；或由两点确定的直线必过第三个点，由斜率相等代入点坐标可得结果.∵k AB =21313=-+,k BC =23353-=--a a ，又A 、B 、C 三点在一条直线上,∴k AB =k BC .∴223=-a . ∴a=7.答案：74.若直线l 经过第二、四象限，则直线l 倾斜角的范围是_________.思路解析：考查数形结合思想和倾斜角知识.如图,直线过二、四象限,可知k<0,即tanα<0,所以直线l 的倾斜角为钝角,其范围是90°<α<180°.答案：90°<α<180°5.求坐标轴的两条角平分线所在直线的斜率.思路解析：考查数形结合思想和求直线斜率的方法.由于定直线的斜率是确定的,与计算时选取的两点位置无关,所以可在直线上任取两点,计算直线的斜率.譬如在直线l 1上取两点(m,m)、(n,n)(m≠n)，可得l 1的斜率11=--=nm n m k .解：如图，在l 1上取两点O(0,0)、A(1,1)，可得l 1的斜率101011=--=k ；在直线l 2上取两点O(0,0)、B(1,-1)，可得l 2的斜率101012-=---=k .所以两条直线的斜率分别为1和-1. 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.直线l 的斜率k=2,又过一点(3,2),则直线l 经过点( )A.(0,4)B.(4,0)C.(0,-4)D.(-2,1)思路解析：因为直线l 经过无数个点,不可能都求出来,可用逆推验证法,即检验选项中哪一个点坐标与点(3,2)连线的斜率为2.答案：C2.已知一次函数的表达式为y=33-x+1,则其图象表示的直线倾斜角为( ) A.6π- B.3π- C.32π D.65π 思路解析：解决这类问题需要注意倾斜角的取值范围.由一次函数的知识知其图象表示的直线斜率为33-,再由tanα=33-且α∈［0,π)得α=65π. 答案：D3.若两直线l 1、l 2的倾斜角分别为α1、α2,则下列四个命题中正确的是( )A.若α1<α2,则两直线的斜率k 1<k 2B.若α1=α2,则两直线的斜率k 1=k 2C.若两直线的斜率k 1<k 2,则α1<α2D.若两直线的斜率k 1=k 2,则α1=α2思路解析：斜率与倾斜角满足k=tanα且α∈［0,π),因为α∈［0,2π)时,k>0;α∈(2π,π)时,k<0;当α=2π时,k 不存在，对于选项A,可取α1为锐角、α2为钝角,这时k 1>k 2；对于选项B,可取α1=α2=90°；对于C 可取k 1=-1,k 2=1,可知α1>α2.所以可以排除A 、B 、C ，选D.答案：D4.(2006北京高考，理) 若三点A(2，2)、B(a,0)、C(0,b)(ab≠0)共线，则ba 11+的值等于________. 思路解析：本题考查利用过两点的直线的斜率公式判断三点共线问题，我们只需利用两点间的斜率相等建立方程即可.由题意知a≠2，所以⇒-==-=2222b k a k AC AB 4=(2-a)(2-b) ⇒ab=2(a+b)⇒2111=+b a . 答案：21 5.已知直线l 1、l 2、l 3的斜率分别是k 1、k 2、k 3，如图2-1-1，则k 1、k 2、k 3的大小关系是_________(由小到大写出).图2-1-1思路解析：考查直线的斜率与倾斜角的关系.由图中直线倾斜角的大小可知l 1的倾斜角为钝角,所以k 1<0；l 2、l 3的倾斜角均为锐角,且l 2的倾斜角较大,所以k 2>k 3>0.所以k 1＜k 3＜k 2. 答案：k 1<k 3<k 26.直线l 过A(-2,(t+t 1)2)、B(2,(t-t1)2)两点,其中t≠0,则此直线的斜率为_________,倾斜角为_________.思路解析：考查两点间的斜率公式应用,斜率与倾斜角的关系.由斜率公式k AB =144)2(2)1()1(22-=-=--+--t t t t ,由tanα=-1,α∈［0°,180°)知α=135°. 答案：-1 135°7.已知A(3,4)在坐标轴上有一点B,使直线AB 的斜率等于2,求B 点的坐标.