2.3.2《双曲线的简单几何性质》课时2 课件
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2.3.2双曲线的简单几何性质课件人教新课标2
②
将①式代入②，解得 m 210 .
3
所以直线l的方程为 y 2x 210 .
3
类型三 双曲线性质的综合应用
【典例3】
(1)已知双曲线
x2 a2
y2 b2
1
(a>0，b>0)的左、右焦点分别为
F1(-c，0)，F2(c，0).若双曲线上存在一点P，使
sinPF1F2 a， sinPF2F1 c
【解题探究】1.题(1)条件 sinPF1F2 a 如何转化？
sinPF2F1 c
2.题(2)几何条件OP⊥OQ如何转化为代数条件？
【探究提示】1.利用正弦定理，可将 sinPF1F2 转化为边之间
sinPF2F1
的比值.
2.条件OP⊥OQ，一般转化为
即若设P(x1，y1)，
Q(x2，y2)，则
【自主解答】(1)设l的方程为y=kx+b，
由
x2
y2
1，消去y得：(1-2k2)x2-4kbx-2b2-2=0.
2
y kx b
因为l与双曲线交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
故Δ=8b2+8-16k2>0 ①，1-2k2≠0，
由根与系数的关系知：x1+x2=
4kb ， 1 2k2
线的左支.
2.由直线l1与双曲线C的方程组成的方程组应有两组解.
【自主解答】(1)由
x2 9
y2 16
1，所以a2=9，b2=16，所以c2=25，c=5，
由双曲线的定义，双曲线上任意一点P满足||PF2|-|PF1||=6<10.
当直线上存在点P满足|PF2|-|PF1|=6时，说明直线与双曲线的
2.3.2双曲线的简单几何性质(二))
a2 直线 : x 是对应于焦点 F (c,0) 的一条准线, c
2
作业:课本 P B 组第 4 题
62
x2 y2 1 的左焦点 F1 作倾角为 的直线与双曲线 1.过双曲线 9 16 4
192 交于 A、B 两点，则|AB|= . 7
所得弦长为
2.双曲线的两条渐进线方程为 x 2 y 0 ，且截直线 x y 3 0
4
,求点M的轨迹.
d
M
16 x 5 将上式两边平方，并化简，得9 x2－ y 2 144, 16
由此得
. 4
F
x
x y 即 － 1 16 9
2
2
所以，点M的轨迹是实轴、虚轴长分别为8、6的双曲线。
变式:动点 M ( x, y) 与定点 F (c,0)(c 0) 的距离和它到定直线 a2 c c : x 的距离的比是常数 ( 1) ,求点 M 的轨迹方程. c a a 2
F1
O
A
B
F2 x
你能求出△AF1B 的周长吗?
2 | AF2 | 8 3
课堂练习: 1.到定点的距离与到定直线的距离之比等于 log23 的点的轨迹是( C ) (A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线 (D)抛物线 2.点 P 与两定点 F1(－a，0)、F2(a，0)(a＞0)的 连线的斜率乘积为常数 k，当点 P 的轨迹是离心 率为 2 的双曲线时，k 的值为( A ) (A)3 (B) 3 (C)± 3 (D)４ 2 2 x y 1 上的点 P 到双曲线的右 3.如果双曲线 64 36 6.4 焦点的距离是 8， 那么 P 到右准线的距离是_____, 19.2 P 到左准线的距离是________.
2
作业:课本 P B 组第 4 题
62
x2 y2 1 的左焦点 F1 作倾角为 的直线与双曲线 1.过双曲线 9 16 4
192 交于 A、B 两点，则|AB|= . 7
所得弦长为
2.双曲线的两条渐进线方程为 x 2 y 0 ，且截直线 x y 3 0
4
,求点M的轨迹.
d
M
16 x 5 将上式两边平方，并化简，得9 x2－ y 2 144, 16
由此得
. 4
F
x
x y 即 － 1 16 9
2
2
所以，点M的轨迹是实轴、虚轴长分别为8、6的双曲线。
变式:动点 M ( x, y) 与定点 F (c,0)(c 0) 的距离和它到定直线 a2 c c : x 的距离的比是常数 ( 1) ,求点 M 的轨迹方程. c a a 2
F1
O
A
B
F2 x
你能求出△AF1B 的周长吗?
