1.1第一章 多项式 1

高等代数教学大纲(Higher Algebra)前言教学大纲是一门课程的指导性文件．教学大纲的科学化、规范化，对建设良好的教学秩序，提高教学质量，搞好教学管理等方面都有很重要的意义．为此，我们根据学校有关文件，编写了《高等代数》这门课程的教学大纲．《高等代数》这门课程是数学系各专业的必修专业基础课程之一，可为后继课程的学习打下必要的基础．它是数学系各专业硕士研究生入学考试的必考课程．它除培养学生掌握必要的基础知识之外，同时着重训练学生掌握数学结构的观念、公理化的方法、纯形式化的思维，从而在知识结构、综合素质、创新能力等方面对学生加以全面培养和整体提高．本课程的基本内容有: 包括：多项式，行列式，线性方程组, 矩阵，二次型，线性空间, 线λ矩阵，欧几里得内积空间，双线性函数和辛空间．重点是下列几章：多项式，行性变换, -列式，线性方程组, 矩阵，二次型，线性空间, 线性变换,欧几里得内积空间.通过本课程的学习，学生能正确理解矩阵、行列式、线性空间、线性变换、欧几里得空间等有关概念, 能理解并掌握线性方程组理论和多项式的理论，并能熟练地应用它们，为后续课程的学习打下坚实的基础．本课程作为基础课，对其它课程依赖不大，当然，如果在学完《空间解析几何》之后开设效果会更好．本课程作为基础课，应在大学低年级学生中开设，建议对本科一年级学生开设．本课程为一学年课程．教材: 《高等代数学》（第三版）北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组, 高等教育出版社，2003年。

