2018年高考数学常见题型解法归纳反馈训练第40讲数列最值的求法

专题五 数列问题二：数列中的最值问题一、考情分析数列中的最值是高考热点，常见题型有：求数列的最大项或最小项、与n S 有关的最值、求满足数列的特定条件的n 最值、求满足条件的参数的最值、实际问题中的最值及新定义题型中的最值问题等. 二、经验分享(1) 数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解．解决数列的单调性问题可用以下三种方法①用作差比较法，根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列还是常数列． ②用作商比较法，根据a n ＋1a n(a n ＞0或a n ＜0)与1的大小关系进行判断．③结合相应函数的图象直观判断． (2) 最大值与最小值：若⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n ＋1，a n ≥a n －1， 则a n 最大；若⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n ＋1，a n ≤a n －1， 则a n 最小. (3)求等差数列前n 项和的最值，常用的方法：①利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值；②利用等差数列的前n 项和S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)为二次函数，通过二次函数的性质求最值.另外，对于非等差数列常利用函数的单调性来求其通项或前n 项和的最值. 三、知识拓展已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，①若0d >，n S 有最小值，若10,0k k a a +<>，则k S 最小，若0k a =则1,k k S S -最小； ①若0d <，n S 有最大值，若10,0k k a a +><，则k S 最大，若0k a =则1,k k S S -最大。

