2005年高考试题——数学文(北京春季卷)

2005年普通高等学校春季招生考试 数 学（文史类）（北京卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共40分）参考公式：三角函数的和差化积公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++= )]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+= )]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++= )]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-= 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．i --2的共轭复数是 （ ）A ．i +2B ．i -2C ．i +-2D ．i --2 2．函数的图象是|1|)(-=x x f（ ）3．下列命题中，正确的是（ ）A ．经过不同的三点有且只有一个平面B ．分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线C ．垂直于同一个平面的两条直线是平行直线D ．垂直于同一个平面的两个平面平行4．如果函数)20)(sin()(πθθπ<<+=x x f 的最小正周期是T ，且当2=x 时取得最大值，正棱台、圆台的侧面积公式 l c c S )(21+'=台侧其中c ′、c 分别表示上、下底面周长，l 表示 斜高或母线长台体的体积公式 334R V π=球其中R 表示球的半径那么 （ ）A ．2,2πθ==TB ．πθ==,1TC ．πθ==,2TD ．2,1πθ==T5．“ab <0”是“曲线ax 2+by 2=1为双曲线”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件 6．直线1)1(02322=+-=-+y x y x 被圆所截得的线段的长为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．27．在ABC ∆中，已知C B A sin cos sin 2=，那么ABC ∆一定是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形8．若不等式na n n1)1(2)1(+-+<-对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡-23,2 B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-23,2C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡-23,3D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-23,3第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．9．32lim 22-∞→n n n =__________．10．192522=+y x 的离心率是 ，准线方程是 . 11．已知3322cos2sin=+θθ，那么θsin 的值为_____，θ2cos 的值为___ _． 12．如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为a ，将该正方体沿对角面D D BB 11切成两块，再将这两块拼接成一个不是正方体的四棱柱，那么所得四棱柱的全面积为__________．13．从0，1，2，3这四个数中选三个不同的数作为函数c bx ax x f ++=2)(的系数，可组成不同的一次函数共有__________个，其中不同的二次函数共有__________个．（用数字作答）14．若关于x 的不等式02>--a ax x 的解集为),(+∞-∞，则实数a 的取值范围是__________.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分12分）记函数)32(l o g )(2-=x x f 的定义域为集合M ，函数)1)(3()(--=x x x g 的定义域为集合N ．求：（1）集合M ，N ；（2）集合N M ，N M ．16．（本小题满分14分）如图，正三棱锥S —ABC 中，底面的边长是3，棱锥的侧面积等于底面积的2倍，M 是BC 的中点.求：（Ⅰ）SMAM的值； （Ⅱ）二面角S —BC —A 的大小； （Ⅲ）正三棱锥S —ABC 的体积.17．（本小题满分14分）已知{}n a 是等比数列，21=a ，544=a ；{}n b 是等差数列，21=b ， 3214321a a a b b b b ++=+++．（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和S n 的公式； （2）求数列{}n b 的通项公式；（3）设.,,2,1,1023741的值求其中U n b b b b U n n =++++=-18．（本小题满分14分）如图，O为坐标原点，过点P（2，0）且斜率为k的直线l交抛物线y2=2x于M（x1,y1）,N(x2, y2)两点．（1）写出直线l的方程；（3）求证：OM⊥ON．19．（本小题满分13分）经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y （千辆/小时）与汽车的平均速度υ（千米/小时）之间的函数关系为：)0(160039202>++=υυυυy ． （1）在该时段内，当汽车的平均速度υ为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（精确到1.0千辆/小时）（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？20．（本小题满分13分）现有一组互不相同且从小到大排列的数据：543210,,,,,a a a a a a ，其中00=a ．