参考书:《线性代数》吴赣昌主编，中国人民大学出版社，2006年《高等代数学》姚慕生编, 复旦大学出版社，1999《高等代数新方法》王品超主编，山东教育出版社，1989年《高等代数学》（第二版）张贤科主编，清华大学出版社，2002年《Linear Algebra》S.K.Jain, A.D.Gunawardena，机械工业出版社，2003年建议学时分配课程内容第一章多项式[教学目的与要求]通过本章学习，实现如下目的：(1)理解整除、最大公因式、互素、多项式的不可约性、重因式、本原多项式等概念；(2)熟练掌握整除的性质；(3)熟练掌握最大公因式的求法；(4)熟练掌握有无重因式的判别方法；(5)熟练掌握整系数多项式的有理根的求法；(6)熟练掌握整系数多项式在有理数域上不可约的艾森斯坦判别法；(7)掌握复系数多项式因式分解定理、实系数多项式因式分解定理、有理系数多项式的因式分解定理的应用；(8)掌握韦达定理和多元多项式的基本性质．[教学重点]整除的性质、最大公因式的求法、有无重因式的判别方法、整系数多项式的有理根的求法、整系数多项式不可约的艾森斯坦判别法；复系数多项式因式分解定理、实系数多项式因式分解定理、有理系数多项式的因式分解定理的应用.[教学难点]整系数多项式的有理根的求法、整系数多项式不可约的艾森斯坦判别法.[教学内容]§1.1. 数域数域的定义和例子§1.2. 一元多项式一、一元多项式的定义二、一元多项式的运算和运算律§1.3. 整除的概念一、带余除法二、整除的定义和几个常用的性质§1.4. 最大公因式一、最大公因式的定义和求法二、互素§1.5. 因式分解定理一、不可约多项式的定义和简单性质二、因式分解唯一性定理§1.6. 重因式重因式的定义和性质§1.7. 多项式函数一、余数定理二、多项式的根或零点§1.8. 复系数与实系数多项式的因式分解一、复系数多项式的因式分解定理 二、实系数多项式的因式分解定理§1.9. 有理系数多项式一、本原多项式的定义和高斯引理 二、整系数多项式的有理根的求法 三、爱森斯坦判别法§1.10. 多元多项式多元多项式的定义及其次数§1.11. 对称多项式一、初等对称多项式二、对称多项式基本定理思考题1． 证明：多项式)(x f 整除任意多项式的充要条件是)(x f 是零次多项式．2． 设b a ,为两个不相等的常数．证明：多项式)(x f 被))((b x a x --除所得的余式为ba b bf a af x b a b f a f --+--)()()()(3． 证明：1|1--n d x x 当且仅当n d |．4． 设k 为正整数．证明：)(|x f x k 当且仅当)(|x f x ．5． 已知242)(234---+=x x x x x f ，22)(234---+=x x x x x g ，求)(),(x v x u 使))(),(()()()()(x g x f x g x v x f x u =+． 6． 证明：如果)(|)(x f x d ，)(|)(x g x d ，且)()()()()(x g x v x f x u x d +=，则)(x d 是)(x f 与)(x g 的最大公因式．7． 证明：如果1))(),((=x g x f ，1))(),((=x h x f ，则1))()(),((=x h x g x f ． 8． 证明：如果1))(),((=x g x f ，则1))(),((=mmx g x f ． 9． 若1))(),((21=x f x f ，则对任意的)(x g ，))(),(())(),(())(),()((2121x g x f x g x f x g x f x f =．１０．判断下列多项式在有理数域上是否有重因式，若有，则求出重因式，并确定重数（１）1)(24++=x x x f（２）277251815)(2346+-++-=x x x x x x f１１．设)(x p 是)(x f '的k 重因式，能否说)(x p 是)(x f 的1+k 重因式，为什么？１２．设n 为正整数，证明：如果)(|)(x g x f nn ，则)(|)(x g x f ．１３．设)(x p 为数域P 上的不可约多项式，)(x f 与)(x g 为数域P 上的多项式．证明：如果)()(|)(x g x f x p +，且)()(|)(x g x f x p ，则)(|)(x f x p ，且)(|)(x g x p ．１４．设)(x f 为数域P 上的n 次多项式，证明：如果)(|)(x f x f '，则nb x a x f )()(-=，其中P b a ∈,．１５．求多项式92)(24++=x x x f 与944)(234-+-=x x x x g 的公共根．１６．求多项式61510)(25-+-=x x x x f 的所有根，并确定重数．第二章 行列式[教学目的与要求] 通过本章学习，实现如下目的： （1） 理解行列式的概念；（2） 能熟练应用行列式的性质和展开定理计算行列式； （3） 会用Cramer 法则求解线性方程组． [教学重点]行列式的计算、Cramer 法则. [教学难点] 行列式的定义 [教学内容]§2.1. 引言二阶、三阶行列式与线性方程组的解§2.2. 排列一、排列及排列逆序数的定义 二、奇偶排列§2.3. n 阶行列式 n 阶行列式的定义§2.4. n 阶行列式的性质 n 阶行列式的性质及其推论§2.5. 行列式的计算n 阶行列式的计算§2.6. 行列式按一行一列展开一、n 阶行列式按一行一列展开定理 二、范德蒙（Vandermonde ）行列式§2.7. 克拉默（Cramer ）法则 克拉默（Cramer ）法则§2.8. 拉普拉斯（Laplace ）定理 行列式的乘法规则一、拉普拉斯（Laplace ）定理 二、行列式的乘法规则思考题１． 求下列排列的逆序数：（１）)2(24)12(13n n -； （２）21)1( -n n ． ２． 写出四阶行列式中含有因子4123a a 的项，并指出应带的符号． ３．用行列式的定义计算下列行列式：（１）00001002001000nn -； （２）000000053524342353433323125242322211312a a a a a a a a a a a a a a a a ． ４．用行列式的性质及行列式的展开定理计算下列行列式：（１）xa a a a x a a a a x a a a a xn nn321212121； （２）na a a +++11111111121，其中021≠n a a a（３）12125431432321-n n n； （４）221222212121211nn n n n na x a a a a a a a x a a a a a a a x +++其中021≠n x x x ．（５）x a a a a a x x x n n n +-----122110000010001；（６）nnn n n nn n nna a a a a a a a a a a a21222212222121111---５． 已知４阶行列式D 中的第１行上的元素分别为4,0,2,1-，其余子式分别为1,5,2,1--；第３行上元素的余子式分别为x ,7,1,6-；求行列式D 的值，及x 的值．６．设４阶行列式1234302186427531中第４行元素的余子式分别为44434241,,,M M M M ，代数余子式分别为44434241,,,A A A A ，求44434241432A A A A +++，44434241432M M M M +++．７． 设４阶行列式2211765144334321中第４行元素的代数余子式分别为44434241,,,A A A A ，求4241A A +与4443A A +．８． 设行列式nn0010301002112531-中第１行元素的代数余子式分别为n A A A 11211,,, ，求n A A A 11211+++ ．第三章 线性方程组[教学目的与要求] 通过本章学习，实现如下目的：（1） 掌握向量的线性表示、线性相关性的判别法； （2） 掌握极大无关组的求法； （3） 掌握矩阵秩的求法；（4） 掌握线性方程组解情况的判定方法； （5） 掌握齐次线性方程组的基础解系的求法； （6） 掌握非齐次线性方程组解结构定理[教学重点] 向量的线性表示、线性相关性、极大无关组、向量组的秩、矩阵的秩、齐次线性方程组的基础解系.[教学难点] 极大无关组、矩阵的秩.[教学内容]§3.1. 消元法消元法§3.2. n 维向量空间n 维向量及其运算§3.3. 线性相关性一、线性表示二、向量组的线性相关性 三、向量组的极大无关组、秩§3.4. 矩阵的秩矩阵的行秩、列秩、秩§3.5. 线性方程组有解判定定理线性方程组有解判定定理§3.6. 线性方程组解的结构一、齐次线性方程组的解结构 二、非齐次线性方程组的解结构§3.7. 二元高次方程组二元高次方程组可作为选学内容.思考题１．设)1,1,1(1λα+=，)1,1,1(2λα+=，)1,1,1(3λα+=，),,0(2λλβ=．问当λ为何值时（１）β不能由321,,ααα线性表出？（２）β可由321,,ααα线性表出，并且表示法唯一？（３）β可由321,,ααα线性表出，并且表示法不唯一？ ２．设)1,2,(1a =α，)0,,2(2a =α，)1,1,1(3-=α，问a 为何值时321,,ααα线性相关？３． 求下列向量组的一个极大无关组，并将其余向量表为该极大无关组的线性组合．（１）)5,2,1(1-=α，)1,2,3(2-=α，)17,10,3(3-=α；（２）)4,0,1,1(1-=α，)6,5,1,2(2=α，)0,2,1,1(3--=α，)14,7,0,3(4=α． ４．已知21,ββ是非齐次线性方程组b Ax =的两个解，21,αα是其导出组0=Ax 的基础解系，21,k k 是任意常数，则b Ax =的通解是（ ）．（Ａ）2)(2121211ββααα-+++k k ； （Ｂ）2)(2121211ββααα++-+k k ；（Ｃ）2)(2121211ββββα-+-+k k ； （Ｄ）2)(2121211ββββα++-+k k ．５．设A 为秩为３的45⨯矩阵，321,,ααα是非齐次线性方程组b Ax =的三个不同的解，若)0,0,0,2(2321=++ααα，)8,6,4,2(321=+αα，求方程组b Ax =的通解． ６．设b Ax =为４元线性方程组，其系数矩阵A 的秩为３，又321,,ααα是b Ax =的三个解，且)0,2,0,2(1=α，)0,2,2,0(32=+αα，求方程组b Ax =的通解．７．已知β是非齐次线性方程组b Ax =的解，s ααα,,,21 是其导出组0=Ax 的基础解系，证明s αβαβαββ+++,,,,21 是b Ax =解向量组的极大无关组．８．线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=+--=+++=+++243214312143214321121053153363132k x x x x x x k x x x x x x x x x x ，当21,k k 取何值时，无解？有唯一解？有无穷多解？在方程组有无穷多解时，用导出组的基础解系表示其全部解．第四章 矩阵[教学目的与要求] 通过本章学习，实现如下目的：(1) 能熟练地进行矩阵的各种运算(加、减、数乘、乘、转置、求逆等)； (2) 能熟练掌握矩阵的初等变换，理解初等变换和初等矩阵的关系； (3) 能掌握各种求逆矩阵的方法； (4) 会应用分块乘法的初等变换. [教学重点]矩阵的各种运算(加、减、数乘、乘、转置、求逆等)；矩阵的初等变换; 初等变换求逆法；分块乘法的初等变换.[教学难点] 分块乘法的初等变换 [教学内容]§2.1. 矩阵的概念的一些背景矩阵的概念§2.2. 矩阵的运算一、矩阵的加法、减法 二、矩阵的乘法三、数与矩阵的乘法 四、矩阵的转置§2.3. 矩阵乘积的行列式与秩一、矩阵乘积的行列式 二、矩阵乘积的秩§2.4. 矩阵的逆一、矩阵可逆的定义 二、伴随矩阵求逆法§2.5. 矩阵的分块一、分块矩阵的概念 二、分块矩阵的运算三、几种分块矩阵的逆矩阵§2.6. 初等矩阵一、初等矩阵及其性质 二、初等变换求逆法§2.7. 分块乘法的初等变换及应用举例一、分块乘法的初等变换二、分块乘法的初等变换应用举例思考题１． 举例说明下列命题是错误的：（１） 若02=A ，则0=A ；（２） 若A A =2，则0=A 或E A =；（３） 若E A =2，则E A =或E A -=； （４） 若AY AX =，且0≠A ，则Y X =． ２． 