江苏省启东市2017届高三上学期期中考试数学试题

江苏省启东2017-2018学年度第一学期第一次月考高三数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{}13A x x =-<<，{}2B x x =<，则 ▲ ． 2．命题“1x ∀>，x 2≥3”的否定是 ▲ ．3．设幂函数()f x kx =α的图象经过点()4,2，则k +=α ▲ ．4．计算121lg lg 251004-⎛⎫-÷= ⎪⎝⎭▲ ．5．已知F 为双曲线C ：2224(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为▲ .6.已知,x y 满足约束条件0,2,0,x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩若z ax y =+的最大值为4，则a 的值为 ▲ .7．公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2514,,a a a 成等比数列，253S a =，则10a = ▲ ．8．将1个半径为1的小铁球与1个底面周长为2π，高为4的铁制圆柱重新锻造成一个大铁注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）两部分．本试卷满分160分，考试时间120分钟．2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷的指定位置．3．答题时，必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在试卷的指定位置，在其它位置作答一律无效．4．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．球，则该大铁球的表面积为 ▲ ．9．若正实数,x y 满足2210x xy +-=，则2x y +的最小值为 ▲ ．10. 设α为锐角，若53)6πcos(=+α，则sin 212απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为 ▲ . 11. 如图所示的梯形ABCD 中，,2,234,//MD AM CD AD AB CD AB ====，，如果 ⋅-=⋅则,3= ▲ .12. 已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π6)－cos ωx (ω＞0)．若函数f (x )的图象关于直线x ＝2π对称，且在区间[－π4，π4]上是单调函数，则ω的取值集合为 ▲ .13. 已知函数f (x )是以4为周期的函数，且当－1＜x ≤3时，f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，－1＜x ≤1，1－|x －2|，1＜x ≤3．若函数y ＝f (x )－m |x|恰有10个不同零点，则实数m 的取值范围为 ▲ . 14.已知函数f (x )＝－x ln x ＋ax 在(0，e)上是增函数，函数g (x )＝|e x－a |＋a 22，当x ∈[0，ln3]时，函数g (x )的最大值M 与最小值m 的差为32，则a 的值为 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分14分）设ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,,若)2cos(sin B A -=π,2,3==c a（1）求⋅的值；（2）求)23tan(B C-+π的值为.16.（本小题满分14分）如图，在四棱柱1111D C B A ABCD -中， 已知平面⊥C C AA 11平面,ABCD 且3===CA BC AB ,1==CD AD . （1）求证：;1AA BD ⊥1AE CDBA1D1B1C 第16题（2）若E 为棱BC 的中点，求证：//AE 平面11D DCC .17.（本小题满分14分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为F 1(-1，0)，F 2(1,0)，过F 1作与x 轴不重合的直线l 交椭圆于A,B 两点（1）若ΔABF 2为正三角形，求椭圆的标准方程； （2）若椭圆的离心率满足2150-<<e ,O 为坐标原点，求证：AOB ∠为钝角.18.（本小题满分16分）如图所示，某公路AB 一侧有一块空地△OAB ，其中OA ＝3 km ，OB ＝3 3 km ，∠AOB ＝90°．当地政府拟在中间开挖一个人工湖△OMN ，其中M ，N 都在边AB 上（M ，N 不与A ，B 重合，M 在A ，N 之间），且∠MON ＝30°．（1）若M 在距离A 点2 km 处，求点M ，N 之间的距离；（2）为节省投入资金，人工湖△OMN 的面积要尽可能小．试确定M 的位置，使△OMN 的面积最小，并求出最小面积．19.（本小题满分16分）设1a >,函数()2(1)x fx x e a =+-.（1）证明()x f在(上仅有一个零点；（2）若曲线()x f y =在点P 处的切线与x 轴平行,且在点),(n m M 处的切线与直线OP平行,(O 是坐标原点),证明:1m ≤-20.（本小题满分16分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足111()N n n n S a λ*++=∈，λ为常数． （1）是否存在数列{}n a ，使得0λ=？若存在，写出一个满足要求的数列；若不存在，说明理由．（2）当1λ=时，求证：1111n n a a ++≥． （3）当12λ=时，求证：当3n ≥时，803n a <≤．江苏省启东中学2017-2018学年度第一学期第一次月考OABMN高三数学试题（附加题）21.（本小题满分10分，矩阵与变换） 设矩阵12M x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，2411N ⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦，若02513MN ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求矩阵M 的逆矩阵1M -．22.（本小题满分10分，坐标系与参数方程选讲）在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为cos()13πρθ+=. 以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C 的参数方程为cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）. 若直线l 与圆C 相切，求r 的值.23. （本题满分10分）从4,3,2,1,0这五个数中任选三个不同的数组成一个三位数，记Y 为所组成的三位数各位数字之和.（1）求Y 是奇数的概率；（2）求Y 的概率分布和数学期望.24．（本题满分10分）如图，在三棱锥A BCD -中，已知,ABD BCD ∆∆都是边长为2的等边三角形，E 为BD 中点，且AE ⊥平面BCD ，F 为线段AB 上一动点，记BFBAλ=． （1）当13λ=时，求异面直线DF 与BC 所成角的余弦值； （2）当CF 与平面ACD所成角的正弦值为10时，求λ的值.答案（理科）1.(),3-∞ 2.1x ∃>，23x < 3.324.20-5. 26. 2 7．198．382π9．310．50231 11.23 12.{13，56，43}． 13.(16，8－215) 14.5215. .解:1）在ABC ∆中,B B A sin )2cos(sin =-=π,由正弦定理BbA a sin sin =,得b a =B A b a ===∴,3 由余弦定理AC AB ⋅=223322cos 222222=-+=-+=⨯⨯a b c A b c -------7分2）π=+=++C B C B A 2 C B Ctan )23tan(=-+∴π 972cos 222=-+=ab c b a C 924cos 1sin 2=-=∴C C -------10分 ==∴C C C cos sin tan 724 -------14分 16.证明：⑴在四边形ABCD 中，因为BA BC =，DA DC =，所以BD AC ⊥，又平面11AA C C ⊥平面ABCD ，且平面11AA C C平面ABCD AC =，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥平面11AA C C ，又因为1AA ⊂平面11AA C C ，所以1BD AA ⊥．⑵在三角形ABC 中，因为AB AC =，且E 为BC 中点，所以BC AE ⊥， 又因为在四边形ABCD 中，3AB BC CA ===，1DA DC ==， 所以60ACB ∠=︒，30ACD ∠=︒，所以BC DC ⊥，所以AE DC ，因为DC ⊂平面11D DCC ，AE ⊄平面11D DCC ，所以AE 平面11D DCC ．17.解：（Ⅰ）因为2ABF ∆为正三角形，所以22AF BF =∴AB x ⊥轴2122,2b AB F F a==且有123AB F F =，所以2=220a -=解得a=b =故椭圆的标准方程为22132x y +=………………6分（Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y，因为0e <<1c =，所以a > ① 当直线AB 与x 轴垂直时，可证tan ∠AOB>1AOB ∴∠为钝角.………………………8分②当直线AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程为：(1)y k x =+，代入22221x y a b+=，整理得：2222222222()20b a k x k a x a k a b +++-=，22122222a k x x b a k -+=+，222212222a k a b x x b a k -=+1212OA OB x x y y ⋅=+212121212(1)(1)x x y y x x k x x +=+++ 2221212(1)()x x k k x x k =++++22222242222222()(1)2()a k ab k a k k b a k b a k -+-++=+2222222222()k a b a b a b b a k +--=+24222222(31)k a a a b b a k -+--=+………………12分令42()31m a a a =-+-，可证()0m a <， AOB ∴∠恒为钝角.………………14分18.解：（1）在△OAB 中，因为OA ＝3，OB ＝33，∠AOB ＝90°，所以∠OAB ＝60°．在△OAM 中，由余弦定理得OM 2＝AO 2＋AM 2－2AO ·AM ·cos A ＝7，所以OM ＝7，所以cos ∠AOM ＝OA 2＋OM 2－AM 22OA ·OM ＝277，在△OAN 中，sin ∠ONA ＝sin(∠A ＋∠AON )＝ sin(∠AOM ＋90°)＝cos ∠AOM ＝277．在△OMN 中，由MN sin30°＝OM sin ∠ONA ，得MN ＝7277×12＝74．（2）解法1：设AM ＝x ，0＜x ＜3．在△OAM 中，由余弦定理得OM 2＝AO 2＋AM 2－2AO ·AM ·cos A ＝x 2－3x ＋9，所以OM ＝x 2－3x ＋9，所以cos ∠AOM ＝OA 2＋OM 2－AM 22OA ·OM ＝6－x2x 2－3x ＋9， 在△OAN 中，sin ∠ONA ＝sin(∠A ＋∠AON )＝ sin(∠AOM ＋90°)＝cos ∠AOM ＝6－x2x 2－3x ＋9． 由ON sin ∠OAB ＝OAsin ∠ONA，得ON ＝36－x2x 2－3x ＋9·32＝33x 2－3x ＋96－x． 所以S △OMN ＝12OM ·ON ·sin ∠MON ＝12·x 2－3x ＋9·33x 2－3x ＋96－x ·12＝33(x 2－3x ＋9)4(6－x )，0＜x ＜3．令6－x ＝t ，则x ＝6－t ，3＜t ＜6，则S △OMN ＝33(t 2－9t ＋27)4t ＝334(t －9＋27t )≥334·(2t ·27t－9)＝27(2－3)4． 当且仅当t ＝27t ，即t ＝33，x ＝6－33时等号成立，S △OMN 的最小值为27(2－3)4．所以M 的位置为距离A 点6－3 3 km 处，可使△OMN 的面积最小，最小面积是 27(2－3) 4km 2． 解法2：设∠AOM ＝θ，0＜θ＜π3在△OAM 中，由OM sin ∠OAB ＝OAsin ∠OMA，得OM ＝332sin(θ＋π3)． 在△OAN 中，由ON sin ∠OAB ＝OA sin ∠ONA ，得ON ＝332sin(θ＋π2)＝332cos θ．所以S △OMN ＝12OM ·ON ·sin ∠MON ＝12·332sin(θ＋π3)·332cos θ·12＝2716sin(θ＋π3)cos θ＝278sin θcos θ＋83cos 2θ＝274sin2θ＋43cos2θ＋43＝274sin2θ＋43cos2θ＋43＝278sin(2θ＋π3)＋43，0＜θ＜π3．当2θ＋π3＝π2，即θ＝π12时，S △OMN 的最小值为27(2－3) 4．所以应设计∠AOM ＝π12，可使△OMN 的面积最小，最小面积是27(2－3) 4 km 2．19.解：（1）f'（x ）=e x（x 2+2x+1）=e x（x+1）2∴f ′（x ）≥0，-------2分 ∴f （x ）=（1+x 2）e x ﹣a 在（﹣∞，+∞）上为增函数． ∵a ＞1．∴1﹣a ＜0又f （0）=1﹣a ，∴f （0）＜0．())1(111-=-=---a a ea a aea f1011>∴>--a ea ()01>-∴a f，()()010<-⋅a ff()1,00-∈∃∴a x 使得()00=x f∴f （x ）在（﹣∞，+∞）上有且只有一个零点--------------------7分 （2）证明：f'（x ）=e x（x+1）2，设点P （x 0，y 0）则）f'（x ）=e x0（x 0+1）2，∵y=f （x ）在点P 处的切线与x 轴平行，∴f'（x 0）=0，即：e x0（x 0+1）2=0， ∴x 0=﹣1-------------9分将x 0=﹣1代入y=f （x ）得y 0=．∴，∴------11分令；g （m ）=e m﹣（m+1）g （m ）=e m﹣（m+1）， 则g'（m ）=e m﹣1，由g'（m ）=0得m=0．当m ∈（0，+∞）时，g'（m ）＞0当m ∈（﹣∞，0）时，g'（m ）＜0 ∴g （m ）的最小值为g （0）=0 ------------13分 ∴g （m ）=e m﹣（m+1）≥0∴e m≥m+1∴e m（m+1）2≥（m+1）3即：∴m ≤--------------------------------16分20.解：（1）若0λ=，则1110n n S a ++=，即1n n S a +=-，即10n S +=， 则230(2)n S S S n n ====∈≥N,，所以不存在数列{}n a 使得0λ=．（2）由1111n n S a ++=得111n n n a S a ++=-，当2n ≥时，11n n n a S a -=-，两式相减得1111n n n n n a a a a a ++=---， 即21111n n n n a a a a ++=--，12111n n n n a a a a ++--=，211111n n n a a a +-=-，2111111n n n a a a ++=+>， 当1n =时，12111S a +=，即12111a a +=，综上，1111n n a a ++≥． （3）证1：由1111()2n n n N S a *++=∈得1122n n n a S a ++=-， 当2n ≥时，122nn n a S a -=-，两式相减得112222n n n n na a a a a ++=---， 解得212224n n n n a a a a +=-+，所以当3n ≥时，21211224n n n n a a a a ---=-+，因为2211124(1)30n n n a a a ----+=-+>， 又由1111()2n n n N S a *++=∈可见210n a ->，所以0n a >； 另一方面，2211211288(4)03243n n n n n a a a a a ----≤⇔≤⇔-≥-+，故803n a <≤．证2：由1111()2n n n N S a *++=∈得1122n n n a S a ++=-，122n n n S a S +=-， 所以当3n ≥时，1121211121121111122()22()222222422n n n n n n n n n n n n n n n n a a S S a a a a a S S a a a a a ---------------++-====-+--++--，下同证1.附加题答案21.解：因为02513MN ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，所以25,413.x y x y -=⎧⎨-=⎩ 所以4,3x y ==；……………5分矩阵1243M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵132554155M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦. ……………10分 22.解由题意得直线的直角坐标方程20x --=， ………4分圆C 直角坐标方程222x y r +=. ………8分则1r ==. ……………10分 23.解：连接CE ，以,,EB EC EA 分别为,,x y z 轴，建立如图空间直角坐标系，则(()(),1,0,0,,(1,0,0)A B C D -，因为F 为线段AB 上一动点，且BF BAλ=，则(=()BF BA λλλ=-=-，所以(1)F λ-. （1）当13λ=时，2(3F，53(,0,),(1,3DF CB ==-，所以5cos ,56DF CB <>==； (4)分 （2）(1,)CF λ=-，设平面ACD 的一个法向量为n =(),,x y z由nDA ⊥,n DC ⊥得()(()(),,0,,0x y z x y z ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，化简得00x x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，取n )1,1=--设CF 与平面ACD 所成角为θ，则sin |cos ,|CF n θ=<>==. 解得12λ=或2λ=（舍去），所以12λ=. …………10分24.解：记“Y 是奇数”为事件A .能组成的三位数的个数为48，Y 是奇数的个数为28. 所以()1274828==A P . 答：Y 是奇数的概率为127. （2）Y 的可能取值为9,8,7,6,5,4,3.当3=Y 时，组成的三位数只能是2,1,0三个数字组成，所以()1214843===Y P ， 同理可得： ()1214==Y P ，()615==Y P ，()2456==Y P ， ()2457==Y P ，()818==Y P ，()819==Y P . 所以Y 的分布列为：Y 的数学期望：()4258198182457245661512141213=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=Y E .。

