高中数学选修2-1-1.1.1命题 (1)

2020秋高中数学人教A版选修2-1学案：1.1.1命题含解析第一章常用逻辑用语德国伟大的诗人歌德,有一次在魏玛公园散步．当他走在一条仅能容一个人通过的小路上时，迎面走来了一位曾经把歌德的所有作品都贬得一文不值的文艺批评家．那位批评家站在歌德的对面，傲慢地说：“对一个傻子,我绝不让路．" “我却正好相反．"歌德边说边微笑着站到了一边．顿时，那位批评家满脸通红，羞得无地自容．这里反映的就是常用逻辑用语在现实生活中的应用．日常生活中,我们经常涉及一些逻辑上的问题．无论是进行思考、交流，还是从事各项工作，都需要正确地运用逻辑用语表达自己的思维，需要对一些命题进行判断和推理．因此，正确地使用逻辑用语是现代社会公民应该具备的基本素质．本章我们将学习常用逻辑用语，体会逻辑用语在表述和论证中的作用．学习目标1．了解命题的概念，会判断命题的真假．2．通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义．3．通过数学实例,了解逻辑联结词“且”“或"“非”的含义．4．能够正确地对含有一个量词的命题进行否定．5．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．6．了解命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．本章重点命题及其关系；充分条件、必要条件、充要条件的意义;逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；全称量词与存在量词的应用．本章难点必要条件的含义;含有一个量词的全称命题和特称命题的否定．1。

1命题及其关系1。

1。

1命题自主预习·探新知情景引入中国古代伟大的逻辑学家公孙龙提出过一个命题:白马非马．对于一般人来说,“白马是马”就如同说“苹果是水果”一样清楚明白，怎么可能“白马非马”呢？孔子的六世孙孔穿，为了驳倒公孙龙的主张，找上门去辩论，结果公孙龙说：“如果白马是马，那么黑马也是马，因此就有白马是黑马，也就是说白等于黑．像你这样黑白不分，我不值得和你辩论．”孔穿几句话就败下阵来．公孙龙在这里正是运用了逻辑推理才将这个错误的命题“证明”了，它的破绽在哪里呢？新知导学命题及相关的概念（1)定义：用__语言、符号或式子__表达的,可以__判断真假__的陈述句．（2）分类:①真命题：判断为__真__的语句；②假命题:判断为__假__的语句．(3)形式:命题的结构形式是“__若p,则q__”，其中__p__是命题的条件，__q__是命题的结论．预习自测1．下列语句中,命题的个数是（C）①空集是任何集合的真子集；②请起立；③单位向量的模为1;④你是高二的学生吗?A．0B．1C．2D．3［解析］由命题的定义知，语句①③能判断真假,所以是命题，故选C．2．下列语句中是命题的是（D）A．两点确定一条直线吗？B．在线段AB上任取一点C．作∠A的平分线AMD．两个锐角的和大于直角［解析]两个锐角的和大于直角是一个假命题，A、B、C都不能判断真假．3．下列命题为假命题的是（C)A．log24＝2B．直线x＝0的倾斜角是错误!C．若｜a|＝｜b|,则a＝bD．若直线a⊥平面α，直线a⊥平面β,则α∥β［解析]由|a｜＝|b|得a与b的模相等,但方向不定,故a与b不一定相等，故选C．4．下列命题为真命题的是(A)A．若错误!＝错误!，则x＝y B．若x2＝1,则x＝1C．若x＝y，则错误!＝错误!D．若x〈y，则x2〈y2［解析]B中,若x2＝1,则x＝±1;C中,若x＝y<0,则x与错误!无意义；D中，若x＝－2,y＝－1，满足x〈y，但x2〉y2,故选A．5．把命题“函数f(x)＝sin x是奇函数”改写成“若p，则q”的形式是__若一个函数是f（x）＝sin x，则该函数是奇函数__。

数学选修2－1第一章：命题与逻辑结构 知识点：1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句. 2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题。

若原命题为“若p ，则q ”，它的逆命题为“若q ，则p ”.4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题.若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若p ⌝，则q ⌝”.5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题。

其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题。

若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若q ⌝，则p ⌝”。

6、四种命题的真假性：原命题 逆命题 否命题 逆否命题真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假假假四种命题的真假性之间的关系：()1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；()2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．7、若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ⇔，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．8、用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∧．当p 、q 都是真命题时，p q ∧是真命题；当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题． 用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨．当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题；当p 、q 两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题． 对一个命题p 全盘否定，得到一个新命题，记作p ⌝．若p 是真命题，则p ⌝必是假命题；若p 是假命题，则p ⌝必是真命题．9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“∀”表示．含有全称量词的命题称为全称命题．全称命题“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作“x ∀∈M ，()p x ”． 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“∃”表示．含有存在量词的命题称为特称命题． 特称命题“存在M 中的一个x ，使()p x 成立”，记作“x ∃∈M ，()p x ”．10、全称命题p ：x ∀∈M ，()p x ，它的否定p ⌝：x ∃∈M ，()p x ⌝。

