高三复习 开放与探索性测试题

二轮大题专练17—立体几何（探索性问题）1．如图1，C，D是以AB为直径的圆上两点，且2AB AD=，AC BC=，将ABC∆所在的半圆沿直径AB折起，使得点C在平面ABD上的射影E在BD上，如图2．（1）求证：BC⊥平面ACD；（2）在线段AB上是否存在点F，使得//AD平面CEF？若存在，求出AFFB的值；若不存在，请说明理由．解：（1）证明：AB是圆的直径，AD BD∴⊥．CE⊥平面ABD，AD⊂平面ABD，CE AD∴⊥．又CE BD E=，BD，CE⊂平面BCD，AD∴⊥平面BCD．BC⊂平面BCD，AD BC∴⊥．又BC AC⊥，AC BC C=，BC∴⊥平面ACD．（2）解：连接AE ，CE ⊥平面ABD ，AE ，BE ⊂平面ABD ， CE AE ∴⊥，CE BE ⊥．在Rt ACE ∆和Rt BCE ∆中，由AC BC =得AE BE =， 在Rt ABD ∆中，由2AB AD =，得30ABD ∠=︒， 60AED ABE BAE ∴∠=∠+∠=︒，∴在Rt ADE ∆中，12DE AE=， E ∴是BD 的三等分点，且12DE EB =．在线段AB 上存在点F ，使得12AF FB =，则有//FE AD ． FE ⊂平面CEF ，AD ⊂/平面CEF ，//AD ∴平面CEF ．故在线段AB 上存在点F ，使得//AD 平面CEF ，此时12AF FB =．2．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AA C C 是边长为3的正方形，1CC BC ⊥，1BC =，2AB =．（1）证明：平面1A BC ⊥平面1ABC ；（2）在线段1A B 上是否存在点M ，使得1CM BC ⊥，若存在，求1BMBA 的值；若不存在，请说明理由．解：（1）证明：在ABC ∆中，2AB =，1BC =，3AC =， 有222AC BC AB +=，可得AC BC ⊥， 又1CC BC ⊥，1ACCC C =，可得BC ⊥平面11AA C C ，即有1BC AC ⊥，由四边形11AA C C 311AC AC ⊥， 而1BCA C C =，可得1AC ⊥平面1A BC ，又1AC ⊂平面1ABC ，则平面1A BC ⊥平面1ABC ；（2）在线段1A B 上存在点M ，使得1CM BC ⊥，且114BM BA =． 理由如下：由（1）可得，以C 为原点，CA ，CB ，1CC 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则(3A ，0，0)，(0C ，0，0)，(0B ，1，0)，1(3A 03)，1(0C ，0，3)，设(M x ，y ，)z ，1BM BA λ=，所以(x ，1y -，)(3z λ=1-3)，解得3x λ=，1y λ=-，3z λ=，所以(3CMλ=，1λ-，3)λ，1(0C B=，1，3)-，要使1CM BC⊥，则需1CM BC⋅=，即130λλ--=，解得14λ=．故线段1A B上存在点M，使得1CM BC⊥，且114BMBA=．3．如图，在三棱锥V ABC-中，VC⊥底面ABC，AC BC⊥，D是棱AB的中点，且AC BC VC==．（1）证明：平面VAB⊥平面VCD；（2）若22AC=，且棱AB上有一点E，使得直线VD与平面VCE所成角的正弦值为1515，试确定点E的位置，并求三棱锥C VDE-的体积．（1）证明：VC⊥底面ABC，AC BC=，VA VB∴=，又D为AB的中点，VD AB∴⊥，CD AB⊥，VD CD D=，VD、CD⊂平面VCD，AB∴⊥平面VCD，AB⊂平面VAB，∴平面VAB⊥平面VCD．（2）解：22AC BC VC ===AC BC ⊥，2CD ∴=，VC ⊥底面ABC ，VC CD ∴⊥，VC CE ⊥，2223VD VC CD ∴=+ 设点D 到平面VCE 的距离为d ，直线VD 与平面VCE 15， ∴15d VD =，25d ∴=， V CDE D VCE V V --=，∴11113232VCCD DE d VC CE =，即225222224DE DE ⨯=+ 解得1DE =，24AB ==，∴点E 为AB 的四等分点，且1AE =，∴三棱锥C VDE -的体积11112222213232V CDE V V VCCD DE -===⨯⨯⨯=． 4．等边ABC ∆的边长为3，点D ，E 分别是AB ，BC 上的点，且满足12AD CE DB EA ==（如图（1）)，将ADE ∆沿DE 折起到△1A DE 的位置，使面1A DE ⊥面BCED ，连接1A B ，1A C （如图（2）)．（1）求证：1A D ⊥平面BCED ；（2）线段1A B 上是否存在点P ，使直线DP 与直线1EA 所成角的余弦值为510？若存在，求出11A PA B的值，若不存在，请说明理由．解：（1）证明：题图（1）中，由已知可得：2AE =，1AD =，60A =︒，从而2212212cos603DE +-⨯⨯⨯︒= 故得222AD DE AE +=， 所以AD DE ⊥，BD DE ⊥，所以题图（2）中，1A D DE ⊥，BD DE ⊥，因为平面1A DE ⊥平面BCED ，平面1A DE ⋂平面BCED DE =，1A D ⊂平面1A DE ，所以1A D ⊥平面BCED ． （2）存在．由（1）知ED DB ⊥，1A D ⊥平面BCED ．以D 为坐标原点，以射线DB 、DE 、1DA 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系D xyz -，如图：(0D ，0，0)，1(0A ，0，1)，(2B ，0，0)，(0E ，3，0)，1(2A B =，0，1)-，11(2A P A B λλ==，0，)λ-，所以(2P λ，0，1)λ-，(2DP λ=，0，1)λ-，1(0A E =，3，1)-，|cos DP <，11221||5|||||24(1)DP A E A E DP A E λλ>===+-， 所以12λ=， 所以1112A P AB =．5．在四棱锥P ABCD -中，平面ABCD ⊥平面PCD ，底面ABCD 为直角梯形，//AB CD ，AD DC ⊥，且1AB =，2AD DC DP ===，120PDC ∠=︒．（1）求证：AD ⊥平面PCD ；（2）线段BC 上是否存在点F ，使得PDF ⊥平面PAC ？如果存在，求BFBC的值；如果不存在，说明理由；（3）若M 是棱PA 的中点，N 为线段BC 上任意一点，求证：MN 与PC 一定不平行．解：（1）证明：由平面ABCD ⊥平面PCD ，平面ABCD ⋂平面PCD CD =，且AD DC ⊥， 可得AD ⊥平面PCD ；（2）线段BC 上假设存在点F ，使得PDF ⊥平面PAC ，设CF t =，以D 为坐标原点，DA ，DC 所在的直线分别为x ，y 轴，过D 垂直于DC 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，由四边形ABCD 为直角梯形，且1AB =，2CD AD ==，可得22125CB =+，且tan 2DCB ∠=，cos 5DCB ∠=，sin 5DCB ∠，可得(5F ，25，0)，(0P ，1-，3)，(0D ，0，0)，(2A ，0，0)，(0C ，2，0)，(2PA =，1，3)-，(0PC =，3，3)-，(0PD =，1，3)-，(5DF =，25，0)，设平面PAC 的法向量为11(n x =，1y ，1)z ，平面PDF 的法向量为22(n x =，2y ，2)z ， 由1100n PA n PC ⎧=⎪⎨=⎪⎩可得11111230330x y z y z ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，可取13y =1(3n =33)， 由2200n PD n DF ⎧=⎪⎨=⎪⎩，可得222230(2055y z x y ⎧-=⎪+=，取23y =可得23(25)(t n -=，31)， 由题意可得123(25)3302t n n -=++=，解得25t =则3555BF t =-=， 所以存在F ，且35BF BC =； （3）证明：假设MN 与PC 平行，取AC 的中点H ，连接MH ，由MH 为PAC ∆的中位线，可得//MH PC ， 可得过M 存在两条直线MN ，MH 与PC 平行，这与过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，矛盾， 故MN 与PC 一定不平行．6．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，E 为AB 的中点，F 为BC 的中点，O 为1BD 的中点．（1）求证：AF ⊥平面1DD E ；（2）线段AF 上是否存在点G ，使得//OG 平面1DD E ，若存在，求出AGGF的值，若不存在，请说明理由．（1）证明：以D 为原点，以DA ，DC ，1DD 为坐标轴建立空间直角坐标系D xyz -， 设AB a =，1AA b =，则(A a ，0，0)，(2aF ，a ，0)，(0D ，0，0)，1(0D ，0，)b ，(E a ，2a，0)， ∴(2a AF =-，a ，0)，(DE a =，2a，0)，1(0DD =，0，)b ， ∴220022a a AF DE =-++=，10000AF DD =++=，∴AF DE ⊥，1AF DD ⊥，即AF DE ⊥，1AF DD ⊥，又1DEDD D =，AF ∴⊥平面1DD E ．（2）解：由（1）可知(2aAF =-，a ，0)为平面1DD E 的一个法向量，设线段AF 上存在点G ，使得//OG 平面1DD E ，不妨设(2aAG AF λλ==-，a λ，0)，又(2a O ，2a ，)2b ，∴(2a AO =-，2a ，)2b ，∴(22a a OG AG AO λ=-=-+，2aa λ-，)2b -，//OG 平面1DD E ，∴OG AF ⊥，∴22220442a a a OG AF a λλ=-+-=，解得35λ=，∴线段AF 上存在点G ，使得//OG 平面1DD E ，且32AG GF =．7．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，ABC ∆是等边三角形，点E ，F 分别为AC ，PC 的中点，1PA =，2AB =．（1）求证：平面BEF ⊥平面PAC ；（2）在线段PB 上是否存在点G ，使得直线AG 与平面PBC 所成角的正弦值为155？若存在，确定点G 的位置；若不存在，请说明理由．解：（1）证明：PA ⊥平面ABC ，PA ⊂平面PAC ，∴平面PAC ⊥平面ABC ．AB BC =，E 为AC 的中点，BE AC ∴⊥．又平面PAC ⋂平面ABC AC =，BE ⊂平面ABC ，BE ∴⊥平面PAC ，又BE ⊂平面BEF ，∴平面BEF ⊥平面PAC ．（2）解：PA ⊥平面ABC ，PA AC ∴⊥， 又点E ，F 分别为AC ，PC 的中点， 所以//EF PA ，从而EF AC ⊥．又由于BE ⊥平面PAC ，BE AC ∴⊥，BE EF ⊥， 所以EB ，EC ，EF 两两互相垂直．以E 为坐标原点，分别以EB ，EC ，EF 方向为x ，y ，z 轴正方向建立如图坐标系．由于(0A ，1-，0)，(0P ，1-，1)，(3,0,0)B ，(0C ，1，0)，于是(3,1,1)BP =--，(3,1,0)BC =-．设平面PBC 的法向量(,,)n x y z =，则3030x y z x y ⎧--+=⎪⎨-+=⎪⎩，取1x =，则3y =3z =于是(1,3,23)n =．