2017-2018学年江苏省南通市启东中学高三（上）期初数学试卷一．填空题1．（3分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0，x∈Z}，集合B={x|x＞0}，则集合A∩B=．2．（3分）从1，2，3，4，5这5个数字中任取2个数字，这2个数字之和为偶数的概率为．3．（3分）函数y=lnx﹣x的单调递增区间为．4．（3分）已知函数f（x）=的定义域是一切实数，则m的取值范围是．5．（3分）若f（x）=2x+2﹣x lga是奇函数，则实数a=．6．（3分）若cos（﹣θ）=，则cos（+θ）﹣sin2（θ﹣）=．7．（3分）直线y=kx与曲线y=2e x相切，则实数k=．8．（3分）已知f（x）=的最大值和最小值分别是M和m，则M+m=．9．（3分）设实数a＞1，b＞1．则“a＜b”是“lna﹣lnb＞a﹣b”成立的条件．（请用“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中之一填空．）充要．10．（3分）设函数f（x）在（0，+∞）内可导，且f（e x）=x+e x，则f′（1）=．11．（3分）已知O是△ABC外接圆的圆心，若4+5+6=，则cosC=．12．（3分）二次函数f（x）满足f（3﹣x）=f（3+x），又f（x）是[0，3]上的增函数，且f（a）≥f（0），那么实数a的取值范围是．13．（3分）已知函数f（x）=e|x|，将函数f（x）的图象向右平移3个单位后，再向上平移2个单位，得到函数g（x）的图象，函数h（x）=若对于任意的x∈[3，λ]（λ＞3），都有h（x）≥g（x），则实数λ的最大值为．14．（3分）已知函数f（x）=Asin（x+θ）﹣cos cos（﹣）（其中A为常数，θ∈（﹣π，0），若实数x1，x2，x3满足；①x1＜x2＜x3，②x3﹣x1＜2π，③f（x1）=f（x2）=f（x3），则θ的值为．二.计算题15．已知命题p：∀x∈[2，4]，x2﹣2x﹣2a≤0恒成立，命题q：f（x）=x2﹣ax+1在区间上是增函数．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．16．设事件A表示“关于x的一元二次方程x2+ax+b2=0有实根”，其中a，b为实常数．（Ⅰ）若a为区间[0，5]上的整数值随机数，b为区间[0，2]上的整数值随机数，求事件A发生的概率；（Ⅱ）若a为区间[0，5]上的均匀随机数，b为区间[0，2]上的均匀随机数，求事件A发生的概率．17．已知向量．（1）若，求证：（2）设，若，求α，β的值．18．已知函数f（x）=（a2﹣3a+3）a x是指数函数，（1）求f（x）的表达式；（2）判断F（x）=f（x）﹣f（﹣x）的奇偶性，并加以证明（3）解不等式：log a（1﹣x）＞log a（x+2）19．如图，OA是南北方向的一条公路，OB是北偏东45°方向的一条公路，某风景区的一段边界为曲线C．为方便游客光，拟过曲线C上的某点分别修建与公路OA，OB垂直的两条道路PM，PN，且PM，PN的造价分别为5万元/百米，40万元/百米，建立如图所示的直角坐标系xOy，则曲线符合函数y=x+（1≤x ≤9）模型，设PM=x，修建两条道路PM，PN的总造价为f（x）万元，题中所涉及的长度单位均为百米．（1）求f（x）解析式；（2）当x为多少时，总造价f（x）最低？并求出最低造价．20．已知a＞0，且a≠1，函数f（x）=a x﹣1，g（x）=﹣x2+xlna．（1）若a＞1，证明函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数；（2）求函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣1，1]上的最大值；（3）若函数F（x）的图象过原点，且F′（x）=g（x），当a＞e时，函数F（x）过点A（1，m）的切线至少有2条，求实数m的值．2017-2018学年江苏省南通市启东中学高三（上）期初数学试卷参考答案与试题解析一．填空题1．（3分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0，x∈Z}，集合B={x|x＞0}，则集合A∩B={1，2} ．【解答】解：求解不等式x2﹣2x﹣3＜0可得：﹣1＜x＜3，结合题意可得：A={0，1，2}，利用交集的定义可得：A∩B={1，2}．故答案为：{1，2}．2．（3分）从1，2，3，4，5这5个数字中任取2个数字，这2个数字之和为偶数的概率为．【解答】解：从1，2，3，4，5这5个数字中任取2个数字，有1、2，1、3，1、4，1、5，2、3，2、4，2、5，3、4，3、5，4、5；共10种情况．其中2个数字之和为偶数即取出的两个数均为奇数或偶数的情况有：1、3，1、5，3、5，2、4，共4种情况；故这2个数字之和为偶数的概率为=；故答案为：．3．（3分）函数y=lnx﹣x的单调递增区间为（0，1] ．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞）y′=﹣1=，令y′≥0得0＜x≤1，故函数的单调递增区间是（0，1]，故答案为：（0，1]．4．（3分）已知函数f（x）=的定义域是一切实数，则m的取值范围是0≤m≤4．【解答】解：∵函数f（x）=的定义域是一切实数，∴mx2+mx+1≥0对一切x∈R恒成立，当m=0时，上式变为1＞0，恒成立，当m≠0时，必有，解之可得0＜m≤4，综上可得0≤m≤4故答案为0≤m≤45．（3分）若f（x）=2x+2﹣x lga是奇函数，则实数a=．【解答】解：函数f（x）=2x+2﹣x lga是奇函数∴f（x）+f（﹣x）=0，∴2x+2﹣x lga+2﹣x+2x lga=0，即2x+2﹣x+lga（2x+2﹣x）=0∴lga=﹣1∴a=故答案为：．6．（3分）若cos（﹣θ）=，则cos（+θ）﹣sin2（θ﹣）=﹣．【解答】解：∵cos（θ﹣）=cos（﹣θ）=，∴sin2（θ﹣）=1﹣cos2（﹣θ）=，∴cos（+θ）=cos（π﹣+θ）=﹣cos（﹣θ）=﹣，∴cos（+θ）﹣sin2（θ﹣）=﹣﹣=﹣．故答案是：﹣．7．（3分）直线y=kx与曲线y=2e x相切，则实数k=2e．【解答】解：设切点为（x0，y0），则y0=2e x0，∵y′=（2e x）′=2e x，∴切线斜率k=2e x0，又点（x0，y0）在直线上，代入方程得y0=kx0，即2e x0=2e x0 x0，解得x0=1，∴k=2e．故答案为：2e．8．（3分）已知f（x）=的最大值和最小值分别是M和m，则M+m=4．【解答】解：f（x）===2+，设g（x）=，则g（﹣x）=﹣=﹣g（x），即g（x）为奇函数，可设g（x）的最大值为t，则最小值为﹣t，可得M=t+2，m=﹣t+2，即有M+m=4．故答案为：4．9．（3分）设实数a＞1，b＞1．则“a＜b”是“lna﹣lnb＞a﹣b”成立的充要条件．（请用“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中之一填空．）充要．【解答】解：设f（x）=lnx﹣x，x＞1，则；∴f（x）在（1，+∞）上单调递减；∴a＜b⇔f（a）＞f（b）；即a＜b⇔lna﹣a＞lnb﹣b；∴a＜b⇔lna﹣lnb＞a﹣b；∴“a＜b”是“lna﹣lnb＞a﹣b”的充要条件．故答案为：充要．10．（3分）设函数f（x）在（0，+∞）内可导，且f（e x）=x+e x，则f′（1）=2．【解答】解：函数f（x）在（0，+∞）内可导，且f（e x）=x+e x，令e x=t，则x=lnt，故有f（t）=lnt+t，即f（x）=lnx+x，∴f′（x）=+1，故f′（1）=1+1=2．故答案为：2．11．（3分）已知O是△ABC外接圆的圆心，若4+5+6=，则cosC=．【解答】解：由O是△ABC外接圆的圆心，则丨丨=丨丨=丨丨=R，由4+5+6=，且=﹣（4+5）．平方可得R2=（16R2+40R2cos∠AO，B+25R2），解得：cos∠AOB=﹣，由∠ACB=∠AOB，则cos∠ACB=cos∠AOB==，则cosC=，故答案为：．12．（3分）二次函数f（x）满足f（3﹣x）=f（3+x），又f（x）是[0，3]上的增函数，且f（a）≥f（0），那么实数a的取值范围是[0，6] ．【解答】解：∵f（x）满足f（3﹣x）=f（3+x），∴对称轴是x=3，又f（x）在[0，3]上是增函数，则抛物线的开口向下，且f（x）在[3，6]上是减函数，∵f（a）≥f（0），则f（a）≥f（6），所以根据二次函数的单调性并结合图象（示意图）可得：0≤a≤6．故答案为：[0，6]．13．（3分）已知函数f（x）=e|x|，将函数f（x）的图象向右平移3个单位后，再向上平移2个单位，得到函数g（x）的图象，函数h（x）=若对于任意的x∈[3，λ]（λ＞3），都有h（x）≥g（x），则实数λ的最大值为ln2+4．【解答】解：由f（x）=e|x|的图象向右平移3个单位后可得：e|x﹣3|，再向上平移2个单位，可得e|x﹣3|+2=g（x）．当x∈[3，λ]（λ＞3）时，g（x）是增函数，∴g（x）max=g（λ）=eλ﹣3+2．函数h（x）=，当x∈[3，5]时，h（x）=e（x﹣1）+2是增函数，此时：5≥λ＞3；那么：h（x）min=h（3）=2e+2．则eλ﹣3+2≤2e+2．解得：λ≤ln2+4∵5≥λ＞3；∴实数λ的最大值为ln2+4．当x∈（5，﹣∞）时，h（x）=4e6﹣x+2是减函数，此时：5＜λ；那么：2＜h（x）＜4e+2．则eλ﹣3+2≤2．解得：λ∈Φ，综上可得：实数λ的最大值为ln2+4．14．（3分）已知函数f（x）=Asin（x+θ）﹣cos cos（﹣）（其中A为常数，θ∈（﹣π，0），若实数x1，x2，x3满足；①x1＜x2＜x3，②x3﹣x1＜2π，③f（x1）=f（x2）=f（x3），则θ的值为﹣．【解答】解：∵f（x）=Asin（x+θ）﹣cos cos（﹣）（其中A为常数，θ∈（﹣π，0），∴﹣=Acos（x+θ）+，∵实数x1，x2，x3满足；①x1＜x2＜x3，②x3﹣x1＜2π，③f（x1）=f（x2）=f（x3），∴由题设条件①②③，得：x∈[x1，x3]时，f′（x）有两个零点，当cos（x+θ）=ksin（x﹣）时，f′（x）在[x1，x3]这个小于2π的区间才有两个零点，即x+θ=x﹣++kπ，∵θ∈（﹣π，0），∴=﹣．故答案为：﹣．二.计算题15．已知命题p：∀x∈[2，4]，x2﹣2x﹣2a≤0恒成立，命题q：f（x）=x2﹣ax+1在区间上是增函数．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．【解答】解：∀x∈[2，4]，x2﹣2x﹣2a≤0恒成立，等价于a≥x2﹣x在x∈[2，4]恒成立，而函数g（x）=x2﹣x在x∈[2，4]递增，其最大值是g（4）=4，∴a≥4，若p为真命题，则a≥4；f（x）=x2﹣ax+1在区间上是增函数，对称轴x=≤，∴a≤1，若q为真命题，则a≤1；由题意知p、q一真一假，当p真q假时，a≥4；当p假q真时，a≤1，所以a的取值范围为（﹣∞，1]∪[4，+∞）．16．设事件A表示“关于x的一元二次方程x2+ax+b2=0有实根”，其中a，b为实常数．（Ⅰ）若a为区间[0，5]上的整数值随机数，b为区间[0，2]上的整数值随机数，求事件A发生的概率；（Ⅱ）若a为区间[0，5]上的均匀随机数，b为区间[0，2]上的均匀随机数，求事件A发生的概率．【解答】解：（Ⅰ）当a∈{0，1，2，3，4，5}，b∈{0，1，2}时，共可以产生6×3=18个一元二次方程．若事件A发生，则a 2﹣4b2≥0，即|a|≥2|b|．又a≥0，b≥0，所以a≥2b．（3分）从而数对（a，b）的取值为（0，0），（1，0），（2，0），（2，1），（3，0），（3，1），（4，0），（4，1），（4，2），（5，0），（5，1），（5，2），共12组值．所以P（A）=．（5分）（Ⅱ）据题意，试验的全部结果所构成的区域为D={（a，b）|0≤a≤5，0≤b ≤2}，构成事件A的区域为A={（a，b）|0≤a≤5，0≤b≤2，a≥2b}．（8分）在平面直角坐标系中画出区域A、D，如图，其中区域D为矩形，其面积S（D）=5×2=10，区域A为直角梯形，其面积S（A）=．（11分）所以P（A）=．（12分）17．已知向量．（1）若，求证：（2）设，若，求α，β的值．【解答】解：（1）∵，∴=2，又=cos2α+sin2α=1，=cos2β+sin2β=1，∴=0，∴．（2）∵=（cosα+cosβ，sinα+sinβ）=（0，1），∴，∵0＜α＜β＜π，∴α+β=π，∴sinα=sinβ=，∴，．18．已知函数f（x）=（a2﹣3a+3）a x是指数函数，（1）求f（x）的表达式；（2）判断F（x）=f（x）﹣f（﹣x）的奇偶性，并加以证明（3）解不等式：log a（1﹣x）＞log a（x+2）【解答】解：（1）a2﹣3a+3=1，可得a=2或a=1（舍去），∴f（x）=2x；（2）F（x）=2x﹣2﹣x，∴F（﹣x）=﹣F（x），∴F（x）是奇函数；（3）不等式：log2（1﹣x）＞log2（x+2），即1﹣x＞x+2＞0，∴﹣2＜x＜﹣，解集为{x|﹣2＜x＜﹣}．19．如图，OA是南北方向的一条公路，OB是北偏东45°方向的一条公路，某风景区的一段边界为曲线C．为方便游客光，拟过曲线C上的某点分别修建与公路OA，OB垂直的两条道路PM，PN，且PM，PN的造价分别为5万元/百米，40万元/百米，建立如图所示的直角坐标系xOy，则曲线符合函数y=x+（1≤x ≤9）模型，设PM=x，修建两条道路PM，PN的总造价为f（x）万元，题中所涉及的长度单位均为百米．（1）求f（x）解析式；（2）当x为多少时，总造价f（x）最低？并求出最低造价．【解答】解：（1）在如图所示的直角坐标系中，因为曲线C的方程为，所以点P坐标为，直线OB的方程为x﹣y=0，…（2分）则点P到直线x﹣y=0的距离为，…（4分）又PM的造价为5万元/百米，PN的造价为40万元/百米．则两条道路总造价为．…（8分）（2）因为，所以，…（10分）令f'（x）=0，得x=4，列表如下：所以当x=4时，函数f（x）有最小值，最小值为．…（13分）答：（1）两条道路PM，PN总造价f（x）为（1≤x≤9）；（2）当x=4时，总造价最低，最低造价为30万元．…（14分）（注：利用三次均值不等式，当且仅当，即x=4时等号成立，照样给分．）20．已知a＞0，且a≠1，函数f（x）=a x﹣1，g（x）=﹣x2+xlna．（1）若a＞1，证明函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数；（2）求函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣1，1]上的最大值；（3）若函数F（x）的图象过原点，且F′（x）=g（x），当a＞e时，函数F（x）过点A（1，m）的切线至少有2条，求实数m的值．【解答】解：（1）h（x）=f（x）﹣g（x）=a x﹣1+x2﹣xlna，则h′（x）=（a x﹣1）lna+2x，∵a＞1，∴当x＞0时，a x﹣1＞0，lna＞0，∴h′（x）＞0，即此时函数h（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数．（2）由（1）知，当a＞1时，函数h（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数，则在区间（﹣∞，0）上是单调减函数，同理当0＜a＜1时，h（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数，则在区间（﹣∞，0）上是单调减函数，即当a＞0，且a≠1时，h（x）在区间[﹣1，0）上是减函数，在区间（[0，1）上是增函数，当﹣1≤x≤1时，h（x）的最大值为h（﹣1）和h（1）中的最大值，∵h（1）﹣h（﹣1）=（a﹣lna）﹣（+lna）=a﹣﹣2lna，∴令G（a）=a﹣﹣2lna，a＞0，则G′（a）=1+﹣=（1﹣）2≥0，∴G（a）=a﹣﹣2lna，在a＞0上为增函数，∵G（1）=1﹣1﹣2ln1=0，∴a＞1时，G（a）＞0，即h（1）＞h（﹣1），最大值为h（1）=a﹣lna，当0＜a＜1时，G（a）＜0，即h（﹣1）＞h（1），最大值为h（﹣1）=+lna．（3）∵F（x）的图象过原点，且F′（x）=g（x）=﹣x2+xlna，∴设F（x）=﹣x3+x2lna+c，∵F（x）的图象过原点，∴F（0）=0，即c=0，则F（x）=﹣x3+x2lna．设切点为B（x0，﹣x03+x02lna），则B处的切线方程为：y﹣（﹣x03+x02lna）=（﹣x02+x0lna）（x﹣x0），将A的坐标代入得m﹣（﹣x03+x02lna）=（﹣x02+x0lna）（1﹣x0），即m=x03﹣（1+lna）x02+x0lna （※），则原命题等价为关于x0的方程（※）至少有2个不同的解，设φ（x）=x3﹣（1+lna）x2+xlna，则φ′（x）=2x02﹣（2+lna）x+lna=（x﹣1）（2x﹣lna），∵a＞e，∴＞1，当x∈（﹣∞，1）和（，+∞）时，φ′（x）＞0，此时函数φ（x）为增函数，当x∈（1，）时，φ′（x）＜0，此时函数φ（x）为减函数，∴φ（x）的极大值为φ（1）=﹣1﹣lna+lna=lna﹣，φ（x）的极小值为φ（lna）=ln3a﹣ln2a（1+lna）+ln2a=﹣ln3a+ln2a，设t=lna，则t＞，则原命题等价为对t＞恒成立，∴由m≤t﹣得m≤，∵s（t）=﹣t3+t2的最大值为s（4）=，∴由m≥﹣t3+t2，得m≥，即m=，综上所述当a＞e时，函数F（x）过点A（1，m）的切线至少有2条，此时实数m的值为．。

一、填空题（本大题共14小题，每题5分，满分70分．） 1.已知{}20,1,x x ∈，则实数x 的值是 .【答案】1- 【解析】试题分析:因1,0≠≠x x ,故1-=x ,故应填答案1-. 考点：元素与集合的关系及运用．2.命题“20x x ∀∈≥R ，”的否定是 . 【答案】2,0x R x ∃∈< 【解析】试题分析:因该命题的形式的全称命题,故其否定形式是存在性命题,故应填答案2,0x R x ∃∈<.考点：含一个量词的命题的否定．3.已知向量(1,)(3,2)a m b =-，=，且()a b b ⊥+，则m = . 【答案】8=m考点：向量的坐标形式及数量积积公式的运用． 4.函数()f x =定义域是 .【答案】1(2,)(0,)2+∞ 【解析】试题分析:由题设可得⎩⎨⎧>>-001)(log 22x x ,解之得210<<x 或2>x ,故应填答案1(2,)(0,)2+∞. 考点：对数函数的单调性及运用．5.将函数sin(2)16y x π=--的图像向左平移4π个单位，再向上平移1个单位，所得图像的函数解析式为 . 【答案】sin(2)3y x π=+也可cos(2)6y x π=-.【解析】考点：正弦函数的图象和性质及运用．6.已知集合A={}5x x >,集合B={}x x a >，若命题“x A ∈ ”是命题“x B ∈ ”充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 . 【答案】5a < 【解析】试题分析:因命题“x A ∈ ”是命题“x B ∈ ”充分不必要条件,故5<a ,故应填答案5a <. 考点：充分必要条件及运用．7.函数2()1f x x ax =+-，若对于[,1]x a a ∈+恒有()0f x <，则a 的取值范围 .【答案】0a << 【解析】试题分析:由题设可得0220232222032210)1(0)(22<<-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-<<-⇒⎪⎩⎪⎨⎧<+<⇒⎩⎨⎧<+<a a a a a a a f a f .故应填答案0a <<. 考点：二次函数的图象和性质的运用．8.已知ABC ∆中，角A B C ,,的对边分别为a b c ,,，且22265tan acB a c b =+-，则sin B 的值是．【答案】35【解析】试题分析:因B ac b c a cos 2222=-+,故由22265tan acB a c b =+-可得BB cos 3tan 5=,即53sin =B .故应填答案35.考点：余弦定理及同角关系得的运用． 9.设α为锐角，若【答案】2425考点：三角变换公式及运用．10.如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，90ADC ∠=︒，AB = 3，AD = 2，E 为BC 中点，若→AB ·→AC = 3，则→AE ·→BC = ．【答案】3- 【解析】试题分析: 以A 点为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ,设x CD =，则)2,(),0,3(x ==，由33==⋅x 可解得1=x ．则)2,2(),22,2(-==,所以32224-=⨯+-=⋅,故应填答案3-.考点：向量的坐标形式及数量积的运用．【易错点晴】本题借助题设条件,巧妙建构平面直角坐标系xOy ,从而将问题合理转化为向量的坐标运算.求解时以A 点为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ,设x CD =，则)2,(),0,3(x AC AB ==，由33==⋅x AC AB 可解得1=x ．所以)2,2(),22,2(-==,所以32224-=⨯+-=⋅,从而使得问题简捷巧妙地获解.11.已知函数)(x f 在定义域]3,2[a -上是偶函数，在]3,0[上单调递减， 并且，则m 的取值范围是 .【答案】221≤≤-m【解析】考点：函数的奇偶性与单调性的综合运用．【易错点晴】函数的单调性奇偶性是函数的基本性质,也是高中数学的重要内容和高考重点考查的知识和内容.本题再求解时,先借助偶函数的定义的内涵建立方程032=+-a 求出5=a ,再借助函数的单调性将不等式)22()1(22-+->--m m f m f 问题化为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-+-<--≤-+-≤-≤--≤-22102230132222m m m m m m ,最后通过解不等式组使得问题获解. 12.已知函数2()()2x f x kx k R x =-∈+有两个零点，则k 的取值范围 .