1．1命题及其关系1．1.1命题的概念和例子[读教材·填要点]1．命题的概念可以判断成立或不成立的语句叫作命题．2．命题的分类(1)真命题：成立的命题叫作真命题．(2)假命题：不成立的命题叫作假命题．(3)猜想：暂时不知道真假的命题可以叫作猜想．[小问题·大思维]1．如果一个语句是命题，它必须具备什么条件？提示：如果一个语句是命题，那么该语句所陈述的事情必须能够判断其成立或不成立．2．数学中的定义、公理、定理、公式等是否是命题？是真命题还是假命题？提示：数学中的定义、定理、公理、公式等都是命题，且都是真命题．判断下列语句是否是命题，并说明理由．(1)求证π是无理数；(2)若x∈R，则x2＋4x＋5≥0；(3)一个数的算术平方根一定是负数；(4)梯形是不是平面图形呢？[自主解答](1)是祈使句，不是命题；(2)可以判断其是否成立，故为命题；(3)是命题，并且是假命题，因为一个数的算术平方根为非负数；(4)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题．判断一个语句是否是命题，关键是看语句的格式，也就是要看它是否符合“可以判断成立或不成立”这个条件，如果满足这个条件，该语句就是命题，否则就不是．1．判断下列语句是否为命题，并说明理由．(1)若平行四边形的边都相等，则它是菱形；(2)空集是任何非空集合的真子集；(3)对顶角相等吗？(4)x>3.解：(1)能判断其是否成立，是命题；(2)能判断其是否成立，是命题；(3)是疑问句，不是命题；(4)不能判断其是否成立，不是命题．判断下列命题的真假，并说明理由．(1)如果学好了数学，那么就会使用电脑；(2)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0；(3)正方形既是矩形又是菱形；(4)若a，b都是奇数，则ab必是奇数．[自主解答](1)是假命题，学好数学与会使用电脑不具有因果关系，因而无法推出结论，故为假命题．(2)是真命题，x＝3或x＝7能得到(x－3)(x－7)＝0.(3)是真命题，由正方形的定义知正方形既是矩形又是菱形．(4)是真命题，令a＝2k1＋1，b＝2k2＋1(k1，k2∈Z)，则ab＝2(2k1k2＋k1＋k2)＋1，显然2k1k2＋k1＋k2是一个整数，故ab是奇数．若将本例(4)中的“奇数”改为“无理数”，判断该命题的真假．解：当a ＝5，b ＝－5时，a ，b 都是无理数，但 5×(－5)＝－5是有理数，故该命题为假命题．判断命题真假的策略(1)要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证．(2)要判断一个命题是假命题，只要举一个反例即可．2．判断下列命题的真假，并说明理由． (1)形如a ＋6b 的数是无理数；(2)一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数列； (3)奇函数的图象关于原点对称； (4)能被2整除的数一定能被4整除．解：(1)假命题，反例：a 是有理数且b ＝0，则a ＋6b 是有理数．(2)假命题．若数列{a n }为等比数列，且a 1＝－1，q ＝2，则该数列为递减数列． (3)真命题．根据奇函数的性质可知奇函数的图象一定关于原点对称． (4)假命题．反例：如2,6能被2整除，但不能被4整除．试探究命题“方程ax 2＋bx ＋1＝0有实数解”为真命题时，a ，b 满足的条件．[自主解答] 方程ax 2＋bx ＋1＝0有实数解，要考虑方程为一元一次方程和一元二次方程两种情况： 当a ＝0时，方程ax 2＋bx ＋1＝0为bx ＋1＝0，只有当b ≠0时，方程有实数解x ＝－1b ； 当a ≠0时，方程ax 2＋bx ＋1＝0为一元二次方程，方程有实数解的条件为Δ＝b 2－4a ≥0. 综上知，当a ＝0，b ≠0或a ≠0，b 2－4a ≥0时，方程ax 2＋bx ＋1＝0有实数解．(1)并不是任何语句都是命题．要判断一个句子是否为命题，关键在于能否判断其成立或不成立．一般地，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题．(2)一个命题要么是真的，要么是假的，二者必居其一．3．下面的命题中是真命题的是( ) A ．y ＝sin 2x 的最小正周期为2πB ．若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根同号，则ca >0 C ．如果M ⊆N ，那么M ∪N ＝MD ．在△ABC 中，若AB ―→·BC ―→>0，则B 为锐角解析：选B y ＝sin 2x ＝1－cos 2x 2，T ＝2π2＝π，故A 为假命题；当M ⊆N 时，M ∪N ＝N ，故C 为假命题；在三角形ABC 中，当AB ―→·BC ―→>0时，向量AB ―→与BC ―→的夹角为锐角，B 应为钝角，故D 为假命题．故选B.解题高手 妙解题 什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路若命题“如果5x －1>a ，那么x >1”是真命题，求实数a 的取值范围．[巧思] “如果5x －1>a ，那么x >1”是真命题，则不等式5x －1>a 的解集是x >1的子集． [妙解] 由5x －1>a ，得x >15(1＋a )．∵命题“如果5x －1>a 那么x >1”是真命题， ∴⎝⎛⎭⎫1＋a 5，＋∞⊆(1，＋∞)． ∴1＋a5≥1，即a ≥4. 即a 的取值范围是[4，＋∞)．1．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》，这首诗中，在当时条件下，可以作为命题的是( )A ．红豆生南国B ．春来发几枝C ．愿君多采撷D ．此物最相思解析：“红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以本句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题，故选A.答案：A2．下列命题中的真命题是( ) A ．互余的两个角不相等 B ．相等的两个角是同位角 C ．若a 2＝b 2，则|a |＝|b |D ．三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角 解析：由平面几何知识可知A 、B 、D 三项都是错误的． 答案：C3．给出命题“方程x 2＋ax ＋1＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a 的一个值可以是( ) A ．4 B ．2 C ．0D ．－3解析：方程无实根时，应满足Δ＝a2－4<0.故a＝0时适合条件．答案：C4．设a，b，c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则：①(a·b)c＝(c·a)b；②|a|－|b|<|a－b|；③(b·c)a－(c·a)b不与c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2中，是真命题的有________(只填序号)．解析：因为a，b，c相互不共线，所以(a·b)c与(c·a)b不一定相等．又因为[(b·c)a－(c·a)b]·c＝(b·c)(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，所以①③为假命题，易证②④为真命题．答案：②④5．下列命题：①y＝x2＋3为偶函数；②0不是自然数；③{x∈N|0＜x＜12}是无限集；④如果a·b＝0，那么a＝0或b＝0.其中是真命题的是________(写出所有真命题的序号)．解析：①为真命题，②③④为假命题．答案：①6．若命题p(x)：x2＋2>3x为真命题，求x的取值范围．解：∵x2＋2>3x，∴x2－3x＋2>0.解得x>2或x<1，∴x的取值范围是(2，＋∞)∪(－∞，1)．一、选择题1．下列语句中是命题的是()A．周期函数的和是周期函数吗？B．sin 0°＝0C．求x2－2x＋1>0的解集D．作△ABC∽△EFG解析：A选项是疑问句，不是命题，C、D选项中的语句显然不是．答案：B2．已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，那么下列命题中真命题的个数为()①M中的元素都不是P的元素；②M中有不属于P的元素；③M中有属于P的元素；④M中的元素不都是P的元素．A．1B．2C．3 D．4解析：①③错误；②④正确．答案：B3．下列命题中，为真命题的是()A．对角线相等的四边形是矩形B．若一个球的半径变为原来的2倍，则其体积变为原来的8倍C．若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等D．直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝1相切解析：等腰梯形对角形相等，不是矩形，故A中命题是假命题；由球的体积公式可知B中命题为真命题；C 中命题为假命题，如“3,3,3”和“2,3,4”的平均数相等，但标准差显然不相等；圆x2＋y2＝1的圆心(0,0)到直线x＋y＋1＝0的距离d＝22<1，故直线与圆相交，所以D中命题为假命题．答案：B4．给出下列命题：①若直线l⊥平面α，直线m⊥平面α，则l⊥m；②若a，b都是正实数，则a＋b≥2ab；③若x2>x，则x>1；④函数y＝x3是指数函数．其中假命题的个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：①中，显然l∥m或l与m重合，所以①是假命题；由基本不等式，知②是真命题；③中，由x2>x，得x<0或x>1，所以③是假命题；④中，函数y＝x3是幂函数，不是指数函数，所以④是假命题．故选C.答案：C二、填空题5．下列语句：①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程吗？②抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④若m＞0，a＞b＞0，则b＋ma＋m＞ba.其中真命题的序号为________．解析：①不是命题；②错，可能没交点；③正确，若A⊆B，B⊆A，则A＝B；④显然正确，可以证明．答案：③④6．给出下列命题：①方程x 2－x ＋1＝0有两个实根； ②对于实数x ，若x －2＝0，则x －2≤0； ③若p ＞0，则p 2＞p ； ④正方形不是菱形．其中真命题是________，假命题是________．解析：①假，因Δ＜0；②真；③假，p ＝12时，p 2＜p ；④假，正方形是菱形，也是矩形．答案：② ①③④7．函数f (x )的定义域为A ，若当x 1，x 2∈A 且f (x 1)＝f (x 2)时，总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数．例如，函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R)是单函数．下列命题：①函数f (x )＝x 2(x ∈R)是单函数；②指数函数f (x )＝2x (x ∈R)是单函数；③在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．其中的真命题是________．(填序号)解析：由x 21＝x 22，未必有x 1＝x 2，故①为假命题；对于f (x )＝2x，当f (x 1)＝f (x 2)时一定有x 1＝x 2，故②为真命题；当函数在其定义域上单调时，一定有“若f (x 1)＝f (x 2)，则x 1＝x 2”，故③为真命题．故真命题是②③.答案：②③8．若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵ax 2－2ax －3>0不成立，∴ax 2－2ax －3≤0恒成立．当a ＝0时，－3≤0恒成立；当a ≠0时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝4a 2＋12a ≤0，解得－3≤a <0. 综上，－3≤a ≤0. 答案：[－3,0] 三、解答题9．判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由． (1)一个数不是合数就是质数． (2)大角所对的边大于小角所对的边． (3)x ＋y 是有理数，则x ，y 也都是有理数． (4)求证x ∈R ，方程x 2＋x ＋1＝0无实根． 解：(1)是假命题，1不是合数，也不是质数． (2)是假命题，必须在同一个三角形或全等三角形中． (3)是假命题，如x ＝2，y ＝－ 2. (4)祈使句，不是命题．10．判断命题：“若a ＋b ＝2，则直线x ＋y ＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝2相切”的真假． 解：由已知a ＋b ＝2，圆心(a ，b )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝|a ＋b |2＝22＝2＝r ， 所以直线与圆相切，即命题为真.。