证明（１）2222)(B AB A B A +±=±成立当且仅当BA AB =； （２）22))((B A B A B A -=-+成立当且仅当BA AB =． ３．已知n n ij a A ⨯=)(为n 阶方阵，写出：（１）2A 的k 行l 列元素； （２）TAA 的k 行l 列元素； （３）A A T的k 行l 列元素． ４． 已知)3,2,1(=α，)31,21,1(=β．设矩阵βαT A =，求n A ． ５． 证明：对任意的n m ⨯矩阵A ，T AA 和A A T都是对称矩阵．６． 设A 是n 阶方阵，且E AA T=，1||=A ，求||n E A -．７．已知A 为三阶方阵，且21||=A ，求|2)3(|*1A A --．８．已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100021201A ，求1*])[(-T A ．９．（１）已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=300130113A ，矩阵B 满足B A AB 2+=，求B ；（２）已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101020101A ，矩阵B 满足B A E AB +=+2，求B ；（３）已知)1,2,1(-=diag A ，矩阵B 满足E BA BA A 82*-=，求B ． １０．已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321100010101100001010A ，求A ．１１．（１）证明)()()(B r A r B A r +≤+；（２）若n 阶矩阵B A ,满足0=AB ，证明n B r A r ≤+)()(；（３）若n 阶矩阵A 满足A A =2，证明n E A r A r =-+)()(；（４）若n 阶矩阵A 满足E A =2，证明n E A r E A r =-++)()(． １２．（１）B A ,为两个n 阶方阵，证明||||B A B A AB BA -⋅+=； （２）B A ,分别为m n ⨯和n m ⨯矩阵，证明||||BA E AB E E AB E m n nm -=-=．第五章 二次型[教学目的与要求] 通过本章学习，实现如下目的：（1）掌握用非退化线性替换把二次型化成标准形和规范形的方法； （2）会判断二次型的正定性.[教学重点] 二次型化标准形和规范形的方法；惯性定理；二次型的正定性. [教学难点] 惯性定理 [教学内容]§5.1. 二次型及其矩阵表示一、二次型及其矩阵表示 二、矩阵的合同§5.2. 标准形化二次型为标准形的配方法§5.3. 唯一性一、复二次型的规范形二、实二次型的规范形、惯性定理§5.4. 正定二次型一、正定二次型的概念和判定方法二、半正定二次型简介思考题１．写出下列二次型AX X '的矩阵，其中 （１）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=205213111A ； （２）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211 ２． 设二次型32212221442x x x x x x f --+=，分别作下列可逆线性变换，求新二次型的矩阵，（１）Y X ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=100210211； （２）Y X ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2101101121．３．分别用配方法和初等变换法化下列二次型为标准形，并写出所作的非退化线性替换（１）2332223121214322x x x x x x x x x f +++++=； （２）323121622x x x x x x f -+=．４． 分别在实数域和复数域上将３题中的两个二次型进一步化成规范型，并写出所作的非退化线性替换．５． 证明：秩等于ｒ的对称矩阵可以表示成ｒ个秩等于１的对称矩阵之和． ６． 证明：一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式的乘积的充分必要条件是，它的秩等于２和符号差等于０，或者秩等于１． ７． t 取什么值时，下列二次型是正定的：（１）3231212222214223x x x x x tx x x x f +-+++=； （２）32312123222161024x x x x x tx x x x f +++++=．８． 证明：如果A 正定，则1-A 和*A 也都正定．９．已知m 阶实对称矩阵A 正定，B 是n m ⨯矩阵，证明：AB B T正定的充要条件是n B r =)(．１０． 已知A 为实矩阵，证明：)()(A r A A r ='．第六章 线性空间[教学目的与要求] 通过本章学习，实现如下目的：（1）能熟练地判断所给非空集合在指定的运算下能否构成线性空间； （2）会判断所给非空子集能否构成子空间； （3）会判断子空间之间的和是否为直和； （4）会判断两个线性空间的同构；（5）能熟练掌握线性空间基和维数的求法；（6）能熟练求向量在基下的坐标、基到基的过渡矩阵； （7）能熟练地求和空间的维数；（7）能熟练地应用维数公式求交空间的基与维数.[教学重点] 线性空间的定义、子空间的直和、维数公式、线性空间的同构. [教学难点] 线性空间的定义 [教学内容]§6.1. 集合 映射一、集合的概念和运算二、映射的概念、映射的乘法、逆映射§6.2. 线性空间的定义与简单性质一、线性空间的定义 二、线性空间的简单性质§6.3. 维数 基与坐标一、线性表示、线性相关和线性无关、向量组的等价 二、线性空间的基、维数，向量的坐标§6.4. 基变换与坐标变换一、基到基的过渡矩阵 二、坐标变换公式§6.5. 线性子空间一、线性子空间的定义二、线性子空间的维数和基§6.6. 子空间的交与和一、子空间的交 二、子空间的和§6.7. 子空间的直和一、两个子空间的直和 二、多个子空间的直和§6.8. 线性空间的同构一、线性空间同构的定义 二、同构映射的性质思考题1．检验下列集合对于所规定的运算是否构成给定数域上的线性空间：（１） 数域P 上的对角线元素的和为零的所有n 阶方阵所成的集合，对于矩阵的加法和数量乘法；（２） 设},|2{Q b a b a V ∈+=，Q 为有理数域，对于通常数的加法和乘法； （３） 设},|),{(R b a b a V ∈=，R 为实数域，定义加法和数乘如下：),(),(),(21212211b b a a b a b a +=+， ),(),(kb ka b a k = )(R k ∈．（４） 按照通常的数的运算，实数域R 是否构成实数域R 上的线性空间？是否构成复数域C 上的线性空间？（５） 按照通常的数的运算，复数域C 是否构成实数域R 上的线性空间？是否构成复数域C 上的线性空间？ （６） +R 是全体正实数组成的集合，定义加法和数乘如下：ab b a =⊕， k a a k =⋅，这里+∈R b a ,，R k ∈．２．证明：在数域P 上的线性空间V 中，成立以下运算律：（１）βαβαk k k -=-)(；（２）αααl k l k -=-)(．这里P l k ∈,，V ∈βα,．３．实数域R 按照通常的乘法构成实数域R 上的线性空间．全体正实数集合+R 对１（６）题中定义的加法和数乘也构成实数域R 上的线性空间，能否据此说明+R 是线性空间R 的一个子空间？+R 是线性空间R 的子空间吗？４． 设)1,2,1(1-=α，)3,1,0(2-=α，)0,1,1(3-=α；)5,1,2(1=β，)1,3,2(2-=β，)2,3,1(3=β，（１） 证明：321,,ααα和321,,βββ都是3R 的基； （２） 求321,,ααα到321,,βββ的过渡矩阵； （３） 求向量)1,4,1(=α在两组基下的坐标．５． 在线性空间nR 中，判断下列哪些子集是子空间，（１）},|),0,,0,{(11R a a a a n n ∈ ；（２）}0|),,,{(121=∑=ni in aa a a ；（３）}1|),,,{(121=∑=ni in aa a a ；（４）},,2,1,|),,,{(21n i Z a a a a i n =∈．６． 举例说明线性空间的两个子空间的并一般不是子空间．两个子空间的并仍是子空间的充要条件是什么？７． 设线性空间V 含有非零向量，21,V V 是V 的任意两个真子空间，证明：V V V ≠⋃21． ８．在线性空间3][x P 中，求向量组21-=x α，x 22=α，x -=13α，24x =α 的一个极大无关组．９． 判断正误，并说明理由．（１）V 是n 维向量空间，V r ∈αα,,1 ，则r αα,,1 是子空间),,(1r L αα 的一组基；（２）n 个向量n αα,,1 是n 维向量空间V 的一组生成元，则n αα,,1 一定是V 的一组基；（３）向量空间V 的维数等于V 的任一生成组所含向量的个数； （４）任一向量空间都有基； （５）若向量空间V 的每一个向量都可以由n αα,,1 唯一的线性表示，则n αα,,1 是V 的一组基；（６）若s αα,,1 与t ββ,,1 的极大无关组分别是r i i αα,,1 与p j j ββ,,1 ，则),,(),,(11t s L L ββαα +的一组基为r i i αα,,1 p j j ββ,,1 ．１０． 下列向量组是否为3][x P 的基：（１）}22,,1,1{2322++++++x x x x x x x ； （２）},22,1,1{322x x x x x -+--． １１．求下列子空间的维数：（１）3))4,2,5(),2,4,1(),1,3,2((R L ⊆--； （２）][),1,1(22x P x x x x L ⊆---；（３）],[),,(32b a C e e e L x xx⊆，],[b a C 表示区间],[b a 上的全体连续函数空间．１２．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000100010A ，求33⨯P 中所有与A 可交换的矩阵组成的子空间的维数和一组基．１３．令},|{1A A P A A V n n ='∈=⨯，},|{2A A P A A V n n -='∈=⨯，证明21V V P n n ⊕=⨯． １４．设n αα,,1 是P 上n 维线性空间V 的一组基，A 是P 上的一个s n ⨯矩阵，令A n s ),,(),,(11ααββ =，证明：)(),,(dim 1A r L s =ββ ． １５．证明：线性空间][x P 可以和它的真子空间同构．第七章 线性变换[教学目的与要求] 通过本章学习，实现如下目的： （１） 能熟练掌握线性变换的运算； （２） 能理解线性变换与矩阵的关系；（３） 能熟练地求线性变换的特征值与特征向量；（４） 理解哈密尔顿—凯莱（Hamilton-Caylay ）定理； （５） 能熟练地将矩阵对角化；（６） 能熟练地求出线性变换的值域与核； （７） 了解若尔当标准形理论.[教学重点] 线性变换与矩阵的关系；线性变换的特征值与特征向量；线性变换的值域与核；矩阵对角化.[教学难点] 矩阵的对角化 [教学内容]§7.1. 线性变换的定义一、线性变换的定义 二、线性变换的简单性质§7.2. 线性变换的运算一、线性变换的乘法 二、线性变换的加法三、线性变换的数量乘法 四、线性变换的逆§7.3. 线性变换的矩阵一、线性变换的矩阵 二、矩阵的相似§7.4. 特征值与特征向量一、线性变换特征值与特征向量的概念 二、线性变换特征值与特征向量的求法 三、哈密顿-凯莱定理§7.5. 对角矩阵一、特征向量的性质二、线性变换的矩阵可以是对角矩阵的条件§7.6. 线性变换的值域与核一、线性变换的值域 二、线性变换的核§7.7. 不变子空间一、不变子空间二、不变子空间与线性变换矩阵的化简§7.8. 若尔当（Jordan ）标准形介绍若尔当标准形介绍§7.9. 最小多项式最小多项式概念和性质思考题１．线性空间V 到V 的同构映射称为线性空间V 的自同构．线性空间V 的线性变换和它的自同构有什么异同？２．A 是线性空间V 的线性变换，s αα,,1 是V 中一组线性无关的向量，问)(,),(1s ααA A 是否仍线性无关？试举例说明． ３．设A 是n 维线性空间V 的线性变换，证明：（１）A 是线性空间V 的自同构当且仅当A 把线性无关的向量组变成线性无关的向量组；（２）A 把线性空间V 中某一组线性无关的向量变成一组线性相关的向量的充要条件是A 把V 中某个非零向量变成零向量，即}0{)0(1≠-A ；（３）A 是线性空间V 的自同构当且仅当}0{)0(1=-A ．