四、题型分析(一) 求数列的最大项或最小项求数列中的最大项的基本方法是： (1)利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1(n ≥2)确定数列的最大项；(2)利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≥a n ，a n ≤a n ＋1(n ≥2)确定数列的最小项．(3)利用函数或数列单调性求最大项或最小项. 【例1】已知数列}{n a 的通项公式为n a =2156nn +,求}{n a 的最大项．【分析】思路1：利用基本不等式求解.思路2：求满足⎩⎨⎧≥≥-+11n nn n a a a a 的n 的值.【解法一】基本不等式法.n a =2156nn +=1156n n+,因为156n n +≥1562n n ⨯；当且仅当156n n =,即n=156时,而,144156169<< 且n∈N *,于是将n=12或13代人,得1213a =a 且最大．【评注】解法一是是利用基本不等式求解,解法二是通过确定满足⎩⎨⎧≥≥-+11n n n n a a a a 的n 的值,从而找到最大项【小试牛刀】在数列{a n }中,a n ＝(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n(n ∈N *).(1)求证：数列{a n }先递增,后递减； (2)求数列{a n }的最大项.【解析】因a n ＝(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n是积幂形式的式子且a n ＞0,所以可用作商法比较a n 与a n －1的大小. (1)证明：令a na n －1≥1(n ≥2),即（n ＋1）⎝ ⎛⎭⎪⎫1011nn ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n －1≥1,整理得n ＋1n ≥1110,解得n ≤10. 令a na n ＋1≥1,即（n ＋1）⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n（n ＋2）⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＋1≥1,整理得n ＋1n ＋2≥1011,解得n ≥9. ∴从第1项到第9项递增,从第10项起递减. (2)解：由(1)知a 9＝a 10＝1010119最大.【点评】要证明数列{a n }是单调的,可利用“{a n }是递增数列⇔a n ＜a n ＋1,数列{a n }是递减数列⇔a n ＞a n ＋1”来证明.注意数列的单调性是探索数列的最大、最小项及解决其他许多数列问题的重要途径,因此要熟练掌握上述求数列单调性的方法. (二) 数列前n 项和最值问题公差不为0的等差数列的前n 项和的最值问题在高考中常出现,题型有小题也有大题,难度不大,求等差 数列前n 项和最值的方法有：(1)利用{a n }中项的单调性,求出其正负转折项．(2)利用二次函数的性质求最值．公差不为0的等差数列的前n 项和S n ＝An 2＋Bn (A ,B 为常数)．(3)利用⎩⎪⎨⎪⎧S n ≥S n －1，S n ≥S n ＋1求出S n 的最值.【例2】在等差数列{a n }中,a 1＝7,公差为d ,前n 项和为S n ,当且仅当n ＝8时S n 取最大值,则d 的取值范围是________．【分析】知a 1和S 8最大,可以求出S n 关于d 的表达式是关于n 的二次函数,再用二次函数的最值来解决；还可用S 8最大推出项的正负和变化规律,并利用所有正数项和最大．【小试牛刀】【安徽省宿州市2018届高三上学期第一次教学质量检测】在等差数列{}n a 中， 761a a <-，若它的前n 项和n S 有最大值，则当0n S >时， n 的最大值为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】A【解析】数列{}n a 为等差数列，若761a a <-，则7660a aa +<，可得0d < 60a ∴>， 760a a +<， 70a <，111620a a a ∴+=>， 110S >112760a a a a +=+<， 120S <，则当0n S >时， n 的最大值为11，故选A(三) 求满足数列的特定条件的n 的最值【例3】【贵州省凯里市第一中学2018届高三下学期一模】已知{}n a 的前n 项和为12n n S m +=+，且145,,2a a a -成等差数列， ()()111n n n n a b a a +=--，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则满足20172018n T >的最小正整数n 的值为（ ）A. 8B. 9C. 10D. 11 【分析】先求和，再解不等式. 【答案】C【解析】114a S m ==+，当2n ≥时， 12n n n n a S S -=-=，由145,,2a a a -成等差数列可得41522a a a =+-，即4522422m ⨯+++-，解得2m =-，故2n n a =，则()()1111112121n n n n n n a b a a ++==-----，故2231111111111212121212121n n n n T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，由20172018n T >得1120171212018n +->-，即122019n +>，则111n +≥，即10n ≥，故n 的最小值为10. 【小试牛刀】【四川省2017年普通高考适应性测试】设数列{}n a 各项为正数,且214a a =,()2*12n n n a a a n N +=+∈.（Ⅰ）证明：数列(){}3log 1n a +为等比数列；（Ⅱ）令()321log 1n n b a -=+,数列{}n b 的前n 项和为n T ,求使345n T >成立时n 的最小值. 【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）6（Ⅱ）由（Ⅰ）可知,()13log 12n n a -+=,()221321log 124n n n n b a ---=+==,则()211211444413n nn n T b b b -=+++=++++=-……. 不等式345n T >即为()*41036n n N >∈,所以6n ≥,于是345n T >成立时n 的最小值为6. (四) 求满足条件的参数的最值【例4】【山东省枣庄市2017届高三上学期期末】已知n S 为各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和,()210,2,326n n n a a a S ∈++=.（1）求{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=,数列{}n b 的前n 项和为n T ,若对,4n n N t T *∀∈≤恒成立,求实数t 的最大值. 【分析】(1)首先求得1a 的值,然后利用n a 与n S 的关系推出数列{}n a 为等差数列,由此求得{}n a 的通项公式；(2)首先结合（1）求得n b 的表达式,然后用裂项法求得n T ,再根据数列{}n T 的单调性求得t 的最大值．【解析】(1)当1n =时,由2326n n n a a S ++=,得2111326a a a ++=,即211320a a -+=. 又()10,2a ∈,解得11a =.由2326n n n a a S ++=,可知2111326n n n a a S +++++=.两式相减,得()2211136n n n n n a a a a a +++-+-=,即()()1130n n n n a a a a +++--=.由于0n a >,可得130n n a a +--=,即13n n a a +-=,所以{}n a 是首项为1,公差为3的等差数列,所以()13132n a n n =+-=-. (2)由32n a n =- ,可得()()12111111,...323133231n n n n n b T b b b a a n n n n +⎛⎫===-=+++ ⎪-+-+⎝⎭1111111...3447323131n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 因为()()()1110311313134n n n n T T n n n n ++-=-=>+++++,所以1n n T T +>,所以数列{}n T 是递增数列,所以1141444n n t t t T T T t ≤⇔≤⇔≤=⇔≤,所以实数t 的最大值是1. 【点评】(1) 求解与参数有关的问题,一般是分离变量,再构造新函数求解.(2)使用裂项法,要注意正负项相消时,消去了哪些项,保留了哪些项．要注意由于数列{}n a 中每一项n a 均裂成一正一负两项,所以互为相反数的项合并为零后,所剩正数项与负数项的项数必是一样多的,切不可漏写未被消去的项,未被消去的项有前后对称的特点．【小试牛刀】已知数列{}n a 的通项公式为11n a n =+,前n 项和为n S ,若对任意的正整数n ,不等式216n n mS S ->恒成立,则常数m 所能取得的最大整数为 . 【答案】5五、迁移运用1.【福建省福州市2018届高三上学期期末质检】设数列{}n a 的前n 项和为n S ， 121n n a a n ++=+，且1350n S =.若22a <，则n 的最大值为（ ）A. 51B. 52C. 53D. 54 【答案】A【解析】若n 为偶数，则()()()()()1234112112312112n n n n n S a a a a a a n -+=++++++=⨯++⨯++-+=，5012751350S =<， 5217381350S =>，所以这样的偶数不存在若n 为奇数，则若5121301.51350S a =-=，则当248.52a =-<时成立 若5321405.51350S a =-=，则当255.52a =>不成立 故选A点睛：本题是道数列的综合题目，考查了数列的求和时的最值问题，需要注意这里的分类讨论，当n 为偶数、n 为奇数时运用等差数列求和，将和的表达式写出来，然后结合题意进行讨论2．【福建省三明市A 片区高中联盟校2018届高三上学期阶段性考试】已知在各项为正数的等比数列{}n a 中，4a 与10a 的等比中项为4，则当5928a a +取最小值时首项1a 等于（ ）A. 32B. 16C. 8D. 4 【答案】A【解析】设各项为正数的等比数列{}n a 的公比为(0)q q > ∵4a 与10a 的等比中项为4∴2241074a a a ==，∴74a =∴22275972222882883223232a a a a q q q q q q+=+=+≥⨯= 当且仅当22832q q =，即212q =时取等号，此时71632a a q==，故选A 3.【河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛,】已知在正项等比数列{}n a 中,存在两项,m n a a 满足14m n a a a =,且6542a a a =+,则14m n+的最小值是（ ） A ．32 B ．2 C. 73 D ．256【答案】A4.【天津六校2017届高三上学期期中联考】已知数列{}n a 满足：11a =,12nn n a a a +=+()n N *∈．若11(2)(1)n nb n a λ+=-⋅+()n N *∈,1b λ=-,且数列{}n b 是单调递增数列,则实数λ的取值范围是（ ）A ．23λ>B ．32λ>C ．32λ<D ．23λ< 【答案】D 【解析】因为11111121111112(1)1(1)222n n n n n n n n n n a a a a a a a a a -+++=⇒=+⇒+=+⇒+=+=+,所以1(2)2n n b n λ+=-⋅,因为数列{}n b 是单调递增数列,所以当2n ≥时113(2)2(12)2212212n n n n b b n n n λλλλλ-+>⇒-⋅>--⋅⇒>-⇒>-⇒<；当1n =时,213(12)22b b λλλ>⇒-⋅>-⇒<,因此23λ<,选D. 5.设a n ＝－3n 2＋15n －18,则数列{a n }中的最大项的值是( )． A.163 B.133C ．4D ．0【答案】D【解析】∵a n ＝－32)25(-n ＋34,由二次函数性质,得当n ＝2或3时,a n 最大,最大为0.6.