1.1.1命题●三维目标1.知识与技能理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题，能判断命题的真假；能把命题改写成“若p，则q”的形式．2．过程与方法通过学生举命题的例子，培养他们的辨析能力及分析问题和解决问题的能力．3．情感、态度与价值观通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣．●重点难点重点：命题的概念、命题的构成．难点：分清命题的条件、结论和判断命题的真假．(教师用书独具)●教学建议命题的概念在初中已经学习过，可以通过回顾初中知识引入，讲清命题概念中的两个问题，判断是否为陈述句，能否判断真假，重点放在命题的形式和判断命题真假的教学中，基于教材内容简单且以前曾经接触过，可以采用提问式、讨论式的教学方法，让学生在讨论、回答问题的过程中学习知识，增长技能，进而突破本节的难点．●教学流程创设问题情境，引出命题的概念，通过实例形成概念原型.⇒引导学生结合初中学习过的命题概念，比较、分析，揭示命题的特点及构成形式.⇒通过引导学生回答所提问题理解判断命题真假的方法.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握如何判断一个语句是否为命题.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握命题真假的判断方法，并对相关知识进行复习．⇒通过例3及其变式训练，完成对命题形式的认识与巩固，学会对命题进行改写.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课标解读1.了解命题的概念．(难点)2.理解命题的构成，并能指出此类命题的条件和结论．(重点)3.能判断一些简单命题的真假．(难点)命题的概念【问题导思】给出下列语句：(1)2＋4＝7；(2)垂直于同一条直线的两个平面平行；(3)6能被2整除；(4)全等三角形面积相等．1．这些语句的表述形式有什么特点？【提示】都是陈述句．2．你能判断这些语句的真假吗？【提示】能，(2)、(3)、(4)为真；(1)为假．1．定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句．2．分类：(1)真命题：判断为真的语句；(2)假命题：判断为假的语句.命题的结构【问题导思】观察命题：(1)若整数a是素数，则a是奇数；(2)若两个三角形全等，则它们的面积相等．上述命题的形式是怎样的？【提示】“若……，则……”的形式．命题的结构形式是“若p，则q”，其中p是命题的条件，q是命题的结论.命题的判断下列语句中是命题的有________．①一个数不是正数就是负数；②0是自然数吗？③22018是一个很大的数；④4是集合{2,3,4}的元素；⑤作△ABC≌△A′B′C′.【思路探究】以上语句都是陈述句吗？你能判断它们的真假吗？【自主解答】②是疑问句，不是命题；③是陈述句，但“很大”无法说明到底多大，不能判断真假，不是命题；⑤是祈使句，不是命题．①是命题，为假命题，因为0既不是正数，也不是负数，④是命题，为真命题．【答案】①④判断一个语句是不是命题，关键是把握好以下两点：(1)一般来说，陈述句才是命题，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题．(2)该语句表述的结构可以判断真假，含义模糊不清，无法判断真假的语句不是命题．判断下列语句是不是命题，并说明理由．(1)函数f(x)＝3x(x∈R)是指数函数；(2)x2－3x＋2＝0；(3)函数y＝cos x是周期函数吗？(4)集合{a，b，c}有3个子集．【解】(1)是命题，满足指数函数的定义，为真．(2)不是命题，不能判定真假．(3)不是命题，是疑问句，不能判断真假．(4)是命题．因为{a，b，c}有23＝8个子集，所以集合{a，b，c}有3个子集，为假．因此(1)与(4)是命题；(2)与(3)不是命题.命题真假的判断给出下列几个命题：(1)若x，y互为相反数，则x＋y＝0；(2)若a＞b，则a2＞b2；(3)若x＞－3，则x2＋x－6≤0；(4)若a，b是无理数，则a＋b是无理数．其中的真命题有________个．【思路探究】【自主解答】根据两数互为相反数的性质，(1)正确，为真命题；(2)中若a、b均为负数时不正确，为假命题；(3)中若取x＝3＞－3，而x2＋x－6＝6＞0，故为假命题；(4)中取a ＝2，b＝－2，则a、b均为无理数，而a＋b＝0为有理数，故为假命题．【答案】 11．由命题的概念可知，一个命题要么是真的，要么是假的，不存在模棱两可的情况．2．如果要判断一个命题为真命题，需要依据条件进行严格的推理论证，而要判断一个命题为假命题，只要举出一个反例即可．已知a，b为两条不同的直线，α，β为两不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中的假命题是()A．若a∥b，则α∥βB．若α⊥β，则a⊥bC．若a，b相交，则α，β相交D．若α，β相交，则a，b相交【解析】如图所示，因为α，β为两个不同的平面，所以α∩β＝c，但平面α，β不会重合，因为a⊥α，b⊥β，所以a与b不一定相交．故“α，β相交，则a，b 相交”是假命题．【答案】 D命题的构成把下列命题改写成“若p，则q”的形式．(1)各位数字之和能被9整除的整数，可以被9整除．(2)斜率相等的两直线平行．(3)钝角的余弦值是负值．【思路探究】(1)上述命题的条件与结论分别是什么？(2)怎样用“若p则q”的形式改写命题？【自主解答】(1)若一个整数的各位数字之和能被9整除，则这个整数可以被9整除．(2)若两条直线斜率相等，则这两条直线平行．(3)若一个角为钝角，则这个角的余弦值是负值．要把一个命题写成“若p，则q”的形式，关键是要分清命题的条件和结论，然后写成“若条件，则结论”的形式，有一些命题虽然不是“若p，则q”的形式，但是把它们的表述作适当的改变，也能写成“若p，则q”的形式，但要注意语言的流畅性．把下列命题写成“若p，则q”的形式，并判断它们的真假．(1)面积相等的两个三角形全等；(2)当abc＝0时，a＝0，或b＝0，或c＝0；(3)对顶角相等．【解】(1)若两个三角形面积相等，则这两个三角形全等．它是假命题．(2)若abc＝0，则a＝0，或b＝0，或c＝0.它是真命题．(3)若两个角为对顶角，则这两个角相等．它是真命题．改写命题时，写错大前提致误已知c＞0，当a＞b时，ac＞bc.把该命题改写成“若p则q”的形式．【错解】若c＞0，a＞b，则ac＞bc.【错因分析】“已知c＞0”是大前提，条件应是“a＞b”，不能把它们全认为是条件．【防范措施】若已知命题中有大前提，在改写命题时，不能把大前提写在条件中，应仍作为命题的大前提．【正解】已知c＞0，若a＞b，则ac＞bc.1．判断一个语句是否为命题应紧抓两点：①是不是陈述句，②能否判断真假． 2．判断命题真假的难点是对已有知识的掌握，尤其是真命题的判断． 3．准确判断命题的条件与结论是把命题改写为“若p 则q ”形式的关键．1．(2018·湛江高二检测)下列语句为命题的是( ) A ．x －1＝0B ．2＋3＝8C ．你会说英语吗？D ．这是一棵大树【解析】 C 不是陈述句，A 、D 无法判断其真假，只有B 是命题，且为假命题． 【答案】 B2．下列命题是真命题的为( ) A ．若1x ＝1y ，则x ＝yB ．若x 2＝1，则x ＝1C ．若x ＝y ，则x ＝yD ．若x ＜y ，则x 2＜y 2【解析】 只有A 正确，B 、C 、D 可以举反例验证． 【答案】 A3．把命题“偶函数的图象关于y 轴对称”改写成“若p ，则q ”的形式为________． 【答案】 若一个函数为偶函数，则它的图象关于y 轴对称4．把下列命题改写成“若p，则q”的形式并判断其真假：(1)菱形的四条边相等；(2)当x＝2时，x2－3x＋2＝0；(3)空集是任何集合的真子集．