2019届高考数学一轮第三篇 第4节 三角函数的图象与性质

3．3 三角函数的图象与性质[知识梳理]1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sinx ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)．余弦函数y ＝cosx ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)．2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质[诊断自测] 1．概念思辨(1)y ＝tanx 在整个定义域上是增函数．( )(2)函数f(x)＝sin(－2x)与f(x)＝sin2x 的单调增区间都是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z)．( ) (3)由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2π3＝sin π6知，2π3是正弦函数y ＝sinx(x ∈R)的一个周期．( )(4)若非零实数T 是函数f(x)的周期，则kT(k 是非零整数)也是函数f(x)的周期．( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ 2．教材衍化(1)(必修A4P 46T 2)函数f(x)＝(1＋3tanx)cosx 的最小正周期、最大值为( ) A ．2π，2 B.3π2， 3 C ．π，2 D.π2， 3答案 A解析 f(x)＝(1＋3tanx)cosx ＝cosx ＋3sinx cosx ·cosx＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，则T ＝2π.最大值为2.故选A.(2)(必修A4P 40T 4)已知函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2(x ∈R)，下列结论错误的是( )A ．函数f(x)是偶函数B ．函数f(x)的最小正周期为πC ．函数f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数D ．函数f(x)的图象关于直线x ＝π4对称答案 D解析 f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－cos2x ，此函数为最小正周期为π的偶函数，所以A ，B 正确．由函数y ＝cosx 的单调性知C 正确．函数图象的对称轴方程为x ＝k π2(k ∈Z)，显然，无论k 取任何整数，x ≠π4，所以D 错误．故选D.3．小题热身(1)函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )A ．－1B ．－22 C.22D ．0 答案 B解析 由已知x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，故函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为－22.故选B.(2)函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3的单调递增区间是________，最小正周期是________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫2k π－5π3，2k π＋π3(k ∈Z) 2π 解析 由k π－π2<x 2＋π3<k π＋π2，k ∈Z ，得2k π－5π3<x<2k π＋π3，k ∈Z.周期T ＝π12＝2π.题型1 三角函数的定义域和值域 典例1函数f(x)＝64－x 2＋log 2(2sinx －1)的定义域是________．本题采用数形结合．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π6，－7π6∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13π6，8 解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧64－x 2≥0，①2sinx －1>0，②由①得－8≤x ≤8，由②得sinx>12，由正弦曲线得π6＋2k π<x<5π6＋2k π(k ∈Z)．所以不等式组的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π6，－7π6∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13π6，8.典例2 是否存在实数a ，使得函数y ＝sin 2x ＋acosx ＋58a －32在 闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值是1？若存在，求出对应的a 值；若不存在，试说明理由．用转化法将问题化为二次函数型，然后分类讨论．解 y ＝1－cos 2x ＋acosx ＋58a －32＝－⎝⎛⎭⎪⎫cosx －a 22＋a 24＋58a －12.当0≤x ≤π2时，0≤cosx ≤1.若a 2>1，即a>2，则当cosx ＝1时，y max ＝a ＋58a －32＝1⇒a ＝2013<2(舍去)，若0≤a 2≤1，即0≤a ≤2，则当cosx ＝a 2时，y max ＝a 24＋58a －12＝1⇒a ＝32或a ＝－4<0(舍去)．若a 2<0，即a<0，则当cosx ＝0时，y max ＝58a －12＝1⇒a ＝125>0(舍去) 综合上述，存在a ＝32符合题设．方法技巧1．三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．见典例1.2．三角函数值域的不同求法(1)形如y ＝asinx ＋bcosx ＋k 的三角函数化为y ＝Asin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求值域(最值)． (2)形如y ＝asin 2x ＋bsinx ＋k 的三角函数，可先设sinx ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．见典例2.(3)形如y ＝asinxcosx ＋b(sinx±cosx)＋c 的三角函数，可先设t ＝sinx±cosx，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．冲关针对训练1．(2017·郑州模拟)已知函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，若f(x)的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π解析 由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，知x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，a ＋π6.∵x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2时，f(x)的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，∴由函数的图象知π2≤a ＋π6≤7π6，所以π3≤a ≤π.2．已知3sin 2α＋2sin 2β＝2sin α，求y ＝sin 2α＋sin 2β的取值范围． 解 ∵3sin 2α＋2sin 2β＝2sin α， ∴sin 2β＝－32sin 2α＋sin α，∵0≤sin 2β≤1，∴⎩⎪⎨⎪⎧－32sin 2α＋sin α≥0，－32sin 2α＋sin α≤1，解得0≤sin α≤23，∵y ＝sin 2α＋sin 2β＝－12sin 2α＋sin α＝－12(sin α－1)2＋12，0≤sin α≤23，∴sin α＝0时，y min ＝0；sin α＝23时，y max ＝49，∴0≤sin 2α＋sin 2β≤49.题型2 三角函数的单调性典例1 (2017·长沙一模)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－12x ，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，5π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π，－π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π3，2πD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π，－π3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π3，2π本题用子集法．答案 D解析 依题意得y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3，当2k π＋π2≤12x －π3≤2k π＋3π2(k ∈Z)，即4k π＋5π3≤x ≤4k π＋11π3(k ∈Z)时，函数y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3是单调递增函数．又x ∈[－2π，2π]，因此函数y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π，－π3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π3，2π.选D.典例2 已知ω>0，函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则实数ω的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D ．(0,2]子集反推法．答案 A解析 由π2<x<π，得ωπ2＋π4<ωx ＋π4<ωπ＋π4.又y ＝sin α在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2上递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧ωπ2＋π4≥π2，ωπ＋π4≤3π2，解得12≤ω≤54.故选A.方法技巧1．求三角函数单调区间的方法(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用复合函数的单调性列不等式求解．(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间．(3)子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解．见典例1.2．已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的方法(1)反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解．见典例2.(2)周期法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过14周期列不等式(组)求解．提醒：要注意求函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的单调区间时ω的符号，若ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数．同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域．冲关针对训练1．(2017·济宁检测)下列函数中，周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2答案 A解析 对于选项A ，注意到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos2x 的周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上是减函数．故选A.2．(2017·莆田一模)已知函数f(x)＝3sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2<φ<π2，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0为f(x)图象的对称中心，B ，C 是该图象上相邻的最高点和最低点，若BC ＝4，则f(x)的单调递增区间是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫2k －23，2k ＋43，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－2π3，2k π＋4π3，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎪⎫4k －23，4k ＋43，k ∈Z D.⎝ ⎛⎭⎪⎫4k π－2π3，4k π＋4π3，k ∈Z答案 C解析 函数f(x)＝3sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2<φ<π2，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0为f(x)图象的对称中心，B ，C 是该图象上相邻的最高点和最低点，∵BC ＝4，∴(23)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫T 22＝42，即12＋π2ω2＝16，求得ω＝π2.再根据π2·13＋φ＝k π，k ∈Z ，可得φ＝－π6，∴f(x)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －π6.令2k π－π2≤π2x －π6≤2k π＋π2，求得4k －23≤x ≤4k ＋43，故f(x)的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －23，4k ＋43，k ∈Z.故选C.题型3 三角函数的奇偶性及对称性典例1 (2018·江西模拟)已知函数f(x)＝Acos(ωx ＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG 是边长为2的等边三角形，则f(1)的值为( )A ．－32 B ．－62C. 3 D ．－ 3数形结合思想．答案 D解析 ∵f(x)＝Acos(ωx ＋φ)为奇函数， ∴f(0)＝Acos φ＝0 ∵0<φ<π，∴φ＝π2，∴f(x)＝Acos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π2＝－Asin ωx. ∵△EFG 是边长为2的等边三角形，则y E ＝3＝A ， 又∵函数的周期T ＝2FG ＝4，根据周期公式可得，ω＝2π4＝π2. ∴f(x)＝－Asin π2x ＝－3sin π2x ，则f(1)＝－ 3.故选D.典例2 (2018·江南十校联考)已知函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为4π，且对∀x ∈R ，有f(x)≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3恒成立，则f(x)图象的一个对称中心是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0C.⎝⎛⎭⎪⎫2π3，0D.⎝⎛⎭⎪⎫5π3，0应用公式法．答案 A解析 由f(x)＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝12.因为f(x)≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3恒成立，所以f(x)max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，即12×π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)．由|φ|<π2，得φ＝π3，故f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3.令12x ＋π3＝k π(k ∈Z)，得x ＝2k π－2π3(k ∈Z)， 故f(x)图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－2π3，0(k ∈Z)．当k ＝0时，f(x)图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0.故选A.方法技巧1．若f(x)＝Asin(ωx ＋φ)为偶函数，则φ＝k π＋π2(k ∈Z)，同时当x ＝0时，f(x)取得最大或最小值．若f(x)＝Asin(ωx ＋φ)为奇函数，则φ＝k π(k ∈Z)，同时当x ＝0时，f(x)＝0.见典例1.2．解决对称性问题的关键：熟练掌握三角函数的对称轴、对称中心．对于函数y ＝Asin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x 0)的值进行判断．见典例2.冲关针对训练1．(2017·揭阳模拟)当x ＝π4时，函数f(x)＝sin(x ＋φ)取得最小值，则函数y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－x ( ) A ．是奇函数且图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称 B ．是偶函数且图象关于点(π，0)对称 C ．是奇函数且图象关于直线x ＝π2对称D ．是偶函数且图象关于直线x ＝π对称 答案 C解析 ∵当x ＝π4时，函数f(x)取得最小值，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝－1，∴φ＝2k π－3π4(k ∈Z)， ∴f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2k π－3π4＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －3π4，∴y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－x ＝sin(－x)＝－sinx ，∴y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－x 是奇函数，且图象关于直线x ＝π2对称．故选C.2．(2018·南阳期末)已知函数f(x)＝1－cos 2x ，试讨论该函数的奇偶性、周期性以及在区间[0，π]上的单调性．解 因为y ＝1－cos 2x ＝sin 2x ＝|sinx|＝⎩⎪⎨⎪⎧sinx ，2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z ，－sinx ，2k π＋π<x ≤2k π＋2π，k ∈Z ，所以作函数的图象如下：所以，该函数是偶函数，周期为π.在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2上是增函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上是减函数，在区间[0，π]上不是单调函数．1．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( )A ．f(x)的一个周期为－2πB ．y ＝f(x)的图象关于直线x ＝8π3对称C ．f(x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减 答案 D解析 因为f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的周期为2k π(k ∈Z)，所以f(x)的一个周期为－2π，A 项正确．因为f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3图象的对称轴为直线x ＝k π－π3(k ∈Z)，所以y ＝f(x)的图象关于直线x ＝8π3对称，B项正确．f(x ＋π)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4π3.令x ＋4π3＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π－56π，当k ＝1时，x ＝π6，所以f(x ＋π)的一个零点为x ＝π6，C 项正确．因为f(x)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3(k∈Z)，递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3(k ∈Z)，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π3是减区间，⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π是增区间，D 项错误．故选D.2．(2018·舟山模拟)若函数f(x)＝3sin(2x ＋θ)(0<θ<π)是偶函数，则f(x)在[0，π]上的递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，π答案 B解析 ∵函数f(x)＝3sin(2x ＋θ)(0<θ<π)是偶函数，∴θ＝π2，f(x)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝3cos2x ，令2k π－π≤2x ≤2k π，求得k π－π2≤x ≤k π，可得函数f(x)的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π(k ∈Z)．则f(x)在[0，π]上的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π.故选B.3．(2014·北京高考)设函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f(x)的最小正周期为________．答案 π解析 记f(x)的最小正周期为T. 由题意知T 2≥π2－π6＝π3，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，且2π3－π2＝π6.可作出示意图如图所示， ∴x 1＝⎝⎛⎭⎪⎫π2＋π6×12＝π3，x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2π3×12＝7π12，∴T 4＝x 2－x 1＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π. 4．(2017·赣榆区期中)已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A>0，ω>0，φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2的图象在y 轴上的截距为1，在相邻两个最值点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－32，2和(x 0，－2)上(x 0>0)，函数f(x)分别取最大值和最小值．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若f(x)＝k ＋12在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32内有两个不同的零点，求k 的取值范围；(3)求函数f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤134，234上的对称轴方程．解 (1)A ＝2，T 2＝x 0－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－32＝32⇒T ＝3⇒ω＝2π3， ∴f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3x ＋φ， 代入(0,1)点，2sin φ＝1，∵φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴φ＝π6，∴f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3x ＋π6.