2 | AF2 | 8 3
课堂练习: 1.到定点的距离与到定直线的距离之比等于 log23 的点的轨迹是( C ) (A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线 (D)抛物线 2.点 P 与两定点 F1(－a，0)、F2(a，0)(a＞0)的 连线的斜率乘积为常数 k，当点 P 的轨迹是离心 率为 2 的双曲线时，k 的值为( A ) (A)3 (B) 3 (C)± 3 (D)４ 2 2 x y 1 上的点 P 到双曲线的右 3.如果双曲线 64 36 6.4 焦点的距离是 8， 那么 P 到右准线的距离是_____, 19.2 P 到左准线的距离是________.
高中数学《2.3.2双曲线的简单几何性质》公开课优秀课件(经典、完美、值得收藏)
A1（0，-a），A2（0，a）
e c (e 1) a
y a x b
例2 对于方程 x2 y2 1 和 x2 y2 （ 0 且 1),
4
4
所表示的双曲线有如下结论：
（1）有相同的顶点 （2）有相同的焦点
（3）有相同的离心率 （4）有相同的渐近线
其中正确的是 A. （1）（4）
B. （2）（4）
y2 52 a2
1,然后由 5 a
5 4
求得a 4,b2 25 16 9,可得 x2 y2 1. 16 9
注：与 x2 a2
y2 b2
1共焦点的椭圆系方程是
x2 m2
y2 m2 c2
1,
双曲线系方程是
x2 m2
c2
y2 m2
1
(4). 求与椭圆 x2 y2 1 有共同焦点，渐近线方程为
1a
0,b
0
顶点分别是什么？
其范围、对称性、
y
|y|≥a，x∈R
F2
关于x轴、y轴、原点对称.
o
x 顶点（0，±a）
F1
4.双曲线的渐近线 ▲规定：直线 y
b a
x叫做双曲线
x2 a2
y2 b2
=1的渐近线。
▲思考：①双曲线
y2 a2
x2 b2
1的渐近线方程是什么y？
a
x
b
②两种双曲线的渐近线方程，怎样统一记忆？
16 8
x 3y 0 的双曲线方程。
解： 椭圆的焦点在x轴上，且坐标为
F1(2 2，0)，F（2 2 2，0）
⑵解:设双曲线方程为
x2 a2
y2 b2
1 (a>0,b>0)
3.2.2双曲线几何性质的应用第2课时课件新教材人教A版选择性必修第一册
任务型课堂
课后素养评价
[微训练]
1．已知双曲线的方程为x2－y2＝1，过P(－1，0)的直线与双曲线只
有一个公共点，则这样的直线共有( B )
A．4条
B．3条
C．2条
D．1条
2．若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，那么
k的取值范围是( D )
A． −
15
15
，
3
3
C． −
15
此时方程(*)有两个不同的实数解，
即直线l与双曲线有两个不同的公共点．
第2课时 双曲线几何性质的应用
问题式预习
任务型课堂
课后素养评价
(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；
4 − 3 2 ＝0，
2 3
解：由ቊ
得k＝± ，
2
3
1 − ≠ 0，
此时方程(*)有两个相同的实数解，即直线l与双曲线有且只有一个公
2 − 2 ＝4，
解：联立൝
消去y，得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*)
＝ − 1 ，
当1－k2≠0，即k≠±1时，Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4×(4－3k2)．
4 − 3 2 > 0，
2 3
2 3
由ቊ
得－ ＜k＜ 且k≠±1，
2
3
3
1 − ≠ 0，
共点．
当1－k2＝0，即k＝±1时，直线l与双曲线的渐近线平行，
方程(*)化为2x＝5，故方程(*)只有一个实数解，即直线与双曲线相
交，有且只有一个公共点．
2 3
故当k＝± 或k＝±1时，直线l与双曲线有且只有一个公共点．
2.3.2双曲线的简单几何性质(2)
§2.3.2双曲线的简单几何性质（2）编写：英德市第二中学，叶加修；审核：英西中学，刘东【学习目标】理解渐进线的概念，能根据双曲线的几何性质确定双曲线的标准方程【知识回顾】1、已知双曲线的焦点在x 轴上，方程为 ，两顶点的距离为8，一渐近线上有点A(8,6)，试求此双曲线的方程。