(3,1,0)AB =，设(3,,)BG BP λλλλ==--，[0λ∈，1]，则(3(1),1,)AG AB BG λλλ=+=--+．由2||152315152||||4584AG n AG n λλλ=⇒=⇒=-+或1110λ=（舍去）．故存在满足条件的G 点，G 点是线段PB 的中点．8．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 中，AB AD ⊥，4AB AD +=，2CD =，45CDA ∠=︒．（Ⅰ）求证：平面PAB ⊥平面PAD ； （Ⅱ）设AB AP =．()i 若直线PB 与平面PCD 所成的角为30︒，求线段AB 的长；()ii 在线段AD 上是否存在一个点G ，使得点G 到点P ，B ，C ，D 的距离都相等？说明理由．解：()I 证明：PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCDPA AB ∴⊥又AB AD ⊥，PA AD A =AB ∴⊥平面PAD又AB ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PAD()()II i 以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz -（如图）在平面ABCD 内，作//CE AB 交于点E ，则CE AD ⊥在Rt CDE ∆中，cos451DE CD =⋅︒=， sin451CE CD =⋅︒=设AB AP t ==，则(B t ，0，0)，(0P ，0，)t 由4AB AD +=，得4AD t =-，所以(0E ，3t -，0)，(1C ，3t -，0)，(0D ，4t -，0)(1,1,0)CD =-，(0,4,)PD t t =--设平面PCD 的法向量为(n x =，y ，)z 由n CD ⊥，n PD ⊥，得0(4)0x y t y tz -+=⎧⎨--=⎩取x t =，得平面PCD 的一个法向量为(,,4)n t t t =-又(,0,)PB t t =-，故由直线PB 与平面PCD 所成的角为30︒得1||cos(9030)2||||n PB n PB ⋅︒-︒==⋅ 212=解得45t =或4t =（舍去，因为40)AD t =-> 所以45AB =()ii 假设在线段AD 上存在一个点G 到P 、B 、C 、D 的距离都相等由GC GD =，得45GCD GDC ∠=∠=︒ 从而90CGD ∠=︒，即CG AD ⊥所以cos451GD CD =⋅︒=设AB λ=，则4AD λ=-，3AG AD GD λ=-=- 在Rt ABG ∆中，2222239(3)2()122GB AB AG λλλ=+=+-=-+>这GB GD =与矛盾．所以在线段AD 上不存在一个点G ，使得点G 到B 、C 、D 的距离都相等．从而，在线段AD 上不存在一个点G ，使得点G 到点P 、B 、C 、D 的距离都相等．9．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，12AA AB BC ===．（Ⅰ）求证：1BC ⊥平面11A B C ；（Ⅱ）求异面直线1B C 与1A B 所成角的大小；（Ⅲ）点M 在线段1B C 上，且1113B M B C =，点N 在线段1A B 上，若//MN 平面11A ACC ，求11A NA B的值．解：（Ⅰ）证明：在三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，12AA AB BC ===．11BC B C ∴⊥，111BB A B ⊥，1111A B B C ⊥，1111BB B C B =，11A B ∴⊥平面11BCC B ，1BC ⊂平面11BCC B ，111A B BC ∴⊥，1111A B B C B =，1BC ∴⊥平面11A B C ．（Ⅱ）以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，1(0B ，0，2)，(2C ，0，0)，1(0A ，2，2)，(0B ，0，0)，1(2B C =，0，2)-，1(0A B =，2-，2)-，设异面直线1B C 与1A B 所成角为θ，则1111||1cos 2||||88B C A B B C A B θ===，60θ∴=︒． ∴异面直线1B C 与1A B 所成角的大小为60︒．（Ⅲ）解：(0A ，2，0)，(2C ，0，0)，1(2C ，0，2)，(0B ，0，0)，1(0B ，0，2)，1(0A ，2，2)，(2CA =-，2，0)，1(0CC =，0，2)，设平面11ACC A 的法向量(n x =，y ，)z ，则122020n CA x y n CC z ⎧=-+=⎪⎨==⎪⎩，取1x =，得(1n =，1，0)，点M 在线段1B C 上，且1113B M BC =，点N 在线段1A B 上， 设(M a ，b ，)c ，(N x ，y ，)z ，11A NA Bλ=，则113BC B M =，11A N A B λ=，01λ， 即(2，0，2)3(a -=，b ，2)c -，(x ，2y -，2)(0z λ-=，2-，2)-， 解得2(3M ，0，4)3，(0N ，22λ-，22)λ-，2(3MN =-，22λ-，22)3λ-，//MN 平面11A ACC ，∴22203n MN λ=-+-=，解得23λ=． ∴11A N A B 的值为23．。

圆锥曲线中的证明、探索性问题1．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，左、右顶点分别是A1，A2，上顶点为B(0，b)，△A1A2B的面积等于2．(1)求椭圆C的方程；(2)设点Q(1,0)，P(4，m)，直线PA1，PA2分别交椭圆C于点M，N，证明：M，Q，N三点共线．[解](1)由离心率为得，＝　①．由△A1A2B的面积为2得，ab＝2　②．a2＝b2＋c2　③，∴联立①②③解得，a＝2，b＝1，∴椭圆C的方程为＋y2＝1．(2)记点M，N的坐标分别为M(x1，y1)，N(x2，y2)．注意到A1(－2,0)，∴直线PA1的方程为y＝(x＋2)，与椭圆＋y2＝1联立并整理得(m2＋9)x2＋4m2x＋4m2－36＝0，由－2＋x1＝得x1＝，代入直线PA1的方程得y1＝，即M．同理可得N．∵Q(1,0)，∴QM＝，QN＝，由·＝·知，M，Q，N三点共线．2．(2021·河南开封高三期末)已知点，都在椭圆C上，点A为椭圆C的上顶点，点F 为椭圆C的右焦点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知直线l的倾斜角为30°，且与椭圆C交于M，N两点，问是否存在这样的直线l使得FA＋FM＋FN＝0？若存在，求l的方程；若不存在，说明理由．[解](1)设椭圆C的方程为mx2＋ny2＝1，由已知有解得所以椭圆C的标准方程为＋＝1．(2)由(1)知，A(0，)，F(1,0)，假设存在直线l满足题意，并设l的方程为y＝x＋t，M(x1，y1)，N(x2，y2)．由 ，得13x2＋8tx＋12(t2－3)＝0，由Δ＝(8t)2－4×13×12(t2－3)>0，得－<t<，又因为x1＋x2＝－，由题意易知点F为△AMN的重心，所以x1＋x2＋x A＝3x F，即－＋0＝3，解得t＝－，当t＝－时，不满足－<t<，所以不存在直线l使得FA＋FM＋FN＝0．3．设D是圆O：x2＋y2＝16上的任意一点，m是过点D且与x轴垂直的直线，E是直线m与x轴的交点，点Q在直线m上，且满足2|EQ|＝|ED|．当点D在圆O上运动时，记点Q的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)已知点P(2,3)，过F(2,0)的直线l交曲线C于A，B两点，交直线x＝8于点M．试判断直线PA，PM，PB的斜率是否依次构成等差数列，并说明理由．[解](1)设点Q(x，y)，D(x0，y0)，因为2|EQ|＝|ED|，点Q在直线m上，所以x0＝x，|y0|＝|y|．　①因为点D在圆O：x2＋y2＝16上运动，所以x＋y＝16．　②将①代入②，可得x2＋＝16．即曲线C的方程为＋＝1．(2)直线PA，PM，PB的斜率依次构成等差数列，理由如下．由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－2)，令x＝8，得点M的坐标为(8,6k)．由消去y，并整理得(4k2＋3)x2－16k2x＋16(k2－3)＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1＋x2＝，x1x2＝．　③记直线PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3，从而k1＝，k2＝，k3＝＝k－．因为直线AB的方程为y＝k(x－2)，所以y1＝k(x1－2)，y2＝k(x2－2)，所以k1＋k2＝＋＝＋－3＝2k－3×．　④把③代入④，得k1＋k2＝2k－3×＝2k－1．又k3＝k－，所以k1＋k2＝2k3，于是直线PA，PM，PB的斜率依次构成等差数列．。

卜人入州八九几市潮王学校望城区白箬高三数学第二轮专题讲座复习：探究性问题高考要求重难点归纳假设把一个数学问题看作是由条件、根据、方法和结论四个要素组成的一个系统，那么把这四个要素中有两个是未知的数学问题称之为探究性问题条件不完备和结论不确定是探究性问题的根本特征解决探究性问题，对观察、联想、类比、猜测、抽象、概括诸方面有较高要求，高考题中一般对这类问题有如下方法〔1〕直接求解；〔2〕观察——猜测——证明；〔3〕赋值推断；〔4〕数形结合； 〔5〕联想类比；〔6〕特殊——一般——特殊典型题例示范讲解例1函数1)(2++=ax c bx x f (a ,c ∈R ,a ＞0,b 是自然数〕是奇函数，f (x )有最大值21，且f (1)＞52〔1〕求函数f (x )的解析式；〔2〕是否存在直线l 与y =f (x )的图象交于P 、Q 两点，并且使得P 、Q 两点关于点(1,0)对称，假设存在，求出直线l 的方程，假设不存在，说明理由此题考察待定系数法求函数解析式、最值问题、直线方程及综合分析问题的才能知识依托函数的奇偶性、重要不等式求最值、方程与不等式的解法、对称问题错解分析不能把a 与b 间的等量关系与不等关系联立求b ；无视b 为自然数而导致求不出b 的详细值；P 、Q 两点的坐标关系列不出解技巧与方法充分利用题设条件是解题关键此题是存在型探究题目，注意在假设存在的条件下推理创新，假设由此导出矛盾，那么否认假设，否那么，给出肯定的结论，并加以论证解〔1〕∵f (x )是奇函数∴f (–x )=–f (x )，即1122++-=++-ax cbx ax c bx ∴–bx +c =–bx –c ∴c =0∴f (x )=12+ax bx由a ＞0，b 是自然数得当x ≤0时，f (x )≤0，当x ＞0时，f (x )＞0∴f (x )的最大值在x ＞0时获得∴x ＞0时，22111)(babx x b a x f ≤+=当且仅当bxx b a 1=即a x 1=时，f (x )有最大值21212=b a∴2b a =1,∴a =b 2①又f (1)＞52，∴1+a b ＞52,∴5b ＞2a +2② 把①代入②得2b 2–5b +2＜0解得21＜b ＜2又b ∈N ,∴b =1,a =1,∴f (x )=12+x x〔2〕设存在直线l 与y =f (x )的图象交于P 、Q 两点，且P 、Q 关于点〔1，0〕对称，P (x 0,y 0)那么Q 〔2–x 0,–y 0)，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+--=+02000201)2(21y x x y x x ,消去y 0，得x02–2x 0–1=0解之，得x 0=1±2,∴P 点坐标为(42,21+)或者(42,21--) 进而相应Q 点坐标为Q 〔42,21--〕或者Q (42,21+) 过P 、Q 的直线l 的方程x –4y –1=0即为所求例2如图，三条直线a 、b 、c 两两平行，直线a 、b 间的间隔为p ，直线b 、c 间的间隔为2p，A 、B 为直线a 上两定点，且｜AB ｜=2p ，MN 是在直线b 上滑动的长度为2p 的线段〔1〕建立适当的平面直角坐标系，求△AMN 的外心C 的轨迹E ；〔2〕接上问，当△AMN 的外心C 在E 上什么位置时，d +｜BC ｜最小，最小值是多少？