思路解析：点B 在坐标轴上,即可能在x 轴上,可能在y 轴上,所以需要分情况讨论,设出B 点的坐标后,可利用斜率公式求得所设的变量.解：①如果B 在x 轴上,可设B(x 0,0),则k AB =3400--x =2,所以x 0=1,即B(1,0);②如果B 在y 轴上,可设B(0,y 0),则k AB =23040=--y ,所以y 0=-2,即B(0，-2). 8.求过点A(-2,n)、B(n,4)两点的直线斜率.思路解析：由于直线AB 可能和x 轴垂直,倾斜角为2π,斜率不存在,所以需要对n 分类讨论，当n≠-2时可直接利用斜率公式，当n=-2时，直接写出斜率不存在.解：①当n=-2时,过A 、B 两点的直线斜率不存在;②当n≠-2时,过A 、B 两点的直线斜率24+-=n n k .综上所述，n=-2时,斜率不存在;n≠-2时,斜率24+-=n n k . 9.(1)已知直线l 经过原点,且与以A(1,1)、B(3,-1)为端点的线段相交,试通过作图探索出直线l 的斜率范围.(2)已知直线l 经过原点,且与以A(1,1)、B(-3,-1)为端点的线段相交,试通过作图探索出直线l 的斜率范围.试比较(1)和(2)两小题的结果有什么不同,你能从中总结出什么规律来吗?思路解析：本题主要考查对图形运动变化的理解及探究能力.根据题目的提示,可以作出线段AB,用绕原点旋转的动直线来探究直线与线段相交的动态过程.解：(1)如图(1)，当直线l 绕着原点旋转和线段AB 相交时,即从OB 旋转到OA 的过程中斜率由负(k OB )到正(k OA )连续增大,因为k OB =310301-=---,k OA =10101=--,所以直线l 的斜率k 的范围是31-≤k≤1. (2)如图(2)，当直线l 绕着原点旋转和线段AB 相交时,即从OA 旋转到OB 的过程中斜率从k OA 开始逐渐增加到正无穷大,这时l 与y 轴重合,当l 再旋转下去时,斜率从负无穷逐渐增加到k OB ,因为k OB =310301=----,k OA =10101=--,所以直线l 的斜率k 的范围是k≤31或k≥1.经比较可以发现:(1)中直线l 斜率介于k OA 和k OB 之间,而(2)中直线l 斜率处于k OA 和k OB 之外.一般地,如果直线l 和线段AB 相交,若直线l 和x 轴垂直(斜率不存在)时,与线段AB 不相交,则l 斜率介于k OA 和k OB 之间;若直线l 和x 轴垂直(斜率不存在)时,与线段AB 相交,则l 斜率位于k OA 和k OB 之外.。

让学生学会学习第一课时第二章平面解析几何初步一、知识结构二、重点难点重点：直线的斜率和倾斜角的概念，过两点的直线的斜率的计算公式；直线的方程的几种形式，会根据已知条件选择恰当的形式表示直线；两点间的距离公式，点到直线的距离公式，会求两条平行线间的距离；根据斜率判定两直线的平行或垂直关系，会求两直线的交点坐标；圆的标准方程与一般方程的概念，会根据条件选择恰当的形式求圆的方程；能根据给定直线与圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系；会用空间直角坐标系刻画点的位置，会用距离公式求空间两点间的距离．难点：几种形式的直线方程的推导；圆的标准方程的推导；直线与圆、圆与圆的位置关系中有关问题的探索．听课随笔直线直线方程的一般式两直线位置关系1l：11y k x b=+2l：22y k x b=+平行于坐标轴的直线方程平行于x轴y b=平行于y轴x a=直线方程的几种形式点斜式斜截式两点式截距式垂直k1k2= -1平行k1=k2相交k1≠k2求交点点到直线的距离公式圆的方程标准方程：222()()x a y b r-+-=一般方程：220x y Dx Ey F++++=22(40)D E F+->直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系相交、相切、相离相离、相交、外切、内切、内含空间直角坐标系空间直角坐标系中点的坐标表示空间两点间的距离公式让学生学会学习 第1课 直线的斜率（1） 【学习导航】 知识网络 学习要求 1．