(2)x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32⇒2π3x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6⇒1≤k ＋12<2⇒1≤k<3.(3)2π3x ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ⇒x ＝12＋32k ，k ∈Z ⇒函数f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤134，234上的对称轴方程为x ＝72，x ＝5.[基础送分提速狂刷练]一、选择题1．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0成中心对称，那么|φ|的最小值为( )A.π6 B.π4 C.π3 D.π2答案 A解析 依题意得3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π3＋φ＝0，8π3＋φ＝k π＋π2，φ＝k π－136π(k ∈Z)，因此|φ|的最小值是π6.故选A. 2．(2017·长沙模拟)已知函数y ＝sin ωx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3上是增函数，则实数ω的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，0 B ．[－3,0) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 D ．(0,3]答案 C解析 由于y ＝sinx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数，为保证y ＝sin ωx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3上是增函数，所以ω>0， 且π3ω≤π2，则0<ω≤32.故选C. 3．(2017·成都调研)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3 答案 A解析 因为0≤x ≤9，所以－π3≤π6x －π3≤7π6，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.所以y ∈[－3，2]，所以y max ＋y min ＝2－ 3.选A.4．设函数f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π4⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且是偶函数，则( )A ．f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内单调递减B ．f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4内单调递减C ．f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内单调递增D ．f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4内单调递增 答案 A解析 由条件，知ω＝2.因为f(x)是偶函数，且|φ|<π2，所以φ＝π4，这时f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos2x. 因为当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，2x ∈(0，π)，所以f(x)在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2内单调递减．故选A.5．将函数y ＝sinx 的图象向左平移π2个单位，得到函数y ＝f(x)的图象，则下列说法正确的是( )A ．y ＝f(x)是奇函数B ．y ＝f(x)的周期为πC ．y ＝f(x)的图象关于直线x ＝π2对称D ．y ＝f(x)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0对称 答案 D解析 由题意知，f(x)＝cosx ，所以它是偶函数，A 错误；它的周期为2π，B 错误；它的对称轴是直线x ＝k π，k ∈Z ，C 错误；它的对称中心是点⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0，k ∈Z ，D 正确．故选D.6．(2017·广州综合测试)已知函数f(x)＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2的图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，0，则函数f(x)的单调递减区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－3π8，2k π＋π8(k ∈Z)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π8，2k π＋5π8(k ∈Z) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z) 答案 D解析 由题意得f ⎝⎛⎭⎪⎫3π8＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×3π8＋φ＝0，则2×3π8＋φ＝k π，k ∈Z ，解得φ＝－3π4＋k π，k ∈Z ，又因为0<φ<π2，所以φ＝π4，则f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则由π2＋2k π≤2x ＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ，所以函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z.故选D.7．已知函数y ＝sin πx3在区间[0，t]上至少取得2次最大值，则正整数t 的最小值是( )A ．6B ．7C ．8D ．9 答案 C解析 由y ＝sin πx 3可得T ＝6，则由图象可知5T 4≤t ，即152≤t ，∴t min ＝8.故选C.8．将函数f(x)＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象向左平移π6个单位长度后关于原点对称，则函数f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )A ．－32 B ．－12 C.12 D.32答案 A解析 将f(x)＝sin(2x ＋φ)的图象左移π6个单位长度得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ的图象，该图象关于原点对称，即为奇函数，则π3＋φ＝k π(k ∈Z)，且|φ|<π2，所以φ＝－π3，即f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，所以当2x －π3＝－π3，即x ＝0时，f(x)取得最小值，最小值为－32.选A. 9．若函数f(x)＝Msin(ωx ＋φ)(ω>0)在区间[a ，b]上是增函数，且f(a)＝－M ，f(b)＝M ，则函数g(x)＝Mcos(ωx ＋φ)在[a ，b]上( )A ．是增函数B ．是减函数C ．可以取得最大值MD ．可以取得最小值－M答案 C解析 T ＝2πω，g(x)＝Mcos(ωx ＋φ)＝Msin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π2＝Msin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2ω＋φ，∴g(x)的图象是由f(x)的图象向左平移π2ω⎝ ⎛⎭⎪⎫即T 4得到的．由b －a ＝T 2，可知，g(x)的图象由f(x)的图象向左平移b －a2得到的．∴得到g(x)图象如图所示．选C.10．(2018·新疆质检)已知函数f(x)＝|sinx|cosx ，给出下列五个结论： ①f ⎝⎛⎭⎪⎫2018π3＝－34； ②若|f(x 1)|＝|f(x 2)|，则x 1＝x 2＋k π(k ∈Z)；③f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上单调递增； ④函数f(x)的周期为π； ⑤f(x)的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫π2，0成中心对称．其中正确的结论是( )A ．①⑤B ．①②⑤C ．②④D ．②⑤ 答案 A 解析 ①f ⎝⎛⎭⎪⎫2018π3＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin 2018π3cos 2018π3＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－34，∴①正确； ②若|f(x 1)|＝|f(x 2)|，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪12sin2x 1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12sin2x 2，当x 1＝0，x 2＝π2时也成立，∴②不正确；③∵当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f(x)＝|sinx|cosx ＝⎩⎪⎨⎪⎧－12sin2x ，－π4≤x<0，12sin2x ，0≤x ≤π4，∴f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上不是单调函数，∴③不正确； ④∵f(x ＋π)≠f(x)，∴函数f(x)的周期不是π，∴④不正确； ⑤∵f(x)＝|sinx|cosx＝⎩⎪⎨⎪⎧－12sin2x ，－π＋2k π<x<2k π，12sin2x ，2k π≤x<π＋2k π，k ∈Z ，∴结合图象可知f(x)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0成中心对称，∴⑤正确．故选A.二、填空题11．设函数f(x)＝sin(x ＋φ)(0<φ<π)，若函数f(x)＋f ′(x)是奇函数，则φ＝________. 答案3π4解析 由题意得f(x)＝sin(x ＋φ)＝sinxcos φ＋cosxsin φ，f ′(x)＝cos(x ＋φ)，f(x)＋f ′(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋φ＋π4是奇函数，因此φ＋π4＝k π(其中k ∈Z)，φ＝k π－π4.又0<φ<π，所以φ＝3π4. 12．将函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫π2<φ<π的图象，仅向右平移4π3，或仅向左平移2π3，所得到的函数图象均关于原点对称，则ω＝________.答案 12解析 注意到函数的两条相邻对称轴之间的距离是函数周期的一半，即有T 2＝4π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＝2π，T＝4π，即2πω＝4π，ω＝12.13．(2017·绵阳模拟)已知函数f(x)＝4cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，A(a,0)，B(b,0)是其图象上两点，若|a －b|的最小值是1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝________.答案 －2解析 ∵函数f(x)＝4cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数， ∴φ＝π2，f(x)＝－4sin ωx.A(a,0)，B(b,0)是其图象上两点，若|a －b|的最小值是1， 则12·2πω＝1，∴ω＝π，f(x)＝－4sin πx ， 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝－4sin π6＝－2.14．设函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2的最小正周期为π，且其图象关于直线x ＝π12对称，则在下面四个结论中：①图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称；②图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称； ③在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上是增函数； ④在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，0上是增函数． 所有正确结论的编号为________． 答案 ②④解析 ∵y ＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为π，∴ω＝2ππ＝2.又其图象关于直线x ＝π12对称，得π6＋φ＝π2＋k π(k ∈Z)．令k ＝0，得φ＝π3.∴y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.当x ＝π3时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝0，∴函数图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称．所以②正确．解不等式－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π(k ∈Z)，所以④正确．三、解答题15．已知函数f(x)＝2sinx ＋1.(1)设ω为大于0的常数，若f(ωx)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3上单调递增，求实数ω的取值范围；解16．(2017·洛阳校级月考)已知函数f (x)＝sin 2x ＋acosx ＋a ，a ∈R. (1)当a ＝1时，求函数f(x)的最大值；(2)如果对于区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的任意一个x ，都有f(x)≤1成立，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，f(x)＝－cos 2x ＋cosx ＋2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cosx －122＋94，∵cosx ∈[－1,1]，∴当cosx ＝12，即x ＝2k π±π3(k ∈Z)时，f(x)max ＝94.(2)依题意sin 2x ＋acosx ＋a ≤1，即sin 2x ＋a(cosx ＋1)≤1对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2恒成立． 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，0≤cosx ≤1， 则1≤cosx ＋1≤2，∴a ≤cos 2x cosx ＋1对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2恒成立． 令t ＝cosx ＋1，则1≤t ≤2，∴a ≤(t －1)2t ＝t 2－2t ＋1t ＝t ＋1t －2对任意1≤t ≤2恒成立，于是a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t －2min . 又∵t ＋1t －2≥0，当且仅当t ＝1，即x ＝π2时取等号， ∴a ≤0.。

第一讲三角函数的图象与性质函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象与变换授课提示：对应学生用书第19页[悟通——方法结论]函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象(1)“五点法”作图：设z＝ωx＋φ，令z＝0，π2，π，3π2，2π，求出x的值与相应的y的值，描点、连线可得．(2)图象变换：y＝sin x――→向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位y＝sin(x＋φ)――→纵坐标变为原来的A(A>0)倍横坐标不变y＝A sin(ωx＋φ)．[全练——快速解答]1．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin⎝⎛⎭⎫2x＋2π3，则下面结论正确的是( )A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2解析：易知C 1：y ＝cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，把曲线C 1上的各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2的图象，再把所得函数的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋π2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3的图象，即曲线C 2，故选D. 答案：D2．(2018·南昌模拟)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6的图象可以由函数y ＝cos x2的图象( ) A ．向右平移π3个单位长度得到B ．向右平移2π3个单位长度得到C ．向左平移π3个单位长度得到D ．向左平移2π3个单位长度得到解析：由y ＝cos x2＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π2，y ＝sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x －2π3＋π2＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6，知函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6的图象可以由y ＝cos x 2的图象向右平移2π3个单位长度得到．答案：B3．(2018·益阳、湘潭联考)若将函数f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象向右平移π4个单位长度，再把所得图象上的点的横坐标扩大到原来的2倍，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)图象的一条对称轴的方程为( )A ．x ＝π12B ．x ＝7π24C ．x ＝7π12D ．x ＝7π6解析：将函数f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象向右平移π4个单位长度，得到f ⎝⎛⎭⎫x －π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π12的图象，再把所得图象上的点的横坐标扩大到原来的2倍，得到函数g(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π12的图象．令12x －π12＝π2＋k π，k ∈Z ，解得x ＝7π6＋2k π，k ∈Z .当k ＝0时，函数g (x )图象的一条对称轴的方程为x ＝7π6，故选D.答案：D4．(2018·唐山模拟)将函数y ＝3cos 2x －sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度，所得图象对应的函数为g (x )，则g (x )＝( )A ．2sin 2xB ．－2sin 2xC ．2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6 D ．2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 解析：因为y ＝3cos 2x －sin 2x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 将其图象向右平移π3个单位长度得到g (x )＝2cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π3＋π6＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝2sin 2x 的图象． 答案：A在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换，变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．由图象求y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式授课提示：对应学生用书第20页[悟通——方法结论]函数y ＝A sin(ωx ＋φ)解析式的确定利用函数图象的最高点和最低点确定A ，利用周期确定ω，利用图象的某一已知点确定φ.[全练——快速解答]1．(2018·郑州模拟)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位长度后得到函数g (x )的图象如图所示，则函数f (x )的解析式是( )A ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6(x ∈R ) B ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6(x ∈R ) C ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3(x ∈R ) D ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3(x ∈R ) 解析：依题意，设g (x )＝sin(ωx ＋θ)，其中ω>0，|θ|<π2，则有T ＝2πω＝4⎝⎛⎭⎫5π12－π6＝π，ω＝2，g ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋θ＝1，则θ＝π6，因此g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，f (x )＝g ⎝⎛⎭⎫x －π6＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，故选A. 答案：A2．(2018·贵阳模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)，其导数f ′(x )的图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫π2的值为( )A ．2 2 B. 2 C ．－22D ．－24解析：依题意得f ′(x )＝A ωcos(ωx ＋φ)，结合函数y ＝f ′(x )的图象可知，T ＝2πω＝4⎝⎛⎭⎫3π8－π8＝π，ω＝2.又A ω＝1，因此A ＝12.因为0<φ<π，3π4<3π4＋φ<7π4，且f ′⎝⎛⎭⎫3π8＝cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋φ＝－1，所以3π4＋φ＝π，φ＝π4，f (x )＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，f ⎝⎛⎭⎫π2＝12sin ⎝⎛⎭⎫π＋π4＝－12×22＝－24，故选D. 答案：D3．(2018·山西八校联考)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π<φ<0)的部分图象如图所示，则φ＝________.解析：由函数图象得A ＝2，所以y ＝2sin(ωx ＋φ)，因为图象过点(0，－1)，所以sin φ＝－12，因为x ＝0位于图象的单调递减区间，所以φ＝2k π－5π6(k ∈Z )，又－π<φ<0，所以φ＝－5π6.答案：－5π6用五点法求φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口．“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)时ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π2；“第五点”时ωx ＋φ＝2π.