【解】(1)若一个四边形是菱形，则它的四条边相等．真命题．(2)若x＝2，则x2－3x＋2＝0.真命题．(3)若一个集合是空集，则这个集合是任何集合的真子集．假命题.一、选择题1．下列语句是命题的是()①三角形的内角和等于180°；②2>3；③偶数是自然数；④x＞2；⑤这座山真险啊！A．①②③B．①③④C．①②⑤ D．②③⑤【解析】①②③是命题，④中x>2无法判断真假，⑤是感叹句，∴④⑤不是命题．【答案】 A2．(2018·郑州高二检测)在空间，下列命题正确的是()A．平行直线的平行投影重合B．平行于同一直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行【解析】A中平行投影可能平行，A为假命题．B、C中的两个平面可以平行或相交，为假命题．由线面垂直的性质，D为真命题．【答案】 D3．下列说法正确的是()A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B ．语句“当a ＞4时，方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”不是命题C ．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题D ．语句“当a ＞4时，方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”是假命题【解析】 将命题“直角相等”写成“若p ，则q ”的形式为：若两个角都是直角，则这两个角相等，所以选项A 是错误的；语句“当a ＞4时，方程x 2－4x ＋a ＝0有实根．”是陈述句而且可以判断真假，并且是假的，所以选项B 是错误的；选项D 是正确的；选项C 是错误的，应为“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”．【答案】 D4．(2018·黔东南州高二检测)下列四个命题中，真命题是( ) A ．a ＞b ，c ＞d ⇒ac ＞bd B ．a ＜b ⇒a 2＜b 2 C.1a ＜1b⇒a ＞b D ．a ＞b ，c ＜d ⇒a －c ＞b －d【解析】 可以通过举反例的方法说明A 、B 、C 为假命题． 【答案】 D5．设有不同的直线m ，n 和不同的平面α，β.下列四个命题中，正确的是( ) A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥βC ．若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥βD ．若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α，则m ∥α【解析】 若α∥β，m ⊂β，n ⊂β可知m ∥α，n ∥α，但m 与n 可以相交，所以A 不正确；B 不正确；若α⊥β，则α中仍有不与β垂直的直线，C 不正确；若α⊥β，则在α中可作与β垂直的直线n ，又m ⊥β，则m ∥n ，又m ⊄α，所以m ∥α，D 正确．【答案】 D 二、填空题6．指出下列命题的条件和结论．(1)当x ＝2时，x 2－3x ＋2≠0.条件是：________，结论是：________.(2)平行四边形的对角线互相平分．条件是：________，结论是：________.【解析】(1)条件是“x＝2”，结论是“x2－3x＋2≠0”．(2)命题可改写为：若一个四边形为平行四边形，则它的对角线互相平分．条件是“四边形为平行四边形”，结论“对角线互相平分”．【答案】(1)x＝2x2－3x＋2≠0(2)四边形为平行四边形对角线互相平分7．下列命题：①若xy＝1，则x，y互为倒数；②四条边相等的四边形是正方形；③平行四边形是梯形；④若ac2＞bc2，则a＞b.其中真命题的序号是________．【解析】②中四条边相等的四边形是菱形，不一定是正方形，③中平行四边形不是梯形，①、④正确．【答案】①④8．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A—BD—C，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成45°的角．其中真命题的编号是________．(写出所有真命题的编号)【解析】如图所示，取BD的中点E，连AE、EC，取AC、AD的中点F、G，连结EF、FG、EG.∵AE⊥BD，EC⊥BD，∴∠AEC就是二面角A—BD—C的平面角．∴∠AEC＝90°.由BD⊥平面AEC，可知BD⊥AC，①正确；由△AEC≌△AED，可知AD＝AC＝CD，②正确；由AE⊥平面BCD知，∠ABE＝45°是AB与平面BCD所成的角，③正确．故①②③为真命题．【答案】①②③三、解答题9．判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由．①函数y ＝sin 4x －cos 4x 的最小正周期是π；②若x ＝4，则2x ＋1<0 ；③一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数列；④求证：x ∈R 时，则方程x 2－x ＋2＝0无实根．【解】 ①②③是命题，④不是命题．命题①中，y ＝sin 4x －cos 4x ＝sin 2x －cos 2x ＝－cos 2x ，显然其最小正周期为π，是真命题．命题②中，当x ＝4时，2x ＋1>0，∴②是假命题．命题③中，若等比数列的首项a 1＜0，公比q ＞1时，该数列为递减数列，是假命题． ④是一个祈使句，没有作出判断，不是命题．10．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断命题的真假．(1)当m >14时，方程mx 2－x ＋1＝0无实根； (2)平行于同一平面的两条直线平行．【解】 (1)命题可改写为：若m >14，则mx 2－x ＋1＝0无实根． ∵当m >14时，Δ＝1－4m <0，所以是真命题． (2)命题可改写为：若两直线平行于同一平面，则它们互相平行．∵平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面，所以是假命题．11．命题“ax 2－2ax －3≤0恒成立”是真命题，求实数a 的取值范围．【解】 由于ax 2－2ax －3≤0恒成立是真命题，(1)当a ＝0时，－3≤0成立．(2)当a ≠0时，应满足⎩⎨⎧a ＜0Δ≤0，解之得－3≤a ＜0. 由(1)(2)得a 的取值范围为[－3,0].(教师用书独具)设有两个命题：p ：函数y ＝lg(x 2－2x ＋m )的值域为R ；q ：函数f (x )＝－(7－3m )x 是减函数．若这两个命题中有且只有一个是真命题，求实数m 的取值范围．【自主解答】 若命题p 为真命题，则x 2－2x ＋m 的值可取到一切正数，故Δ＝4－4m ≥0，即m ≤1；若命题q 为真命题，则7－3m ＞1，即m ＜2.所以命题p 和q 中有且只有一个是真命题时，有p 真q 假或p 假q 真，即⎩⎨⎧ m ≤1，m ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞1，m ＜2.故m 的取值范围是1＜m ＜ 2.已知命题p ：|x 2－x |≥6，q ：x ∈Z ，且p 假q 真，求x 的值．【解】 ∵p 假q 真∴⎩⎪⎨⎪⎧ |x 2－x |＜6x ∈Z ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x ＜6x 2－x ＞－6x ∈Z∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2＜x ＜3x ∈Z故x 的取值为：－1,0,1,2.。