为提取反映数据间差异程度的某种指标，今对其进行如下加工：记510a a a T +++= ，5n x n =，)(110n n a a a Ty +++= ，作函数)(x f y =，使其图象为逐点依次连接点)5,,2,1,0)(,( =n y x P n n n 的折线． （1）求)0(f 和)1(f 的值；（2）设n n P P 1-的斜率为)5,4,3,2,1(=n k n ，判断54321,,,,k k k k k 的大小关系； （3）证明：).4,3,2,1()(=<n x x f n n2005年普通高等学校春季招生考试 数学（文史类）（北京卷）参考答案一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本技能．每小题5分，满分40分． 1．D 2．B 3．C 4．A 5．C 6．C 7．B 8．A二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分30分． 9．21 10．42554±=x 11．9731 12．2)224(a + 13．6 18 14．（—4，0）三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．本小题主要考查集合的基本知识，考查逻辑思维能力和运算能力．满分12分． 解：（Ⅰ）};23|{}032|{>=>-=x x x x M}13|{}0)1)(3(|{≤≥=≥--=x x x x x x N 或（Ⅱ）};3|{≥=⋂x x N M }231|{><=⋂x x x N M 或.16．本小题主要考查直线与平面的位置关系等基本知识，考查空间想象能力，罗辑思维能力和运算能力．满分14分． 解：（Ⅰ）∵SB=SC ，AB=AC ，M 为BC 中点，∴SM ⊥BC ，AM ⊥BC.由棱锥的侧面积等于底面积的2倍，即.23,212213=⨯⨯=⨯⨯SM AM AM BC SM BC 得（Ⅱ）作正三棱锥的高SG ，则G 为正三角形ABC 的中心，G 在AM 上，.31AM GM =∵SM ⊥BC ，AM ⊥BC ，∴∠SMA 是二面角S —BC —A 的平面角. 在Rt △SGM 中， ∵,2333232GM GM AM SM ==⨯==∴∠SMA=∠SMG=60°，即二面角S —BC —A 的大小为60°。

（Ⅲ）∵△ABC 的边长是3，∴,2332360,23,233=⋅====GMtg SG GM AM ∴.839234393131=⋅⋅=⋅=∆-SG S V ABC ABC S 17．本小题主要考查等差数列、等比数列等基本知识，考查逻辑思维能力，分析问题和解决问题的能力．满分14分． 解：（Ⅰ）设{a n }的公比为q ，.1313)13(2}{.32}{3,271143314-=--=⋅=====-n n n n n n n S n a a a q a a q q a a 项和的公式为的前数列的通项公式为所以数列得由（Ⅱ）设数列{b n }的公差为d ，.13)1(,3,26682613,68234413321432114321-=-+===+=-=++=++++=⨯+=+++n d n b b d d a a a b b b b d d b b b b b n 所以得由（Ⅲ）b 1,b 4,b 7,…,b 3n-2组成以3d 为公差的等差数列，所以.42532)110(1010110=⋅-+=d b U 18．本小题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力，满分14分． （Ⅰ）解：直线l 的方程为 )0()2(≠-=k x k y ①（Ⅱ）解：由①及y 2=2x 消去y 可得.04)1(22222=++-k x k x k ②点M ，N 的横坐标x 1与 x 2是②的两个根， 由韦达定理得22212122212,2.44x y x y k k x x ====由.4,0,16444)(212121221-=<=⨯==y y y y x x y y 所以注意到得（Ⅲ）证明：设OM ，ON 的斜率分别为k 1, k 2,.,144.,212121222111ON OM x x y y k k x y k x y k ⊥-=-====所以相乘得则 19．本小题主要考查函数、不等式等基本知识，考查应用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分13分． 解：（Ⅰ）依题意，,83920160023920)1600(3920=+≤++=vv y)./(1.1183920,,40,1600max小时千辆所以上式等号成立时即当且仅当≈===y v vv（Ⅱ）由条件得,10160039202>++v v v整理得v 2－89v +1600<0, 即（v －25）（v －64）<0, 解得25<v <64.答：当v =40千米/小时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/小时.如果要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应大于25千米/小时且小于64千米/小时． 20．本小题主要考查函数、不等式等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力，满分13分． （Ⅰ）解：,0)0(500=++=a a a f,1)1(5050=++++=a a a a f（Ⅱ）解：,5,,2,1,511 ==--=--n a Tx x y y k n n n n n n因为a 1<a 2<a 3<a 4<a 5, 所以k 1<k 2<k 3<k 4<k 5. （Ⅲ）证法一：对任何n (n =1,2,3,4),.5)()(])5([)5()())(5()())](5([)(51511111111n n n n n n n nn n n n n x n T a a x f nT a a a a n a n a a n na n a a n a a n a a n a a n n a a =<++==+++++<-+++=-+++≤++-+++=++-+=+++ 所以证法二：对任何n （n=1,2,3,4）.)(,,5)5(511)(511)]()()[(1)(,1.5)(51)()()(152145121552111201n n n n n n n n n n n n n n n n n x x f x n n k k k y y y y y y y y y y k x n k k k y y y y y y y k <==--<+++-=-++-+--=--=≥=<+++=-++-+-=<+++++-综上时当时当。