2.小结：【新知构建】双曲线的渐近线方程．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±a bx ，一般情况下，先求a 、b ，再写方程．两者容易混淆，可将双曲线方程中右边的“1”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程，这样就不至于记错了．(1) 若已知渐近线方程为mx ±ny ＝0，求双曲线方程．双曲线的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上，可用下面的方法来解决．方法一 分两种情况设出方程进行讨论；方法二 依据渐近线方程，设出双曲线为m 2x 2－n 2y 2＝λ(λ≠0)，求出λ即可． (2)与x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)． 例1 求双曲线9y 2－4x 2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．例2 根据以下条件，分别求出双曲线的标准方程．(1)过点P (3，－2)，离心率e ＝52； (2)焦距为10，渐近线方程为y ＝±12x ； 小结：1by a x 2222=-【当堂练习】1．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为( ) A ．2 B. 3 C. 2 D.322．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( ) A ．y ＝±12x B ．y ＝±22x C ．y ＝±2x D ．y ＝±2x 3．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为x ＋2y ＝0，则双曲线的离心率e 的值为( ) A.52 B.62C. 2 D ．2 4.已知双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，求双曲线的离心率．小结：【课后作业】1．设F 1和F 2为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，若F 1，F 2，P (0，2b )是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为( ) A.32 B ．2 C.52D ．3 2．已知双曲线x 22－y 2b2＝1(b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，其中一条渐近线方程为y ＝x ，点P (3，y 0)在该双曲线上，则PF 1→·PF 2→＝( )A ．－12B ．－2C ．0D ．4 3．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，则双曲线的离心率e 为( )A ．2B ．3 C.43 D.534.双曲线的渐近线方程为2x ±y ＝0，两顶点间的距离为4，求双曲线的方程？。
3.2.2双曲线的简单几何性质(第2课时)课件(人教版)
双曲线的简单几何性质
练习：设双曲线 C 的中心为点 O，若有且只有一对相交于点 O，所成角为 60°
的直线 A1B1 和 A2B2，满足|A1B1|＝|A2B2|，其中 A1，B1 和 A2，B2 分别是这对直 线与双曲线 C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( )
2 3，2 A. 3
2 3，＋∞ C. 3
由双曲线的定义知|PF1|－|PF2|＝2a，则ac|PF2|－|PF2|＝2a，即|PF2|＝c2－a2a. 又由双曲线的性质知|PF2|>c－a，则c2－a2a>c－a，即 c2－2ac－a2<0， ∴e2－2e－1<0，解得－ 2＋1<e< 2＋1.又 e∈(1，＋∞)， ∴e∈(1， 2＋1)．
线方程为 y=±43x,则下列结论正确的是 ( )
2
2
A.C 的方程为
9
−
16=1
B.C 的离心率为5
4
C.焦点到渐近线的距离为 3
D.|PF|的最小值为 2
双曲线的简单几何性质
解析:双曲线 C 的一个焦点 F(5,0),且渐近线方程为 y=±43x,可得 c=5,
焦点坐标在 x 轴上,
所以 = 43,因为 c=5,所以 b=4,a=3,
y＝±bx a
e＝c>1 a
y＝±ax b
复习导入
等轴双曲线
定义 方程 形式
性质
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线 x2－y2＝λ(λ≠0)，λ>0 时，焦点在 x 轴上；λ<0 时，焦点在 y 轴上 ①离心率：e＝ 2 ②渐近线方程：y＝±x
02双曲线的简单的几何性质 渐近线
PART
ONE
3.2.2双曲线的简单几何性质 课件(共24张PPT)
2
2
=λ(λ≠0).