理解直线的斜率的概念； 2．掌握过两点的直线斜率的计算公式． 自学评价 1．直线的斜率：已知两点1122(,),(,)P x y Q x y ，如果x 1≠ x 2那么，直线PQ 的斜率为k = ；此时，斜率也可看成是 ．【精典范例】 例1：如图，直线123,,l l l 都经过点(3,2)P ，又123,,l l l 分别经过点12(2,1),(4,2)Q Q ---，3(3,2)Q -，试计算直线123,,l l l 的斜率． 【解】例2：已知直线l 经过点(,2)A m 、2(1,2)B m +，求直线l 的斜率．【解】例3：经过点(3,2)画直线，使直线的斜率分别为：（1）34；（2）45-．【解】【选修延伸】一、直线斜率与三点共线 例4：已知三点(,2),(3,7),(2,9)A a B C a --在一条直线上，求实数a 的值．【解】思维点拔： 任何直线都有倾斜角和斜率吗？ 根据直线倾斜角和斜率的概念，任何直线都有倾斜角．特别地，当直线与x 轴平行或重合时，倾斜角为0o ；当直线与x 轴垂直时，倾斜角为90o ，此时直线斜率不存在．因此，除倾斜角为90o 的直线外，其他直线都有斜率． 直线的斜率 计算公式 概念 听课随笔让学生学会学习追踪训练1.ABC ∆的三个顶点(3,2),(4,1)A B -，(0,1)C -，写出ABC ∆三边所在直线的斜率：AB k = ，BC k = ，AC k = ．2. 求证：(1,5),(0,2),(2,8)A B C 三点共线．3.已知过点(1,2)m -，(,3)m m -+的直线l 的斜率为3，则实数m 的值为 . 4、设点Ａ（－１，１），Ｂ（x ，2）,C(-2,y)为直线l 上三点，已知直线的 斜率k=2,则x= .学生质疑 教师释疑 听课随笔。

第2课 直线的斜率（2） 【学习导航】 知识网络 学习要求 1．掌握直线的倾斜角的概念，了解直线倾斜角的范围；2．理解直线的斜率与倾斜角之间的关系，能根据直线的倾斜角求出直线的斜率；3．通过操作体会直线的倾斜角变化时，直线斜率的变化规律．自学评价1．直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，把绕着交点按 （顺、逆）时针旋转到和直线重合时所转过的 称为这条直线的倾斜角，并规定：与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为 ．2.倾斜角的范围： ．3.直线的倾斜角与斜率的关系：当直线的倾斜角不等于 时，直线的斜率k 与倾斜角α之间满足关系 .【精典范例】例1：直线123,,l l l 如图所示，则123,,l l l 的斜率123,,k k k 的大小关系为 ，倾斜角123,,ααα的大小关系为 ．例2：（1）经过两点(2,3),(1,4)A B 的直线的斜率为 ，倾斜角为 ； （2）经过两点(4,21),(2,3)A y B +-的直线的倾斜角为120o ，则y = ． 例3：已知直线1l 的倾斜角115α=o ，直线1l 和2l 的交点A ，直线1l 绕点A 按顺时针方向旋转到与直线2l 重合时所转的最小正角为60o ，求直线2l 的斜率k ． 例4：已知(23,),(2,1)M m m N m +-， （1）当m 为何值时，直线MN 的倾斜角为锐角？ （2）当m 为何值时，直线MN 的倾斜角为钝角？ （3）当m 为何值时，直线MN 的倾斜角为直角？ 分析：当斜率大于0时，倾斜角为锐角；当斜率小于0时，倾斜角为钝角；当直线垂直于x 轴时直线倾斜角为直角． 训练一 1. 直线2230x y ++=的倾斜角为 ． 2.已知直线1l 的倾斜角为α，直线2l 与1l 关于x 轴对称，则直线2l 的倾斜角为 ． 3. 已知直线l 的倾斜角的变化范围为倾斜角和斜率的关系 直线的倾斜角 范围概念 1l2l 3l[,)63ππα∈，则该直线斜率的变化范围是 ． 