【答案】0<k 或10<<k 【解析】考点：函数零点的概念及运用．【易错点晴】数形结合的数学思想是高中数学中四大数学思想之一,以形思数, 以数助形是数学解题的重要而有效的工具和思路.本题就是以含参数k 的函数)(x f 解析式为背景,考查的是函数零点的概念及运用数形结合思想分析问题解决问题的能力.求解时先将问题转化为方程21||+=x x k 有一个零点,进而转化为方程⎪⎩⎪⎨⎧<-->+=0,20,2122x x x x x x k 只有一个零点.然后结合图象建立不等式,通过解不等式使得问题获解. 13.若曲线ln y a x =与曲线212y x e =在它们的公共点(),P s t 处具有公共切线，则ts= .【答案】t s = 【解析】考点：导数的几何意义及运用．【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含参数a 的函数)(x f 解析式为背景,考查的是导数的几何意义的综合运用和分析问题解决问题的能力.本题求解时先依据题设建立方程a ss e=；再运用题设得到方程22lns ea s =,将问题化为解方程组的问题. 将2s ea =代入22lns ea s =得到1a =.所以12t =，s =，即t s =,从而使得问题获解.14.设函数()(21)xf x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a的取值范围是 . 【答案】)1,23[e【解析】试题分析:设a ax y x e x g x-=-=),12()(，由题知存在唯一的整数0x ，使得)(0x g 在直线a ax y -=的下．因为)12()(/+=x e x g x ，所以当21-<x 时，0)(/<x g ，当21->x 时，0)(/>x g ，所以当21-=x 时，212)]([min --=e x g ，当0=x 时，03)1(,1)(>=-=e g x g ，直线a ax y -=恒过)0,1(，且斜率为a ，故1)0(-=>-g a ，且a a eg --≥-=--13)1(，解得123<≤a e ,故应填答案)1,23[e. 考点：导数在研究函数的单调性中的运用．【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含参数a 的函数)(x f 解析式为背景,考查的是导数知识在研究函数单调性和最值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力.本题求解时先将问题化为存在唯一的整数0x ，使得)(0x g 在直线a ax y -=的下方,求解运用导数的有关知识求函数)12()(-=x e x g x的最小值,然后运用分类整合的数学思想建立不等式,从而求出参数a 的取值范围.三、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.(本小题满分14分)已知命题{}|11x x x ∃∈-<<,使等式20x x m --=成立是真命题. （1）求实数m 的取值集合M .（2）设不等式()(2)0x a x a -+-<的解集为N ，若x N ∈是x M ∈的必要条件，求a 的取值范围.【答案】(1)1|24M m m ⎧⎫=-≤<⎨⎬⎩⎭；(2)94a >或14a <-.【解析】考点：命题的真假及充分必要条件的等价性等有关知识的综合运用．16．(本小题满分14分)在ABC ∆中，三个内角分别为A,B,C ，已知sin(A )2cosA 6π+=．（1）求角A 的值；（2）若(0,)3B π∈，且4cos()5A B -=，求sinB ．【答案】(1) A 3π=；(2)10334-.【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用三角变换的公式求解；(2)借助题设运用正弦定理和三角变换公式探求. 试题解析：（1）因为sin(A )2cosA 6π+=，得1A cos A 2cos A 2+=，即s i n Aco s A ，因为()A 0,∈π，且cosA 0≠，所以tan A =A 3π=. …………4分（2）因为22sin C cos C 1+=，cosC =()C 0,∈π，所以sin C 由正弦定理知a csin A sinC =，即32a sin A c sinC ===，即230a c -=.…………7分 因为(0,)3B π∈，所以033A B B ,ππ⎛⎫-=-∈ ⎪⎝⎭，因为22sin ()cos ()1A B A B -+-=，所以3sin()5A B -=， …………10分 所以()()sin sin sin cos()cos sin()B A A B A A B A A B =--=---=.……14分 考点：正弦定理和三角变换的公式等有关知识的综合运用．17.(本小题满分14分) 已知函数12()2x x mf x n+-+=+（其中,m n 为参数）.（1）当1m n ==时，证明：()f x 不是奇函数； （2）如果()f x 是奇函数，求实数,m n 的值；（3）已知0,0m n >>，在（2）的条件下，求不等式1(())()04f f x f +<的解集.【答案】(1)证明见解析；(2)12m n =-⎧⎨=-⎩或12m n =⎧⎨=⎩；（3）2(,log 3)-∞．【解析】（2）∵()f x 是奇函数时，()()f x f x -=-，即112222x x x x m mn n--++-+-+=++对定义域内任意实数x 成立，化简整理得关于x 的恒等式2(2)2(24)2(2)0xx m n mn m n -⋅+-⋅+-=，∴20240m n mn -=⎧⎨-=⎩，即12m n =-⎧⎨=-⎩或12m n =⎧⎨=⎩………………………………8分（注：少一解扣1分）考点：函数的奇偶性及单调性等有关知识的综合运用．18.（本小题满分16分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos C ＝310.（1）若CB →·CA →＝92，求c 的最小值；（2）设向量x ＝(2sin B ，－3)，y ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos2B ，1－2sin 2B 2，且x∥y ，求sin(B －A)的值． 【答案】(1)21；(2)203391-.【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用向量的数量积公式及余弦定理求解；(2)借助题设运用向量平行建立方程,再利用三角变换公式探求. 试题解析：(1) ∵ CB →·CA →＝92，∴ abcosC＝92，∴ ab＝15…………………..3分∴ c 2＝a 2＋b 2－2abcosC≥2ab－2ab·310＝21(当且仅当a ＝b 时取等号)．∵ c＞0分∴ c 分考点：三角变换的公式余弦定理向量的数量积公式等有关知识的综合运用．19．（本小题满分16分）如图，某广场中间有一块边长为2百米的菱形状绿化区ABCD ，其中BMN 是半径为1百米的扇形，3π2=∠ABC ．管理部门欲在该地从M 到D 修建小路：在弧MN 上选一点P （异于M 、N 两点），过点P 修建与BC 平行的小路PQ ．问：点P 选择在何处时，才能使得修建的小路MP与PQ 及QD的总长最小？并说明理由．【答案】当BP BC ⊥时，总路径最短. 【解析】试题分析：借助题设条件建立函数关系,再运用三角变换的公式求解和探求. 试题解析：连接BP , 过P 作1PP BC ⊥垂足为1P , 过Q 作1QQ BC ⊥垂足为1Q，)320(sin 3cos 432)(πθθθθπθ<<--+-=f ……………………10分1)3sin(21cos 3sin )('--=--=πθθθθf ………………12分令()'0f θ=，π2θ=当π02θ<< 时，()'0f θ<当π2π23θ<< 时，()'0f θ> …………………………14分 所以当π2θ=时，总路径最短. 答：当BP BC ⊥时，总路径最短. ……16分 考点：解三角形及三角变换的公式等有关知识的综合运用．【易错点晴】应用题是高考必考的重要题型之一,也是检测数学知识在实际问题中的的运用的一种重要题型之一.求解这类问题的一般步骤是先仔细阅读题设中的文字信息.再将问题中的数量关系找出来,通过构造数量关系构建数学模型.最后运用数知识求解数学模型,依据题设写出答案.本题是以绿化过程中的一个实际问题为背景设置了一道最值问题,求解时,先1PBP θ∠=,然后建立以为变量的函数关系式，)320(sin 3cos 432)(πθθθθπθ<<--+-=f 从而将问题进行转化求函数的最值问题.最后通过求该函数的最值,从而使得问题简捷巧妙获解.20.（本小题满分16分）已知函数()212f x x =，()lng x a x =．（1）若曲线()()y f x g x =-在1x =处的切线的方程为6250x y --=，求实数a 的值； （2）设()()()h x f x gx =+，若对任意两个不等的正数12x x ，，都有()()12122h x h x x x ->-恒成立，求实数a 的 取值范围；（3）若在[]1,e 上存在一点0x ，使得()()()()00001f x g x g x f x ''+<-'成立，求实数a 的取值范围．【答案】(1)2a =-；(2)[)1,+∞；(3)()()2,2e 1,e 1-∞-++∞-. 【解析】（3）不等式()()()()00001f x g x g x f x ''+<-'等价于00001ln a x a x x x +<-，整理得0001ln 0a x a x x +-+<．设()1ln a m x x a x x+=-+，由题意知，在[]1,e 上存在一点0x ，使得()00m x <．………10分由()2222(1)(1)(1)11x ax a x a x a a m x x x x x --+--++'=--==． 因为0x >，所以10x +>，即令()0m x '=，得1x a =+． ① 当11a +≤，即0a ≤时，()m x 在[]1,e 上单调递增，只需()120m a =+<，解得2a <-． ………………………………………………12分考点：导数的有关知识和函数的性质等有关知识的综合运用．【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含参数a 的两个函数解析式()212f x x =，()lng x a x =为背景,考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力.本题的第一问非常简单,借助题设很容易求得2a =-;第二问求解时借助题设将问题等价转化为函数()21ln 22F x x a x x =+-在()0,+∞为增函数的问题,然后通过求导运用导数的知识求出实数a 的取值范围是[)1,+∞；第三问通过构设函数()1ln a m x x a x x +=-+将问题进行转化,最后借助导数并运用导数的有关知识求得实数a 的取值范围是()()2,2e 1,e 1-∞-++∞-,从而使得问题简捷巧妙获解.。

2017-2018学年江苏省南通市启东市高三（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．1．设集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|0＜x＜4}，则A∩B=______．2．某校春季高考对学生填报志愿情况进行调查，采用分层抽样的办法抽取样本，该校共有200名学生报名参加春季高考，现抽取了一个容量为50的样本，已知样本中女生比男生多4人，则该校参加春季高考的女生共有______名．3．如果复数z=（i为虚数单位）的实部与虚部互为相反数，那么|z|=______．4．函数f（x）=ln（x﹣x2）的单调递减区间为______．5．如图是一个算法的流程图，则输出的k的值是______．6．若将甲、乙、丙三个球随机放入编号为1，2两个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则每个盒子中球数不小于其编号的概率是______．7．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3≥6，S5≤20，则a6的最大值为______．8．若α，β∈（0，），cos（α﹣）=，sin（﹣β）=﹣，则cos（α+β）的值等于______．9．设向量=（sin，cos），=（sin，cos）（n∈N+），则（•）=______．10．已知直线l：x﹣2y+m=0上存在点M满足与两点A（﹣2，0），B（2，0）连线的斜率k MA与k MB之积为﹣1，则实数m的取值范围是______．11．某工广生产一种无盖冰激凌纸筒为圆柱形，现一客户定制该圆柱纸筒，并要求该圆柱纸筒的容积为27πcm3，设该圆柱纸筒的底面半径为r，则工厂要求制作该圆柱纸筒的材料最省时，r的值为______cm．12．已知等比数列{a n}，首项a1=2，公比q=3，a p+a p+1+…+a k=2178（k＞p，p，k∈N+），则p+k=______．13．设函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣2x+b有两个零点，则参数b的取值范围是______．14．对任意实数x＞1，y＞，不等式p≤+恒成立，则实数p的最大值为______．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数f（x）=2cos2x+sin2x．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）在△ABC中，若C为锐角，f（A+B）=0，AC=2，BC=3，求AB的长．16．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是边BC上异于C的一点，AD⊥C1D．（1）求证：AD⊥平面BCC1B1；（2）如果点E是B1C1的中点，求证：平面A1EB∥平面ADC1．17．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且右准线方程为x=4．（1）求椭圆的标准方程；（2）设P（x1，y1），M（x2，y2）（y2≠y1）是椭圆C上的两个动点，点M关于x轴的对称点为N，如果直线PM，PN与x轴交于（m，0）和（n，0），问m•n是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．18．如图，某景区有一座高AD为1千米的山，山顶A处可供游客观赏日出．坡角∠ACD=30°，在山脚有一条长为10千米的小路BC，且BC与CD垂直，为方便游客，该景区拟在小路BC上找一点M，建造两条直线型公路BM和MA，其中公路BM每千米的造价为30万元，公路MA每千米的造价为60万元．（1）设∠AMC=θ，求出造价y关于θ的函数关系式；（2）当BM长为多少米时，才能使造价y最低？19．已知a＞0，且a≠1，函数f（x）=a x﹣1，g（x）=﹣x2+xlna．（1）若a＞1，证明函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数；（2）求函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣1，1]上的最大值；（3）若函数F（x）的图象过原点，且F′（x）=g（x），当a＞e时，函数F（x）过点A（1，m）的切线至少有2条，求实数m的值．20．已知等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，且数列{b n}的前n项和为S n．（1）若a1=b1=d=2，S3＜a1006+5b2﹣2016，求整数q的值；（2）若S n+1﹣2S n=2，试问数列{b n}中是否存在一点b k，使得b k恰好可以表示为该数列中连续p（p∈N，p≥2）项的和？请说明理由？（3）若b1=a r，b2=a s≠a r，b3=a t（其中t＞s＞r，且（s﹣r）是（t﹣r）的约数），证明数列{b n}中每一项都是数列{a n}中的项．[选修4-1：几何证明选讲]21．如图所示，PA，PB分别切圆O于A，B，过AB与OP的交点M作弦CD，连结PC，求证：[选修4-2：矩阵与变换]22．在平面直角坐标系xOy中，设点P（1，1）在矩阵对应的变换下得到点Q（3，7），求M﹣1．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，设直线l过点，且直线l与曲线C：ρ=asinθ（a＞0）有且只有一个公共点，求实数a的值．[选修4-5：不等式选讲]24．求函数的最大值．25．学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设ξ为选出的人中即会唱歌又会跳舞的人数，且．（1）求文娱队的队员人数；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E（ξ）．26．已知有穷数列{a n}共有m项（m≥3，m∈N*），对于每个i（i=1，2，3，…，m）均有a i∈{1，2，3}，且首项a1与末项a m不相等，同时任意相邻两项不相等．记符合上述条件的所有数列{a n}的个数为f（m）．（1）写出f（3），f（4）的值；（2）写出f（m）的表达式，并说明理由．2015-2016学年江苏省南通市启东市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．1．设集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|0＜x＜4}，则A∩B={x|0＜x≤2} ．【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|0＜x＜4}，∴A∩B={x|0＜x≤2}，故答案为：{x|0＜x≤2}2．某校春季高考对学生填报志愿情况进行调查，采用分层抽样的办法抽取样本，该校共有200名学生报名参加春季高考，现抽取了一个容量为50的样本，已知样本中女生比男生多4人，则该校参加春季高考的女生共有108名．【考点】分层抽样方法．【分析】根据样本容量和女生比男生多4人，可得样本中女生数，再根据抽取的比例可得总体中的女生人数．【解答】解：∵样本容量为50，女生比男生多4人，∴样本中女生数为27人，又分层抽样的抽取比例为=，∴总体中女生数为27×4=108人．故答案为：108．3．如果复数z=（i为虚数单位）的实部与虚部互为相反数，那么|z|=．【考点】复数求模．【分析】利用复数的运算法则及其实部与虚部互为相反数，解得a，再利用复数模的计算公式即可得出．【解答】解：复数z===的实部与虚部互为相反数，∴+=0，解得a=0．∴z=．∴|z|==．故答案为：．4．函数f（x）=ln（x﹣x2）的单调递减区间为[，）．【考点】复合函数的单调性．【分析】令t=x﹣x2＞0，求得函数的定义域，f（x）=g（t）=lnt，本题即求函数函数t在定义域内的减区间，再利用二次函数的性质可得结论．【解答】解：令t=x﹣x2＞0，求得0＜x＜1，可得函数的定义域为（0，1），f（x）=g（t）=lnt．本题即求函数t在定义域内的减区间，函数t在定义域内的减区间为[，1），故答案为：[，1）．5．如图是一个算法的流程图，则输出的k的值是4．【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，循环可得结论．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：第一次循环，s=5，k=1，第二次循环，s=13，k=2，第三次循环，s=13，k=3，第四次循环，s=29，k=4，退出循环，输出k=4．故答案为：4．6．若将甲、乙、丙三个球随机放入编号为1，2两个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则每个盒子中球数不小于其编号的概率是．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】将甲、乙、丙三个球随机放入编号为1，2两个盒子中，每个盒子的放球数量不限，先求出基本事件总数，每个盒子中球数不小于其编号的情况是1号盒中放1个，2号盒中放2个，求出有多少种放法，由此能求出每个盒子中球数不小于其编号的概率．【解答】解：将甲、乙、丙三个球随机放入编号为1，2两个盒子中，每个盒子的放球数量不限，基本事件总数n=23=8，每个盒子中球数不小于其编号的情况是1号盒中放1个，2号盒中放2个，有=3种放法，∴每个盒子中球数不小于其编号的概率：p=．故答案为：．7．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3≥6，S5≤20，则a6的最大值为10．【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列的前n项和公式得到，由此能求出a6的最大值．