(5)渐近线为y=±kx的双曲线方程可设为k2x2-y2=λ(λ≠0).
(6)渐近线为ax±by=0的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=λ(λ≠0).
跟踪训练 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
5
（1）焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为3 ；ห้องสมุดไป่ตู้
跟踪训练
A.
1
4
双曲线x2-my2＝1的实轴长是虚轴长的2倍，则m等于
B.
1
2
C.2
D.4
（D）
二、求双曲线方程
例2
根据下列条件，求双曲线方程:
（1）双曲线 x
2
9
y2
1 有共同渐近线，且过点 ( 3, 2 3) ；
16
（2）与双曲线 x
2
16
解
y2
1 有公共焦点，且过点 (3 2 , 2) .
第三章
3.2
双曲线
3.2.2 双曲线的简单几何性质
学习目标
1.理解双曲线的简单几何性质（范围、对称性、顶点、渐近线、离心率）.
2.能用双曲线的简单性质解决一些简单的问题
核心素养：数学运算、数学建模
新知学习
复习引入
定义
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
y
M
M
F2
(2)焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程可设为
2
(3)与双曲线
2
2 +
2
−
2
2
2
−
=1(a>0,b>0).
2
2
=1 共焦点的双曲线方程可设为
2
=λ(λ≠0).
(5)渐近线为y=±kx的双曲线方程可设为k2x2-y2=λ(λ≠0).
(6)渐近线为ax±by=0的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=λ(λ≠0).
跟踪训练 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
5
（1）焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为3 ；ห้องสมุดไป่ตู้
跟踪训练
A.
1
4
双曲线x2-my2＝1的实轴长是虚轴长的2倍，则m等于
B.
1
2
C.2
D.4
（D）
二、求双曲线方程
例2
根据下列条件，求双曲线方程:
（1）双曲线 x
2
9
y2
1 有共同渐近线，且过点 ( 3, 2 3) ；
16
（2）与双曲线 x
2
16
解
y2
1 有公共焦点，且过点 (3 2 , 2) .
第三章
3.2
双曲线
3.2.2 双曲线的简单几何性质
学习目标
1.理解双曲线的简单几何性质（范围、对称性、顶点、渐近线、离心率）.
2.能用双曲线的简单性质解决一些简单的问题
核心素养：数学运算、数学建模
新知学习
复习引入
定义
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
y
M
M
F2
(2)焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程可设为
2
(3)与双曲线
2
2 +
2
−
2
2
2
−
=1(a>0,b>0).
2
2
=1 共焦点的双曲线方程可设为
2.3.2 双曲线的简单几何性质 2
(2)直线的方程: y=±－x a
x
渐渐接近但永不相交
x a
2 2
-
y b
2 2
= 1
•
y
N Q B2 A1 O M
5.离心率
(1)概念:焦距与实轴长之比
c (2)定义式: e=－
b A2 a
B1
a
x
(3)范围: e>1 (c>a) (4)双曲线的形状与e的关系
k = b a = c - a a
第二章 圆锥曲线与方程
2.3.2 双曲线的简单几何性质
一.复习引入
• 1.双曲线的定义是怎样的？
• 2.双曲线的标准方程是怎样的？
x a
2y a
2 2
-
x b
2 2
= 1
• 思考回顾 椭圆的简单几何性质 ？ ①范围; ②对称性; ③顶点; ④离心率等 回想：我们是怎样研究上述性质的？
x a
2
2
-
y b
2 2
= 1
k=
b a
=
c - a a
2
2
=
e - 1
2
即:e越大,渐近线斜率越大,其开口越阔.
