数学中考冲刺复习圆的解答题专项练习题(一)【含答案】

中考数学《圆》专项复习综合练习题-附带答案一、单选题1．如图，圆O是△ABC的外接圆，∠A=68°，则∠BOC的大小是（）A．22°B．32°C．136°D．68°2．已知两圆半径分别为4和7，圆心距为3 ，那么这两个圆的位置关系是（）A．内含B．内切C．相交D．外切3．如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB＝AB 点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP的最大值是A．90°B．60°C．45°D．30°4．如图，半径为5的⊙A中，DE＝2 √5，∠BAC+∠EAD＝180°，则弦BC的长为（）A．√21B．√41C．4 √5D．3 √55．如图，点D E F分别在△ABC的三边上，AB=AC∠A=∠EDF=90°与∠EFD=30°AB=1下列结论正确的是（）A．BD可求BE不可求B．BD不可求BE可求C．BD BE均可求D．BD BE均不可求6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90° AC=3，以点C为圆心， CA为半径的圆与AB交于点D，若点D恰好为线段AB的中点，则AB的长度为（）B．3 C．9 D．6A．327．如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，AE=DE， BC=CE，过点O作OF⊥AC于点F，延长FO 交BE于点G ，若DE=6，EG=4，则AB的长为（）A．4√5B．8√3C．13 D．148．如图，把正六边形各边按同一方向延长，使延长的线段与原正六边形的边长相等，顺次连接这六条线段外端点可以得到一个新的正六边形…，重复上述过程，经过2018次后所得到的正六边形边长是原正六边形边长的（）A．（√2）2016倍B．（√3）2017倍C．（√3）2018倍D．（√2）2019倍二、填空题9．如图，PA、PB切⊙O于点A、B ，已知⊙O半径为2 且∠APB=60°，则AB= ．10．如图，矩形ABCD中，BC＝4 CD＝2 以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，连接BD，则阴影部分的面积为.（结果保留π）11．如图，两边平行的刻度尺在圆上移动当刻度尺的一边与直径为6.5cm的圆相切时另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”（单位：cm）则刻度尺的宽为 cm．12．如图，两圆相交于A、B两点小圆经过大圆的圆心O 点C D分别在两圆上若∠ADB＝100°则∠ACB的度数为。

中考数学总复习《圆综合解答题》专题训练-附答案学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 1．如图△ABC内接于⊙O AB、CD是⊙O的直径E是DA长线上一点且∠CED=∠CAB．(1)求证：CE是⊙O的切线；求线段CE的长．(2)若DE=3√5tanB=122．如图在△ABC中AB=AC以AB为直径作⊙O交BC于点D．过点D作DE⊥AC 垂足为E延长CA交⊙O于点F．(1)求证：DE是⊙O的切线；⊙O的半径为5 求线段CF的长．(2)若tanB=123．如图△ABC内接于⊙O直径DE⊙AB于点F交BC于点M DE的延长线与AC的延长线交于点N连接AM．（1）求证：AM＝BM；（2）若AM⊙BM DE＝8 ⊙N＝15° 求BC的长．4．如图△ABC内接于⊙O AB是⊙O的直径D是⊙O上的一点CO平分∠BCD CE⊥AD垂足为E AB与CD相交于点F．(1)求证：CE是⊙O的切线；时求CE的长．(2)当⊙O的半径为5sinB=355．如图1 锐角△ABC内接于⊙O⊙BAC=60°若⊙O的半径为2√3．(1)求BC的长度；(2)如图2 过点A作AH⊙BC于点H若AB+AC=12 求AH的长度．6．如图AB是⊙O的直径M是OA的中点弦CD⊥AB于点M过点D作DE⊥CA交CA的延长线于点E．(1)连接AD则∠AOD=_______；(2)求证：DE 与⊙O 相切；(3)点F 在BC ⏜上 ∠CDF =45° DF 交AB 于点N ．若DE =6 求FN 的长．7．如图 AB 是⊙O 的直径 点C 为⊙O 上一点 OF ⊥BC 垂足为F 交⊙O 于点E AE 与BC 交于点H 点D 为OE 的延长线上一点 且∠ODB =∠AEC ．(1)求证：BD 是⊙O 的切线(2)求证：CE 2=EH ⋅EA(3)若⊙O 的半径为52 sinA =35 求BH 和DF 的长． 8．如图 在⊙ABC 中 ⊙C=90° 点O 在AC 上 以OA 为半径的⊙O 交AB 于点D BD 的垂直平分线交BC 于点E 交BD 于点F 连接DE ．（1）求证：直线DE 是⊙O 的切线（2）若AB=5 BC=4 OA=1 求线段DE 的长．9．如图 AB 是⊙O 的直径 弦CD 与AB 交于点E 过点B 的切线BP 与CD 的延长线交于点P 连接OC CB ．(1)求证：AE ·EB =CE ·ED(2)若⊙O 的半径为 3 OE =2BE CE DE =95 求tan∠OBC 的值及DP 的长．10．如图菱形ABCD中AB=4以AB为直径作⊙O交AC于点E过点E作EF⊥AD于点F．(1)求证：EF是⊙O的切线(2)连接OF若∠BAD=60°求OF的长．(3)在（2）的条件下若点G是⊙O上的一个动点则线段CG的取值范围是什么？11．如图点C在以AB为直径的半圆O上（点C不与A B两点重合）点D是弧AC的中点DE⊥AB于点E连接AC交DE于点F连接OF过点D作半圆O的切线DP 交BA的延长线于点P．(1)求证：AC∥DP(2)求证：AC=2DE的值．(3)连接CE CP若AE⊙EO=1⊙2求CECP12．如图1 AB为⊙O直径CB与⊙O相切于点B D为⊙O上一点连接AD OC若AD//OC．（1）求证：CD为⊙O的切线（2）如图2 过点A作AE⊥AB交CD延长线于点E连接BD交OC于点F若AB=3AE=12求BF的长．13．已知：如图在⊙O中∠PAD=∠AEP AF=CF AB是⊙O的直径CD⊥AB于点G．(1)求证：AP是⊙O的切线．(2)若AG=4tan∠DAG=2求△ADE的面积．(3)在（2）的条件下求DQ的长．14．如图已知AB是⊙O的直径点E是⊙O上异于A B的点点F是弧EB的中点连接AE AF BF过点F作FC⊙AE交AE的延长线于点C交AB的延长线于点D⊙ADC的平分线DG交AF于点G交FB于点H．(1)求证：CD是⊙O的切线(2)求sin⊙FHG的值(3)若GH＝4√2HB＝2 求⊙O的直径．15．如图⊙O的两条弦AB、CD互相垂直垂足为E且AB=CD．(1)求证：AC=BD．(2)若OF⊥CD于F OG⊥AB于G问四边形OFEG是何特殊四边形？并说明理由．(3)若CE=1，DE=3求⊙O的半径．16．【问题提出】如图1 △ABC为⊙O内接三角形已知BC=a圆的半径为R 探究a R sin∠A之间的关系．【解决问题】如图2 若∠A为锐角连接BO并延长交⊙O于点D连接DC则∠A=∠D在△DBC中BD为⊙O的直径BC=a所以BD=2R,∠BCD=90°．所以在Rt△DBC中建立a R sin∠D的关系为________________．所以在⊙O内接三角形△ABC中a R sin∠A之间的关系为________________．类比锐角求法当∠A为直角和钝角时都有此结论．【结论应用】已知三角形△ABC中∠B=60°,AC=4则△ABC外接圆的面积为________．17．已知AB为⊙O的直径PA PC是⊙O的的切线切点分别为A C过点C作CD//AB交⊙O于D．（1）如图当P D O共线时若半径为r求证CD=r（2）如图当P D O不共线时若DE=2CE=8求tan∠POA．18．如图1 已知矩形ABCD中AB=2√3AD=3 点E为射线BC上一点连接DE以DE为直径作⊙O（1）如图2 当BE=1时求证：AB是⊙O的切线（2）如图3 当点E为BC的中点时连接AE交⊙O于点F连接CF求证：CF=CD （3）当点E在射线BC上运动时整个运动过程中CF长度是否存在最小值？若存在请直接写出CF长度的最小值若不存在请说明理由．19．已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形直径AC与对角线BD相交于点E作CH⊥BD于H CH与过A点的直线相交于点F∠FAD=∠ABD.（1）求证：AF为⊙O的切线（2）若BD平分∠ABC求证：DA=DC（3）在（2）的条件下N为AF的中点连接EN若∠AED+∠AEN=135°⊙O 的半径为2√2求EN的长.20．如图1 直线l1⊥l2于点M以l1上的点O为圆心画圆交l1于点A B交l2于点C D OM＝4 CD＝6 点E为弧AD上的动点CE交AB于点F AG⊙CE 于点G连接DG AC AD．（1）求⊙O的半径长（2）若⊙CAD＝40° 求劣弧弧AD的长（3）如图2 连接DE是否存在常数k使CE−DE=k·EG成立？若存在请求出k的值若不存在请说明理由（4）若DG⊙AB则DG的长为（5）当点G在AD的右侧时请直接写出⊙ADG面积的最大值．参考答案1．（1）证明：⊙AB是⊙O的直径⊙∠ACB=90°⊙∠CAB+∠B=90°⊙∠CED=∠CAB∠B=∠D⊙∠CED+∠D=90°⊙∠DCE=∠ACB=90°⊙CD⊥CE⊙CD是⊙O的直径即OC是⊙O半径⊙CE是⊙O的切线（2）由（1）知CD⊥CE在Rt△ABC和Rt△DEC中⊙∠B=∠D tanB=12⊙tan∠B=tan∠D=CECD =12⊙CD=2CE在Rt△CDE中CD2+CE2=DE2DE=3√5⊙(2CE)2+CE2=(3√5)2解得CE=3（负值舍去）即线段CE的长为3．2．解：（1）⊙OB=OD⊙∠ABC=∠ODB⊙AB=AC⊙∠ABC=∠ACB⊙∠ODB=∠ACB⊙OD∥AC⊙DE⊥AC OD是半径⊙DE⊥OD⊙DE是⊙O的切线．（2）连接BF AD⊙⊙O的半径为5 AB为直径⊙AB=10∠ADB=90°∠BFC=90°⊙tanB=1设AD=x则BD=2x2在Rt△ABD中由勾股定理得：AD2+BD2=AB2即x2+(2x)2=102解得：x=2√5或x=−2√5（舍去）⊙BD=2x=4√5⊙AB=AC∠ADB=90°⊙BD=CD⊙BC=2BD=8√5由（1）知OD∥AC⊙∠ODB=∠C⊙OB=OD⊙∠B=∠ODB=∠C⊙tanC=tanB=1即CF=2BF2在Rt△BCF中BF2+CF2=BC2即BF2+(2BF)2=(8√5)2解得BF=8或BF=−8（舍去）⊙CF=2BF=16．3．（1）证明：⊙直径DE⊙AB于点F⊙AF＝BF⊙AM＝BM（2）连接AO BO如图由（1）可得AM＝BM⊙AM⊙BM⊙⊙MAF＝⊙MBF＝45°⊙⊙CMN＝⊙BMF＝45°⊙AO＝BO DE⊙AB∠AOB⊙⊙AOF＝⊙BOF＝12⊙⊙N＝15°⊙⊙ACM＝⊙CMN+⊙N＝60° 即⊙ACB＝60°∠AOB．⊙⊙ACB＝12⊙⊙AOF＝⊙ACB＝60°．⊙DE＝8⊙AO＝4．得AF＝2√3在Rt⊙AOF中由sin∠AOF=AFAO在Rt⊙AMF中AM＝√2AF＝2√6．得BM= AM＝2√6得CM＝2√2在Rt⊙ACM中由tan∠ACM=AMCM⊙BC＝CM+BM＝2√2+2√6．4．（1）证明：⊙弧AC=弧AC⊙∠ADC=∠B．⊙OB=OC⊙∠B=∠OCB．⊙CO平分∠BCD⊙∠OCB=∠OCD⊙∠ADC=∠OCD．⊙CE⊥AD⊙∠ADC+∠ECD=90°⊙∠OCD+∠ECD=90°即CE⊥OC．⊙OC为⊙O的半径⊙CE是⊙O的切线．（2）连接OD得OD=OC⊙∠ODC=∠OCD．⊙∠OCD=∠OCB=∠B⊙∠ODC=∠B⊙CO=CO⊙△OCD≌△OCB⊙CD=CB．⊙AB是⊙O的直径⊙∠ACB=90°⊙AC=AB⋅sinB=10×35=6⊙CB=√AB2−AC2=√102−62=8⊙CD=8⊙CE=CD⋅sin∠ADC=CD⋅sinB=8×35=245．5．解：（1）连接OB OC过点O作OD⊙BC于点D⊙BD =CD =12BC⊙⊙A =60°⊙⊙BOC =2⊙A =120°⊙OB =OC⊙⊙OBC =⊙OCB =180°−∠BOC2=30°⊙OB =2√3⊙BD =OB •cos30°=2√3×√32=3⊙BC =2BD =6．（2）设点G 为此三角形ABC 内切圆的圆心（角平分线的交点） 过G 分别向ABAC BC 作垂线GM GN GQ⊙GM =GN =GQ CQ =CN BQ =BM AM =AN⊙AM +AN =AB +AC -BC =6⊙AM =AN =3．在Rt △AGM 中⊙⊙GAM =30°⊙GM =√3⊙S △ABC =12BC •AH =S △ABG +S △BCG +S △ACG=12AB •GM +12BC •GQ +12AC •GN=12GM（AB+AC+CB）=9√3∵BC=6, S△ABC=12BC•AH⊙AH=3√3．6．（1）解：如图1 连接OD AD⊙AB是⊙O的直径CD⊥AB⊙AB垂直平分CD⊙M是OA的中点⊙OM=12OA=12OD⊙cos∠DOM=OMOD =12⊙∠DOM=60°即∠AOD=60°故答案为：60°（2）解：⊙CD⊥AB AB是⊙O的直径⊙CM=MD⊙M是OA的中点⊙AM=MO又⊙∠AMC=∠DMO⊙△AMC≌△OMD⊙∠ACM=∠ODM⊙CA∥OD⊙DE⊥CA⊙∠E=90°⊙∠ODE=180°−∠E=90°⊙DE⊥OD⊙DE与⊙O相切（3）如图2 连接CF CN⊙OA⊥CD于M⊙M是CD中点⊙NC=ND⊙∠CDF=45°⊙∠NCD=∠NDC=45°⊙∠CND=90°⊙∠CNF=90°由（1）可知∠AOD=60°∠AOD=30°⊙∠ACD=12在Rt△CDE中∠E=90°∠ECD=30°DE=6=12⊙CD=DEsin30°在Rt△CND中∠CND=90°∠CDN=45°CD=12⊙CN=CD•sin45°=6√2⊙∠AOD=60°，OA=OD⊙△OAD是等边三角形⊙∠OAD=60°∠CAD=2∠OAD=120°⊙∠CFD=180°−∠CAD=60°在Rt△CNF中∠CNF=90°∠CFN=60°CN=6√2 =2√6．⊙FN=CNtan60°7．（1）证明：如图1所示⊙∠ODB=∠AEC∠AEC=∠ABC⊙∠ODB=∠ABC⊙OF⊥BC⊙∠BFD=90°⊙∠ODB+∠DBF=90°⊙∠ABC+∠DBF=90°即∠OBD=90°⊙BD⊥OB⊙AB是⊙O的直径⊙BD是⊙O的切线（2）证明：连接AC如图2所示⊙OF⊥BC⊙弧BE=弧CE⊙∠CAE=∠ECB⊙∠CEA=∠HEC⊙△AEC ∽△CEH⊙CE EH =EACE⊙CE 2=EH ⋅EA（3）解：连接BE 如图3所示⊙AB 是⊙O 的直径⊙∠AEB =90°⊙⊙O 的半径为52 sin∠BAE =35 ⊙AB =5 BE =AB ⋅sin∠BAE =5×35=3 ⊙EA =√AB 2−BE 2=4⊙弧BE =弧CE⊙BE =CE =3⊙CE 2=EH ⋅EA⊙EH =94⊙在Rt △BEH 中 BH =√BE 2+EH 2=√32+(94)2=154 ⊙∠A =∠C⊙sinC =sinA⊙OF ⊥BC 垂足为F⊙在Rt △CFE 中 FE =CE ⋅sinC =3×35=95 ⊙CF =√CE 2−EF 2=√32−(95)2=125 ⊙BF =CF =125⊙OF =√BO 2−BF 2=√(52)2−(125)2=710 ⊙∠ODB =∠ABC⊙tan∠ODB =tan∠ABC⊙BFDF =OFBF⊙BF 2=OF ⋅DF⊙(125)2=710DF ⊙DF =28835．8．解：（1）连接OD 如图⊙EF 垂直平分BD⊙ED=EB⊙⊙EDB=⊙B⊙OA=OD⊙⊙A=⊙ODA⊙⊙A+⊙B=90°⊙⊙ODA+⊙EDB=90°⊙⊙ODE=90°⊙OD⊙DE⊙直线DE 是⊙O 的切线（2）作OH⊙AD 于H 如图 则AH=DH 在Rt △OAB 中 sinA=BC AB =45在Rt △OAH 中 sinA=OH OA =45⊙OH=45⊙AH=√12−(45)2=35⊙AD=2AH=65 ⊙BD=5﹣65=195⊙BF=12BD=1910在Rt⊙ABC 中 cosB=45 在Rt⊙BEF 中 cosB=BF BE =45⊙BE=54×1910=198 ⊙线段DE 的长为198．9．(（1）证明：连接AD∵∠A =∠BCD ∠AED =∠CEB ∴ΔAED ∽ΔCEB∴ AECE =EDEB∴AE ·EB =CE ·ED（2）解：∵⊙O 的半径为 3 ∴OA =OB =OC =3∵OE =2BE∴OE =2 BE =1 AE =5 ∵ CEDE =95 ∴设CE =9x DE =5x∵AE ·EB =CE ·ED∴5×1=9x ·5x解得：x 1=13 x 2=−13（不 合题意舍去） ∴CE =9x =3 DE =5x =53 过点C 作CF ⊥AB 于F∵OC =CE =3∴OF =EF =12OE =1∴BF =2在RtΔOCF中∵∠CFO=90°∴CF2+OF2=OC2∴CF=2√2在RtΔCFB中∵∠CFB=90°∴tan∠OBC=CFBF =2√22=√2∵CF⊥AB于F∴∠CFB=90°∵BP是⊙O的切线AB是⊙O的直径∴∠EBP=90°∴∠CFB=∠EBP在ΔCFE和ΔPBE中{∠CFB=∠PBE EF=BE ∠FEC=∠BEP∴ΔCFE≅ΔPBE(ASA)∴EP=CE=3∴DP=EP−ED=3−53=43．10．:解：（1）证明：如图连接OE．⊙四边形ABCD是菱形∴∠CAD=∠CAB∵OA=OE∴∠CAB=∠OEA∴∠CAD=∠OEA∴OE∥AD∵EF⊥AD∴OE⊥EF又⊙OE是⊙O的半径⊙EF是⊙O的切线．（2）解：如图连接BE．