〔其中d 是外心C 到直线c 的间隔〕此题考察轨迹方程的求法、抛物线的性质、数形结合思想及分析、探究问题、综合解题的才能知识依托求曲线的方程、抛物线及其性质、直线的方程错解分析①建立恰当的直角坐标系是解决此题的关键，如何建系是难点，②第二问中确定C 点位置需要一番分析技巧与方法C 所在位置，然后加以论证和计算，得出正确结论，是条件探究型题目解1〕以直线b 为x 轴，以过A 点且与b 直线垂直的直线为y 轴建立直角坐标系设△AMN 的外心为C (x ,y )，那么有A (0,p )、M 〔x –p ,0)，N (x +p ,0)， 由题意，有｜CA ｜=｜CM ｜∴2222)()(y p x x p y x ++-=-+,化简，得x 2=2py它是以原点为顶点，y 轴为对称轴，开口向上的抛物线〔2〕由〔1〕得，直线c 恰为轨迹E 的准线由抛物线的定义知d =｜CF ｜，其中F 〔0,2p 〕是抛物线的焦点∴d +｜BC ｜=｜CF ｜+｜BC ｜由两点间直线段最短知，线段BF 与轨迹E 的交点即为所求的点直线BF的方程为p x y 2141+=联立方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=pyx p x y 221412得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.16179)171(41p y p x 即C 点坐标为(p p 16179,4171++) 此时d +｜BC ｜的最小值为｜BF ｜=p 217 例3三个向量a 、b 、c ，其中每两个之间的夹角为120°，假设｜a ｜=3,｜b ｜=2,｜c ｜=1，那么a 用b 、c 表示为解析如图–a 与b ，c 的夹角为60°,且|a |=|–a |=3由平行四边形关系可得–a =3c +23b ,∴a =–3c –23b 答案a =–3c –23b 例4假设每一架飞机引擎在飞行中故障率为1–p ，且各引擎是否有故障是HY 的，如有至少50%的引擎能正常运行，飞机就可成功飞行，那么对于多大的p 而言，4引擎飞机比2引擎飞机更为平安？2解析飞机成功飞行的概率分别为4引擎飞机为4222443342224)1(4)1(6C )1(C )1(C P P P P P P P P P P +-+-=+-+-2引擎飞机为222212)1(2C )1(C PP P P P P +-=+-⋅要使4引擎飞机比2引擎飞机平安，那么有6P 2〔1–P 〕2+4P 2〔1–P 〕+P 4≥2P (1–P )+P 2,解得P ≥32 即当引擎不出故障的概率不小于32时，4引擎飞机比2引擎飞机平安 学生稳固练习1直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β)①α∥β⇒l ⊥m ②α⊥β⇒l ∥m ③l ∥m ⇒α⊥β④l ⊥m ⇒α∥β A ①与②B ①与③C ②与④D ③与④2现有邮资为0元的邮件一件，为使粘贴邮票的张数最少，且资费恰为0元，那么最少要购置邮票()A 7张B 8张C 9张D 10张3观察sin 220°+cos 250°+sin20°cos50°=43,sin 215°+cos 245°+sin15°·cos45°=43， 写出一个与以上两式规律一样的一个等式4在四棱锥P —ABCD 中，侧棱P A ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，问底面的边BC 上是否存在点E〔1〕使∠PED =90°；〔2〕使∠PED 为锐角证明你的结论5非零复数z 1,z 2满足｜z 1｜=a ,｜z 2｜=b ,｜z 1+z 2｜=c 〔a 、b 、c 均大于零〕，问是否根据上述条件求出12z z ？请说明理由参考答案1解析①l ⊥α且α∥β⇒l ⊥β,m ⊂β⇒l ⊥m②α⊥β且l ⊥α⇒l ∥β,但不能推出l ∥m③l ∥m ,l ⊥α⇒m ⊥α,由m ⊂β⇒α⊥β④l ⊥m ,不能推出α∥β答案B2解析故8张答案B3解析由50°–20°=(45°–15°)=30°可得sin 2α+cos 2(α+30°)+sin αcos(α+30°)=43 答案sin 2α+cos 2(α+30°)+sin αcos(α+30°)=434解(1)当AB ≤21AD 时，边BC 上存在点E ，使∠PED =90°;当AB >21AD 时，使∠PED =90°的点E 不存在〔只须以AD 为直径作圆看该圆是否与BC 边有无交点〕〔证略〕〔2〕边BC 上总存在一点，使∠PED 为锐角，点B 就是其中一点连接BD ，作AF ⊥BD ，垂足为F ，连PF ，∵PA ⊥面ABCD ，∴PF ⊥BD ，又△ABD 为直角三角形，∴F 点在BD 上，∴∠PBF 是锐角同理，点C 也是其中一点5解∵|z 1+z 2|2=(z 1+z 2)(1z +2z )=|z 1|2+|z 2|2+(z 12z +1z z 2)∴c 2=a 2+b 2+(z 12z +1z z 2)即12z +1z z 2=c 2–a 2–b 2∵z 1≠0,z 2≠0，∴z 12z +1z ·z 2=12112221z z z z z z z z =|z 2|2(21z z )+|z 1|2(12z z ) 即有b 2(21z z )+a 2(12z z )=z 1z 2+z 1z 2∴b 2(21z z )+a 2(12z z )=c 2–a 2–b 2∴a 2(12z z )2+(a 2+b 2–c 2)(12z z )+b 2=0这是关于12z z 的一元二次方程，解此方程即得12z z 的值。

卜人入州八九几市潮王学校高中数学必修内容复习〔15〕—探究性问题一、选择题〔此题每一小题5分，一共60分〕1．集合A ＝{a ，b ，c }，集合B ＝{－1，0，1}，f 是A 到B 的映射，且满足条件f (a )+f (b )+f (c )=0，这样的映射一共有 〔〕A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个2．在△ABC 中，sinA>sinB 是A>B 成立的〔〕A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．直线143x y+=与椭圆221169x y +=相交于A 、B 两点，该椭圆上点P ，使得△APB 的面积等于3，这样的点P 一共有 〔〕A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．设数集⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤≤=n x n x N m x m x M31,43，且M 、N 都是集合{}10≤≤x x 的子集，假设把a b -叫做集合{}b x a x ≤≤的“长度〞，那么集合N M ⋂的“长度〞的最小值是〔〕A ．31B ．32 C ．121 D ．125 5．PQ 是异面直线a ，b 的公垂线，a b ，A a ，B b ，C 在线段PQ 上〔异于P,Q 〕，那么ABC的形状是〔〕A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．三角形不定6．用一张钢板制作一容积为34m 的无盖长方体水箱，可用的长方形钢板有四种不同的规格〔长×宽的尺寸如各选项所示，单位均为m 〕，假设既要够用，又要所剩最少，那么应选钢板的规格是 〔〕A ．2×5B ．2×5.5C ．2×D ．3×57．计算机是将信息转换成二进制数进展处理的，二进制即“逢2进1”，如〔1101〕2表示二进制数,将它转换成十进制形式是1×23+1×22+0×21+1×20=13，那么将二进制数〔11…11〕2〔2021个1〕转换成十进制形式是〔〕A ．22021－2 B ．22021－2 C ．22021－1 D ．22021－18．数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,…的第1000项的值是〔〕A ．42B ．45C ．48D ．519．在(1+x )2+(1+x )6+(1+x )7的展开式中，含x 4项的系数是等差数列a n =3n －10的〔〕A ．第2项B ．第11项C ．第20项D ．第24项10．集合A={x |x 2－2x －3>0},B={x |x 2+ax +b ≤0}，假设A ∪B=R ，A ∩B=〔3，4]那么有〔〕A ．a =3,b =4B ．a =3,b =－4C ．a =－3,b =4D ．a =－3,b =－411．不等式22x a -<2x +a (a >0)的解集是 〔〕A ．{x |x >0或者x <－45a } B ．{x |－2a<x <a } C ．{x |0<x ≤a }D ．{x |－a ≤x <－45a 或者0<x ≤a }12．椭圆13422=+y x 的长轴为A 1A 2，短轴为B 1B 2，将坐标平面沿y 轴折成一个二面角，使A 1点的平面B 1A 2B 2上的射影恰好是该椭圆的右焦点，那么此二面角的大小为 〔〕A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°二、填空题〔此题每一小题4分，一共16分〕13．定点A(－2，3),F 是椭圆162x +122y =1的右焦点，点M 在椭圆上挪动，那么当|AM|+2|MF|取最小值时，点M 的坐标是.14．假设(x 2－x1)n的展开式中含x 的项为第6项，设(1－x +2x 2)n=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 2nx 2n ,那么a 1+a 2+a 3+…+a 2n =.15．定义“等和数列〞：在一个数列中，假设每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.数列{}a n 是等和数列，且a 12=，公和为5，那么a 18的值是______________，这个数列的前n 项和S n 的计算公式为________________. 16．定义集合A 和B 的运算：{},A B x x A x B *=∈∉且.试写出含有集合运算符号“*〞、“〞、“〞，并对任意集合A 和B 都成立的一个等式：_______________.三、解答题〔本大题一一共6小题，一共74分。