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3≥6，S5≤20，∴，∴，∴a6=a1+5d=﹣3（a1+d）+4（a1+2d）≤﹣3×2+4×4=10，∴a6的最大值为10．故答案为：10．8．若α，β∈（0，），cos（α﹣）=，sin（﹣β）=﹣，则cos（α+β）的值等于﹣．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】根据题意可得α﹣=±，﹣β=﹣，由此求得α+β的值，可得cos（α+β）的值．【解答】解：∵α，β∈（0，），cos（α﹣）=，sin（﹣β）=﹣，∴α﹣=±，﹣β=﹣，∴α=β=或α+β=0（舍去）．∴cos（α+β）=﹣，故答案为：﹣．9．设向量=（sin，cos），=（sin，cos）（n∈N+），则（•）=﹣1．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】化简•=cos．于是根据诱导公式可得+=+=+=…=+=0，所以（•）=+=cos+cosπ=﹣1．【解答】解：•=sin sin+cos cos=cos（﹣）=cos．∴+=cos+cos=0，同理， +=0， +=0，…+=0．∴（•）=+=cos+cosπ=﹣1．故答案为﹣1．10．已知直线l：x﹣2y+m=0上存在点M满足与两点A（﹣2，0），B（2，0）连线的斜率k MA与k MB之积为﹣1，则实数m的取值范围是[﹣2，2]．【考点】圆方程的综合应用．【分析】设出M的坐标，由k MA与k MB之积为3得到M坐标的方程，和已知直线方程联立，化为关于x的一元二次方程后由判别式大于等于0求得实数m的取值范围．【解答】解：设M（x，y），由k MA•k MB=3，得•=﹣1，即x2+y2=4．联立，得5y2﹣4my+m2﹣4=0．要使直线l：x﹣2y+m=0上存在点M满足与两点A（﹣2，0），B（2，0）连线的斜率k MA 与k MB之积为﹣1，则△=（4m）2﹣20（m2﹣4）≥0，即m2≤20．解得m∈[﹣2，2]．∴实数m的取值范围是：[﹣2，2]．故答案为：[﹣2，2]．11．某工广生产一种无盖冰激凌纸筒为圆柱形，现一客户定制该圆柱纸筒，并要求该圆柱纸筒的容积为27πcm3，设该圆柱纸筒的底面半径为r，则工厂要求制作该圆柱纸筒的材料最省时，r的值为3cm．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】设底面半径为r，高为h，则由题意得S=2πrh+πr2=，由此利用导数能求出制作该圆柱纸筒的材料最省时，r的值．【解答】解：设底面半径为r，高为h，则由题意得h=，∴S=2πrh+πr2=，∴S′=，当0＜r＜3时，S′＜0，当r＞3时，S′＞0，故r=3时，取得极小值，也是最小值，∴制作该圆柱纸筒的材料最省时，r的值为3．故答案为：3．12．已知等比数列{a n}，首项a1=2，公比q=3，a p+a p+1+…+a k=2178（k＞p，p，k∈N+），则p+k=10．【考点】数列的求和．【分析】通过a n=2•3n﹣1可知a p+a p+1+…+a k=3p﹣1（3k﹣p+1﹣1），利用2178=32•（35﹣1）比较即得结论．【解答】解：依题意，a n=2•3n﹣1，则2178=a p+a p+1+…+a k==3p﹣1（3k﹣p+1﹣1），又∵2178=9=32•（35﹣1），∴，即，∴p+k=10，故答案为：10．13．设函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣2x+b有两个零点，则参数b的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪（0，2ln2﹣1）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由y=f（x）﹣2x+b=0得f（x）=2x﹣b，作出函数f（x）和y=2x﹣b的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出函数f（x）的图象如图：，由y=f（x）﹣2x+b=0得f（x）=2x﹣b，当g（x）=2x﹣b经过点（0，2）时，满足两个函数有两个交点，此时﹣b=2，即b=﹣2，当﹣b≥2，即b≤﹣2时，满足条件，当g（x）=2x﹣b与f（x）=e x﹣1相切时，由f′（x）=e x=2得x=ln2，y=e ln2﹣1=2﹣1=1，即切点坐标为（ln2，1），此时2ln2﹣b=1，即b=2ln2﹣1，当直线g（x）=2x﹣b经过原点时，b=0，∴要使两个函数有两个交点，则此时0＜b＜2ln2﹣1，综上0＜b＜2ln2﹣1或b≤﹣2，故实数b的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪（0，2ln2﹣1），故答案为：（﹣∞，﹣2]∪（0，2ln2﹣1）14．对任意实数x＞1，y＞，不等式p≤+恒成立，则实数p的最大值为8．【考点】函数恒成立问题．【分析】根据不等式p≤+恒成立，转化为求+的最小值即可，利用换元法，结合基本不等式进行求解即可．【解答】解：设a=2y﹣1，b=x﹣1，∵x＞1，y＞，∴a＞0，b＞0，且x=b+1，y=（a+1），则+=+≥2×=2×=2（++）≥2×（2+）=2（2+2）=8，当且仅当a=b=1，即x=2，y=1时，取等号．∴p≤8，即p的最大值为8，故答案为：8．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数f（x）=2cos2x+sin2x．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）在△ABC中，若C为锐角，f（A+B）=0，AC=2，BC=3，求AB的长．【考点】余弦定理；三角函数的周期性及其求法．【分析】（1）由三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x+）+1，利用周期公式可求f（x）的最小正周期T．（2）由已知可得sin（2A+2B+）=﹣，由A，B是△ABC的内角，解得：A+B=或A+B=，结合A+B+C=π，C为锐角，可得C=，由余弦定理即可求得AB的值．【解答】解：（1）∵f（x）=2cos2x+sin2x=cos2x+1+sin2x=2sin（2x+）+1，…4分∴函数f（x）的最小正周期T=．…7分（2）∵f（A+B）=0，∴sin（2A+2B+）=﹣，∵A，B是△ABC的内角，∴2A+2B+=，或2A+2B+=，解得：A+B=或A+B=，∵A+B+C=π，∴C=，或C=，∵C为锐角，∴可得C=，∵AC=2，BC=3，∴由余弦定理可得：AB2=AC2+BC2﹣2AC×BC×cosC=12+9﹣2×，即AB=．…14分16．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是边BC上异于C的一点，AD⊥C1D．（1）求证：AD⊥平面BCC1B1；（2）如果点E是B1C1的中点，求证：平面A1EB∥平面ADC1．【考点】直线与平面垂直的判定；平面与平面平行的判定．【分析】（1）由于正三棱柱中，CC1⊥平面ABC，得到AD⊥CC1又已知AD⊥C1D，利用线面垂直的判断定理得到结论．（2）连结A1C，交AC1于O，连结OD，推导出OD∥A1B，由点E是B1C1的中点，可得BD EC1，即BE∥DC1，由BE∩A1B=B，DC1∩OD=D，即可证明平面A1EB∥平面ADC1．【解答】（满分为14分）解：（1）在正三棱柱中，CC1⊥平面ABC，AD⊆平面ABC，∴AD⊥CC1．…又AD⊥C1D，CC1交C1D于C1，且CC1和C1D都在面BCC1B1内，∴AD⊥平面BCC1B1．…（2）连结A1C，交AC1于O，连结OD，∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D在棱BC上，AD⊥C1D．平面C1AD⊥平面B1BCC1，∴D是BC中点，O是A1C中点，∴OD∥A1B，…∵点E是B1C1的中点，D是BC中点，∴BD EC1，∴四边形BDEC1为平行四边形，BE∥DC1，…∵BE∩A1B=B，DC1∩OD=D，且A1B，BE⊂平面A1EB，DC1，OD⊂平面ADC1，∴平面A1EB∥平面ADC1．…17．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且右准线方程为x=4．（1）求椭圆的标准方程；（2）设P（x1，y1），M（x2，y2）（y2≠y1）是椭圆C上的两个动点，点M关于x轴的对称点为N，如果直线PM，PN与x轴交于（m，0）和（n，0），问m•n是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）由椭圆的离心率为，且右准线方程为x=4，列方程组解得a=2，c=1，由此能求出椭圆的标准方程．（2）由P（x1，y1），M（x2，y2），得N（x2，﹣y2），求出直线PM的方程和直线PN的方程，分别令y=0，得m和n，由此能推导出m•n为定值．【解答】解：（1）由题意，得，且，解得a=2，c=1，∴=，∴椭圆的标准方程为．（2）由P（x1，y1），M（x2，y2），得N（x2，﹣y2），∴+=1，，直线PM的方程为y﹣y1=，直线PN的方程为y﹣y1=（x﹣x1），分别令y=0，得m=，n=，∴mn====4为定值，∴m•n为定值4．18．如图，某景区有一座高AD为1千米的山，山顶A处可供游客观赏日出．坡角∠ACD=30°，在山脚有一条长为10千米的小路BC，且BC与CD垂直，为方便游客，该景区拟在小路BC上找一点M，建造两条直线型公路BM和MA，其中公路BM每千米的造价为30万元，公路MA每千米的造价为60万元．（1）设∠AMC=θ，求出造价y关于θ的函数关系式；（2）当BM长为多少米时，才能使造价y最低？【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数解析式的求解及常用方法；在实际问题中建立三角函数模型．【分析】（1）容易求得MA=2，可说明△AMC为Rt△，从而可以得出，这样根据题意即可求出，；（2）可求导数得到，可以判断导数符号，从而可以得出时y取到最小值，可求出此时BM的长度．【解答】解：（1）在Rt△ACD中，∠ACD=30°，AD=1；∴AC=2；BC⊥CD，BC⊥AD；∴BC⊥平面ACD，AC⊂平面ACD；∴BC⊥AC；∴，；∴=，（）；（2）=；令y′=0得，cosθ=；∵；∴；∴时，，1﹣2cosθ＜0，y′＜0，时，y′＞0；∴时，y有最小值，此时；∴当BM长为米时，才能使造价y最低．19．已知a＞0，且a≠1，函数f（x）=a x﹣1，g（x）=﹣x2+xlna．（1）若a＞1，证明函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数；（2）求函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣1，1]上的最大值；（3）若函数F（x）的图象过原点，且F′（x）=g（x），当a＞e时，函数F（x）过点A（1，m）的切线至少有2条，求实数m的值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求函数的导数，根据函数单调性和导数的关系进行证明．（2）求函数的解析式，根据函数单调性和最值如导数的关系进行求解．（3）求出函数F（x）的解析式，结合导数的几何意义进行求解．【解答】解：（1）h（x）=f（x）﹣g（x）=a x﹣1+x2﹣xlna，则h′（x）=（a x﹣1）lna+2x，∵a＞1，∴当x＞0时，a x﹣1＞0，lna＞0，∴h′（x）＞0，即此时函数h（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数．（2）由（1）知，当a＞1时，函数h（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数，则在区间（﹣∞，0）上是单调减函数，同理当0＜a＜1时，h（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数，则在区间（﹣∞，0）上是单调减函数，即当a＞0，且a≠1时，h（x）在区间[﹣1，0）上是减函数，在区间（[0，1）上是增函数，当﹣1≤x≤1时，h（x）的最大值为h（﹣1）和h（1）中的最大值，∵h（1）﹣h（﹣1）=（a﹣lna）﹣（+lna）=a﹣﹣2lna，∴令G（a）=a﹣﹣2lna，a＞0，则G′（a）=1+﹣=（1﹣）2≥0，∴G（a）=a﹣﹣2lna，在a＞0上为增函数，∵G（1）=1﹣1﹣2ln1=0，∴a＞1时，G（a）＞0，即h（1）＞h（﹣1），最大值为h（1）=a﹣lna，当0＜a＜1时，G（a）＜0，即h（﹣1）＞h（1），最大值为h（﹣1）=+lna．（3）∵F（x）的图象过原点，且F′（x）=g（x）=﹣x2+xlna，∴设F（x）=﹣x3+x2lna+c，∵F（x）的图象过原点，∴F（0）=0，即c=0，则F（x）=﹣x3+x2lna．设切点为B（x0，﹣x03+x02lna），则B处的切线方程为：y﹣（﹣x03+x02lna）=﹣（﹣x02+x0lna）（x﹣x0），将A的坐标代入得m﹣（﹣x03+x02lna）=﹣（﹣x02+x0lna）（1﹣x0），即m=x03﹣（1+lna）x02+x0lna （※），则原等价为关于x0的方程（※）至少有2个不同的解，设φ（x）=x3﹣（1+lna）x2+xlna，则φ′（x）=2x02﹣（2+lna）x+lna=（x﹣1）（2x﹣lna），∵a＞e，∴＞1，当x∈（﹣∞，1）和（，+∞）时，φ′（x）＞0，此时函数φ（x）为增函数，当x∈（1，）时，φ′（x）＜0，此时函数φ（x）为减函数，∴φ（x）的极大值为φ（1）=﹣1﹣lna+lna=lna﹣，φ（x）的极大值为φ（lna）=ln3a﹣ln2a（1+lna）+ln2a=﹣ln3a+ln2a，设t=lna，则t＞，则原等价为对t＞恒成立，∴由m≤t﹣得m≤，∵s（t）=﹣t3+t2的最大值为s（4）=，∴由m≥﹣t3+t2，得m≥，即m=，综上所述当a＞e时，函数F（x）过点A（1，m）的切线至少有2条，此时实数m的值为．20．已知等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，且数列{b n}的前n项和为S n．（1）若a1=b1=d=2，S3＜a1006+5b2﹣2016，求整数q的值；（2）若S n+1﹣2S n=2，试问数列{b n}中是否存在一点b k，使得b k恰好可以表示为该数列中连续p（p∈N，p≥2）项的和？请说明理由？（3）若b1=a r，b2=a s≠a r，b3=a t（其中t＞s＞r，且（s﹣r）是（t﹣r）的约数），证明数列{b n}中每一项都是数列{a n}中的项．【考点】等比数列的性质；等比数列的前n项和．【分析】（1）若数列{b n}的前n项和为S n，且a1=b1=d=2，S3＜5b2+a88﹣180，借助于通项公式得到q的值．恰好可以表示为该数列中连（2）在（1）的条件下，假设数列{b n}中存在一项b k，使得b，k续P（P∈N，P≥2）项和，然后推理证明．（3）若b1=a r，b2=a s≠a r，b3=a t（其中t＞s＞r，且（s﹣r）是（t﹣r）的约数），要证明数列{b n}中每一项都是数列{a n}中的项，只要分析通项公式的特点可以得到．【解答】解：（1）由题意知a n=2+（n﹣1）×2=2n，，∵S3＜a1006+5b2﹣2016，∴b1+b2+b3＜a1006+5b2﹣2016，∴b1﹣4b2+b3＜2012﹣2016，∴q2﹣4q+3＜0，解得1＜q＜3，又q为整数，∴q=2．=2，n≥2，（2）由S n+1﹣2S n=2，得S n﹣2S n﹣1两式相减得b n+1﹣2b n=0，n≥2，∵等比数列{b n}的公比为q，∴q=2，又n=1时，S2﹣2S1=2，∴b1+b2﹣2b1=2，解得b1=2，∴．数列{b n}中存在一点b k，使得b k恰好可以表示为该数列中连续p（p∈N，p≥2）项的和，即b k=b n+b n+1+b n+2+…+b n+p，﹣1，∴2k＞2n+p﹣1，∵，∴b k＞b n+p﹣1∴k＞n+p﹣1，∴k≥n+p，（*）又==2n+p﹣2n＜2n+p，∴k＜n+p，这与（*）式矛盾，∴假设不成立，故数列{b n}中不存在一点b k，使得b k恰好可以表示为该数列中连续p（p∈N，p≥2）项的和，证明：（3）∵b1=a r，b2=a s≠a r，b3=a t（其中t＞s＞r，且（s﹣r）是（t﹣r）的约数），∴b2=b1q=a r q=a s=a r+（s﹣r）d，∴d=，∴，∵a s≠a r，∴b1≠b2，∴q≠1，又a r≠0，∴q=，∵t＞s＞r，且（s﹣r）是（t﹣r）的约数，∴q是正整数，且q≥2，对于{b n}中的任一项b i（这里只讨论i＞3的情形），有===）=，由于（s﹣r）（1q+…+q i﹣1）+1为正整数，∴b i一定是数列{a n}中的项．[选修4-1：几何证明选讲]21．如图所示，PA，PB分别切圆O于A，B，过AB与OP的交点M作弦CD，连结PC，求证：【考点】与圆有关的比例线段．【分析】由相交弦定理知DM•CM=AM•MB=AM2．直角三角形AMO∽直角三角形PMA，所以=，进一步证明△CMP∽△OMD，即可证明结论．【解答】证明：因为PA、PB分别切圆O于点A、B，OP与AB交于M所以OP垂直平分AB又圆O中AB，CD交于M，由相交弦定理知DM•CM=AM•MB=AM2．连接OA，因为AP为圆O切线，所以∠OAP=90°又∠AMP=90°，所以∠OAM+∠MAP=∠MAP+∠APM=90°所以∠OAM=∠APM所以直角三角形AMO∽直角三角形PMA所以=所以PM•OM=AM2，又DM•CM=AM•MB=AM2，所以PM•OM=DM•CM，所以，又∠CMP=∠ODM所以△CMP∽△OMD所以．[选修4-2：矩阵与变换]22．在平面直角坐标系xOy中，设点P（1，1）在矩阵对应的变换下得到点Q（3，7），求M﹣1．【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】由矩阵的变换求得a和b的值，求得丨M丨及M*，即可求得M﹣1．【解答】解：由=，∴，解得：，M=，丨M丨=1×4﹣2×3=﹣2M﹣1=×=，M﹣1=．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，设直线l过点，且直线l与曲线C：ρ=asinθ（a＞0）有且只有一个公共点，求实数a的值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】求出点A，B的直角坐标，利用点斜式方程得出直线l的直角坐标方程，再求出曲线C的普通方程，求出圆心和半径，利用d=r构建出a的方程，解出a的值．【解答】解：由直线l过点，可得A，B的直角坐标为A（，），B（0，3），直线AB的斜率k==，即有直线l的方程为：y﹣3=x，即y=x+3，由曲线C：ρ=asinθ（a＞0），可得曲线C的普通方程为x2+y2﹣ay=0，即有圆心C（0，），r==，直线l与曲线C：ρ=asinθ（a＞0）有且只有一个公共点即直线和圆相切，可得，解得a=2或﹣6，由a＞0，可得a=2．[选修4-5：不等式选讲]24．求函数的最大值．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】函数的最值转化为基本不等式≤=1，从而解得．【解答】解：∵≤=1，（当且仅当x﹣5=7﹣x，即x=6时，等号成立），∴≤2，故函数的最大值为2．25．学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设ξ为选出的人中即会唱歌又会跳舞的人数，且．（1）求文娱队的队员人数；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E（ξ）．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）设既会唱歌又会跳舞的有x人，则该演出队的总人数为（7﹣x）人，那么只会一项的人数是（7﹣2x）人，由已知得P（ξ=0）=1﹣P（ξ＞0）=1﹣=，由此能求出该演出队的总人数．（Ⅱ）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．【解答】解：（Ⅰ）设既会唱歌又会跳舞的有x人，则文娱队的总人数为（7﹣x）人，那么只会一项的人数是（7﹣2x）人，∵ξ为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且P（ξ＞0）=，∴P（ξ=0）=1﹣P（ξ＞0）=1﹣=，∴P（ξ=0）==，解得x=2，∴该文娱队的总人数为5人．（Ⅱ）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，P（ξ=0）=，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，Eξ==．26．已知有穷数列{a n}共有m项（m≥3，m∈N*），对于每个i（i=1，2，3，…，m）均有a i∈{1，2，3}，且首项a1与末项a m不相等，同时任意相邻两项不相等．记符合上述条件的所有数列{a n}的个数为f（m）．（1）写出f（3），f（4）的值；（2）写出f（m）的表达式，并说明理由．【考点】排列、组合的实际应用；排列与组合的综合．【分析】（1）由题意可知：（1）f（3）=3×2×1=6，f（4）=3×2×2+3×3×1×1=18种，（2）猜想f（m）=2m+2•（﹣1）m，（*），利用数学归纳法即可证明．【解答】解：（1）f（3）=3×2×1=6，f（4）=3×2×2+3×3×1×1=18种，（2）f（m）=2m+2•（﹣1）m，（*）理由如下：当m=3时，f（3）=6，符合（*）式，①假设当m=k时，（*）成立，即f（k）=2k+2•（﹣1）k，那么m=k+1时，因为a1有3种取法，a2有2种取法，…，a k有2种取法，a k+1若仅与a k不同，则有2种取法，一种与a1数不同，符合要求，有f（k+1）个，一种与a1数相同，不符合要求，当相当与k项有穷数列的个数，有f（k）个，则有3×2k=f （k+1）+f（k），∴a k+1=﹣a k+3×2k=﹣2k﹣2（﹣1）k+3×2k=2k+1+2（﹣1）k+1，即n=k+1时，（*）也成立，由①②可知，（*）成立．2016年9月16日。