４．已知⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=7931181332111511A ，定义4P 的变换为：ξξA =A ，4P∈ξ，证明A 为4P 的线性变换，并求A 的核和象空间以及它们的维数．５．为什么线性变换的问题可以转化为相应的矩阵的问题去研究？)(V L 与nn P ⨯有什么关系？求出线性空间)(V L 的维数．６．设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4321A ，求22⨯P 的如下线性变换A 在基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00011ε，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00102ε，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01003ε，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=10004ε下的矩阵． （１）AX X =)(A ； （２）XA X =)(A ．７．在3R 中，试求关于基)0,0,1(1=ε，)0,1,1(2=ε，)1,1,1(3=ε的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=221101211A 的线性变换．８．设三维线性空间线性变换A 在基321,,ααα下的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=6788152051115A ，求A 在基321,,βββ下的矩阵，其中321132αααβ++=，321243αααβ++=，321322αααβ++=．若3212αααξ-+=，求)(ξA 在基321,,βββ下的坐标．９．设三维线性空间线性变换A 在基321,,ααα下的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333231232221131211a a a a a a a a a A ， 求（１）A 在基123,,ααα下的矩阵；（２）A 在基321,,αααk 下的矩阵；)0(≠k （３）A 在基3221,,αααα+下的矩阵．１０．四维线性空间V 的线性变换A 在基4321,,,αααα下的矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=3707011311013412A ，求：（１）A 的值域； （２）A 的核；（３）在A 的值域中选一组基，把它扩充成线性空间V 的基； （４）在A 的核中选一组基，把它扩充成线性空间V 的基．１１．若矩阵A 与B 相似，证明：（１） 若A 与B 可逆，则1-A 与1-B 相似； （２） 对任意的常数k ，kA 与kB 相似；（３） 对任意的正整数m ，mA 与mB 相似；（４） 对于任意多项式)(x f ，)(A f 与)(B f 相似．１２．若矩阵A 与B 相似，C 与D 相似，证明：⎪⎪⎭⎫⎝⎛C A 00与⎪⎪⎭⎫⎝⎛D B 00相似． １３．取定矩阵n n P A ⨯∈．对于任意的nn P X ⨯∈，定义变换A 为XA AX X -=)(A ，（１） 证明A 为线性空间nn P ⨯的线性变换；（２） 若⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n A λλλ00000021，求线性变换A 在基},1|{n j i E ij ≤≤下的矩阵． １４．在线性空间3P 中，定义线性变换A 为),,(),,(312321x x x x x x =A ．令}2,1,|)0,,{(21=∈=i P x x x S i ，则S 是3P 的一个子空间，试问S 是否为线性变换A 的不变子空间．１５．V 为数域P 上的一个线性空间，A 为V 的一个线性变换，][)(x P x f ∈，如果S 为线性变换A 的不变子空间，则S 线性变换)(A f 的不变子空间．１６．若S 为线性空间V 的线性变换A 和B 的不变子空间，则S 也是B A +和AB 的不变子空间．１７．若21,S S 为线性空间V 的线性变换A 的不变子空间，则21S S ⋂，21S S +也是A 的不变子空间． １８．若S 为线性空间V 的线性变换A 的不变子空间，当线性变换A 可逆时，则S 也是1-A的不变子空间． １９．若A 是线性空间V 的线性变换，且满足A A=2，证明：（１）}|)({)0(1V ∈-=-ξξξA A； （２）)Im()0(1A A ⊕=-V ．２０．n 阶矩阵A 和B 相似时，它们有相同的特征多项式．反过来对吗？即n 阶矩阵A 和B 有相同的特征多项式时，哪它们相似吗？试举例说明．２１．A 是线性空间V 的线性变换，证明A 可逆的充分必要条件是A 的特征值都非零． ２２．证明线性变换A 的一个特征向量不能同时属于两个不同的特征值．２３．证明：对角形矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 0021和⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n b b b 0021 相似的充分必要条件是n b b b ,,,21 是n a a a ,,,21 的一个排列．２４．设A 是复数域C 上的一个n 阶矩阵，n λλλ,,,21 是A 的全部特征值（按重数计算），证明：（１）如果][)(x C x f ∈是次数大于０的多项式，则)(,),(),(21n f f f λλλ 是)(A f 的全部特征值；（２）如果A 可逆，则n λλλ,,,21 全部不等于零； （３）如果A 可逆，则nλλλ1,,1,121 为1-A 的全部特征值．２５．设三维线性空间V 的线性变换A 在基321,,ααα下的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=533242111A ， 求：（１）A 的特征值和特征向量；（２）是否存在V 的基321,,βββ使得线性变换A 在其下的矩阵为对角形．若这样的基321,,βββ存在，试写出由基321,,ααα到321,,βββ的过渡矩阵T ．以及A 在321,,βββ下的矩阵；（３）计算AT T 1-．第八章 -λ矩阵[教学目的与要求] 通过本章学习，实现如下目的： （1）会求-λ矩阵的标准形 （2）会求-λ矩阵的行列式因子（3）会求矩阵A 的初等因子，并能写出A 若尔当标准形 （4）会求矩阵A 的有理标准形[教学重点] 矩阵A 的初等因子，矩阵的A 若尔当标准形 [教学难点] 矩阵相似的条件 [教学内容]§8.1. -λ矩阵一、-λ矩阵的秩 二、-λ矩阵的可逆§8.2. -λ矩阵在初等变换下的标准形一、-λ矩阵的初等变换 二、-λ矩阵的标准形§8.3. 不变因子一、-λ矩阵的行列式因子 二、-λ矩阵的不变因子§8.4. 相似矩阵的条件两个矩阵相似的充要条件§8.5. 初等因子一、初等因子的概念 二、初等因子的求法§8.6. 若尔当（Jordan ）标准形理论推导一、若尔当矩阵的概念二、矩阵的若尔当标准形的求法§8.7. 矩阵的有理标准形一、有理形矩阵的概念 二、有理标准形的求法思考题１．求下列矩阵的初等因子、不变因子、行列式因子，并写出若当标准形．（１）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----222333111， （２）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----0167121700140013， （３）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10021*********1． ２． 已知nn P A ⨯∈，证明A 与A '相似．３． 设复矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=102002c b a A ，（１）求出A 的一切可能的若当标准形；（２）给出A 可对角化的条件．第九章 欧几里得空间[教学目的与要求] 通过本章学习，实现如下目的：（１） 掌握求标准正交基的施密特（Schmidt ）正交化方法；（２） 会判断两个欧氏空间的同构； （３） 理解正交变换与正交矩阵的关系； （４） 会求欧氏空间子空间的正交补；（５） 能熟练地把实对称矩阵正交相似于对角矩阵； （６） 能掌握最小二乘法.[教学重点] 求标准正交基的施密特（Schmidt ）正交化方法；欧氏空间的同构；正交变换；对乘变换；实对称矩阵正交相似于对角矩阵的方法.[教学难点] 最小二乘法[教学内容] §9.1. 定义与基本性质一、内积与欧氏空间的定义 二、向量的长度 三、向量的正交四、欧氏空间基的度量矩阵§9.2. 标准正交基一、标准正交基的概念 二、标准正交基的求法§9.3. 同构一、欧氏空间同构的概念 二、欧氏空间同构的充要条件§9.4. 正交变换一、正交变换的定义 二、正交变换的性质§9.5. 子空间一、欧氏空间中子空间的正交 二、欧氏空间子空间的正交补§9.6. 实对称矩阵的标准形一、对称变换二、实对称矩阵的特征值特征向量的性质 三、实对称矩阵的对角化四、二次型化标准形的正交变换法§9.7. 向量到子空间的距离 最小二乘法一、向量到子空间的距离 二、最小二乘法§9.8. 酉空间介绍一、酉空间的概念二、酉空间中的一些重要结论思考题１．下列线性空间对给定的二元函数),(βα是否构成欧氏空间（１）在线性空间nR 中，对任意向量),,(1n a a =α，),,(1n b b =β，定义二元函数∑==ni i i b a 1||),(βα（２）在线性空间nn R ⨯中，对任意向量nn RB A ⨯∈,，定义二元函数)(),(A B tr B A '=２． 在欧氏空间4R 中求出两个单位向量使它们同时与下面三个向量正交．)0,4,1,2(1-=α，)2,2,1,1(2--=α，)4,5,2,3(3=α３． 称||),(βαβα-=d 为向量α和β间的距离．证明：),(),(),(βγγαβαd d d +≤． ４．设α,β是欧氏空间中任意两个非零向量，证明：（１）)0(>=k k βα的充分必要条件是α和β间的夹角为零； （２）)0(<=k k βα的充分必要条件是α和β间的夹角为π． ５． 已知)0,1,2,0(1=α，)0,0,1,1(2-=α，)1,0,2,1(3-=α，)1,0,0,1(4=α是4R 的一个基，对这个基正交化，求出4R 的一个标准正交基．６． 在欧氏空间]1,1[-C 里，对基32,,,1x x x 正交化，求出]1,1[-C 的一个标准正交基． ７． 已知))0,2,0(),0,0,1((L W =是3R 的一个子空间，求⊥W ． ８．设21,,W W W 为欧氏空间V 的子空间，则（１）W W =⊥⊥)(；（２）如果21W W ⊂，则⊥⊥⊂12W W ； （３）⊥⊥⊥⋂=+2121)(W W W W ． ９．求正交矩阵T 使得AT T '成对角形．其中A 为（１）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--510810228211； （２）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----114441784817． １０．用正交的线性替换化下列二次型为标准形（１）322322214332x x x x x f +++=；（２）43324121242322212222x x x x x x x x x x x x f +--++++=； （３）434232413121222222x x x x x x x x x x x x f ++--+=．第十章 双线性函数与辛空间 *[教学目的与要求] 通过本章学习，实现如下目的：（1）理解线性函数的定义，熟悉线性函数的简单性质 （2）理解线性空间与其对偶空间的同构关系（3）理解双线性度量空间、正交空间、准欧氏空间、辛空间等概念 [教学重点] 对偶空间和对偶基、双线性函数、双线性度量空间、正交空间、准欧氏空间、辛空间等概念。