29 数学高考综合能力题选讲条件开放地探索性问题题型预测探索性问题地明显特征是问题本身具有开放性及问题解决地过程中带有较强地探索,,执果索因往往采用分析法,从结论和部分已知地条件入手性．对于条件开放地探索性问题,而不一这一类问题所要求地往往是问题地充分条件,,需要注意地是,导出所需地条件．另外直觉联想、较好地洞察力都将有助于这一类问题地解答．因此,定是充要条件,b5E2RGbCAP范例选讲例1．在四棱锥中,四条侧棱长都相等,底面是梯DAP?ABCDBC形,,．为保证顶点P 在底面所在平面上地射影O在梯形ABCDAB?AB//CDCD地外部,那么梯形需满足条件___________________<填上你认为正ABCDABCD确地一个条件即可）．p1EanqFDPw讲解：条件给我们以启示．由于四条侧棱长都相等,DC四O到梯形顶点P在底面上地射影所以,ABCDABCD且外接圆有外接圆,个顶点地距离相等．即梯形ABC B梯腰须为等必是O．显然梯形地圆心就DBCA AE 形．DXDiTa9E3d,事实上再看结论．结论要求这个射影在梯形地外部, 我们只需找出使这个结论成立地一个充分条件即可．应该为钝角,AE地同侧．不难发现、C应该在过A地直径显然,点B ACB?三角形．）时可满足条件．其余等价地或类似地条件可且AC>BC故当<??90?ACB以随读者想象．需要完备使得结论成立地充分条,,点评：本题为条件探索型题目其结论明确进行演绎推理推导出所需寻求地条件．这类,件,可将题设和结论都视为已知条件有利于培养学生地逆向思维能力．,题要求学生变换思维方向RTCrpUDGiT??xy?f四个学生甲、乙、丙、丁各指出这个函．老师给出一个函数例2, 数地一个性质：????xf?f1x?1?；甲：对于都有,R?x乙：在上函数递减；,0](??????0,上函数递增；丙：在??0f不是函数地最小值．丁：如果其中恰有三个人说得正确,请写出一个这样地函数：____________． ????x1?ff?1?x”,其含义即为：讲解：首先看甲地话,所谓“对于,都有R?x??xf 地图像关于直线对称．数形结合,不难发现：甲与丙地话相矛函数1x?盾．<在对称轴地两侧,函数地单调性相反）5PCzVD7HxA因此,我们只需选择满足甲、乙、丁<或乙、丙、丁）条件地函数即可．如果我们希望找到满足甲、乙、丁条件地函数,则需要认识到：所谓函数在??xf 地单调递减区间只有并不是说函数．考虑到关上单调递减,,0]0]??((??,于直线地对称性,我们不妨构造函数,使之在上单调递减,这样,既不与,1](??1?x2????1fxx??即可．也满足丁所说地性质．如乙地话矛盾,jLBHrnAILg则分段函数是必然地选择．如,如果希望找到满足乙、丙、丁条件地函数x?0?x?1,???．?fx?x, x?0?点评：本题考查学生对于函数性质地理解和掌握．思考这样地问题,常常需要从熟悉地函数<一次、二次、反比例函数,指数、对数、三角函数等）入手,另外,分段函数往往是解决问题地关键．xHAQX74J0X??xf,,可按图示构造一个数列发例3．对任意函数D?x,其工作原理如下：生器??x?fx ；①输入数据,经数列发生器输出Dx?001反则将则数列发生器结束工作；若,②若,xx?Dx?D111??xx?f 馈回输入端,再输出,并依此规律继续下去．122?4x???fx现定义．1x?49???x x．请<,Ⅰ）若输入则由数列发生器产生数列0n65??x 写出数列地所有项；n??xx试求输入地初始数据,<Ⅱ）若要数列发生器产生一个无穷地常数数列0n地值；??x满足：对任意正整数n,均有<Ⅲ）若输入时,产生地无穷数列,x?xx01?nnn求地取值范围．x0<Ⅳ）是否存在,当输入数据时,该数列发生器产生一个各项均为负数地xx00地无穷数列．4x?2???????fxⅠ）对于函数<, 讲解：．??1?1,?D????,1?x111491?x??,x?,x?x, ,若代入计算可得：310256519??x只有三项．故产生地数列n<Ⅱ）要使数列发生器产生一个无穷地常数数列,实际上是对于任意地正整数4x?2????n n?xf?fxxx．．所以,．又,都应该有只需令xx??nn?1n1n?x?1n．解得：2x?或x?1由于题目实际上只要求找到产生“无穷常数数列”地一个充分条件,所以,令<或2）即可．此时必有＝1<或2）．x1x?x?LDAYtRyKfE0nn?1事实上,相对于本题来讲,<或2）是产生“无穷常数数列”地充要条件<1x?02?3x?2x24x??????fx?fx,是一一对应）．如果把函数换成这是因为函数x?12x请读者思考：有多少个满足条件地初值？x Zzz6ZB2Ltk0<Ⅲ）要使得对任意正整数n,均有,我们不妨先探索上述结论成立地x?x1?nn4x?21??xx．一个必要条件．即21x?114x?2?xx??11?x?2．,事实上不等式或地解为<＊）x?1x??11?x?2．或, 所以11下面我们来研究这个条件是否充分．4x?261x?xx?4?x?1?x4?x??4?,当,时虽然有但此时,,,所以221123x?1x1?11显然不符合题意．当时,由上可知：,且不难求得,以此类推,可知,必有：2x1?x?2?1?xx?2112对任意正整数n,均有成立．xx?1nn???x?fx及<＊）,．由综上所述,不难得知：地取值范围为x21?x?0101??1,2．??N任取n?x0?成立地初值<Ⅳ）要求使得．实质上是执果索因．令x0n1????x?1．不难解得则由, x?fx0x?1?nn1n?n215???x?xxf?．又由,可解得：2?n21n?n?5715?x?．即与不可能同时小于则必有由此我们知道,如果,xxx?02?n2?nnn570．??x．不可能产生各项均为负数地数列,故在本题地规则下n点评：本题为条件探索型问题,执果索因,恰当运用分析法,寻找使结论成立地充分条件是解决这类问题地常用方法．dvzfvkwMI1。

专题5 开放性问题开放性试题由于条件、方法与结果的不确定性，所以呈现岀条件开放、过程开放、结论开放等特点，且没有唯一固定答案，因此在教育和评价中有特定的功能．如果说封闭性试题在考査学生思维的严谨性、目标的客观性、方式的规范性上独具优势的话，那么开放性试题则在考査学生思维的灵活性、创造性上更为突出，甚至关注学习者情感、态度和价值观等非智力因素，关注探究性和生成性的考査，所以在评价研究与实践中发挥越来越重要的作用．一、数学开放题的特点除了一般开放题的特点，数学开放题还有独特的特征．传统数学试题的特点是条件都是给定的，而且不多不少，全部应用就可以解题．解题的思路是固定的，即使是一题多解的题目，每种解法的思路也是固定的，只要沿着固定的思路就能解题．解题的结果也是唯一、确定的，能得出确切的结论和数值．而数学开放题具有以下的特点：1．数学开放题的条件是不充分的，需要学生补充条件才能解题，补充的条件不同，解题的思路和解法也会不同．2．题目的结论不是事先给定的，有些问题的答案是不确定的，存在着多样的解答，但重要的还不是答案本身的多样性，而在于寻求解答过程中主体的认知结构的重建．3．没有现成的解题模式，有些答案可能易于直觉地被发现，但是在求解过程中往往需要从多个角度进行思考和探索．4．实际应用性的开放题，主体必须将生活语言用数学语言将其数学化，建立数学模型才能解决．在求解过程中往往可以引出新的问题，或将问题加以推广，找出更一般、更有概括性的结论．二、高考考查开放题的实践开放性试题以核心素养和关键能力为考查目标，在命制开放题时，可以从多方面进行探索尝试，如给出一系列事实或数据，要求考生从中发现问题并归纳结论或阐释原理；设置条件缺失试题，要求考生补充条件，解决问题；给出限制条件，列举满足条件的实例；综合开放等等．1．列举实例，考查学以致用举例题在2013年的高考新题型测试中已经引入，要求考生通过给出已知结论、性质和定理等条件，从题干中获取信息，整理信息，写出符合题干要求的结论或是具体实例．在2021年8省联考中又进一步的测试、考查．例1 （8省联考试卷第15题）写出一个最小正周期为2的奇函数f（x）= ．解：根据奇函数性质可考虑正弦型函数f（x）= A sinωx，A≠0，再利用周期计算ω，选择一个作答即可.由最小正周期为2，可考虑三角函数中的正弦型函数f （x ）= A sin ωx ，A ≠0，满足f （－x ）=－A sin ωx =－ f （x ），即是奇函数；根据最小正周期22==ωπT ，可得ω = π．故函数可以是f （x ）= A sin πx ，A ≠0中任一个，可取f （x ）= sin πx ，故答案为f （x ）= sin πx ．例2 （2021年新高考II 卷第14题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数f（x ）： ．① f （x 1·x 2）= f （x 1）·f （x 2）；② 当x ∈（0，+∞）时，)(x f '＞0；③ )(x f '是奇函数．分析：根据幂函数的性质可得所求的f （x ）.解：取f （x ）= x 4，则f （x 1·x 2）=（x 1·x 2）4 = x 14·x 24 = f （x 1）·f （x 2），满足①； )(x f '= 4x 3，x ＞0时有)(x f '＞0，满足②；)(x f '= 4x 3 的定义域为R ，又)(x f -'=－4x 3 =－)(x f '，故)(x f '是奇函数，满足③．故答案为：f （x ）= x 4（答案不唯一，f （x ）= x 2n ，x ∈N * 均满足）说明：熟悉常见基本初等函数的基本性质有利于进行构造．试题要求考生在理解函数性质①②③的基础上从抽象到具体构建出一个函数f （x ）．解题的关键是理解函数性质，第①条为自变量积的函数等于函数的积．第②条是在x 轴正半轴为增函数．第③条导函数是奇函数．则原函数为偶函数．由于答案是开放的，可以有多个答案，例如f （x ）=︱x ︱，f （x ）= x 2 等．试题在考查思维的灵活性方面发挥了很好的作用，同时也给不同水平的考生提供了充分发挥自己数学能力的空间．举例题的特点是条件限定．而满足条件的结论或具体例子有很多，给了考生更大的发挥空间．举例题不同于一般的填空题，一般填空题的正确答案是唯一的，阅卷时与正确答案相同就给分，不相同就不给分．举例题需要阅卷人员逐一验证结论．因此对阅卷人员的要求有所提高，阅卷的工作量也相应增大，这要求阅卷机构配合高考内容改革，增加阅卷的人员投入，提高阅卷人员的业务水平．例3 （2021年高考乙卷文、理科第16题）以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为 ②⑤或③④ （写出符合要求的一组答案即可）．分析：通过观察已知条件正视图，确定该三棱锥的长和高，结合长、高、以及侧视图视图中的实线、虚线来确定俯视图图形．解：观察正视图，推出三棱锥的长为2和高1，②③图形的高也为1，即可能为该三棱锥的侧视图，④⑤图形的长为2，即可能为该三棱锥的俯视图，当②为侧视图时，结合侧视图中的直线，可以确定该三棱锥的俯视图为⑤，当③为侧视图时，结合侧视图虚线，虚线所在的位置有立体图形的轮廓线，可以确定该三棱锥的俯视图为④．故答案为：②⑤或③④．本题不同于举例题，不是要学生构造实例，而是给出实例要求学生选择．但试题没有给岀一个“几何体”的空间图形，只给出这个“几何体”的正视图①，要求考生在所给的图②③④⑤四个图中选出两个分别作为侧视图和俯视图，与①组成这个“几何体”的三视图．试题的正确答案有二种：②⑤或③④，具有一定的开放性．考生可以先从侧视图入手，借助于空间线面关系，确定相应的俯视图；也可以先从俯视图入手，然后选定相应的侧视图．本题不要求学生选岀全部的符合要求的答案，而是选出一个即可，不同的答案对应着不同的思考方案，其思维的灵活性体现在方案的选择上，试题全面考查了考生的空间想象能力，具有较好的选拔性．2．主动选择，鼓励独立思考2020年新高考中考查的结构不良试题是根据高考的特点，考虑到考生付出的劳动进行改造的试题，即不是让考生自己寻找条件，而是给出三个条件，让考生选择．“这样既保持了结构不良试题的特点，又保证了考试的公平性．3侦在新高考的命题实践中，对结构不良试题进行了进一步的研究，命制了改良版的结构不良试题，要求考生自己选择结论成立的条件．例4 （2021年高考甲卷理科第18题）已知数列{ a n }的各项均为正数，记S n 为{ a n }的前n 项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．① 数列{ a n }是等差数列；② 数列{n S }是等差数列；③ 213a a =．