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1＝13,S 3＝S 11,当S n 最大时,n 的值是( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 【答案】 C【解析一】由S 3＝S 11,得a 4＋a 5＋…＋a 11＝0,根据等差数列的性质,可得a 7＋a 8＝0,根据首项等于13可推知这个数列递减,从而得到a 7＞0,a 8＜0,故n ＝7时,S n 最大．【解析二】由S 3＝S 11,可得3a 1＋3d ＝11a 1＋55d ,把a 1＝13代入,得d ＝－2, 故S n ＝13n －n (n －1)＝－n 2＋14n ,根据二次函数的性质,知当n ＝7时,S n 最大．【解析三】根据a 1＝13,S 3＝S 11,则这个数列的公差不等于零,且这个数列的和先是单调递增然后又单调递减,根据公差不为零的等差数列的前n 项和是关于n 的二次函数,以及二次函数图象的对称性,得只有当n ＝3＋112＝7时,S n 取得最大值． 7.在数列{a n }中,a n ＝n － 2 013n － 2 014,则该数列前100项中的最大项与最小项分别是 ( )A ．a 1,a 50B ．a 1,a 44C ．a 45,a 44D ．a 45,a 50【答案】C 【解析】a n ＝n － 2 013n － 2 014＝1＋ 2 014－ 2 013n － 2 014,∴当n ∈[1,44]时,{a n }单调递减,当n ∈[45,100]时,{a n }单调递减, 结合函数f (x )＝x － 2 013x － 2 014的图象可知,(a n )max ＝a 45,(a n )min ＝a 44,选C.8.已知函数()()22812f x x a x a a =++++-,且()()2428f a f a -=-,设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,()*n N ∈若()nSf n =,则41n n S aa --的最小值为（ ） A ．276 B ．358 C ．143 D ．378【答案】【解析】由题意可得等差数列的通项公式和求和公式,代入由基本不等式可得．由题意可得2428a a -=-或2842822a a a +-+-=⨯-（）， 解得a=1或a=-4,当a=-1时,2712f x x x =+-（）,数列{a n }不是等差数列； 当a=-4时,24f x x x =+（）,24nS f n n n ==+（）, ()()1257575123n a a a n n ∴===+--=+，，,()22121134416122)11(2n n n n S a n n a n n ++++-++∴==-++⨯()113113122121312121n n n n =⨯+++≥++⎡⎤⨯⎢⎥=++⎣⎦+（）（），当且仅当1311n n +=+,即131n =-时取等号, ∵n 为正数,故当n=3时原式取最小值378,故选D ．9．【天一大联考2017—2018学年高中毕业班阶段性测试】已知等差数列{}n a 的通项公式为n a n =，前n 项和为n S ，若不等式()()2*13222N n n S M n a a n ++≤+∈恒成立，则M 的最小值为__________．【答案】6259【解析】由题可知： ()()()()()2112232222n n n n n S Mn n +++=⇒≤++恒成立，即()()1322n M n n +≤++恒成立，设t=n+1，则()()()()21131322311323132n t tn n t t t t t t+===++++++++，因为函数31t t +在()0,3131+∞递减，（，）递增， ()()5667565,6565f f ==<，所以311259324366t t ++≥=，所以M 的最小值是625910．【江苏省常州2018届高三上学期期末】各项均为正数的等比数列{}n a 中，若234234a a a a a a =++，则3a 的最小值为________.【答案】3【解析】因为{}n a 是各项均为正数的等比数列，且234234a a a a a a =++，所以33324a a a a -=+，则3332424322a a a a a a a -=+≥=，即()23330a a -≥，即2333,3a a ≥≥，即3a 的最小值为3. 11．【福建省闽侯县第八中学2018届高三上学期期末】已知数列{}n na 的前n 项和为n S ，且2n n a =，则使得1500n n S na +-+<的最小正整数n 的值为__________． 【答案】512．【河北省承德市联校2018届高三上学期期末】设等差数列{}n b 满足136b b +=， 242b b +=,则12222n b b b 的最大值为________．【答案】512【解析】依题意有111126{ 32b b d b d b d ++=+++=，解得15,2b d ==-，故27n b n =-+.()12212222nn nb b b -++++= ，故当3n =时，取得最大值为92512=.13．【新疆乌鲁木齐地区2018届高三第一次诊断】设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若250S >， 260S <，则数列25121225,,,S S S a a a ⋯的最大项是第________项. 【答案】13【解析】因为250S >， 260S <，所以()()()125131312613141425262500;1300;22a a a a a a a a a +=>∴>+=+<∴< 所以13S 最大, 13a 为最小正数项,因此1313S a 最大,即最大项是第13项. 14.【安徽省淮南市2018届高三第一次（2月）模拟】已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，当2n ≥时，()211n n n n a S S S ---=，且11a =，设12log 3n n a b +=，则12341n b b b n ++⋯+++的最小值是________. 【答案】9【解析】当2n ≥ 时， 211n n n n a S S S ---=（） ，即()2112n n n n S S S S ---= ，展开化为：1140n n n n S S S S ----=（）（）， ∵正项数列{}n a 的前n 项和为n S 114n n n n S S S S --∴≠∴=．， ∴数列{}n S 是等比数列，首项为1，公比为4．11221424434n n n n n n n n S n a S S -----∴=∴≥=-=-=⨯．，．211{ 342n n n a n -∴=⨯≥，＝．， 221222223n n n a b log log n -+∴===-， 则()2120222n n n b b b n n +-++⋯+==-． 则()()2212131363434111n n n b b b n n n n n +-++++⋯++-+==+++ 361312391n n =++-≥-=+ 当且仅当3611n n +=+即5n =时等号成立.故答案为915．【山西省太原市2018届高三上学期期末】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()121nn S a =-， 416a =，*n N ∈.（1）求1a 及数列{}n a 的通项公式；（2）设2n nn b a =，求数列{}n b 的最大项.【解析】（1）由题得4431816a S S a =-==，解得12a =， 故122n n S +=-，则2n ≥时， 12n n n n a S S -=-=，令1n =， 12a =成立， 所以数列{}n a 的通项公式为2n n a =.（2）22n n n b =， ()222111121222n n n n n n n n n b b ++++-++-=-=. 当12n ≤≤时， 2210n n -++>，则1n n b b +>， 当3n ≥时， 2210n n -++<，则1n n b b +<， 故数列{}n b 前3项依次递增，从第3项开始依次递减， 所以数列{}n b 的最大项为398b =. 16.【天津六校2017届高三上学期期中联考】已知各项都是正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,212n nn S a a =+,n N *∈ （1） 求数列{}n a 的通项公式；（2） 设数列{}n b 满足：11b =,12(2)n n n b b a n --=≥,数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ,求证：2n T <； （3） 若(4)n T n λ≤+对任意n N *∈恒成立,求λ的取值范围. 【答案】（Ⅰ）12n a n =（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）29λ≥ 【解析】（1）时,是以为首项,为公差的等差数列（2）,,即2nT <（3）由得, 当且仅当时,有最大值,17.已知首项为32的等比数列{a n }不是递减数列,其前n 项和为S n (n ∈N *),且S 3＋a 3,S 5＋a 5,S 4＋a 4成等差数列．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)设T n ＝S n －1S n(n ∈N *),求数列{T n }的最大项的值与最小项的值．【解析】(1)设等比数列{a n }的公比为q , 因为S 3＋a 3,S 5＋a 5,S 4＋a 4成等差数列, 所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5,即4a 5＝a 3,于是q 2＝a 5a 3＝14.又{a n }不是递减数列且a 1＝32,所以q ＝－12.故等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×1)21(--n ＝(－1)n －1·32n .(Ⅱ)由(Ⅰ)得S n ＝1－n )21(-＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋12n ，n 为奇数，1－12n ，n 为偶数.当n 为奇数时,S n 随n 的增大而减小, 所以1<S n ≤S 1＝32,故0<S n －1S n ≤S 1－1S 1＝32－23＝56.当n 为偶数时,S n 随n 的增大而增大,所以34＝S 2≤S n <1,故0>S n －1S n ≥S 2－1S 2＝34－43＝－712.综上,对于n ∈N *,总有－712≤S n －1S n ≤56.所以数列{T n }最大项的值为56,最小项的值为－712.18.公差不为零的等差数列{a n }中,a 1、a 2、a 5成等比数列,且该数列的前10项和为100． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若b n =a n ﹣10,求数列{b n }的前n 项和T n 的最小值． 【答案】（1）a n =2n ﹣1；（2）﹣25．【解析】（1）∵公差不为零的等差数列{a n }中,a 1、a 2、a 5成等比数列, 且该数列的前10项和为100,∴,∴解得a 1=1,d=2,∴a n =1+（n ﹣1）×2=2n﹣1．19.已知数列{}n a 满足：*1a ∈N ,136a …,且()12,18,1,2,236,18n n n n n a a a n a a +⎧==⎨->⎩ …,记集合{}*n M a n =∈N .（1）若16a =,写出集合M 的所有元素；（2）若集合M 存在一个元素时3的倍数,证明：M 的所有元素都是3的倍数； （3）求集合M 的元素个数的最大值. 解析：（1）6,12,24.（3）由136a …,*1a ∈N ,11112,18236,18n n n n n a a a a a ----⎧=⎨->⎩…,可归纳证明()362,3,n a n = ….因为1a 是正整数,112112,18236,18a a a a a ⎧=⎨->⎩…,所以2a 是2的倍数.从而当3n …时,n a 是4的倍数.如果1a 是3的倍数,由（2）知对所有正整数n ,n a 是3的倍数,因此当3n …时,{}12,24,36n a ∈,这时,M 中的元素的个数不超过5.如果1a 不是3的倍数,由（2）知,对所有的正整数n ,n a 不是3的倍数,因此当3n …时,{}4,8,16,20,28,32n a ∈,这时M 的元素的个数不超过8. 当11a =时,{}1,2,4,8,16,20,28,32M =有8个元素. 综上可知,集合M 的元素个数的最大值为8.。