2016—2017学年第一学期高三期中调研试卷 数学 2016．11注意事项：1．本试卷共4页．满分160分，考试时间120分钟．2．请将填空题的答案和解答题的解题过程写在答题卷上，在本试卷上答题无效． 3．答题前，务必将自己的姓名、学校、准考证号写在答题纸的密封线内．一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填写在答卷纸．．．相应的位置) 1．已知集合{02}A x x =≤≤，{11}B x x =-<≤，则A B = ▲ ．2．若命题2:,10p x x ax ∃∈++<R 使，则p ⌝： ▲ ．3．函数y =的定义域为 ▲ ． 4．曲线cos y x x =-在点(,)22ππ处的切线的斜率为 ▲ ．5．已知4tan 3α=-，则tan()4πα-= ▲ ．6．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且满足：194a a =，则数列2{log }n a 的前9项之和为 ▲ ．7．已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当01x <<时，()8x f x =，则19()3f -= ▲ ．8．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若222a b bc -=，sin 3sin C B =，则A = ▲ ．9．已知函数221,0(),0x x f x x x x ->⎧=⎨+⎩≤，若函数()()g x f x m =-有三个零点，则实数m 的取值范围是▲ ．10．若函数cos21tan (0)sin 22y θπθθθ+=+<<，则函数y 的最小值为 ▲ ．11．已知函数()sin()(0)3f x x πωω=+>，将函数()y f x =的图象向右平移23π个单位长度后，所得图象与原函数图象重合，则ω的最小值等于 ▲ ．12．已知数列{}n a 满足：111(1),1n n n a a a a ++=-=，数列{}n b 满足：1n n n b a a +=⋅，则数列{}n b 的前13．设ABC ∆的三个内角A ,B ,C 所对应的边为a ,b ,c ，若A ,B ,C 依次成等差数列且222a c kb +=，则实数k 的取值范围是 ▲ ． 14．已知函数2()()x af x x a -=+，若对于定义域内的任意1x ，总存在2x 使得21()()f x f x <，则满足条件的实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题(本大题共6个小题，共90分，请在答题卷区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本题满分14分)已知函数()33()x xf x λλ-=+⋅∈R（1）若()f x 为奇函数，求λ的值和此时不等式()1f x >的解集； （2）若不等式()6f x ≤对[0,2]x ∈恒成立，求实数λ的取值范围．16．(本题满分14分)已知等比数列{}n a 的公比1q >，且满足：23428a a a ++=，且32a +是24,a a 的等差中项． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若12log n n n b a a =，12n n S b b b =+++，求使1262n n S n ++⋅>成立的正整数n 的最小值．17．(本题满分15分) 已知函数()2sin()cos 3f x x x π=+⋅．（1）若02x π≤≤，求函数()f x 的值域；（2）设ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若A 为锐角且()f A =2b =，3c =，求cos()A B -的值．如图，有一块平行四边形绿地ABCD ，经测量2BC =百米，1CD =百米，120BCD ∠=，拟过线段BC 上一点E 设计一条直路EF （点F 在四边形ABCD 的边上，不计路的宽度），EF 将绿地分成两部分，且右边面积是左边面积的3倍，设EC x =百米，EF y =百米． （1）当点F 与点D 重合时，试确定点E 的位置； （2）试求x 的值，使路EF 的长度y 最短．BD19． (本题满分16分)已知数列{}n a 的前n 项和为n A ，对任意*n ∈N 满足1112n n A A n n +-=+，且11a =，数列{}n b 满足2120(*)n n n b b b n ++-+=∈N ，35b =，其前9项和为63．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）令n nn n nb ac a b =+，数列{}n c 的前n 项和为n T ，若对任意正整数n ，都有2n T n a +≥，求实数a 的取值范围；（3）将数列{},{}n n a b 的项按照“当n 为奇数时，n a 放在前面；当n 为偶数时，n b 放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新的数列：11223344556,,,,,,,,,,,a b b a a b b a a b b ⋅⋅⋅，求这个新数列的前n 项和n S ．已知32()31(0)f x ax x a =-+>，定义{}(),()()()max (),()(),()()f x f x g x h x f x g x g x f x g x ⎧==⎨<⎩≥．（1）求函数()f x 的极值；（2）若()()g x xf x '=，且存在[1,2]x ∈使()()h x f x =，求实数a 的取值范围； （3）若()ln g x x =，试讨论函数()h x (0)x >的零点个数．2016—2017学年第一学期高三期中调研试卷数 学 (附加) 2016．11注意事项：1．本试卷共2页．满分40分，考试时间30分钟．2．请在答题卡上的指定位置作答，在本试卷上作答无效．3．答题前，请务必将自己的姓名、学校、考试证号填写在答题卡的规定位置． 21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．(几何证明选讲)（本小题满分10分）如图，AB 是圆O 的直径，弦BD ,CA 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F ． 求证：2AB BE BD AE AC =⋅-⋅B ．(矩阵与变换)（本小题满分10分）已知二阶矩阵M 有特征值8λ=及对应的一个特征向量111e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，并且矩阵M 将点(1,3)-变换为(0,8)．（1）求矩阵M ；（2）求曲线320x y +-=在M 的作用下的新曲线方程．C ．(极坐标与参数方程) （本小题满分10分）已知平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为cos 2(,0)sin 2x r r y r θθθ=+⎧>⎨=+⎩为参数．以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为πsin()104θ++=．（1）求圆C 的圆心的极坐标；（2）当圆C 与直线l 有公共点时，求r 的取值范围．D ．(不等式选讲)（本小题满分10分）已知,,,a b c d 都是正实数，且1a b c d +++=，求证: 2222111115a b c d a b c d +++++++≥．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．(本小题满分10分)某公司对新招聘的员工张某进行综合能力测试，共设置了A 、B 、C 三个测试项目．假定张某通过项目A 的概率为12，通过项目B 、C 的概率均为a (01)a <<，且这三个测试项目能否通过相互独立．（1）用随机变量X 表示张某在测试中通过的项目个数，求X 的概率分布和数学期望()E X （用a 表示）；（2）若张某通过一个项目的概率最大，求实数a 的取值范围．23．(本小题满分10分)在如图所示的四棱锥S ABCD -中，SA ⊥底面ABCD ，90DAB ABC ︒∠=∠=，SA AB BC a ===，3AD a =(0)a >，E 为线段BS 上的一个动点．（1）证明：DE 和SC 不可能垂直；（2）当点E 为线段BS 的三等分点（靠近B ）时，求二面角S CD E --的余弦值．DBC2016—2017学年第一学期高三期中调研试卷数 学 参 考 答 案一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．{|0}x x ≤≤1 2．2,10x x ax ∀∈++R 使≥ 3．(2,1]- 4．2 5．7 6．9 7．2- 8．3π9．1(,0]4-10．2 11．3 12．101113．(1,2] 14．0a ≥ 二、解答题(本大题共6个小题，共90分) 15．(本题满分14分) 解：（1）函数()33x x f x λ-=+⋅的定义域为R ．∵()f x 为奇函数，∴()()0f x f x -+=对x ∀∈R 恒成立，即3333(1)(33)0xxxxxxλλλ---+⋅++⋅=++=对x ∀∈R 恒成立， ∴1λ=-． ．．．．．．．．．．3分 此时()331x x f x -=->即2(3)310x x -->，解得133)2x x -><舍去， ．．．．．．．．．．6分 ∴解集为3{|log }2x x >． ．．．．．．．．．．7分 （2）由()6f x ≤得336x x λ-+⋅≤，即363x xλ+≤，令3[1,9]x t =∈，原问题等价于6t tλ+≤对[1,9]t ∈恒成立，亦即26t t λ-+≤对[1,9]t ∈恒成立， ．．．．．．．．．．．10分 令2()6,[1,9]g t t t t =-+∈，∵()g t 在[1,3]上单调递增，在[3,9]上单调递减，∴当9t =时，()g t 有最小值(9)27g =-，∴27λ-≤． ．．．．．．．．．14分 16．(本题满分14分)代入23428a a a ++=，可得38a =，∴2420a a +=，∴21311820a q a q a q ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解之得122a q =⎧⎨=⎩或13212a q =⎧⎪⎨=⎪⎩， ．．．．．．．4分 ∵1q >，∴122a q =⎧⎨=⎩，∴数列{}n a 的通项公式为2n n a =． ．．．．．．．．．．6分（2）∵1122log 2log 22n n n n n n b a a n ===-⋅， ．．．．．．．．．．7分∴2(12222)n n S n =-⨯+⨯++⋅， ……① )22)1(2221(S 2132+⋅+⋅-++⨯+⨯-=n n n n n ， ……②②-①得23122222n n n S n +=++++-⋅1112(12)222212n n n n n n +++-=-⋅=--⋅-． ．．．．．．．．．．12分 ∵1262n n S n ++⋅>，∴12262n +->，∴16n +>，5n >， ．．．．．．．．．13分∴使1262n n S n ++⋅>成立的正整数n 的最小值为6． ．．．．．．．．．．14分 17．(本题满分15分)解：（1）()(sin )cos f x x x x =+x x x 2cos 3cos sin +=1sin 22x x =+sin(2)3x π=++． ．．．．．．．．2分由02x π≤≤得，423x πππ+≤≤，sin(2)13x π+≤，．．．．．．．4分∴0sin(2)132x π+++≤，即函数)(x f 的值域为[0,12+． ．．．6分 （2）由()sin(2)3f A A π=+=得sin(2)03A π+=， 又由02A π<<，∴42333A πππ<+<，∴23A ππ+=，3A π=．．．．．．8分在ABC ∆中，由余弦定理2222cos =7a b c bc A =+-，得7=a ．．．．．．．10分由正弦定理sin a b A =，得sin sin 7b AB a ==，．．．．．．12分 ∵ba <，∴B A <，∴cos B =，∴cos()cos cos sin sin A B A B A B -=+12==．．．．．15分 18．(本题满分15分)解：（1）平行四边形ABCD 的面积为1212sin12032ABCDS=⨯⨯⨯=， 当点F 与点D 重合时，13sin1204CFE S CE CD ∆=⋅⋅=，∵14CFE ABCD S S ∆=，∴44x ，1x =（百米），∴E 是BC 的中点． ．．．．3分 （2）①当点F 在CD 上时，∵011sin120CFE ABCDS CE CF S∆=⋅⋅=，∴1CF =， ．．．．．．．．4分在三角形CDE 中，22202cos120EF CE CF CE CF =+-⋅⋅，∴y =，当且仅当1x =时取等号，此时E 在BC 中点处且F 与D 重合，符合题意； ．．．．．．．．．．．．．．8分 ②当点F 在DA 上时，∵()124ABCD CEFD x FD S S +===梯形1DF x =-， ．．．．．．．．．．9分 Ⅰ．当CE DF <时，过E 作EG ∥CD 交DA 于G ，在EGF ∆中，1,12,60EG GF x EGF ==-∠=，由余弦定理得y ； Ⅱ．当CE DF ≥，过E 作EG ∥CD 交DA 于G ，在EGF ∆中，1,21,120EG GF x EGF ==-∠=，由余弦定理得y ；由Ⅰ、Ⅱ可得y ．．．．．．．．．．．．13分∴当14x =时，min y =，此时E 在BC 的八等分点（靠近C ）处且34DF =（百米），符合题意； ．．．．14分 ∴由①②可知，当14x =（百米）时，路EF最短为2（百米） ． ．．．．15分19．(本题满分16分) 解：（1）∵1112n n A A n n +-=+，∴数列n A n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为12的等差数列， ∴1111(1)222n A A n n n =+-⨯=+，即*(1)()2n n n A n +=∈N ，∴*11(1)(2)(1)1()22n n n n n n n a A A n n +++++=-=-=+∈N ，又11a =，∴*()n a n n =∈N ． ．．．．．．．．．．．．．3分 ∵2120n n n b b b ++-+=，∴ 数列{}n b 是等差数列，设{}n b 的前n 项和为n B ，∵3799()632b b B +==且35b =，∴79b =，∴{}n b 的公差为7395=17373b b --=--，*2()n b n n =+∈N ． ．．．．．．5分 （2）由（1）知21122()22n n n n n b a n n c a b n n n n +=+=+=+-++， ∴12n n T c c c =+++1111122(1)3242n n n =+-+-++-+11122(1)212n n n =++--++11232()12n n n =+-+++，∴11232()12n T n n n -=-+++． ．．．．．．．．．．．．7分 设1132()12n R n n =-+++，则11142()013(1)(3)n n R R n n n n +-=-=>++++， ∴数列{}n R 为递增数列， ．．．．．．．．．．．．．9分∴min 14()3n R R ==，∵对任意正整数n ，都有2T n a -≥恒成立，∴4a ≤． ．．．．．．．．．．10分（3）数列{}n a 的前n 项和(1)2n n n A +=，数列{}n b 的前n 项和(5)2n n n B +=．①当*2()N n k k =∈时，2(1)(5)322n k k k k k k S A B k k ++=+=+=+；②当*41()N n k k =+∈时，2+12(21)(22)2(25)22n k k k k k k S A B +++=+=+2481k k =++，特别地，当1n =时，11S =也符合上式；③当*41()N n k k =-∈时，2212(21)22(25)4422n k k k k k k S A B k k --+=+=+=+．综上：22213, 2 4263, 43465, 414n n n n k n n S n k n n n k ⎧+=⎪⎪+-⎪==-⎨⎪⎪++=-⎪⎩，*k ∈N ． ．．．．．．．．．．．16分 20．(本题满分16分) 解：（1）∵函数32()31f x ax x =-+，∴2'()363(2)f x ax x x ax =-=-． ．．．．．．．．．．1分 令'()0f x =,得10x =或22x=，∵0a >，∴12x x <，列表如下： ∴()f x 的极大值为(0)1f =，极小值为222()11f a a a a =-+=-．．．．．．．．3分（2）2363)()(x ax x f x x g -='=，∵存在[1,2]x ∈使()()h x f x =，∴()()f x g x ≥在[1,2]x ∈上有解，即32323136ax x ax x -+-≥在[1,2]x ∈上有解，即不等式3132a x x+≤在[1,2]x ∈上有解， ．．．．．．．．．．．．．4分 设233[1,32]131()x y x x x x +∈=+=，∵2433'0x y x --=<对[1,2]x ∈恒成立，∴313y x x =+在[1,2]x ∈上单调递减，∴当1x =时，313y x x=+的最大值为4，∴24a ≤，即2a ≤． ．．．．．．．．．7分（3）由（1）知，()f x 在(0,)+∞上的最小值为224()1f a a=-，①当2410a->，即2a >时，()0f x >在(0,)+∞上恒成立，∴()max{(),()}h x f x g x =在(0,)+∞上无零点． ．．．．．．．．．8分②当2410a-=，即2a =时，min ()(1)0f x f ==，又(1)0g =，∴()max{(),()}h x f x g x =在(0,)+∞上有一个零点． ．．．．．．．．．9分③当2410a-<，即02a <<时，设32()()()31ln x f x g x ax x x ϕ=-=-+-(01)x <<，∵211'()366(1)0x ax x x x x xϕ=--<--<，∴()x ϕ在(0,1)上单调递减，又232123(1)20,()0a e a e e e ϕϕ-=-<=+>，∴存在唯一的01(,1)x e∈，使得0()0x ϕ=． Ⅰ．当00x x <≤时，∵0()()()()0x f x g x x ϕϕ=-=≥，∴()()h x f x =且()h x 为减函数，又0000()()()ln ln10,(0)10h x f x g x x f ===<==>，∴()h x 在0(0,)x 上有一个零点； Ⅱ．当0x x >时，∵0()()()()0x f x g x x ϕϕ=-<=，∴()()h x g x =且()h x 为增函数， ∵(1)0g =，∴()h x 在0(,)x +∞上有一个零点；从而()max{(),()}h x f x g x =在(0,)+∞上有两个零点． ．．．．．．．．．15分 综上所述，当02a <<时，()h x 有两个零点；当2a =时，()h x 有一个零点；当2a >时，()h x 有无零点． ．．．．．．．．．．16分 21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．