【选修延伸】一、直线与已知线段相交，求直线斜率的取值范围例5: 若过原点O 的直线l 与连结(2,2),(6,23)P Q 的线段相交，求直线l 的倾斜角和斜率的取值范围．分析：结合图形可知（图略），直线l 介于直线,OP OQ 之间，即可得倾斜角范围；再根据倾斜角变化时，斜率变化规律可得斜率范围．追踪训练二1．已知(1,3),(3,3)A B --，则直线AB 的倾斜角α和斜率k 分别为（ ）()A 30,3k α==o()B 120,3k α==-o()C 150,3k α==-o()D 60,3k α==o2．设点(2,3),(3,2)A B ---，直线l 过点(1,2)P ，且与线段AB 相交，求直线l 的斜率的取值范围．学生质疑 教师释疑。

第2课 直线的斜率（2） 知识网络 学习要求 1．掌握直线的倾斜角的概念，了解直线倾斜角的范围； 2．理解直线的斜率与倾斜角之间的关系，能根据直线的倾斜角求出直线的斜率；3．通过操作体会直线的倾斜角变化时，直线斜率的变化规律．【课堂互动】自学评价1．直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，把 绕着交点按 逆 （顺、逆）时针旋转到和直线重合时所转过的 最小正角 称为这条直线的倾斜角，并规定：与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为 0 ．2.倾斜角的范围： [0,180) ．3.直线的倾斜角与斜率的关系：当直线的倾斜角不等于 90 时，直线的斜率k 与倾斜角α之间满足关系 tan k α= .【精典范例】例1：直线123,,l l l 如图所示，则123,,l l l 的斜率123,,k k k 的大小关系为 ，倾斜角123,,ααα的大小关系为 ．答案：123l l l >>，312ααα>>．点评: 当090α<<时，倾斜角越大，斜率越大，反之，斜率越大，倾斜角也越大； 当90180α<<时，上述结论仍成立．例2：（1）经过两点(2,3),(1,4)A B 的直线的斜率为 ，倾斜角为 ；（2）经过两点(4,21),(2,3)A y B +-的直线的倾斜角为120，则y = ． 答案：（1）1-，135；（2）23--．倾斜角和斜率的关系直线的倾斜角范围 概念 1l 2l 3l例3：已知直线1l 的倾斜角115α=，直线1l 和2l 的交点A ，直线1l 绕点A 按顺时针方向旋转到与直线2l 重合时所转的最小正角为60，求直线2l 的斜率k ．分析：由几何图形可得直线2l 倾斜角为135，∴斜率为1-．点评:本题的关键在于弄清倾斜角的定义．例4：已知(23,),(2,1)M m m N m +-，（1）当m 为何值时，直线MN 的倾斜角为锐角？（2）当m 为何值时，直线MN 的倾斜角为钝角？（3）当m 为何值时，直线MN 的倾斜角为直角？分析：当斜率大于0时，倾斜角为锐角；当斜率小于0时，倾斜角为钝角；当直线垂直于x 轴时直线倾斜角为直角． 答案：（1）1m >或5m <-；（2）51m -<<；（3）5m =-．追踪训练一1. 直线2230x y ++=的倾斜角为135．2.已知直线1l 的倾斜角为α，直线2l 与1l 关于x 轴对称，则直线2l 的倾斜角为180α-．3. 已知直线l 的倾斜角的变化范围为[,)63ππα∈，则该直线斜率的变化范围是． 【选修延伸】一、直线与已知线段相交，求直线斜率的取值范围例5: 若过原点O 的直线l 与连结(2,2),(6,P Q 的线段相交，求直线l 的倾斜角和斜率的取值范围．分析：结合图形可知，直线l 介于直线,OP OQ 之间，即可得倾斜角范围；再根据倾斜角变化时，斜率变化规律可得斜率范围．答案：倾斜角范围[30,45]，斜率范围,1]3． 追踪训练二1．已知(1,3),A B -，则直线AB 的倾斜角α和斜率k 分别为（ B ）()A 30,k α==()B 120,k α==()C 150,k α==()D 60,k α==2．设点(2,3),(3,2)A B ---，直线l 过点(1,2)P ，且与线段AB 相交，求直线l 的斜率的取值范围．