【知识要点】一、数列是一个函数，所以函数求最值的很多方式一样适用于它，又由于数列是一个特殊的函数，在求最值时，又表现出它的特殊性.有些特殊的方式要理解并记住.二、数列求最值常常利用的方式有函数、数形结合、根本不等式、导数、单调性等，特殊的方式有夹逼法等. 【方式讲评】【例1】在等差数列}{n a 中，1,101-==d a ，n S 为}{n a 前n 项和，求n S 的最大值. 【点评】数列是一个特殊的函数，等差数列的前n 项和可以看做是一个关于n 的二次函数2n S An Bn =+，利用图像解答.【反映检测1】 设等差数列{n a }的前n 项和为n S ，3a =12，12s >0,130s <, (1)求公差d 的取值范围；〔2〕指出1s ，2s ，…，12s 中哪个值最大，并说明理由.【例2】在等比数列{}n a 中，)(0*N n a n ∈>，公比)1,0(∈q ，且252825351=++a a a a a a ，3a 与5a 的等比中项为2.〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕设n n a b 2log =，数列{}n b 的前n 项和为S n ，当nS S S n +++ 2121最大时，求n 的值. 【点评】〔1〕等差数列的通项n a 可以看做是一个关于n 的一个一次函数，画出函数的图像，比拟直观地看出数列的哪些项是正数，哪些项是负数，从而取得前多少项的和最大或最小.〔2〕注意数列{}n a 中，由 于9a 0=，所以前8项的和和前9项的和相等，且都最大，所以在考虑问题时，注意那些“零〞项，以避免得犯错误的结论.【例3】数列{}n a中，)n a n N *=∈那么在数列{}n a 的前n 项中最小项和最大项别离是〔 〕A.150,a aB. 18,a aC. 89,a aD.950,a a【点评】该题中的函数是双曲线，画出函数的图像，可以看出在靠近渐近线的地方函数取到最小值或最大值. 【反映检测2】等差数列{n a },*n a N ∈,n S =212)8n a +（.假设1302n n b a =-，求数列 {n b }的前n 项和的最小值.【例4】 数列}{n a 的通项公式nn n a )10)(1(+=，)(N n ∈，求}{n a 的最大值. 【点评】〔1〕数列依照单调性分可以分为单调增函数、单调减函数、非单调函数.〔2〕判断数列的单调性一般有两种方式，方式一是作差判断，若是110{}0{}n n n n n n a a a a a a ++->⇒-<⇒单调递增；单调递减.方式二是作商判断，若是【例5】设单调递增函数()f x 的概念域为()0,+∞，且对任意的正实数,x y 有：()()()f xy f x f y =+且1()12f =-． ⑴一个各项均为正数的数列{}n a 知足:()()(1)1n n n f s f a f a =++-其中n S 为数列{}n a 的前n 项和,求数列{}n a 的通项公式；⑵在⑴的条件下，是不是存在正数M 使以下不等式：对一切*n N ∈成立？假设存在，求出M 的取值范围；假设不存在，请说明理由． ⑵假设M 存在知足条件， 即21)(21)(21)n nn a M a a ≤--对一切*n N ∈恒成立．令2()1)(21)(21)n nn a g n a a =--，∴1((1)(21)(2n n n g nn +⨯⨯⨯+=⨯⨯-，故(1)1()g n g n +==>，(1)()g n g n ∴+>，∴()g n 单调递增，*n N ∴∈，()(1)g n g ≥=．∴0M <≤【点评】〔1〕此题就是利用作商法判断数列的单调性，再求数列的最值；〔2〕是选择作差法判断函数的单调性，仍是选择作商法判断数列的单调性，主要看数列的形式，若是数列是商的形式，一般利用作商法判断数列的单调性，若是数列是和的形式，一般选择作差法判断数列的单调性.【反映检测3】 数列{}n a 中，,11=a 且点()()1,n n P a a n N *+∈在直线10x y -+=上．〔1〕求数列{}n a 的通项公式； 〔2〕假设函数()1231111(),nf n n N n a n a n a n a *=++++∈++++求函数)(n f 的最小值； 〔3〕设n nn S a b ,1=表示数列{}n b 的前n 项和， 试证明：1231(1),(,2)n n S S S S n S n N n *-++++=-∈≥．【例6】广州市某通信设备厂为适应市场需求，提高效益，特投入98万元引进世界先进设备奔腾6号，并马上投入生产，第一年需要的各类费用是12万元，从第二年开场，所需费用会比上一年增加4万元，而每一年因引进该设备可取得的年利润为50万元. 〔1〕引进该设备多少年后，开场盈利？ 〔2〕引进该设备假设干年后，有两种处置方案：第一种：年平均盈利抵达最大值时，以26万元的价钱卖出；第二种：盈利总额抵达最大值时，以8万元的价钱卖出.问哪一种方案较为合算？并说明理由.【点评】根本不等式一样可以求数列的最值.若是n 取等时的值不是正整数，可以求它周围的点的函数值，比拟就可以够了.【反映检测4】某大学毕业生响应国家“自主创业〞的号召，今年年初组织一些同窗自筹资金196万元购进一台设备，并当即投入生产自行设计的产品，方案第一年维修、保养费用24万元，从第二年开场，每一年所需维修、保养费用比上一年增加8万元，该设备利用后，每一年的总收入为100万元，设从今年起利用n 年后该设备的盈利额为()f n 万元. 〔Ⅰ〕写出()f n 的表达式；〔Ⅱ〕求从第几年开场，该设备开场盈利；〔Ⅲ〕利用假设干年后，对该设备的处置方案有两种：方案一：年平均盈利额抵达最大值时，以52万元价钱处置该设备；方案二：当盈利额抵达最大值时，以16万元价钱处置该设备.问用哪一种方案处置较为合算?请说明理由．【例7】在数列}{n a 中，nn a •a k•a n n +-+=+=+2111,1〔n *∈N 〕，其中k 是常数，且3625≤≤k . 〔Ⅰ〕求数列}{n a 的通项公式；〔Ⅱ〕求数列}{n a 的最小项.以上1n -个式子相加得)11(11n k n a a n ---=-，即)11(11nk n a a n ---+=. 又k a +=11，所以)11(11n k n k a n ---++=，即(2,3,)n ka n n n=+=. 当1n =时，上式也成立.所以数列}{n a 的通项公式为(1,2,3,)n ka n n n=+=. 〔Ⅱ〕为考察数列}{n a 的单调性，注意到(1,2,3,)n k a n n n =+=，可设函数)1)()(≥+=x xkx x f ，那么21)(xkx f -='，即22)(x k x x f -='.可知x ⎡∈⎣时，0)(<'x f ；k x =时，0)(='x f ；)x ∈+∞时，0)(>'x f .所以函数xkx x f +=)(在[1，k ]上是减函数；在)+∞上是增函数.因为3625≤≤k ，所以65≤≤k .〔3〕当56a a =，即6655kk +=+，即30k =时， 12345567,a a a a a a a a >>>>=<<. 所以数列}{n a 的最小项为11630665=+==a a . 〔4〕当65a a <且5>k 时，6655kk +<+且25>k ，那么3025<<k ， 12345567,a a a a a a a a >>>>><<. 所以数列}{n a 的最小项为555ka +=.〔5〕当665<>k a a 且时，6655kk +>+且36k <，那么3630<<k ，<<>>>>>76654321,a •a •a a a a a a .所以数列}{n a 的最小项为666k a +=. 综上所述：当25k =时，数列}{n a 的最小项为5a =10；当3025<<k 时，数列}{n a 的最小项为555k a +=；当30k =时，数列}{n a 的最小项为56a a ==11；当3036k <<时，数列}{n a 的最小项为666ka +=；当36k =时，数列}{n a 的最小项为612a =.【点评】〔1〕利用导数求数列的最值，不能直接求，必需先构造数列对应的函数，因为数列是离散型函数，不可导.〔2〕注意数列对应的函数的单调性和数列本身的单调性是有区别的，有人以为“数列对应的函数在),0(a 上单调递增，在),(+∞a 上单调递减，那么数列在最靠近a x =的地方取得最大值〞.如以下图所示，数列对应的持续函数在),0(a 上单调递增，在),(+∞a 上单调递减，可是数列并非是在最靠近c x a x ==的处取得最大值，而是在b x =处取得最大值〔其中)0,,>∈*a N cb .所以可知当数列对应的函数在),0(a 上单调递增，在),(+∞a 上单调递减，那么数列不必然在最靠近a x =的地方取得最大值，必需把a x =周围的整数值代进去比拟，才可以判断谁是最大值.所以一般不利用导数求数列的最值.【例8】二项式122nx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．〔1〕假设展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；〔2〕假设展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．【点评】利用数列离散的特点，考察⎩⎨⎧≥≥-+11k k k k a a a a 或⎩⎨⎧≤≤-+11k kk k a a a a ，然后判断数列}{n a 的最值情况.〔1〕、假设数列}{n a 中的最大项为k a ，那么⎩⎨⎧≥≥-+11k k k k a a a a ；〔2〕、假设数列}{n a 中的最小项为k a ，那么⎩⎨⎧≤≤-+11k k k k a a a a .注意：这只是k a 为数列最值的必要不充分条件，不是充要条件，假设k 不止一解时，需要代入查验.【反映检测6】n x x 223)(+的展开式的系数和比n x )13(-的展开式的系数和大992，求n xx 2)12(-的展开式中：〔1〕二项式系数最大的项；〔2〕系数的绝对值最大的项.高中数学常见题型解法归纳及反映检测第40讲：数列最值的求法参考答案【反映检测1答案】〔1〕〔-247,-3〕；〔2〕当6n =时，n S 最大. 解法二：由题意可得：n S =1na +(1)2n n d -=(122)n d -+22n n d -=25(12)22d n d n +- 显然0d ≠, n S 是关于自变量n 的二次函数， 由〔1〕知：0d <,二次函数的图像抛物线的对称轴为5122n d=-, 由〔1〕知：2437d -<<-， 所以6<5122d -<132,又因为n *N ∈,故当6n =时，n S 最大，即6s 最大. 【反映检测2答案】225- 因此等差数列{n a }的公差大于0.1a =1s =2112)8a +（,解得1a =2.所以42n a n =-,那么1302312n n b a n =-=-.即数列{n b }也为等差数列且公差为2.由23102(1)310{n n -≤+-≥，解得293122n ≤≤，因为n *N ∈，所以15n =, 故{n b }的前15项为负值， 因此15s 最小， 可知1b =-29，d =2,所以数列 {n b }的前n 项和的最小值为15s =1529215312-+⨯-（）=-225.【反映检测3答案】〔1〕n a n =；〔2〕)(n f 的最小值是1(1)2f =；〔3〕观点析. 【反映检测3详细解析】〔1〕由点P ),(1+n n a a 在直线01=+-y x 上，即11=-+n n a a ，且11=a ，数列{n a }是以1为首项，1为公差的等差数列1(1)1n a n n =+-⋅=，∴n a n = 〔2〕nn n n f 212111)(+++++=所以)(n f 是单调递增，故)(n f 的最小值是1(1)2f =()1n n nS n n S =-=-.(,2)n N n *∈≥【反映检测4答案】〔Ⅰ〕()2480196f n n n =-+-〔n *∈N 〕；〔Ⅱ〕从第三年开场盈利；〔Ⅲ〕采用方案一合算．【反映检测4详细解析】〔Ⅰ〕2(1)()100196[248]480196()2n n f n n n n n n N *-=--+=-+-∈． 〔Ⅱ〕由()0f n >得：24801960n n -+->即220490n n -+<，解得1010n <+，由n N *∈知，317n ≤≤，即从第三年开场盈利〔Ⅲ〕方案①：年平均盈利为()f n n，那么()494()8048024f n n n n =-++≤-⋅=，当且仅当49n n=，即7n =时，年平均利润最大，共盈利24×7＋52＝220万元．方案②：2()4(10)204f n n =--+，当10n =时，取得最大值204，即通过10年盈利总额最大，共计盈利204＋16＝220万元两种方案获利相等，但由于方案二时间长，所以采用方案一合算． 【反映检测5答案】31{} 1.n a a a =的最大项为最小项为【反映检测6答案】〔1〕8064)1()2(555106-=-⋅⋅=x x C T ；〔2〕437310415360)1()2(x xx C T -=-=。