三角函数的性质授课提示：对应学生用书第20页[悟通——方法结论]1．三角函数的单调区间y ＝sin x 的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，单调递减区间是⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )；y ＝cos x 的单调递增区间是[2k π－π，2k π](k ∈Z )，单调递减区间是[2k π，2k π＋π](k ∈Z )； y ＝tan x 的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )． 2．三角函数奇偶性判断y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )求得．y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得．y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数． 3．三角函数周期性的求法函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))的最小正周期T ＝2π|ω|.应特别注意y ＝|A sin(ωx＋φ)|的周期为T ＝π|ω|.4．求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)．(2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．(3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．[全练——快速解答]1．(2018·高考全国卷Ⅱ)若ƒ(x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( ) A.π4 B.π2 C.3π4D ．π解析：ƒ(x )＝cos x －sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x ·22－cos x ·22＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，34π，即x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4单调递增，y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4单调递减．∵函数ƒ(x )在[－a ，a ]是减函数， ∴[－a ，a ]⊆⎣⎡⎦⎤－π4，34π， ∴0＜a ≤π4，∴a 的最大值为π4.故选A. 答案：A2．(2017·高考全国卷Ⅲ)函数f (x )＝15sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π6的最大值为( ) A.65 B ．1 C.35D.15解析：因为cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋π3－π2＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，所以f (x )＝65sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，于是f (x )的最大值为65.答案：A3．(2016·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( ) A ．11 B ．9 C ．7D ．5解析：由题意得⎩⎨⎧－π4ω＋φ＝k 1π，k 1∈Z ，π4ω＋φ＝k 2π＋π2，k 2∈Z ，则ω＝2k ＋1，k ∈Z ，φ＝π4或φ＝－π4.又函数f (x )在(π8，5π36)上单调，所以π12≤12×2πω，即ω≤12.若ω＝11，则φ＝－π4，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫11x －π4， f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π18，3π44上单调递增，在区间⎝⎛⎭⎫3π44，5π36上单调递减，不满足f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调；若ω＝9，则φ＝π4，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫9x ＋π4，满足f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调递减，故选B.答案：B1．三角函数单调性的求法：求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))(A 、ω、φ为常数，A ≠0，ω>0)的单调性的一般思路是令ωx ＋φ＝z ，则y ＝A sin z (或y ＝A cos z )，然后由复合函数的单调性求解．2．三角函数的最值问题注意判断类型，尤其是可化为A sin(ωx ＋φ)型的值求解时注意x 的范围对ωx ＋φ范围的影响．[练通——即学即用]1．(2017·高考全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( ) A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π单调递减解析：根据函数解析式可知函数f (x )的最小正周期为2π，所以函数的一个周期为－2π，A 正确；当x ＝8π3时，x ＋π3＝3π，所以cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝－1，所以B 正确； f (x ＋π)＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋4π3，当x ＝π6时，x ＋4π3＝3π2，所以f (x ＋π)＝0，所以C 正确；函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3在⎝⎛⎭⎫π2，2π3上单调递减，在⎣⎡⎭⎫2π3，π上单调递增，故D 不正确． 答案：D2．(2018·太原模拟)已知函数f (x )＝sin ωx －3cos ωx (ω>0)在(0，π)上有且只有两个零点，则实数ω的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎤0，43 B.⎝⎛⎦⎤43，73 C.⎝⎛⎦⎤73，103D.⎝⎛⎦⎤103，133解析：易得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3，设t ＝ωx －π3，因为0<x <π，所以－π3<t<ωπ－π3，因为函数f (x )在(0，π)上有且仅有两个零点，所以π<ωπ－π3≤2π，解得43<ω≤73，故选B.答案：B3．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知函数ƒ(x )＝2sin x ＋sin 2x ，则ƒ(x )的最小值是________． 解析：ƒ′(x )＝2cos x ＋2cos 2x ＝2cos x ＋2(2cos 2x －1) ＝2(2cos 2x ＋cos x －1)＝2(2cos x －1)(cos x ＋1)． ∵cos x ＋1≥0，∴当cos x ＜12时，ƒ′(x )＜0，ƒ(x )单调递减；当cos x ＞12时，ƒ′(x )＞0，ƒ(x )单调递增．∴当cos x ＝12，ƒ(x )有最小值．又ƒ(x )＝2sin x ＋sin 2x ＝2sin x (1＋cos x )， ∴当sin x ＝－32时，ƒ(x )有最小值， 即ƒ(x )min ＝2×⎝⎛⎭⎫－32×⎝⎛⎭⎫1＋12＝－332.答案：－332授课提示：对应学生用书第122页一、选择题1．(2018·湖北七校联考)要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象( )A ．向左平移π6个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π3个单位长度D ．向右平移π6个单位长度解析：∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6，∴只需将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位长度即可得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象． 答案：A2．(2018·宝鸡模拟)为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －4π3的图象( )A ．向左平移π4个单位长度B ．向右平移π4个单位长度C ．向左平移π2个单位长度D ．向右平移π2个单位长度解析：y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －4π3＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫2x －4π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －5π12，故要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，只需要平移⎝⎛⎭⎫x －π6－⎝⎛⎭⎫x －5π12＝π4个单位长度，又π4>0，所以应向左平移，故选A. 答案：A3．函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x 在⎣⎡⎦⎤π4，π2上的最小值是( ) A ．1 B.1＋32C ．1＋ 3D.32解析：f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x ＝12－12cos 2x ＋32sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12，因为π4≤x ≤π2，所以π3≤2x －π6≤5π6，所以当2x －π6＝5π6，即x ＝π2时，函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x 取得最小值，且最小值为12＋12＝1.答案：A4．(2018·高考全国卷Ⅲ)函数ƒ(x )＝tan x1＋tan 2x 的最小正周期为( )A.π4B.π2 C ．πD ．2π解析：由已知得ƒ(x )＝tan x 1＋tan 2x＝sin x cos x 1＋(sin x cos x )2＝sin x cos x cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝sin x ·cos x ＝12sin 2x ，所以ƒ(x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.故选C. 答案：C5．(2018·贵阳模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则φ的值为( )A ．－π3B.π3 C ．－π6D.π6解析：由题意，得T 2＝π3＋π6＝π2，所以T ＝π，由T ＝2πω，得ω＝2，由图可知A ＝1，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)．又f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝0，－π2<φ<π2，所以φ＝π3，故选B. 答案：B6．(2018·湘中名校高三联考)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋12，ω>0，x ∈R ，且f (α)＝－12，f (β)＝12.若|α－β|的最小值为3π4，则函数f (x )的单调递增区间为( )A.⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π＋2k π，k ∈Z B.⎣⎡⎦⎤－π2＋3k π，π＋3k π，k ∈Z C.⎣⎡⎦⎤π＋2k π，5π2＋2k π，k ∈Z D.⎣⎡⎦⎤π＋3k π，5π2＋3k π，k ∈Z 解析：由f (α)＝－12，f (β)＝12，|α－β|的最小值为3π4，知T 4＝3π4，即T ＝3π＝2πω，所以ω＝23， 所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫23x －π6＋12，由－π2＋2k π≤23x －π6≤π2＋2k π(k ∈Z )，得－π2＋3k π≤x ≤π＋3k π(k ∈Z )，故选B.答案：B7．(2018·郑州质检)已知函数f (x )＝A sin(πx ＋φ)的部分图象如图所示，点B ，C 是该图象与x 轴的交点，过点C 的直线与该图象交于D ，E 两点，则(BD →＋BE →)·(BE →－CE →)的值为( )A ．－1B ．－12C ．12D ．2解析：(BD →＋BE →)·(BE →－CE →)＝(BD →＋BE →)·BC →＝2BC →·BC →＝2|BC →|2，显然|BC →|的长度为半个周期，周期T ＝2ππ＝2，∴|BC →|＝1，所求值为2.答案：D8．(2018·成都模拟)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，若x 1x 2<0，且f (x 1)＋f (x 2)＝0，则|x 2－x 1|的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫π6，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫π3，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫2π3，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫4π3，＋∞ 解析：f (x 1)＋f (x 2)＝0⇔f (x 1)＝－f (x 2)，|x 2－x 1|可视为直线y ＝m 与函数y ＝f (x )、函数y ＝－f (x )的图象的交点的横坐标的距离，作出函数y ＝f (x )与函数y ＝－f (x )的图象如图所示，设A ，B 分别为直线y ＝m 与函数y ＝f (x )、函数y ＝－f (x )的图象的两个相邻交点，因为x 1x 2<0，且当直线y ＝m 过y ＝f (x )的图象与y 轴的交点⎝⎛⎭⎫0，32时，直线为y ＝32，|AB |＝π3，所以当直线y ＝m 向上移动时，线段AB 的长度会增加，当直线y ＝m 向下移动时，线段AB 的长度也会增加，所以|x 2－x 1|>π3.答案：B9．已知函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2cos(x ＋φ)(0<φ<π)的图象关于直线x ＝π对称，则cos 2φ＝( )A.35 B ．－35C.45D ．－45解析：由题意可得f (x )＝5sin(x ＋φ－γ)，其中sin γ＝255，cos γ＝55.当x ＝π时，由π＋φ－γ＝k π＋π2，得2φ＝2k π－π＋2γ，则cos 2φ＝cos(2k π－π＋2γ)＝－cos 2γ＝sin 2γ－cos 2γ＝35.故选A. 答案：A10．(2018·广西三市联考)已知x ＝π12是函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)(0<φ<π)图象的一条对称轴，将函数f (x )的图象向右平移3π4个单位长度后得到函数g (x )的图象，则函数g (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，π6上的最小值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．－ 2D ．－ 3解析：∵x ＝π12是f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋φ图象的一条对称轴， ∴π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )， 即φ＝π6＋k π(k ∈Z )．∵0<φ<π，∴φ＝π6，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －7π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6. 又∵－π4≤x ≤π6，∴π3≤2x ＋5π6≤7π6，∴－1≤2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6≤2. ∴g (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，π6上的最小值为－1. 答案：B11．已知函数f (x )＝1＋2cos x cos(x ＋3φ)是偶函数，其中φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则下列关于函数g (x )＝cos(2x －φ)的正确描述是( )A ．g (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π3上的最小值为－1 B ．g (x )的图象可由函数f (x )的图象向上平移2个单位长度，向右平移π3个单位长度得到C ．g (x )的图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫－π12，0 D ．g (x )的一个单调递减区间是⎣⎡⎦⎤0，π2 解析：∵函数f (x )＝1＋2cos x cos(x ＋3φ)是偶函数，y ＝1，y ＝2cos x 都是偶函数，∴y ＝cos(x ＋3φ)是偶函数，∴3φ＝k π，k ∈Z ，∴φ＝k π3，k ∈Z ，又0<φ<π2，∴φ＝π3，∴g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3.当－π12≤x ≤π3时，－π2≤2x －π3≤π3，cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈[0,1]，故A 错误；f (x )＝1＋2cos x cos(x ＋π)＝1－2cos 2x ＝－cos 2x ，显然B 错误；当x ＝－π12时，g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫－π2＝0，故C 正确；当0≤x ≤π2时，－π3≤2x －π3≤2π3，g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3有增有减，故D 错误．故选C. 答案：C12．(2018·肇庆一模)设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积：a ⊗b ＝(a 1，a 2)⊗(b 1，b 2)＝(a 1b 1，a 2b 2)．已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫12，4，n ＝⎝⎛⎭⎫π6，0，点P 在y ＝cos x 的图象上运动，点Q 在y ＝f (x )的图象上运动，且满足OQ →＝m ⊗OP →＋n (其中O 为坐标原点)，则y ＝f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π3上的最大值是( ) A ．2 2 B ．2 3 C ．2D ．4解析：由题意，设点P 的坐标为(x 0，cos x 0)，点Q 的坐标为(x ，y )， 则OQ →＝m ⊗OP →＋n ＝⎝⎛⎭⎫12，4⊗(x 0，cos x 0)＋⎝⎛⎭⎫π6，0⇒(x ，y )＝⎝⎛⎭⎫12x 0＋π6，4cos x 0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x 0＋π6，y ＝4cos x 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2⎝⎛⎭⎫x －π6，y ＝4cos x 0⇒y ＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π3时，0≤2x －π3≤π3⇒12≤cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1⇒2≤4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤4，所以函数y ＝f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π3上的最大值是4.答案：D 二、填空题13.函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，0<φ<π2的图象如图所示，已知图象经过点A (0,1)，B ⎝⎛⎭⎫π3，－1，则f (x )＝________.解析：由已知得T 2＝π3，∴T ＝2π3，又T ＝2πω，∴ω＝3.∵sin φ＝12，0<φ<π2，∴φ＝π6.∴函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6. 答案：2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6 14．(2018·沈阳质检)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值为________．解析：由图象可知A ＝2，34T ＝11π12－π6＝3π4，∴T ＝π，∴ω＝2，∵当x ＝π6时，函数f (x )取得最大值，∴2×π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，∴φ＝π6＋2k π(k ∈Z )，∵0<φ<π，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 则f ⎝⎛⎭⎫π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋π6＝2cos π6＝ 3. 答案： 315．若存在实数φ，使得圆面x 2＋y 2≤4恰好覆盖函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫πk x ＋φ图象的最高或最低点共三个，则正数k 的取值范围是________．解析：函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫πk x ＋φ的图象的最高点或最低点一定在直线y ＝±1上，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝±1，x 2＋y 2≤4，解得－3≤x ≤3， 由题意可得：T ＝2ππk ＝2k ，T ≤23＜2T ，解得正数k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤32，3.答案：⎝⎛⎦⎤32，3 16．(2018·武汉调研)若函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象的对称轴与函数g (x )＝cos(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图象的对称轴完全相同，则φ＝________.解析：因为函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象的对称轴与函数g (x )＝cos(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图象的对称轴完全相同，故它们的最小正周期相同，即2πω＝2π2，所以ω＝2，故函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 令2x ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，则x ＝k π2＋π8，k ∈Z ，故函数f (x )的图象的对称轴为x ＝k π2＋π8，k ∈Z .令2x ＋φ＝m π，m ∈Z ， 则x ＝m π2－φ2，m ∈Z ，故函数g (x )的图象的对称轴为x ＝m π2－φ2，m ∈Z ，故k π2＋π8－m π2＋φ2＝n π2，n ∈Z ， 即φ＝(m ＋n －k )π－π4，又|φ|<π2，所以φ＝－π4.答案：－π4三、解答题17．(2018·合肥模拟)已知函数f (x )＝4sin 3x cos x －2sin x cos x －12cos 4x .