答案：由直线l 过点(1,2)P ，且与线段AB 相交可得：直线l 的斜率的变化可以看作是以P 为旋转中心，直线BP 逆时针旋转到直线AP 的过程中斜率的变化，又∵5AP k =-，1BP k =，结合图形（图略）可得：直线l 的斜率的取值范围是5k ≤-或1k ≥．第2课 直线的斜率（2）分层训练1．已知直线l 的倾斜角为15α-，则下列结论正确的是 （ ）()A 0180α≤<()B 15180α<<()C 15195α≤<()D 15180α≤<2．已知直线经过点(2,0)A -，(5,3)B -，则该直线的倾斜角为（ ）()A 150 ()B 135 ()C 75 ()D 453．已知直线1l 的倾斜角为α，将直线1l 绕着它与x 轴的交点，逆时针旋转45得直线2l ，则直线2l 的倾斜角为 （ ）()A 45α+ ()B 45α-()C 135α- ()D 45α+或135α-4．直线1l 的倾斜角为120，若直线2l 与1l 关于x 轴对称，则直线2l 的倾斜角为 ，斜率为 ．5．已知直线l 的斜率2k =，直线l 上有一点(2,3)P ，若将点P 沿x 轴方向右移3个单位，则再沿y 轴方向上移 个单位后，所得到点1P 仍在直线上．6．已知点1)A -，点B 在y 轴上，若直线AB 的倾斜角为120，求B 点坐标．7．已知(1,1)P ，(1,1)Q -，且过原点的直线l 与线段PQ 相交，求直线l 的倾斜角的取值范围．8．已知直线l 过点(2,1)P 且与两坐标轴围成等腰直角三角形，求l 的倾斜角和斜率．拓展延伸9．如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位，又回到原来的位置，求直线l 的斜率．10．已知直线1l 的倾斜角15α=，直线1l 和2l 的交点为A ．直线1l 绕点A 按顺时针方向旋转到与直线2l 重合时所转过的最小正角为60，求直线2l 的斜率2k ．。

高中数学 2.1.1直线的斜率随堂自测和课后作业 苏教版必修21.已知直线的斜率为3，则直线的倾斜角为________． 答案：60°2.已知直线l 过点A (1，2)，B (－1，0)，则直线l 的斜率为________，倾斜角为________．解析：k ＝2－01－（－1）＝1.tan α＝1，α∈[0°，180°)．∴α＝45°. 答案：1 45°3.若直线l 的斜率不存在，则与此直线垂直的直线的斜率为________．解析：l 的倾斜角为90°，∴所求直线倾斜角为0°，其斜率为0.答案：04.若A (4，3)，B (5，a )，C (6，5)三点共线，则a ＝________．解析：利用k AB ＝k AC ，即a －35－4＝5－36－4，解得a ＝4. 答案：45.设直线l 的斜率为k ，且k ∈(－3，33)，则直线l 的倾斜角的取值范围是________． 解析：倾斜角θ∈[0°，180°)，tan θ∈(－3，33)，∴θ∈[0°，30°)∪(120°，180°)． 答案：[0°，30°)∪(120°，180°)[A 级 基础达标]1.在下列四个命题中，错误的命题是________．(写出所有错误命题的序号)①坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率；②直线的倾斜角的取值范围为[0°，180°]；③若一条直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α；④若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α.解析：当倾斜角为90°时，其斜率不存在，故命题①④不正确．由直线的倾斜角的定义知倾斜角的取值范围为[0°，180°)，而不是[0°，180°]，故命题②不正确．直线的斜率可以是tan210°，但其倾斜角是30°，而不是210°，所以命题③也不正确．根据以上判断，四个命题均不正确．答案：①②③④2.直线l 过点A (1，|t |)和点B (－2，1)，当________时，直线的倾斜角为钝角．