【知识要点】一、数列是一个函数，所以函数求最值的很多方法同样适用于它，又由于数列是一个特殊的函数，在求最值时，又表现出它的特殊性.有些特殊的方法要理解并记住.二、数列求最值常用的方法有函数、数形结合、基本不等式、导数、单调性等，特殊的方法有夹逼法等. 【方法讲评】方法一 函数的方法使用情景 比较容易求出函数的表达式解题步骤一般先求出函数的表达式，再利用函数的方法求出数列的最值.【例1】在等差数列}{n a 中，1,101-==d a ，n S 为}{n a 前n 项和，求n S 的最大值. 【点评】数列是一个特殊的函数，等差数列的前n 项和可以看作是一个关于n 的二次函数2n S An Bn =+，利用图像解答.【反馈检测1】 设等差数列{n a }的前n 项和为n S ，已知3a =12，12s >0,130s <, (1)求公差d 的取值范围；（2）指出1s ，2s ，…，12s 中哪一个值最大，并说明理由. 方法二 数形结合法 使用情景 比较容易求出数列的通项解题步骤先求数列的通项，再对通项的图像进行研究.【例2】在等比数列{}n a 中，)(0*N n a n ∈>，公比)1,0(∈q ，且252825351=++a a a a a a ，3a 与5a 的等比中项为2.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n a b 2log =，数列{}n b 的前n 项和为S n ，当nS S S n +++ 2121最大时，求n 的值. 【点评】（1）等差数列的通项n a 可以看作是一个关于n 的一个一次函数，画出函数的图像，比较直观地看出数列的哪些项是正数，哪些项是负数，从而得到前多少项的和最大或最小.（2）注意数列{}n a 中，由 于9a 0=，所以前8项的和和前9项的和相等，且都最大，所以在考虑问题时，注意那些“零”项，以免得出错误的结论. 学.科.网【例3】已知数列{}n a 中，79)80n a n N n *=∈-则在数列{}n a 的前n 项中最小项和最大项分别是（ ）A.150,a aB. 18,a aC. 89,a aD.950,a a【点评】该题中的函数是双曲线，画出函数的图像，可以看出在靠近渐近线的地方函数取到最小值或最大值.【反馈检测2】已知等差数列{n a },*n a N ∈,n S =212)8n a +（.若1302n n b a =-，求数列 {n b }的前n 项和的最小值.方法三 单调性法使用情景 数列的单调性比较容易确定解题步骤先求数列的通项，再对通项的单调性进行研究.【例4】 已知数列}{n a 的通项公式nn n a )10)(1(+=，)(N n ∈，求}{n a 的最大值. 【点评】（1）数列按照单调性分可以分为单调增函数、单调减函数、非单调函数.（2）判断数列的单调性一般有两种方法，方法一是作差判断，如果110{}0{}n n n n n n a a a a a a ++->⇒-<⇒单调递增；单调递减.方法二是作商判断，如果【例5】设单调递增函数()f x 的定义域为()0,+∞，且对任意的正实数,x y 有：()()()f xy f x f y =+且1()12f =-．⑴一个各项均为正数的数列{}n a 满足:()()(1)1n n n f s f a f a =++-其中n S 为数列{}n a 的前n 项和,求数列{}n a 的通项公式；⑵在⑴的条件下，是否存在正数M 使下列不等式：对一切*n N ∈成立？若存在，求出M 的取值范围；若不存在，请说明理由． ⑵假设M 存在满足条件， 即121221(21)(21)(21)n nn M n a a a ≤+---对一切*n N ∈恒成立．令1212()21(21)(21)(21)n nn g n n a a a =+---，∴1(1)2313(21)(21)n g n n n n ++=+⨯⨯⨯⨯-+，故22(1)4841()4832123g n n n g n n n n n +++==>++++，(1)()g n g n ∴+>，∴()g n 单调递增，*n N ∴∈，()(1)g n g ≥=23． ∴230M <≤【点评】（1）本题就是利用作商法判断数列的单调性，再求数列的最值；（2）是选择作差法判断函数的单调性，还是选择作商法判断数列的单调性，主要看数列的形式，如果数列是商的形式，一般利用作商法判断数列的单调性，如果数列是和的形式，一般选择作差法判断数列的单调性.【反馈检测3】 已知数列{}n a 中，,11=a 且点()()1,n n P a a n N *+∈在直线10x y -+=上．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若函数()1231111(),nf n n N n a n a n a n a *=++++∈++++求函数)(n f 的最小值； （3）设n nn S a b ,1=表示数列{}n b 的前n 项和， 试证明：1231(1),(,2)n n S S S S n S n N n *-++++=-∈≥．方法四 基本不等式法使用情景 有一正二定三相等的数学情景解题步骤先求函数的表达式，再利用基本不等式解答.【例6】广州市某通讯设备厂为适应市场需求，提高效益，特投入98万元引进世界先进设备奔腾6号，并马上投入生产，第一年需要的各种费用是12万元，从第二年开始，所需费用会比上一年增加4万元，而每年因引进该设备可获得的年利润为50万元. （1）引进该设备多少年后，开始盈利？ （2）引进该设备若干年后，有两种处理方案：第一种：年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出；第二种：盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出.问哪种方案较为合算？并说明理由.【点评】基本不等式同样可以求数列的最值.如果n 取等时的值不是正整数，可以求它附近的点的函数值，比较就可以了. 学.科.网【反馈检测4】某大学毕业生响应国家“自主创业”的号召，今年年初组织一些同学自筹资金196万元购进一台设备，并立即投入生产自行设计的产品，计划第一年维修、保养费用24万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加8万元，该设备使用后，每年的总收入为100万元，设从今年起使用n 年后该设备的盈利额为()f n 万元.（Ⅰ）写出()f n 的表达式；（Ⅱ）求从第几年开始，该设备开始盈利；（Ⅲ）使用若干年后，对该设备的处理方案有两种：方案一：年平均盈利额达到最大值时，以52万元价格处理该设备；方案二：当盈利额达到最大值时，以16万元价格处理该设备.问用哪种方案处理较为合算?请说明理由．方法五 导数法使用情景 函数比较复杂，单调性一般方法不行. 解题步骤先求函数，再求导，再研究函数的单调性.【例7】在数列}{n a 中，nn a •a k•a n n +-+=+=+2111,1（n *∈N ），其中k 是常数，且3625≤≤k . （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列}{n a 的最小项.以上1n -个式子相加得)11(11n k n a a n ---=-，即)11(11nk n a a n ---+=. 又k a +=11，所以)11(11n k n k a n ---++=，即(2,3,)n ka n n n=+=. 当1n =时，上式也成立.所以数列}{n a 的通项公式为(1,2,3,)n ka n n n=+=. （Ⅱ）为考查数列}{n a 的单调性，注意到(1,2,3,)n k a n n n =+=，可设函数)1)()(≥+=x xkx x f ，则21)(xkx f -='，即22)(x k x x f -='. 可知x k ⎡∈⎣时，0)(<'x f ；k x =时，0)(='x f ；,)x k ∈+∞时，0)(>'x f .所以函数xkx x f +=)(在[1，k ]上是减函数；在),k +∞上是增函数.因为3625≤≤k ，所以65≤≤k .a b c（3）当56a a =，即6655kk +=+，即30k =时， 12345567,a a a a a a a a >>>>=<<. 所以数列}{n a 的最小项为11630665=+==a a . （4）当65a a <且5>k 时，6655kk +<+且25>k ，则3025<<k ， 12345567,a a a a a a a a >>>>><<. 所以数列}{n a 的最小项为555ka +=.（5）当665<>k a a 且时，6655kk +>+且36k <，则3630<<k ，<<>>>>>76654321,a •a •a a a a a a .所以数列}{n a 的最小项为666k a +=.综上所述：当25k =时，数列}{n a 的最小项为5a =10；当3025<<k 时，数列}{n a 的最小项为555ka +=；当30k =时，数列}{n a 的最小项为56a a ==11；当3036k <<时，数列}{n a 的最小项为666ka +=；当36k =时，数列}{n a 的最小项为612a =.【点评】（1）利用导数求数列的最值，不能直接求，必须先构造数列对应的函数，因为数列是离散型函数，不可导.（2）注意数列对应的函数的单调性和数列本身的单调性是有区别的，有人认为“数列对应的函数在),0(a 上单调递增，在),(+∞a 上单调递减，则数列在最靠近a x =的地方取得最大值”.如下图所示，数列对应的连续函数在),0(a 上单调递增，在),(+∞a 上单调递减，但是数列并不是在最靠近c x a x ==的处取得最大值，而是在b x =处取得最大值（其中)0,,>∈*a N c b .所以可知当数列对应的函数在),0(a 上单调递增，在),(+∞a 上单调递减，则数列不一定在最靠近a x =的地方取得最大值，必须把a x =附近的整数值代进去比较，才可以判断谁是最大值.所以一般不利用导数求数列的最值.数列}{n n n a =的最大项与最小项.【反馈检测5】求方法六 夹逼法使用情景 二项展开式中研究最值问题.解题步骤利用数列离散的特点，考察⎩⎨⎧≥≥-+11k k k k a a a a 或⎩⎨⎧≤≤-+11k k k k a a a a ，然后判断数列}{n a 的最值情况.【例8】已知二项式122nx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．（1）若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；（2）若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．【点评】利用数列离散的特点，考察⎩⎨⎧≥≥-+11k k k k a a a a 或⎩⎨⎧≤≤-+11k kk k a a a a ，然后判断数列}{n a 的最值情况.（1）、若数列}{n a 中的最大项为k a ，则⎩⎨⎧≥≥-+11k k k k a a a a ；（2）、若数列}{n a 中的最小项为k a ，则⎩⎨⎧≤≤-+11k k k k a a a a .注意：这只是k a 为数列最值的必要不充分条件，不是充要条件，若k 不止一解时，需要代入检验. 学.科.网【反馈检测6】已知n x x 223)(+的展开式的系数和比n x )13(-的展开式的系数和大992，求n xx 2)12(-的展开式中：（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项.高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第40讲：数列最值的求法参考答案【反馈检测1答案】（1）（-247,-3）；（2）当6n =时，n S 最大. 解法二：由题意可得：n S =1na +(1)2n n d -=(122)n d -+22n n d -=25(12)22d n d n +- 显然0d ≠, n S 是关于自变量n 的二次函数， 由（1）知：0d <,二次函数的图像抛物线的对称轴为5122n d=-, 由（1）知：2437d -<<-， 所以6<5122d -<132,又因为n *N ∈,故当6n =时，n S 最大，即6s 最大. 【反馈检测2答案】225- 因此等差数列{n a }的公差大于0.1a =1s =2112)8a +（,解得1a =2.所以42n a n =-,则1302312n n b a n =-=-.即数列{n b }也为等差数列且公差为2.由23102(1)310{n n -≤+-≥，解得293122n ≤≤，因为n *N ∈，所以15n =, 故{n b }的前15项为负值， 因此15s 最小， 可知1b =-29，d =2,所以数列 {n b }的前n 项和的最小值为15s =1529215312-+⨯-（）=-225.【反馈检测3答案】（1）n a n =；（2）)(n f 的最小值是1(1)2f =；（3）见解析. 【反馈检测3详细解析】（1）由点P ),(1+n n a a 在直线01=+-y x 上，即11=-+n n a a ，且11=a ，数列{n a }是以1为首项，1为公差的等差数列1(1)1n a n n =+-⋅=，∴n a n = （2）nn n n f 212111)(+++++=所以)(n f 是单调递增，故)(n f 的最小值是1(1)2f =()1n n nS n n S =-=-.(,2)n N n *∈≥【反馈检测4答案】（Ⅰ）()2480196f n n n =-+-（n *∈N ）；（Ⅱ）从第三年开始盈利；（Ⅲ）采用方案一合算．【反馈检测4详细解析】（Ⅰ）2(1)()100196[248]480196()2n n f n n n n n n N *-=--+=-+-∈． （Ⅱ）由()0f n >得：24801960n n -+->即220490n n -+<，解得10511051n -<<，由n N *∈知，317n ≤≤，即从第三年开始盈利 （Ⅲ）方案①：年平均盈利为()f n n ，则()49494()80428024f n n n n n n =-++≤-⋅⋅=，当且仅当49n n=，即7n =时，年平均利润最大，共盈利24×7＋52＝220万元．方案②：2()4(10)204f n n =--+，当10n =时，取得最大值204，即经过10年盈利总额最大，共计盈利204＋16＝220万元两种方案获利相等，但由于方案二时间长，所以采用方案一合算． 【反馈检测5答案】331{}3, 1.n a a a ==的最大项为最小项为学.科.网【反馈检测6答案】（1）8064)1()2(555106-=-⋅⋅=x x C T ；（2）437310415360)1()2(x xx C T -=-=。