(1)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间； (2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值和最小值． 解析：f (x )＝2sin x cos x (2sin 2x －1)－12cos 4x＝－sin 2x cos 2x －12cos 4x＝－12sin 4x －12cos 4x＝－22sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4. (1)函数f (x )的最小正周期T ＝2π4＝π2. 令2k π＋π2≤4x ＋π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，即k π2＋π16≤x ≤k π2＋5π16，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π2＋π16，k π2＋5π16，k ∈Z . (2)因为0≤x ≤π4，所以π4≤4x ＋π4≤5π4.此时－22≤sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4≤1，所以－22≤－22sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4≤12， 即－22≤f (x )≤12. 所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值和最小值分别为12，－22. 18．(2018·汕头模拟)已知函数f (x )＝cos 2ωx cos φ＋sin ωx cos ωx sin φ－12sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为π，且x ＝π6是函数f (x )的图象的一条对称轴．(1)求ω，φ的值；(2)将函数y ＝f (x )图象上的各点向左平移π12个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在⎣⎡⎦⎤0，5π12上的最值及取最值时对应的x 的值． 解析：(1)由题意得，f (x )＝1＋cos 2ωx 2cos φ＋12sin 2ωx sin φ－12cos φ＝12cos 2ωx cos φ＋12sin2ωx sin φ＝12()cos 2ωx cos φ＋sin 2ωx sin φ＝12cos(2ωx －φ)．又函数f (x )的最小正周期为π，所以2π2ω＝π ，所以ω＝1，故f (x )＝12cos(2x －φ)，又x ＝π6是函数f (x )的图象的一条对称轴，故2×π6－φ＝k π(k ∈Z )，因为0<φ<π，所以φ＝π3.(2)由(1)知f (x )＝12cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3，将函数y ＝f (x )图象上的各点向左平移π12个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，故g (x )＝12cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，5π12，所以2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3，因此当2x －π6＝0，即x ＝π12时，g (x )max ＝12；当2x －π6＝2π3，即x ＝5π12时，g (x )min ＝－14.19．(2018·胶州模拟)已知函数f (x )＝cos(2π－x ) ·sin ⎝⎛⎭⎫π6－x . (1)求f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若f (C )＝－14，c ＝3，求△ABC 的周长的取值范围．解析：f (x )＝cos(2π－x )sin ⎝⎛⎭⎫π6－x ＝cos x ⎝⎛⎭⎫12cos x －32sin x ＝12cos 2 x －34sin 2x ＝1＋cos 2x 4－34sin 2x ＝12cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋14. (1)f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.由2k π－π≤2x ＋π3≤2k π，k ∈Z ，得k π－2π3≤x ≤k π－π6，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－2π3，k π－π6，k ∈Z . (2)由f (C )＝－14，可得cos ⎝⎛⎭⎫2C ＋π3＝－1，由0<C <π2，得π3<2C ＋π3<4π3，所以2C ＋π3＝π，解得C ＝π3.又c ＝3，根据正弦定理得a sin A ＝b sin B＝3sinπ3＝2，所以a ＝2sin A ，b ＝2sin B . △ABC 的周长l ＝a ＋b ＋c ＝2sin A ＋2sin B ＋3，因为A ＋B ＝2π3，所以l ＝2sin A ＋2sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A ＋3＝23sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＋ 3. 因为△ABC 为锐角三角形，所以B ＝2π3－A <π2，即A >π6，所以π6<A <π2，所以π3<A ＋π6<2π3，所以32<sin(A ＋π6)≤1，所以3＋3<l ≤33，即△ABC 的周长的取值范围是(3＋3，33]．。

§4.2三角函数的图象与性质考纲解读考点考纲内容要求浙江省五年高考统计201420152016201720131.能画出 y=sinx,y=cosx,y=tanx 的图象 .3(文 ), 1.三角函数的图 2.认识函数 y=Asin( ωx+ φ )的物理意义 ;能 理解4,5 分5(文), 5 分 象及其变换画出 y=Asin( ω x+ φ)的图象 ,认识参数 5 分11(文),A, ω,φ 对函数图象变化的影响 .6 分2.三角函数的性 1.理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性 6(文),18,约 7 质 .10,5 分11,6 分5,5 分质及其应用理解分2.认识三角函数的周期性 .5 分剖析解读 1.三角函数的图象与性质主要考察三角函数的观点、周期性、单一性、有界性及图象的平移和伸缩变换等 ,多以小而活的选择题与填空题的形式出现 ,有时也会出现以函数性质为主的联合图象的综合题,考察数形联合思想 .2.考察形如 y=Asin( ωx+ φ )或经过三角恒等变换化为 y=Asin( ω x+ φ )的图象和性质 ,此中asinx+bcosx= sin(x+ φ)特别重要 (例 :2016 浙江 5 题).3.对 y=Asin( ω x+ φ )中 A, ω,φ 的考察是要点 ,图象与性质及平移、伸缩变换也是要点考察对象 (例 :2014浙江 4题).4.估计 2019 年高考取 ,本节内容还是考察热门 ,复习时应高度重视 .五年高考考点一 三角函数的图象及其变换1.(2014 浙江 ,4,5 分)为了获得函数 y=sin3x+cos3x 的图象 ,能够将函数 y=cos3x 的图象 ()A.向右平移 个单位B.向左平移 个单位C.向右平移 个单位D.向左平移 个单位答案 C2.(2017 天津文 ,7,5 分 )设函数 f(x)=2sin( ω x+ φ ),x ∈R,此中 ω >0,| φ|< π若. f=2,f =0, 且 f(x) 的最小正周期大于 2π,则 ()A.ω= ,φ =B.ω = ,φ =-C.ω = ,φ =-D.ω= ,φ =答案A3.(2017 课标全国 Ⅰ理 ,9,5 分)已知曲线 C 1 :y=cosx,C 2:y=sin ,则下边结论正确的选项是 ( )A.把 C1上各点的横坐标伸长到本来的 2 倍 ,纵坐标不变 ,再把获得的曲线向右平移个单位长度,获得曲线C2B.把 C1上各点的横坐标伸长到本来的 2 倍 ,纵坐标不变 ,再把获得的曲线向左平移个单位长度,获得曲线C2C.把 C1上各点的横坐标缩短到本来的,纵坐标不变 ,再把获得的曲线向右平移个单位长度,获得曲线C2D.把 C1上各点的横坐标缩短到本来的,纵坐标不变 ,再把获得的曲线向左平移个单位长度,获得曲线C2 答案 D4.(2016 课标全国Ⅱ,7,5 分 )若将函数y=2sin2x 的图象向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴为()A.x= - (k∈Z)B.x= + (k∈Z)C.x= - (k∈ Z)D.x= + (k∈ Z)答案 B5.(2015 湖南 ,9,5 分)将函数 f(x)=sin2x 的图象向右平移φ个单位后获得函数g(x) 的图象 .若对知足|f(x 1)-g(x 2 )|=2 的 x1,x2,有|x 1-x 2| min= ,则φ=()A. B.C. D.答案 D6.(2015 课标Ⅰ,8,5 分 )函数 f(x)=cos( ωx+ φ )的部分图象以下图,则 f(x) 的单一递减区间为()A. ,k∈ZB. ,k∈ ZC. ,k∈ ZD. ,k∈ Z答案 D7.(2016 江苏 ,9,5 分)定义在区间 [0,3 π]上的函数 y=sin2x 的图象与 y=cosx 的图象的交点个数是.答案78.(2016 课标全国Ⅲ,14,5 分)函数 y=sinx- cosx 的图象可由函数 y=sinx+ cosx 的图象起码向右平移个单位长度获得 .答案分析设 f(x)=sinx-cosx=2sin,g(x)=sinx+cosx=2sin,将 g(x) 的图象向右平移φ(φ >0)个单位长度后获得函数g(x- φ)=2sin=2sin=f(x) 的图象 ,所以 x-φ + =2kπ +x+,k∈Z, 此时φ=- 2kπ- ,k∈Z, 当 k=-1 时,φ有最小值 ,为.9.(2014 山东 ,16,12 分 )已知向量 a=(m,cos2x),b=(sin2x,n), 函数 f(x)=a · b,且 y=f(x) 的图象过点和点.(1)求 m,n 的值 ;(2)将 y=f(x) 的图象向左平移φ (0< φ<π)个单位后获得函数y=g(x) 的图象 ,若 y=g(x) 图象上各最高点到点 (0,3) 的距离的最小值为1,求 y=g(x) 的单一递加区间 .分析 (1)由题意知 f(x)=a ·b=msin2x+ncos2x.因为 y=f(x) 的图象经过点和,所以即解得 m= ,n=1.(2)由(1)知 f(x)= sin2x+cos2x=2sin .由题意知 g(x)=f(x+ φ)=2sin .设 y=g(x) 的图象上切合题意的最高点为(x 0,2),由题意知+1=1,所以 x0=0,即到点 (0,3)的距离为 1 的最高点为 (0,2).将其代入 y=g(x) 得 sin =1,因为 0< φ<π,所以φ = .所以 g(x)=2sin =2cos2x.由 2kπ-π≤ 2x≤2kπ ,k∈ Z,得 kπ- ≤x ≤kπ ,k∈Z,所以函数 y=g(x) 的单一递加区间为,k∈ Z.教师用书专用 (10—15)10.(2016 北京 ,7,5 分 )将函数 y=sin图象上的点P向左平移s(s>0)个单位长度获得点P'.若 P'位于函数 y=sin2x 的图象上 ,则 ()A.t= ,s 的最小值为B.t=,s 的最小值为C.t=,s 的最小值为D.t=,s的最小值为答案 A11.(2013 湖北 ,4,5 分) 将函数 y=cosx+sinx(x ∈ R)的图象向左平移m(m>0) 个单位长度后 ,所获得的图象对于y 轴对称 ,则 m 的最小值是 ()A. B.C. D.答案 B12.(2013 四川 ,5,5 分 )函数 f(x)=2sin( ω x+ φ )ω >0,-< φ <的部分图象以下图,则ω ,φ的值分别是()A.2,-B.2,-C.4,-D.4,答案 A13.(2014 安徽 ,11,5 分 )若将函数 f(x)=sin的图象向右平移φ 个单位,所得图象对于y 轴对称 ,则φ的最小正当是.答案14.(2015 湖北 ,17,11 分 )某同学用“五点法”画函数 f(x)=Asin( ωx+ φ )在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,以下表 :ωx+φ0π2πxAsin(ωx+ φ) 0 5 -5 0(1)请将上表数据增补完好,并直接写出函数f(x) 的分析式 ;(2)将 y=f(x) 图象上全部点向左平行挪动θ(θ >0)个单位长度,获得y=g(x)的图象.若y=g(x)图象的一个对称中心为,求θ的最小值 .分析(1)依据表中已知数据 ,解得 A=5, ω =2,φ =- .数据补全以下表 :ωx+φ0 π2πxπAsin( ωx+ φ) 0 5 0 -5 0且函数表达式为f(x)=5sin.(2)由(1)知 f(x)=5sin,得 g(x)=5sin.因为 y=sinx 的对称中心为 (k π ,0),k∈Z.令 2x+2 θ - =kπ ,k∈Z, 解得 x=+- θ,k∈Z.因为函数 y=g(x) 的图象对于点中心对称,令 + -θ = ,k∈Z,解得θ = - ,k∈Z.由θ >0 可知 ,当 k=1 时,θ获得最小值 .15.(2015 福建 ,19,13 分 )已知函数 f(x)的图象是由函数g(x)=cosx 的图象经以下变换获得:先将 g(x) 图象上全部点的纵坐标伸长到本来的 2 倍(横坐标不变 ),再将所获得的图象向右平移个单位长度 .(1)求函数 f(x)的分析式 ,并求其图象的对称轴方程 ;(2)已知对于 x 的方程 f(x)+g(x)=m 在 [0,2 π)内有两个不一样的解α ,β.(i)务实数 m 的取值范围 ;(ii) 证明 :cos(α -β )=-1.分析(1)将 g(x)=cosx 的图象上全部点的纵坐标伸长到本来的 2 倍(横坐标不变 )获得 y=2cosx 的图象 ,再将y=2cosx 的图象向右平移个单位长度后获得y=2cos的图象,故f(x)=2sinx.进而函数 f(x)=2sinx图象的对称轴方程为x=k π+ (k∈ Z).(2)(i)f(x)+g(x)=2sinx+cosx= = sin(x+ φ) .依题意知 ,sin(x+ φ)= 在[0,2 π)内有两个不一样的解α ,β ,当且仅当<1, 故 m 的取值范围是 (- , ).(ii) 证法一 :因为α ,β是方程sin(x+ φ )=m 在[0,2 π)内的两个不一样的解 ,所以 sin(α +φ)= ,sin(β + φ )= .当 1≤ m< 时 ,α+ β =2 ,即α-β=π-2(β + φ );当- <m<1 时,α + β =2 ,即α -β =3π-2(β +φ ),所以 cos(α-β)=-cos[2( β + φ)]=2sin 2(β + φ )-1=2 -1=-1.证法二 :因为α ,β是方程sin(x+ φ)=m 在 [0,2 π)内的两个不一样的解 ,所以 sin(α+ φ )= ,sin(β + φ)= .当 1≤ m< 时 ,α+ β =2 ,即α + φ =π-(β + φ);当- <m<1 时,α + β =2 ,即α + φ =3π-(β + φ).所以 cos(α + φ)=-cos( β+ φ ).于是 cos(α-β)=cos[( α+ φ )-(β+ φ )]=cos(α + φ)cos(β + φ )+sin( α + φ)sin(β + φ)=-cos 2(β + φ)+sin( α+ φ )sin(β+ φ )=-+=-1.考点二三角函数的性质及其应用1.(2016 浙江 ,5,5 分)设函数A.与 b 相关 ,且与 c 相关B.与 b 相关 ,但与 c 没关C.与 b 没关 ,且与 c 没关D.与 b 没关 ,但与 c 相关f(x)=sin 2x+bsinx+c, 则 f(x) 的最小正周期( )答案 B2.(2013 浙江文 ,6,5 分 )函数f(x)=sinxcosx+ cos2x 的最小正周期和振幅分别是( )A. π ,1B. π ,2C.2 π ,1D.2 π ,2答案 A3.(2017 课标全国Ⅲ理 ,6,5 分)设函数f(x)=cos ,则以下结论错误的选项是( )A.f(x) 的一个周期为- 2πB.y=f(x) 的图象对于直线x= 对称C.f(x+ π)的一个零点为 x=D.f(x) 在单一递减答案 D4.(2015 浙江 ,11,6 分 )函数 f(x)=sin 2x+sinxcosx+1 的最小正周期是,单一递减区间是.答案π;(k∈Z)5.(2017 浙江 ,18,14 分 )已知函数 f(x)=sin 2x-cos2 x-2 · sinxcosx(x ∈ R).(1)求 f 的值 ;(2)求 f(x)的最小正周期及单一递加区间 .分析此题主要考察三角函数的性质及其变换等基础知识,同时考察运算求解能力 .(1)由 sin = ,cos =- ,f = - -2 ××,得 f =2.(2)由 cos2x=cos2x-sin 2x 与 sin2x=2sinxcosx 得f(x)=-cos2x- sin2x=-2sin .所以 f(x)的最小正周期是π.由正弦函数的性质得+2kπ≤2x+ ≤ +2kπ ,k∈Z,解得 +kπ≤x≤+kπ ,k∈Z.所以 ,f(x) 的单一递加区间是(k∈Z).6.(2015 山东 ,16,12 分 )设 f(x)=sinxcosx-cos 2 .(1)求 f(x)的单一区间 ;(2)在锐角△ABC 中 ,角 A,B,C 的对边分别为a,b,c.若 f =0,a=1, 求△ABC 面积的最大值 . 分析(1)由题意知f(x)=-=-=sin2x- .由- +2kπ≤2x≤+2kπ ,k∈Z, 可得 - +kπ≤ x ≤+kπ ,k∈ Z;由+2kπ≤2x≤+2kπ ,k∈Z, 可得+kπ≤ x ≤+kπ ,k∈ Z.所以 f(x)的单一递加区间是(k∈Z);单一递减区间是(k∈ Z).(2)由 f=sinA- =0, 得 sinA= ,由条件知 A 为锐角 ,所以 cosA=.由余弦定理a2=b 2+c 2-2bccosA,可得1+bc=b 2+c2≥2bc,即 bc≤2+,当且仅当b=c 时等号建立 .所以bcsinA ≤.所以△ABC 面积的最大值为.7.(2015 北京 ,15,13 分 )已知函数 f(x)=sin cos -sin2 .(1)求 f(x)的最小正周期 ;(2)求 f(x)在区间 [- π ,0]上的最小值 .分析(1)因为 f(x)=sinx-(1-cosx)=sin-,所以 f(x) 的最小正周期为2π.(2)因为 -π≤ x ≤ 0,所以 -≤ x+≤.当 x+ =- ,即 x=-时,f(x)获得最小值.所以 f(x)在区间 [- π ,0]上的最小值为f=-1-.教师用书专用 (8— 13)8.(2017 课标全国Ⅱ文 ,3,5 分)函数 f(x)=sin的最小正周期为()A.4 πB.2 πC. πD.答案 C9.(2016 山东 ,7,5 分)函数 f(x)=(sinx+cosx)(cosx-sinx) 的最小正周期是()A. B. π C. D.2 π答案 B10.(2013 北京 ,3,5 分 )“φ =π”是“曲线 y=sin(2x+ φ)过坐标原点”的 ()A.充分而不用要条件B.必需而不充分条件C.充分必需条件D.既不充分也不用要条件答案 A11.(2013 江苏 ,1,5 分 )函数 y=3sin 的最小正周期为.答案π12.(2015 重庆 ,18,13 分)已知函数 f(x)=sin sinx- cos2 x.(1)求 f(x)的最小正周期和最大值;(2)议论 f(x)在上的单一性 .2x分析 (1)f(x)=sin sinx- cos=cosxsinx-(1+cos2x)= sin2x- cos2x- =sin - ,所以 f(x)的最小正周期为π,最大值为.(2)当 x ∈时,0≤ 2x-≤ π,进而当0≤2x-≤,即≤x≤时,f(x)单一递加, 当≤ 2x-≤ π,即≤ x≤时,f(x)单一递减.综上可知 ,f(x) 在上单一递加;在上单一递减.13.(2014 天津 ,15,13 分)已知函数f(x)=cosx ·sin-cos2x+,x∈ R.(1)求 f(x)的最小正周期 ;(2)求 f(x)在闭区间上的最大值和最小值.分析(1)由已知 ,有f(x)=cosx ·-cos2x+= sinx· cosx-cos2x+= sin2x-(1+cos2x)+= sin2x-cos2x= sin.所以 f(x)的最小正周期T==π.(2)因为 f(x)在区间上是减函数,在区间上是增函数,f =-,f =-,f = ,所以函数 f(x) 在闭区间上的最大值为,最小值为 - .三年模拟A 组 2016—2018 年模拟·基础题组考点一三角函数的图象及其变换1.(2018 浙江镇海中学期中,4)将函数f(x)=3sin 图象上全部点的横坐标伸长到本来的 2 倍 ,再向右平移个单位长度,获得函数y=g(x) 的图象 ,则 y=g(x) 图象的一条对称轴是( )A.x=B.x=C.x=D.x=答案 C2.(2017 浙江嘉兴基础测试,5)若函数g(x) 的图象可由函数f(x)=sin2x+ cos2x 的图象向右平移个单位长度获得 ,则g(x) 的分析式是( )A.g(x)=2sin2xB.g(x)=2sinC.g(x)=2sinD.g(x)=2sin答案 A3.(2016 浙江镇海中学测试(四),4)将函数f(x)=Asin (A>0, ω >0) 的图象向右平移个单位 ,获得的图象与 f(x) 的图象对于y 轴对称 ,则实数ω的值可能为( )A.5B.6C.7D.8答案 C考点二三角函数的性质及其应用4.(2018 浙江杭州地域要点中学第一学期期中,3)函数 f(x)=的最小正周期是()A.2 πB. πC.D.答案 C5.(2017 浙江名校新高考研究结盟测试一,5)已知函数 y=cos( ω x+ φ )(ω>0,0< φ<π)为奇函数 ,且 A,B 分别为函数图象上的最高点与最低点,若 |AB|的最小值为2,则该函数图象的一条对称轴是()A.x=B.x=C.x=D.x=1答案 D6.(2016 浙江温州二模 ,10)函数 f(x)=2sin( ωx+ φ )的图象以下图,则ω =,φ =.答案2;7.(2018 浙江萧山九中12 月月考 ,18)已知 a=(cosω x-sin ω x,sinω x),b=(-cos ωx-sin ω x,2cosω x),此中ω∈.记函数 f(x)=a ·b+ λ ,若 f(x) 的图象对于直线x=π对称 .(1)求 f(x)的单一递加区间;(2)若 f(x)的图象过原点 ,求 f(x) 在区间上的值域.分析(1)f(x)=sin 2ωx-cos2ω x+2sinωxcosω x+ λ=sin2ωx-cos2ω x+ λ=2sin+ λ ,(3 分 )∵f(x) 的图象对于直线x=π对称 ,∴2ω π- =kπ+ ,k∈ Z,即 2ω =k+ ,k∈ Z,又ω ∈,∴ k=1,∴ 2ω= .故 f(x)=2sin+ λ .(5 分 )令 2kπ-≤x-≤ 2kπ+,k∈ Z,得- +kπ≤x≤+kπ ,k∈ Z,故单一递加区间为(k∈ Z).(8 分)(2)∵ f(x) 的图象过原点 ,∴ f(0)=-1+ λ=0, ∴λ =1,则 f(x)=2sin +1.(10 分 )∵0≤x ≤,∴ - ≤ x- ≤ ,(11 分)则- ≤sin ≤ 1,(13 分)故 f(x) 在区间上的值域为[0,3].(14分)8.(2017 浙江绍兴质量调测(3 月 ),18)已知函数f(x)=2sin 2x+cos.(1)求 f(x)的最小正周期 ;(2)求 f(x)在上的单一递加区间.分析(1)f(x)=2sin 2x+cos=1-cos2x+ cos2x+sin2x=1+sin.故 f(x) 的最小正周期为π.(2)由 2kπ- ≤2x-≤2kπ+,k∈Z,得 kπ- ≤x ≤kπ+,k∈Z.故 f(x) 在上的单一递加区间为.B 组2016—2018 年模拟·提高题组一、选择题1.(2018 浙江杭州二中期中 ,3)已知函数 f(x)=sin (ω >0) 的最小正周期为4π,则()A.函数 f(x) 的图象对于原点对称B.函数 f(x) 的图象对于直线x= 对称C.函数 f(x) 图象上的全部点向右平移个单位长度后 ,所得的图象对于原点对称D.函数 f(x) 在区间 (0, π)上单一递加答案 C2.(2016 浙江名校 (诸暨中学 )沟通卷一 ,4)为了获得函数 y=cos 的图象 ,只要将函数 y=sin2x 的图象( )A.向右平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向左平移个单位答案 D二、填空题3.(2017 浙江宁波二模 (5 月 ),11)已知函数 f(x)=asin2x+(a+1)cos2x,a ∈R,则函数 f(x) 的最小正周期为; 振幅的最小值为.答案π;4. (2017 浙江名校 ( 诸暨中学 )沟通卷四 ,13)已知 x 0,x0+ 是函数 f(x)=cos 2 -sin2ωx(ω >0) 的两个相邻的零点 ,则 f=;f(x)在 [0, π]上的递减区间为..答案;5.(2017 浙江温州十校期末联考,13)设 f(x) 是定义在 R 上的最小正周期为的函数,且在上f(x)=则 a=,f=.答案-1;-三、解答题6.(2017 浙江金丽衢十二校第二次联考,18)已知直线 x=是函数f(x)=sin(3x+φ)(-π<φ <0)的图象的一条对称轴 .(1)求φ ;(2)求函数 y=f(x)+f,x∈的值域.分析(1)由题意得 3×+ φ =+kπ ,k∈ Z,∴φ =-+kπ,k∈Z.∵φ∈ (- π,0),∴φ =- ,∴ f(x)=sin.(2)y=f(x)+f=sin+sin=sin+cos=sin.∵x ∈,∴ 3x+∈,∴ y∈.C 组 2016—2018 年模拟·方法题组方法 1 三角函数图象变换的解题策略1.(2017 浙江镇海中学第一学期期中,5)要获得函数y=sinx 的图象 ,只要将函数y=cos的图象()A.向右平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向左平移个单位答案 A方法 2三角函数性质的解题策略2.(2017 浙江名校 (杭州二中)沟通卷三,11)函数f(x)=sin +1 的最小正周期为;单一递加区间是;对称轴方程为.答案π;(k∈ Z);x= +(k∈ Z)方法3 求函数y=Asin( ωx+ φ)(A>0, ω>0)的分析式的解题策略3.(2017 浙江台州质量评估,18)已知函数 f(x)=sin( ω x+ φ )的最小正周期为π,且函数f(x)的图象的一条对称轴方程为x=.(1)求ω和φ的值 ;(2)设函数 g(x)=f(x)+f,求 g(x) 的单一递减区间.分析(1)因为 f(x)=sin( ωx+ φ )的最小正周期为π,所以 T==π,所以ω =2.由 2x+ φ =kπ+ ,k∈ Z,得 x=+ -,k∈ Z,由 = + - ,k∈Z,得φ =kπ+ ,k∈Z,又| φ| ≤ ,所以φ = .(2)函数 g(x)=f(x)+f=sin+sin2x= sin2x+cos2x+sin2x=sin.令 2kπ+≤ 2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z, 得 kπ+≤x ≤ kπ+ ,k∈Z,所以 g(x) 的单一递减区间为,k∈Z.。