例1 求双曲线 9 y 16 x 144 的实半轴长,虚半轴长,
2 2
焦点坐标,离心率.渐近线方程。 解：把方程化为标准方程： 可得:实半轴长 a=4 虚半轴长 b=3 半焦距 c= 4 2 32 5 焦点坐标是 (0,-5),(0,5) 离心率
2 2
=
e - 1
2
即:e越大,渐近线斜率越大, 其开口越阔.
y
L!
y
B
图形
A1
2.3.2 双曲线的简单几何性质课件人教新课标
4
2
2.若双曲线 x2 - y2 =1(a,b>0)的渐近线方程为 y=± 3 x,则该双曲线的离心率为
a2 b2
3
(B )
(A) 3 (B) 2 3 (C)2 (D) 6
3
3
2
3.已知定点 A,B 且|AB|=4,动点 P 满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值为( C )
(A) 1 2
所以 b=6,c=10,a=8.
所以标准方程为 x2 - y2 =1 或 y2 - x2 =1.
64 36
64 36
(2)顶点间距离为 6,渐近线方程为 y=± 3 x; 2
解:(2)法一 当焦点在 x 轴上时, b = 3 且 a=3, a2
所以 b= 9 .所以标准方程为 x2 - y2 =1.
ab 线方程为 x2 - y2 =λ(λ≠0),再根据其他条件确定λ的值.
a2 b2 (2)巧设双曲线方程的六种常用方法 ①焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程可设为 x2 - y2 =1(a>0,b>0).
a2 b2
②焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程可设为 y2 - x2 =1(a>0,b>0). a2 b2
a2 b2
25 9
曲线的焦点坐标为
;渐近线方程为
.
答案:(4,0),(-4,0) y=± 3 x
5.已知双曲线 x2 - y2 =1 的左顶点为 A,过右焦点 F 作垂直于 x 轴的直线,交双曲线 9 16
于 M,N 两点,则△AMN 的面积为
.
答案: 128 3
课堂探究
题型一 双曲线的简单几何性质
≤-a 所表示的平面区域内,而在直线 x=a 与 x=-a 之间没有图象.
双曲线的简单几何性质(第2课时)课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册
第3章 圆锥曲线的方程 3.2.2.2 双曲线的简单几何性质
导入
一、知识回顾
双曲线的简单几何性质：
标准方程
范围 对称性 顶点坐标
渐近线
x2 - y2 = 1(a > 0,b > 0) a2 b2
y2 - x2 = 1(a > 0,b > 0) a2 b2
x≤-a或x≥a，y∈R
y≤-a或y≥a，x∈R
一个
一解
△=0
相离
0个
无解
△<0
探究新知
1.判断点与双曲线的位置关系
已知平面内任一点P(
x0，y0
)，双曲线 x a
2 2
y2 b2
1(a，b
0)
P在双曲线上:
x02 a2
y02 b2
1
P在双曲线开口内:
x02 a2
y02 b2
1
P在双曲线开口外:
x02 a2
y02 b2
1
y
O
x
观看动画演示，请说出直线与双曲线有几种位置关系？如何判断 直线与双曲线的位置关系？
Δ<0⇒直线与双曲线 没有 公共点，此时称直线与双曲线相离 ．
相交于一点 ．
例题巩固