求数列最大值与最小值项的方法
求数列最大值与最小值项的方法：
1、排序法：通过排序将原来的数列变成有序的，最大值及最小值项将
被排在序列最高或最低位置，从而确定最大最小值。

2、求和法：将原来的数列逐项累加得到总和，将总和减每项数值得到
剩余总和，再从中求出每项的数值，最大值最小值值也就有了。

3、差分法：将原来的数列逐步求出每相邻项之间的差值，每相邻差值
的和可以得出每项数值，最大最小值也就确定了。

4、假设法：假设某一项数值是最大或最小，找出其他各个项数值之和，若等于总和减去该值，则该值就是最大或最小值；若不等，则假定另
一项数值为最大或最小，重复上述操作，直至找出最大或最小值为止。

5、比较法：将原数列的每一项两两比较，较大的数值为最大值，较小
的数值为最小值，一直比较到数列的一头，最后即可得到最大最小值。

6、直接比较法：从原来数列中直接得出最大值或最小值，如从数列中
有一个数值大于或小于其他数，则可以直接得出该数值就是最大或最
小值。

2018届高三理科数学数列解题方法规律技巧详细总结版【3年高考试题比较】对近几年高考试题统计看，全国卷中的数列与三角基本上交替考查，难度不大.尤其近两年都考的数列，2018年在三角上命题的可能性很大，考查内容主要集中等差、等比数列的通项与求和问题，有时结合函数、不等式等进行综合考查，涉及内容较为全面，试题题型规范、方法可循.解决等差、等比数列的综合问题时，重点在于读懂题意，灵活利用等差、等比数列的定义、通项公式及前n项和公式解决问题，求解这类问题要重视方程思想的应用.数列的通项与求和是高考必考的热点题型，求通项属于基本问题，常涉及与等差、等比的定义、性质、基本量运算.求和问题关键在于分析通项的结构特征，选择合适的求和方法.常考求和方法有：错位相减法、裂项相消法、分组求和法等.【必备基础知识融合】1.数列的概念(1)数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.(2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集)为定义域的函数a n＝f(n).当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.(3)数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法.2.数列的分类3.(1)通项公式：如果数列{a n}的第n项a n与序号n之间的关系可以用一个式子a n＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.(2)递推公式：如果已知数列{a n}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a n与它的前一项a n－(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.14.已知数列{a n }的前n 项和S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 （n ＝1），S n －S n －1 （n ≥2）.5.等差数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示.数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)，或a n －a n －1＝d (n ≥2，d 为常数). (2)若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且A ＝a ＋b2.6.等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d . 通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (m ，n ∈N *). (2)等差数列的前n 项和公式S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）2d (其中n ∈N *，a 1为首项，d 为公差，a n 为第n 项).7.等差数列的有关性质已知数列{a n }是等差数列，S n 是{a n }的前n 项和.(1)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则有a m ＋a n ＝a p ＋a q .(2)等差数列{a n }的单调性：当d ＞0时，{a n }是递增数列；当d ＜0时，{a n }是递减数列；当d ＝0时，{a n }是常数列.(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列. (4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列. 8.等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数). 9.等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值；若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值. 10.等比数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q (q ≠0)表示.数学语言表达式：a na n －1＝q (n ≥2，q 为非零常数)，或a n ＋1a n ＝q (n ∈N *，q 为非零常数).(2)如果三个数a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，其中G 11. 等比数列的通项公式及前n 项和公式(1)若等比数列{a n }的首项为a 1，公比是q ，则其通项公式为a n ＝a 1q n －1；通项公式的推广：a n ＝a m q n －m .(2)等比数列的前n 项和公式：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ） 1－q ＝a 1－a n q1－q .12.等比数列的性质已知{a n }是等比数列，S n 是数列{a n }的前n 项和. (1)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则有a k ·a l ＝a m ·a n . (2)等比数列{a n }的单调性：当q ＞1，a 1＞0或0＜q ＜1，a 1＜0时，数列{a n }是递增数列； 当q ＞1，a 1＜0或0＜q ＜1，a 1＞0时，数列{a n }是递减数列； 当q ＝1时，数列{a n }是常数列.(3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m . (4)当q ≠－1，或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n . 13.求数列的前n 项和的方法 (1)公式法①等差数列的前n 项和公式 S n ＝n （a 1＋a n ） 2 ＝na 1＋n （n －1）2d .②等比数列的前n 项和公式 (ⅰ)当q ＝1时，S n ＝na 1；(ⅱ)当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q1－q .(2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解. (3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1nn ＋k(k 为非零常数)1nn ＋k＝1k ⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋k ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1nn ＋n ＋1nn ＋n ＋＝121nn ＋－1n ＋n ＋(4)倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广. (5)错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广. (6)并项求和法一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解. 例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 14.常见的裂项公式 (1)1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1. (2)1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1.(3)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .【解题方法规律技巧】典例1：若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式.【迁移探究】将本例条件“a n＋2S n S n－1＝0(n≥2)，a1＝12”改为“S n(S n－a n)＋2a n＝0(n≥2)，a1＝2”，问题不变，试求解.【规律方法】（1）在利用数列的前n项和求通项时，往往容易忽略先求出a1，而是直接把数列的通项公式写成a n ＝S n－S n－1的形式，但它只适用于n≥2的情形；（2）应用a n＝S n－S n－1 (n≥2)条件时，通常有两个方向，一个是消去S n，留下关于a n的递推关系，进而求a n的通项公式；另一个是消去a n，留下S n的递推关系，进而得到S n.典例2：已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n≠0，a n a n＋1＝λS n－1，其中λ为常数.(1)证明：a n＋2－a n＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由.(1)证明由题设知，a n a n＋1＝λS n－1，a n＋1a n＋2＝λS n＋1－1.两式相减得a n＋1(a n＋2－a n)＝λa n＋1.由于a n＋1≠0，所以a n＋2－a n＝λ.(2)解由题设知，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1.由(1)知，a3＝λ＋1.令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.故a n＋2－a n＝4，由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.所以a n＝2n－1，a n＋1－a n＝2.因此存在λ＝4，使得数列{a n}为等差数列.【规律方法】等差数列的四种判断方法：(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证a n－a n－1为同一常数.(2)等差中项法：验证2a n－1＝a n＋a n－2(n≥3，n∈N*)都成立.(3)通项公式法：验证a n＝pn＋q.(4)前n项和公式法：验证S n＝An2＋Bn.后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列，主要适合在选择题中简单判断.典例3：已知等比数列中，.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若分别是等差数列的第8项和第16项，试求数列的通项公式及前项和的最小值.【答案】(1) (2) 当时，取得最小值.【规律方法】求等差数列前n项和最值的常用方法：①利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；②利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；③将等差数列的前n项和(为常数)看做二次函数，根据二次函数的性质求最值．典例4：已知数列{a n}的前n项和为S n，在数列{b n}中，b1＝a1，b n＝a n－a n－1(n≥2)，且a n＋S n＝n.(1)设c n＝a n－1，求证：{c n}是等比数列；(2)求数列{b n}的通项公式.【规律方法】证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.典例5：已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ， 864S =，又2a 是1a 与5a 的等比中项.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若62n n S a +>，求n 的最小值. 【答案】（1）21n a n =-（2）8.【解析】试题分析：（1）根据题目中的条件列出表达式， 2215a a a =，又因为数列是等差数列，故得到()()21114a d a a d +=+， 12d a =，根据864S =结合等差数列前n 项和，得到最终结果；（2）由第一问【规律方法】 (1)等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.典例6：已知数列{}n a 满足： ()*121n n a a n n N +=-+∈， 13a =. （1）证明数列()*n n b a n n N =-∈是等比数列，并求数列{}n a 的通项；（2）设11n nn n n a a c a a ++-=，数列{}n c 的前n 项和为{}n S ，求证： 1n S <.【答案】（1）2n n a n =+；（2）见解析 【解析】试题分析：(1)由题意可得递推关系： ()()1121n n b n b n n +++=+-+，整理可得： 12n n b b +=，即{}n b 是等比数列，结合首项1112b a =-=可得2n n b =， 2n n a n =+．(2)结合(1)整理数列的通项公式可得：11111n n n n n n n a a c a a a a +++-==-，裂项求和有121111n n n S c c c a +=+++=-<． 试题解析：（1）解：由n n b a n =-知n n a b n =+， 代入得： ()()1121n n b n b n n +++=+-+， 化简得： 12n n b b +=，即{}n b 是等比数列，又111312b a =-=-=，则2n n b =，进而有2n n a n =+． （2）证明：由于11111n n n n n n n a a c a a a a +++-==-，所以121223111111111111111n n nn n n S c c c a a a a a a a a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-=-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 典例7：已知数列{}n a 中， 11a =， ()*14nn n a a n N a +=∈+.（1）求证： 113n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求{}n a 的通项公式n a ； （2）数列{}n b 满足()1413n n n n n b a +=-⋅⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】(1)答案见解析；(2) 11525443n n n T -+=-⋅.（2）()1413nn n n n b a +=-⋅⋅， 341n n a =-113n n n b -+=12n n T b b b =+++∴01212313333n n n n n T --+=++++① 121123133333n n n n n T -+=++++② ①-②得12121111233333n n n n T -+=++++-11131313nn n -+=+--53112233n n n +=-⋅- ∴11525443n n n T -+=-⋅. 【规律方法】(1)形如a n ＋1＝a n ＋f (n )的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项. (2)形如a n ＋1＝a n ·f (n )的递推关系式可化为a n ＋1a n ＝f (n )的形式，可用累乘法，也可用a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1代入求出通项.(3)形如a n ＋1＝pa n ＋q 的递推关系式可以化为(a n ＋1＋x )＝p (a n ＋x )的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x 是关键.（4）分式型的递推关系，常常可以利用求倒数构造新的等差或等比数列.（5）指数型的递推关系，有时候可以通过等式两边取对数，构造新的等差或等比数列.典例8：数列{}n a 满足12n+2n+1a =1a =2a =2a 2n a -+，，. （1）设1n n nb a a +=-，证明{}n b 是等差数列； （2）求{}n a 的通项公式．【答案】（1）见解析；（2）a n ＝n 2－2n ＋2【规律方法】本题主要考查等比数列的定义以及已知数列的递推公式求通项.由数列的递推公式求通项常用的方法有：（1）等差数列、等比数列（先根据条件判定出数列是等差、等比数数列）；（2）累加法，相邻两项的差成等求和的数列可利用累加求通项公式；（3）累乘法，相邻两项的商是能求出积的特殊数列时用累乘法求通项；（4）构造法，形如()10,1n n a qa p p q -=+≠≠的递推数列求通项往往用构造法，即将()10,1n n a qa p p q -=+≠≠利用待定系数法构造成()1n n a m q a m -+=+的形式，再根据等比数例求出{}n a m +的通项，进而得出{}n a 的通项公式.典例9：已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1. (1)求数列{b n }的通项公式；(2)令c n ＝（a n ＋1）n ＋1（b n ＋2）n.求数列{c n }的前n 项和T n .【规律方法】(1)一般地，如果数列{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，求数列{a n·b n}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{b n}的公比，然后作差求解；(2)在写出“S n”与“qS n”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n－qS n”的表达式.典例10：已知数列{a n}中，a n＝1＋1a＋2（n－1）(n∈N*，a∈R且a≠0).(1)若a＝－7，求数列{a n}中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的n∈N*，都有a n≤a6成立，求a的取值范围.解(1)∵a n＝1＋1a＋2（n－1）(n∈N*，a∈R，且a≠0)，又a＝－7，∴a n＝1＋12n－9(n∈N*).结合函数f(x)＝1＋12x－9的单调性，可知1>a1>a2>a3>a4，a 5>a 6>a 7>…＞a n >1(n ∈N *).∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0. (2)a n ＝1＋1a ＋2（n －1）＝1＋12n －2－a2，已知对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立， 结合函数f (x )＝1＋12x －2－a 2的单调性，可知5<2－a2<6，即－10<a <－8.即a 的取值范围是(－10，－8).典例11：已知数列{}n a 中， 10a =， ()*12,n n a a n n N +=+∈，.(1)令11n n n b a a +=-+，求证：数列{}n b 是等比数列； (2)求数列{}n a 的通项公式． (3) 令,3nn na c =当n c 取得最大项时，求n 的值. 【答案】（1）见解析；（2）21n n a n =--；（3）3n =.（3）11111112122222121233333n n n n nn n n n nn n n n n n n n n c c c c +++++++--------+-∴=∴=∴-=-=由题令()212nf n n =+-，讨论可知()()()()1210,310,3,0f f f n f n ==>=-<∴≥<，由此可得3,n n c =（2）由（1）知2n n b = 即121n n n a a +-=-212,21n a a ≥-=-23221a a -=-⋅⋅⋅⋅⋅⋅1121n n n a a ---=-()211222121n n n a a n n -∴-=++⋅⋅⋅+--=-- 2,21n n n a n ∴≥=--11,0n a ∴==也满足上式21n n a n ∴=-- （3）111212233n n n n nn n n c c +++----∴=∴=11112221212333n n n n n n n n n n n c c ++++----+-∴-=-=令()212nf n n =+-()11232n f n n ++=+- ()()122n f n f n ∴+-=-()()()()()()12,234f f f f f f n ∴=>>>⋅⋅⋅> ()()()()1210,310,3,0f f f n f n ==>=-<∴≥<123345,....n c c c c c c c ∴>>3,n n c =最大 3n ∴=【规律方法】求数列最大项或最小项的方法（1）相邻两项作差和0比，从而得数列的单调性进而得数列最值. （2）可以利用不等式组()11{ 2n n n n a a n a a -+≤≥≥找到数列的最大项；利用不等式()11{ 2n n n n a a n a a -+≥≥≤找到数列的最小项．（3）从函数的角度认识数列，注意数列的函数特征，利用函数的方法研究数列的最大项或最小项． 典例12:已知数列{}n a 满足： 123n n a a a a n a ++++=-，（ 1,2,3,n =）（1）求证：数列{}1n a -是等比数列；（2）令()()21n n b n a =--，（ 1,2,3,n =），如果对任意*x N ∈，都有214n b t t +≤，求实数t 的取值范围. 【答案】(1) {}n a -1是以-12为首项， 12为公比的等比数列；（2）1142t t ≤-≥或【规律方法】数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种：一是判断数列问题中的一些不等关系；二是以数列为载体，考查不等式的恒成立问题（常用分离变量来做）；三是考查与数列问题有关的不等式的证明.在解决这些问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法等.如果是解不等式问题，要使用不等式的各种不同解法，如数轴法、因式分解法.典例13：已知数列{}n a 满足2n n S a n =- ()*n N ∈.（1）证明： {}1n a +是等比数列；（2）令12nn n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）见解析（2）11121n +--【解析】试题分析：（1）由数列{}2n n n a S a n =-满足，求出通项公式n a 和1n a -的关系，由此判断1n a +是否为等比数列；（2）由（1）可知数列{}n a 的通项公式，代入12n n n n b a a +=可知n b 的通项公式，通过裂项相消法算出{}n b 的前n 项和n T 。