⊙AB是⊙O的直径∴∠AEB=90°∵∠BAD=60°∴∠CAD=∠CAB=30°在Rt△ABE中AE=AB·cos30°=2√3在Rt△AEF中EF=AE·sin30°=√3AB=2在Rt△OEF中OE=12⊙OF=√OE2+EF2=√4+3=√7．（3）解：如图过点C作CM垂直AB交AB延长线于点M由（2）知∠BAD=60°∴∠ACB=∠CAB=30°，∠CBM=60°∴AB=BC=4，BM=2，CM=2√3∴AM=6，OM=6−2=4．⊙OC=√OM2+CM2=√42+(2√3)2=2√7⊙CG近=2√7−2CE远=2√7+2⊙线段CG的取值范围是：2√7−2≤CG≤2√7+211．（1）证明：连接OD∵D为弧AC的中点∴OD⊥AC又∵DP为⊙O的切线∴OD⊥DP∴AC∥DP（2）证明：∵DE⊥AB∴∠DEO=90°由（1）可知OD⊥AC设垂足为点M∴∠OMA=90°∴∠DEO=∠OMA AC=2AM又∵∠DOE=∠AOM OD=OA∴△ODE≌△OAM(AAS)∴DE=AM∴AC=2AM=2DE（3）解：连接OD OC CE CP∵∠ODP=∠OED=90°∠DOE=∠DOP ∴△DOE∽△POD∴ODOP =OEOD∴OD2=OE⋅OP ∵OC=OD∴OC2=OE⋅OP∴OCOE =OPOC又∵∠COE=∠POC ∴△COE∽△POC∴CECP =OEOC∵AE:EO=1:2∴OEOA =23∴OEOC =23∴CECP =23．12．解：（1）连接OD⊙CB与⊙O相切于点B⊙OB⊥BC⊙AD//OC⊙∠A=∠COB,∠ADO=∠DOC⊙OA=OD⊙∠A=∠ADO=∠COB=∠DOC⊙△DOC≌△BOC(SAS)⊙∠ODC=∠OBC=90°⊙OD⊥DC又OD为⊙O半径⊙CD为⊙O的切线（2）解：设CB=x⊙AE⊥EB⊙AE为⊙O的切线⊙CD CB为⊙O的切线⊙ED=AE=4,CD=CB=x,∠DOC=∠BCO⊙BD⊥OC过点E作EM⊥BC于M则EM=12,CM=x−4⊙(4+x)2=122+(x−4)2解得x=9⊙CB=9⊙OC=√62+92=3√13⊙AB是直径且AD⊙OC⊙⊙OFB=⊙ADB=⊙OBC=90°又⊙⊙COB=⊙BOF⊙⊙OBF⊙⊙OCB⊙OB BF =OCBC⊙BF=OB⋅BCOC =6×93√13=1813√1313．（1）证明：如图所示连接AC ⊙AB是⊙O的直径CD⊥AB⊙弧AD=弧AC⊙∠AEP=∠ADC⊙∠PAD=∠AEP⊙∠PAD=∠ADC⊙AP∥CD⊙AP⊥AB⊙AB是⊙O的直径⊙AP是⊙O的切线（2）解：如图所示连接BD⊙AF=CF⊙∠FAC=∠FCA⊙弧CE=弧AD⊙弧AD=弧AC⊙弧AD=弧AC=弧CE⊙∠ADG=∠QDG⊙AB⊥CD⊙∠AGD=∠QGD=90°又⊙OG=OG⊙△AGD≌△OGD(ASA)⊙QG=AG=4∠DQG=∠DAG=2在Rt△ADG中tan∠DAG=DGAG⊙DG=2AG=8⊙QD=√DG2+QG2=4√5连接OD过点E作EH⊥AB于H设圆O的半径为r则OG=r−4在Rt△ODG中由勾股定理得OD2=OG2+DG2⊙r2=(r−4)2+82解得r=10⊙AB=20⊙BQ=12⊙∠AEQ=∠DBQ，∠EAQ=∠BDQ⊙△AQE∽△DQB⊙QE BQ =AQDQ即QE12=84√5⊙QE=12√55⊙∠EQH=∠DQG=∠DAG⊙在Rt△EQH中tan∠EQH=EHQH=2⊙EH=2QH⊙EH2+QH2=QE2⊙4QH2+QH2=1445⊙QH=125⊙EH=245⊙S△ADE=S△ADQ+S△AEQ=12AQ⋅DG+12AQ⋅EH=12×8×8+12×8×245=70.4．（3）解：由（2）得DQ=4√5．14．（1）证明：连接OF．⊙OA＝OF⊙⊙OAF＝⊙OF A⊙EF̂=FB̂,⊙⊙CAF＝⊙F AB⊙⊙CAF＝⊙AFO⊙OF∥AC⊙AC⊙CD⊙OF⊙CD⊙OF是半径⊙CD是⊙O的切线．（2）⊙AB是直径⊙⊙AFB＝90°⊙OF⊙CD⊙⊙OFD＝⊙AFB＝90°⊙⊙AFO＝⊙DFB⊙⊙OAF＝⊙OF A⊙⊙DFB＝⊙OAF⊙GD平分⊙ADF⊙⊙ADG＝⊙FDG⊙⊙FGH＝⊙OAF+⊙ADG⊙FHG＝⊙DFB+⊙FDG⊙⊙FGH＝⊙FHG＝45°⊙sin⊙FHG=sin45°=√22（3）解：过点H作HM⊙DF于点M HN⊙AD于点N．⊙HD平分⊙ADF⊙HM＝HNS△DHF⊙S△DHB= FH⊙HB=DF ⊙DB⊙⊙FGH是等腰直角三角形GH＝4√2⊙FH＝FG＝4⊙DF DB =42=2设DB＝k DF＝2k⊙⊙FDB＝⊙ADF⊙DFB＝⊙DAF ⊙⊙DFB⊙⊙DAF⊙DF2＝DB•DA⊙AD＝4k⊙GD平分⊙ADF⊙FG AG =DFAD=12⊙AG＝8⊙⊙AFB＝90° AF＝12 FB＝6∴AB=√AF2+BF2=√122+622=6√5⊙⊙O的直径为6√515．（1）证明：⊙AB=CD⊙弧AB=弧CD⊙弧AB−弧BC=弧CD−弧BC即弧AC=弧BD⊙AC=BD（2）解：四边形OFEG是正方形.理由如下：⊙AB⊥CD OF⊥CD OG⊥AB⊙∠AED=∠OGE=∠OFE=90°⊙四边形OFEG是矩形．如图连接OA OD．⊙OF⊥CD OG⊥AB⊙CF=DF AG=BG．⊙CD=AB⊙AG=DF．⊙OG=√OA2−AG2OF=√OD2−DF2OA=OD⊙OG=OF⊙四边形OFEG是正方形（3）解：⊙CE=1 DE=3⊙CD=4⊙CF=DF=2⊙EF=CF-CE=2-1=1．⊙四边形OFEG是正方形⊙OF=EF=1．在Rt△OED中OD=√OF2+DF2=√5⊙⊙O的半径为√5．16．:解：【解决问题】如图连接BO并延长交⊙O于点D连接DC则∠A=∠D 在△DBC中⊙BD为⊙O的直径BC=a⊙BD=2R,∠BCD=90°⊙sinD=BCBD =a2R⊙sinA=a2R故答案为：sinD=a2R sinA=a2R【结论应用】解：设△ABC外接圆的半径为R ⊙∠B=60°,AC=4⊙sinB=AC2R⊙√3 2=42R解得：R=43√3⊙△ABC外接圆的面积为π×(43√3)2=163π．故答案为：163π17．（1）证明：连接OC⊙PA PC是⊙O的切线切点分别为A C ⊙PA=PC∠PAO=∠PCO=90°在RtΔPAO和RtΔPCO中{PA=PCPO=PO⊙RtΔPAO≌RtΔPCO(HL)⊙∠POA=∠POC⊙CD//AB⊙∠CDO=∠DOA⊙∠CDO=∠COD⊙CD=OC=r（2）解：设OP交CD于E连接OC过O作OH⊥CD于点H由（1）可知RtΔPAO≌RtΔPCO⊙∠POA=∠POC⊙CD//AB⊙∠CEO=∠EOA⊙∠CEO=∠COE⊙CE=CO=8⊙CD=CE+ED=10⊙OH⊥CD⊙CH=DH=5⊙EH=DH−DE=3在RtΔCHO中⊙OH=√OC2−CH2=√82−52=√39在RtΔOHE中⊙tan∠POA=tan∠HEO=OHEH =√393⊙tan∠POA=√393．18．解：（1）如图过点O作OM⊥AB且OM的反向延长线交CD于点N．由题意可知四边形BCNM为矩形⊙MN=AD=3⊙O为圆心即O为DE中点⊙N为DC中点即线段ON为△DEC中位线又⊙CE=BC−BE=3−1=2⊙ON=12CE=1⊙OM=MN -ON=3-1=2．在Rt △DEC 中 DE =√CD 2+CE 2=√(2√3)2+22=4． ⊙OD=DE=OM=2．即AB 为⊙O 的切线．（2）设⊙O 与AD 交于点G 连接CG EG DF FG ⊙DE 为直径⊙∠EGD =∠EFD =90°．⊙∠GEC =90°⊙CG 为直径．⊙∠CFG =∠CDG =90°⊙E 为BC 中点⊙G 为AD 中点在Rt △AFD 中 FG 为中线⊙AG=DG=FG在Rt △CFG 和Rt △CDG 中 {FG =DG CG =CG⊙△CFG ≅△CDG(HL)．⊙CF=CD ．（3）如图 取AD 中点H 连接CH FH FD ．由（2）可知FH =12AD =32 在Rt △CDH 中 CH =√CD 2+HD 2=√(2√3)2+(32)2=√572 ⊙CF ≥CH −FH =√572−32． ⊙当F 点在CH 上时CF 长有最小值 最小值为√572−32．19．解：（1）⊙AC 为⊙O 的直径⊙⊙ADC =90°⊙⊙DAC +⊙DCA =90°．⊙弧AD =弧AD⊙⊙ABD =⊙DCA ．⊙⊙F AD =⊙ABD⊙⊙F AD =⊙DCA⊙⊙F AD +⊙DAC =90°⊙CA ⊙AF⊙AF 为⊙O 的切线．（2）连接OD ．⊙弧AD =弧AD⊙⊙ABD=1⊙AOD．2⊙弧DC=弧DC⊙DOC．⊙⊙DBC=12⊙BD平分⊙ABC⊙⊙ABD=⊙DBC⊙⊙DOA=⊙DOC⊙DA=DC．（3）连接OD交CF于M作EP⊙AD于P．⊙AC为⊙O的直径⊙⊙ADC=90°．⊙DA=DC⊙DO⊙AC⊙⊙F AC=⊙DOC=90° AD=DC=√(2√2)2+(2√2)2=4 ⊙⊙DAC=⊙DCA=45° AF⊙OM．⊙AO=OCAF．⊙OM=12⊙⊙ODE+⊙DEO=90° ⊙OCM+⊙DEO=90°⊙⊙ODE=⊙OCM．⊙⊙DOE=⊙COM OD=OC⊙⊙ODE⊙⊙OCM⊙OE=OM．设OM=m⊙OE =m AE =2√2−m AP =PE =2−√22m⊙DP =2+√22m ． ⊙⊙AED +⊙AEN =135° ⊙AED +⊙ADE =135°⊙⊙AEN =⊙ADE ．⊙⊙EAN =⊙DPE⊙⊙EAN ⊙⊙DPE⊙AE DP =AN PE ⊙2√2−m 2+√22m =m2−√22m⊙m =2√23⊙AN =2√23 AE =4√23由勾股定理得：NE =2√103．20．解：（1）连接OD⊙AB 是⊙O 的直径 l 1⊥l 2 CD ＝6⊙CM =DM =12CD =3在Rt △DOM 中 OM ＝4⊙OD=√OM2+CM2=5即⊙O的半径长为5（2）⊙AB是⊙O的直径l1⊥l2⊙弧BC=弧BD⊙∠BAD=∠BAC=12∠CAD=20°⊙∠BOD=2∠BAD=40°⊙∠AOD=180°−∠BOD=140°⊙劣弧弧AD的长为140×π×5180=35π9（3）存在常数k=2理由如下：如图在CG上截取CH=DE连接AH AE⊙AB垂直平分CD⊙AC=AD又⊙⊙ACH=⊙ADE⊙⊙ACH⊙⊙ADE（SAS）⊙AH=AE⊙ AG⊙HE⊙HG=EG⊙CE-DE=2EG⊙k=2（4）⊙DG⊙AB⊙⊙CFM⊙⊙CGD⊙FM DG =CFCG=CMCD=12⊙CF=FG DG=2FM⊙⊙CMF=⊙AGF⊙CFM=⊙AFG ⊙⊙CFM⊙⊙AFG⊙CF AF =FMFG⊙FM×AF=CF×FG=CF2设FM=x则AF=9-x⊙x(9−x)=32+x2解得：x=32或3⊙DG=3或6（5）如图取AC的中点P当PG⊙AD时⊙ADG的面积最大在Rt△AMC中⊙CMA=90° CM=3 AM=OA+OM=5+4=9⊙AD=AC=√CM2+AM2=√32+92=3√10在Rt△AGC中⊙CGA=90° 点P为AC的中点⊙PG=12AC=3√102过点C作CN⊙AD于点N在Rt⊙CDN和Rt⊙ADM中⊙⊙CND=⊙AMD=90° ⊙CDN=⊙ADM ⊙Rt⊙CDN~Rt⊙ADM⊙CN AM =CDAD⊙CN=AM⋅CDAD =9×63√10=9√105设PG交AD于点K ⊙PK⊙AD CN⊙AD ⊙PK⊙CN⊙⊙APK⊙⊙CAN⊙PK CN =APAC=12⊙PK=12CN=9√1010⊙GK=PG−PK=3√102−9√1010=3√105⊙⊙ADG面积的最大值为12AD⋅GK=12×3√10×3√105=9．。

中考数学复习《圆》专项练习题--附带有答案一、选择题1．下列说法正确的是（）A．弧长相等的弧是等弧B．直径是最长的弦C．三点确定一个圆D．平分弦的直径垂直于弦2．如图，△ABC内接于⊙O，E是BC⏜的中点，连接BE，OE，AE若∠BAC=70°，则∠OEB的度数为（）A．70°B．65°C．60°D．55°3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB交于点E. 若BE=10，CD=8，则⊙O的半径为（）A．3 B．4.2 C．5.8 D．64．如图，在△ABC中∠ACB=90°，AB=5，BC=4以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在⊙A内且点B 在⊙A外时，r的值可能是（）A．3 B．4 C．5 D．6⌢=CB⌢，若∠DCB=110°，∠ABC度数等于（）5．如图，四边形ABCD圆的内接四边形，AB为直径DCA．55°B．60°C．65°D．70°6．如图，正六边形ABCDEF内接于圆O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM为（）A．2 B．2√3C．√3D．17．如图，在△ABC中∠A=90°，AB=AC=2以BC的中点O为圆心的圆弧分别与AB、AC相切于点D、E，则图中阴影部分的周长是（）A．π2B．π4+2C．π2+2D．1−π48．如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分的面积）（）.A．π−2√3B．2π−2√3C．π−3√3D．2π−3√3二、填空题9．如图，点A.B.C在⊙O上∠ACB=40°弧AB的度数为.10．如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过点A的一条直线，如果∠AOB＝120°，那么当∠CAB＝时，AC与⊙O相切．11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝125°，则∠C的度数为．12．如图，AB是⊙O的直径，C、D在⊙O上∠D=60°，AB=10则AC长为.13．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于O，以B为圆心、BC长为半径画弧，交AB于点F，若点O恰好在圆弧上，且AB=6√3，则阴影部分的面积为.三、解答题⌢上取点G，连结CG，DG，AC．求证：∠DGC=2 14．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，在AC∠BAC．15．如图，O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，连接CD、BD、AD，CD=BD连接AC并延长，与BD的延长线相交于点E.（1）求证：CD=DE；（2）若AC=6，半径OB=5，求BD的长16．如图，AB是⊙O的直径，弦AC=BC，E是OB的中点，连接CE并延长到点F，使EF=CE，连接AF交⊙O于点D，连接BD，BF .（1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若AF长为5√2，求⊙O的半径及BD的长.17．如图，在△ABC中，经过A，B两点的⊙O与边BC交于点E，圆心O在BC上，过点O作OD⊥BC交⊙O 于点D，连接AD交BC于点F，且AC＝FC．（1）试判断AC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若FC＝√3，CE＝1．求图中阴影部分的面积（结果保留π）．18．如图，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，与△ABC的外接圆⊙O交于点D，∠EAC＝120°.⌢的度数；（1）求BC（2）连DB，DC，求证：DB＝DC；（3）探究线段AD，AB，AC之间的数量关系，并证明你的结论.参考答案1．B2．D3．C4．B5．A6．B7．C8．B9．80°10．60°11．55°12．5√313．18√3−6π14．证明：连结AD，如图：∵CD⊥AB∴BC⏜=BD⏜∴∠BAC=∠BAD则∠DAC=2∠BAC；∵CD⏜=CD⏜∴∠DGC=∠DAC∴∠DGC=2∠BAC．15．（1）证明：如图，连接BC∵O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点∴∠ACB=∠ADB=90°∴∠ECD+∠DCB=90°在Rt△ECB中，∠E+∠EBC=90°.∵CD=BD∴∠DCB=∠DBC∴∠ECD+∠DBC=90°∴∠ECD=∠E∴CD=DE.（2）解：在Rt△ACB中BC=√AB2−AC2=√102−62=8∵CD=DE∴BD=ED在△ADB和△ADE中{AD=AD∠ADB=∠ADEBD=ED∴△ADB≌ADE(SAS)∴AE=AB=10∴CE=AE−AC=10−6=4在Rt△ECB中BE=√CE2+CB2=√42+82=4√5∴BD=12BE=2√5.16．（1）证明：如图：连接OC∵AC=BC、OA=OB∴OC⊥AB∵OE=BE，∠OEC=∠BEF∴△OCE≌△BFE∴∠OBF=∠COE=90°∴BF⊥OB又∵BF经过半径OB的外端点B∴BF是⊙O的切线；（2）解：设⊙O的半径为r，则AB=2r在Rt△ABF中有：(2r)2+r2=(5√2)2∴只取r=√10，即⊙O的半径为√10 .∵AB是⊙O的直径、即AB=2√10∴BD⊥AF∴BF=√AF2−AB2=√(5√2)2−(2√10)2=√10∵AB为直径∴∠ADB=90°∴sΔABF=12AB×BF=12AF×BD∴12×2√10×√10=12×5√2×BD，解得BD=2√2 .17．（1）解：AC与⊙O的相切，理由如下∵AO=DO∴∠D=∠OAD∵CF=CA∴∠CAF=∠CFA 又∵∠CFA=∠OFD∴∠CAF=∠OFD∵OD⊥BC∴∠OFD+∠ODF=90°∴∠CAF+∠OAF=90°∴OA⊥AC∵OA是半径∴AC是⊙O的切线∴ AC与⊙O的相切；（2）解：过A作AM⊥BC于M，如图设OA=OE=r∵FC=√3，CE=1在Rt△CAO中AO=r，AC=FC=√3，OC=OE+EC=r+1AO2+AC2=OC2∴r2+(√3)2=(r+1)2解得r=1∴OC=OE+EC=2∴AO=12 OC∴∠C=30°∴∠AOC=60°∴∠AOB=180−∠AOC=120°在Rt△CAM中AM=12AC=12FC=√32∴S△AOB=12⋅OB⋅AM=12×1×√32=√34∴S扇形AOB=120360π×1=π3∴S阴影部分=S△AOB−S扇形AOB=π3−√34．18．（1）解：连接OB，OC∵∠EAC＝120°∴∠BAC＝180°﹣∠EAC＝60°∴∠BDC＝∠BAC＝60°∴∠BOC＝2∠BDC＝2×60°＝120°∴BC⌢的度数为120°；（2）证明：∵AD是△ABC的外角∠EAC的平分线∴∠DAC＝12∠EAC＝12×120°＝60°∴∠DBC＝∠DAC＝60°由（1）知∠BDC＝60°∴∠BDC＝∠DBC＝60°∴△BDC是等边三角形∴BD＝CD；（3）解：AC＝AD+AB证明：如图，延长AD至F，使DF＝AB，连接CF第 11 页 共 11 页∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形 ∴∠ADC+∠ABC ＝180° ∵∠ADC+∠CDF ＝180° ∴∠ABC ＝∠CDF由（2）知△BDC 是等边三角形 ∴BC ＝CD∴△FDC ≌△ABC （SAS ） ∴∠ACB ＝∠DCF ，AC ＝CF ∴∠ACF ＝∠BCD ＝60° ∴△ACF 是等边三角形 ∴AC ＝AF ＝AD+DF ＝AD+AB 即AC ＝AD+AB.。