一、定义及基本定理1.1、定义设给定[]x R 的一个多项式()01n n f x a a x a x =+++和一个数c R ∈.那么在()f x 的表示式里，把x 用c 来代替，就得到R 的一个数01n n a a c a c +++这个数叫做当x c =时()f x 的值，并且用()f c 来表示。

这样，对于R 的每一个数c ，就有R 中的唯一确定的数()f c 与它对应，于是就得到R 到R 的一个映射。

这个映射是由多项式()f x 所确定的，叫做R 的一个多项式函数。

定义 令()f x 是[]x R 的一个多项式而c 是R 的一个数。

若是当x c =时()f x 的值()0f c =，那么c 叫作()f x 在数环R 中的一个根。

定义 把形如()010n n f x a a x a x =+++=的方程称为一元多项式方程，满足010n na a c a c +++= 的数c 称为多项式方程的根或零点。

由定义可知多项式方程的根即为使得满足等式()0f c =的数环R 上的常数c 。

1.2、定理定理 1.2.1 设()f x 是[]x R 中的一个0n ≥次多项式。

那么()f x 在R 中至多有n 个不同的根。

证：如果()f x 是零次多项式，那么()f x 是R 中一个不等于零的数，所以没有根。

因此定理对于0n =成立。

于是我们可以对n 作数学归纳来证明这一定理。

设c R ∈是()f x 的一个根。

那么()()()f x x c g x =-这里[]()g x R x ∈是一个1n -次多项式。

如果R d ∈是()f x 另一个根，c d ≠，那么)()()(0d g c d d f -==因为0≠-c d ，所以0)(=d g 。

因为)(x g 的次数是1-n ，由归纳法假设，)(x g 在R 内至多有1-n 个不同的根。

因此()f x 在R 中至多有n 个不同的根定理1.2.2 （代数基本定理）任何(0)n n >次多项式在复数域中至少有一个根i。

第一章 多项式 Polynomials多项式是代数中的一个基本概念，求解多项式方程的是最古老的数学问题之一. 多项式理论不仅对数学本身非常重要，而且它的重要性更体现在实际应用中.1.1数域 整数的整除性集合的概念：若干事物的全体称为一个集合，组成集合的这些事物称为集合的元素.集合的概念只是一个描述性的说明．集合中的元素具有：确定性、互异性、无序性.常用大写字母A 、B 、C 等表示集合，用小写字母a 、b 、c 等表示集合的元素.当a 是集合A 的元素时，就说a 属于A ，记作：a A ∈；当a 不是集合A 的元素时，就说a 不属于A ，记作：a A ∉集合的表示方法一般有两种：描述法、列举法描述法：给出这个集合的元素所具有的特征性质.M ＝｛x | x 具有性质P ｝； 列举法：把构成集合的全部元素一一列举出来. 例如，22{(,)4,,}M x y x y x y R =+=∈， {1,2,3,}N = .不含任何元素的集合叫做空集，记为φ.如果B 中的每一个元素都是A 中的元素，则称B 是A 的子集合或B 包含于A ，记作B A ⊆，空集是任意集合的子集合.如果A 与B 两集合含有完全相同的元素，则称 A 与B 相等，记作A ＝B .A ＝B 当且仅当A B ⊆且B A ⊆ . 集合{}AB x x A x B =∈∈且称为 A 与B 的交： 集合{}A B x x A x B =∈∈或称为A 与B 的并：为了在下面课程里讨论起来严谨和方便, 需要引入数域的概念.数是数学中一个最基本的概念, 人们对客观世界的认识的不断深入，使得数经历了由自然数到整数、有理数、实数，再到复数这个发展过程. 通常我们用N 表示自然数集合，也用Z +表示正整数集合，用Z 表示整数集合，用Q 表示有理数集合．R 表示实数集合， C 表示复数集合．若数集S 中任意两个数作某一运算的结果仍在S 中，则说数集S 对这一运算是封闭的扩张数范围的主要原因是由于要求某些运算封闭或方程求解引起的. 任意两个整数进行加、减、乘法运算后仍然是整数，但任意两个整数的商不一定是整数，这就是说，限制在整数的范围内，除法不是普遍可以做的，而在有理数范围，实数范围，复数范围，只要除数不为零，除法是可以做的，因此，在数的不同范围内，回答同一个问题的答案可能是不同的. 例如，在解决一个实际问题中列出一个一元二次方程，这个方程有没有解与未知量所允许的取值范围有关. 我们经常会遇到的数常见的范围有全体有理数、全体实数以及全体复数，它们显然具有一些不同的性质，它们也有很多共同的性质，为了在今后讨论中能够把它们关于加、减、乘、除运算的共同性质统一起来，我们引入一个一般的概念.定义 1.1 设S 是复数集的非空子集. 如果对于S 中的任意两个数的和、差、积仍属于S ，则称S 是一个数环.Z 对数的加法，减法和乘法作成一个数环，我们称它为整数环.定义1.2设F 是由一些复数组成的集合，其中包含0与1，如果F 中任意两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍是F 中的数，则称F 为一个数域．容易验证，全体有理数的集合Q 对于通常的四则运算作成一个数域，称为有理数域．类似地R 称为实数域， C 称为复数域．整数环Z 不是数域．例1 证明：数集{},Q a a b Q =+∈是一个数域．证明 由0011=+=+0,1Q ∈,又对 ,x y Q ∀∈设x a y c =+=+,,,,a b c d Q ∈则有()(x y a c b d Q ±=±+±(2)(x y ac bd ad bc Q ⋅=+++设0,a +于是a -也不为0．否则，若0,a -=则a =于是0,0a b ==，0.a +矛盾=2222ac bd Q a b -=-所以，Q 为数域.例2 任意数域F 都包括有理数域Q ．即有理数域是最小数域． 证明 设F 为任一数域．由定义可知，01.F F ∈∈， 于是有 ,111m Z m F +∀∈=+++∈,即F 包含全体自然数, 又,,,m m n Z F n+∀∈∈0.m m F n n -=-∈ 而任意一个有理数可表成两个整数的商，所以，.Q F ⊆ 定义1.3 设,a b Z ∈,0b ≠，如果存在q ∈Z ，使得 a bq =，则说b 整除a ，记作|b a ，这时说b 是a 的因数，也说a 是b 的倍数；当q ≠±1，±a 时，称b 是a 的真因数.如果这样的q 不存在，则说b 不整除a ，记作|b a .定理1.1 (基本性质)：1) 若c|b,b|a ，则c|a ；2) 若m|a,m|b ，则,p q Z ∀∈，m|pa+qb ；3) 若b|a,a ≠0，则|b |≤|a |；4) b |a 当且仅当c ≠0，cb|ca .证明 1）由已知，b=cs, a=bt a =(cs ) t=c (st )，即c |a ；2) a=ms,b=mt , pa+qb=mps+mqt=m (ps+qt )，则m |pa+qb ；3) a=bc ，|a |=|b ||c |，由a ≠0，得 |a |≠0, |c|≥1，所以|b |≤|a |；4) a=bs ca=cbs ，即cb |ca .定理 1.2 （带余除法） 设a,b ∈Z ，b ≠0，则存在唯一的q,r ，使得 a=bq+r ，0≤r<|b|.证明 作数列,2||,||,0,||,2||,b b b b --, a 必落在此数列相邻两项所构成的某一区间且只能落在一个区间，即存在q ，使得||(1)|q b a q b ≤<+，减去||q b ，得0||||a q b b ≤-<，令||r a q b =-，则有 ||a q b r =+,0||r b ≤<，由于只能在一个区间，所以q 唯一，从而r 唯一.q 称为不完全商，r 称为余数.定义1.4设12,,,n a a a Z ∈，|i d a ,1,2,,i n =，则说d 是12,,,n a a a 的一个公因数，所有的公因数中最大的叫做12,,,n a a a 的最大公因数，记作(12,,,n a a a )，如果(12,,,n a a a )=1，则说12,,,n a a a 互素. 定理1.3 如果a=bq+c ，则 (a,b )=(b,c ).证明 若d|a,d|b ，则d|c =a-bq . 反过来，若d|b,d|c ，则d|a =bq+c . 所以a,b 与b,c 有相同的公因数集，最大者也就相同了.定理 1.4 (辗转相除法) 设a,b ∈Z +,则 (a,b ) 等于辗转相除的最后一个不等于0的余数n r .证明 ,a b Z +∈,11a bq r =+, 10r b <<,122b r q r =+, 210r r <<,1233r r q r =+, 320r r <<,…………111k k k k r r q r -++=+, 10k k r r +<<,…………11n n n r r q -+=, 10,0n n r r +≠=,则由定理1.3，1211(0,)(,)(,)(,)(,)(,)n n n n r r r r r r r b b a a b -=======.例3 求(525，231).解 将525和231辗转相除定理1.5 设a,b 不全为0，a,b ∈Z 则存在x,y ∈Z ,使(a,b )=xa+yb ，特别当(a,b )=1时，存在s,t ∈Z 使得sa+tb =1.证明 由辗转相除法向上反推.定义1.5 正因数只有1和本身的大于1的正整数称为素数，正因数的所以 (525，231)=21.个数≥3的正整数称为合数.定理1.6 设a ∈Z ，p 是素数，则必有p|a 或(p,a )=1.证明 由 (p,a )|p ，(p,a )=p 或1，若(p,a )=p ，由(p,a )|a ，即p|a .推论1.1 设p 是素数 |p ab ，则|p a 或|p b .证明 若†p a ，则 (,)1p a =由定理1.5，存在,s t 使得1sp ta +=，乘以b spb tab b +=，于是|p b .1.2 一元多项式定义1.6 设n 是一个非负整数，01,,,n a a a ⋅⋅⋅∈数域F ，x 是一个符号(或称文字）,形式表达式 1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++称为数域F 上的一元多项式．0a 称为常数项或0次项，i i a x 称为i 次项，i a 称为i 次项系数，若0,n a ≠ 则称n n a x 为()f x 的首项，n a 为首项系数，n 称为多项式()f x 的次数，记作(())f x ∂. 系数全为零的多项式0称为零多项式．零多项式是唯一不定义次数的多项式.通常用(),(),(),f xg xh x 或,,,f g h 表示多项式, 这种表示方法是瑞士数学家欧拉最先使用的.设 11100()i i nn n n n i f x a x a x a x a a x --==++++=∑，11100()j j mm m m m j g x b x b x b x b b x --==++⋅⋅⋅++=∑，若,n m ≥ 在()g x 中令110n n m b b b -+====，则11100()j j nn n n n j g x b x b x b x b b x --==++⋅⋅⋅++=∑若 ,0,1,2,,i i a b i n ==⋅⋅⋅则说()f x 与()g x 相等，记作()()f x g x =. 规定加法 ：0()()().i i ni i f x g x a b x =+=+∑规定乘法：1110()()n m n m n m n m f x g x c x c x c x c ++-++-=++++111()n m n m n m n m n m a b x a b a b x ++---=+++10100()o a b a b x a b ⋅⋅⋅+++0()n ms i j s i j s a b x +=+==∑∑, 其中s 次项s x 的系数为11110s s o s s s i j i j s c a b a b a b a b a b --+==++⋅⋅⋅++=∑.规定 0()()i i n i f x a x =-=-∑，由此 ()()()(())f x g x f x g x -=+-.(),()f x g x 为数域 F 上任意两个多项式，则()(),()()f x g x f x g x ±仍为数域F 上的多项式．定义1.7 所有数域F 上的一元多项式的全体称为数域F 上的一元多项式环，记作[]F x .多项式的加法和乘法满足以下运算律1) 加法交换律 ()()()(f x g x g x f x +=+；2) 加法结合律 ()()()()()))()((f x g x h x f x g x h x ++=++；3) 乘法交换律 ()()()(f x g x g x f x =；4) 乘法结合律 ()()()()()()()()f x g x h x f x g x h x =； 5) 乘法对加法的分配律 ()()()()()()()()f x g x h x f x g x f x h x +=+. 