例例11、3 已知双曲线 x2－y22＝1，直线 l 过点 P(1,1)，当 k 为何值时，直线 l 与双曲线 C：
(1)有一个公共点；(2)有两个公共点；(3)无公共点？ y＝kx＋(1－k)，
解 设直线 l：y－1＝k(x－1)，即 y＝kx＋(1－k)． 由 x2－y2＝1，
(1)当 b2－a2k2＝0,即 k＝±ba时,直线 l 与双曲线的渐近线平行,直线与双曲线 C (2)当 b2－a2k2≠0，即 k≠±ba时，
导入
一、知识回顾
双曲线的简单几何性质：
标准方程
范围 对称性 顶点坐标
渐近线
x2 - y2 = 1(a > 0,b > 0) a2 b2
y2 - x2 = 1(a > 0,b > 0) a2 b2
x≤-a或x≥a，y∈R
y≤-a或y≥a，x∈R
一个
一解
△=0
相离
0个
无解
△<0
探究新知
1.判断点与双曲线的位置关系
已知平面内任一点P(
x0，y0
)，双曲线 x a
2 2
y2 b2
1(a，b
0)
P在双曲线上:
x02 a2
y02 b2
1
P在双曲线开口内:
x02 a2
y02 b2
1
P在双曲线开口外:
x02 a2
y02 b2
1
y
O
x
观看动画演示，请说出直线与双曲线有几种位置关系？如何判断 直线与双曲线的位置关系？
Δ<0⇒直线与双曲线 没有 公共点，此时称直线与双曲线相离 ．
相交于一点 ．
例题巩固
例例11、3 已知双曲线 x2－y22＝1，直线 l 过点 P(1,1)，当 k 为何值时，直线 l 与双曲线 C：
(1)有一个公共点；(2)有两个公共点；(3)无公共点？ y＝kx＋(1－k)，
解 设直线 l：y－1＝k(x－1)，即 y＝kx＋(1－k)． 由 x2－y2＝1，
(1)当 b2－a2k2＝0,即 k＝±ba时,直线 l 与双曲线的渐近线平行,直线与双曲线 C (2)当 b2－a2k2≠0，即 k≠±ba时，
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a2 y c
F′
典例展示
例1.点M（x，y）与定点F（5，0）的距离和它到定 16 5 直线 l : x 的距离的比是常数 ，求点M的轨迹. 4 5 l y d 设d是点M到直线l的距离，根 解： H .M 据题意，所求轨迹就是集合 . . | MF | 5 P M , F O d 4
.
y
A2 F2
B1
F2(0,c) x
F2
x
B1
F2(c,0)
A1 O F1
F1(0,-c)
x y 1 ( a b 0) a b
x a 或 x a， y R
关于x轴、y轴、原点对称
A1（- a，0），A2（a，0）
y x 1 (a 0 ,b 0 ) a b
(4)等轴双曲线是一种比较特殊的双曲线，其离心率为 2，实轴长与虚轴长相等，两条渐近线互相垂直；
(5)注意双曲线中a，b，c，e的等量关系与椭圆中a，b，c，e 的不同．
直线与双曲线的位置关系
复习: 椭圆与直线的位置关系及判断方法
相离
相切
相交
判断方法
（1）联立方程组 （2）消去一个未知数 （3）∆<0
λ>0表示焦点在x轴上的双曲线；λ<0表示焦点在y轴上的双曲线。
2、“共焦点”的双曲线
（1）与椭圆 示为
x2 y2 2 2 1( b a ). 2 2 a b
x2 y 2 2 1(a b有共同焦点的双曲线方程表 0) 2 a b
（2）与双曲线
程表示为
x2 y2 2 2 1( b a ) 2 2 a b
故点M的轨迹为实轴、虚轴长分别为2a、2b的双曲线.