2019年高考数学一轮复习：三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质1．“五点法”作图(1)在确定正弦函数y＝sin x在[0，2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是，，，，．(2)在确定余弦函数y＝cos x在[0，2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是，，，，．2．周期函数的定义对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有________________，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的________________．自查自纠1．(1)(0，0)⎝⎛⎭⎫π2，1(π，0)⎝⎛⎭⎫3π2，－1(2π，0)(2)(0，1)⎝⎛⎭⎫π2，0(π，－1)⎝⎛⎭⎫32π，0(2π，1) 2．f(x＋T)＝f(x)最小正周期3．①R②R③⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x≠kπ＋π2，k∈Z④[－1，1]⑤[－1，1]⑥x＝kπ＋π2(k∈Z)⑦(kπ，0)(k∈Z)⑧x＝kπ(k∈Z)⑨⎝⎛⎭⎫kπ＋π2，0(k∈Z)⑩⎝⎛⎭⎫kπ2，0(k∈Z)⑪2π⑫2π⑬π⑭⎣⎡⎦⎤2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)⑮⎣⎡⎦⎤2kπ＋π2，2kπ＋3π2(k∈Z)⑯[2kπ－π，2kπ](k∈Z)⑰[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)⑱⎝⎛⎭⎫kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)⑲奇函数⑳偶函数○21奇函数(2015·四川)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是()A．y＝sin⎝⎛⎭⎫2x＋π2B．y＝cos⎝⎛⎭⎫2x＋π2 C．y＝sin2x＋cos2x D．y＝sin x＋cos x解：对A项，y＝sin⎝⎛⎭⎫2x＋π2＝cos2x，最小正周期为π，且为偶函数，不符合题意；对B项，y＝cos⎝⎛⎭⎫2x＋π2＝－sin2x，最小正周期为π，且为奇函数，符合题意；对C项，y＝sin2x＋cos2x＝2sin⎝⎛⎭⎫2x＋π4，最小正周期为π，为非奇非偶函数，不符合题意；对D 项，y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，最小正周期为2π，为非奇非偶函数，不符合题意．故选B .(2015·长沙模拟)下列函数中，周期为π且在⎣⎡⎦⎤0，π2上是减函数的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 C ．y ＝sin2x D ．y ＝cos2x解：对于函数y ＝cos2x ，T ＝π，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x ∈[0，π]，y ＝cos2x 是减函数．故选D .(2016·长沙模拟)若函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω∈N *)的图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π6，0，则ω的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解：由题意知πω6＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )，所以ω＝6k＋2(k ∈Z )，又ω∈N *，则ωmin ＝2.故选B .(2016·浙江)已知2cos 2x ＋sin2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0)，则A ＋b ＝________.解：由于2cos 2x ＋sin2x ＝1＋cos2x ＋sin2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1，所以A ＝2，b ＝1，即A ＋b ＝2＋1.故填2＋1.(2015·浙江)函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________．解：f (x )＝1－cos2x 2＋12sin2x ＋1＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋32，最小正周期是T ＝2π2＝π. 由π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得3π8＋k π≤x ≤7π8＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤3π8＋k π，7π8＋k π，k ∈Z .故填π；⎣⎡⎦⎤3π8＋k π，7π8＋k π，k∈Z .类型一 三角函数的定义域、值域(1)函数y ＝lg(sin x －cos x )的定义域是_______________________．解：要使函数有意义，必须使sin x －cos x ＞0. 解法一：利用图象．在同一坐标系中画出[0，2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示：在[0，2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，在⎝⎛⎭⎫π4，5π4内sin x ＞cos x ，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π4＋2k π＜x ＜5π4＋2k π，k ∈Z .解法二：利用三角函数线．如图，MN 为正弦线，OM 为余弦线，要使sin x ＞cos x ，只须π4＜x ＜5π4(在[0，2π]内)．所以定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π4＋2k π＜x ＜5π4＋2k π，k ∈Z .解法三：sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＞0，由正弦函数y ＝sin x 的图象和性质可知2k π＜x －π4＜π＋2k π，解得2k π＋π4＜x ＜5π4＋2k π，k ∈Z .所以定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π4＋2k π＜x ＜5π4＋2k π，k ∈Z .故填⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|π4＋2k π＜x ＜5π4＋2k π，k ∈Z .【点拨】①求三角函数的定义域常常归结为解三角不等式(或等式)；②求三角函数的定义域经常借助两个工具，即单位圆中的三角函数线和三角函数的图象，有时也利用数轴；③对于较为复杂的求三角函数的定义域问题，应先列出不等式(组)分别求解，然后利用数轴或三角函数线求交集．(2)(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是________． 解：f (x )＝1－cos 2x ＋3cos x －34＝－cos 2x ＋3cos x＋14＝－⎝⎛⎭⎫cos x －322＋1，由自变量的范围x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2可得，cos x ∈[0，1]，当cos x ＝32时，函数f (x )取得最大值1.故填1.【点拨】本题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题．求最值时，要注意三角函数的取值范围．(3)已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π2，0上的最大值和最小值． 解：因为－π2≤x ≤0，所以－34π≤2x ＋π4≤π4，所以当2x ＋π4＝－34π，即x ＝－π2时，f (x )有最小值，f (x )min ＝－1； 当2x ＋π4＝0，即x ＝－π8时，f (x )有最大值，f (x )max＝2，即f (x )在⎣⎡⎦⎤－π2，0上的最小值为－1，最大值为2.【点拨】求三角函数的值域(最值)时，代数中求值域(最值)的方法均适用，如配方法(参看例1(2)，注意三角函数的取值范围)、换元法(注意换元后的范围变化)、判别式法、不等式法等．对于形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b)，可直接求出ωx ＋φ在区间的范围，然后根据单调性求解．(1)求函数y ＝lgsin x 2sin x －3的定义域；(2)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，x ∈R ，求f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2 上的最大值和最小值； (3)(北京海淀2017届期中)已知函数f (x )＝cos 4x ＋sin 2x ，下列结论中错误．．的是( ) A ．f (x )是偶函数B ．函数f (x )的最小值为34C.π2是函数f (x )的一个周期 D ．函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2内是减函数 (4)求函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域．解：(1)因为y ＝lgsin x2sin x －3，所以⎩⎨⎧sin x ＞0，2sin x －3≠0.所以原函数的定义域为{}x |2k π＜x ＜2k π＋π，且x ≠2k π＋π3，x ≠2k π＋23π，k ∈Z.(2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x －π6∈⎣⎡⎤－π6，5π6. 当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，函数f (x )有最小值－12； 当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，函数f (x )有最大值1.(3)由f (－x )＝cos 4(－x )＋sin 2(－x )＝f (x )，知函数f (x )是偶函数，则A 正确；f (x )＝(1－sin 2x )2＋sin 2x ＝sin 4x －sin 2x ＋1＝⎝⎛⎭⎫sin 2x －122＋34，又sin 2x ∈[]0，1，则当sin 2x ＝12时，f (x )min ＝34，则B 正确；f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝sin 4⎝⎛⎭⎫x ＋π2－sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋1＝cos 4x ＋1－cos 2x ＝cos 4x ＋sin 2x ，则f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝f (x )，则C 也正确．故选D .(4)设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝1－2sin x cos x ，sin x cos x＝1－t 22，且－2≤t ≤ 2.所以y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－12－ 2.所以函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为⎣⎡⎦⎤－12－2，1. 类型二 三角函数的周期性在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．②④B ．①③④C ．①②③D ．①③ 解：可分别求出各个函数的最小正周期．①y ＝cos|2x |＝cos2x ，T ＝2π2＝π；②由图象知，函数的最小正周期T ＝π；③T ＝2π2＝π；④T ＝π2.综上知，最小正周期为π的所有函数为①②③.故选C .【点拨】①求三角函数的周期，通常应将函数式化为只有一个函数名，且角度唯一，最高次数为一次的形式，然后借助于常见三角函数的周期来求解．②注意带绝对值的三角函数的周期是否减半，可用图象法判定，y ＝|cos x |的图象即是将y ＝cos x 的图象在x 轴下方部分翻折到x 轴的上方去．求下列函数的最小正周期．(1)y ＝(a sin x ＋cos x )2(a ∈R )；(2)y ＝2cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x cos x ； (3)y ＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3. 解：(1)y ＝[a 2＋1sin(x ＋φ)]2＝(a 2＋1)sin 2(x ＋φ)＝(a 2＋1)·1－cos （2x ＋2φ）2(φ为辅助角)，所以此函数的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)y ＝2cos x ⎝⎛⎭⎫12sin x ＋32cos x －3sin 2x ＋sin x cos x＝sin x cos x ＋3cos 2x －3sin 2x ＋sin x cos x ＝sin2x ＋3cos2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 该函数的最小正周期为T ＝2π2＝π. (3)y ＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的最小正周期是y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的最小正周期的一半，即T ＝12×2π4＝π4.类型三 三角函数的奇偶性(1)判断下列函数的奇偶性．(Ⅰ)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x cos (π＋x )； (Ⅱ)f (x )＝1＋sin x －cos x1＋sin x ＋cos x.解：(Ⅰ)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x cos (π＋x ) ＝(－sin2x )(－cos x ) ＝cos x sin2x .因为f (－x )＝cos(－x )sin2(－x )＝－cos x sin2x ＝－f (x )，x ∈R ，所以f (x )是奇函数．(Ⅱ)因为1＋sin x ＋cos x ＝2cos x2⎝⎛⎭⎫sin x 2＋cos x 2≠0， 所以x ≠π＋2k π且x ≠－π2＋2k π，k ∈Z .所以f (x )的定义域不关于原点对称．故f (x )是非奇非偶函数．(2)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋θ＋π3 ⎝⎛⎭⎫θ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2 是偶函数，则θ的值为( ) A ．0 B.π6 C.π4 D.π3解：因为函数f (x )为偶函数，所以θ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )．又因为θ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，所以θ＋π3＝π2，解得θ＝π6，经检验符合题意．故选B . 【点拨】判断三角函数奇偶性时，必须先检查定义域是否是关于原点的对称区间，如果是，再验证f (－x )是否等于－f (x )或f (x )，进而判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数必为非奇非偶函数．另外，对较复杂的解析式，可选择先化简再判断，也可直接用－x 取代x ，再化简判断，还可利用f (－x )±f (x )＝0是否成立来判断其奇偶性．(1)判断下列函数的奇偶性．(Ⅰ)f (x )＝2sin x －1； (Ⅱ)f (x )＝lg(sin x ＋1＋sin 2x )．解：(Ⅰ)因为2sin x －1≥0，所以sin x ≥12，即x ∈⎣⎡⎦⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z )，此区间不关于原点对称．所以f (x )是非奇非偶函数． (Ⅱ)由题意知函数f (x )的定义域为R . f (－x )＝lg[sin(－x )＋1＋sin 2（－x ）]＝lg ()－sin x ＋1＋sin 2x ＝lg 11＋sin 2x ＋sin x＝－lg(1＋sin 2x ＋sin x )＝－f (x )． 所以函数f (x )是奇函数．(2)(2015·哈尔滨模拟)若函数y ＝3cos(2x －π3＋φ)为奇函数，则|φ|的最小值为________．解：依题意得，－π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，φ＝k π＋5π6(k ∈Z )，因此|φ|的最小值是π6.故填π6.类型四 三角函数的单调性(1)(2017·长沙模拟)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3，x∈[－2π，2π]的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤－2π，－5π3B.⎣⎡⎦⎤－2π，－5π3和⎣⎡⎦⎤π3，2π C.⎣⎡⎦⎤－5π3，π3 D.⎣⎡⎦⎤π3，2π 解：令z ＝12x ＋π3，函数y ＝sin z 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，由2k π－π2≤12x ＋π3≤2k π＋π2得4k π－5π3≤x ≤4k π＋π3，而x ∈[－2π，2π]， 故其单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－5π3，π3.故选C .(2)(2017·洛阳模拟)已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4 在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤12，54B.⎣⎡⎦⎤12，34 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0，2] 解：由π2＜x ＜π得π2ω＋π4＜ωx ＋π4＜πω＋π4，由题意知⎝⎛⎭⎫π2ω＋π4，πω＋π4⊆⎣⎡⎦⎤π2，3π2，所以⎩⎨⎧π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2，解得12≤ω≤54.故选A .【点拨】(1)求三角函数单调区间的两种方法：①求函数的单调区间应遵循简化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．若ω＜0，应先用诱导公式化x 的系数为正数，以防止把单调性弄错．(2)已知三角函数的单调区间求参数，先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．(2016·衡阳模拟)设函数f (x )＝3sin ωx＋cos ωx ，ω∈(－3，0)，若f (x )的最小正周期为π，则f (x )的一个单调递减区间是( )A.⎝⎛⎭⎫－π2，0B.⎝⎛⎭⎫－π6，π3 C.⎝⎛⎭⎫π3，5π6 D.⎝⎛⎭⎫π2，π 解：f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6，f (x )的最小正周期T ＝2π|ω|＝π，又ω∈(－3，0)，所以ω＝－2，所以f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，令2k π－π2<2x －π6<2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6<x <k π＋π3，k ∈Z ，当k ＝0时，可得f (x )的一个单调递减区间是⎝⎛⎭⎫－π6，π3.故选B . 类型五 三角函数图象的对称性(1)(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝cos(x ＋π3)，则下列结论错误的是( ) A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π单调递减解法一：(数形结合法)函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象可由y ＝cos x 向左平移π3个单位得到，如图可知，f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π上先递减后递增，D 选项错误．解法二：(排除法) 函数的最小正周期为T ＝2π1＝2π，则函数的周期为T ＝2k π(k ∈Z 且k ≠0)，取k ＝－1，可得函数f (x )的一个周期为－2π，选项A 正确；令x ＋π3＝k π(k ∈Z )，可得对称轴x ＝k π－π3(k ∈Z )，取k ＝3，可得函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称，则选项B 正确；f (x ＋π)＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋π＝－cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，代入x ＝π6得y ＝0，则选项C 正确； 当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，x ＋π3∈⎝⎛⎭⎫5π6，4π3，函数在该区间不单调，选项D 错误．故选D .(2)(2017·重庆适应性测试)若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6－cos ωx (ω＞0)的图象相邻两个对称中心之间的距离为π2，则f (x )的一个单调递增区间为( )A.⎝⎛⎭⎫－π6，π3B.⎝⎛⎭⎫－π3，π6C.⎝⎛⎭⎫π6，2π3D.⎝⎛⎭⎫π3，5π6 解：依题意得f (x )＝32sin ωx －12cos ωx ＝sin(ωx －π6)的图象相邻两个对称中心之间的距离为π2，于是有T ＝2πω＝2×π2＝π，ω＝2，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 当2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，即k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z 时，f (x )单调递增．