只证明乘法结合律：设 0()l k k k h x c x ==∑,()()f x g x 中s 次项的系数为i j i j s a b +=∑,()()()()f x g x h x 中t 次项的系数为()i j k i j k s k t i j s i j k t a b ca b c +=+=++==∑∑∑, ()()g x h x 中r 次项的系数为 j k j k r b c +=∑,()(()())f x g x h x 中t 次项的系数为()i j k i j k i r t j k r i j k ta b c a b c +=+=++==∑∑∑. 多项式的加法和乘法关于次数有下面的结论.定理1.7 若()0,()0,f x g x ≠≠则1) ()()0,f x g x ≠ 且 (()())(())(())f x g x f x g x ∂=∂+∂;2) 当()()0f x g x +≠，(()())max((()),()))f x x f x g x ∂+≤∂∂.证明 1) 设(()),(())f x n g x m ∂=∂=，()f x 的首项系数0n a ≠，()g x 的首项系数0m b ≠, 则()()f x g x 的首项系数0n m a b ≠，所以(()())(())(())f x g x f x g x ∂=∂+∂；2) 不妨设 m n ≤，则 0()()().i i ni i f x g x a b x =+=+∑当n x 项系数()0n n a b +=时，(()())max((()),()))f x x f x g x ∂+<∂∂；当n x 项系数 ()0n n a b +≠时，(()())max((()),()))f x x f x g x ∂+=∂∂.推论1.2 ()()0f x g x =的充要(充分必要)条件是()0f x =或()0g x =.推论1.3 ()()()(),()f x g x f x h x f x =≠ ，则 ()()g x h x =.证明 ()()()(f x g x f x h x =, ()(()())0f x g x h x -=()0f x ≠，由推论1.2 ()()0g x h x -=，从而 ()()g x h x =，这说明数域上多项式乘法适合消去律.例1 设(),(),()[]f x g x h x R x ∈ 证明: 若222()()(),f x xg x xh x =+ 则 ()()()0f x g x h x ===.证明 若()0,f x ≠则 222(()())()0,x g x h x f x +=≠从而22()()0.g x h x +≠于是2222(()())((()()))xg x xh x x g x h x ∂+=∂+为奇数.但2(())f x ∂为偶数. 所以222(()())()x g x h x f x+≠ 这与已知矛盾. 故()0,f x = 从而22()()0.g x h x += 又(),()f x g x 均为实系数多项式，必有()()0.g x h x ==从而()()()0f x g x h x ===.该结论在复数域C 上不成立．如取 ()0,(),()f x g x ix h x x === 时. 有 22200().x x x x ==-+⋅1.3 整除的概念这一节以后的讨论都是在某一固定的数域F 上的一元多项式环中进行的，在一元多项式环中，可以作加、减、乘三种运算，但是乘法的逆运算除法并不是普遍可以做的，因此多项式的整除理论就成了多项式理论的一个重要内容.定义1.8 设(),()[]f x g x F x ∈,若存在 ()[]h x F x ∈使()()()f x g x h x = 则说 ()g x 整除(),f x 记作()|()g x f x ,这时， ()g x 称为()f x 的因式，()f x 称为()g x 的倍式．如果()0,g x ≠则()g x 除()f x 所得的商可表成().()f xg x 定义中允许()0g x =，此时有 00(),()[]h x h x F x =∀∈. ()g x 不能整 除()f x 时记作()|()g x f x .和中学所学代数一样，作为形式表达式，也能用一个多项式去除另一个多项式, 求得商和余式. 即有带余除法定理1.8 对(),()[],()0,f x g x F x g x ∀∈≠ 存在(),()[]q x r x F x ∈，使 ()()()()f x q x g x r x =+ 其中(())(())r x g x ∂<∂或()0,r x =并且这样的(),()q x r x 是唯一的.证明 若()0f x =或 (())(())f x g x ∂<∂，则令 ()0,()()q x r x f x ==，结论成立．若()0f x ≠ 或 (())(())f x n g x m ∂=≥∂=，11100()i i nn n n n i f x a x a xa x a a x --==++++=∑， 11100()j j mm m m m j g x b x b x b x b b x --==++⋅⋅⋅++=∑对()f x 的次数n 作数学归纳法．0n =，则0m =且b 0非零，0000()0a f x a b b ==⋅+，结论成立． 假设对次数小于n 时，结论成立．现在来看()f x 次数为n 的情形．这时()f x 的首项为,n ax ()g x 的首项为,()m bx n m ≥ ，则()1n m b ax g x --与()f x 有相同的首项，因而，多项式 1()()()n-m f x f x b ax g x -1=-的次数小于n 或1()f x 为0．若1()=0f x ，令1(),()0n m q x b ax r x --==即可，若1(())f x n ∂<，由归纳假设，存在 11(),()q x r x 使得 111()()()()f x q x g x r x =+ 其中1(())(())r x <g x ∂∂或者 1()0.r x =于是1111()()()(())()()n -m n m f x b a x g x f x b a x q x g xr x --=+=++-1即有 111()(),()()n m q x b ax q x r x r x --=+=使()()()()f x q x g x r x =+．由数学归纳法原理，存在性成立．再证唯一性．若还有 ()()()()f x q xg x r x ''=+其中('())(())'()0r x g x r x ∂<∂或＝ 则 ()()()()()()q x g x r x q x g x r x ''+=+，(()'())()()()q x q x g x r x r x '-＝-若()()0r x r x '≠-则()()0q x q x '≠-，(()())(())(())q x q x g x g x '∂∂≥∂-+max{('()),(())}r x r x >∂∂('()())r x r x ≥∂-，矛盾所以()().r x r x '= 从而()()q x q x '= 唯一性得证．()q x 称为()g x 除()f x 的商式，()r x 称为余式．例1 设()()3223456,31f x x x x g x x x =+-+=-+，求()g x 除()f x 的商式和余式. 解 用普通除法() ()313()(317)f x x g x x =++-，313q x x +()=，()=317r x x -.定理 1.9 当()0g x ≠时，()|()g x f x 当且仅当()g x 除()f x 的余式()0r x =整除具有以下性质：1) 若()|()()|(),g x f x f x g x ，则 ()()0f x cg x c ≠＝，；事实上，若()0,f x =则()0,g x ＝()()f x g x =；若()0f x ≠ 由 ()|()f x g x ,1()h x ∃使得 1()()()g x f x h x =；由()|()g x f x ,2()h x ∃使得 ()2()().f x g x h x =12()()()()f x h x h x f x =，从而12()()1h x h x =, 12(())(())0h x h x ∂+∂=, 12(())(())0h x h x ∂=∂=,12(),()h x h x 皆为非零常数，故有()()0f x cg x c ≠＝，；2) 若()|()()|()f x g x g x h x ，则()|()f x h x ；事实上，由()()()g x f x u x =，()()()h x g x v x =,()(()())()()(()())h x f x u x v x f x u x v x ==；3) 若()|()1,2,,i f x g x i =k ，则对()[],1,2,,i u x F x i =k ∀∈ 有1122()|(()()()()()())k k f x u x g x u x g x u x g x +++； 4) 若0c F ≠∈，()[],|()f x F x c f x ∀∈.两多项式的整除关系不会因系数域的扩大而改变．但这个论断在数环上的多项式不一定成立，例如，在Z [x ]中，2x 不整除2x .1.4 最大公因式设F 是数域，[]F x 是F 上的一元多项式环，(),(),()[]f x g x h x F x ∈ 若()()h x f x 且 ()()h x g x ，则说()h x 是(),()f x g x 的一个公因式．任意非零常数是(),()f x g x 的一个公因式，因此公因式是存在的. 定义1.9 说()d x 是()f x 与()g x 的一个最大公因式，如果1) ()()d x f x ,()()d x g x ;2) 若()|()h x f x ,()()h x g x , 则()()h x d x .()f x 与()g x 的首1（首项系数为1）的最大公因式记作 (())).(f x g x , 下面讨论将证明最大公因式的存在性并给出求法. 我们还将看到最大公因式不是唯一的，任意两个多项式()f x 与()g x 的最大公因式相差一个非零常数倍，但首项系数为1的最大公因式是唯一的.引理1.1 设 ()()()()f x q x g x r x =+ ，则(),()f x g x 与(),()g x r x 有相同的公因式, 从而 (()())(()())f x g x g x r x =,,.证明 ()(),()()d x f x d x g x ,则()|()()()()d x r x f x q x g x =-，这就是说，(),()f x g x 的公因式一定是(),()g x r x 的公因式；()(),()()d x g x d x r x ,则()|()()()()d x f x q x g x r x =+，这就是说，(),()g x r x 的公因式一定是(),()f x g x 的公因式；再由最大公因式定义知, (),()f x g x 的最大公因式与(),()g x r x 的最大公因式相互整除, 因此(()())(()())f x g x g x r x =,,.定理1.10 对于[]F x 中任意两个多项式()f x 与()g x ，一定存在最大公因式()d x ，且(),()[]u x v x F x ∃∈ 使 ()()()()().d x u x f x v x g x +=证明 如果 ()0g x =，则()f x 就是()f x 与()g x 一个最大公因式．且 ()1()0().f x f x g x =⋅+⋅如果()0g x ≠ 用()g x 除()f x 得11()()()()f x q x g x r x =+，若1()0r x ≠，212()()()()g x q x r x r x =+，若2()0r x ≠，1323()()()()r x q x r x r x =+，若3()0r x ≠，…………21()()()()k k k k r x q x r x r x --=+，若()0k r x ≠11()()()0k k k r x q x r x -+=+，()0k r x =因为每次所得余式的次数不断降低，即12(())(())(())g x r x r x ∂>∂>∂>……因此，有限次后，必然有余式1()0k r x +=，于是有1(()())(()())f x g x g x r x =,,12(()())r x r x =,=…1=(()())k k r x r x -,=(()0)()k k r x r x =,再由上面倒数第二个式子开始往回迭代，逐个消去11(),,()k r x r x -再合并同类项就得到 (()())()()()()()k f x g x r x u x f x v x g x =+,=.这种求最大公因式的方法称为辗转相除法.不难看出。