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．分析：首先确定条件和结论，然后结合等差数列的通项公式和前n 项和公式证明结论即可．解：选择①③为条件，②结论．证明过程如下：由题意可得：a 2 = a 1 + d = 3a 1，∴ d = 2a 1，数列的前n 项和21111(1)(1)222n n n n n S na d na a n a ++=+=+⨯=， 故1111)1(a a n a n S S n n =--=--，据此可得数列{n S }是等差数列．选择①②为条件，③结论：设数列{ a n }的公差为d 1121113111,()2,()(2)S a S a a d a d S a a d a d ==++=+=++++=，21113111()2,()(2)S a S a a d a d S a a d a d ==++=+=++++=， 11131111()2()(2)3()a a d a d S a a d a d a d ++=+=++++=+．因为数列{n S }1322S S S =即22111(3())(22)a a d a d +=+，整理可得 d = 2a 1，∴ a 2 = a 1 + d = 3a 1． 选择③②为条件，①结论：由题意可得S 2 = a 1 + a 2 = 4a 1，∴212S a ={n S }的公差为211d S S a ==11(1)n S S n d n a =+-=，据此可得，当n ≥2时，221111(1)(21)n n n a S S n a n a n a -=-=---=，当n = 1时上式也成立，故数列的通项公式为a n =（2n －1）a 1，由1111[2(1)1](21)2n n a a n a n a a ++--=--=，可知数列{ a n }是等差数列．本题给岀部分已知条件，要求考生根据试题要求构建个命题，并证明命题成立．试题设计了三个不同的组合方案，组成三个真命题，给考生充分的选择空间．选择什么样的条件和结论，直接影响到问题的思维和证明过程，考生选什么样的条件和结论组成命题，体现了考生不同的数学思维角度和方式．这种结构不良试题的适度开放不仅有益于考生在不同层面上发挥自己的数学能力，而且也有益于对中学数学教学的积极导向，引导中学在数学概念与数学方法的教学中，重视培养数学核心素养，克服“机械刷题”现象，充分考查学生对数学本质的理解．3．判断存在问题，考查批判性思维例5 （2021年新高考Ⅱ卷第18题）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，b = a + 1，c = a + 2．（1）若2 sin C = 3 sin A ，求△ABC 中的面积；（2）是否存在正整数a ，使得△ABC 中为钝角三角形？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．分析：（1）由正弦定理可得出2c = 3a ，结合已知条件求出a 的值，进一步可求得b 、c 的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出sin B ，再利用三角形的面积公式可求得结果；（2）分析可知，角C 为钝角，由cos 0C <结合三角形三边关系可求得整数a 的值． 解：（1）因为2 sin C = 3 sin A ，则()2223c a a =+=，则a = 4，故b = 5，c = 6， 2221cos 28a b c C ab ，所以C 锐角，则237sin 1cos 8C C =-=，因此1137157sin 4522ABC S ab C ==⨯⨯=△ （2）显然c ＞b ＞a ，若△ABC 中为钝角三角形，则C 为钝角， 由余弦定理可得()()()()22222221223cos 022121a a a a b c a a C ab a a a a ++-++---===<++， 解得－1＜a ＜3，则0＜a ＜3，由三角形三边关系可得a + a + 1＞a + 2，可得a ＞1，故整数a = 2．本题背景取材于教材，内容贴近学生．试题题干中已知△ABC 的对边分别为a ，a + 1，a + 2，第（2）问要求考生判断是否存在正整数a ，使得△ABC 为钝角三角形，并运用数学推理说明理由．试题进行开放性设计，直觉上会发现a = 3时，△ABC 是直角三角形，且∠C 是直角．进一步发现△ABC 是钝角三角形时，cos C ＜0，由此推理可得正整数a = 2．试题命制基于课程标准，重点考查考生的逻辑推理能力和运算求解能力．问题在体现开放性的同时也体现了思维的准确性与有序性．4．综合性问题例6 在我国江汉平原上，有四个村庄恰好座落在边长为2千米的正方形顶点上，为此需要建立一个使得任何两个村庄都可有通道的道路网．请设计一个合理的道路网，使它的总长度不超过5.5千米．（取2= 1.4142，7312.13=）解：这是一道策略开放题．题目给出了实际问题的情景（条件）及基本要求（结论），要求考生根据题意应对一些常见的可能设计进行列举、试算、取舍，然后逐渐逼近题目的本质解法．这种解答、推理过程没有现成的模式可套，有较强的开放性． 设四个村庄分别为A 、B 、C 、D ．（1）沿正方形四条边ABCDA 修建道路网，总长度是8千米，不符合要求．（2）连结两条对角线可作通道，但算出总长度是5.524>，也不符合要求．（3）由平面几何的知识知道，在正方形ABCD 所在平面上任取一点P ，连结PA 、PB 、PC 、PD 所修成的道路网，当点P 重合于BD AC O =时，此种道路网必最短，但由（2）知也不符合要求．（4）要减少总长度，必须增加公共部分（即在平面ABCD 上取两点E 、F ）．注意到正方形既有轴对称、又有中心对称的性质，故过中心O 修一段公共道路EF （如图），使EF ⊥AB ，OE = OF = x （0≤x ≤1），则道路网的总长度 2)1(142x x y -++=．（*） 由y ≤5.5，得5.5)1(1422≤-++x x ，化简，得 48x 2－40x + 7≤0，D P O A B O FE M N A D解得12741≤≤x ． 此时]1,0[]127,41[⊂∈x ．据此可有无数种道路网设计方案满足要求． 根据函数关系式（*），我们不难算出当333-=x 时，y 有最小值4642.5)31(2≈+千米．例7 如图所示，有一条河MN ，河岸的一侧有一很高的建筑物AB ，一人位于河岸另一侧P 处，手中有一个测角器（可以测仰角）和一个可以测量长度的皮尺（测量长度不超过5米）．请你设计一种测量方案（不允许过河），并给出计算建筑物的高度AB 及距离PA 的公式，希望在你的方案中被测量数据的个数尽量少．解：本题有相当的不确定性，是一道综合开放题．题目给出了问题的情境及基本要求，要求考生根据这些情境及基本要求收集信息，将问题数学化：自行假定与设计一些已知条件，提出多种多样的解决方案，进而得出或繁或简的结论．这完全能测试出考生运用既有知识分析和解决问题的能力．常见的测量方案有：方案一 如图P 位于开阔地域，被测量的数据为PC （测角器的高）和PQ （Q 为在PA 水平直线上选取的另一测量点）的长度，仰角α 和β．设AB = x ，PA = y ，则计算公式为⎩⎨⎧+=-=-.tan )(,tan βαPQ y PC x y PC x ∴ βαβαtan tan tan tan -+=PQ PC x ，βαβtan tan tan -=PQ y ． 方案二 如图P 位于开阔地域，被测量的数据为PR （PR 在水平线上，且PR ＜5米）．在P 、Q （Q 是PR 的中点）、R 处测得筑物AB 的仰角分别为α、β、γ．设AB = x ，PA = y ，则αtan x y =，AQ =βtan x ，AR =γtan x ． 在△APR 中，由中线公式，得)21(21222PR AR AP AQ -+=． 代值，可得计算公式为γβα222tan 2tan 4tan 2+-=PRx ，γβαα222tan 2tan 4tan 2tan +-⋅=PR y ． 方案三若 P 处是一可攀建筑物（如楼房），则可在同一垂 B O AC P DQ β α P BA Q α β γ R ．P A N MB BO OA DCP β α线上选两个测量点，被测数据为PC 和CD 的长度，仰角α 和β．设AB = x ，PA = y ，则计算公式为⎩⎨⎧=--=-.tan ,tan βαy CD PC x y PC x ∴ βααtan tan tan -+=CD PC x ，βααtan tan tan -=CD y ． 说明：无论哪个方案都至少要测4个数据．例8 已知集合B = {（x ，y ）∣（x －1）2 +（y －2）2 = 4 }，且集合A 、C 满足：A ⊂B ⊂C ，试用列举法写出一个集合A ，用描述法写出一个集合C ．解：首先应注意到集合B 表示的是点集，在直角坐标系下表示的是圆周，要求A 是B 的子集，B 是C 的子集，所以集合A 表示的是圆周的一部分，而B 表示的圆是C 的一部分，这样A 、C 可以是：A = {（1，4），（－1，2）} 等，C = {（x ，y ）∣（x + 1）[（x －1）2 +（y －2）2－4 ] = 0 } 等．例9 α，β 是两个不同的平面，m ，n 是平面α 及β 之外的两条不同的直线．给出四个论断：① m ⊥n ； ② α⊥β； ③ n ⊥β； ④ m ⊥α．以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个．．命题： ．解：本题既是一个条件开放题，也是一个结论开放题．按题意要求，要以题中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，来组成命题，实际上只有四种组成的方法，因此其开放度不是很大．再者，由于题中所给字母的对称性，以③作为结论与以作④为结论，所组成的命题，其真伪性是相同的，所以实际上只要考虑三种组成的方法．本题答案是下列两个命题之一：（1）m ⊥α，n ⊥β，α⊥β ⇒ m ⊥n ．（2）m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ⇒ α⊥β．例10 若椭圆的一个焦点和它的两个顶点，共三个点所组成的三角形是直角三角形．求这样的椭圆的离心率．解：我们以椭圆C ：12222=+by a x （a ＞b ＞0）为例来加以说明．大家知道，椭圆C 有左右两个焦点；长轴、短轴上各有2个顶点，共4个顶点．所以本题的求解具有较强的探索性和开放性．注意到椭圆良好的对称性，设F 是椭圆C 的左焦点，显然要构成三角形，两个顶点不能都取自于长轴．（1）显然F 、A 1、A 2不能组成三角形．（2）由于△FOB 1是直角三角形，有∠OFB 1是锐角，故∠A 1FB 1是钝角，即F 、A 1、B 1不能构成直角三角形．（3）若△FB 1A 2是直角三角形，则只有∠FB 1A 2 = 90°，从而FB 12 + A 2B 12 = FA 22，∴（b 2 + c 2）+（a 2 + b 2）=（a + c ）2，∴ 2b 2 + a 2 + c 2 = a 2 + 2ac + c 2 ⇒ b 2 = ac ，结合b 2 = a 2－c 2 得 a 2－ac －c 2 = 0 ⇒ 215-==a c e ． （4）若△FB 1B 2是直角三角形，则应有b = c ，∴ a 2 = b 2 + c 2 = 2c 2，∴ 22==a c e ． 综上所述，满足条件的椭圆的离心率为22，215-． 例11 已知以坐标原点为中心的椭圆，满足条件：（1）焦点F 1的坐标为（3，0）；（2）半长轴为5．则可求得此椭圆方程为1162522=+y x ．