解析：表示出直线的斜率k ＝1－|t |－2－1，由直线的倾斜角为钝角得1－|t |－3＜0，求得－1＜t ＜1. 答案：－1＜t ＜13.已知点A (1，2)，若在坐标轴上有一点P ，使直线PA 的倾斜角为135°，则点P 的坐标为________．解析：由题意知k PA ＝－1，设x 轴上点(m ，0)，y 轴上点(0，n )，由0－2m －1＝n －20－1＝－1，得m ＝n ＝3. 答案：(3，0)或(0，3)4.(2012·盐城调研)过点M (－3，2)，N (－2，3)的直线的倾斜角的大小是________．解析：k MN ＝3－2－2－（－3）＝1，故倾斜角为45°. 答案：45°5.直线l 1过点P (3－3，6－3)，Q (3＋23，3－3)，直线l 2的倾斜角与l 1的倾斜角互补，则直线l 2的倾斜角为________．解析：可求得k PQ ＝－33，即tan α1＝－33， ∴α1＝150°，∴α2＝180°－α1＝30°.答案：30°6.已知过点(－3，1)及点(0，b )的直线的倾斜角α满足30°≤α<60°，求b 的取值范围．解：∵30°≤α<60°，∴33≤k ＝tan α< 3. 又直线过点(－3，1)及点(0，b )，∴k ＝b －10－（－3）＝b －13，∴33≤b －13< 3. ∴2≤b <4.7.已知实数x ，y 满足2x ＋y ＝8，当2≤x ≤3时，求yx的最大值和最小值．解：如图所示，设P (x ，y )在线段AB 上运动，其中A (2，4)，B (3，2)，则y x ＝y －0x －0可看作是直线OP 的斜率， 由图知，k OB ≤k OP ≤k OA ，而k OB ＝23，k OA ＝2， ∴(y x )max ＝2，(y x )min ＝23. [B 级 能力提升]8.若三点A (2，2)，B (a ，0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b的值等于________． 解析：∵A 、B 、C 三点共线，∴k AB ＝k AC ，又∵k AB ＝0－2a －2，k AC ＝b －20－2， ∴0－2a －2＝b －20－2，∴ab ＝2a ＋2b ， ∴2(1a ＋1b )＝1，∴1a ＋1b ＝12. 答案：129.(2012·徐州质检)若ab ＜0，则过点P (0，－1b )与Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，0的直线PQ 的倾斜角的取值范围是________． 解析：k PQ ＝－1b －00－1a＝a b ＜0，又倾斜角的取值范围是[0°，180°)，∴直线PQ 的倾斜角的取值范围是(90°，180°)．答案：(90°，180°)10.已知A (－3，－3)，B (2，－2)，P (－2，1)，如图所示，若直线l 过P 点且与线段AB 有公共点，试求直线l 的斜率k 的取值范围．解：∵k PA ＝1－（－3）－2－（－3）＝4，k PB ＝1－（－2）－2－2＝－34，∴要使直线l 与线段AB 有公共点，则k 的取值范围应该是k ≤－34或k ≥4.11.(创新题)(1)m 为何值时，经过A (－m ，6)，B (1，3m )两点的直线的斜率是12?(2)m 为何值时，经过A (m ，2)，B (－m ，2m －1)两点的直线的倾斜角为60°？ (3)直线l 过点A (1，2)与B (m ，3)，求l 的斜率．解：(1)设AB 所在直线的斜率为k AB ，则k AB ＝3m －61＋m .由题意得3m －61＋m ＝12，解之得m ＝－2.(2)同上，k AB ＝2m －1－2－m －m ＝2m －3－2m .由题意得k AB ＝tan60°，∴2m －3－2m ＝3，解之得m ＝33－34.(3)①若m ＝1，则A (1，2)，B (1，3)，l 的方程为x ＝1，斜率不存在；②若m ≠1，则k AB ＝3－2m －1＝1m －1.∴若m ＝1，则l 的斜率不存在；若m ≠1，则斜率为1m －1.。