第一章 多项式§1.1一元多项式的定义和运算1．设),(x f )(x g 和)(x h 是实数域上的多项式．证明：若是(6) 222)()()(x xh x xg x f +=，那么.0)()()(===x h x g x f2．求一组满足（6）式的不全为零的复系数多项式)(),(x g x f 和).(x h3．证明：!))...(1()1(!)1)...(1()1(!2)1(1n n x x n n x x x x x x nn---=+---+--+-§1.2 多项式的整除性1．求)(x f 被)(x g 除所得的商式和余式：( i ) ;13)(,14)(234--=--=x x x g x x x f (ii);23)(,13)(3235+-=-+-=x x x g x x x x f2．证明：k x f x )(|必要且只要).(|x f x3．令()()()x g x g x f x f 2121,,),(都是数域F上的多项式，其中()01≠x f 且()()()()()().|,|112121x g x f x f x f x g x g 证明：()().|22x f x g4．实数q p m ,,满足什么条件时多项式12++mx x 能够整除多项式.4q px x ++5．设F 是一个数域，.F a ∈证明：a x -整除.n na x -6．考虑有理数域上多项式()()()()()(),121211nkn k nk x x x x x x f ++++++=-++这里k 和n 都是非负整数．证明：()()().11|1n k 1+++++-x x f x x k7．证明：1-dx整除1-n x 必要且只要d 整除.n§1.3 多项式的最大公因式1. 计算以下各组多项式的最大公因式： ( i ) ()();32103,34323234-++=---+=x x x x g x x x x x f(ii)()().1)21(,1)21()42()22(2234i x i x x g i x i x i x i x x f -+-+=----+-+-+=2. 设()()()()()().,11x g x d x g x f x d x f ==证明：若()()(),),(x d x g x f =且()x f 和()x g 不全为零，则()();1),(11=x g x f 反之，若()(),1),(11=x g x f 则()x d 是()x f 与()x g 的一个最大公因式．3.令()x f 与()x g 是][x F 的多项式，而d c b a ,,,是F中的数，并且0≠-bc ad证明：()()()()()()).,(),(x g x f x dg x cf x bg x af =++4． 证明： （i ）h g f ),(是fh 和gh 的最大公因式；（ii ）),,,,(),)(,(212121212211g g f g g f f f g f g f =此处h g f ,,等都是][x F 的多项式。