圆（一）一、选择题1．如图，⊙O的直径AB=2，弦AC=1，点D在⊙O上，则∠D的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．75°2．如图，在⊙O中，=，∠AOB=50°，则∠ADC的度数是（）A．50°B．40°C．30°D．25°3．如图，A，B，C是⊙O上三点，∠ACB=25°，则∠BAO的度数是（）A．55°B．60°C．65°D．70°4．如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB且相交于点E，则下列结论中不成立的是（）A．∠A=∠D B．=C．∠ACB=90°D．∠COB=3∠D5．如图，AB为⊙O直径，已知∠DCB=20°，则∠DBA为（）A．50°B．20°C．60°D．70°6．如图，△ABD的三个顶点在⊙O上，AB是直径，点C在⊙O上，且∠ABD=52°，则∠BCD等于（）A．32°B．38°C．52°D．66°7．如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C=25°，则∠BOD的度数是（）A．25°B．30°C．40°D．50°8．如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠A=72°，则∠BCO的度数为（）A．15°B．18°C．20°D．28°9．如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC=90°，则∠AOC的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．70°10．如图，已知经过原点的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB=（）A．80°B．90°C．100° D．无法确定11．△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（）A．80°B．160°C．100° D．80°或100°12．如图所示，MN是⊙O的直径，作AB⊥MN，垂足为点D，连接AM，AN，点C为上一点，且=，连接CM，交AB于点E，交AN于点F，现给出以下结论：①AD=BD；②∠MAN=90°；③=；④∠ACM+∠ANM=∠MOB；⑤AE=MF．其中正确结论的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．513．如图，点A，B，C是⊙O上的三点，已知∠AOB=100°，那么∠ACB的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°14．如图，圆O是△ABC的外接圆，∠A=68°，则∠OBC的大小是（）A．22°B．26°C．32°D．68°15．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，分别连接AC、BC、CD、OD．若∠DOB=140°，则∠ACD=（）A．20°B．30°C．40°D．70°16．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD=100°，则∠BCD的度数为（）A．50°B．80°C．100° D．130°17．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACO=45°，则∠B的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°18．如图A，B，C是⊙O上的三个点，若∠AOC=100°，则∠ABC等于（）A．50°B．80°C．100° D．130°二、填空题19．如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°，给出以下五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧是劣弧的2倍；⑤AE=BC，其中正确的序号是．20．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使顶点C在半圆上，点A、B的读数分别为100°、150°，则∠ACB的大小为度．21．如图所示，A、B、C三点均在⊙O上，若∠AOB=80°，则∠ACB=°．22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径是4，sinB=，则线段AC的长为．23．如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA，OB，∠OBA=48°，则∠C的度数为．24．如图，点O为所在圆的圆心，∠BOC=112°，点D在BA的延长线上，AD=AC，则∠D=．25．如图，点A，B，C是⊙O上的点，AO=AB，则∠ACB=度．三、解答题（共5小题）26．已知：如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且BC=6cm，AC=8cm，∠ABD=45°．（1）求BD的长；（2）求图中阴影部分的面积．27．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC．（1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度数；（2）求证：∠1=∠2．28．如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．（1）判断△ABC的形状：；（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；（3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．29．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，FO⊥AB，垂足为点O，连接AF 并延长交⊙O于点D，连接OD交BC于点E，∠B=30°，FO=2．（1）求AC的长度；（2）求图中阴影部分的面积．（计算结果保留根号）30．如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D．（1）求的长．（2）求弦BD的长．圆（一）参考答案与试题解析一、选择题1．如图，⊙O的直径AB=2，弦AC=1，点D在⊙O上，则∠D的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．75°【考点】圆周角定理；含30度角的直角三角形．【专题】几何图形问题．【分析】由⊙O的直径是AB，得到∠ACB=90°，根据特殊三角函数值可以求得∠B的值，继而求得∠A和∠D的值．【解答】解：∵⊙O的直径是AB，∴∠ACB=90°，又∵AB=2，弦AC=1，∴sin∠CBA=，∴∠CBA=30°，∴∠A=∠D=60°，故选：C．【点评】本题考查的是圆周角定理及直角三角形的性质，比较简单，但在解答时要注意特殊三角函数的取值．2．如图，在⊙O中，=，∠AOB=50°，则∠ADC的度数是（）A．50°B．40°C．30°D．25°【考点】圆周角定理；垂径定理．【分析】先求出∠AOC=∠AOB=50°，再由圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵在⊙O中，=，∴∠AOC=∠AOB，∵∠AOB=50°，∴∠AOC=50°，∴∠ADC=∠AOC=25°，故选D．【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．3．如图，A，B，C是⊙O上三点，∠ACB=25°，则∠BAO的度数是（）A．55°B．60°C．65°D．70°【考点】圆周角定理．【分析】连接OB，要求∠BAO的度数，只要在等腰三角形OAB中求得一个角的度数即可得到答案，利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠AOB=50°，然后根据等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理即可求得．【解答】解：连接OB，∵∠ACB=25°，∴∠AOB=2×25°=50°，由OA=OB，∴∠BAO=∠ABO，∴∠BAO=（180°﹣50°）=65°．故选C．【点评】本题考查了圆周角定理；作出辅助线，构建等腰三角形是正确解答本题的关键．4．如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB且相交于点E，则下列结论中不成立的是（）A．∠A=∠D B．=C．∠ACB=90°D．∠COB=3∠D【考点】圆周角定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．【分析】根据垂径定理、圆周角定理，进行判断即可解答．【解答】解：A、∠A=∠D，正确；B、，正确；C、∠ACB=90°，正确；D、∠COB=2∠CDB，故错误；故选：D．【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，也考查了圆周角定理，解集本题的关键是熟记垂径定理和圆周角定理．5．如图，AB为⊙O直径，已知∠DCB=20°，则∠DBA为（）A．50°B．20°C．60°D．70°【考点】圆周角定理．【专题】计算题．【分析】先根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°，再利用互余得∠ACD=90°﹣∠DCB=70°，然后根据同弧或等弧所对的圆周角相等求解．【解答】解：∵AB为⊙O直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACD=90°﹣∠DCB=90°﹣20°=70°，∴∠DBA=∠ACD=70°．故选D．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．6．如图，△ABD的三个顶点在⊙O上，AB是直径，点C在⊙O上，且∠ABD=52°，则∠BCD等于（）A．32°B．38°C．52°D．66°【考点】圆周角定理．【分析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得∠ADB的度数，继而求得∠A的度数，又由圆周角定理，即可求得答案．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵∠ABD=52°，∴∠A=90°﹣∠ABD=38°；∴∠BCD=∠A=38°．故选：B．【点评】此题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．7．如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C=25°，则∠BOD的度数是（）A．25°B．30°C．40°D．50°【考点】圆周角定理；垂径定理．【专题】压轴题．【分析】由“等弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”推知∠DOB=2∠C，得到答案．【解答】解：∵在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，∴=，∴∠DOB=2∠C=50°．故选：D．【点评】本题考查了圆周角定理、垂径定理．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．8．如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠A=72°，则∠BCO的度数为（）A．15°B．18°C．20°D．28°【考点】圆周角定理．【专题】计算题．【分析】连结OB，如图，先根据圆周角定理得到∠BOC=2∠A=144°，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算∠BCO的度数．【解答】解：连结OB，如图，∠BOC=2∠A=2×72°=144°，∵OB=OC，∴∠CBO=∠BCO，∴∠BCO=（180°﹣∠BOC）=×（180°﹣144°）=18°．故选B．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰三角形的性质．9．如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC=90°，则∠AOC的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．70°【考点】圆周角定理．【专题】计算题．【分析】先根据圆周角定理得到∠ABC=∠AOC，由于∠ABC+∠AOC=90°，所以∠AOC+∠AOC=90°，然后解方程即可．【解答】解：∵∠ABC=∠AOC，而∠ABC+∠AOC=90°，∴∠AOC+∠AOC=90°，∴∠AOC=60°．故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．10．如图，已知经过原点的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB=（）A．80°B．90°C．100° D．无法确定【考点】圆周角定理；坐标与图形性质．【分析】由∠AOB与∠ACB是优弧AB所对的圆周角，根据圆周角定理，即可求得∠ACB=∠AOB=90°．【解答】解：∵∠AOB与∠ACB是优弧AB所对的圆周角，∴∠AOB=∠ACB，∵∠AOB=90°，∴∠ACB=90°．故选B．【点评】此题考查了圆周角定理．此题比较简单，解题的关键是观察图形，得到∠AOB 与∠ACB是优弧AB所对的圆周角．11．△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（）A．80°B．160°C．100° D．80°或100°【考点】圆周角定理．【分析】首先根据题意画出图形，由圆周角定理即可求得答案∠ABC的度数，又由圆的内接四边形的性质，即可求得∠ABC的度数．【解答】解：如图，∵∠AOC=160°，∴∠ABC=∠AOC=×160°=80°，∵∠ABC+∠AB′C=180°，∴∠AB′C=180°﹣∠ABC=180°﹣80°=100°．∴∠ABC的度数是：80°或100°．故选D．【点评】此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质．此题难度不大，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用，注意别漏解．12．如图所示，MN是⊙O的直径，作AB⊥MN，垂足为点D，连接AM，AN，点C为上一点，且=，连接CM，交AB于点E，交AN于点F，现给出以下结论：①AD=BD；②∠MAN=90°；③=；④∠ACM+∠ANM=∠MOB；⑤AE=MF．其中正确结论的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】圆周角定理；垂径定理．【专题】压轴题．【分析】根据AB⊥MN，垂径定理得出①③正确，利用MN是直径得出②正确，==，得出④正确，结合②④得出⑤正确即可．【解答】解：∵MN是⊙O的直径，AB⊥MN，∴AD=BD，=，∠MAN=90°（①②③正确）∵=，∴==，∴∠ACM+∠ANM=∠MOB（④正确）∵∠MAE=∠AME，∴AE=ME，∠EAF=∠AFM，∴AE=EF，∴AE=MF（⑤正确）．正确的结论共5个．故选：D．【点评】此题考查圆周角定理，垂径定理，以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识．13．如图，点A，B，C是⊙O上的三点，已知∠AOB=100°，那么∠ACB的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°【考点】圆周角定理．【专题】计算题；压轴题．【分析】根据图形，利用圆周角定理求出所求角度数即可．【解答】解：∵∠AOB与∠ACB都对，且∠AOB=100°，∴∠ACB=∠AOB=50°，故选C【点评】此题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．