1.下列语句：①2是无限循环小数；②x2－3x＋2＝0；③当x＝4时，2x>0；④垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？⑤一个数不是合数就是质数；⑥把门关上．其中不是命题的是________．解析：①是命题，能判断真假．②不是命题，因为语句中含有变量x，在没给变量x赋值前，我们无法判断语句的真假．③是命题，能作出真假判断的语句，是一个真命题．④不是命题，因为并没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断．⑤是命题，是假命题，因为1既不是合数也不是质数．⑥不是命题，没有作出判断．答案：②④⑥2.(2011·高考山东卷改编)已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是________．解析：由于一个命题的否命题既否定题设又否定结论，因此原命题的否命题为“若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3”．答案：若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<33.命题“若b≠3，则b2≠9”的逆命题是________．解析：“若p则q”的逆命题是“若q则p”．答案：若b2≠9，则b≠34.命题“对于正数a，若a>1，则lg a>0”及其逆命题、否命题、逆否命题四个命题中真命题的个数为________．解析：原命题“对于正数a，若a>1，则lg a>0”是真命题；逆命题“对于正数a，若lg a>0，则a>1”是真命题；否命题“对于正数a，若a≤1，则lg a≤0”是真命题；逆否命题“对于正数a，若lg a≤0，则a≤1”是真命题．答案：45.给出下列命题：①命题“若b2－4ac<0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根”的否命题；②命题“如果△ABC中，AB＝BC＝CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题；③命题“若a>b>0，则3a>3b>0”的逆否命题；④“若m>1，则mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集为R”的逆命题．其中真命题的序号为________．解析：①命题“若b2－4ac<0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根”的否命题为：“若b2－4ac≥0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根”，根据一元二次方程根的判定知其为真命题．②命题“如果△ABC中，AB＝BC＝CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题为：“如果△ABC为等边三角形，那么AB＝BC＝CA”，由等边三角形的定义可知其为真命题．③原命题“若a>b>0，则3a>3b>0”为真命题，由原命题与其逆否命题有相同的真假性可知其逆否命题为真命题．④原命题的逆命题为：“若方程mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集为R，则m>1”，不妨取m＝2验证，当m＝2时，有2x2－6x－1>0，Δ＝62－4×2×(－1)>0，其解集不为R，故为假命题．答案：①②③[A 级 基础达标]1.下列语句：①平行四边形不是梯形；②3是无理数；③方程9x 2－1＝0的解是x ＝±13；④这是一棵大树；⑤2012年7月27日是伦敦奥运会开幕的日子．其中命题的个数是________．解析：①②③⑤都是命题，对于④，由于“大树”没有界定标准，不能判断真假，所以④不是命题．答案：42.设A 、B 为两个集合，下列四个命题：② A B ⇔对任意x ∈A ，有x ∉B ；②A B ⇔A ∩B ＝∅；③A B ⇔A ⊉B ；④A B ⇔存在x ∈A ，使得x ∉B .其中真命题的序号是____．(把符合要求的命题序号都填上)解析：A ⃘B 的情况有多种A 、B 之间的关系，A 中至少有一个元素不属于B .答案：④3.命题“若a ，b 都是偶数，则a ＋b 是偶数”的逆否命题是________．解析：“若p 则q ”的逆否命题是“若非q 则非p ”．答案：若a ＋b 不是偶数，则a ，b 不都是偶数4.命题“若a >b ，则2a >2b －1”的否命题为________．解析：∵“a >b ”的否定是“a ≤b ”，“2a >2b －1”的否定是“2a ≤2b －1”，∴原命题的否命题是“若a ≤b ，则2a ≤2b －1”．答案：若a ≤b ，则2a ≤2b －15.命题“若A ＝60°，则△ABC 是等边三角形”的否命题“若A ≠60°，则△ABC 不是等边三角形”为________命题(填“真”或“假”)．解析：“若A ＝60°，则△ABC 是等边三角形”的逆命题为“若△ABC 是等边三角形，则A ＝60°”，逆命题为真命题，所以否命题为真命题．答案：真6.把下列命题写成“若p 则q ”的形式，并判断真假．(1)奇函数的图象关于原点对称；(2)当x 2－2x －3＝0时，x ＝－3或x ＝1；(3)a <0时，函数y ＝ax ＋b 的值随x 值的增大而增大．解：(1)若一个函数是奇函数，则它的图象关于原点对称，是真命题．(2)若x 2－2x －3＝0，则x ＝－3或x ＝1，是假命题．(3)若a <0，则函数y ＝ax ＋b 的值随x 值的增大而增大，是假命题．7.写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题．(1)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形；(2)若在二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，b 2－4ac <0，则该函数图象与x 轴有公共点． 解：(1)逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则该四边形的对角互补；否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形；逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则该四边形的对角不互补．(2)逆命题：若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴有公共点，则b 2－4ac <0；否命题：若在二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，b 2－4ac ≥0，则该函数图象与x 轴无公共点；逆否命题：若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴无公共点，则b 2－4ac ≥0.[B 级 能力提升]8.已知命题p ：x 2－x ≥6或x 2－x ≤－6，q ：x ∈Z ，且p 假q 真，则x 的值为________．解析：因为p 假q 真，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x <6x 2－x >－6x ∈Z⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6<0x 2－x ＋6>0x ∈Z⇒⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <3x ∈R x ∈Z . 故x 的取值为－1，0，1，2.答案：－1，0，1，29.若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，得⎩⎨⎧a <0Δ＝4a 2＋12a ≤0，解得－3≤a <0，故－3≤a ≤0.答案：[－3，0]10.判断下列命题的真假：(1)对任意非正数c ，若有a ≤b ＋c 成立，则a ≤b .(2)若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0.解：(1)由题意知，其逆否命题为：对任意非正数c ，若有a >b 成立，则a >b ＋c . ∵c ≤0，∴b ＋c ≤b <a ，即a >b ＋c ，逆否命题正确，所以原命题为真命题．(2)由题意知，其逆否命题为：若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1.∵x 2－3x ＋2＝0⇒x ＝1或x ＝2.易知，逆否命题错误，所以原命题为假命题．11.(创新题)已知命题p ：函数f (x )＝1－x 3，实数m 满足不等式f (m )<2，命题q ：实数m 使方程2x ＋m ＝0(x ∈R )有实根．若命题p 、q 中有且只有一个真命题，求实数m 的范围．解：f (x )＝1－x 3， 又f (m )<2，∴1－m 3<2，∴－5<m ， ∴p ：m >－5.因为方程2x ＋m ＝0(x ∈R )有实根，2x >0，∴m <0，∴q ：m <0.若命题p 、q 中有且只有一个真命题，存在两种情况：(1)当p 为真命题，q 为假命题时，⎩⎪⎨⎪⎧m >－5m ≥0，∴m ≥0， (2)当q 为真命题，p 为假命题时，⎩⎨⎧m ≤－5m <0， ∴m ≤－5.。