(几何证明选讲，本小题满分10分)证明：连接AD ，∵AB 为圆的直径，∴AD BD ⊥，又EF AB ⊥，则,,,A D E F 四点共圆，∴BD BE BA BF ⋅=⋅． ．．．．．．．．．．．．．5分 又ABC ∆∽AEF ∆， ∴AB ACAE AF=，即AB AF AE AC ⋅=⋅， ∴2()BE BD AE AC BA BF AB AF AB BF AF AB ⋅-⋅=⋅-⋅=⋅-=． ．．．．．10分 B ．(矩阵与变换，本小题满分10分)解:（1）设a b M c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，由11811a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦及1038ab c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得883038a b c d a b c d +=⎧⎪+=⎪⎨-+=⎪⎪-+=⎩，解得6244a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，∴6244M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． ．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）设原曲线上任一点(,)P x y 在M 作用下对应点'(',')P x y ，则'6244'x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即'62'44x x y y x y =+⎧⎨=+⎩，解之得2''82'3'8x y x x y y -⎧=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩， 代入320x y +-=得'2'40x y -+=，即曲线320x y +-=在M 的作用下的新曲线方程为240x y -+=． ．．．．．．10分 C ．(极坐标与参数方程，本小题满分10分)解：（1）由cos 2:sin 2x r C y r θθ=+⎧⎨=+⎩得222(2)(2)x y r -+-=，∴曲线C 是以(2,2)为圆心，r 为半径的圆，∴圆心的极坐标为)4π． ．．．．．．．．．．．．．5分（2）由πsin()104l θ++=得:10l x y ++=，从而圆心(2,2)到直线l的距离为d == ∵圆C 与直线l 有公共点，∴d r ≤，即r ．．．．．．．．．．10分 D ．(不等式选讲，本小题满分10分) 证明：∵2222[(1)(1)(1)(1)]()1111a b c d a b c d a b c d++++++++++++++2+≥2()1a b c d =+++=， ．．．．．．．．．．．．5分又(1)(1)(1)(1)5a b c d +++++++=， ∴2222111115a b c d a b c d +++++++≥． ．．．．．．．．．．．．10分 22．(本题满分10分)解：（1）随机变量X 的可能取值为0，1，2，3．022211(0)(1)C (1)(1)22P X a a ==--=-； 021222111(1)C (1)(1)C (1)(1)222P X a a a a ==-+--=-； 122222111(2)C (1)(1)C (2)222P X a a a a a ==-+-=-； 222211(3)C 22P X a a ===． 从而X 222211141()0(1)1(1)2(2)322222a a E X a a a a +=⨯-+⨯-+⨯-+⨯=． ．．．．．．5分 （2）221(1)(0)[(1)(1)](1)2P X P X a a a a =-==---=-， 22112(1)(2)[(1)(2)]22a P X P X a a a -=-==---=， 222112(1)(3)[(1)]22a P X P X a a -=-==--=． 由2(1)012021202a a a a ⎧⎪-⎪-⎪⎨⎪⎪-⎪⎩≥≥≥和01a <<，得102a <≤,即a 的取值范围是1(0,]2． ．．．．10分 23．(本题满分10分)解：（1）∵SA ⊥底面ABCD ，90DAB ︒∠=，∴AB 、AD 、AS 两两垂直．以A 为原点，AB 、AD 、AS 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系（如图）， ．．．．．．．．．．．．．．．1分则(0,0,)S a ，(,,0)C a a ，(0,3,0)D a (0)a >，∵SA AB a ==且SA AB ⊥，∴设(,0,)E x a x -其中0x a ≤≤， ∴(,3,)DE x a a x =--，(,,)SC a a a =-， ．．．．．．．．．．．．．．．．2分 假设DE 和SC 垂直，则0DE SC ⋅=，即2223240ax a a ax ax a --+=-=，解得2x a =， 这与0x a ≤≤矛盾，假设不成立，所以DE 和SC 不可能垂直． ．．．．．．．．4分 （2）∵E 为线段BS 的三等分点（靠近B ），∴21(,0,)33E a a ． 设平面SCD 的一个法向量是1111(,,)n x y z =，平面CDE 的一个法向量是2222(,,)n x y z =， ∵(,2,0)CD a a =-，(0,3,)SD a a =-，∴1100n CD n SD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11112030ax ay ay az -+=⎧⎨-=⎩，即111123x y z y =⎧⎨=⎩，取1(2,1,3)n =， ．．．．．．．．．．．．6分 ∵(,2,0)CD a a =-，21(,3,)33DE a a a =-，∴2200n CD n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2222220213033ax ay ax ay az -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，即222225x y z y =⎧⎨=⎩，取2(2,1,5)n =， ．．．．．．．．．．．．8分 设二面角S CD E --的平面角大小为θ，由图可知θ为锐角， ∴12121242105cos |cos ,|||||1430n n n n n n θ⋅+=<>===⋅⋅， 即二面角S -CD -E 2105． ．．．．．．．．．．．．10分。

2016-2017学年江苏省南通中学高三上学期期中考试数学（理）一、填空题：共14题1．已知集合,,若,则 .【答案】【解析】本题主要考查集合的基本运算、集合间的基本关系.因为,所以，显然a=2，则,则2．命题“”的否定是 .【答案】【解析】本题主要考查全称命题与特称命题的否定.由特称命题否定的定义可知，答案为3．函数的定义域为 .【答案】【解析】本题主要考查对数函数的性质、函数的定义域.由题意可得,则,故答案4．若角α的终边经过点P(a,2a)(a<0),则cosα= .【答案】【解析】本题主要考查任意角的三角函数.因为角α的终边经过点P(a,2a)(a<0),所以角α是第三象限的角,则r=|OP|=,所以cosα=5．设是等比数列的前项的和,若,则的值是 .【答案】2【解析】本题主要考查等比数列的通项公式与前项的和公式，考查了转化思想与逻辑推理能力.设公比q，由可得,则6．如图,在正方形中,点是的中点,点是的一个三等分点,那么＝ .(用和表示)【答案】【解析】本题主要考查平面向量的线性运算与基本定理. 如图,在正方形中,点是的中点,点是的一个三等分点,所以7．已知命题p:|x－a|<4,命题q:(x－1)(2－x)>0,若是的必要不充分条件,则实数的取值范围是 .【答案】[－2,5]【解析】本题主要考查充分条件与必要条件，考查了逻辑推理能力.命题p:a－4<x<a+4, 命题q:1<x<2,因为是的必要不充分条件,所以,求解可得,故答案为8．已知直线与曲线相切,则的值为 .【答案】【解析】本题主要考查导数的几何意义与导数的运算，考查了逻辑推理能力.，由题意，令得x=1，代入得y=2，即切点为(1,2),所以9．在△ABC中,BC＝1,B＝,△ABC的面积S＝,则边AC等于 .【答案】【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理、三角形的面积公式，考查了逻辑推理能力.由题意可得S＝,则c=4，由余弦定理可得b2=a2+c2-2ac cos B=13,则b=10．已知函数f(x)＝是奇函数且函数f(x)在区间[－1,a－2]上单调递增,则实数a的取值范围为 .【答案】(1,3]【解析】本题主要考查函数的奇偶性与单调性，考查了分析问题与解决问题的能力.因为函数f(x)＝是奇函数，所以当时，,则,则m=2，函数f(x)＝，又因为函数f(x)在区间[－1,a －2]上单调递增,所以,则，故答案为(1,3]11．函数y＝2sin与y轴最近的对称轴方程是 .【答案】【解析】本题主要考查三角函数的图像与性质.由题意可知,则,令，可得12．如图,点为△ 的重心,且,,则的值为 .【答案】32【解析】本题主要考查平面向量的坐标表示与数量积，考查了逻辑推理能力与计算能力.设以AB的中点M为原点建立如图所示的平面直角坐标系，则A(-2,0)，B(2,0),设C(x,y),因为点为△ 的重心,所以O()所以,，,因为,所以,即x2+y2=36,因为,所以13．已知为数列的前项和,若关于正整数的不等式的解集中的整数解有两个,则正实数的取值范围为 .【答案】【解析】本题主要考查的应用、数列的通项公式的求法，考查了转化思想与逻辑推理能力.因为,所以当时，，两式相减，化简可得,所以数列是首项为1的常数列，则, 不等式可化,所以，又因为关于正整数的不等式的解集中的整数解有两个,所以n=1，2，所以,故答案为14．已知函数函数,若函数恰有4个零点,则实数的取值范围是 .【答案】【解析】本题主要考查分段函数的图像与性质、函数与方程，考查了数形结合思想与逻辑推理能力.作出函数的图像，如图所示，因为,所以恰有4个零点，即函数的图像与直线y=1有四个不同的交点，所以观察图像可得,求解可得.二、解答题：共10题15．已知向量,,记函数.若函数的周期为4,且经过点.(1)求的值;(2)当时,求函数的最值.【答案】(1)由题意得:周期,故(2)∵图象过点,即,而,故,则.当时,当时,,当时,.【解析】本题主要考查三角函数的性质、两角和与差公式、二倍角公式、平面向量的坐标运算与数量积，考查了转化思想与计算能力.(1)化简可得，由函数的周期易得结论；(2)由函数的图像过点,求出，再利用三角函数的性质求解即可.16．设公差不为零的等差数列的前项的和为,且成等比数列.(1)求数列的通项公式.(2)设数列,求证:数列 的前 项和. 【答案】(1)设等差数列的的首项为 ,公差为 ,则或 (舍去) 故数列 的通项公式为 即 . (2)由(1) , 得..【解析】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式，考查了裂项相消法与逻辑推理能力.(1) 设等差数列的的首项为 ,公差为 ,由题意可得，求解易得结论；(2)，利用裂项相消法求解即可.17．如图,在 中,角 的对边分别为 , .(Ⅰ)求 ;(Ⅱ)若, 为 外一点, , ,求四边形 面积的最大值. 【答案】(Ⅰ)在 中,∵ , ∴ ,∴ , ∴ ,∴ , ∴ , 又∵ ,故 , ∴ ,即 . 又 ,∴.BD(Ⅱ)在 中, , ,. 又,由(Ⅰ)可知, ∴ 为等腰直角三角形,, 又 ,∴ 四边形. ∴当时,四边形 的面积有最大值,最大值为【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理、三角形的面积公式、两角和与差公式，考查了逻辑推理能力与转化思想.(1)由正弦定理与两角和与差公式化简 ，结合 ，即可得出结论；(2) 在 中,由余弦定理可得 ，结合(1)的结论与三角形的面积公式求解可得 四边形，则结论易得.18．如图,某城市有一块半径为40 m 的半圆形绿化区域(以O 为圆心,AB 为直径),现计划对其进行改建.在AB 的延长线上取点D ,OD ＝80 m,在半圆上选定一点C ,改建后的绿化区域由扇形区域AOC 和三角形区域COD 组成,其面积为S m 2.设∠AOC ＝x rad.(1)写出S 关于x 的函数关系式S (x ),并指出x 的取值范围; (2)试问∠AOC 多大时,改建后的绿化区域面积S 取得最大值. 【答案】(1)因为扇形 AOC 的半径为 40 m,∠AOC ＝x rad, 所以 扇形AOC 的面积S 扇形AOC ＝＝800x ,0＜x ＜π.在△COD 中,OD ＝80,OC ＝40,∠COD ＝π－x ,所以△COD 的面积S △COD ＝·OC ·OD ·sin ∠COD ＝1600sin(π－x )＝1600sin x . 从而S ＝S △COD ＋S 扇形AOC ＝1600sin x ＋800x ,0＜x ＜π. (2)由(1)知, S (x )＝1600sin x ＋800x ,0＜x ＜π. S ′(x )＝1600cos x ＋800＝1600(cos x ＋).AO D由S′(x)＝0,解得x＝.从而当0＜x＜时,S′(x)＞0;当＜x＜π时,S′(x)＜0 .因此S(x)在区间(0,)上单调递增;在区间(,π)上单调递减.所以当x＝,S(x)取得最大值.答:当∠AOC为时,改建后的绿化区域面积S最大【解析】本题主要考查导数、扇形与三角形的面积公式、三角函数的性质，考查了分析问题与解决问题的能力.(1)根据题意，利用扇形与三角形的面积公式求解即可；(2)求导S′(x)＝1600cos x＋800，判断函数的单调性，即可求出结果.19．已知函数.(1)当时,求函数在点处的切线方程;(2)求函数的单调区间;(3)若 QUOTE * MERGEFORMAT在 QUOTE * MERGEFORMAT上恒成立,求的取值范围.【答案】(1)当时,,所以,函数在点处的切线方程为即:(Ⅱ)函数的定义域为:当时,恒成立,所以,在和上单调递增当时,令,即:,或或,所以,单调递增区间为和,单调减区间为和.(Ⅲ)因为在上恒成立,有在上恒成立.所以,令,则.令则若,即时,,函数在上单调递增,又所以,在上恒成立;若,即时,当时,单调递增;当时,,单调递减所以,在上的最小值为,因为所以不合题意.即时,当时,单调递增,当时,单调递减,所以,在上的最小值为又因为,所以恒成立综上知,的取值范围是.【解析】本题主要考查导数与导数的几何意义、函数的性质，考查了恒成立问题、分类讨论思想与转化思想、逻辑推理能力与计算能力.(1)求出切线的斜率，即可得出结论；(2) 函数的定义域为:，，分、两种情况讨论求解即可；(3)由题意，在上恒成立，令,求导，判断函数的单调性并求出最小值，即可得出结论.20．已知数列的前项和为,且,N*(1)求数列的通项公式;(2)已知(N*),记(且),是否存在这样的常数,使得数列是常数列,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.(3)若数列,对于任意的正整数,均有成立,求证:数列是等差数列.【答案】(1),所以由得时,两式相减得,,数列是以2为首项,公比为的等比数列,所以()(2)由于数列是常数列=为常数,只有;解得,此时(3)……①,,其中,所以当时,②②式两边同时乘以得,③①式减去③得,,所以且所以数列是以为首项,公差为的等差数列.【解析】本题主要考查的应用、等差数列、等比数列的通项公式，考查了转化思想与逻辑推理能力.(1)由题意，,时,，两式相减，化简可得，则结论易得；(2)由(1)化简可得，则，结论易得；(3)，当时,，两边同时乘以得，再与第一式相减，即可求得结论.21．设矩阵A＝的逆矩阵为,矩阵B满足AB＝,求,.【答案】因为A＝,所以|A|＝＝＋6＝.由逆矩阵公式得,＝.因为AB＝,所以B＝AB＝＝.【解析】本题主要考查矩阵与逆矩阵及其求解，考查了转化思想与计算能力.由逆矩阵公式求出，由B＝AB，则结论易得.22．设矩阵,求矩阵的逆矩阵的特征值及对应的特征向量.【答案】矩阵的逆矩阵为,则特征多项式为令,解得,设特征向量为,则,易算得特征值对应的一个特征向量,同理可得特征值对应的一个特征向量为【解析】本题主要考查矩阵与逆矩阵及其对应的特征向量的求法,考查了逻辑推理能力..求出矩阵的逆矩阵，则可得其特征多项式，令求出特征值，设特征向量为,则,求解可得结果.23．已知曲线C的极坐标方程为r＝2cosθ,直线l的极坐标方程为r sin(θ＋)＝m.若直线l 与曲线C有且只有一个公共点,求实数m的值.【答案】曲线C的极坐标方程为r＝2cosθ,化为直角坐标方程为x2＋y2＝2x.即(x－1)2＋y2＝1,表示以(1,0)为圆心,1为半径的圆.直线l的极坐标方程是r sin(θ＋)＝m,即r cosθ＋r sinθ＝m,化为直角坐标方程为x＋y－2m＝0.因为直线l与曲线C有且只有一个公共点,所以＝1,解得m＝－或m＝.所以,所求实数m的值为－或.【解析】本题主要考查极坐标方程、极直互化、点到直线的距离公式.由公式x=r cosθ，y=r sinθ化简可得曲线C与直线l的直角坐标方程，由题意可得＝1,则结果易得.24．在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C:(q为参数,q∈R),直线l:(t为参数,t∈R),求曲线C上的动点P到直线l的距离的最小值.【答案】将直线l的参数方程化为普通方程为x－y－6＝0.因为点P在曲线C:(θ为参数)上,所以设P(4cosθ,3sinθ).点P到直线l的距离d＝＝,其中tanφ＝,φ是锐角.所以当cos(θ＋φ)＝1时,d min＝.所以点P到直线l的距离的最小值为.【解析】本题主要考查参数方程与极坐标，考查了参直与极直互化、三角函数、点到直线的距离公式.消去参数t得直线l的普通方程，设P(4cosθ,3sinθ)，由点到直线的距离公式得d＝,则结果易得.。