双曲线的第二定义
平面内，若定点F不在定直线l上，则到定点F的距离与到定直线l的 距离比为常数e(e>1)的点的轨迹是双曲线。 定点F是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e是双曲线
的离心率.
x2 y2 对于双曲线 2 2 1 类似于椭圆 a b 2 a 是相应于右焦点F(c, 0)的右准线. x c a 2 是相应于左焦点F′(-c, 0)的左准线. x c
B1 F2(c,0)
F1(-c,0)
2
F1
A1
O
A2
F2
B1
2
x F2(c,0)
方程 范围 对称性 顶点 离心率 渐进线
x y 1 ( a b 0) a b a x a b y b
2
x y 1 (a 0 ,b 0 ) a b
2 2
x a 或 x a， y R
∆=0
∆>0
1) 位置关系种类
Y
O
X
种类:相离;相切;相交(0个交点，一个交点，一个交点或两个交点)
M
yl
O
M
即
( x c )2 y 2 x
2
a ( x c ) 2 y 2 | a 2 cx | . 的左支
化简得
a c 点M的轨迹也包括双曲线
c a
F
x
a 2 ( x 2 2cx c 2 y 2 ) a4 2a 2cx c 2 x 2
(c2－a2)x2－ a2y2=a2 (c2 － a2) 设c2－a2 =b2， 2 2 x y 就可化为: b2x2－a2y2=a2b2 即 2 1 (a>0,b>0) 2 a b
2 2 2 2
范围
对称性 顶点 离心率 渐进线
y a 或 y a， x R
关于x轴、y轴、原点对称
A1（0，-a），A2（0，a）
c e a
(e 1)
b y x a
c e a
(e 1)
a y x b
1、“共渐近线”的双曲线
x2 y2 x2 y2 与 2 2 1共渐近线的双曲线系方程为 2 2 ( 0， 为参数 )， a b a b
由此得
2
x
x y 9 x 16 y 144 . 即 1. 16 9 所以 点 M 的轨迹是实轴、虚轴长分别为 8,6的双曲线 .
2
(x 5)2 y 2 5 . 将上式两边平方，并化简，得： 16 4 | x| 5 2 2
双曲线中应注意的几个问题： (1)双曲线是两支曲线，而椭圆是一条封闭的曲线； (2)双曲线的两条渐近线是区别于其他圆锥曲线所特有的； (3)双曲线只有两个顶点，离心率e>1；
点M到左焦点与左准线的距离之比 也满足第二定义.
y
l′
l
M
F′
a2 x c
o
a2 x c
x F
相应于上焦点 F(c, 0)的是上准线 焦点在y 轴上的双曲 线的准线方程是怎 2 a 样的？ y c
想一想：中心在原点，
y
F o
a2 y c x
相应于下焦点F′(-c, 0)的是下准线
a2 y c
关于x轴、y轴、原点对称
A1（- a，0），A2（a，0）
关于x轴、y轴、原点对称
A1（- a，0），A2（a，0）
B1（0，-b），B2（0，b）
c e a
(0 e 1)
c e a
(e 1)
无
b y x a
. .
B2
图形 F1 2
y
A1
B2
O
F1
A2
x2 y 2 2 1(a 0, b 0) 有共同焦点的双曲线方 2 a b
双曲线的第二定义 引例 点M(x, y)与定点F(c, 0)的距离和它到定直线 c a x 的距离比是常数 (c>a>0)，求点M的轨迹. c a
2
解：设点M(x,y)到l的距离为d，则
| MF | c d a
根据实际情况酌情处理，在普通班的教学中可以忽略不 讲，直接讲例题1；例2研究了直线与双曲线的位置关系； 例3讲的是高考的一个热点内容——弦长公式问题。直线 与双曲线的弦长公式问题（可以推广到直线与其它圆锥
曲线的弦长公式问题）.
图形
A1
.
2 2
y
B2 O
F1
.
F2
A2
x
. .
B2
y
F1(-c,0)
2
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2.3 双曲线
2.3.2 双曲线的简单几何性质（2）
本节课主要学习双曲线的定义、直线与双曲线的位置 关系、直线与双曲线的弦长. 通过回顾双曲线的概念、方 程和性质，复习直线与椭圆的位置关系等知识，巩固所 学知识，充分调动学生学习的积极性和主动性.
双曲线的第二定义作为了解内容，在实际教学中可以