高二数学上：选修2-1答案答案：选修2-1 §1.1.1 命题 §1.1.2 四种命题1.B2.B3.B4.B5.略6.若 $a^2>9$，则 $a>3$。

假。

7.若 $AB \neq B$，则 $AB \neq A$，真；8.3；9.原命题是真命题，则它的逆否命题是真命题。

10.略。

11.原命题真；逆命题：“已知 $\alpha,\beta \in \{x|x\neqk\pi+\pi,k\in Z\}$，若 $\tan\alpha=\tan\beta$，则 $\alpha=\beta$”假；否命题：“已知 $\alpha,\beta \in \{x|x\neq k\pi+\pi,k\in Z\}$，若 $\alpha\neq\beta$，则 $\tan\alpha\neq\tan\beta$”假；逆否命题：“已知 $\alpha,\beta \in \{x|x\neq k\pi+\pi,k\in Z\}$，若$\tan\alpha\neq\tan\beta$，则 $\alpha\neq\beta$”真。

改写：选修2-1 §1.1.1 命题 §1.1.2 四种命题1.B2.B3.B4.B5.略6.若 $a^2>9$，则 $a>3$。

这是错误的。

7.若 $AB \neq B$，则 $AB \neq A$，这是正确的；8.3；9.原命题是真命题，则它的逆否命题也是真命题。

10.略。

11.原命题是真命题；逆命题：“已知 $\alpha,\beta \in\{x|x\neq k\pi+\pi,k\in Z\}$，若 $\tan\alpha=\tan\beta$，则$\alpha=\beta$”是错误的；否命题：“已知 $\alpha,\beta \in\{x|x\neq k\pi+\pi,k\in Z\}$，若 $\alpha\neq\beta$，则$\tan\alpha\neq\tan\beta$”是错误的；逆否命题：“已知$\alpha,\beta \in \{x|x\neq k\pi+\pi,k\in Z\}$，若$\tan\alpha\neq\tan\beta$，则 $\alpha\neq\beta$”是正确的。

人教版高中数学选修2-1知识点梳理）巩固练习重点题型（常考知识点命题及其关系【学习目标】1．了解命题、真命题、假命题的概念，能够指出一个命题的条件和结论；2．了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题，会分析四种命题的相互关系，能判断四种命题的真假；3．能熟练判断命题的真假性.【要点梳理】要点一、命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题.要点诠释：1.不是任何语句都是命题，不能确定真假的语句不是命题，如“x>2”，“2不一定大于3”.2.只有能够判断真假的陈述句才是命题.祈使句，疑问句，感叹句都不是命题，例如：“起立”、“π是有理数吗？”、“今天天气真好！”等.3.语句能否确定真假是判断其是否是命题的关键.一个命题要么是真，要么是假，不能既真又假，模棱两可.命题陈述了我们所思考的对象具有某种属性，或者不具有某种属性，这类似于集合中元素的确定性.要点二、命题的结构命题可以改写成“若p，则q”的形式，或“如果p，那么q”的形式.其中p是命题的条件，q是命题的结论.要点诠释：1.一般地，命题“若p则q”中的p为命题的条件q为命题的结论.2.有些问题中需要明确指出条件p和q各是什么，因此需要将命题改写为“若p则q”的形式.要点三、四种命题原命题：“若p，则q”；逆命题：“若q，则p”；实质是将原命题的条件和结论互相交换位置；. 否命题：“若非 p ，则非 q ”，或“若 ⌝p ，则 ⌝q ”；实质是将原命题的条件和结论两者分别否定；逆否命题：“若非 q ，则非 p ”，或“若 ⌝q ，则 ⌝p ”；实质是将原命题的条件和结论两者分别否定后再换位或将原命题的条件和结论换位后再分别否定.要点诠释：对于一般的数学命题，要先将其改写为“若 p ，则 q ”的形式，然后才方便写出其他形式的命题.要点四、四种命题之间的关系四种命题之间的构成关系原 命题若p 则q互互 互 逆为 逆否逆命题 若q 则p互 否否 命 题互为逆否否逆 否命 题若⌝p 则⌝q四种命题之间的真值关系互 逆若⌝q 则⌝p原命题真真 假假逆命题真假 真假否命题真假 真假逆否命题真真 假假要点诠释：（1）互为逆否命题的两个命题同真同假；（2）互为逆命题或互为否命题的两个命题的真假无必然联系.【典型例题】类型一：命题的概念例 1.判断下列语句中哪些是命题，是命题的判断其是真命题还是假命题（1）末位是 0 的整数能被 5 整除；（2）平行四边形的对角线相等且互相平分；（3）两直线平行，则斜率相等；（△4）ABC中，若∠A=∠B，则sinA=sinB；（5）余弦函数是周期函数吗？【思路点拨】依据命题的定义判断。

2020秋高中数学人教A版选修2-1课堂达标：1.1.1命题含解析第一章1。

1 1.1.11．下列语句中是命题的是(B)A．周期函数的和是周期函数吗B．sin45°＝1C．x2＋2x－1〉0D．梯形是不是平面图形呢[解析]选项A、D为疑问句，选项C为不等式，只有选项B 能判断真假，故选B．2．下列命题正确的是(D）A．三点确定一个平面B．两条直线确定一个平面C．四边形确定一个平面D．不共面的四点可以确定四个平面[解析]对于A，不共线三点确定一个平面，故A不正确；对于B，两条直线有可能异面，故B不正确；对于C，四边形可以成为一个空间立体图形,故C不正确，故选D．3．下列命题中的假命题是(B)A．若log2x<2，则0〈x〈4B．若a与b共线，则a与b的夹角为0°－2a n＝0，则该数列C．已知各项都不为零的数列{a n}满足a n＋1为等比数列D．点（π，0)是函数y＝sin x图象上一点[解析]a与b共线，则a与b的夹角为0°,还可能为180°，故B为假命题，故选B．4．下列语句中命题的个数是（D)①2〈1;②x〈1;③若x〈2，则x≤1;④函数f（x）＝x2是R上的偶函数．A．0B．1C．2D．3［解析]②不能判断真假,①③④能判断真假,故选D．5．下列命题是真命题的是(D）A．有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B．过点P（x0，y0）的所有直线的方程都可表示为y－y0＝k（x －x0）C．已知点A(x0,y0)是圆C：x2＋y2＝1内一点,则直线x0x＋y0y－1＝0与圆C相交D．圆柱的俯视图可能为矩形[解析]当圆柱横卧时，其俯视图为矩形，故选D．攀上山峰，见识险峰，你的人生中，也许你就会有苍松不惧风吹和不惧雨打的大无畏精神，也许就会有腊梅的凌寒独自开的气魄，也许就会有春天的百花争艳的画卷，也许就会有钢铁般的意志。