① 若去掉条件（2），问可添加其他什么条件，才能使所求椭圆方程仍为①？解：由于以坐标原点为中心，焦点在x 轴上的椭圆标准方程为12222=+by a x ，其中a 为半长轴，b 为半短轴，设椭圆的右焦点F 1的坐标为（c ，0），则有a 2－b 2 = c 2；由已知c = 3，得a 2－b 2 = 9．因此只要给出b = 4，或者给出一个适当的关于a ，b ，c 的等量关系，使它能解得a = 5，b = 4，那么这个关于a ，b ，c 的等量关系，就是满足本题要求的一个答案，于是可得本题的一些解答：（1）短半轴b = 4．（2）与点F 1（3，0），F 2（－3，0）距离的和为10的动点的轨迹方程．（3）离心率53=e ． （4）右准线l 1的方程为325=x ．（5）椭圆上一点P 的坐标为)5214,2(-． （6）设椭圆的短轴两端点分别为B ，B '，且tan ∠BF 1B '=724． （7）过F 1作x 轴的垂线交椭圆于Q ，∣QF 1∣较椭圆半短轴短54． 像上述这样的“条件”，我们还可构想很多，一般的思考方法是“执果索因”． 例12 已知关于x ，y 的二元二次方程 x 2 +（k －1）y 2－3ky + 2k = 0． （*）（1）当k = 1时，方程（*）表示什么曲线？（2）试再写出几个k 的不同取值，要求对每个不同的k ，方程（*）表示不同类型的曲线．解：（1）当k = 1时，方程（*）表示抛物线x 2 = 3y －2．（2）当k ≠1时，方程（*）可化为 )1(48)1(23)1(222-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+k k k k k y k x ． ① 当k ＜－8时，方程表示焦点在y 轴上的双曲线；当－8＜k ＜0时，方程表示焦点在平行于x 轴的直线上的双曲线；当0＜k ＜1时，方程表示焦点在y 轴上的双曲线．② 当k =－8时，方程表示两条相交直线；当k =0时，方程表示两条相交直线（第一、第三象限和第二、第四象限的角平分线）．③ 当k = 2时，方程表示圆x 2 + y 2－6y + 4 = 0．④ 当1＜k ＜2时，方程表示长轴在y 轴上的椭圆；当k ＞2时，方程表示长轴平行于x 轴的椭圆．在以上各类情况中分别取不同的实数作为k 的值，即可达到题意要求．例13 某地区某种病的发病人数呈上升趋势，统计近四年这种病的新发病的人数如下表所示： 年份 该年新发病的人数2018年 24002019年 24912020年 25862021年 2684年初到2025年底的四年里，该地区这种病的新发病人数总共有多少？解：预测一 从新发病增长率入手2018年到2019年新发病增长率为（2491－2400）÷2400≈3.792%；2019年到2020年新发病增长率为（2586－2491）÷2491≈3.814%；2020年到2021年新发病增长率为（2684－2586）÷2586≈3.790%；可见，新发病增长率基本一致，取其平均数为3.799%，以此作为以后新发病增长率的预测．2684（1 + 3.799%）+ 2684（1 + 3.799%）2 + 2684（1 + 3.799%）3 + 2684（1 +3.799%）4=117951%)799.31(]1%)799.31%)[(799.31(26844≈-+-++，即为所求． 预测二 从数据处理来考察2491÷2400≈1.038，2586÷2491≈1.038，2684÷2586≈1.038．可见，连续几年新发病的人数的比值近似于一个常数1.038，以此作为以后的预测． 117951038.1)1038.1(038.126844≈--⨯，即为所求．说明：这与以指数型函数y = 2400（1 + a ）x －2018来拟合是一样的，其中a 为常数． 预测三 x 轴上表示年份，y 轴上表示新发病的人数，将表格中的四组数据描点．观察这些点的位置，它们的分布大致在一条直线附近，所以用直线拟合．设拟合直线为y = kx + b ，其中k ，b 为常数．以x = 1时，y = 2400，x = 4时，y = 2684代入，得⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧+=+=.33.2305,67.9442684,2400b k b k b k ∴（5k + b ）+（6k + b ）+（7k + b ）+（8k + b ）= 26k + 4b = 26×94.67 +4×2305.33≈11683．。

开放探索性问题第一部分讲解部分一、专题诠释开放探究型问题，可分为开放型问题和探究型问题两类．开放型问题是相对于有明确条件和明确结论的封闭型问题而言的，它是条件或结论给定不完全、答案不唯一的一类问题．这类试题已成为近年中考的热点，重在考查同学们分析、探索能力以及思维的发散性，但难度适中．根据其特征大致可分为：条件开放型、结论开放型、方法开放型和编制开放型等四类．探究型问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的一类问题．根据其特征大致可分为：条件探究型、结论探究型、规律探究型和存在性探究型等四类．二、解题策略与解法精讲由于开放探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适的解题途径完成最后的解答．由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑：1．利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律．2．反演推理法（反证法），即假设结论成立,根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致．3．分类讨论法．当命题的题设和结论不惟一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果．4．类比猜想法．即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证．以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用．三、考点精讲（一）开放型问题考点一：条件开放型：条件开放题是指结论给定，条件未知或不全，需探求与结论相对应的条件．解这种开放问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，逆向追索，逐步探求．例1：（2011江苏淮安）在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC.请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形.你添加的条件是.(写出一种即可)分析：已知两组对边相等，如果其对角线相等可得到△ABD≌△ABC≌ADC≌△BCD，进而得到，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，使四边形ABCD是矩形．解：若四边形ABCD的对角线相等，则由AB=DC，AD=BC可得．△ABD≌△ABC≌ADC≌△BCD，所以四边形ABCD的四个内角相等分别等于90°即直角，所以四边形ABCD是矩形，故答案为：对角线相等．评注：此题属开放型题，考查的是矩形的判定，根据矩形的判定，关键是是要得到四个内角相等即直角．考点二：结论开放型：给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论并且符合条件的结论往往呈现多样性，这些问题都是结论开放问题．这类问题的解题思路是：充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、类比、联想、归纳，透彻分析出给定条件下可能存在的结论，然后经过论证作出取舍．例2：（2011天津）已知一次函数的图象经过点（0，1），且满足y随x的增大而增大，则该一次函数的解析式可以为．分析：先设出一次函数的解析式，再根据一次函数的图象经过点（0，1）可确定出b的值，再根据y随x的增大而增大确定出k的符号即可．解：设一次函数的解析式为：y=kx+b（k≠0），∵一次函数的图象经过点（0，1），∴b=1，∵y随x的增大而增大，∴k＞0，故答案为y=x+1（答案不唯一，可以是形如y=kx+1，k＞0的一次函数）．评注：本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，k＞0，y随x的增大而增大，与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上．考点三：条件和结论都开放的问题：此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有多样性，因此必须认真观察与思考，将已知的信息集中分析，挖掘问题成立的条件或特定条件下的结论，多方面、多角度、多层次探索条件和结论，并进行证明或判断．例3：（2010•玉溪）如图，在平行四边形ABCD中，E是AD的中点，请添加适当条件后，构造出一对全等的三角形，并说明理由．分析：先连接BE，再过D作DF∥BE交BC于F，可构造全等三角形△ABE和△CDF．利用ABCD是平行四边形，可得出两个条件，再结合DE∥BF，BE∥DF，又可得一个平行四边形，那么利用其性质，可得DE=BF，结合AD=BC，等量减等量差相等，可证AE=CF，利用SAS可证三角形全等．解：添加的条件是连接BE，过D作DF∥BE交BC于点F，构造的全等三角形是△ABE与△CDF ．理由：∵平行四边形ABCD ，AE=ED ， ∴在△ABE 与△CDF 中， AB=CD ， ∠EAB=∠FCD ， 又∵DE ∥BF ，DF ∥BE ， ∴四边形BFDE 是平行四边形， ∴DE=BF ， 又AD=BC ，∴AD ﹣DE=BC ﹣BF ， 即AE=CF ，∴△ABE ≌△CDF ．（答案不唯一，也可增加其它条件）评注：本题利用了平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定、以及等量减等量差相等等知识．考点四：编制开放型：此类问题是指条件、结论、解题方法都不全或未知，而仅提供一种问题情境，需要我们补充条件，设计结论，寻求解法的一类题，它更具有开放性．例4：（2010年江苏盐城中考题）某校九年级两个班各为玉树地震灾区捐款1800元．已知2班比1班人均捐款多4元，2班的人数比1班的人数少10%．请你根据上述信息，就这两个班级的“人数”或“人均捐款”提出一个用分式方程．．．．解决的问题，并写出解题过程． 分析：本题的等量关系是：两班捐款数之和为1800元；2班捐款数-1班捐款数=4元；1班人数=2班人数×90%，从而提问解答即可．解：解法一：求两个班人均捐款各多少元？设1班人均捐款x 元，则2班人均捐款（x +4）元，根据题意得1800x ·90%=1800x +4解得x=36 经检验x=36是原方程的根∴x+4=40答：1班人均捐36元，2班人均捐40元解法二：求两个班人数各多少人？设1班有x人，则根据题意得1800x+4=180090x%解得x=50 ，经检验x=50是原方程的根∴90x % =45答：1班有50人，2班有45人．评注：对于此类编制开放型问题，是一类新型的开放型问题，它要求学生的思维较发散，写出符合题意的正确答案即可，难度要求不大，但学生容易犯想当然的错误，叙述不够准确，如单位的问题、符合实际等要求，在解题中应该注意防范．（二）探究型问题考点五：动态探索型：此类问题结论明确，而需探究发现使结论成立的条件的题目．例5：（2011•临沂）如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角扳的一边交CD于点F．