2021年高考数学总复习 3-2 利用导数研究函数的性质课件 新人教B版

2
当a> 1 时,函数f(x)在
2
(0上, 1单) 调递增, 在
2a
上单调递增.
上单( 1调,1递) 减,在(1,+∞)
2a
【规律方法】解决含参数的函数的单调性问题应注意两点 (1)研究含参数的函数的单调性问题,要依据参数对不等式解集的影响进行分类 讨论. (2)划分函数的单调区间时,要在函数定义域内讨论,还要确定导数为0的点和函 数的间断点.
考什么:(1)考查函数图象的识别、比较大小或解不等式、根据函数的
命 题 精 解 读
单调性求参数等问题. (2)考查直观想象、数学运算、逻辑推理的核心素养及数形结合、转 化与化归的思想方法. 怎么考:与基本初等函数、不等式等综合考查函数的图象及函数的单 调性的应用等问题. 新趋势:以导数法研究函数单调性为基础,综合考查利用单调性比较大
2
世纪金榜导学号
A.c>b>a
B.c>a>b
C.a>b>c
f(x)的单调区间,令D 是其单调区间的子集,从而求出参数的取值范
围.
命题角度1 函数图象的识别 【典例】函数f(x)=x2+xsin x的图象大致为
()
【解析】选A.因为f(-x)=x2-xsin(-x)=x2+xsin x=f(x),所以f(x)为偶函数,B不 符合题意, f(x)=x2+xsin x=x(x+sin x),令g(x)=x+sin x,则g′(x)=1+cos x ≥0恒成立,所以g(x)是单调递增函数,则当x>0时,g(x)>g(0)=0,故x>0时,f(x) =xg(x),f′(x)=g(x)+xg′(x)>0,即f(x)在(0,+∞)上单调递增,故只有A符合题 意.

答案 解析
A在0，＋∞上递增
B在0，＋∞上递减
C在0， 上1 递增 e
D在0， 上递减
1 e
因为函数f＝n ，定义域为0，＋∞，
所以f′＝n ＋1>0，
当 f′(x)>0 时，解得 x>1e， 即函数的单调递增区间为(1e，＋∞)；
当 f′(x)<0 时，解得 0<x<1e， 即函数的单调递减区间为(0，1e)，故选 D.
题型二 含参数的函数的单调性 例2 已知函数f＝ne＋1－aa>0 1若函数＝f的导函数是奇函数，求a的值； 解答 函数f的定义域为R 由已知得 f′(x)＝ex＋ex 1－a. ∵函数＝f的导函数是奇函数， ∴f′－＝－f′， 即e－ex－＋x 1－a＝－ex＋ex 1＋a，解得 a＝12.
2求函数＝f的单调区间
；若函数f在[a，b]上单调递减,则 为函数的最f大a 值，___
fb
为函数的最小值
3设函数f在[a，b]上连续，在a，b内可导，求f在[a，b]上的最大值和最
小值的步骤如下： ①求函数＝f在a，b内的 ； 极值
②将函数＝f的各 与 处极的值函数端值点fa，fb比较，其中最大的一个为最大值
，最小的一个为最小值
题型一 不含参数的函数的单调性
例1 1函数＝ 2－1 n 的单调递减区间为 2
A－1,1
B0,1
C1，＋∞
D0，＋∞
答案 解析
y＝12x2－ln x，y′＝x－1x＝x2－x 1＝x－1xx＋1(x>0).
令′<0，得0<<1，∴单调递减区间为0,1
2已知定义在区间－π，π上的函数f＝in ＋co ，则f的单调

(二)教材改编 2．[选修2－2·P26练习T2改编]函数f;x<2；②f′(x)<0时，x<－1或x>2；③f′(x)＝0时，x＝－1 或x＝2.则函数f(x)的大致图象是( )
答案：C 解析：根据信息知，函数f(x)在(－1，2)上是增函数，在(－∞，－1)，(2，＋∞) 上是减函数．
·考向预测· 考情分析：本节一直是高考的重点和难点，一般以基本函数为载体， 利用导数研究函数的单调性、极值及最值，求解中多利用分类讨论思 想，题型主要以解答题为主，属中高档题． 学科素养：通过利用导数研究函数的性质考查数学抽象、数学运算 的核心素养．
必备知识—基础落实
一、必记3个知识点 1．函数的导数与单调性的关系 函数y＝f(x)在某个区间内可导： (1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内_单__调_递__增__．
(三)易错易混 4．(极值点存在的条件不清致误)已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的 图象如图所示，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极小值点的个数为
()
B．2
C．3
D．4
答案：A
5．(极值点存在的条件不清致误)设a∈R，若函数y＝ex＋ax有大于 零的极值点，则实数a的取值范围是__(_－_∞__，__－_1_)__．
[提醒] (1)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能称为极值 点． (2)在函数的整个定义域内，极值不一定是唯一的，有可能有多个极 大值或极小值．
3．函数的最值与导数 (1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条__连__续_不__断___的曲线，那
三、必练4类基础题 (一)判断正误 1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)． (1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.( × ) (2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单 调性．( √ ) (3)函数的极大值不一定比极小值大．( √ ) (4)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件．( × ) (5)函数的极大值一定是函数的最大值．( × ) (6)开区间上的单调连续函数无最值．( √ )

＝0，若在点x0附近左侧
，
右侧
，则x0为函数的极小
值点，f(x0)叫做函数的极小值
基础诊断
考点突破
课堂总结
• 3. 函数的最值与导数
• (1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件
• 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的连图续不象断是一
条
的曲线，那么它必有最大值和最
小值．
• (2)求y＝f(x)在[a，b]上极值的最大(小)值的步骤
f′(x)＝－x12x＋x－1122≤0，函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
基础诊断
考点突破
课堂总结
②当 a＜－12时，Δ＜0，g(x)＜0，
f′(x)＜0，函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
③当－12＜a＜0 时，Δ＞0.
设 x1，x2(x1＜x2)是函数 g(x)的两个零点，
则 x1＝－a＋1＋a
解析 ∵f′(x)＝2x－2x＝2x＋1xx－1(x＞0)． ∴当 x∈(0,1)时，f′(x)＜0，f(x)为递减函数； 当 x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)为递增函数．
• 答案 (0,1)
基础诊断
考点突破
课堂总结
• 3．(苏教版选修2－2P34T8(2)改编)函数f(x)＝ x3 － 3x2 ＋ 2 在 区 间 [ － 1,1] 上 的 最 大 值 是 ________．
基础诊断
考点突破
课堂总结
当－12＜a＜0 时，
f(x)在0，－a＋1＋a 2a＋1，
－a＋1－
a
2a＋1，＋∞上单调递减，
在－a＋1＋a 2a＋1，－a＋1－a 2a＋1上单调递增．
基础诊断
考点突破