高考数学最值问题及解题思路分享在高考数学中，最值问题是一道经典的题型，出现频率较高。

关于最值问题，我们可以从以下三个方面来进行探讨：最大值、最小值和最优解。

接下来，我们将从这三个方面入手，来一起学习解题思路。

一、最大值最大值问题通常可以通过以下步骤来解决：1. 求导数：首先需要对函数进行求导，找到导数为零的点，即可找到函数的最大值点。

2. 计算：将最大值点代入原函数，可得函数的最大值。

3. 可能存在的特殊情况：若导数不存在或导数为无穷大时，需要另外进行判断。

在多数情况下，最值点就是导数为零的点。

举个例子：已知函数$f(x)=x^3-3x+1$，求其在区间$[-2,2]$上的最大值。

解：首先，求导数：$f'(x)=3x^2-3$。

令$f'(x)=0$，可得极值点$x=\pm1$。

由此得出，当$x=\pm1$时，函数$f(x)$取得最大值。

将$x=\pm1$代入原函数，可得最大值为$f(1)=f(-1)=3$。

二、最小值与最大值问题类似，最小值问题也可以通过以下步骤解决：1. 求导数：首先需要对函数进行求导，找到导数为零的点，即可找到函数的最小值点。

2. 计算：将最小值点代入原函数，可得函数的最小值。

3. 可能存在的特殊情况：若导数不存在或导数为无穷大时，需要另外进行判断。

在多数情况下，最值点就是导数为零的点。

举个例子：已知函数$f(x)=(x-1)^3-x^2$，求其在区间$[0,2]$上的最小值。

解：首先，求导数：$f'(x)=3(x-1)^2-2x$。

令$f'(x)=0$，可得极值点$x=\frac{3}{4}$和$x=2$。

由此得出，当$x=\frac{3}{4}$和$x=2$时，函数$f(x)$取得最小值。

将$x=\frac{3}{4}$和$x=2$代入原函数，可得最小值为$f(\frac{3}{4})=\frac{-49}{64}$和$f(2)=-4$。

三、最优解在实际问题中，我们通常要找到一个最优解，这个解可能既不是最大值也不是最小值，而是在某种条件下最合适的解。

数列最值的求法一、数列是一个函数，所以函数求最值的很多方法同样适用于它，又由于数列是一个特殊的函数，在求最值时，又表现出它的特殊性.有些特殊的方法要理解并记住.二、数列求最值常用的方法有函数、数形结合、基本不等式、导数、单调性等，特殊的方法有夹逼法等. 【方法讲评】方法一 函数的方法使用情景 比较容易求出函数的表达式解题步骤一般先求出函数的表达式，再利用函数的方法求出数列的最值.【例1】在等差数列}{n a 中，1,101-==d a ，n S 为}{n a 前n 项和，求n S 的最大值.【点评】数列是一个特殊的函数，等差数列的前n 项和可以看作是一个关于n 的二次函数2n S An Bn =+，利用图像解答.【反馈检测1】 设等差数列{n a }的前n 项和为n S ，已知3a =12，12s >0,130s <, (1)求公差d 的取值范围；（2）指出1s ，2s ，…，12s 中哪一个值最大，并说明理由. 方法二 数形结合法使用情景比较容易求出数列的通项解题步骤 先求数列的通项，再对通项的图像进行研究.【例2】在等比数列{}n a 中，)(0*N n a n ∈>，公比)1,0(∈q ，且252825351=++a a a a a a ，3a 与5a 的等比中项为2.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n a b 2log =，数列{}n b 的前n 项和为S n ，当nS S S n +++Λ2121最大时，求n 的值.【点评】（1）等差数列的通项n a 可以看作是一个关于n 的一个一次函数，画出函数的图像，比较直观地看出数列的哪些项是正数，哪些项是负数，从而得到前多少项的和最大或最小.（2）注意数列{}n a 中，由 于9a 0=，所以前8项的和和前9项的和相等，且都最大，所以在考虑问题时，注意那些“零”项，以免得出错误的结论. 学.科.网【例3】已知数列{}n a 中，79()80n n a n N n *-=∈-则在数列{}n a 的前n 项中最小项和最大项分别是（ ）A.150,a aB. 18,a aC. 89,a aD.950,a a【点评】该题中的函数是双曲线，画出函数的图像，可以看出在靠近渐近线的地方函数取到最小值或最大值.【反馈检测2】已知等差数列{n a },*n a N ∈,n S =212)8n a +（.若1302n n b a =-，求数列 {n b }的前n 项和的最小值.方法三 单调性法使用情景 数列的单调性比较容易确定解题步骤先求数列的通项，再对通项的单调性进行研究.【例4】 已知数列}{n a 的通项公式nn n a )10)(1(+=，)(N n ∈，求}{n a 的最大值.【点评】（1）数列按照单调性分可以分为单调增函数、单调减函数、非单调函数.（2）判断数列的单调性一般有两种方法，方法一是作差判断，如果110{}0{}n n n n n n a a a a a a ++->⇒-<⇒单调递增；单调递减.方法二是作商判断，如果 111(0){}1(0){}n n n n n n n na aa a a a a a ++>>⇒<>⇒单调递增；单调递减. 【例5】设单调递增函数()f x 的定义域为()0,+∞，且对任意的正实数,x y 有：()()()f xy f x f y =+且1()12f =-．⑴一个各项均为正数的数列{}n a 满足:()()(1)1n n n f s f a f a =++-其中n S 为数列{}n a 的前n 项和,求数列{}n a 的通项公式；⑵在⑴的条件下，是否存在正数M 使下列不等式：1212221(21)(21)(21)n n n a a a n a a a ⋅≥+---K K K K对一切*n N ∈成立？若存在，求出M 的取值范围；若不存在，请说明理由．⑵假设M 存在满足条件， 即121221(21)(21)(21)n nn M n a a a ≤+---L L 对一切*n N ∈恒成立．令1212()21(21)(21)(21)n nn g n n a a a =+---L L ，∴1(1)2313(21)(21)n g n n n n ++=+⨯⨯⨯⨯-+L L ，故22(1)4841()4832123g n n n g n n n n n +++==>++++， (1)()g n g n ∴+>，∴()g n 单调递增，*n N ∴∈，()(1)g n g ≥=23． ∴230M <≤【点评】（1）本题就是利用作商法判断数列的单调性，再求数列的最值；（2）是选择作差法判断函数的单调性，还是选择作商法判断数列的单调性，主要看数列的形式，如果数列是商的形式，一般利用作商法判断数列的单调性，如果数列是和的形式，一般选择作差法判断数列的单调性.【反馈检测3】 已知数列{}n a 中，,11=a 且点()()1,n n P a a n N *+∈在直线10x y -+=上．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若函数()1231111(),nf n n N n a n a n a n a *=++++∈++++L 求函数)(n f 的最小值； （3）设n nn S a b ,1=表示数列{}n b 的前n 项和， 试证明：1231(1),(,2)n n S S S S n S n N n *-++++=-∈≥L ．方法四 基本不等式法使用情景 有一正二定三相等的数学情景解题步骤先求函数的表达式，再利用基本不等式解答.【例6】广州市某通讯设备厂为适应市场需求，提高效益，特投入98万元引进世界先进设备奔腾6号，并马上投入生产，第一年需要的各种费用是12万元，从第二年开始，所需费用会比上一年增加4万元，而每年因引进该设备可获得的年利润为50万元. （1）引进该设备多少年后，开始盈利？ （2）引进该设备若干年后，有两种处理方案：第一种：年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出；第二种：盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出.问哪种方案较为合算？并说明理由.【点评】基本不等式同样可以求数列的最值.如果n 取等时的值不是正整数，可以求它附近的点的函数值，比较就可以了. 学.科.网【反馈检测4】某大学毕业生响应国家“自主创业”的号召，今年年初组织一些同学自筹资金196万元购进一台设备，并立即投入生产自行设计的产品，计划第一年维修、保养费用24万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加8万元，该设备使用后，每年的总收入为100万元，设从今年起使用n 年后该设备的盈利额为()f n 万元.（Ⅰ）写出()f n 的表达式；（Ⅱ）求从第几年开始，该设备开始盈利；（Ⅲ）使用若干年后，对该设备的处理方案有两种：方案一：年平均盈利额达到最大值时，以52万元价格处理该设备；方案二：当盈利额达到最大值时，以16万元价格处理该设备.问用哪种方案处理较为合算?请说明理由．方法五 导数法使用情景 函数比较复杂，单调性一般方法不行. 解题步骤先求函数，再求导，再研究函数的单调性.【例7】在数列}{n a 中，nn a •a k•a n n +-+=+=+2111,1（n *∈N ），其中k 是常数，且3625≤≤k . （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列}{n a 的最小项.以上1n -个式子相加得)11(11n k n a a n ---=-，即)11(11nk n a a n ---+=. 又k a +=11，所以)11(11n k n k a n ---++=，即(2,3,)n ka n n n=+=L . 当1n =时，上式也成立.