多项式说课稿标题：多项式说课稿引言概述：多项式是数学中重要的概念之一，它在代数学、几何学等各个领域都有重要应用。

在教学过程中，如何有效地向学生传授多项式的知识，引导他们深入理解和掌握多项式的概念和运用是教师们需要思量和努力的方向。

本文将从多项式的定义、基本性质、运算规则、应用领域和教学方法等方面进行详细介绍。

一、多项式的定义1.1 多项式的基本概念：多项式是由多个单项式相加或者相减得到的代数式。

1.2 多项式的系数：多项式中每一个单项式的系数可以是实数、复数或者变量。

1.3 多项式的次数：多项式中最高次项的次数称为多项式的次数。

二、多项式的基本性质2.1 多项式的加法性质：多项式的加法满足交换律和结合律。

2.2 多项式的乘法性质：多项式的乘法满足分配律和结合律。

2.3 多项式的零点：多项式的零点是使得多项式取零值的数。

三、多项式的运算规则3.1 多项式的加减法运算：将同类项相加或者相减，保留同类项的系数。

3.2 多项式的乘法运算：将每一项分别相乘，然后合并同类项。

3.3 多项式的除法运算：通过长除法或者因式分解的方法进行多项式的除法运算。

四、多项式的应用领域4.1 代数方程式的求解：多项式在求解代数方程式中有重要应用。

4.2 几何问题的建模：多项式可以用来描述几何问题中的各种关系。

4.3 物理问题的分析：多项式可以用来描述物理问题中的各种规律和关系。

五、多项式的教学方法5.1 理论与实践相结合：多项式的教学应注重理论知识的传授和实际问题的应用。

5.2 多种教学手段结合：多项式的教学可以结合教材、课堂讲解、实例演练等多种教学手段。

5.3 激发学生兴趣：通过生动有趣的教学方式和丰富多彩的教学内容，激发学生学习多项式的兴趣。

结语：通过本文的介绍，我们对多项式的定义、基本性质、运算规则、应用领域和教学方法有了更深入的了解。

在教学实践中，教师们应该根据学生的实际情况和学习需求，灵便运用各种教学方法，匡助学生更好地理解和掌握多项式的知识，提高数学学习的效果和质量。

高等代数使用教材及辅导材料课程：高等代数高等代数北京大学数学系几何与代数教研室高等教育出版社 1978高等代数丘维声高等教育出版社 1996高等代数张禾瑞郝炳新高等教育出版社 1983高等代数习题课教材钱芳华黎有高卜淑云邓培民广西师范大学出版社 1997高等代数解题方法许甫华张贤科清华大学出版社 2001高等代数习题课参考书张均本高等教育出版社 1991线性代数试题选解魏宗宣中南工业大学出版社 1986用MAPLEV学习线性代数丘维声（译）高等教育出版社施普林格出版社 2001高等代数教学大纲数学与应用数学专业《高等代数》教学大纲一、课程说明：《高等代数》是河北师范大学数学与应用数学专业（数学系）的一门重要的基础课，其主要任务是使学生获得数学的基本思想方法和多项式理论、行列式、线性方程组、矩阵论、二次型、线性空间、线性变换、欧氏空间等方面的系统知识。

它一方面为后继课程（如近世代数、数论、离散数学、计算方法、微分方程、泛涵分析）提供一些所需的基础理论和知识；另一方面还对提高学生的思维能力，开发学生智能、加强“三基”（基础知识、基本理论、基本理论）及培养学生创造型能力等重要作用。

二、教学目的及要求：通过本课程教学的主要环节（讲授与讨论，习题课，作业，辅导等），使学生对多项式理论、线性代数的“解析理论”、与“几何理论”及其思想方法有较深的认识和理解，从而有助于学生正确理解高等代数的基本概念和论证方法及提高分析问题解决问题的能力。

三、教学重点及难点：带余除法、最大公因式的性质、不可约多项式的定义及性质、重因式、多项式的有理根等；计算行列式的一些方法；线性方程组及其相关理论的理解及应用；矩阵理论的灵活应用；正定二次型的等价条件及二次型的标准形；向量空间一些基本概念的理解及相关理论的灵活应用；线性变换与矩阵的联系、矩阵相似、线性变换在不同基下的矩阵、矩阵的特征值、特征向量及子空间理论；一些基本概念(内积空间、欧氏空间、正交矩阵、酉空间)的理解。