14．如图，圆O是△ABC的外接圆，∠A=68°，则∠OBC的大小是（）A．22°B．26°C．32°D．68°【考点】圆周角定理．【分析】先根据圆周角定理求出∠BOC的度数，再根据等腰三角形的性质即可得出结论．【解答】解：∵∠A与∠BOC是同弧所对的圆周角与圆心角，∠A=68°，∴∠BOC=2∠A=136°．∵OB=OC，∴∠OBC==22°．故选A．【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．15．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，分别连接AC、BC、CD、OD．若∠DOB=140°，则∠ACD=（）A．20°B．30°C．40°D．70°【考点】圆周角定理．【分析】根据∠DOB=140°，求出∠AOD的度数，根据圆周角定理求出∠ACD的度数．【解答】解：∵∠DOB=140°，∴∠AOD=40°，∴∠ACD=∠AOD=20°，故选：A．【点评】本题考查的是圆周角定理，掌握一条弧所对的圆周角是这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．16．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD=100°，则∠BCD的度数为（）A．50°B．80°C．100° D．130°【考点】圆周角定理；圆内接四边形的性质．【分析】首先根据圆周角与圆心角的关系，求出∠BAD的度数；然后根据圆内接四边形的对角互补，用180°减去∠BAD的度数，求出∠BCD的度数是多少即可．【解答】解：∵∠BOD=100°，∴∠BAD=100°÷2=50°，∴∠BCD=180°﹣∠BAD=180°﹣50°=130°故选：D．【点评】（1）此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，要熟练掌握．（2）此题还考查了圆内接四边形的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①圆内接四边形的对角互补．②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．17．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACO=45°，则∠B的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°【考点】圆周角定理．【分析】先根据OA=OC，∠ACO=45°可得出∠OAC=45°，故可得出∠AOC的度数，再由圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵OA=OC，∠ACO=45°，∴∠OAC=45°，∴∠AOC=180°﹣45°﹣45°=90°，∴∠B=∠AOC=45°．故选D．【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．18．如图A，B，C是⊙O上的三个点，若∠AOC=100°，则∠ABC等于（）A．50°B．80°C．100° D．130°【考点】圆周角定理．【分析】首先在上取点D，连接AD，CD，由圆周角定理即可求得∠D的度数，然后由圆的内接四边形的性质，求得∠ABC的度数．【解答】解：如图，在优弧上取点D，连接AD，CD，∵∠AOC=100°，∴∠ADC=∠AOC=50°，∴∠ABC=180°﹣∠ADC=130°．故选D．【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．二、填空题19．如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°，给出以下五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧是劣弧的2倍；⑤AE=BC，其中正确的序号是①②④．【考点】圆周角定理；等腰三角形的判定与性质；弧长的计算．【专题】压轴题．【分析】根据圆周角定理，等边对等角，等腰三角形的性质，直径对的圆周角是直角等知识，运用排除法逐条分析判断．【解答】解：连接AD，AB是直径，则AD⊥BC，又∵△ABC是等腰三角形，故点D是BC的中点，即BD=CD，故②正确；∵AD是∠BAC的平分线，由圆周角定理知，∠EBC=∠DAC=∠BAC=22.5°，故①正确；∵∠ABE=90°﹣∠EBC﹣∠BAD=45°=2∠CAD，故④正确；∵∠EBC=22.5°，2EC≠BE，AE=BE，∴AE≠2CE，③不正确；∵AE=BE，BE是直角边，BC是斜边，肯定不等，故⑤错误．综上所述，正确的结论是：①②④．故答案是：①②④．【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定与性质以及弧长的计算等．利用了圆周角定理，等边对等角，等腰三角形的性质，直径对的圆周角是直角求解．20．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使顶点C在半圆上，点A、B的读数分别为100°、150°，则∠ACB的大小为25度．【考点】圆周角定理．【专题】计算题．【分析】连接OA，OB，根据题意确定出∠AOB的度数，利用圆周角定理即可求出∠ACB 的度数．【解答】解：连接OA，OB，由题意得：∠AOB=50°，∵∠ACB与∠AOB都对，∴∠ACB=∠AOB=25°，故答案为：25【点评】此题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．21．如图所示，A、B、C三点均在⊙O上，若∠AOB=80°，则∠ACB=40°．【考点】圆周角定理．【专题】计算题．【分析】直接根据圆周角定理求解．【解答】解：∠ACB=∠AOB=×80°=40°．故答案为40．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径是4，sinB=，则线段AC的长为2．【考点】圆周角定理；解直角三角形．【专题】计算题．【分析】连结CD如图，根据圆周角定理得到∠ACD=90°，∠D=∠B，则sinD=sinB=，然后在Rt△ACD中利用∠D的正弦可计算出AC的长．【解答】解：连结CD，如图，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°，∵∠D=∠B，∴sinD=sinB=，在Rt△ACD中，∵sinD==，∴AC=AD=×8=2．故答案为2．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形．23．如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA，OB，∠OBA=48°，则∠C的度数为42°．【考点】圆周角定理．【分析】根据三角形的内角和定理求得∠AOB的度数，再进一步根据圆周角定理求解．【解答】解：∵OA=OB，∠OBA=48°，∴∠OAB=∠OBA=48°，∴∠AOB=180°﹣48°×2=84°，∴∠C=∠AOB=42°，故答案为：42°．【点评】此题综合运用了三角形的内角和定理以及圆周角定理．解决本题的关键是熟记一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．24．如图，点O为所在圆的圆心，∠BOC=112°，点D在BA的延长线上，AD=AC，则∠D=28°．【考点】圆周角定理；等腰三角形的性质．【分析】由AD=AC，可得∠ACD=∠ADC，由∠BAC=∠ACD+∠ADC=2∠D，可得∠BAC的度数，由∠D=∠BAC即可求解．【解答】解：∵AD=AC，∴∠ACD=∠ADC，∵∠BAC=∠ACD+∠ADC=2∠D，∴∠BAC=∠BOC=×112°=56°，∴∠D=∠BAC=28°．故答案为：28°．【点评】本题主要考查了圆周角及等腰三角形的性质，解题的关键是找出∠D与∠BOC 的关系．25．如图，点A，B，C是⊙O上的点，AO=AB，则∠ACB=150度．【考点】圆周角定理；等边三角形的判定与性质；圆内接四边形的性质．【分析】根据AO=AB，且OA=OB，得出△OAB是等边三角形，再利用圆周角和圆心角的关系得出∠BAC+∠ABC=30°，解答即可．【解答】解：∵点A，B，C是⊙O上的点，AO=AB，∴OA=OB=AB，∴△OAB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠BAC+∠ABC=30°，∴∠ACB=150°，故答案为：150【点评】此题考查了圆心角、圆周角定理问题，关键是根据AO=AB，且OA=OB，得出△OAB是等边三角形．三、解答题26．已知：如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且BC=6cm，AC=8cm，∠ABD=45°．（1）求BD的长；（2）求图中阴影部分的面积．【考点】圆周角定理；勾股定理；扇形面积的计算．【分析】（1）由AB为⊙O的直径，得到∠ACB=90°，由勾股定理求得AB，OB=5cm．连OD，得到等腰直角三角形，根据勾股定理即可得到结论；（2）根据S阴影=S扇形﹣S△OBD即可得到结论．【解答】解：（1）∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵BC=6cm，AC=8cm，∴AB=10cm．∴OB=5cm．连OD，∵OD=OB，∴∠ODB=∠ABD=45°．∴∠BOD=90°．∴BD==5cm．（2）S阴影=S扇形﹣S△OBD=π•52﹣×5×5=cm2．【点评】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质，扇形的面积，三角形的面积，连接OD构造直角三角形是解题的关键．27．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC．（1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度数；（2）求证：∠1=∠2．【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．【专题】计算题．【分析】（1）根据等腰三角形的性质由BC=DC得到∠CBD=∠CDB=39°，再根据圆周角定理得∠BAC=∠CDB=39°，∠CAD=∠CBD=39°，所以∠BAD=∠BAC+∠CAD=78°；（2）根据等腰三角形的性质由EC=BC得∠CEB=∠CBE，再利用三角形外角性质得∠CEB=∠2+∠BAE，则∠2+∠BAE=∠1+∠CBD，加上∠BAE=∠CBD，所以∠1=∠2．【解答】（1）解：∵BC=DC，∴∠CBD=∠CDB=39°，∵∠BAC=∠CDB=39°，∠CAD=∠CBD=39°，∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=39°+39°=78°；（2）证明：∵EC=BC，∴∠CEB=∠CBE，而∠CEB=∠2+∠BAE，∠CBE=∠1+∠CBD，∴∠2+∠BAE=∠1+∠CBD，∵∠BAE=∠BDC=∠CBD，∴∠1=∠2．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰三角形的性质．28．如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．（1）判断△ABC的形状：等边三角形；（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；（3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．【考点】圆周角定理；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；垂径定理．【分析】（1）利用圆周角定理可得∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，而∠APC=∠CPB=60°，所以∠BAC=∠ABC=60°，从而可判断△ABC的形状；（2）在PC上截取PD=AP，则△APD是等边三角形，然后证明△APB≌△ADC，证明BP=CD，即可证得；（3）过点P作PE⊥AB，垂足为E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，把四边形的面积转化为两个三角形的面积进行计算，当点P为的中点时，PE+CF=PC从而得出最大面积．【解答】证明：（1）△ABC是等边三角形．证明如下：在⊙O中∵∠BAC与∠CPB是所对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，∴∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，又∵∠APC=∠CPB=60°，∴∠ABC=∠BAC=60°，∴△ABC为等边三角形；（2）在PC上截取PD=AP，如图1，又∵∠APC=60°，∴△APD是等边三角形，∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°．又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°，∴∠ADC=∠APB，在△APB和△ADC中，，∴△APB≌△ADC（AAS），∴BP=CD，又∵PD=AP，∴CP=BP+AP；（3）当点P为的中点时，四边形APBC的面积最大．理由如下，如图2，过点P作PE⊥AB，垂足为E．过点C作CF⊥AB，垂足为F．=AB•PE，S△ABC=AB•CF，∵S△APB=AB•（PE+CF），∴S四边形APBC当点P为的中点时，PE+CF=PC，PC为⊙O的直径，∴此时四边形APBC的面积最大．又∵⊙O的半径为1，∴其内接正三角形的边长AB=，=×2×=．∴S四边形APBC【点评】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定、三角形的面积公式以及三角形的全等的判定与性质，正确作出辅助线，证明△APB≌△ADC是关键．29．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，FO⊥AB，垂足为点O，连接AF 并延长交⊙O于点D，连接OD交BC于点E，∠B=30°，FO=2．（1）求AC的长度；（2）求图中阴影部分的面积．（计算结果保留根号）【考点】圆周角定理；全等三角形的判定与性质；扇形面积的计算．【分析】（1）解直角三角形求出OB，求出AB，根据圆周角定理求出∠ACB，解直角三角求出AC即可；（2）求出△ACF和△AOF全等，得出阴影部分的面积=△AOD的面积，求出三角形的面积即可．【解答】解：（1）∵OF⊥AB，∴∠BOF=90°，∵∠B=30°，FO=2，∴OB=6，AB=2OB=12，又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AC=AB=6；（2）∵由（1）可知，AB=12，∴AO=6，即AC=AO，在Rt△ACF和Rt△AOF中，∴Rt△ACF≌Rt△AOF，∴∠FAO=∠FAC=30°，∴∠DOB=60°，过点D作DG⊥AB于点G，∵OD=6，∴DG=3，∴S△ACF +S△OFD=S△AOD=×6×3=9，即阴影部分的面积是9．【点评】本题考查了三角形的面积，全等三角形的性质和判定，圆周角定理，解直角三角形的应用，能求出△AOD的面积=阴影部分的面积是解此题的关键．30．如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D．（1）求的长．（2）求弦BD的长．【考点】圆周角定理；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形；弧长的计算．【分析】（1）首先根据AB是⊙O的直径，可得∠ACB=∠ADB=90°，然后在Rt△ABC中，求出∠BAC的度数，即可求出∠BOC的度数；最后根据弧长公式，求出的长即可．（2）首先根据CD平分∠ACB，可得∠ACD=∠BCD；然后根据圆周角定理，可得∠AOD=∠BOD，所以AD=BD，∠ABD=∠BAD=45°；最后在Rt△ABD中，求出弦BD的长是多少即可．【解答】解：（1）如图，连接OC，OD，，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，在Rt△ABC中，∵，∴∠BAC=60°，∴∠BOC=2∠BAC=2×60°=120°，∴的长=．（2）∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴∠AOD=∠BOD，∴AD=BD，∴∠ABD=∠BAD=45°，在Rt△ABD中，BD=AB×sin45°=10×．【点评】（1）此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，要熟练掌握．（2）此题还考查了含30度角的直角三角形，以及等腰直角三角形的性质和应用，要熟练掌握．（3）此题还考查了弧长的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①弧长公式：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．②在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．。