所以数列}{n a 的通项公式为(1,2,3,)n ka n n n=+=L . （Ⅱ）为考查数列}{n a 的单调性，注意到(1,2,3,)n k a n n n =+=L ，可设函数)1)()(≥+=x xkx x f ，则21)(xkx f -='，即22)(x k x x f -='.可知)1,x k ⎡∈⎣时，0)(<'x f ；k x =时，0)(='x f ；(,)x k ∈+∞时，0)(>'x f .所以函数xkx x f +=)(在[1，k ]上是减函数；在),k ⎡+∞⎣上是增函数.因为3625≤≤k ，所以65≤≤k .（3）当56a a =，即6655kk +=+，即30k =时， 12345567,a a a a a a a a >>>>=<<L . 所以数列}{n a 的最小项为11630665=+==a a . （4）当65a a <且5>k 时，6655kk +<+且25>k ，则3025<<k ， 12345567,a a a a a a a a >>>>><<L . 所以数列}{n a 的最小项为555ka +=.（5）当665<>k a a 且时，6655kk +>+且36k <，则3630<<k ，Λ<<>>>>>76654321,a •a •a a a a a a .所以数列}{n a 的最小项为666k a +=. 综上所述：当25k =时，数列}{n a 的最小项为5a =10；当3025<<k 时，数列}{n a 的最小项为555ka +=；当30k =时，数列}{n a 的最小项为56a a ==11；当3036k <<时，数列}{n a 的最小项为666ka +=；当36k =时，数列}{n a 的最小项为612a =.【点评】（1）利用导数求数列的最值，不能直接求，必须先构造数列对应的函数，因为数列是离散型函数，不可导.（2）注意数列对应的函数的单调性和数列本身的单调性是有区别的，有人认为“数列对应的函数在),0(a 上单调递增，在),(+∞a 上单调递减，则数列在最靠近a x =的地方取得最大值”.如下图所示，数列对应的连续函数在),0(a 上单调递增，在),(+∞a 上单调递减，但是数列并不是在最靠近c x a x ==的处取得最大值，而是在b x =处取得最大值（其中)0,,>∈*a N c b .所以可知当数列对应的函数在),0(a 上单调递增，在),(+∞a 上单调递减，则数列不一定在最靠近a x =的地方取得最大值，必须把a x =附近的整数值代进去比较，才可以判断谁是最大值.所以一般不利用导数求数列的最值.【反馈检测5】求数列}{n n n a =的最大项与最小项.【例8】已知二项式122nx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．（1）若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；（2）若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．【点评】利用数列离散的特点，考察⎩⎨⎧≥≥-+11k k k k a a a a 或⎩⎨⎧≤≤-+11k k k k a a a a ，然后判断数列}{n a 的最值情况.（1）、若数列}{n a 中的最大项为k a ，则⎩⎨⎧≥≥-+11k kk k a a a a ；（2）、若数列}{n a 中的最小项为k a ，则⎩⎨⎧≤≤-+11k k k k a a a a .注意：这只是k a 为数列最值的必要不充分条件，不是充要条件，若k 不止一解时，需要代入检验. 学.科.网【反馈检测6】已知n x x 223)(+的展开式的系数和比n x )13(-的展开式的系数和大992，求n xx 2)12(-的展开式中：（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项.高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第40讲：数列最值的求法参考答案【反馈检测1答案】（1）（-247,-3）；（2）当6n =时，n S 最大.解法二：由题意可得：n S =1na +(1)2n n d -=(122)n d -+22n n d -=25(12)22d n d n +- 显然0d ≠, n S 是关于自变量n 的二次函数， 由（1）知：0d <,二次函数的图像抛物线的对称轴为5122n d=-, 由（1）知：2437d -<<-， 所以6<5122d -<132,又因为n *N ∈,故当6n =时，n S 最大，即6s 最大.【反馈检测2答案】225-因此等差数列{n a }的公差大于0.1a =1s =2112)8a +（,解得1a =2.所以42n a n =-,则1302312n n b a n =-=-.即数列{n b }也为等差数列且公差为2.由23102(1)310{n n -≤+-≥，解得293122n ≤≤，因为n *N ∈，所以15n =, 故{n b }的前15项为负值， 因此15s 最小， 可知1b =-29，d =2,所以数列 {n b }的前n 项和的最小值为15s =1529215312-+⨯-（）=-225.【反馈检测3答案】（1）n a n =；（2）)(n f 的最小值是1(1)2f =；（3）见解析. 【反馈检测3详细解析】（1）由点P ),(1+n n a a 在直线01=+-y x 上，即11=-+n n a a ，且11=a ，数列{n a }是以1为首项，1为公差的等差数列1(1)1n a n n =+-⋅=，∴n a n =（2）n n n n f 212111)(+++++=Λ 11111(1)2342122f n n n n n n +=++++++++++L 111111(1)()021********f n f n n n n n n n +-=+->+-=++++++所以)(n f 是单调递增，故)(n f 的最小值是1(1)2f =()()()()123111111231231n S S S S n n n n n n -∴++++=-⋅+-⋅+-⋅++--⋅⎡⎤⎣⎦-L L()1111111111231231n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫=+++--=++++- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭L L()1n n nS n n S =-=-.(,2)n N n *∈≥【反馈检测4答案】（Ⅰ）()2480196f n n n =-+-（n *∈N ）；（Ⅱ）从第三年开始盈利；（Ⅲ）采用方案一合算．【反馈检测4详细解析】（Ⅰ）2(1)()100196[248]480196()2n n f n n n n n n N *-=--+=-+-∈． （Ⅱ）由()0f n >得：24801960n n -+->即220490n n -+<，解得10511051n -<<，由n N*∈知，317n ≤≤，即从第三年开始盈利 （Ⅲ）方案①：年平均盈利为()f n n ，则()49494()80428024f n n n n n n =-++≤-⋅⋅=，当且仅当49n n=，即7n =时，年平均利润最大，共盈利24×7＋52＝220万元．方案②：2()4(10)204f n n =--+，当10n =时，取得最大值204，即经过10年盈利总额最大，共计盈利204＋16＝220万元两种方案获利相等，但由于方案二时间长，所以采用方案一合算． 【反馈检测5答案】331{}3, 1.n a a a ==的最大项为最小项为学.科.网【反馈检测6答案】（1）8064)1()2(555106-=-⋅⋅=x x C T ；（2）437310415360)1()2(x xx C T -=-=。

2018年高考《数学》解题方法总结【三篇】导读：本文2018年高考《数学》解题方法总结【三篇】，仅供参考，如果觉得很不错，欢迎点评和分享。

【第一篇】●调理大脑思绪，提前进入数学情境考前要摒弃杂念，排除干扰思绪，使大脑处于“空白”状态，创设数学情境，进而酝酿数学思维，提前进入“角色”，通过清点用具、暗示重要知识和方法、提醒常见解题误区和自己易出现的错误等，进行针对性的自我安慰，从而减轻压力，轻装上阵，稳定情绪、增强信心，使思维单一化、数学化、以平稳自信、积极主动的心态准备应考。

●“内紧外松”，集中注意，消除焦虑怯场集中注意力是考试成功的保证，一定的神经亢奋和紧张，能加速神经联系，有益于积极思维，要使注意力高度集中，思维异常积极，这叫内紧，但紧张程度过重，则会走向反面，形成怯场，产生焦虑，抑制思维，所以又要清醒愉快，放得开，这叫外松。

●沉着应战，确保旗开得胜，以利振奋精神良好的开端是成功的一半，从考试的心理角度来说，这确实是很有道理的，拿到试题后，不要急于求成、立即下手解题，而应通览一遍整套试题，摸透题情，然后稳操一两个易题熟题，让自己产生“旗开得胜”的快意，从而有一个良好的开端，以振奋精神，鼓舞信心，很快进入思维状态，即发挥心理学所谓的“门坎效应”，之后做一题得一题，不断产生正激励，稳拿中低，见机攀高。

●“六先六后”，因人因卷制宜在通览全卷，将简单题顺手完成的情况下，情绪趋于稳定，情境趋于单一，大脑趋于亢奋，思维趋于积极，之后便是发挥临场解题能力的黄金季节了，这时，考生可依自己的解题习惯和基本功，结合整套试题结构，选择执行“六先六后”的战术原则。

1、先易后难。

就是先做简单题，再做综合题，应根据自己的实际，果断跳过啃不动的题目，从易到难，也要注意认真对待每一道题，力求有效，不能走马观花，有难就退，伤害解题情绪。

2、先熟后生。

通览全卷，可以得到许多有利的积极因素，也会看到一些不利之处，对后者，不要惊慌失措，应想到试题偏难对所有考生也难，通过这种暗示，确保情绪稳定，对全卷整体把握之后，就可实施先熟后生的方法，即先做那些内容掌握比较到家、题型结构比较熟悉、解题思路比较清晰的题目。