A B CO（第12题）2017届高三上学期数学期中测试（理科）本试卷分为数学I(必做题)和数学II(附加题)两部分．共200分，考试用时150分钟．数学I(必做题 共160分)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1．已知集合{}=2,3,4A ，{}=2B a a +,，若=AB B ，则A B =ð ▲ ．2．命题“2,10x x x ∃∈-+R ≤”的否定是 ▲ ． 3．函数0.2log y x =的定义域为 ▲ ．4．若角α的终边经过点P (a ，2a )(a<0)，则cos α= ▲ ． 5．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项的和，若3620a a +=，则36S S 的值是 ▲ ． 6．如图，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么EF ＝ ▲ ．(用AB 和AD 表示)7．已知命题p ：|x －a |<4，命题q ：(x －1)(2－x )>0，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是 ▲ ．8．已知直线01=+-y x 与曲线ln y x a =-相切，则a 的值为 ▲ ． 9．在△ABC 中，BC ＝1，B ＝π3，△ABC 的面积S ＝3，则边AC 等于 ▲ ．10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ＞0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0是奇函数且函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，则实数a 的取值范围为 ▲ ．11．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6与y 轴最近的对称轴方程是 ▲ ． 12．如图，点O 为△ABC 的重心，且OA OB ⊥，4AB =，则AC BC ⋅的值为 ▲ ．13．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，11a =，2(1)n n S n a =+，若关于正整数n 的不等式222n n a ta t -≤的解集中的整数解有两个，则正实数t 的取值范围为 ▲ ．14．已知函数2+1, 1,()(), 1,a x x f x x a x ⎧-⎪=⎨->⎪⎩≤ 函数()2()g x f x =-，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分) 已知向量(sin(),1)2a x ωϕ=+，(1,cos())2b x ωϕ=+(0,0)4πωϕ><<，记函数()()()f x a b a b =+⋅-．若函数()y f x =的周期为4，且经过点1(1,)2M ．(1)求ω的值；(2)当11x -≤≤时，求函数()f x 的最值．16．(本小题满分14分)设公差不为零的等差数列{}n a 的前5项的和为55，且2674,,9a a a a +-成等比数列． (1)求数列{}n a 的通项公式． (2)设数列4(6)(4)n n n b a a =--，求证：数列{}n b 的前n 项和12n S <．17．(本小题满分14分)如图，在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，(sin cos )a b C C =+． (Ⅰ)求ABC ∠； (Ⅱ)若=2A π∠，D 为ABC ∆外一点，2DB =，1DC =，求四边形ABDC 面积的最大值．18．(本小题满分16分)BACD如图，某城市有一块半径为40 m 的半圆形绿化区域(以O 为圆心，AB 为直径)，现计划对其进行改建．在AB 的延长线上取点D ，OD ＝80 m ，在半圆上选定一点C ，改建后的绿化区域由扇形区域AOC 和三角形区域COD 组成，其面积为S m 2．设∠AOC ＝x rad ．(1)写出S 关于x 的函数关系式S (x )，并指出x 的取值范围； (2)试问∠AOC 多大时，改建后的绿化区域面积S 取得最大值．19． (本小题满分16分) 已知函数2()22a f x ax a x-=++-(0)a >． (1)当1a =时，求函数()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程； (2)求函数()f x 的单调区间；(3)若()2ln f x x ≥在[1,)+∞上恒成立，求a 的取值范围．20．(本题满分16分)已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且4=+n n a S ，∈n N * (1)求数列}{n a 的通项公式；(2)已知32+=n c n (∈n N *)，记=n d n C n a c log +(0>C 且1≠C )，是否存在这样的常数C ，使得数列}{n d 是常数列，若存在，求出C 的值；若不存在，请说明理由．(3)若数列}{n b ，对于任意的正整数n ，均有2221123121+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=++++--n a b a b a b a b nn n n n 成立，求证：数列}{n b 是等差数列．数学II(附加题 共40分)ABOCD（第18题）21． (本小题满分10分)设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －23 －7的逆矩阵为1-A ，矩阵B 满足AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，求1-A ，B ．22．(本小题满分10分) 设矩阵1221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求矩阵A 的逆矩阵的特征值及对应的特征向量．23．(本小题满分10分)已知曲线C 的极坐标方程为 ρ＝2cos θ，直线l 的极坐标方程为 ρ sin(θ＋π6)＝m ．若直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，求实数m 的值．24． (本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θy ＝3sin θ(θ为参数，θ∈R )，直线l ：⎩⎨⎧x ＝3＋22t ，y ＝－3＋22t (t 为参数，t ∈R )，求曲线C 上的动点P 到直线l 的距离的最小值．参考答案：2017届高三上学期数学期中测试（理科）本试卷分为数学I(必做题)和数学II(附加题)两部分．共200分，考试用时150分钟．数学I(必做题 共160分)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1．已知集合{}=2,3,4A ，{}=2B a a +,，若=AB B ，则A B =ð ▲ ．{}32．命题“2,10x x x ∃∈-+R ≤”的否定是 ▲ ．2,10x x x ∀∈-+>R 3．函数0.2log y x =的定义域为 ▲ ．(0,1]4．若角α的终边经过点P (a ，2a )(a<0)，则cos α= ▲ ．55-5．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项的和，若3620a a +=，则36S S 的值是 ▲ ．2 6．如图，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么EF ＝ ▲ ．(用AB 和AD 表示)1223AB AD -7．已知命题p ：|x －a |<4，命题q ：(x －1)( 2－x )>0，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．[－2，5]8．已知直线01=+-y x 与曲线ln y x a =-相切，则a 的值为 ▲ ．2- 9．在△ABC 中，BC ＝1，B ＝π3，△ABC 的面积S ＝3，则边AC 等于 ▲ ．1310．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ＞0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0是奇函数且函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，则实数a 的取值范围为 ▲ ．(1，3]．11．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6与y 轴最近的对称轴方程是 ▲ ．6x π=-12．如图，点O 为△ABC 的重心，且OA OB ⊥，4AB =，则AC BC ⋅的值为▲ ．3213．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，11a =，2(1)n n S n a =+，若关于正整数n 的不等式222n n a ta t -≤的解集中的整数解有两个，则正实数t 的取值范围为 ▲ ．3(1,)214．已知函数2+1, 1,()(), 1,a x x f x x a x ⎧-⎪=⎨->⎪⎩≤ 函数()2()g x f x =-，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则实数a 的取值范围是 ▲ ．23a <≤二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)已知向量(sin(),1)2a x ωϕ=+，(1,cos())2b x ωϕ=+(0,0)4πωϕ><<，记函数()()()f x a b a b =+⋅-．若函数()y f x =的周期为4，且经过点1(1,)2M ．(1)求ω的值；(2)当11x -≤≤时，求函数()f x 的最值．15．解：(1)2222()()()sin ()cos ()cos(2)22f x a b a b a b x x x ωωϕϕωϕ=+⋅-=-=+-+=-+ ………………4分由题意得：周期24T πω==，故2πω=………………6分(2)∵图象过点1(1,)2M ，1cos(2)22πϕ∴-+=即1sin 22ϕ=，而04πϕ<<，故26πϕ=，则()cos()26f x x ππ=-+． ………………10分 当11x -≤≤时，23263x ππππ-≤+≤1cos()1226x ππ∴-≤+≤ ∴当13x =-时，min ()1f x =-，当1x =时，max 1()2f x =． ………………14分16．(本小题满分14分)设公差不为零的等差数列{}n a 的前5项的和为55，且2674,,9a a a a +-成等比数列．(1)求数列{}n a 的通项公式．(2)设数列4(6)(4)n n n b a a =--，求证：数列{}n b 的前n 项和12n S <．16．解：(1)设等差数列的的首项为1a ，公差为d ，则112111154555722(56)()(39)a d a d a d a d a d a d ⨯⎧+==⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪+++=++-⎩或1110a d =⎧⎨=⎩(舍去) 故数列{}n a 的通项公式为72(1)n a n =+-即25n a n =+．………… 7分 (2)由(1)25n a n =+， 得11111()(6)(4)(21)(21)22121n n n b a a n n n n ===----+-+．…………10分12111111[(1)()()]23352121n n S b b b n n =+++=-+-++--+111(1)2212n =-<+． ………14分17．(本小题满分14分)如图，在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，(sin cos )a b C C =+． (Ⅰ)求ABC ∠； (Ⅱ)若=2A π∠，D 为ABC ∆外一点，2DB =，1DC =，求四边形ABDC 面积的最大值．17．解：(Ⅰ)在ABC ∆中，∵(sin cos )a b C C =+，∴sin sin (sin cos )A B C C =+， ……………………………………………1分 ∴sin()sin (sin cos )B C B C C π--=+，∴sin(+)sin (sin cos )B C B C C =+，……………………………………………2分 ∴sin cos cos sin sin sin sin cos B C B C B C B C +=+， ……………………… 3分 ∴cos sin sin sin B C B C =，又∵(0,)C ∈π，故sin 0C ≠， ……………………………………………4分BACD∴cos sin B B =，即tan 1B =． ……………………………………………5分 又(0,)B ∈π，∴4B π=． ……………………………………………6分 (Ⅱ)在BCD ∆中，2DB =，1DC =，222=12212cos BC D +-⨯⨯⨯54cos D =-． ………………………………7分又=2A π，由(Ⅰ)可知4ABC π∠=， ∴ABC ∆为等腰直角三角形， …………………………………………8分21115cos 2244ABC S BC BC BC D ∆=⨯⨯⨯==-， ……………………………… 9分又1sin sin 2BDC S BD DC D D ∆=⨯⨯⨯=， ……………………………………10分∴55cos sin 2sin()444ABDC S D D D π=-+=+-四边形． ……………………12分 ∴当=4D 3π时，四边形ABDC 的面积有最大值，最大值为524+．………14分18．(本小题满分16分)如图，某城市有一块半径为40 m 的半圆形绿化区域(以O 为圆心，AB 为直径)，现计划对其进行改建．在AB 的延长线上取点D ，OD ＝80 m ，在半圆上选定一点C ，改建后的绿化区域由扇形区域AOC 和三角形区域COD 组成，其面积为S m 2．设∠AOC ＝x rad ．(1)写出S 关于x 的函数关系式S (x )，并指出x 的取值范围； (2)试问∠AOC 多大时，改建后的绿化区域面积S 取得最大值．18．(本小题满分16分)解：(1)因为扇形 AOC 的半径为 40 m ，∠AOC ＝x rad ，所以 扇形AOC 的面积S 扇形AOC ＝x ·OA 22＝800x ，0＜x ＜π． …………… 2分在△COD 中，OD ＝80，OC ＝40，∠COD ＝π－x ，所以△COD 的面积S △COD ＝12·OC ·OD ·sin ∠COD ＝1600sin(π－x )＝1600sin x ．………………… 5分从而 S ＝S △COD ＋S 扇形AOC ＝1600sin x ＋800x ，0＜x ＜π． …………………7分 (2)由(1)知， S (x )＝1600sin x ＋800x ，0＜x ＜π．S ′(x )＝1600cos x ＋800＝1600(cos x ＋12)． ……………… 9分ABOCD（第18题）由 S ′(x )＝0，解得x ＝2π3．从而当0＜x ＜2π3时，S ′(x )＞0；当2π3＜x ＜π时， S ′(x )＜0 ．因此 S (x )在区间(0，2π3)上单调递增；在区间(2π3，π)上单调递减． …………… 14分所以 当x ＝2π3，S (x )取得最大值．答：当∠AOC 为2π3时，改建后的绿化区域面积S 最大．……………… 16分19． (本小题满分16分) 已知函数2()22a f x ax a x-=++-(0)a >． (Ⅰ)当1a =时，求函数()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程； (Ⅱ)求函数()f x 的单调区间；(Ⅲ)若()2ln f x x ≥在[1,)+∞上恒成立，求a 的取值范围． 19．解：(1)当 1=a 时，1()=-f x x x ，21()1f x x'=+ …………2分 3(2),2=f 5(2)4f '= …………3分所以，函数()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程为35(2)24-=-y x 即：5440--=x y …………4分 (Ⅱ)函数的定义域为：{|0}≠x x2'222(2)()(0)-+-=-=>a ax a f x a a x x …………6分当02<≤a 时，'()0≥f x 恒成立，所以，()f x 在(,0)-∞和(0,)+∞上单调递增 当2>a 时，令'()0=f x ，即：220+-=ax a ，1222,--=-=a a x x a a'()0,>f x 21;或><x x x x '()0,<f x 1200或<<<<x x x x ， 所以，()f x 单调递增区间为22(,)(,)和---∞-+∞a a a a，单调减区间为22(,0))和(0,---a a a a． …………10分 (Ⅲ)因为()2ln ≥f x x 在[1,)+∞上恒成立，有2222ln 0(0)-++--≥>a ax a x a x在[1,)+∞上恒成立．所以，令2()222ln -=++--a g x ax a x x， 则2'2222222(1)[(2)]()---+-+-=--==a ax x a x ax a g x a x x x x ． 令'()0,=g x 则1221,-==-a x x a若21--=a a，即1=a 时，'()0≥g x ，函数()g x 在[1,)+∞上单调递增，又(1)0=g 所以，()2ln ≥f x x 在[1,)+∞上恒成立； 若21-->a a ，即1<a 时，当2(0,1),(,)-∈-+∞a x a时，'()0,()>g x g x 单调递增； 当2(1,)-∈-a x a时，'()0<g x ，()g x 单调递减 所以，()g x 在[1,)+∞上的最小值为2()--a g a， 因为(1)0,=g 所以2()0--<a g a不合题意． 21,--<a a 即1>a 时，当2(0,),(1,)-∈-+∞a x a时，'()0,()>g x g x 单调递增， 当2(,1)-∈-a x a时，'()0,()<g x g x 单调递减， 所以，()g x 在[1,)+∞上的最小值为(1)g 又因为(1)0=g ，所以()2ln ≥f x x 恒成立综上知，a 的取值范围是[1,)+∞． …………16分20．(本题满分16分)已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且4=+n n a S ，∈n N * (1)求数列}{n a 的通项公式；(2)已知32+=n c n (∈n N *)，记=n d n C n a c log +(0>C 且1≠C )，是否存在这样的常数C ，使得数列}{n d 是常数列，若存在，求出C 的值；若不存在，请说明理由．(3)若数列}{n b ，对于任意的正整数n ，均有2221123121+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=++++--n a b a b a b a b nn n n n 成立，求证：数列}{n b 是等差数列． 20．解：(1)114a a -=，所以21=a ………………1分由4=+n n a S 得2≥n 时，411=+--n n a S两式相减得，12-=n n a a ，211=-n n a a …………2分 数列}{n a 是以2为首项，公比为21的等比数列， 所以n n a -=22(*N n ∈) ……………4分(2)由于数列}{n d 是常数列n d =n C n a c log +2log )2(32C n n -++= ……………6分=2log 2log 232C C n n -++2log 23)2log 2(C C n ++-=为常数，只有02log 2=-C ；解得2=C ，此时7=n d ………8分 (3)2221123121+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=++++--n a b a b a b a b nn n n n ……① 1=n ，1232111-=-=a b ，其中21=a ，所以 211-=b …10分 当2≥n 时， 2121111332211+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=++++-----n a b a b a b a b n n n n n ② …12分 ②式两边同时乘以21得， 41212123121+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=++++---n a b a b a b a b n n n n n ③ …14分 ①式减去③得，431--=n a b n ，所以838--=n b n 且811-=-+n n b b 所以数列}{n b 是以21-为首项，公差为81-的等差数列． …16分数学II(附加题 共40分)21． (本小题满分10分)设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －23 －7的逆矩阵为1-A ，矩阵B 满足AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，求1-A ，B ．21．解：因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －23 －7，所以|A |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －23 －7＝－7＋6＝－1． 由逆矩阵公式得，A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7 －23 －1． …5分 因为AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，所以B ＝A －1AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7 －23 －1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤31＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤19 8．…………………………10分22．(本小题满分10分)设矩阵1221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求矩阵A 的逆矩阵的特征值及对应的特征向量． 答案：矩阵A 的逆矩阵为12332133⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，则特征多项式为221421()()3933f λλλλ=+-=+- 令()0f λ=，解得1211,3λλ=-=，设特征向量为x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则12332133x x y y ⎡⎤-⎢⎥⎡⎤⎡⎤⋅=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦， 易算得特征值11λ=-对应的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，同理可得特征值213λ=对应的一 个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(10分)23．(本小题满分10分)已知曲线C 的极坐标方程为 ρ＝2cos θ，直线l 的极坐标方程为 ρ sin(θ＋π6)＝m ．若直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，求实数m 的值．23．解：曲线C 的极坐标方程为 ρ＝2cos θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ．即(x －1)2＋y 2＝1，表示以(1，0)为圆心，1为半径的圆． …………………… 3分 直线l 的极坐标方程是 ρ sin(θ＋π6)＝m ，即12ρcos θ＋32ρsin θ＝m ， 化为直角坐标方程为x ＋ 3y －2m ＝0． ………………… 6分因为直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，所以|1－2m |2＝1，解得m ＝－12或m ＝32． 所以，所求实数m 的值为－12 或 32． ……………… 10分24． (本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θy ＝3sin θ(θ为参数，θ∈R )，直线l ：⎩⎨⎧x ＝3＋22t ，y ＝－3＋22t(t 为参数，t ∈R )，求曲线C 上的动点P 到直线l 的距离的最小值．21．C ．解：将直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝3＋22ty ＝－3＋22t化为普通方程为x －y －6＝0． 因为点P 在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θy ＝3sin θ(θ为参数)上，所以设P (4cos θ，3sin θ)． 点P 到直线l 的距离d ＝|4cos θ－3sin θ－6|2＝|5cos(θ＋φ)－6|2，其中tan φ＝34，φ是锐角． 所以当cos(θ＋φ)＝1时，d min ＝22． 所以点P 到直线l 的距离的最小值为22．…………………………………10分。