疱丁巧解牛知识·巧学1.命题的概念（1）一般地,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.①并非所有的语句都是命题，命题首先为一陈述句,并且一般由条件和结论两部分组成.条件是已知项,结论是由已知项推出的项，是对客观存在事物的肯定或否定的思维形式.②用语言、符号、式子表达的含义是：可以用文字语言叙述或数学符号表达或数学关系式如（方程、不等式、函数关系式）等.构成命题的两个要素：一是陈述句，其它的语句如疑问句、感叹句、祈使句均不行；二是必须可以判断真假，两者缺一不可.联想发散在数学和其他科学技术中，还有一类陈述句经常出现，如“每一个不小于6的偶数都是两个奇数的和”（歌德巴赫猜想），“在2020年前，将有人登上火星”等，虽然目前还不能确定这些语句的真假，但随着科学技术的发展与时间的推移，总能确定它们的真假，人们把这一类猜想仍算为命题.（2）判断为真的语句叫做真命题.判断为假的语句叫做假命题.要点提示判断为真或假的语句是指陈述句，真或假是指该句正确还是错误.2.命题的条件和结论在数学中,“若p则q”是命题的常见形式,其中p叫做命题的条件,q叫做命题的结论.所有命题都可表示为“若p则q”的形式.“若p则q”的形式的命题也可以写成“如果p，那么q”，“只要p，就有q”等形式.如命题“对顶角相等”，“直角都相等”这两个命题都采用简略式，完整表达式为：（1）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；（2）如果有一些角是直角，那么这些角都相等.方法点拨①在把命题改写成“若p则q”的形式时，应分清命题的条件和结论分别是什么，然后将条件写在前，结论写在后即可.注意命题形式的改变并不改变命题的真假，只是表述形式上的变化.②在改写时一定要分清命题的条件和结论，产生错误的原因一般是分不清条件和结论.若在命题中含有大前提，大前提应单独给出，不能把大前提放在命题的条件内.问题·探究问题1 如何判断一个语句是否为命题呢？若是命题，如何判断其真假呢？探究:判断一个语句是否是命题的关键是看它是否符合命题的两个基本要素，即是否符合是“陈述句”和“可以判断真假”，只有同时满足这两个条件的才是命题.一个语句如果是命题，那么它要么是真命题，要么是假命题，但不能同时既真又假，也不能模棱两可无法判断其真假.把一个命题改写成“若p则q”的形式后，判断真假的方法是：①若由“p”经过逻辑推理得出“q”，则可确定“若p则q”是真；要确定“若p则q”为假，则只需举一个反例说明即可;②如果将含有大前提的命题改写成“若p则q”的形式，大前提要保持不变，仍作为大前提，不能写在条件p中.问题2 从集合的角度看命题的真假与集合间有什么关系？探究:从集和的角度看，建立集合A、B与命题之间的特殊联系：设集合A=｛x|p（x）成立｝，B=｛x|q（x）成立｝.就是说，A是全体能使条件p成立的对象x所构成的集合，B是全体能使条件q成立的对象x所构成的集合，此时，命题“若p则q”为真（意思就是“使p成立的对象也使q成立”），当且仅当A⊆B时满足.命题“若p则q”为假（意思就是“使p成立的对象不能使q成立”）当且仅当A⊄B时满足.典题·热题例1 下列语句中是命题的是__________________，是真命题的是___________________. （1）末位是0的整数能被5整除；（2）平行四边形的对角线相等且互相平分；（3）两直线平行则斜率相等；（4）△ABC中,若∠A=∠B,则sinA=sinB；（5）余弦函数是周期函数吗？思路分析：（1）如10，20，30，100等都是5的倍数可判断为正确；（2）是陈述句，但其陈述的不正确，平行四边形的对角线不一定相等；（3）是陈述句，但其陈述的不正确，平行直线也有不存在斜率的，就谈不上相等了；（4）是用表达式表示的语句，根据三角函数的性质可证是正确的；（5）是个疑问句，不能判断对错.答案：（1），（2），（3），（4）（1），（4）方法归纳判断是否是命题一要是陈述句，可以用符号、表达式、语言表示；二要能判断真假.例 2 设A、B为两个集合,下列四个命题:①A B⇔对任意x∈A,有x∈B；②A B⇔A∩B=∅；③A B⇔A B；④A B⇔存在x∈A,使得x∉B.其中真命题的序号是____________________.（把符合要求的命题的序号都填上）思路分析：依据A⊆B的定义.①A B存在x∈A,有x∉B;②A B，A，B可以有部分相同元素;③A B有可能A⊇B;④同①的分析，正确.答案：④例3 已知a、b为两条不同的直线,α、β为两个不同的平面,且a⊥α,b⊥β,则下列命题中的假命题是（）A.若a∥b,则α∥βB.若α⊥β,则a⊥bC.若a、b相交,则α、β相交D.若α、β相交,则a、b相交思路分析：如右图,因为α、β为两个不同的平面,所以若α∩β=c,但平面α、β不会重合.因为a⊥α,b⊥β,所以a与b不一定相交而是异面直线.故“α、β相交,则a、b相交”是假命题.答案：D例4 指出下列命题的条件p和结论q:（1）若空间四边形为正四面体,则顶点在底面上的射影为底面的中心；（2）若两条直线a和b都和直线c平行,则直线a和直线b平行.思路分析：“若p则q”是命题的常见形式，其中p是条件，q是结论.解：（1）条件p:空间四边形为正四面体.结论q:顶点在底面上的射影为底面的中心.（2）条件p:两直线a和b都和直线c平行.结论q:直线a和b平行.例5 将下列命题改写成“若p则q”的形式,并判断真假:（1）偶数能被2整除；（2）奇函数的图象关于原点对称；（3）同弧所对的圆周角不相等.思路分析：此题较简单，找出条件，结论即可.解：（1）若一个数是偶数,则它能被2整除.真命题.（2）若一个函数是奇函数,则它的图象关于原点对称.真命题.（3）若两个角为同弧所对的圆周角,则它们不相等.假命题.深化升华要从简略句中准确地找出条件和结论，就是要补充完整这个句子.。