因此结合各选项知f (x )的一个单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－π6，π3.故选A . 【点拨】①解此类选择题最快捷的方式往往是代入验证法；②对于函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，如果求f (x )图象的对称轴，只需解方程sin(ωx ＋φ)＝±1，也就是令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )求x ；如果求f (x )图象的对称中心，只需解方程sin(ωx ＋φ)＝0，也就是令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求x ；③对于较复杂的三角函数表达式，有时可以通过恒等变换为②的情形，这一部分将在“4.6三角恒等变换”中涉及．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( )A ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称B ．关于直线x ＝π4对称 C ．关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称 D ．关于直线x ＝π3对称 解：由T ＝π知ω＝2πT ＝2ππ＝2，所以函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 函数f (x )的对称轴满足2x ＋π3＝π2＋k π(k ∈Z )，解得x ＝π12＋k π2(k ∈Z )； 函数f (x )的对称中心的横坐标满足2x ＋π3＝k π(k ∈Z )，解得x ＝－π6＋k π2(k ∈Z )．故选A.1．三角函数的定义域的求法三角函数的定义域是研究其他一切性质的前提，求三角函数的定义域事实上就是解最简单的三角不等式(组)．一般可用三角函数的图象或三角函数线来确定三角不等式的解．列三角不等式时，要考虑全面，避免遗漏，既要考虑分式的分母不能为零；偶次方根的被开方数不小于零；对数的真数大于零及底数大于零且不等于1，又要考虑三角函数本身的定义域(如正切函数)等．2．三角函数值域的求法求三角函数的值域常见的有以下几种类型： (1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求值域；(2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域；(3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域．3．判断三角函数的奇偶性判断函数的奇偶性，应先判定函数定义域的对称性，注意偶函数的和、差、积、商仍为偶函数；复合函数在复合过程中，对每个函数而言，“同奇才奇、一偶则偶”．一般情况下，需先对函数式进行化简，再判断其奇偶性．4．求三角函数的周期(1)求三角函数的周期，通常应将函数式化为只有一个函数名，且角度唯一，最高次数为一次的形式，然后借助于常见三角函数的周期来求．(2)三角函数的最小正周期的求法有：①由定义出发去探求；②公式法：化成y ＝A sin(ωx ＋φ)，或y ＝A tan(ωx ＋φ)等类型后，用基本结论T ＝2π|ω|或T ＝π|ω|来确定；③根据图象来判断．5．三角函数的单调性(1)三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数标准式，然后通过同解变形或利用数形结合方法求解．关于复合函数的单调性的求法，参见“2.2函数的单调性与最大(小)值”．(2)利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小，必须先看两角是否同属于这一函数的同一单调区间内，不属于的，可先化至同一单调区间内．若不是同名三角函数，则应考虑化为同名三角函数或用差值法(例如与0比较，与1比较等)求解．1．(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的最小正周期为( )A ．4πB ．2πC ．π D.π2解：函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.故选C .2．(2016·山东)函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( ) A.π2 B ．π C.3π2D ．2π 解：f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6×2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，故最小正周期T ＝2π2＝π.故选B .3．(2016·河北正定中学模拟)已知函数f (x )＝(1＋cos2x )sin 2x ，x ∈R ，则f (x )是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数解：f (x )＝(1＋cos2x )·1－cos2x 2＝1－cos 22x 2＝12sin 22x ＝1－cos4x4，因为f (－x )＝f (x )，所以f (x )是偶函数，周期为T ＝2π4＝π2.故选D .4．(湖北孝感七校教学联盟2017届高三期末)下列命题中正确的是( )A ．函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]是奇函数B ．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x 在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递减 C ．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x －cos ⎝⎛⎭⎫π6＋2x (x ∈R )的一条对称轴方程是x ＝π6D ．函数y ＝sin πx cos πx 的最小正周期为2，且它的最大值为1解：对于A 选项，由于定义域不关于原点对称，所以函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]不是奇函数；对于B 选项，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的递减区间，即y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的递增区间， 令－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，当k ＝0时，－π6≤x ≤π3，所以B 正确；对于C 项中函数， y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x －cos ⎝⎛⎭⎫π6＋2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2－⎝⎛⎭⎫π6＋2x －cos ⎝⎛⎭⎫π6＋2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋2x ，x ＝π6时y ＝0≠±1，选项C 错误； 对于选项D ，函数y ＝12sin2πx 的最小正周期为1，且它的最大值为12，选项D 错误．故选B .5．(2015·武汉模拟)同时具有性质“周期为π，图象关于直线x ＝π3对称，在⎣⎡⎦⎤－π6，π3上是增函数”的函数是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6 解：因为周期为π，所以ω＝2πT＝2，排除选项D ；图象关于直线x ＝π3对称，即函数在x ＝π3处取得最值，排除选项C ；又x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3，所以2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，2x ＋π3∈[0，π]，易知函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 在⎣⎡⎦⎤－π6，π3上为增函数，函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3在⎣⎡⎦⎤－π6，π3上为减函数．故选A .6．(广东韶关2017届调研)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象与直线y ＝b (0<b <2)的三个相邻交点的横坐标分别是π6，5π6，7π6，且函数f (x )在x ＝3π2处取得最小值，那么|φ|的最小值为( )A.3π2 B ．π C.π2 D.π3 解：已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象与直线y ＝b (0<b <2)的三个相邻交点的横坐标分别是π6，5π6，7π6，则函数的周期为π，ω＝2，又函数f (x )在x ＝3π2处取得最小值，则2×3π2＋φ＝2k π＋3π2，k ∈Z ，所以φ＝2k π－3π2，k ∈Z ，故|φ|的最小值为π2.故选C .7．(武汉市武昌区2017届高三调研)函数f (x )＝sin(π2＋2x )－5sin x 的最大值为________． 解：f (x )＝cos2x －5sin x ＝－2sin 2x －5sin x ＋1，则f (x )＝－2⎝⎛⎭⎫sin x ＋542＋338，当sin x ＝－1时，f (x )的最大值是－2＋5＋1＝4.故填4.8．(2015·天津)已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________．解：由条件得f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4， 因为函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，所以f (ω)＝2sin ⎝⎛⎭⎫ω2＋π4＝±2，所以ω2＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，即ω2＝π4＋k π，k ∈Z ，又函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，所以ω2＋π4≤π2，即ω2≤π4，取k＝0，得ω2＝π4，所以ω＝π2.故填π2.9．(北京朝阳2017届期末)已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上的最大值和最小值． 解：(1)因为f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 所以f (x )的最小正周期为π.(2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3.当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f (x )取得最小值－1.10．(2016·天津)已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝⎛⎭⎫π2－x cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－ 3. (1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)讨论f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的单调性． 解：(1)f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠π2＋k π，k ∈Z ，f (x )＝4tan x cos x cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－3 ＝4sin x cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－3＝4sin x ⎝⎛⎭⎫12cos x ＋32sin x －3＝2sin x cos x ＋23sin 2x －3＝sin2x ＋3(1－cos2x )－3＝sin2x －3cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 所以，f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z .所以，当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤－π4，－π12上单调递减． 11．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 的部分图象如图所示．(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π2，－π12上的最大值和最小值．解：(1)f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π，x 0＝7π6，y 0＝3.(2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，－π12，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－5π6，0，于是当2x ＋π6＝0，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值0；当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3时，f (x )取得最小值－3.(2016·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|≤π2)，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )的图象的对称轴，且f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A ．11B ．9C ．7D ．5解：由题意得 ⎩⎨⎧－π4ω＋φ＝k π，π4ω＋φ＝m π＋π2(k ，m ∈Z )，所以φ＝m ＋k 2π＋π4，ω＝1＋2(m －k )，又|φ|≤π2，所以φ＝π4或φ＝－π4.当φ＝π4时，ω＝1－4k ，若ω＝9，当x ∈⎝⎛⎭⎫π18，5π36时，9x ＋π4的范围为⎝⎛⎭⎫3π4，3π2，满足f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，当φ＝－π4时，ω＝－1－4k ，若ω＝11，当x ∈⎝⎛⎭⎫π18，5π36 时，11x －π4的范围为⎝⎛⎭⎫13π36，23π18，不满足π18，5π36上单调，所以ω的最大值为9.故选B.f(x)在⎝⎛⎭⎫2019年高考数学一轮复习第10 页共10 页。

2019版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.3 三角函数的图象与性质 理1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π2，－1)，(2π，0)．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，(π2，0)，(π，－1)，(3π2，0)，(2π，1)．2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质【知识拓展】 1．对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期．(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． 2．奇偶性若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则(1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z )；(2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z )．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)y ＝sin x 在第一、第四象限是增函数．( × )(2)常数函数f (x )＝a 是周期函数，它没有最小正周期．( √ ) (3)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( × ) (4)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( × ) (5)y ＝sin |x |是偶函数．( √ ) (6)若sin x >22，则x >π4.( × )1．函数f (x )＝cos(2x －π6)的最小正周期是( )A.π2 B ．π C ．2π D ．4π答案 B解析 最小正周期为T ＝2πω＝2π2＝π.故选B.2．(教材改编)函数f (x )＝3sin(2x －π6)在区间[0，π2]上的值域为( )A ．[－32，32]B ．[－32，3]C ．[－332，332]D ．[－332，3]答案 B解析 当x ∈[0，π2]时，2x －π6∈[－π6，5π6]，sin(2x －π6)∈[－12，1]，故3sin(2x －π6)∈[－32，3]，即f (x )的值域为[－32，3]．3．函数y ＝tan 2x 的定义域是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k π＋π4，k ∈ZB.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π8，k ∈ZC.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π8，k ∈ZD.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈Z答案 D解析 由2x ≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π2＋π4，k ∈Z ，∴y ＝tan 2x 的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈Z. 4．(2016·开封模拟)已知函数f (x )＝4sin(π3－2x )，x ∈[－π，0]，则f (x )的单调递减区间是( ) A ．[－712π，－π12]B ．[－π，－π2]C ．[－π，－712π]，[－π12，0]D ．[－π，－512π]，[－π12，0]答案 C解析 f (x )＝4sin(π3－2x )＝－4sin(2x －π3)．由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π(k ∈Z )，得－π12＋k π≤x ≤512π＋k π(k ∈Z )． 所以函数f (x )的递减区间是[－π12＋k π，512π＋k π](k ∈Z )．因为x ∈[－π，0]，所以函数f (x )的递减区间是[－π，－712π]，[－π12，0]．5．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，对于任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值为________． 答案 2或－2解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，∴x ＝π6是函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的一条对称轴．∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝±2.题型一 三角函数的定义域和值域例1 (1)函数f (x )＝－2tan(2x ＋π6)的定义域是____________．(2)(2017·郑州月考)已知函数f (x )＝sin(x ＋π6)，其中x ∈[－π3，a ]，若f (x )的值域是[－12，1]，则实数a 的取值范围是________． 答案 (1){x |x ≠k π2＋π6，k ∈Z } (2)[π3，π]解析 (1)由2x ＋π6≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠k π2＋π6，k ∈Z ，所以f (x )的定义域为{x |x ≠k π2＋π6，k ∈Z }． (2)∵x ∈[－π3，a ]，∴x ＋π6∈[－π6，a ＋π6]，∵x ＋π6∈[－π6，π2]时，f (x )的值域为[－12，1]，∴由函数的图象知π2≤a ＋π6≤7π6，∴π3≤a ≤π.思维升华 (1)三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．(2)三角函数值域的不同求法①利用sin x 和cos x 的值域直接求；②把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域； ③通过换元，转换成二次函数求值域．(1)函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为 .(2)函数y ＝2sin(πx 6－π3) (0≤x ≤9)的最大值与最小值的和为__________．答案 (1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∈Z(2)2－ 3解析 (1)要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＞0，cos x －12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＞0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π＜x ＜π＋2k πk ∈Z ，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k πk ∈Z ，∴2k π＜x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∈Z .(2)∵0≤x ≤9，∴－π3≤πx 6－π3≤7π6，∴－32≤sin(πx 6－π3)≤1， 故－3≤2sin(πx 6－π3)≤2.即函数y ＝2sin(πx 6－π3)(0≤x ≤9)的最大值为2，最小值为－ 3.∴最大值与最小值的和为2－ 3. 题型二 三角函数的单调性例2 (1)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )B.⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )(2)已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________．答案 (1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54解析 (1)由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z )，得k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12(k ∈Z )， 所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )，故选B.(2)由π2＜x ＜π，ω＞0，得ωπ2＋π4＜ωx ＋π4＜ωπ＋π4，又y ＝sin x 的单调递减区间为[2k π＋π2，2k π＋3π2]，k ∈Z ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ωπ2＋π4≥π2＋2k π，ωπ＋π4≤3π2＋2k π， k ∈Z ，解得4k ＋12≤ω≤2k ＋54，k ∈Z .又由4k ＋12－(2k ＋54)≤0，k ∈Z 且2k ＋54>0，k ∈Z ，得k ＝0，所以ω∈[12，54]．引申探究本例(2)中，若已知ω>0，函数f (x )＝cos(ωx ＋π4)在(π2，π)上单调递增，则ω的取值范围是____________． 