启东市第一中学2017-2018年度第一学期第一次质量检查考试高三数学试卷（考试时间120分钟，试卷满分160分）一．填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{m ，4，7}．若A ∩B ＝{1，4}，则A ∪B ＝________． 2．命题“0≤∈∃x R x ，”的否定是“________________ ”．3．若函数y ＝(a 2－3a ＋3)·a x 是指数函数，则实数a 的值为________．4．已知扇形的周长是6cm ，面积是2cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是________． 5．函数y ＝12－|x|＋lg(3x ＋1)的定义域为 ．6．将函数x x f sin )(=的图像先纵坐标不变，横坐标变为原来的21，再将图像向右平移4π个单位后，得到的函数y = ． 7．函数y ＝1x＋2lnx 的单调减区间为________．8．已知f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(x ＋4)＝f(x)．当x ∈(0，2)时，f(x)＝－x ＋4， f(7)＝________．9．若x>－3，则x ＋2x ＋3的最小值为________．10．设实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤3，2x ＋y ≤4，则z ＝3x ＋2y 的最大值是________．11．已知f(x)＝x 2－2x ＋3，g(x)＝kx －1，则“|k|≤2”是“f(x)≥g(x)在R 上恒成立”的________条件(填“充分不必要”“必要而不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．12．已知函数y ＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y ＝2x －1，则函数g(x)＝x 2＋f(x)在点(2，g(2))处的切线方程为________．13．已知函数y ＝cosx 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．14．函数1sin )1()(--=x x x f π(－1＜x ＜3)的所有零点之和为________．二．解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 15．如图，单位圆(半径为1的圆)的圆心O 为坐标原点，单位圆与y 轴的正半轴交于点A ，与钝角α的终边OB 交于点B(x B ，y B )，设∠BAO ＝β．(1) 用β表示α；(2) 如果sin β＝45，求点B(x B ，y B )的坐标；(3) 求x B －y B 的最小值．16．集合A ＝{x|－2≤x ≤5}，集合B ＝{x|m ＋1≤x ≤2m －1}．(1) 若B ÍA ，求实数m 的取值范围；(2) 当x ∈R 时，没有元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立，求实数m 的取值范围．17．已知函数f(x)＝3sin (ωx ＋φ))22,0πϕπω<≤->（的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π． (1) 求ω和φ的值； (2) 求f(x)的单调减区间．18． 已知函数f(x)＝x 2＋4ax ＋2a ＋6．(1) 若f(x)的值域是[0，＋∞)，求a 的值；(2) 若函数f(x)≥0恒成立，求g(a)＝2－a|a －1|的值域．19．过去的2016年，我国多地区遭遇了雾霾天气，引起口罩热销．某品牌口罩原来每只成本为6元，售价为8元，月销售5万只．(1) 据市场调查，若售价每提高0.5元，月销售量将相应减少0.2万只，要使月总利润不低于原来的月总利润(月总利润＝月销售总收入－月总成本)，该口罩每只售价最多为多少元？(2) 为提高月总利润，厂家决定下月进行营销策略改革，计划每只售价x(x ≥9)元，并投入265(x －9)万元作为营销策略改革费用．据市场调查，每只售价每提高0.5元，月销售量将相应减少0.2（x －8）2万只．则当每只售价x 为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润．20．设函数f(x)＝(x 2＋ax ＋b)e x (x ∈R )．(1) 若a ＝2，b ＝－2，求函数f(x)的极大值； (2) 若x ＝1是函数f(x)的一个极值点． ① 试用a 表示b ；② 设a ＞0，函数g(x)＝(a 2＋14)e x ＋4.若21,x x ∈[0，4]，使得|f(1x )－g(2x )|＜1成立，求a 的取值范围．启东市第一中学2017-2018年度第一学期第一次质量检查考试高三数学试卷（考试时间120分钟，试卷满分160分）一．填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{m ，4，7}．若A ∩B ＝{1，4}，则A ∪B ＝________．答案：{1，2，3，4，7}2．命题“0≤∈∃x R x ，”的否定是“________________ ”．答案："x ∈R ，|x|>03．若函数y ＝(a 2－3a ＋3)·a x 是指数函数，则实数a 的值为________．答案：24．已知扇形的周长是6cm ，面积是2cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是________．答案：15．函数y ＝12－|x|＋lg(3x ＋1)的定义域为 ．答案：），（）（∞+⋃22,31- 6．将函数x x f sin )(=的图像先纵坐标不变，横坐标变为原来的21，再将图像向右平移4π个单位后，得到的函数y = ． 答案：x y 2cos -=7．函数y ＝1x＋2lnx 的单调减区间为________．答案：⎪⎭⎫⎝⎛210，8．已知f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(x ＋4)＝f(x)．当x ∈(0，2)时，f(x)＝－x ＋4， f(7)＝________． 答案：-39．若x>－3，则x ＋2x ＋3的最小值为________．答案：22－310．设实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤3，2x ＋y ≤4，则z ＝3x ＋2y 的最大值是________．答案：711．已知f(x)＝x 2－2x ＋3，g(x)＝kx －1，则“|k|≤2”是“f(x)≥g(x)在R 上恒成立”的________条件(填“充分不必要”“必要而不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．答案：充分不必要12．已知函数y ＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y ＝2x －1，则函数g(x)＝x 2＋f(x)在点(2，g(2))处的切线方程为________． 答案：6x －y －5＝013．已知函数y ＝cosx 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________． 答案：π614．函数1sin )1()(--=x x x f π(－1＜x ＜3)的所有零点之和为________．答案：4二．解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15．如图，单位圆(半径为1的圆)的圆心O 为坐标原点，单位圆与y 轴的正半轴交于点A ，与钝角α的终边OB 交于点B(x B ，y B )，设∠BAO ＝β． (1) 用β表示α；(2) 如果sin β＝45，求点B(x B ，y B )的坐标；(3) 求x B －y B 的最小值．解：(1) ∠AOB ＝α－π2＝π－2β，所以α＝3π2－2β．····················2分(2) 由sin α＝y Br ，r ＝1，得y B ＝sin α＝sin )223βπ-（， ＝－cos2β＝2sin 2β－1 ＝2×254）（－1＝725，由α为钝角，知x B ＝cos α＝－1－sin 2α＝－2425．所以B ），（2572524-． ··················8分 (3) x B －y B ＝cos α－sin α＝2cos ）（4πα+， 又α∈），（ππ2，则α＋π4∈），（4543ππ， cos ）（4πα+∈⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡22-1-，．所以x B －y B 的最小值为－2． ·················14分16．集合A ＝{x|－2≤x ≤5}，集合B ＝{x|m ＋1≤x ≤2m －1}．(1) 若B ÍA ，求实数m 的取值范围；(2) 当x ∈R 时，没有元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立，求实数m 的取值范围． 解：(1) 当m ＋1＞2m －1即m ＜2时，B ＝Æ满足B ÍA ； 当m ＋1≤2m －1即m ≥2时， 要使B ÍA 成立，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤5，解得2≤m ≤3．综上所述，当m ≤3时有B ÍA ． ·················6分 (2) 因为x ∈R ，且A ＝{x|－2≤x ≤5}，B ＝{x|m ＋1≤x ≤2m －1}，又没有元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立，则① 若B ＝Æ，即m ＋1＞2m －1，得m ＜2时满足条件；② 若B ≠Æ，则要满足条件⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1＞5，解得m ＞4；或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，2m －1＜－2，无解．综上所述，实数m 的取值范围为m ＜2或m ＞4 ． ·················14分17．已知函数f(x)＝3sin (ωx ＋φ))22,0πϕπω<≤->（的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π． (1) 求ω和φ的值； (2) 求f(x)的单调减区间．解：(1) 因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2．又f(x)的图象关于直线x ＝π3对称，所以2×π3＋φ＝k π＋π2，k Z ∈，因为－π2≤φ＜π2，所以φ＝－π6． ·················7分(2) )62sin(3)(π-=x x f ，226222πππππ+≤-≤-k x k ，36ππππ+≤≤-∴k x k ，f(x)的单调减区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-3,6ππππk k ()Z k ∈． ·················14分18． 已知函数f(x)＝x 2＋4ax ＋2a ＋6.(1) 若f(x)的值域是[0，＋∞)，求a 的值；(2) 若函数f(x)≥0恒成立，求g(a)＝2－a|a －1|的值域． 解：(1) ∵ f(x)的值域是[0，＋∞)，即f min (x)＝0， ∴ 4（2a ＋6）－（4a ）24＝0，∴ a ＝－1或32． ·················4分(2) 若函数f(x)≥0恒成立，则Δ＝(4a)2－4(2a ＋6)≤0，即2a 2－a －3≤0， ∴ －1≤a ≤32，∴ g(a)＝2－a|a －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a ＋2，－1≤a ≤1，－a 2＋a ＋2，1<a ≤32. 当－1≤a ≤1，g(a)＝a 2－a ＋2＝2)21(-a ＋74，∴ g(a)∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,47；当1<a ≤32，g(a)＝－a 2＋a ＋2＝－2)21(-a ＋94，∴ g(a)∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,45，∴ 函数g(a)＝2－a|a －1|的值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,45． ·················16分19．过去的2016年，我国多地区遭遇了雾霾天气，引起口罩热销．某品牌口罩原来每只成本为6元，售价为8元，月销售5万只．(1) 据市场调查，若售价每提高0.5元，月销售量将相应减少0.2万只，要使月总利润不低于原来的月总利润(月总利润＝月销售总收入－月总成本)，该口罩每只售价最多为多少元？(2) 为提高月总利润，厂家决定下月进行营销策略改革，计划每只售价x(x ≥9)元，并投入265(x －9)万元作为营销策略改革费用．据市场调查，每只售价每提高0.5元，月销售量将相应减少0.2（x －8）2万只．则当每只售价x 为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润．解：(1) 设每只售价为x 元，则月销售量为)2.05.08-5⨯-x （万只， 由已知得)2.05.08-5⨯-x （(x －6)≥(8－6)×5， ∴ 25x 2－535x ＋2965≤0，即2x 2－53x ＋296≤0， 解得8≤x ≤372，即每只售价最多为18.5元． ·················6分(2) 下月的月总利润y ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯-2)8(2.05.08-5x x (x －6)－265(x －9) ＝2.4－0.4x x －8－15x ＋234－1505＝－0.4（x －8）－0.8x －8－15x ＋845 ＝－⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-48)854x x （＋745． ·················13分 ∵ x ≥9，∴45（x －8）＋x －85≥2425＝45， 当且仅当45（x －8）＝x －85，即x ＝10，y max ＝14．答：当x ＝10时，下月的月总利润最大，且最大利润为14万元．········16分20．设函数f(x)＝(x 2＋ax ＋b)e x (x ∈R )．(1) 若a ＝2，b ＝－2，求函数f(x)的极大值； (2) 若x ＝1是函数f(x)的一个极值点． ① 试用a 表示b ；② 设a ＞0，函数g(x)＝(a 2＋14)e x ＋4.若21,x x ∈[0，4]，使得|f(1x )－g(2x )|＜1成立，求a 的取值范围．解：(1) f′(x)＝(2x ＋a)e x ＋(x 2＋ax ＋b)e x ＝[x 2＋(2＋a)x ＋(a ＋b)]e x ， 当a ＝2，b ＝－2时，f(x)＝(x 2＋2x －2)e x ， 则f′(x)＝(x 2＋4x)e x ， 令f′(x)＝0，得(x 2＋4x)e x ＝0，∵ e x ≠0, ∴ x 2＋4x ＝0，解得x ＝－4或x ＝0， 列表如下： ∴ 当x ＝－4时，函数f(x)取极大值，f(x)极大值＝6e 4 ． ·················6分(2) ① 由(1)知f′(x)＝[x 2＋(2＋a)x ＋(a ＋b)]e x ． ∵ x ＝1是函数f(x)的一个极值点，∴ f′(1)＝0，即e[1＋(2＋a)＋(a ＋b)]＝0，解得b ＝－3－2a ． ·················8分 ② 由①知f′(x)＝e x [x 2＋(2＋a)x ＋(－3－a)] ＝e x (x －1)[x ＋(3＋a)]，当a ＞0时，f(x)在区间(0，1)上单调递减，在区间(1，4)上单调递增， ∴ 函数f(x)在区间[0，4]上的最小值为f(1)＝－(a ＋2)e ． ∵ f(0)＝b ＝－3－2a ＜0，f(4)＝(2a ＋13)e 4＞0， ∴ 函数f(x)在区间[0，4]上的值域是[f(1)，f(4)]， 即[－(a ＋2)e ，(2a ＋13)e 4]． 又g(x)＝(a 2＋14)e x＋4在区间[0，4]上是增函数，且它在区间[0，4]上的值域是[(a 2＋14)e 4，(a 2＋14)e 8]， ∴ (a 2＋14)e 4－(2a ＋13)e 4＝(a 2－2a ＋1)e 4＝(a －1)2e 4≥0，∴ 存在21,x x ∈[0，4]使得|f(1x )－g(2x )|＜1成立只须(a 2＋14)e 4－(2a ＋13)e 4＜1， (a －1)2e 4＜1， (a －1)2＜1e4 ，1－1e 2＜a ＜1＋1e 2． ·················16分。

2017届高三第二学期期初考试数学（Ⅰ）试题参考答案与评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上。

1． {0} 2．10 3． 25﹪(或0.25) 4． 34 5． (－∞，2] 6． 3107． 1 8． －5（必修4，P131复习题12）. 9． 2 210．21±【解析】由OP →＝OA →＋OB →得∠AOB ＝120°，四边形OAPB 是菱形，且直线的斜率存在，设直线方程为5+=kx y ，由圆心到直线的距离为2,即2152=+k ，解得21±=k .11．24π【解析】设底面半径为r ，高为h ，则216r h =，)16(22r r S +=π表， 2384rr S -='π表，当0＜r ＜2时表S '＜0，当r ＞2， 表S '＞0，故r =2时取得极小值，也是最小值，最小值为24π． 12．⎝⎛⎭⎫13，＋∞【解析】当n ≥2时，由S n ＝na n －2n (n －1)＝n (S n －S n －1)－2n (n －1)，得(n －1)S n －nS n －1＝2n (n －1)，即S n n －S n －1n －1＝2.所以数列{S nn}是以2为公差的等差数列.又因为S 1＝a 1＝2，所以S nn ＝2n ，即S n ＝2n 2，从而a n ＝4n －2，因为λS n ＋1＞a n 对n ∈N *均成立⇒λ＞2n －1(n ＋1)2恒成立，设f (n )＝2n －1(n ＋1)2＝－3(n ＋1)2＋2n ＋1＝－3(1n ＋1－13)2＋13≤13，当且仅当n ＝2时取等号.所以实数λ的取值范围为⎝⎛⎭⎫13，＋∞. 【另解】当n ≥2时，由S n-1＝(n －1)a n-1－2(n －1) (n －2)和S n ＝na n －2n (n －1)，相减得a n =na n －(n －1)a n-1－4(n －1)，即为a n －a n-1=4，从而a n ＝4n －2下同。