另一边交CB的延长线于点G．（1）求证：EF=EG；（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由：（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB=a、BC=b，求EFEG的值．分析：（1）由∠GEB+∠BEF=90°，∠DEF+∠BEF=90°，可得∠DEF=∠GEB，又由正方形的性质，可利用SAS证得Rt△FED≌Rt△GEB，则问题得证；（2）首先点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、I，然后利用SAS证得Rt△FEI ≌Rt△GEH，则问题得证；（3）首先过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N，易证得EM∥AB，EN∥AD，则可证得△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，又由有两角对应相等的三角形相似，证得△GME∽△FNE，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．解：（1）证明：∵∠GEB+∠BEF=90°，∠DEF+∠BEF=90°，∴∠DEF=∠GEB，又∵ED=BE，∴Rt△FED≌Rt△GEB，∴EF=EG；（2）成立．证明：如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、I，则EH=EI，∠HEI=90°，∵∠GEH+∠HEF=90°，∠IEF+∠HEF=90°，∴∠IEF=∠GEH，∴Rt△FEI≌Rt△GEH，∴EF=EG；（3）解：如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N，则∠MEN=90°，∴EM∥AB，EN∥AD．∴△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，∴,NE CE EM CEAD CA AB CA ==， ∴NE EM AD AB =，即NE AD b EM AB a==， ∵∠IEF+∠FEM=∠GEM+∠FEM=90°， ∴∠GEM=∠FEN ， ∵∠GME=∠FNE=90°， ∴△GME ∽△FNE ，∴EF ENEG EM =， ∴EF b EG a=． 评注：此题考查了正方形，矩形的性质，以及全等三角形与相似三角形的判定与性质．此题综合性较强，注意数形结合思想的应用．考点六：结论探究型：此类问题给定条件但无明确结论或结论不惟一，而需探索发现与之相应的结论的题目． 例6：（2011福建省三明市）在矩形ABCD 中，点P 在AD 上，AB =2，AP =1．将直角尺的顶点放在P 处，直角尺的两边分别交AB ，BC 于点E ，F ，连接EF （如图①）． （1）当点E 与点B 重合时，点F 恰好与点C 重合（如图②），求PC 的长；（2）探究：将直尺从图②中的位置开始，绕点P 顺时针旋转，当点E 和点A 重合时停止．在这个过程中，请你观察、猜想，并解答： ①tan ∠PEF 的值是否发生变化？请说明理由；②直接写出从开始到停止，线段EF 的中点经过的路线长．分析：（1）由勾股定理求PB ，利用互余关系证明△APB ∽△DCP ，利用相似比求PC ；（2）tan ∠PEF 的值不变．过F 作FG ⊥AD ，垂足为G ，同（1）的方法证明△APB ∽△DCP ，得相似比PF GF PE AP ==21=2，再利用锐角三角函数的定义求值； （3）如图3，画出起始位置和终点位置时，线段EF 的中点O 1，O 2，连接O 1O 2，线段O 1O 2即为线段EF 的中点经过的路线长，也就是△BPC 的中位线． 解：（1）在矩形ABCD 中，∠A =∠D =90°，AP =1，CD =AB =2，则PB ∴∠ABP +∠APB =90°， 又∵∠BPC =90°， ∴∠APB +∠DPC =90°， ∴∠ABP =∠DPC ， ∴△APB ∽△DCP ，∴AP PB CD PC =即12PC=，∴PC（2）tan ∠PEF 的值不变．理由：过F 作FG ⊥AD ，垂足为G ， 则四边形ABFG 是矩形， ∴∠A =∠PFG =90°，GF =AB =2， ∴∠AEP +∠APE =90°， 又∵∠EPF =90°， ∴∠APE +∠GPF =90°， ∴∠AEP =∠GPF ， ∴△APE ∽△GPF ， ∴PF GF PE AP ==21=2，∴Rt △EPF 中，tan ∠PEF =PFPE=2， ∴tan ∠PEF 的值不变；（3）线段EF评注：本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，解直角三角形．关键是利用互余关系证明相似三角形．考点七：规律探究型：规律探索问题是指由几个具体结论通过类比、猜想、推理等一系列的数学思维过程，来探求一般性结论的问题，解决这类问题的一般思路是通过对所给的具体的结论进行全面、细致的观察、分析、比较，从中发现其变化的规律，并猜想出一般性的结论，然后再给出合理的证明或加以运用.例7：（2011四川成都）设12211=112S ++,22211=123S ++,32211=134S ++,…, 2211=1(1)n S n n +++设...S =+S ＝_________ (用含n 的代数式表示，其中n 为正整数)．分析：由222222222222)]1([]1)1([)]1([122)]1([)1()1()1(11+++=+++++=+++++=+=n n n n n n n n n n n n n n n n n S n ，求n S ，得出一般规律．解：∵222222222222)]1([]1)1([)]1([122)]1([)1()1()1(11+++=+++++=+++++=+=n n n n n n n n n n n n n n n n n S n ， ∴1111)1(1)1(+-+=+++=n n n n n n S n ， ∴1111312112111+-+++-++-+=n n S 111+-+=n n 1211)1(22++=+-+=n n n n n故答案为： 122++n n n评注：本题考查了二次根式的化简求值．关键是由S n 变形，得出一般规律，寻找抵消规律．考点八：存在探索型：此类问题在一定的条件下，需探究发现某种数学关系是否存在的题目．例8：（2011辽宁大连）如图15，抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过A （－1，0）、B （3，0）、C （0，3）三点，对称轴与抛物线相交于点P 、与直线BC 相交于点M ，连接PB ． （1）求该抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在一点Q ，使△QMB 与△PMB 的面积相等，若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由；（3）在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R ，使△RPM 与△RMB 的面积相等，若存在，直接写出点R 的坐标；若不存在，说明理由．分析：（1）利用待定系数法求解；（2）若想求Q 点坐标，Q 到MB 的距离应该等于P 到MB 的距离，所以Q 点应该在经过P 点且平行于BM 的直线上，或者在这条直线关于BM 对称的直线上，因此，求出这两条直线的解析式，其与抛物线的交点即为所求Q 点；（3）设出R 点坐标，分别用其横坐标表示出△RPM 与△RMB 的面积，利用相等列出方程即可求出R 点坐标．解：（1）322++-=x x y（2）∵4)1(2+--=x y ∴P （1，4）BC ：3+-=x y ，M （1，2）P （1，4）；PB ：62+-=x y ， 当PQ ∥BC 时： 设PQ 1：b x y +-=∵P （1，4）在直线PQ 上b +-=14；5=b ∴PQ 1：5+-=x y ⎩⎨⎧++-=+-=3252x x y x y 解得⎩⎨⎧==4111y x ，⎩⎨⎧==3222y x∴1Q ：（2，3）；将PQ 向下平移4个单位得到1+-=x y ⎩⎨⎧++-=+-=3212x x y x y解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=2171217311y x ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+=2171217311y x∴2Q ：（2173-，2171+-）；3Q ：（2173+，2171--）xx ，322++-x x ） ∵P （1，4），M （1，2）∴ 224=-=PM()11221-=-⨯⨯=∆x x S PQR x x x x x RN 3)3()32(22+-=+--++-=()11221-=-⨯⨯=∆x x S PQR ∵x x x 312+-=- 解得121+=x ，122+-=x （舍） ∴当12+=x 时，24)121(2=+-+-=y ∴R （12+，2）x评注：求面积相等问题通常是利用过顶点的平行线完成；在表示面积问题时，对于边不在特殊线上的通常要分割．四、真题演练1．（2011山东潍坊）一个y 关于x 的函数同时满足两个条件：①图象过(2，1)点；②当0x 时．y 随x 的增大而减小，这个函数解析式为_______________ (写出一个即可) 2．（2011山西）如图，四边形ABCD 是平行四边形，添加一个．．条件：___________ _______________________，可使它成为矩形．3．（2011•泰州）“一根弹簧原长10cm ，在弹性限度内最多可挂质量为5kg 的物体，挂上物体后弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比，，则弹簧的总长度y （cm ）与所挂物体质量x （kg ）之间的函数关系式为y=10+0.5x （0≤x≤5）．”王刚同学在阅读上面材料时发现部分内容被墨迹污染，被污染的部分是确定函数关系式的一个条件，你认为该条件可以是： （只需写出1个）．3．（4．（2011广西百色）已知矩形ABCD 的对角线相交于点O ，M 、N 分别是OD 、OC 上异于O 、C 、D 的点．（1）请你在下列条件①DM =CN ，②OM =ON ，③MN 是△OCD 的中位线，④MN ∥AB 中任选一个添加条件（或添加一个你认为更满意的其他条件），使四边形ABNM 为等腰梯形，你添加的条件是 ．（2）添加条件后，请证明四边形ABNM 是等腰梯形．（第14题）D第二部分练习部分1．（2011•贺州）写出一个正比例函数，使其图象经过第二、四象限：y=﹣x（答案不唯一）．分析：先设出此正比例函数的解析式，再根据正比例函数的图象经过二、四象限确定出k的符号，再写出符合条件的正比例函数即可．解答：解：2．（2011•湖南张家界）在△ABC中，AB=8，AC=6，在△DEF中，DE=4，DF=3，要使△ABC 与△DEF相似，则需添加的一个条件是（写出一种情况即可）．分析：解答：解：则需添加的一个条件是：BC：EF=2：1．∵在△ABC中，AB=8，AC=6，在△DEF中，DE=4，DF=3，∴AB：DE=2：1，AC：DF=2：1，∵BC：EF=2：1．∴△ABC∽△DEF．故答案为：．3．（2010江苏连云港中考题）若关于x的方程x2－mx＋3＝0有实数根，则m的值可以为___________．(任意给出一个符合条件的值即可)4．