九年级中考数学圆的综合解答题压轴题提高专题练习含答案一、圆的综合1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点E为△ABC内切圆的圆心，连接AE的延长线交BC于点F，交⊙O于点D；连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM=∠DAC．（1）求证：直线DM是⊙O的切线；（2）若DF=2，且AF=4，求BD和DE的长．【答案】（1）证明见解析（2）23【解析】【分析】（1）根据垂径定理的推论即可得到OD⊥BC，再根据∠BDM=∠DBC，即可判定BC∥DM，进而得到OD⊥DM，据此可得直线DM是⊙O的切线；（2）根据三角形内心的定义以及圆周角定理，得到∠BED=∠EBD，即可得出DB=DE，再判定△DBF∽△DAB，即可得到DB2=DF•DA，据此解答即可．【详解】（1）如图所示，连接OD．∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD=∠CAD，∴¶¶BD CD=，∴OD⊥BC．又∵∠BDM=∠DAC，∠DAC=∠DBC，∴∠BDM=∠DBC，∴BC∥DM，∴OD⊥DM．又∵OD为⊙O半径，∴直线DM是⊙O的切线．（2）连接BE．∵E为内心，∴∠ABE=∠CBE．∵∠BAD=∠CAD，∠DBC=∠CAD，∴∠BAD=∠DBC，∴∠BAE+∠ABE=∠CBE+∠DBC，即∠BED=∠DBE，∴BD=DE．又∵∠BDF=∠ADB（公共角），∴△DBF∽△DAB，∴DF DBDB DA=，即DB2=DF•DA．∵DF=2，AF=4，∴DA=DF+AF=6，∴DB2=DF•DA=12，∴DB=DE=23．【点睛】本题主要考查了三角形的内心与外心，圆周角定理以及垂径定理的综合应用，解题时注意：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．2．如图，AB 是半圆的直径，过圆心O 作AB 的垂线，与弦AC 的延长线交于点D ，点E 在OD 上DCE B ∠=∠．（1）求证：CE 是半圆的切线；（2）若CD=10，2tan 3B =，求半圆的半径．【答案】（1）见解析；(2)413【解析】分析: （1）连接CO ，由DCE B ∠=∠且OC=OB,得DCE OCB ∠=∠,利用同角的余角相等判断出∠BCO+∠BCE=90°，即可得出结论；（2）设AC=2x ，由根据题目条件用x 分别表示出OA 、AD 、AB ，通过证明△AOD ∽△ACB ，列出等式即可.详解：（1）证明：如图，连接CO .∵AB 是半圆的直径，∴∠ACB =90°.∴∠DCB =180°-∠ACB =90°.∴∠DCE+∠BCE=90°.∵OC =OB ,∴∠OCB =∠B.∵=DCE B ∠∠，∴∠OCB =∠DCE .∴∠OCE =∠DCB =90°.∴OC ⊥CE .∵OC 是半径，∴CE 是半圆的切线.（2）解：设AC =2x ，∵在Rt △ACB 中，2tan 3AC B BC ==, ∴BC =3x .∴()()222313AB x x x =+=. ∵OD ⊥AB ,∴∠AOD =∠A CB=90°.∵∠A =∠A ，∴△AOD ∽△ACB .∴AC AO AB AD=. ∵1132OA AB x ==，AD =2x +10, ∴113221013x x x =+. 解得 x =8. ∴138413OA =⨯=. 则半圆的半径为413.点睛：本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，相似三角形.3．如图，AB 为⊙O 的直径，点E 在⊙O 上，过点E 的切线与AB 的延长线交于点D ，连接BE ，过点O 作BE 的平行线，交⊙O 于点F ，交切线于点C ，连接AC（1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）连接EF ，当∠D= °时，四边形FOBE 是菱形．【答案】（1）见解析；（2）30.【解析】【分析】（1）由等角的转换证明出OCA OCE ∆∆≌，根据圆的位置关系证得AC 是⊙O 的切线. （2）根据四边形FOBE 是菱形，得到OF=OB=BF=EF ，得证OBE ∆为等边三角形，而得出60BOE ∠=︒，根据三角形内角和即可求出答案.【详解】（1）证明：∵CD 与⊙O 相切于点E ，∴OE CD ⊥，∴90CEO ∠=︒，又∵OC BE P ，∴COE OEB ∠=∠，∠OBE=∠COA∵OE=OB ，∴OEB OBE ∠=∠，∴COE COA ∠=∠，又∵OC=OC ，OA=OE ，∴OCA OCE SAS ∆∆≌（）， ∴90CAO CEO ∠=∠=︒，又∵AB 为⊙O 的直径，∴AC 为⊙O 的切线；（2）解：∵四边形FOBE 是菱形，∴OF=OB=BF=EF ，∴OE=OB=BE ，∴OBE ∆为等边三角形，∴60BOE ∠=︒，而OE CD ⊥，∴30D ∠=︒．故答案为30．【点睛】本题主要考查与圆有关的位置关系和圆中的计算问题，熟练掌握圆的性质是本题的解题关键.4．已知AB ，CD 都是O e 的直径，连接DB ，过点C 的切线交DB 的延长线于点E ． ()1如图1，求证：AOD 2E 180∠∠+=o ；()2如图2，过点A 作AF EC ⊥交EC 的延长线于点F ，过点D 作DG AB ⊥，垂足为点G ，求证：DG CF =；()3如图3，在()2的条件下，当DG 3CE 4=时，在O e 外取一点H ，连接CH 、DH 分别交O e 于点M 、N ，且HDE HCE ∠∠=，点P 在HD 的延长线上，连接PO 并延长交CM 于点Q ，若PD 11=，DN 14=，MQ OB =，求线段HM 的长．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）837+【解析】【分析】（1）由∠D +∠E =90°，可得2∠D +2∠E =180°，只要证明∠AOD =2∠D 即可；（2）如图2中，作OR ⊥AF 于R ．只要证明△AOR ≌△ODG 即可；（3）如图3中，连接BC 、OM 、ON 、CN ，作BT ⊥CL 于T ，作NK ⊥CH 于K ，设CH 交DE 于W ．解直角三角形分别求出KM ，KH 即可；【详解】()1证明：如图1中，O Q e 与CE 相切于点C ，OC CE ∴⊥，OCE 90∠∴=o ，D E 90∠∠∴+=o ，2D 2E 180∠∠∴+=o ，AOD COB ∠∠=Q ，BOC 2D ∠∠=，AOD 2D ∠∠=，AOD 2E 180∠∠∴+=o ．()2证明：如图2中，作OR AF ⊥于R ．OCF F ORF 90∠∠∠===o Q ，∴四边形OCFR 是矩形，AF//CD ∴，CF OR =，A AOD ∠∠∴=，在AOR V 和ODG V 中，A AOD ∠∠=Q ，ARO OGD 90∠∠==o ，OA DO =，AOR ∴V ≌ODG V ，OR DG ∴=，DG CF ∴=，()3解：如图3中，连接BC 、OM 、ON 、CN ，作BT CL ⊥于T ，作NK CH ⊥于K ，设CH 交DE 于W ．设DG 3m =，则CF 3m =，CE 4m =，OCF F BTE 90∠∠∠===o Q ，AF//OC//BT ∴，OA OB =Q ，CT CF 3m ∴==，ET m ∴=，CD Q 为直径，CBD CND 90CBE ∠∠∠∴===o ，E 90EBT CBT ∠∠∠∴=-=o ，tan E tan CBT ∠∠∴=，BT CT ET BT∴=， BT 3m m BT∴=， BT 3m(∴=负根已经舍弃)，3m tan E 3∠∴== E 60∠∴=o ，CWD HDE H ∠∠∠=+Q ，HDE HCE ∠∠=，H E 60∠∠∴==o ，MON 2HCN 60∠∠∴==o ，OM ON =Q ，OMN ∴V 是等边三角形，MN ON ∴=，QM OB OM ==Q ，MOQ MQO ∠∠∴=，MOQ PON 180MON 120∠∠∠+=-=o o Q ，MQO P 180H 120∠∠∠+=-=o o ， PON P ∠∠∴=，ON NP 141125∴==+=，CD 2ON 50∴==，MN ON 25==，在Rt CDN V 中，2222CN CD DN 501448=-=-=，在Rt CHN V 中，CN 48tan H 3HN HN∠===， HN 163∴=，在Rt KNH V 中，1KH HN 832==，3NK HN 24==， 在Rt NMK V 中，2222MK MN NK 25247=-=-=，HM HK MK 837∴=+=+．【点睛】本题考查圆综合题、全等三角形的判定和性质、平行线的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，添加常用辅助线，构造全等三角形或直角三角形解题的关键.5．如图，已知在△ABC 中，AB=15，AC=20，tanA=12，点P 在AB 边上，⊙P 的半径为定长.当点P 与点B 重合时，⊙P 恰好与AC 边相切；当点P 与点B 不重合时，⊙P 与AC 边相交于点M 和点N ．（1）求⊙P 的半径；（2）当AP=5△APM 与△PCN 是否相似，并说明理由．【答案】（1）半径为52）相似，理由见解析.【解析】【分析】（1）如图，作BD⊥AC，垂足为点D，⊙P与边AC相切，则BD就是⊙P的半径，利用解直角三角形得出BD与AD的关系，再利用勾股定理可求得BD的长；（2）如图，过点P作PH⊥AC于点H，作BD⊥AC，垂足为点D，根据垂径定理得出MN=2MH，PM=PN，再利用勾股定理求出PH、AH、MH、MN的长，从而求出AM、NC的长，然后求出AMMP、PNNC的值，得出AMMP=PNNC，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可证明.【详解】（1）如图，作BD⊥AC，垂足为点D，∵⊙P与边AC相切，∴BD就是⊙P的半径，在Rt△ABD中，tanA= 1BD2AD =，设BD=x，则AD=2x，∴x2+(2x)2=152，解得：5∴半径为5（2）相似，理由见解析，如图，过点P作PH⊥AC于点H，作BD⊥AC，垂足为点D，∴PH垂直平分MN，∴PM=PN，在Rt△AHP中，tanA=12PHAH =，设PH=y，AH=2y，y2+（2y）2=（52解得：y=6（取正数），∴PH=6，AH=12，在Rt△MPH中，()22356-，∴MN=2MH=6，∴AM=AH-MH=12-3=9，NC=AC-MN-AM=20-6-9=5，∴935535AM MP ==，355PN NC =， ∴AM MP =PN NC， 又∵PM=PN ，∴∠PMN=∠PNM ，∴∠AMP=∠PNC ，∴△AMP ∽△PNC.【点睛】本题考查了解直角三角形、垂径定理、相似三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线、灵活应用相关的性质与定理是解题的关键.6．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 为圆上一点，点D 在OC 的延长线上，连接DA ， 交BC 的延长线于点E ，使得∠DAC=∠B ．（1）求证：DA 是⊙O 切线；（2）求证：△CED ∽△ACD ；（3）若OA=1，sinD=13，求AE 的长．【答案】（1）证明见解析；（22【解析】分析：（1）由圆周角定理和已知条件求出AD ⊥AB 即可证明DA 是⊙O 切线；（2）由∠DAC =∠DCE ，∠D =∠D 可知△DEC ∽△DCA ；（3）由题意可知AO =1，OD =3，DC =2，由勾股定理可知AD =2，故此可得到DC 2=DE •AD ，故此可求得DE 的长，于是可求得AE 的长．详解：（1）∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB =90°，∴∠CAB +∠B =90°．∵∠DAC =∠B ，∴∠CAB +∠DAC =90°，∴AD ⊥AB ．∵OA是⊙O半径，∴DA为⊙O的切线；（2）∵OB=OC，∴∠OCB=∠B．∵∠DCE=∠OCB，∴∠DCE=∠B．∵∠DAC=∠B，∴∠DAC=∠DCE．∵∠D=∠D，∴△CED∽△ACD；（3）在Rt△AOD中，OA=1，sin D=13，∴OD=OAsinD=3，∴CD=OD﹣OC=2．∵AD=22OD OA-=22．又∵△CED∽△ACD，∴AD CDCD DE=，∴DE=2CDAD=2，∴AE=AD﹣DE=22﹣2=2．点睛：本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理、勾股定理的应用、相似三角形的性质和判定，证得△DEC∽△DCA是解题的关键．7．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，小圆直径AE的延长线与大圆交于点B，点D 在大圆上，BD与小圆相切于点F，AF的延长线与大圆相交于点C，且CE⊥BD．找出图中相等的线段并证明．【答案】见解析【解析】试题分析：由AE是小⊙O的直径，可得OA=OE，连接OF，根据切线的性质，可得OF⊥BD，然后由垂径定理，可证得DF=BF，易证得OF∥CE，根据平行线分线段成比例定理，可证得AF=CF，继而可得四边形ABCD是平行四边形，则可得AD=BC，AB=CD．然后连接OD、OC，可证得△AOD≌△EOC，则可得BC=AD=CE=AE．试题解析：图中相等的线段有：OA=OE，DF=BF，AF=CF，AB=CD，BC=AD=CE=AE．证明如下：∵AE是小⊙O的直径，∴OA=OE．连接OF，∵BD与小⊙O相切于点F，∴OF⊥BD．∵BD是大圆O的弦，∴DF=BF．∵CE⊥BD，∴CE∥OF，∴AF=CF．∴四边形ABCD是平行四边形．∴AD=BC，AB=CD．∵CE：AE=OF：AO，OF=AO，∴AE=EC．连接OD、OC，∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD．∵∠AOD=∠ODC，∠EOC=∠OEC，∴∠AOC=∠EOC，∴△AOD≌△EOC，∴AD=CE．∴BC=AD=CE=AE．【点睛】考查了切线的性质，垂径定理，平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识．此题综合性很强解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法，小心不要漏解．8．如图，△ABC内接于⊙O，弦AD⊥BC,垂足为H，连接OB．(1)如图1,求证:∠DAC=∠ABO;(2)如图2,在弧AC上取点F,使∠CAF=∠BAD,在弧AB取点G，使AG∥OB，若∠BAC=600，求证:GF=GD;(3)如图3,在(2)的条件下,AF、BC的延长线相交于点E,若AF：FE=1:9，求sin∠ADG的值。

中考数学复习《圆》专题训练--含有参考答案一、选择题1．已知⊙O 的半径是3cm ，则⊙O 中最长的弦长是（ ）A ．3cmB ．6cmC ．1.5cmD ．√3cm2．如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 在⊙O 上∠CAB =20°，则∠ADC 等于（ ）A ．70°B ．110°C ．140°D ．160°3．如图，AB 是⊙O 的直径，过点A 作⊙O 的切线AC ，连接BC ，与⊙O 交于点D ，E 是⊙O 上一点，连接AE ，DE 若∠C =48°，则∠AED 的度数为（ ）A ．42°B ．48°C ．32°D ．38°4．如图，线段AB 经过⊙O 的圆心，AC ，BD 分别与⊙O 相切于点C ，D ．若AC ＝BD ＝2√3，∠A ＝30°，则CD⌢的长度为（ ）A ．πB ．23πC ．√23πD ．2π5．如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，AC 是⊙O 的直径，若∠BAC ＝25°，则∠P 的度数为( )A ．50°B ．70°C ．110°D ．40°6．如图，四边形ABCD 是半圆O 的内接四边形，AB 是直径，C 是BD⌢的中点．若∠C=110°，则∠ABC 的度数为（）A．55°B．60°C．65°D．75°7．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°．E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（）A．55°B．65°C．60°D．75°8．如图，半径为10的扇形OAB中∠AOB=90°，C为弧AB上一，CD⊥OA，CE⊥OB垂足分别为D，E．若∠CDE=40°则图中阴影部分的面积为（）A．403πB．1109πC．1009πD．10π二、填空题9．如图，在⊙O中，弦AB的长为4，圆心到弦AB的距离为2，则∠AOC的度数为．10．如图，四边形ABCD内接于圆O，若∠D=100°，则∠B的度数是.11．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，若∠P=40°，则弦AB所对的圆周角的度数为度.12．如图，PA，PB分别与半径为3的⊙O相切于点A，B，直线CD分别交PA，PB于点C，D，并切⊙O于点E，当PO＝6时，△PCD的周长为．13．如图，在Rt△ABC中AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，若BC=4√2cm，则图中阴影部分的面积为cm2．三、解答题14．如图，是直径，足的弦．（1）求的度数．（2）若的半径，求的长．15．如图，AB是的直径，点C，M为上两点，且C点为的中点，过C点的切线交射线BM、BA于点EF．