答案 [32，74]解析 函数y ＝cos x 的单调递增区间为[－π＋2k π，2k π]，k ∈Z ， 则⎩⎪⎨⎪⎧ωπ2＋π4≥－π＋2k π，ωπ＋π4≤2k π， k ∈Z ，解得4k －52≤ω≤2k －14，k ∈Z ，又由4k －52－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14≤0，k ∈Z 且2k －14＞0，k ∈Z ，得k ＝1，所以ω∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，74. 思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间：①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错． (2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．(1)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调减区间为________．(2)若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间[0，π3]上单调递增，在区间[π3，π2]上单调递减，则ω等于( ) A.23 B.32 C ．2D ．3答案 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋512π，k ∈Z (2)B 解析 (1)已知函数可化为f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，欲求函数的单调减区间，只需求f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调增区间． 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故所给函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )．(2)∵f (x )＝sin ωx (ω＞0)过原点， ∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数；当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时， y ＝sin ωx 是减函数．由f (x )＝sin ωx (ω＞0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，知π2ω＝π3，∴ω＝32.题型三 三角函数的周期性、对称性 命题点1 周期性例3 (1)在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( ) A ．①②③ B ．①③④ C ．②④D ．①③(2)若函数f (x )＝2tan(kx ＋π3)的最小正周期T 满足1<T <2，则自然数k 的值为________． 答案 (1)A (2)2或3解析 (1)①y ＝cos|2x |＝cos 2x ，最小正周期为π； ②由图象知y ＝|cos x |的最小正周期为π； ③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的最小正周期T ＝2π2＝π；④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的最小正周期T ＝π2，因此选A. (2)由题意得，1<πk<2，∴k <π<2k ，即π2<k <π，又k ∈Z ，∴k ＝2或3.命题点2 对称性例4 (2016·西安模拟)当x ＝π4时，函数f (x )＝sin(x ＋φ)取得最小值，则函数y ＝f (3π4－x )( )A ．是奇函数且图象关于点(π2，0)对称B ．是偶函数且图象关于点(π，0)对称C ．是奇函数且图象关于直线x ＝π2对称D ．是偶函数且图象关于直线x ＝π对称 答案 C解析 ∵当x ＝π4时，函数f (x )取得最小值，∴sin(π4＋φ)＝－1，∴φ＝2k π－3π4(k ∈Z )，∴f (x )＝sin(x ＋2k π－3π4)＝sin(x －3π4)，∴y ＝f (3π4－x )＝sin(－x )＝－sin x,∴y ＝f (3π4－x )是奇函数，且图象关于直线x ＝π2对称．命题点3 对称性的应用例5 (1)已知函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象关于点P (x 0,0)对称，若x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，则x 0＝________.(2)若函数y ＝cos(ωx ＋π6) (ω∈N *)图象的一个对称中心是(π6，0)，则ω的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8答案 (1)－π6 (2)B解析 (1)由题意可知2x 0＋π3＝k π，k ∈Z ， 故x 0＝k π2－π6，k ∈Z ， 又x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，∴－23≤k ≤13，k ∈Z ，∴k ＝0，则x 0＝－π6.(2)由题意知ω6π＋π6＝k π＋π2 (k ∈Z )，∴ω＝6k ＋2(k ∈Z )，又ω∈N *，∴ωmin ＝2.思维升华 (1)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断． (2)求三角函数周期的方法： ①利用周期函数的定义．②利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.(1)(2016·朝阳模拟)已知函数f (x )＝2sin(π2x ＋π5)，若对任意的实数x ，总有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值是( ) A ．2 B ．4 C ．πD ．2π(2)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点(4π3，0)中心对称，那么|φ|的最小值为( )A.π6B.π4C.π3D.π2答案 (1)A (2)A解析 (1)由题意可得|x 1－x 2|的最小值为半个周期，即T 2＝πω＝2. (2)由题意得3cos(2×4π3＋φ)＝3cos(2π3＋φ＋2π)＝3cos(2π3＋φ)＝0，∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝k π－π6，k ∈Z ，取k ＝0，得|φ|的最小值为π6.5．三角函数的性质考点分析 纵观近年高考中三角函数的试题，其有关性质几乎每年必考，题目较为简单，综合性的知识多数为三角函数本章内的知识，通过有效地复习完全可以对此类题型及解法有效攻破，并在高考中拿全分．典例 (1)(2015·课标全国Ⅰ)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z (2)已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 对任意实数x 有f (x ＋π4)＝f (－x )恒成立，且f (π8)＝1，则实数b 的值为( ) A ．－1 B ．3 C ．－1或3D ．－3(3)已知函数f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于________．解析 (1)由图象知，周期T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2， ∴2πω＝2，∴ω＝π. 由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π4.由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，k ∈Z ，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z .故选D.(2)由f (x ＋π4)＝f (－x )可知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 关于直线x ＝π8对称，又函数f (x )在对称轴处取得最值，故±2＋b ＝1，∴b ＝－1或b ＝3. (3)∵ω＞0，－π3≤x ≤π4，∴－ωπ3≤ωx ≤ωπ4.由已知条件知－ωπ3≤－π2，∴ω≥32.答案 (1)D (2)C (3)321．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π4) (ω>0)的最小正周期为π，则f (π8)等于( )A ．1 B.12 C ．－1 D ．－12答案 A解析 ∵T ＝π，∴ω＝2，∴f (π8)＝sin(2×π8＋π4)＝sin π2＝1.2．若函数f (x )＝－cos 2x ，则f (x )的一个递增区间为( ) A ．(－π4，0)B ．(0，π2)C ．(π2，3π4)D ．(3π4，π)答案 B解析 由f (x )＝－cos 2x 知递增区间为[k π，k π＋π2]，k ∈Z ，故只有B 项满足．3．关于函数y ＝tan(2x －π3)，下列说法正确的是( )A ．是奇函数B ．在区间(0，π3)上单调递减C ．(π6，0)为其图象的一个对称中心D ．最小正周期为π 答案 C解析 函数y ＝tan(2x －π3)是非奇非偶函数，A 错误；在区间(0，π3)上单调递增，B 错误；最小正周期为π2，D 错误．∵当x ＝π6时，tan(2×π6－π3)＝0，∴(π6，0)为其图象的一个对称中心，故选C.4．(2016·潍坊模拟)已知函数f (x )＝2sin(ωx －π6)＋1(x ∈R )的图象的一条对称轴为x ＝π，其中ω为常数，且ω∈(1,2)，则函数f (x )的最小正周期为( ) A.3π5 B.6π5 C.9π5D.12π5答案 B解析 由函数f (x )＝2sin(ωx －π6)＋1 (x ∈R )的图象的一条对称轴为x ＝π，可得ωπ－π6＝k π＋π2，k ∈Z ，∴ω＝k ＋23，∴ω＝53，从而得函数f (x )的最小正周期为2π53＝6π5.5．已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|<π)，若f (π8)＝－2，则f (x )的一个单调递减区间是( ) A ．[－π8，3π8]B ．[π8，9π8]C ．[－3π8，π8]D ．[π8，5π8]答案 C解析 由f (π8)＝－2，得f (π8)＝－2sin(2×π8＋φ)＝－2sin(π4＋φ)＝－2，所以sin(π4＋φ)＝1.因为|φ|<π，所以φ＝π4.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .当k ＝0时，－3π8≤x ≤π8，故选C.6．若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0且|φ|<π2)在区间[π6，2π3]上是单调减函数，且函数值从1减少到－1，则f (π4)等于( )A.12B.22C.32D ．1答案 C解析 由题意得函数f (x )的周期T ＝2(2π3－π6)＝π，所以ω＝2，此时f (x )＝sin(2x ＋φ)，将点(π6，1)代入上式得sin(π3＋φ)＝1 (|φ|<π2)，所以φ＝π6，所以f (x )＝sin(2x ＋π6)，于是f (π4)＝sin(π2＋π6)＝cos π6＝32.7．函数y ＝2sin x －1的定义域为______________． 答案 [2k π＋π6，2k π＋56π]，k ∈Z解析 由2sin x －1≥0，得sin x ≥12，∴2k π＋π6≤x ≤2k π＋56π，k ∈Z .8．函数y ＝cos 2x ＋sin x (|x |≤π4)的最小值为___________________．答案1－22解析 令t ＝sin x ，∵|x |≤π4，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22. ∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋54，∴当t ＝－22时，y min ＝1－22. 9．函数y ＝cos(π4－2x )的单调减区间为______________．答案 [k π＋π8，k π＋5π8](k ∈Z )解析 由y ＝cos(π4－2x )＝cos(2x －π4)，得2k π≤2x －π4≤2k π＋π (k ∈Z )，解得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )，所以函数的单调减区间为[k π＋π8，k π＋5π8](k ∈Z )．10．(2016·威海模拟)若f (x )＝2sin ωx ＋1 (ω>0)在区间[－π2，2π3]上是增函数，则ω的取值范围是__________． 答案 (0，34]解析 方法一 由2k π－π2≤ωx ≤2k π＋π2，k ∈Z ，得f (x )的增区间是[2k πω－π2ω，2k πω＋π2ω]，k ∈Z .因为f (x )在[－π2，2π3]上是增函数，所以[－π2，2π3]⊆[－π2ω，π2ω]．所以－π2≥－π2ω且2π3≤π2ω，所以ω∈(0，34]．方法二 因为x ∈[－π2，2π3]，ω>0.所以ωx ∈[－ωπ2，2πω3]，又f (x )在区间[－π2，2π3]上是增函数，所以[－ωπ2，2πω3]⊆[－π2，π2]，则⎩⎪⎨⎪⎧－ωπ2≥－π2，2πω3≤π2，又ω>0，得0<ω≤34.11．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(0<φ<2π3)的最小正周期为π.(1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图象过点(π6，32)，求f (x )的单调递增区间．解 (1)∵f (x )的最小正周期为π， 则T ＝2πω＝π，∴ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)． 当f (x )为偶函数时，f (－x )＝f (x )， ∴sin(2x ＋φ)＝sin(－2x ＋φ)， 将上式展开整理得sin 2x cos φ＝0， 由已知上式对∀x ∈R 都成立， ∴cos φ＝0，∵0<φ<2π3，∴φ＝π2.(2)f (x )的图象过点(π6，32)时，sin(2×π6＋φ)＝32，即sin(π3＋φ)＝32.又∵0<φ<2π3，∴π3<π3＋φ<π，∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3， ∴f (x )＝sin(2x ＋π3)．令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ，∴f (x )的单调递增区间为[k π－5π12，k π＋π12]，k ∈Z .12．(2015·北京)已知函数f (x )＝sin x －23sin 2x2.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的最小值．解 (1)因为f (x )＝sin x ＋3cos x －3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3，所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为0≤x ≤2π3，所以π3≤x ＋π3≤π.当x ＋π3＝π，即x ＝2π3时，f (x )取得最小值．所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－ 3.*13.已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．解 (1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]，∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1， ∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，又由lg g (x )>0，得g (x )>1，∴4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1>1，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6>12，∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，k ∈Z .又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z .∴g (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .。

§3.2 三角函数的图象和性质考纲解读考点内容解读要求五年高考统计常考题型预测热度2013 2014 2015 2016 20171.三角函数的图象及其变换1.由图象求参数2.由表达式确定图象B填空题解答题★★☆2.三角函数的性质及其应用1.判断三角函数的性质2.由性质求相关参数B填空题解答题★★☆分析解读三角函数的图象与性质是研究三角函数的基础,也是江苏高考的热点,考查重点在以下几个方面:函数解析式、函数图象及图象变换、两域(定义域、值域)、四性(单调性、奇偶性、对称性、周期性).五年高考考点一三角函数的图象及其变换1.(2017课标全国Ⅰ理改编,9,5分)已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin,则下面结论正确的是.①把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2;②把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2;③把C1上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2;④把C1上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2.答案④2.(2016课标全国Ⅰ改编,6,5分)将函数y=2sin的图象向右平移个周期后,所得图象对应的函数为.答案y=2sin3.(2016四川理改编,3,5分)为了得到函数y=sin的图象,只需把函数y=sin 2x的图象上所有的点向平移个单位长度.答案右;4.(2016课标全国Ⅲ,14,5分)函数y=sin x-co s x的图象可由函数y=2sin x的图象至少向右平移个单位长度得到.答案5.(2015湖南改编,9,5分)将函数f(x)=sin 2x的图象向右平移φ个单位后得到函数g(x)的图象.若对满足|f(x1)-g(x2)|=2的x1,x2,有|x1-x2|min=,则φ=.答案6.(2014辽宁改编,9,5分)将函数y=3sin的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数在区间上单调递增.答案(k∈Z)7.(2013湖北理改编,4,5分)将函数y=cos x+sin x(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后,所得到的图象关于y轴对称,则m的最小值是.答案教师用书专用(8—9)8.(2015湖北,17,11分)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)在某一(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式;(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到y=g(x)的图象.若y=g(x)图象的一个对称中心为,求θ的最小值.解析(1)根据表中已知数据,解得A=5,ω=2,φ=- .π且函数表达式为f(x)=5sin.(2)由(1)知 f(x)=5sin,得g(x)=5sin.因为y=sin x的对称中心为(kπ,0),k∈Z.所以令2x+2θ-=kπ,k∈Z,解得x=+-θ,k∈Z.由于函数y=g(x)的图象关于点中心对称,所以令+-θ=,k∈Z,解得θ=-,k∈Z.由θ>0可知,当k=1时,θ取得最小值.9.(2013福建理,20,14分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的周期为π,图象的一个对称中心为.将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得到的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象.(1)求函数f(x)与g(x)的解析式;(2)是否存在x0∈,使得f(x0),g(x0), f(x0)g(x0)按照某种顺序成等差数列?若存在,请确定x0的个数;若不存在,说明理由;(3)求实数a与正整数n,使得F(x)=f(x)+ag(x)在(0,nπ)内恰有2 013个零点.解析(1)由函数f(x)=sin(ωx+φ)的周期为π,ω>0,得ω==2.又曲线y=f(x)的一个对称中心为,φ∈(0,π),故f=sin=0,得φ=,所以f(x)=cos 2x.将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得到y=cos x的图象,再将y=cos x的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)=cos的图象,所以g(x)=sin x.(2)当x∈时,<sin x<,0<cos 2x<,所以sin x>cos 2x>sin xcos 2x.问题转化为方程2cos 2x=sin x+sin xcos 2x在内是否有解.设G(x)=sin x+sin xcos 2x-2cos 2x,x∈,则G'(x)=cos x+cos xcos 2x+2sin 2x(2-sin x).因为x∈,所以G'(x)>0,G(x)在内单调递增.又G=-<0,G=>0,且函数G(x)的图象连续不断,故可知函数G(x)在内存在唯一零点x0,即存在唯一的x0∈满足题意.(3)依题意得,F(x)=asin x+cos 2x,令F(x)=asin x+cos 2x=0.当sin x=0,即x=kπ(k∈Z)时,cos 2x=1,从而x=kπ(k∈Z)不是方程F(x)=0的解,所以方程F(x)=0等价于关于x的方程a=-,x≠kπ(k∈Z).现研究x∈(0,π)∪(π,2π)时方程a=-的解的情况.令h(x)=-,x∈(0,π)∪(π,2π),则问题转化为研究直线y=a与曲线y=h(x),x∈(0,π)∪(π,2π)的交点情况.h'(x)=,令h'(x)=0,得x=或x=.的变化情况如下表当x>0且x趋近于0时,h(x)趋向于-∞,当x<π且x趋近于π时,h(x)趋向于-∞,当x>π且x趋近于π时,h(x)趋向于+∞,当x<2π且x趋近于2π时,h(x)趋向于+∞.故当a>1时,直线y=a与曲线y=h(x)在(0,π)内无交点,在(π,2π)内有2个交点;当a<-1时,直线y=a与曲线y=h(x)在(0,π)内有2个交点,在(π,2π)内无交点;当-1<a<1时,直线y=a与曲线y=h(x)在(0,π)内有2个交点,在(π,2π)内有2个交点.由函数h(x)的周期性,可知当a≠±1时,直线y=a与曲线y=h(x)在(0,nπ)内总有偶数个交点,从而不存在正整数n,使得直线y=a与曲线y=h(x)在(0,nπ)内恰有2 013个交点;又当a=1或a=-1时,直线y=a与曲线y=h(x)在(0,π)∪(π,2π)内有3个交点,由周期性,2013=3×671,所以依题意得n=671×2=1 342.综上,当a=1,n=1 342或a=-1,n=1 342时,函数F(x)=f(x)+ag(x)在(0,nπ)内恰有2 013个零点.考点二三角函数的性质及其应用1.(2017课标全国Ⅲ文改编,6,5分)函数f(x)=sin+cos的最大值为.答案2.(2016课标全国Ⅱ理改编,7,5分)若将函数y=2sin 2x的图象向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴为.答案x=+(k∈Z)3.(2015浙江,11,6分)函数f(x)=sin2x+sin xcos x+1的最小正周期是,单调递减区间是.答案π;(k∈Z)4.(2014安徽改编,6,5分)设函数f(x)(x∈R)满足f(x+π)=f(x)+sin x.当0≤x<π时, f(x)=0,则f=.答案5.(2015山东,16,12分)设f(x)=sin xcos x-cos2.(1)求f(x)的单调区间;(2)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若f=0,a=1,求△ABC面积的最大值. 解析(1)由题意知f(x)=-=-=sin 2x-.