（2011广东湛江）如图，点B，C，F，E在同直线上，∠1=∠2，BC=EF，∠1 _______（填“是”或“不是”）∠2的对顶角，要使△ABC ≌△DEF ，还需添加一个条件，可以是 _______（只需写出一个）5．（2011福建省漳州市，19,8分）如图，∠B =∠D ，请在不增加辅助线的情况下，添加一个适当的条件，使△ABC ≌△ADE ，并证明． （1）添加的条件是 ； （2）证明：6．（2010浙江杭州中考题）给出下列命题：命题1． 点(1,1)是直线y ＝ x 与双曲线y ＝ x1的一个交点; 命题2． 点(2,4)是直线y ＝ 2x 与双曲线y ＝ x8的一个交点; 命题3． 点(3,9)是直线y ＝ 3x 与双曲线y ＝ x27的一个交点; … … ．（1）请观察上面命题，猜想出命题n (n 是正整数); （2）证明你猜想的命题n 是正确的．7．（2011•德州）●观察计算当a=5，b=3时，2a b +当a=4，b=4时，2a b +2a b+●探究证明如图所示，△ABC 为圆O 的内接三角形，AB 为直径，过C 作CD ⊥AB 于D ，设AD=a ，BD=b ． （1）分别用a ，b 表示线段OC ，CD ；（2）探求OC 与CD 表达式之间存在的关系（用含a ，b 的式子表示）． ●归纳结论根据上面的观察计算、探究证明，你能得出2a b +2a b+ ●实践应用要制作面积为1平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，求出镜框周长的最小值．8．（2011浙江绍兴）数学课上，李老师出示了如下框中的题目．小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： （1）特殊情况•探索结论当点E 为AB 的中点时，如图1，确定线段AE 与的DB 大小关系．请你直接写出结论：AE = DB （填“＞”，“＜”或“=”）．（2）特例启发，解答題目解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE=DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）．★“真题演练”参考答案★1．【分析】本题的函数没有指定是什么具体的函数，可以从一次函数，反比例函数，二次函数三方面考虑，只要符合条件①②即可．【答案】符合题意的函数解析式可以是y= 2x，y=-x+3，y=-x2+5等，（本题答案不唯一）故答案为：y=2x，y=-x+3，y=-x2+5等．2．【分析】：由有一个角是直角的平行四边形是矩形．想到添加∠ABC＝90°；由对角线相等的平行四边形是矩形．想到添加AC＝BD．【答案】∠ABC＝90°（或AC＝BD等）3．解：根据弹簧的总长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的函数关系式为y=10+0.5x （0≤x≤5）可以得到：当x=1时，弹簧总长为10.5cm，当x=2时，弹簧总长为11cm，…∴每增加1千克重物弹簧伸长0.5cm ， 故答案为：每增加1千克重物弹簧伸长0.5cm ．4．解：（1）选择①DM =CN ；（2）证明：∵AD =BC ，∠ADM =∠BCN ，DM =CN ∴△AND ≌△BCN ，∴AM =BN ，由OD =OC 知OM =ON ， ∴OCONOD OM =∴MN ∥CD ∥AB ，且MN ≠AB ∴四边形ABNM 是等腰梯形．★“练习部分”参考答案★1．【分析】设此正比例函数的解析式为y=kx （k≠0）， ∵此正比例函数的图象经过二、四象限， ∴k ＜0，∴符合条件的正比例函数解析式可以为：y=﹣x （答案不唯一）． 【答案】故答案为：y=﹣x （答案不唯一）．2．【分析】因为两三角形三边对应成比例，那么这两个三角形就相似，从题目知道有两组个对应边的比为2：1，所以第三组也满足这个比例即可．【答案】BC ：EF=2：13．【分析】由于这个方程有实数根，因此⊿＝()22241212b a m m -=--=-≥0，即m 2≥12．【答案】答案不唯一，所填写的数值只要满足m 2≥12即可，如4等4．【分析】根据对顶角的意义可判断∠1不是∠2的对顶角．要使△ABC ≌△DEF ，已知∠1=∠2，BC=EF ，则只需补充AC=FD 或∠BAC=∠FED 都可，答案不唯一． 【答案】解：根据对顶角的意义可判断∠1不是∠2的对顶角故填：不是．添加AC=FD 或∠BAC=∠FED 后可分别根据SAS 、AAS 判定△ABC ≌△DEF ， 故答案为：AC=FD ，答案不唯一．5．解：（1）添加的条件是：AB =AD ，答案不唯一； （2）证明：在△ABC 和△ADE 中， ∠B =∠D ， AB =AD ， ∠A =∠A ，∴△ABC ≌△ADE ．6．(1)命题n ；点(n , n 2) 是直线y = nx 与双曲线y =xn 3的一个交点(n 是正整数)．(2)把 ⎩⎨⎧==2ny n x 代入y = nx ，左边= n 2，右边= n ·n = n 2，∵左边=右边，∴点(n ，n 2)在直线上． 同理可证：点(n ，n 2)在双曲线上， ∴点(n ，n 2)是直线y = nx 与双曲线y = xn 3的一个交点，命题正确．7．解：●观察计算：2a b +2a b+ ●探究证明：（1）∵AB=AD+BD=2OC ， ∴OC=2a b +. ∵AB 为⊙O 直径， ∴∠ACB=90°．∵∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°， ∴∠A=∠BCD ．∴△ACD ∽△CBD ．（4分） ∴AD CDCD BD=． 即CD 2=AD•BD=ab ，∴（5分）（2）当a=b 时，OC=CD ，2a b+a≠b 时，OC ＞CD ，2a b+●结论归纳：2a b+ ●实践应用设长方形一边长为x 米，则另一边长为1x米，设镜框周长为l 米，则12()l x x =+≥=4.当x=1x，即x=1（米）时，镜框周长最小． 此时四边形为正方形时，周长最小为4米．8．解：（1）故答案为：=． （2）故答案为：=．证明：在等边△ABC 中，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=BC=AC ， ∵EF ∥BC ，∴∠AEF=∠AFE=60°=∠BAC ， ∴AE=AF=EF ， ∴AB ﹣AE=AC ﹣AF ， 即BE=CF ，∵∠ABC=∠EDB+∠BED=60°， ∠ACB=∠ECB+∠FCE=60°， ∵ED=EC ，∴∠EDB=∠ECB，∴∠BED=∠FCE，∴△DBE≌△EFC，∴DB=EF，∴AE=BD．（3）答：CD的长是1或3．21。

1. （南京市、盐城市2017届高三第一次模拟）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，BC AC ⊥，D ,E 分别是AB ,AC 的中点．（1）求证：11B C ∥平面1A DE ； （2）求证：平面1A DE ⊥平面11ACC A ．证明：（1）因为D,E分别是AB ,AC 的中点，所以//DE BC ， ...............2分又因为在三棱柱111ABC A B C -中，11//B C BC ，所以11//B C DE . ...............4分又11B C ⊄平面1A D E ，DE ⊂平面1A D E，所以11B C ∥平面1A D E. .............6分2. （南通、泰州市2017届高三第一次调研测）如图，在四棱锥P -ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，AC ，BD 相交于点O ，点E 为PC 的中点，OP =OC ，PA ⊥PD ．求证：（1）直线PA ∥平面BDE ； （2）平面BDE ⊥平面PCD ．（2）因为OE ∥PA ，PA PD ⊥，所以OE PD ⊥． ………………………………8分因为OP OC =，E 为PC 的中点，所以OE PC ⊥． (10)分又因为PD ⊂平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，PC PD P = ，所以OE ⊥平面PCD ． (12)分又因为OE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面PCD ． ……………………14分3. （苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，已知D ，E 分别为BC ，11B C 的中点，点F 在棱1CC 上，且1EF C D ⊥．求证：（1）直线1A E ∥平面1ADC ； （2）直线EF ⊥平面1ADC ．【证明】（1）连结ED ，因为D ，E 分别为BC ，11B C 的中点，所以1B E BD ∥且1B E BD =，所以四边形1B BDE 是平行四边形，…………………2分 所以1BB DE ∥且1BB DE =，又11BB AA ∥且11BB AA =， 所以1AA DE ∥且1AA DE =，所以四边形1AA ED 是平行四边形，…………………4分 所以1A E AD ∥，又因为11A E ADC ⊄平面，1AD ADC ⊂平面，所以直线1A E ∥平面1ADC ．…………………………………………………7分4．（镇江市2017届高三上学期期末）在长方体1111D C B A A B C D -中，121AA EC BC AB ===． （1）求证：//1AC 平面BDE ； （2）求证：⊥E A 1平面BDE ．证明：（1）连结AC 交BD 于点O ，连结OE .在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，四边形ABCD 长方形，点O 为AC 的中点， ……2分1AA ∥1CC 且11AA CC =，由112EC AA =，则112EC CC =， 即点E 为1CC 的中点，于是在1CAC △中，1AC ∥OE . ……4分 又因为OE ⊂平面BDE ，1AC / 平面BDE ．所以1AC ∥平面BDE ． ……6分5．（苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）2017届高三上学期期末）如图，在四棱锥E ABCD -中，平面EAB ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，EA EB ⊥，点,M N 分别是,AE CD 的中点．求证：（1）直线MN ∥平面EBC ；（2）直线EA ⊥平面EBC ．证明：（1）取BE 中点F ，连结CF ，MF ，又M 是AE 的中点，所以12MF AB =∥，又N 是矩形ABCD 边CD 的中点，所以12NC AB =∥，所以MF NC =∥， 所以四边形MNCF 是平行四边形，…4分 所以MN CF ∥，又MN ⊄平面EBC ，CF ⊂平面EBC ，所以MN ∥平面EBC ．………………………………………………………7分6. （无锡市2017届高三上学期期末）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，AP ⊥平面PCD ，E,F 分别为PC,AB 的中点.求证： （1）平面PAD ⊥平面ABCD ； （2）//EF 平面PAD .7.（扬州市2017届高三上学期期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，点E、F分别是棱PC和PD的中点.（1）求证：EF∥平面PAB；（2）若AP=AD，且平面PAD⊥平面ABCD，证明：AF⊥平面PCD.。