（1）求证：；（2）若， MB=2 ，求的长度．⌢的中点，过D作DE∥AC，交OC的延16．如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上一点，连接AC，点D为AC长线于点E.（1）求证：DE是半圆O的切线.（2）若OC=3，CE=2，求AC的长.⌢=AD⌢．17．已知：△ABD内接于⊙O，AB（1）如图①，点C在⊙O上，若∠BCD=60°，求∠ABD和∠ADB的大小；（2）如图②，点C在⊙O外，BD是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，若∠BCD=50°，求∠CDA的大小．18．如图，AB是的弦，C是外一点，CO交AB于点P，交于点D，且CP＝CB．（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；（2）若，OP=2，求图中阴影部分的面积．参考答案1．B2．B3．A4．B5．A6．A7．B8．C9．45°10．80°11．70°或110°12．6√313．(π+2)14．（1）解：是的直径∴∴∵∴；（2）解：∵∵的半径，AB是直径∴∴．15．（1）证明：如图连接．∵是的切线∴∵点C是的中点∴∵OB=OC∴∴∴∴∴（2）解：如图，连接∵∴∵OM=OB∴为等边三角形∴OB=MB=2∴的长度16．（1）证明：如图，连接OD交AC于点F.⌢的中点∵D是AC⌢=CD⌢∴AD∴∠AOD=∠COD∵OC=OA∴OD⊥AC∵DE∥AC∴OD⊥DE∴DE是半圆O的切线. （2）解：∵OC=3∴OE=5∴在Rt△ODE中∴cosE=DEOE =45∵AC∥DE∴∠FCO=∠E∴cos∠FCO=45∴FC=OC⋅cos∠FCO=3×45=125∵OD⊥AC∴AC=2FC=245.17．（1）解：∵四边形ABCD内接于⊙O∴∠BAD=180°−∠BCD=120°∵AB⌢=AD⌢∴AB=AD∴∠ABD=∠ADB=12(180°−∠BAD)=30°；（2）解：∵BC与⊙O相切于点B∴BD⊥BC，∴∠CBD=90°∵在RtΔBCD中∴∠BDC=90°−∠BCD=40°∵BD是⊙O的直径∴∠BAD=90°∵AB⌢=AD⌢∴AB=AD∴∠ABD=∠ADB=12×90°=45°∴∠CDA=∠ADB+∠BDC=45°+40°=85°．18．（1）解：直线BC与⊙O相切理由：连接OB∵OA＝OB∴∠OAB＝∠OBA∵CP＝CB∴∠CPB＝∠CBP∵∠CPB＝∠APO∴∠CBP＝∠APO∵∴∠AOC＝90°在Rt△AOP中∵∠OAB +∠APO＝90°∴∠OBA+∠CBP＝90°∴∠OBC＝90°∴OB⊥CB又∵OB是半径∴CB与⊙O相切；（2）解：∵∠A＝30°，∠AOP＝90°，OP＝2 ∴∠APO＝60°，AP＝2OP＝4∴AO＝BO∵OA＝OB∴∠OBA＝∠A＝30°∴∠BOP＝∠APO﹣∠OBA＝30°＝∠OBP∴OP＝PB＝2∵∠BPD＝∠APO＝60°，PC＝CB∴△PBC是等边三角形∴∠PCB＝∠CBP＝60°∴BC＝PB＝2∴图中阴影部分的面积＝S△OBC﹣S扇形OBD2×2π∵OA=√22∴AC=√3OA=√62∴S Rt△OAC=12OA·AC=12×√22×√62=√34∴S阴影=S Rt△OAC−S扇形OAE=√34−π12．。

2021年中考数学三轮冲刺《圆》解答题冲刺练习1.如图，在△ABC 中，以BC 为直径的圆交AC 于点D ，∠ABD=∠ACB.(1)求证：AB 是圆的切线；(2)若点E 是BC 上一点，已知BE=4，tan ∠AEB=53，AB ∶BC=2∶3，求圆的直径.2.如图，已知在△ABP 中，C 是BP 边上一点，∠PAC=∠PBA ，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，且交BP 于点E.(1)求证：PA 是⊙O 的切线；(2)过点C 作CF ⊥AD ，垂足为点F ，延长CF 交AB 于点G ，若AG ·AB=12，求AC 的长；(3)在满足(2)的条件下，若AF ∶FD=1∶2，GF=1，求⊙O 的半径及sin ∠ACE 的值.3.如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，E为BC的中点，连接DE并延长交AC的延长线于点F.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若CF=2，DF=4，求⊙O的直径的长.4.如图，AB为⊙O的直径，AC平分∠BAD，交弦BD于点G，连接半径OC交BD于点E，过点C的一条直线交AB的延长线于点F，∠AFC=∠ACD．(1)求证：直线CF是⊙O的切线；(2)若DE=2CE=2．①求AD的长；②求△ACF的周长．(结果可保留根号)5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，以CD为直径的⊙O分别交AC，BC于点E，F两点，过点F作FG⊥AB于点G．(1)试判断FG与⊙O的位置关系，并说明理由．(2)若AC=3，CD=2.5，求FG的长．6.如图，在⊙O中，点C是直径AB延长线上一点，过点C作⊙O的切线，切点为D，连结BD．（1）求证：∠A=∠BDC；（2）若CM平分∠ACD，且分别交AD、BD于点M、N，当DM=1时，求MN的长．7.如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O 的切线，切点为F，FH∥BC，连结AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连结BF．（1）证明：AF平分∠BAC；（2）证明：BF=FD；（3）若EF=4，DE=3，求AD的长．8.如图，已知BC为⊙O的直径，BA平分∠FBC交⊙O于点A，D是射线BF上的一点，且满足BD:AB=AB:BC，过点O作OM⊥AC于点E，交⊙O于点M，连接BM，AM．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若sin∠ABM=0.6，AM=6，求⊙O的半径．9.如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点D，AM⊥CD于点M，BN⊥CD于N．（1）求证：∠ADC=∠ABD；（2）求证：AD2=AMAB；（3）若AM=3.6，sin∠ABD=0.6，求线段BN的长．10.已知：AB是⊙O的直径，点P在线段AB的延长线上，BP=OB=2，点Q在⊙O上，连接PQ．（1）如图①，线段PQ所在的直线与⊙O相切，求线段PQ的长；（2）如图②，线段PQ与⊙O还有一个公共点C，且PC=CQ，连接OQ，AC交于点D．①判断OQ与AC的位置关系，并说明理由；②求线段PQ的长．11.如图，A、F、B、C是半圆O上的四个点，四边形OABC是平行四边形，∠FAB=15°，连接OF交AB于点E，过点C作OF的平行线交AB的延长线于点D，延长AF交直线CD于点H．（1）求证：CD是半圆O的切线；（2）若DH=6﹣3，求EF和半径OA的长．12.如图,已知AB是⊙O的直径,点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P,AC=PC,∠COB=2∠PCB.（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）求证：2BC=AB；（3）点M是弧AB的中点,CM交AB于点N,若AB=4,求MN·MC的值.参考答案1.(1)证明：∵BC 是直径，∴∠BDC=90°，∴∠ACB ＋∠DBC=90°.∵∠ABD=∠ACB ，∴∠ABD ＋∠DBC=90°，∴∠ABC=90°，∴AB ⊥BC ，∴AB 是圆的切线；(2)解：∵在Rt △AEB 中，tan ∠AEB=AB BE =53，BE=4， ∴AB=53BE=53×4=203. 在Rt △ABC 中，∵AB BC =23， ∴BC=32AB=32×203=10， ∴圆的直径为10.2. (1)证明：如图，连接CD ，∵AD 是⊙O 的直径.∴∠ACD=90°.∴∠CAD ＋∠ADC=90°.又∵∠PAC=∠PBA ，∠ADC=∠PBA ，∴∠PAC=∠ADC.∴∠CAD ＋∠PAC=90°.∴PA ⊥DA.而AD 是⊙O 的直径，∴PA 是⊙O 的切线.(2)解：由(1)知，PA ⊥AD ，又∵CF ⊥AD ，∴CF ∥PA.∴∠GCA=∠PAC.又∵∠PAC=∠PBA ，∴∠GCA=∠PBA.而∠CAG=∠BAC ，∴△CAG ∽△BAC.∴AG AC =AC AB， 即AC 2=AG ·AB.∵AG ·AB=12，∴AC 2=12.∴AC=2 3.(3)解：设AF=x ，∵AF ∶FD=1∶2，∴FD=2x.∴AD=AF ＋FD=3x.在Rt △ACD 中，∵CF ⊥AD ，∴AC 2=AF ·AD ，即3x 2=12，解得x=2或x=－2(舍去).∴AF=2，AD=6.∴⊙O 的半径为3.在Rt △AFG 中，AF=2，GF=1，根据勾股定理得AG=AF 2＋GF 2=22＋12=5，由(2)知AG ·AB=12，∴AB=12AG =1255.连接BD ，如图. ∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ABD=90°.在Rt △ABD 中，∵sin ∠ADB=AB AD， AD=6，AB=1255，∴sin ∠ADB=255. ∵∠ACE=∠ADB ，∴sin ∠ACE=255. 3.解：(1)证明：如图，连接OD ，CD.∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ADC=90°，∴∠BDC=90°.又∵E 为BC 的中点，∴DE=12BC=CE ， ∴∠EDC=∠ECD.∵OD=OC ，∴∠ODC=∠OCD ，∴∠EDC ＋∠ODC=∠ECD ＋∠OCD=∠ACB=90°， ∴∠ODE=90°，即OD ⊥DE. 又∵OD 是⊙O 的半径，∴DE 是⊙O 的切线.(2)设⊙O 的半径为x.在Rt △ODF 中，根据勾股定理，得OD 2＋DF 2=OF 2，即x 2＋42=(x ＋2)2，解得x=3.∴⊙O 的直径的长为6. 4.解：(1)证明：∵AC 平分∠BAD ，∴∠BAC=∠DAC ，∴C 是弧BD 的中点∴OC ⊥BD ．∴BE=DE ，∵∠AFC=∠ACD ，∠ACD=∠ABD ，∴∠AFC=∠ABD ，∴BD ∥CF ，∴OC ⊥CF ，∵OC 是半径，∴CF 是圆O 切线；(2)解：①设OC=R ．∵DE=2CE=2，∴BE=DE=2，CE=1．∴OE=R ﹣1，在Rt △OBE 中(R ﹣1)2+22=R 2．解得 R=2.5．∴OE=﹣1=，由(1)得，OA=OB ，BE=DE ，∴AD=2OE=3；②连接BC ．∵BD ∥CF ，∴， ∵BE=2，OE=，R=∴CF=，OF=，∴AF=OF+OA=， 在Rt △BCE 中，CE=l ，BE=2，∴BC==．∵AB 是直径，∴△ACB 为直角三角形．∴AC==2． ∴△ACF 周长=AC+FC+AF=10+2．5.解：(1)FG与⊙O相切，理由：如图，连接OF，∵∠ACB=90°，D为AB的中点，∴CD=BD，∴∠DBC=∠DCB，∵OF=OC，∴∠OFC=∠OCF，∴∠OFC=∠DBC，∴OF∥DB，∴∠OFG+∠DGF=180°，∵FG⊥AB，∴∠DGF=90°，∴∠OFG=90°，∴FG与⊙O相切；(2)连接DF，∵CD=2.5，∴AB=2CD=5，∴BC==4，∵CD为⊙O的直径，∴∠DFC=90°，∴FD⊥BC，∵DB=DC，∴BF=BC=2，∵sin∠ABC=，即=，∴FG=．6.解：（1）如图，连接OD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即∠A+∠ABD=90°，又∵CD与⊙O相切于点D，∴∠CDB+∠ODB=90°，∵OD=OB，∴∠ABD=∠ODB，∴∠A=∠BDC；（2）∵CM平分∠ACD，∴∠DCM=∠ACM，又∵∠A=∠BDC，∴∠A+∠ACM=∠BDC+∠DCM，即∠DMN=∠DNM，∵∠ADB=90°，DM=1，∴DN=DM=1，∴MN=．7.8.9.10.解：（1）如图①，连接OQ．∵线段PQ所在的直线与⊙O相切，点Q在⊙O上，∴OQ⊥OP．又∵BP=OB=OQ=2，∴PQ=2，即PQ=2；（2）OQ⊥AC．理由如下：如图②，连接BC．∵BP=OB，∴点B是OP的中点，又∵PC=CQ，∴点C是PQ的中点，∴BC是△PQO的中位线，∴BC∥OQ．又∵AB是直径，∴∠ACB=90°，即BC⊥AC，∴OQ⊥AC．（3）如图②，PC•PQ=PB•PA，即0.5PQ2=2×6，解得PQ=2．11.解：（1）连接OB，∵OA=OB=OC，∵四边形OABC是平行四边形，∴AB=OC，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∵∠FAD=15°，∴∠BOF=30°，∴∠AOF=∠BOF=30°，∴OF⊥AB，∵CD∥OF，∴CD⊥AD，∵AD∥OC，∴OC⊥CD，∴CD是半圆O的切线；（2）∵BC∥OA，∴∠DBC=∠EAO=60°，∴BD=0.5BC=0.5AB，∴AE=AD，∵EF∥DH，∴△AEF∽△ADH，∴，∵DH=6﹣3，∴EF=2﹣，∵OF=OA，∴OE=OA﹣（2﹣），∵∠AOE=30°，∴==，解得：OA=2．12.解：（1）∵OA=OC,∴∠A=∠ACO∵∠COB=2∠A ,∠COB=2∠PCB∴∠A=∠ACO=∠PCB∵AB是⊙O的直径∴∠ACO+∠OCB=90°∴∠PCB+∠OCB=90°,即OC⊥CP∵OC是⊙O的半径∴PC是⊙O的切线（2）∵PC=AC ∴∠A=∠P ∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P ∵∠COB=∠A+∠ACO,∠CBO=∠P+∠PCB ∴∠CBO=∠COB∴BC=OC ∴2BC=AB(3)连接MA,MB∵点M是弧AB的中点∴弧AM=弧BM ∴∠ACM=∠BCM ∵∠ACM=∠ABM ∴∠BCM=∠ABM∵∠BMC=∠BMN ∴△MBN∽△MCB∴BM:MC=MN:BM ∴BM2=MC·MN∵AB是⊙O的直径，弧AM=弧BM∴∠AMB=90°,AM=BM∵AB=4 ∴BM=∴MC·MN=BM2=8。

中考数学复习《圆》专项测试卷(含参考答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题(共11小题)1.如图，点A、B、C、D、E均在⊙O上．∠BAC=15∘，∠CED=30∘则∠BOD的度数为( )A.45∘B.60∘C.75∘D.90∘2.如图，点A、B、C、D在⊙O上∠AOC=120∘，点B是AC⌢的中点，则∠D的度数是( )A.30∘B.40∘C.50∘D.60∘3.如图，AB，CD是⊙O的两条直径，E是BC⏜的中点，连接BC，DE.若∠ABC=22∘，则∠CDE的度数为( )A.22∘B.32∘C.34∘D.44∘4.如图，一件扇形艺术品完全打开后，AB，AC夹角为120∘，AB的长为45cm，扇面BD的长为30cm，则扇面的面积是( )A.375πcm2B.450πcm2C.600πcm2D.750πcm25.如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径AB=10AC⏜=CD⏜=DB⏜点E是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动∠DOB；③DM⊥CE；④CM+DM的最小值是10，上述点，下列结论：①∠BOE=60∘；②∠CED=12结论中正确的个数是( )A.1B.2C.3D.46.如图，扇形纸片AOB的半径为3，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在AB⏜上的点C处，图中阴影部分的面积为( )A.3π−3√3B.3π−9√32C.2π−3√3 D.6π−9√327.如图，⊙O的直径AB=8，AM，BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，并与AM，BN分别相交于D，C两点BD，OC相交于点F，若CD=10，则BF的长是( )A.8√179B.10√179C.8√159D.10√1598.如图，在RtABC中∠ACB=90∘，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点E,F,G,H,M,N都在同一个圆上.记该圆面积为S1，△ABC面积为S2，则S1S2的值是( )A. 5π2B. 3π C. 5π D. 11π29.如图，在△ABC中，O是AB边上的点，以O为圆心，OB为半径的⊙O与AC相切于点D，BD平分∠ABC，AD=√3OD，AB=12，CD的长是( )A.2√3B.2C.3√3D.4√310.如图，在半径为√13的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB=75°，AB=6，AE=1则CD的长是( )A.2√6B.2√10C.2√11D.4√311.如图，⊙P与x轴交于点A（−5，0），B（1，0）与y轴的正半轴交于点C．若∠ACB=60°，则点C的纵坐标为( )A.√13+√3B.2√2+√3C.4√2D.2√2+2二、填空题(共11小题)12.如图，正六边形ABCDEF和正五边形AHIJK内接于⊙O，且有公共顶点A，则∠BOH的度数为∘．13.我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形(如图).