两圆的公切线(3)PPT课件

在Rt△O1EO2中，易得∠O1O2E＝30°，
故可推知∠O1＝60° ∴可求得AB＝3，
然后在Rt△BAC中，
利用AB＝3，∠ABC＝30°， 即可求出AC、BC， 从而可求得△ABC的周长。
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解:
(1)连结O1B、O2C ∵BC为外公切线
BM
C
∴O1B⊥BC，O2C⊥BC，
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例2 如图，两圆内切于点P，CD为小圆的直径，连结PC、PD 并延长 交大圆于E、F，大圆的弦切小圆于D，交EF
求证：(1)AG＝GB；(2)AD·DB＝CD·FG 。
E
分析：(1)要证AG＝GB，
T
C
只要证明EF是⊙O2的直径，且EF⊥AB， P O1 O2
故只需证明EF∥CD即可，
(3)
1.通过解题实践进一步加深对两圆内外公切线性质的认识。 2.掌握两圆公切线在几何证题中的运用，学会在证题中适时 地添加两圆的内(或外)公切线。
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1．复习与回顾：
通过前面两讲的学习，我们不但了解了两圆公切线的概念， 而且还掌握了它们的性质、画法以及切线长的计算方法。
(1)公切线的概念：
1 2
从而∠O1＝60°
BM
E
C
O1 A O2 D P
∴AB＝O1B=O1A＝3
在△ABC中， ∠ABC＝
1 2
∠O1＝30°
∴∠60°∠ACBBA＝C＝12 9∠0°O1O2C＝
1 2
(180°－60°)＝
∴CB＝
2 3
AB=
23 3
×3＝2
3
AC＝
1＋ 3＋2 3＝3＋3 3
若连结O1B、O2C，
则∠PBA＝
1 2
∠PO1B，
∠PAC＝
1 2
∠PO2C，
由此只要证∠PO1B＝∠PO2C， 由于O1B∥O2C
2020年10月故2日这是显然的。
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(2)∵⊙O1与⊙O2的半径分别是方程x2－4x＋3＝0的两根，
由此可求得O1B＝3，O2C＝1，
BM
E
C
作O2E⊥O1B
O1 A O2 D P
E T
C
又∵CD∥EF ∴∠CPD＝∠F
∴△FGD∽△DPC
∴
FG DP
＝
FD CD
∴FG·CD＝DP·FD
P O1 O2
AD G B F
又∵AD·DB＝DP·FD (相交弦定理) ∴AD·DB＝CD·FG
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在解答有关两圆的公切线问题时，下面的基本知识和 基本技能是日常用的：
和两圆都相切的直线，叫做两圆的公切 ①线外．公切线定义：两个圆在公切线的同旁时，这样的公切 线叫做外公切线．
②内公切线的定义：两个圆在公切线两旁时，这样的公切 线叫做两圆的内公切线.
B A
AD
O1
O2
C
D
O1
C
O2 B
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2.两圆的位置与公切线条数的关系
位置
图形
内公切线数 外公切线数
相离 外切 相交
内切 内含
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2
2
1
2
0
2
0
1
0
0
3
(2)公切线长的概念：
公切线上两个切点的距离叫公切线的长。
(3)公切线的性质： ①两圆的两条外公切线长相等，两圆的两条内公切线长相等。 ②如果两圆有两条公切线，并且相交，那么交点一定在两圆 的连心 线上，连心线平分两条公切线的夹角。 (4)公切线长的计算：
4
3．公切线的运用： 两圆公切线不但在生产上有其具体应用，在几何证
题中的应用更是屡见不鲜的。
例1 如图，⊙O1和⊙O2外切于点A，BC是⊙O1和⊙O2的 公切线，B、C为切点 .
求证： AB ⊥ AC .
分析
B O C
O1 A O2
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例2 如图，⊙O1与⊙O2外切于A，BC切⊙O1于B，切⊙O2 于C，O1O2的延长线交BC的延长线于P。 求证：(1)PA2＝PC·PB
(2)若⊙O1与⊙O2的半径分别是方程x2－4x＋3＝0的两根，
求△ABC的周长。
BM
分析
C
O1 A O2 D P
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分析： (1)要证PA2＝PC·PB，
只要证
PA PB
＝
PC PA
，
为此只须证△PAC∽△PAB即可
B C
O1 A O2 D P
因为∠P公用，
所以只须证得∠PBA＝∠PAC即可.
O1 A O2 D P
∴O1B∥O2C ∠PO1B＝∠PO2C
又∠PBA＝
1 2
∠PO1B，
∠PAC＝
1 2
∠PO2C，
∴∠PBA＝∠PAC
又∠P＝∠P
∴△APB∽△CPA
∴
PA PB
＝
PC PA
即PA2＝PC·PB
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(2)解方程x2－4x＋3＝0 得x1＝3 x2＝1
BM
∴O1B＝3，O2C＝1
AD G B
若作出两圆公切线，这个问题即可逆刃而解。
F
(2)∵由相交弦定理有AD·DB＝PD·DF ∴要证AD·DB＝CD·FG，
只需证CD·FG＝PD·DF即可。
这样，问题便归结为证△DGF∽△PDC，这一点 是不难办到的。
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证明: 作两圆的公切线PT
(1)∵PT切圆于P
E
内、外公切线长的计算，都是利用直线和圆相切的性质， 通过作出过切点的半径，再连结两圆的圆心,把问题转化为 解一个直角三角形来解决。
设大圆半径为R、小圆半径为r，连心线长为d，
则两圆外离时：外公切线长＝ d2(Rr)2
内公切线长＝ d2 (Rr)2
当两圆外切时，外公切线长＝ 2 Rr 。
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∴∠TPC＝∠PDC，∠TPE＝∠PFE T C
∴∠PDE＝∠PFE ∴CD∥EF 又∵AB切⊙O1于D ∴CD⊥AB ∴AD⊥EF ∵CD为⊙O1的直径 ∴∠CPD＝90° ∴EPF＝90° 故EF为大圆的直径
P O1 O2
AD G B F
∴AG＝GB (垂径定理)
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(2)由(1)知AB⊥EF，∠CPD＝90° ∴∠CPD＝∠FGD
公切线的性质：
由于两圆构成一个轴对称图形，所以两圆的公切线具 有下列性质：
①如果两圆有两条外(或者内)公切线时，那么这两条外(内) 公切线的长相等；
②如果两圆有两条相交的外(内)公切线，那么这两条外(内) 公切线的交点一定在两圆的连心线上，并且连心线平分两 条外(内)公切线的夹角。
E
C
∵BC为外公切线
O1 A O2 D P
∴O1B⊥BC，O2C⊥BC， 过O2作O2E⊥O1B于E，则EO2CB为矩形。 ∴∠EO2C＝90°，
BE＝O2C＝1， O1E＝O1B－BE＝3－1＝2 又O1O2必过点A，∴O1O2＝3＋1＝4
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∴O1E＝
1 2
O1O2
cos∠O1＝