由-+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z,可得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z;由+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z,可得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z);单调递减区间是(k∈Z).(2)由f=sin A-=0,得sin A=,由题意知A为锐角,所以cos A=.由余弦定理可得1+bc=b2+c2≥2bc,即bc≤2+,且当b=c时等号成立.因此bcsin A≤.所以△ABC面积的最大值为.教师用书专用(6)6.(2013湖南理,17,12分)已知函数f(x)=sin+cos,g(x)=2sin2.(1)若α是第一象限角,且f(α)=,求g(α)的值;(2)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合.解析f(x)=sin+cos=sin x-cos x+cos x+sin x=sin x,g(x)=2sin2=1-cos x.(1)由f(α)=得sin α=.又α是第一象限角,所以cos α>0.从而g(α)=1-cos α=1-=1-=.(2)f(x)≥g(x)等价于sin x≥1-cos x,即sin x+cos x≥1.于是sin≥.从而2kπ+≤x+≤2kπ+,k∈Z,即2kπ≤x≤2kπ+,k∈Z.故使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合为x2kπ≤x≤2kπ+,k∈Z.三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一三角函数的图象及其变换1.(2018江苏天一中学调研)将函数y=5sin的图象向左平移φ个单位后,所得函数图象关于直线x=对称,则φ=.答案2.(苏教必4,二,3,变式)函数y=sin x的图象和y=的图象交点的个数是.答案 33.(苏教必4,二,3,变式)定义在区间上的函数y=6cos x的图象与y=5tan x的图象的交点为P,过点P作PP1⊥x轴于点P1,直线PP1与y=sin x的图象交于点P2,则线段P1P2的长为.答案4.(2017江苏南京、盐城一模,9)将函数y=3sin的图象向右平移φ个单位后,所得图象对应的函数为偶函数,则φ=.答案考点二三角函数的性质及其应用5.(2018江苏徐州铜山中学期中)函数f(x)=2sin的最小正周期为.答案 66.(2018江苏南通中学高三阶段练习)已知函数y=cos x与y=sin(2x+φ)(0≤φ<π)的图象有一个横坐标为的交点,则φ的值是.答案7.(2018江苏常熟期中)函数y=sin(2x+φ)图象的一条对称轴是x=,则φ的值是.答案8.(2017江苏南京学情检测,4)若函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为π,则f的值是.答案9.(2017江苏南通中学高三上学期期中,7)函数y=2sin的图象与y轴最近的对称轴方程是.答案x=-10.(苏教必4,二,3,变式)已知函数f(x)=sin(x∈R),下面结论错误的是.(只填序号)①函数f(x)的最小正周期为2π;②函数f(x)在区间上是增函数;③函数f(x)的图象关于直线x=0对称;④函数f(x)是奇函数.答案④11.(2016江苏如东期中,9)函数f(x)=sin x-cos x(-π≤x≤0)的单调增区间是.答案B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:35分时间:20分钟)一、填空题(每小题5分,共20分)1.(2018江苏常熟期中)已知函数f(x)=sin,若对任意的实数α∈,都存在实数β∈[0,m],使f(α)+f(β)=0,则实数m的最小值是.答案2.(2018江苏扬州中学高三月考)已知函数y=sin ωx(ω>0)在区间上为增函数,且图象关于点(3π,0)对称,则ω的取值集合为.答案3.(2017江苏徐州沛县中学质检,12)若函数y=sin x+mcos x图象的一条对称轴方程为x=,则实数m的值为.答案4.(2016江苏常州武进期中,9)已知函数f(x)=2sin,x∈的图象与直线y=m的三个交点的横坐标分别为x1,x2,x3,其中x1<x2<x3,那么x1+2x2+x3的值为.答案二、解答题(共15分)5.(2018江苏常熟期中)已知函数f(x)=-sin++b(a>0,b>0)的图象与x轴相切,且图象上相邻两个最高点之间的距离为.(1)求a,b的值;(2)求f(x)在上的最大值和最小值.解析(1)∵f(x)图象上相邻两个最高点之间的距离为,∴f(x)的周期为,∴=,∵a>0,∴a=2,此时f(x)=-sin++b,又∵f(x)的图象与x轴相切,∴=,∵b>0,∴b=-.(2)由(1)可得f(x)=-sin+,∵x∈,∴4x+∈,∴当4x+=,即x=时,f(x)取得最大值;当4x+=,即x=时,f(x)取得最小值0.C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 三角函数性质1.函数y=3tan的对称中心是.答案(k∈Z)2.函数y=-3sin2x+9sin x+的最大值为.答案方法2 利用三角函数性质求参数3.已知ω是正实数,函数f(x)=2sin ωx在上是增函数,则ω的取值范围为.答案4.是否存在实数k,使得当x∈时,k+tan的值总不大于零?若存在,求出k的范围;若不存在,请说明理由.解析假设存在实数k,符合题意,则k≤tan恒成立,∴k≤tan,而当x∈时,0≤2x-≤,0≤tan≤,∴k≤0,所以存在符合条件的实数k,其取值范围为(-∞,0].。

第四节 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像及三角函数的简单应用[考纲传真] 1.了解函数y ＝A sin F (ωx ＋φ)的物理意义；能画出函数的图像，了解参数A ，ω，φ对函数图像变化的影响.2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．(对应学生用书第45页)[基础知识填充]1．函数y ＝A sin (ωx ＋φ)中各量的物理意义y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，x ≥0)，表示一个振动量时振幅 周期 频率 相位 初相AT ＝2πω f ＝1T ＝ω2πωx ＋φ φx－φωπ2－φω π－φω32π－φω 2π－φωωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A先平移后伸缩 先伸缩后平移⇓ ⇓[知识拓展]1．由y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换中，应向左平移φω个单位长度，而非φ个单位长度．2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴由ωx ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z 确定；对称中心由ωx ＋φ＝k π，k ∈Z 确定其横坐标．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)利用图像变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的单位长度一致．( )(2)将y ＝3sin 2x 的图像左移π4个单位后所得图像的解析式是y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.( ) (3)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图像的两个相邻对称轴间的距离为一个周期．( ) (4)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图像的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．(2016·四川高考)为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图像，只需把函数y ＝sin x 的图像上所有的点( )A ．向左平行移动π3个单位长度B ．向右平行移动π3个单位长度C ．向上平行移动π3个单位长度D ．向下平行移动π3个单位长度A [把函数y ＝sin x 的图像上所有的点向左平行移动π3个单位长度就得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图像．]3．(2017·山东高考)函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( ) A ．π2B ．2π3C ．πD ．2πC [y ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，T ＝2π2＝π. 故选C ．]4．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图像，则φ的一个可能取值为( )A ．3π4B ．π4C ．0D ．－π4B [把函数y ＝sin(2x ＋φ)沿x 轴向左平移π8个单位后得到函数y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ2＋π8＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π4为偶函数，则φ的一个可能取值是π4.]5．(教材改编)电流I (单位：A)随时间t (单位：s)变化的函数关系式是I ＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3，t ∈[0，＋∞)，则电流I 变化的初相、周期分别是________．【导学号：00090097】π3，150 [由初相和周期的定义，得电流I 变化的初相是π3，周期T ＝2π100π＝150.](对应学生用书第46页)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像及变换(1)(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( )A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线 向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线 向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2D [因为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3－π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以曲线C 1：y ＝cos x 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到曲线y ＝cos 2x ，再把得到的曲线y＝cos 2x 向左平移π12个单位长度，得到曲线y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 故选D ．](2)已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4，x ∈R .①画出函数f (x )在一个周期的闭区间上的简图；②将函数y ＝sin x 的图像作怎样的变换可得到f (x )的图像？ [解] ①列表取值：xπ2 32π 52π 72π 92π 12x －π40 π2 π 32π 2π f (x )3－3描出五个关键点并用光滑曲线连接，得到一个周期的简图．②先把y ＝sin x 的图像向右平移π4个单位，然后把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f (x )的图像．[规律方法] 1.变换法作图像的关键是看x 轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx ＋φ＝ω⎝⎛⎭⎪⎫x ＋φω确定平移单位．2．用“五点法”作图，关键是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，描点得出图像．如果在限定的区间内作图像，还应注意端点的确定．[变式训练1] (1)(2016·全国卷Ⅰ)将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为( ) A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3(2)(2018·长春模拟)要得到函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像，只需将函数g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像( )【导学号：00090098】A ．向左平移π2个单位长度B ．向右平移π2个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度(1)D (2)C [(1)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的周期为π，将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图像向右平移14个周期即π4个单位长度，所得图像对应的函数为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，故选D ．(2)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6，故把g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像向左平移π4个单位，即得函数f (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋π3的图像，即得到函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像，故选C ．]求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式(1)(2016·全国卷Ⅱ)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图像如图3­4­1所示，则( )图3­4­1A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3 (2)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图像的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( )A ．y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3＋2D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2 (1)A (2)D [(1)由图像知T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，故T ＝π，因此ω＝2ππ＝2.又图像的一个最高点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2，所以A ＝2，且2×π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，故φ＝2k π－π6(k ∈Z )，结合选项可知y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.故选A ．(2)由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的最大值为4，最小值为0，可知b ＝2，A ＝2.由函数的最小正周期为π2，可知2πω＝π2，得ω＝4.由直线x ＝π3是其图像的一条对称轴，可知4×π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，从而φ＝k π－5π6，k ∈Z ，故满足题意的是y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2.][规律方法] 确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的步骤和方法 (1)求A ，b ：确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m2，b ＝M ＋m2；(2)求ω：确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT；(3)求φ：常用的方法有：①代入法：把图像上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图像与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．“第一点”(即图像上升时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图像的“峰点”)时ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图像下降时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图像的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π2；“第五点”时ωx ＋φ＝2π.[变式训练2] (2017·石家庄一模)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图像如图3­4­2所示，则f ⎝⎛⎭⎪⎫11π24的值为( )图3­4­2A ．－62 B ．－32C ．－22D ．－1D [由图像可得A ＝2，最小正周期T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π，则ω＝2πT ＝2.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫7π6＋φ＝－2，解得φ＝－5π3＋2k π(k ∈Z )，即k ＝1，φ＝π3，则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π24＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12＋π3＝2sin 5π4＝－1，故选D ．]函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图像与性质的应用(2016·天津高考)已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性．【导学号：00090099】[解] (1)f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z. 2分f (x )＝4tan x cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x － 3＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3 ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－ 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.6分(2)令z ＝2x －π3，则函数y ＝2sin z 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z . 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z .8分设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝x ⎪⎪⎪－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4.所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上是增加的，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上是减少的.12分[规律方法] 讨论函数的单调性，研究函数的周期性、奇偶性与对称性，都必须首先利用辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数． [变式训练3] 设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω＞0)，且y ＝f (x )图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值． [解] (1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx ＝32－3·1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx ＝32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π3.3分因为图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，又ω＞0，所以2π2ω＝4×π4，因此ω＝1.5分 (2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.6分当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3，所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，则－1≤f (x )≤32. 10分故f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1.12分三角函数模型的简单应用某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0,24)．(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？ [解] (1)因为f (t )＝10－2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，2分又0≤t ＜24，所以π3≤π12t ＋π3＜7π3，－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3≤1.4分当t ＝2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝－1. 于是f (t )在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.6分 (2)依题意，当f (t )＞11时实验室需要降温．由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，故有10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＞11，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＜－12.9分又0≤t ＜24，因此7π6＜π12t ＋π3＜11π6，即10＜t ＜18.故在10时至18时实验室需要降温.12分[规律方法] 1.三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面：一是用已知的模型去分析解决实际问题，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型解决问题，其关键是合理建模．2．建模的方法是认真审题，把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”，这个过程就是数学建模的过程．[变式训练4] (2015·陕西高考)如图3­4­3，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )图3­4­3A ．5B ．6C ．8D ．10C [根据图像得函数的最小值为2，有－3＋k ＝2，k ＝5，最大值为3＋k ＝8.]。