若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为．14. 如图，⊙O与△OAB的边AB相切，切点为B.将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到ΔO′A′B，使点O′落在⊙O上，边A′B交线段AO于点C.若∠A′=25∘，则∠OCB=度.15.如图，在4×4的正方形网格图中已知点A B C D O均在格点上其中A B D又在⊙O上点E是线段CD与⊙O的交点.则∠BAE的正切值为.16.如图AB为⊙O的直径C为⊙O上一点过B点的切线交AC的延长线于点D E为弦AC的中点AD=10BD=6若点P为直径AB上的一个动点连接EP当△AEP是直角三角形时AP的长为．17.如图Rt△ABC中∠C=90°AC=12点D在边BC上CD=5BD=13．点P是线段AD上一动点当半径为6的⊙P与△ABC的一边相切时AP的长为．x+3上的动点18.如图在直角坐标系中⊙A的圆心A的坐标为(−10)半径为1点P为直线y=−34过点P作⊙A的切线切点为Q则切线长PQ的最小值是．19.如图在△ABC中AC=BC∠ACB=90°以点A为圆心AB长为半径画弧交AC延长线于点D的值为.过点C作CE//AB交BD⏜于点E连接BE则CEBE20.如图四边形ABDC中AC=BC∠ACB=90°AD⊥BD于点D.若BD=2CD=4√2则线段AB的长为.21.如图在△ABC中∠BAC＝30°∠ACB＝45°AB＝2点P从点A出发沿AB方向运动到达点B时停止运动连结CP点A关于直线CP的对称点为A′连结A′C A′P．在运动过程中点A′到直线AB距离的最大值是；点P到达点B时线段A′P扫过的面积为．22.如图在正方形ABCD中点O是对角线BD的中点点P在线段OD上连接AP并延长交CD于点E过点P作PF⊥AP交BC于点F连接AF EF AF交BD于G现有以下结论：①AP=PF；②DE+BF=EF；③PB−PD=√2BF；④S△AEF为定值；⑤S\mathrm{四边形PEFG}=S△APG.以上结论正确的有（填入正确的序号即可）.三解答题(共9小题)23.如图在△ABC中AB=AC，以AB为直径作⊙O AC与⊙O交于点D BC与⊙O交于点E，过点C作CF/\/AB，且CF=CD，连接BF．(1)求证：BF是⊙O的切线；(2)若∠BAC=45∘，AD=4，求图中阴影部分的面积．24.如图AB为⊙O的直径C为⊙O上一点AD和过点C的切线互相垂直垂足为D．(1)求证：AC平分∠DAB；，求边AC及AB的长．(2)若AD=8，tan∠CAB=3425.如图P为⊙O外一点PA，PB为⊙O的切线切点分别为A，B，直线PO交⊙O于点D，E，交AB于点C．(1)求证：∠ADE=∠PAE;(2)若∠ADE=30∘，求证：AE=PE;(3)若PE=4，CD=6，求CE的长．26.如图四边形ABCD内接于⊙O∠1=∠2，延长BC到点E，使得CE=AB，连接ED．(1)求证：BD=ED；(2)若AB=4，BC=6，∠ABC=60∘，求tan∠DCB的值．27.如图AB是⊙O的直径过点A作⊙O的切线AC点P是射线AC上的动点连接OP过点B作BD//OP交⊙O于点D连接PD．(1)求证：PD是⊙O的切线.(2)当四边形POBD是平行四边形时求∠APO的度数．28.已知AB为⊙O的直径C为⊙O上一点D为BA的延长线上一点连接CD．(1)如图1若CO⊥AB∠D＝30°OA＝1求AD的长；(2)如图2若DC与⊙O相切E为OA上一点且∠ACD＝∠ACE求证：CE⊥AB．29.如图在半径为5cm的⊙O中AB是⊙O的直径CD是过⊙O上点C的直线且AD⊥DC于点DAC平分∠BAD E是BC的中点OE=3cm.(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)求AD的长.30.如图AB是⊙O的直径E C是⊙O上两点且EC⌢=BC⌢连接AE AC过点C作CD⊥AE交AE的延长线于点D．(1)判定直线CD与⊙O的位置关系并说明理由；(2)若AB=4CD=√3求图中阴影部分的面积．31.如图△ABC是⊙O的内接三角形过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点F AE是⊙O的直径连接EC(1)求证：∠ACF=∠B；(2)若AB=BC AD⊥BC于点D FC=4FA=2求AD·AE的值.答案与解析1.【答案】D【解析】如图连接BE.∵∠BEC=∠BAC=15∘∠CED=30∘∴∠BED=∠BEC+∠CED=45∘,∴∠BOD=2∠BED=90∘.2.【答案】A【解析】连接OB∵点B是AC⌢的中点∠AOC=60°∴∠AOB=12∠AOB=30°由圆周角定理得∠D=12故选：A .3.【答案】C【解析】连接OE 如图.∵∠ABC =22∘∴∠AOC =2∠ABC =44∘∴∠BOC =180∘−∠AOC =136∘.∵E 是BC ⏜的中点∴CE ⏜=BE ⏜∴∠COE =12×136∘=68∘.由圆周角定理 得∠CDE =12∠COE =12×68∘=34∘.故选C .4.【答案】C【解析】∵AB 的长是45 cm ，扇面BD 的长为30 cm .∴AD =AB −BD =15 cm∵∠BAC =120∘∴扇面的面积：S =S 扇形BAC −S 扇形DAE=120×π×452360−120×π×152360=600π(cm 2)故选C ．5.【答案】C【解析】∵AC⏜=CD⏜=DB⏜点E是点D关于AB的对称点∴BD⏜=BE⏜∴∠DOB=∠BOE=∠COD==60∘∴①正确；∠CED=∠COD==30∘=∴②正确；∵BE⏜的度数是60∘∴AE⏜的度数是120∘∴只有当M和A重合时∠MDE=60∘∵∠CED=30∘∴只有M和A重合时DM⊥CE∴③错误；做C关于AB的对称点F连接CF交AB于N连接DF交AB于M此时CM+DM的值最短等于DF长连接CD∵AC⏜=CD⏜=DB⏜=AF⏜并且弧的度数都是60∘∴∠D==60∘∠CFD==30∘∴∠FCD=180∘−60∘−30∘=90∘∴DF是⊙O的直径即DF=AB=10∴CM+DM的最小值是10∴④正确；据此可知答案为：C．本题主要考查了圆周角定理和轴对称图形的相关知识点需要掌握顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；两个完全一样的图形关于某条直线对折如果两边能够完全重合我们就说这两个图形成轴对称这条直线就对称轴才能正确解答此题．6.【答案】B【解析】依题意：△ACB≌△AOB AO=BO=3∴AC=BC=AO=BO=3∴四边形OACB是菱形∴AB⊥CO连接OC∵OC=OB=3∴OC=OB=BC=3∴△OBC是等边三角形同理：△OAC是等边三角形故∠AOB=120∘由三线合一在Rt△OBD中：∠OBD=12∠OBC=30∘OD=12OB=32BD=√3OD=32√3∵S菱形OACB =12×2BD×2OD=12×2×3√32×2×32=9√32S扇形OAB =120×π×32360=3π∴S阴影=S菱形OACB−S扇形AOB=3π−9√32.故选：B.7.【答案】A【解析】如图以点O为原点建立平面直角坐标系过点D作DH⊥BC于点H.∵AB 是直径 AB =8，∴OA =OB =4.∵AD ，BC ，CD 是⊙O 的切线∴∠DAB =∠ABH =∠DHB =90∘，DA =DE ，CE =CB ，∴四边形ABHD 是矩形∴AD =BH ，AB =DH =8，∴CH =√CD 2−DH 2=√102−82=6.设AD =DE =BH =x ，则EC =CB =x +6，∴x +x +6=10，∴x =2，∴D(2，4)，C(8，−4)，B(0，−4)，∴可得直线OC 的函数解析式为y =−12x ，直线BD 的函数解析式为y =4x −4.由{y =−12x ，y =4x −4， 解得{x =89，y =−49， ∴F(89，−49)，∴BF =√(89)2+(−49+4)2=8√179.8.【答案】C【解析】如图所示∵正方形的顶点 E,F,G,H,M,N 都在同一个圆上∴圆心O在线段EF,MN的中垂线的交点上即在Rt△ABC斜边AB的中点且AC=MC BC=CG ∴AG=AC+CG=AC+BC BM=BC+CM=BC+AC∴AG=BM又∵OG=OM OA=OB∴△AOG≅△BOM∴∠CAB=∠CBA∵∠ACB=90°∴∠CAB=∠CBA=45°∴OC=12AB∴S2=12AB·OC=12AB·12AB=14AB2∵OF2=AO2+AF2=(12AB)2+AB2=54AB2∴S1=πOF2=54AB2·πS1 S2=54AB2·π14AB2=5π.故答案为：C.9.【答案】A【解析】∵⊙O与AC相切于点D∴AC⊥OD∴∠ADO=90°∵AD=√3OD∴tanA=ODAD =√33∴∠A=30°∵BD平分∠ABC∴∠OBD=∠CBD∵OB=OD∴∠OBD=∠ODB∴∠ODB=∠CBD∴OD/\/BC∴∠C=∠ADO=90°∴∠ABC=60°BC=12AB=6AC=√3BC=6√3∴∠CBD=30°∴CD=√33BC=√33×6=2√3；故选：A．10.【答案】C【解析】过点O作OF⊥CD于点F OG⊥AB于点G连接OB OD如图所示：AB=3则DF=CF AG=BG=12∴EG=AG−AE=2在Rt△BOG中OG=√OB2−BG2=√13−9=2∴EG=OG∴△EOG是等腰直角三角形∴∠OEG=45°OE=√2OG=2√2∵∠DEB=75°∴∠OEF=30°OE=√2∴OF=12在Rt△ODF中DF=√OD2−OF2=√13−2=√11∴CD=2DF=2√11；故选：C．11.【答案】B【解析】如图连接PA，PB，PC，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥OC于点E.∵∠ACB=60∘∴∠APB=120∘.∵PA=PB，∴∠PAB=∠PBA=30∘.∵A(−5，0)，B(1，0)∴AB=6，∴AD=BD=3.∴OD=2，PD=√3，PA=PB=PC=2√3∵PD⊥AB，PE⊥OC，∠AOC=90∘∴四边形PEOD是矩形∴OE=PD=√3，PE=OD=2∴CE=√PC2−PE2=√12−4=2√2，∴OC=CE+OE=2√2+√3∴点C的纵坐标为2√2+√3.故选B.12.【答案】1213.【答案】289【解析】如图设内切圆的圆心为O连接OE OD则四边形EODC为正方形∴OE=OD=3=AC+BC−BA2∴AC+BC−AB=6∴AC+BC=AB+6∴(AC+BC)2=(AB+6)2∴BC2+AC2+2BC×AC=AB2+12AB+36而BC2+AC2=AB2∴2BC×AC=12AB+36①∵小正方形的面积为49∴(BC−AC)2=49∴BC2+AC2−2BC×AC=49②把(1)代人(2)中得AB2−12AB−85=0∴(AB−17)(AB+5)=0∴AB=17负值舍去)∴大正方形的面积为289．故答案为：289．14.【答案】85【解析】∵⊙O与△OAB的边AB相切∴OB⊥AB∴∠OBA=90∘连结OO′，如图.∵△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O′A′B∴∠A=∠A′=25∘∠ABA′=∠OBO′，BO=BO′.∵OB=OO′∴△OO′B为等边三角形∴∠OBO′=60∘∴∠ABA′=60∘∴∠OCB=∠A+∠ABC=25∘+60∘=85∘.故答案为8515.【答案】12【解析】设小正方形的边长为1.由题意可得，∠BDE=∠BAE 在Rt△BDC中，∠DBC=90∘∴tan∠BDC=BCBD =24=12∴tan∠BAE=12.故答案为1216.【答案】4或2.56【解析】考点分析：本题考查了切线的性质勾股定理垂径定理平行线分线段成比例定理.思路分析：根据切线的性质得出△ABD是直角三角形DB2=CD·AD，根据勾股定理求得AB 即可求得AE 然后分两种情况求得AP的长即可.解题过程：∵过B点的切线交AC的延长线于点D∴AB⊥BD∴AB=√AD2−BD2=√102−62=8当∠AEP=90∘时∵AE=EC∴EP经过圆心O∴AP=AO=4；当∠APE=90∘时EP/\/BD∴APAB =AEAD∵DB2=CD·AD∴CD=BD2AD =3610=3.6∴AC=10−3.6=6.4∴AE=3.2∴AP8=3.210∴AP=2.56.综上,AP的长为4或2.56.17.【答案】6.5或3√13【解析】在Rt△ACD中∵∠C=90∘AC=12,CD=5,∴AD=13.又∵BD=13,∴AD=BD,∴∠DAB=∠B.半径为6的⊙P与△ABC的一边相切,可能与AC,BC,AB相切,故分类讨论：①当⊙P与AC相切时,点P到AC的距离为6,但点P在线段AD上运动,距离最大在点D处,为5,故这种情况不存在;②当⊙P与BC相切时,点P到BC的距离为6,如图PE=6,PE⊥BC,∴PE=12AC,PE/\/AC,∴PE为△ACD的中位线,P为AD的中点,∴AP=12AD=132;③当⊙P与AB相切时,点P到AB的距离为6,即PF=6,PF⊥AB, 如图过点D作DG⊥AB于点G,∴△APF∽△ADG∽△BAC,∴PFAC =APAB.其中,PF=6,AC=12,AB=√AC2+BC2=6√13,∴AP=3√13.综上所述,AP的长为132或3√13.18.【答案】2√2 【解析】连接PA PQ AQ．有PQ2=PA2−AQ2PQ=√PA2−AQ2又AQ=1故当AP有最小值时PQ最小．过A作AP′⊥MN则有AP′最小=3此时PQ最小=√32−12=2√2．19.【答案】√22【解析】解：如图过点A作CE的垂线交EC延长线于F过E作EG⊥AB交AB于G连AE∵AC=BC∠ACB=90°∴∠CAB=45°∵CE//AB∴∠FAB=90°∴∠FAC=45°∴△AFC为等腰直角三角形设AF=x则CF=x∴AC=√AF2+CF2=√2x∴AB=√AC2+BC2=√2AC=2x ∵AE AB均为⊙的半径∴AE=2x∴EF=√AE2−AF2=√3x∴CE=(√3−1)x∵∠F=∠FAB=∠AGE=90°∴四边形FAGE为矩形∴AF=EG=x EF=AG=√3x ∴BG=AB−AG=(2−√3)x∴BE=√EG2+BG2=(√6−√2)x∴CEBE =√3−1√6−√2=√22.故答案为：√22．20.【答案】2√26【解析】如图设AD BC交于点F过C作CE⊥AD∵∠ACB=90°AD⊥BD,∴A B C D在以AB为直径的圆上,∵AC=BC∠ACB=90°,∴∠ABC =45°, ∵AC ⌢=AC ⌢,∴∠ADC =ABC =45°, ∵CD =4√2, ∴CE =ED =4, ∵AD ⊥BD,CE ⊥AD , ∴BD//CE , ∴△CEF~△BDF ,DF EF=BD CE=24=12, DFDF+EF =13,∴DF =43,EF =83,在 Rt △CEF 和 Rt △BDF 中, CF =√CE 2+EF 2=√42+(83)2=4√133, BF =√DF 2+BD 2=√(43)2+22=2√133, ∴BC =CF +BF =4√133+2√133=2√13,∵AC =BC ∠ACB =90°, ∴AB =2√26, 故答案为：2√26.21.【答案】√3+12；(1+√32)π−1−√3【解析】如图1 过点B 作BH ⊥AC 于H 点∵∠BAC ＝30°∴AH =ABcos30°=2×√32=√3 BH =ABsin30°=2×12=1∵∠BCH =45°∴△BCH 为等腰直角三角形 ∴CH =BH =1∴AC =AH +CH =A ′C =1+√3当CA ′⊥AB 时 CK 最短 而A ′C =AC 为定值 则点A ′到直线AB 的距离最大 设CA ′交AB 的延长线于K 在Rt △ACK 中CK =ACsin30°=12（1+√3）=1+√32∴A ′K =A ′C −CK =1+√3−1+√32=1+√32如图2当点P 到达点B 时 线段A ′P 扫过的面积=S 扇形A ′CA −2S △ABC =90π(1+√3)2360−2×12×（1+√3）×1 =(1+√32)π−1−√3故答案为： √3+12(1+√32)π−1−√3 .22.【答案】①②③⑤【解析】∵四边形 ABCD 是正方形 PF ⊥AP∴∠APF =∠ABC =∠ADE =∠C =90° AD =AB ∠ABD =45° ①∵∠ABC +∠APF =180∘∴由四边形内角和可得 ∠BAP +∠BFP =180∘ ∴点A B F P 四点共圆∴∠AFP=∠ABD=45°∴△APF是等腰直角三角形∴AP=PF故①正确；②把△AED绕点A顺时针旋转90°得到△ABH如图所示：∴DE=BH∠DAE=∠BAH∠HAE=90°AH=AE ∴∠HAF=∠EAF=45∘∵AF=AF∴△AEF≅△AHF（SAS）∴HF=EF∵HF=BH+BF∴DE+BF=EF故②正确；③连接AC在BP上截取BM=DP连接AM如图所示：∵点O是对角线BD的中点∴OB=OD BD⊥AC∴OP=OM△AOB是等腰直角三角形∴AB=√2AO由①可得点A B F P四点共圆∴∠APO=∠AFB∵∠ABF=∠AOP=90∘∴△AOP∽△ABF∴OPBF =OAAB=APAF=√22∴OP=√22BF∵BP−DP=BP−BM=PM=2OP ∴PB−PD=√2BF故③正确；④过点A作AN⊥EF于点N如图所示：由②可得∠AFB=∠AFN∵∠ABF=∠ANF=90°AF=AF∴△ABF≅△ANF（AAS）∴AN=AB若△AEF的面积为定值则EF为定值∵点P在线段OD上∴EF的长不可能为定值故④错误；⑤由③可得APAF =√22∵∠AFB=∠AFN=∠APG∠FAE=∠PAG ∴△APG∽△AFE∴GPEF =APAF=√22∴S△AGPS△AEF =(√22)2=12∴S△AGP=12S△AEF∴S四边形PEFG=S△APG故⑤正确；综上所述：以上结论正确的有①②③⑤；故答案为①②③⑤.23.【答案】(1)证明：如图连接BD.∵AB是⊙O的直径∴∠ADB=∠BDC=90∘.∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB.∵AB/\/CF，∴∠ABC=∠FCB，∴∠ACB=∠FCB.在△DCB和△FCB中∵CD=CF，∠DCB=∠FCB，CB=CB，∴△DCB≌△FCB(SAS)，∴∠F=∠CDB=90∘.∵AB/\/ CF，∴∠ABF+∠F=180∘，∴∠ABF=90∘，即AB⊥BF.∵AB是⊙O的直径∴BF是⊙O的切线.(2)如图连接OE交BD于点M，连接AE.∵AB是⊙O的直径∴AE⊥BC，AD⊥BD.∵∠BAC=45∘，AD=4，∴△ABD是等腰直角三角形∴BD=AD=4AB=√AD2+BD2=√42+42=4√2，∴OA=OB=2√2.∵AE⊥BC,AB=AC,∴BE=EC,∴OE是△ABC的中位线∴OE/\/AD，∴∠BOE=∠BAC=45∘，OE⊥BD，BMBD =OBAB=12，∴BM=12BD=12×4=2，∴S阴影=S扇形BOE−S△BOE=45×π×(2√2)2360−12×(2√2)×2=π−(2√2)24.【答案】(1)证明：连接OC，如图.∵CD为⊙O的切线∴OC⊥CD.∵AD⊥CD，∴OC/\/AD，∴∠DAC=∠OCA.∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠DAC=∠OAC，∴AC平分∠DAB.(2)连接BC，如图.∵∠DAC=∠OAC，∴tan∠DAC=tan∠CAB=34.在Rt△DAC中∵tan∠DAC=CDAD =34，∴CD=34×8=6，∴AC=√CD2+AD2=√62+82=10.∵AB为直径∴∠ACB=90∘，∴tan∠CAB=BCAC =34，∴BC=34×10=152，∴AB=√BC2+AC2=√(152)2+102=252．25.【答案】(1)证明：连接OA，如图.∵PA为⊙O的切线∴AO⊥PA，∴∠OAE+∠PAE=90∘．∵DE是⊙O的直径∴∠DAE=90∘，∴∠ADE+∠AED=90∘．∵OA=OE，∴∠OAE=∠AED，∴∠ADE=∠PAE.(2)证明：由(1)知∠ADE=∠PAE=30∘.∵∠DAE=90∘，∴∠AED=90∘−∠ADE=60∘．∵∠AED=∠PAE+∠APE，∴∠APE=∠PAE=30∘，∴AE=PE.(3)设CE=x，则DE=CD+CE=6+x，∴OA=OE=6+x2，∴OC=OE−CE=6−x2OP=OE+PE=14+x2．如图连接OB.在Rt△OAP和Rt△OBP中∵OA=OB，OP= OP，∴Rt△OAP≌Rt△OBP，∴PA=PB，PO平分∠APB，∴PO⊥AB．∵PA为⊙O的切线∴AO⊥PA，∴∠OAP=∠OCA=90∘.又∵∠AOC=∠POA,∴△OAC∽△OPA，∴OAOP =OCOA，∴6+x214+x2=6−x26+x2，即x2+10x−24=0，解得x=2或x=−12(不合题意舍去) ∴CE=2．26.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠BCD=180∘.∵∠BCD+∠DCE=180∘,∴∠A=∠DCE.∵∠1=∠2，∴AD⌢=DC⌢，∴AD=DC.在△ABD和△CED中AB=CE，∠A=∠DCE，AD= DC,∴△ABD≌△CED(SAS)，∴BD=ED.(2)解：如图过点D作DM⊥BE于点M.∵AB=4，BC=6，CE=AB，∴BE=BC+EC=10.∵BD=ED，DM⊥BE，∴BM=ME=12BE=5，∴CM=BC−BM=1.∵∠ABC=60∘，∠1=∠2，∴∠2=30∘，∴DM=BM·tan∠2=5×√33=5√33，∴tan∠DCB=DMCM=5√33．27.【答案】(1)证明：如图①连接OD则OD=OA=OB∵AC是⊙O的切线∴∠A=90∘∵BD//OP.∴∠AOP=∠B∠DOP=∠ODB.又∵OD=OB∴∠B=∠ODB∴∠AOP=∠DOP.在△PAO和△PDO中{OA=OD，∠AOP=∠DOP，OP=OP，∴△PAO≌△PDO(SAS).∴∠PDO=∠A=90∘.∴PD是⊙O的切线．(2)如图②连接OD.∵四边形POBD是平行四边形∴PD=OB PD//OB∵OB=OA∴PD=OA.∴四边形PAOD是平行四边形.又∵OD=OA∴四边形PAOD是菱形.∵∠A= 90∘∴四边形PAOD是正方形∴∠APO=45∘．【解析】(1)连接OD证明△PAO≌△PDO即可；(2)证明四边形PAOD是正方形即可求解.28.【答案】(1)解：∵OA=1=OC CO⊥AB∠D=30°∴CD=2OC=2∴OD=√CD2−OC2=√22−12=√3∴AD=OD−OA=√3−1.(2)证明：∵DC与⊙O相切∴OC⊥CD即∠ACD+∠OCA=90°∵OC=OA∴∠OCA=∠OAC∵∠ACD=∠ACE∴∠OAC+∠ACE=90°∴∠AEC=90°∴CE⊥AB.【解析】(1)根据直角三角形的性质（在直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半）及勾股定理可求出OD进而求出AD的长；(2)根据切线的性质可得OC⊥CD根据同一个圆的半径相等及等腰三角形的性质可得∠OCA=∠OAC由各个角之间的关系以及等量代换可得答案．29.【答案】(1)证明：如图连接OC∵OA=OC∴∠OAC=∠OCA，∵AC平分∠DAO，∴∠DAC=∠OAC，∴∠DAC=∠OCA，∴AD//OC∵AD⊥DC，∴OC⊥DC又∵OC是⊙O的半径∴CD是⊙O的切线(2)解：如图连接BC，OE，∵E是BC的中点OE=3cm∴AC=6cm∵AB是⊙O的直径，AD⊥DC，半径OA=5cm∴∠ADC＝∠ACB＝90°，AB=10cm又∵∠DAC=∠CAB，∴△ADC∽△ACB，则ADAC =ACAB∴AD=AC2AB=6210=185(cm).【解析】(1)连接OC利用等腰三角形的性质和角平分线的定义可证得∠DAC＝∠OCA利用平行线的判定定理可证得AD//OC由AD⊥CD可推出OC⊥CD利用切线的判定定理可证得结论.(2)连接BC OE利用垂径定理和三角形的中位线定理可求出AC的长；再利用圆周角定理可证得∠ADC=∠ACB=90°利用相似三角形的判定和性质可求出AD的长.30.【答案】(1)解：直线DC与⊙O相切．理由如下：连接OC如图∵EC⌢=BC⌢∴∠EAC＝∠OAC∵OA＝OC∴∠ACO＝∠OAC∴∠ACO＝∠DAC∴OC∥AD∵CD⊥AE∴OC⊥CD ∴DC是⊙O的切线；(2)连接OC OE CB过C作CH⊥AB于H∵CH⊥AB CD⊥AE∴∠ADC=∠AHC∵∠EAC＝∠OAC AC=AC∴△ADC≌△AHC∴CH=CD=√3AH=AD∵∠CAH+∠ACH=∠BCH+∠ACH=90°∴∠CAH=∠BCH又∵∠CHA=∠BHC∴△CAH∽△BCH∴CH BH =AHCH∴√34−AH=AH√3∴AH=3或1（舍去1）∴BH=1∴S△ACH=12×3×√3=3√32在Rt△CHB中BH=1HC=√3∴∠BCH=30°=∠CAB∴∠COB=∠EOC=60°∴S阴影=S梯形OCDE−S扇形OCE=S△ACD−S扇形OCE =S△ACH−S扇形OCE=3√32−60×22π360=3√32−23π.【解析】(1)连接OC如图由圆周角的的定理推论得到∠EAC＝∠OAC加上∠ACO＝∠OAC则∠ACO＝∠DAC于是可判断OC∥AD则根据平行线的性质得到OC⊥CD然后根据直线与圆的位置关系的判定方法可判断DC是⊙O的切线；(2)连接OE BC作CH⊥AB于H如图先利用角平分线的性质得到CH＝CD＝√3求出△ACH的面积再根据三角形全等的判定和性质得出△ADC的面积=△ACHD的面积再利用S阴影=S梯形OCDE −S扇形OCE=S△ACD−S扇形OCE=S△ACH−S扇形OCE即可得出答案．31.【答案】(1)证明：连接OC.∵FC是⊙O的切线AE是⊙O的直径∴∠OCF=∠ACE=90°∴∠ACF+∠ACO=∠ECO+∠ACO=90°,∴∠ACF=∠ECO,又∵OE=OC,∴∠OEC=∠ECO,根据圆周角定理可得：∠OEC=∠B∴∠B=∠ECO∴∠ACF=∠B.(2)解：由(1)可知∠ACF=∠B∵∠AFC=∠CFB∴△AFC~△CFB∴FCFB =FAFC∴FB=FC2FA∵FC=4FA=2∴FB=FC2FA =422=8∴AB=FB−AF=8−2=6∴AB=BC=6又∵△AFC~△CFB中CABC =FAFC∴CA=FA·BCFC=2×64=3如图所示连接BE∵∠ACD=∠AEB∠ADC=∠ABE=90∘∴△ACD~△AEB∴ADAB =ACAE∴AD·AE=AB·AC=6×3=18.【解析】(1)连接OC，利用切线的性质和圆周角定理可证得∠OCF=∠ACE=90°，利用余角的性质可证∠ACF=∠ECO，利用等腰三角形的性质及圆周角定理，可证得结论.(2)利用有两组对应角相等的两三角形相似可证得△AFC∽△CFB，利用相似三角形的性质可求出FB 的长，从而求出AB的长，即可得到BC的长；连接BE，利用有两组对应角相等的两三角形相似，可证得△ACD∽△AEB，利用相似三角形的性质可求出AD·AE的值.第31 页共31 页。

中考数学专题突破(圆的综合题)测试题(含答案)（一）1．如图1，在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝3，AC ＝5，以AB 为直径作⊙O ，交AC 于点D ，连接OD 并延长，交BC 的延长线于点F ，过点F 作EF ⊥BF ，交BD 的延长线于点E ，过点D 作DG ⊥BF 于点G.图1(1)求证：BF 是⊙O 的切线； (2)求EF 的长； (3)求证：1OB ＋1EF ＝1DG.中考数学专题突破(圆的综合题)测试题参考答案（一）1．(1)证明：∵AB 2＋BC 2＝42＋32＝25，AC 2＝52＝25， ∴AB 2＋BC 2＝AC 2.∴△ABC 是直角三角形，∠ABC ＝90°. ∵AB 是⊙O 的直径，∴BF 是⊙O 的切线． (2)∵∠ABC ＝90°，∴∠ABD ＋∠EBF ＝90°.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°.∴∠A ＋∠ABD ＝90°. ∴∠A ＝∠EBF.∵EF ⊥BF ，∴∠EFB ＝90°. ∴sin ∠EBF ＝EF BE ＝sin A ＝BC AC ＝35.设EF ＝3m ，则BE ＝5m.∵S △ABC ＝12AB ·BC ＝12AC ·BD ，∴12×4×3＝12×5×BD.解得BD ＝125.∴DE ＝BE －BD ＝5m －125.∵OB ⊥BF ，EF ⊥BF ，∴OB ∥EF. ∴△OBD ∽△FED.∴OB FE ＝BD ED ，即 23m ＝1255m －125.解得m ＝127. ∴EF ＝3×127＝367.(3)证明：∵DG ⊥BF ，OB ⊥BF ，EF ⊥BF ，∴OB ∥DG ∥EF. ∴△DGF ∽△OBF ，△DGB ∽△EFB.∴GF BF ＝DG OB ，BG BF ＝DGEF .∴DG OB ＋DG EF ＝GF BF ＋BG BF ＝GF ＋BG BF ＝BF BF ＝1. ∴1OB ＋1EF ＝1DG. 中考数学专题突破(圆的综合题)测试题(含答案)（二）1．如图1，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB 是⊙O 的直径，AD 平分∠BAC 交BC 于点F ，交⊙O 于点D ，连接BD ，BE 与⊙O 相切于点B ，交AC 的延长线于点E.(1)求证：∠ABD ＝∠DBE ＋∠E ；图1(2)若 AC ︵ ＝BC ︵，求证：AF ＝2BD ； (3)若BD ＝2，DF ＝1，求⊙O 的半径．中考数学专题突破(圆的综合题)测试题参考答案（二）1．(1)证明：如图1，延长BD 交AE 于点G.图1∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°. ∴∠ADG ＝∠ADB ＝90°.∵AD 平分∠BAC ，∴∠GAD ＝∠BAD. ∵AD ＝AD ，∴△ADG ≌△ADB(ASA)． ∴∠ABD ＝∠AGD. ∵∠AGD ＝∠DBE ＋∠E ， ∴∠ABD ＝∠DBE ＋∠E.(2)证明：∵AC ︵ ＝BC ︵，∴AC ＝BC.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.∴∠ACF ＝∠BCG ＝90°. ∵∠CAD ＝∠CBG ，∴△ACF ≌△BCG(ASA)．∴AF ＝BG. 由(1)得△ADG ≌△ADB ，∴GD ＝BD.∴AF ＝2BD. (3)在Rt △BDF 中，∠BDF ＝90°，BD ＝2，DF ＝1， ∴BF ＝BD 2＋DF 2＝ 5.∵AD 平分∠BAC ，∴∠CAD ＝∠DAB.∵∠CAD ＝∠DBF ，∴∠DBF ＝∠DAB.∴△DBF ∽△DAB. ∴BF AB ＝DF DB ，即 5AB ＝12. ∴AB ＝2 5.∴⊙O 的半径为 5.中考数学专题突破(圆的综合题)测试题(含答案)（三）1．如图1，△ABC 是⊙O 的内接三角形，直径AB 垂直于弦CG ，垂足为点H ，过点C 作ED ⊥CG ，交⊙O 于点E ，且∠CBD ＝∠A ，连接BE ，交CG 于点F.图1(1)判断BD 与⊙O 的位置关系； (2)求证：BC 2＝BF ·BE ；(3)若CG ＝8，AB ＝10，求sin E 的值．中考数学专题突破(圆的综合题)测试题参考答案（三）1．(1)BD 与⊙O 相切．理由如下：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.∴∠A ＋∠CBA ＝90°. ∵∠CBD ＝∠A ，∴∠CBA ＋∠CBD ＝90°，即∠ABD ＝90°. ∴AB ⊥BD.∵OB 是⊙O 的半径，∴BD 与⊙O 相切．(2)证明：∵AB ⊥CG ，∴BG ︵ ＝BC ︵.∴∠BCG ＝∠E. 又∠CBF ＝∠EBC ，∴△CBF ∽△EBC.图1∴BC BE ＝BF BC .∴BC 2＝BF ·BE. (3)如图1，连接OC. ∵AB ＝10，CG ＝8，AB ⊥CG ， ∴CH ＝12CG ＝4，OB ＝OC ＝12AB ＝5.在Rt △OCH 中，由勾股定理，得OH ＝OC 2－CH 2＝3. ∴BH ＝OB －OH ＝2.在Rt △BCH 中，由勾股定理，得BC ＝CH 2＋BH 2＝42＋22＝2 5. 由(2)得∠E ＝∠BCG ，∴sin E ＝sin ∠BCG ＝BH BC ＝225＝55.中考数学专题突破(圆的综合题)测试题(含答案)（四）1．如图1，△ABE 是⊙O 的内接三角形，AB 是⊙O 的直径，AB ⊥BC ，AD ∥BC ，DC 与⊙O 相切于点E ，连接OD ，OC ，分别交AE ，BE 于点F ，G.图1(1)求证：AD 是⊙O 的切线；(2)试说明四边形EFOG 的形状，并说明理由； (3)若AD ＝1，BC ＝4，求⊙O 的半径．中考数学专题突破(圆的综合题)测试题参考答案（四）1．(1)证明：∵AB ⊥BC ，∴∠ABC ＝90°. ∵AD ∥BC ，∴∠DAB ＋∠ABC ＝180°. ∴∠DAB ＝90°.∴AD ⊥AB.∵OA 是⊙O 的半径，∴AD 是⊙O 的切线． (2)四边形EFOG 是矩形．理由如下： 如图1，连接EO.图1∵AD，DC为⊙O的切线，∴AD＝DE.∵OE＝OA，∴DO垂直平分AE.∴∠EFO＝90°.同理可证∠EGO＝90°.∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°.∴四边形EFOG是矩形．(3)由(2)可知CE＝BC＝4，DE＝AD＝1.∵DC是⊙O的切线，∴OE⊥DE.∴∠DEO＝∠OEC＝90°. ∵四边形EFOG是矩形，∴∠DOC＝90°.∴∠DOE＋∠COE＝90°.∵∠COE＋∠OCE＝90°，∴∠DOE＝∠OCE.∴△DEO∽△OEC.∴DEOE＝EOEC，即EO2＝DE·EC＝1×4＝4.∴EO＝2.∴⊙O的半径为2.中考数学专题突破(圆的综合题)测试题(含答案)（五）1．如图1，点A，B是⊙O上的两点，连接OA，OB，PB是⊙O的切线，过半径OA的中点C的直线DC与⊙O交于点D，与弦AB交于点E，与切线PB交于点P，且PE＝PB．图1(1)求证：PC⊥AO；(2)连接AD，若∠OBA＝30°，OB＝43，求△ADE的面积；(3)在(2)的条件下，求线段PD的长．中考数学专题突破(圆的综合题)测试题参考答案（五）1．(1)证明：∵PB是⊙O的切线，∴∠OBP＝90°，即∠OBA ＋∠ABP ＝90°. ∵OA ＝OB ，∴∠OBA ＝∠OAB. ∵PB ＝PE ，∴∠ABP ＝∠PEB.又∠PEB ＝∠AEC ，∴∠OAB ＋∠AEC ＝90°.∴∠ACE ＝90°. ∴PC ⊥AO.图1(2)如图1，连接OD.∵点C 为AO 的中点，PC ⊥AO ， ∴PC 垂直平分OA.∴OD ＝AD. ∵OA ＝OD ，∴OA ＝OD ＝AD. ∴△AOD 是等边三角形．∴∠ADO ＝∠OAD ＝60°，AD ＝OA ＝OB ＝4 3. ∴∠ADE ＝12∠ADO ＝30°.又∠OBA ＝30°，OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠OBA ＝30°. ∴∠DAE ＝∠OAB ＋∠OAD ＝90°. ∴AE ＝AD ·tan ∠ADE ＝43×33＝4. ∴S △ADE ＝12AE ·AD ＝12×4×43＝8 3.(3)∵∠OAB ＝∠OBA ＝30°，∴∠AOB ＝120°. 由(2)得△ADO 是等边三角形，∴∠DOA ＝60°. ∴∠DOA ＋∠AOB ＝180°.∴D ，O ，B 三点共线． ∵OB ＝43，∴BD ＝2OB ＝8 3. 在Rt △DBP 中，∠PDB ＝30°，∴PD ＝BD cos ∠PDB ＝8332＝16.。