第一章常用规律用语1.1 命题及其关系1.1.1 命题A级基础巩固一、选择题1．下列语句是命题的是( )①三角形的内角和等于180°；②2>3；③偶数是自然数；④x>2；⑤这座山真险啊！A．①②③B．①③④C．①②⑤D．②③⑤解析：①②③是命题，④中x>2无法推断真假，⑤是感叹句，所以④⑤不是命题．答案：A2．下列命题中，是真命题的是( )A．a>b，c>d⇒ac>bdB．a<b⇒a2<b2C.1a<1b⇒a>bD．a>b，c<d⇒a－c>b－d解析：可以通过举反例的方法说明A，B，C为假命题．答案：D3．下列命题中真命题的个数为( )①若x2＝1，则x＝1；②若x＝y，则x＝y；③若a＞b，则a＋c＞b＋c；④梯形的对角线肯定不垂直．A．1 B．2 C．3 D．4解析：只有③正确．答案：A4．给出下列命题：①四个非零实数a，b，c，d满足ad＝bc，则a，b，c，d成等比数列；②若整数a能被2整除，则a是偶数；③在△ABC中，若A>30°，则sin A>12.其中为假命题的序号是( )A．② B．①② C．②③ D．①③解析：①中，若a＝－1，b＝52，c＝2，d＝－5满足ad＝bc，但a，b，c，d不成等比数列，故是假命题；③中，若150°<A<180°，则sin A<12，故是假命题．答案：D5．下列命题中，是真命题的是( )A．若a3＋b3＝0，则a2＋b2＝0B．若a＞b，则ac＞bcC．若M∩N＝M，则N⊆MD．若M⊆N，则M∩N＝M解析：A.取a＝1，b＝－1，推不出a2＋b2＝0，A不成立；B.c≤0时，不成立；C.M∩N＝M⇒M⊆N，C不成立；D成立．答案：D二、填空题6．命题“末位数字是4的整数肯定能被2整除”，写成“若p，则q”的形式为________．解析：条件是整数的末位数字是4，结论是它肯定能被2整除．答案：若一个整数的末位数字是4，则它肯定能被2整除7．已知下列命题：①面积相等的三角形是全等三角形；②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；③若a＞b，则ac2＞bc2；④矩形的对角线相互垂直．其中假命题的个数是________．解析：①②③④全为假命题．答案：48．给出下列三个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同始终线的两条直线相互平行．其中，是真命题的是________(填序号)．答案：②三、解答题9．推断下列命题的真假．(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c (a≠0)有最大值；(2)正项等差数列的公差大于零；(3)函数y＝1x的图象关于原点对称．解：(1)假命题．当a＞0时，抛物线开口向上，有最小值．(2)假命题．反例：若此数列为递减数列，如数列20，17，14，11，8，5，2，它的公差是－3.(3)真命题．y＝1x是奇函数，所以其图象关于(0，0)对称．10．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并推断真假，且指出p和q分别指什么．(1)乘积为1的两个实数互为倒数；(2)奇函数的图象关于原点对称；(3)与同始终线平行的两个平面平行．解：(1)“若两个实数乘积为1，则这两个实数互为倒数”，它是真命题．p：两个实数乘积为1；q：两个实数互为倒数．(2)“若一个函数为奇函数，则它的图象关于原点对称”．它是真命题．p：一个函数为奇函数；q：函数的图象关于原点对称．(3)“若两个平面与同一条直线平行，则这两个平面平行”．它是假命题，这两个平面也可能相交．p：两个平面与同一条直线平行；q：两个平面平行．B级力量提升1．已知a、b为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中的假命题是( )A．若a∥b，则α∥βB．若α⊥β，则a⊥bC．若a、b相交，则α、β相交D．若α、β相交，则a、b相交解析：易知选项A、B、C都正确，对于D，α、β相交时，a、b肯定不平行，但不肯定相交，有可能异面，故D为假命题．答案：D2．给定下列命题：①若k＞0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；②若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd；③对角线相等的四边形是矩形；④若xy＝0，则x、y中至少有一个为0.其中真命题的序号是________．解析：易知①②④正确，对于③，对角线相等且平分时的四边形是矩形，只满足相等不是矩形．故③错误．答案：①②④3．推断“函数f(x)＝2x－x2有三个零点”是否为命题．若是命题，是真命题还是假命题？说明理由．解：这是一个可以推断真假的陈述句，所以是命题，且是真命题．函数f(x)＝2x－x2的零点即方程2x－x2＝0的实数根，也就是方程2x＝x2的实数根，即函数y＝2x，y ＝x2的图象的交点的横坐标，易知指数函数y＝2x的图象与抛物线y＝x2有三个交点，所以函数f(x)＝2x－x2有三个零点．。

命题的四种否定形式一﹑对不含有基本逻辑联结词的命题的否定不含有基本逻辑联结词的命题的否定要同时对时量词(全称量词或特称量词)与判断词同时否定，例如命题“对任意实数x，都有x2＋4＞0”的否定是“存在一个实数x，使得x2＋4≤0”；命题“至少有一个锐角α，使cosα＝0”的否定是“对所有的锐角α，都有cosα≠0”．作命题否定时，不能把省略量词的全称命题的全称量词忽略了，例如命题“自然数的平方大于零”的否定不是“自然数的平方不大于零”，而是“存在一个自然数的平方不大于零”，因为此命题忽略了全称量词“所有的自然数”．二﹑对非命题⌝p的否定“⌝p”是对命题“p”的否定，命题“⌝p”与命题“p”的真假正好相反．对“⌝p”的否定，就是对命题“p”的否定之否定，因此，命题“p”与命题“⌝(⌝p)”具有相同的真值，逻辑学上称为逻辑等价或等价命题．故“p”可作为“⌝p”的否定（有特殊要求的除外）．例如命题“2不是有理数”的否定是“2是有理数”，命题“不是每个人都会上网”的否定是“并非不是每个人都会上网”即“每个人都会上网”．三﹑对命题p∧q的否定用联结词“且（∧）”联结两个命题p、q构成的新命题“p∧q”．当且仅当p、q皆真时为真．命题(p∧q)的否定可根据“⌝(p∧q)＝(⌝p)∨(⌝q)”来写，例如命题“2是质数且是偶数”的否定为“2不是质数或不是偶数”；命题“某小学至少有一个同学既不会打篮球又不会踢足球”的否定为“某小学所有的同学或者会打篮球或者会踢足球”，即“某小学没有一个同学既不会打篮球又不会踢足球”．四、对命题（p∨q）的否定用联结词“或（∨）”联结两个命题p、q，构成的新命题“p∨q”，当且仅当p、q皆假时p∨q为假．命题（p∨q）的否定可根据“⌝(p∨q)＝(⌝p)∧(⌝q)”来写，例如，命题“323是2的倍数或是3的倍数”的否定为“323不是2的倍数且不是3的倍数”；命题“全班同学都是优秀学生或共青团员”的否定是“全班同学中至少有一个同学不是优秀学生且不是共青团员”．。

【新人教A版】高中数学选修2-1教案第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.1.1 命题（一）教学目标１、知识与技能：理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题，能判断命题的真假；能把命题改写成“若p，则q”的形式；２、过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；３、情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

（二）教学重点与难点重点：命题的概念、命题的构成难点：分清命题的条件、结论和判断命题的真假教具准备：与教材内容相关的资料。

教学设想：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

（三）教学过程学生探究过程：1．复习回顾初中已学过命题的知识，请同学们回顾：什么叫做命题？2．思考、分析下列语句的表述形式有什么特点？你能判断他们的真假吗？（1）若直线a∥b，则直线a与直线b没有公共点．（2）2+4=7．（3）垂直于同一条直线的两个平面平行．（４）若x2=1,则x=1．（５）两个全等三角形的面积相等．（６）３能被２整除．3．讨论、判断学生通过讨论，总结：所有句子的表述都是陈述句的形式，每句话都判断什么事情。

其中（1）（3）（5）的判断为真，（2）（4）（6）的判断为假。

教师的引导分析：所谓判断，就是肯定一个事物是什么或不是什么，不能含混不清。

4．抽象、归纳定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．命题的定义的要点：能判断真假的陈述句．在数学课中，只研究数学命题，请学生举几个数学命题的例子．教师再与学生共同从命题的定义，判断学生所举例子是否是命题，从“判断”的角度来加深对命题这一概念的理解．5．练习、深化判断下列语句是否为命题？（１）空集是任何集合的子集．（２）若整数a是素数，则是a奇数．（３）指数函数是增函数吗？（４）若平面上两条直线不相交，则这两条直线平行．（５）2)2(＝－２．（６）x＞１５．让学生思考、辨析、讨论解决，且通过练习，引导学生总结：判断一个语句是不是命题，关键看两点：第一是“陈述句”，第二是“可以判断真假”，这两个条件缺一不可．疑问句、祈使句、感叹句均不是命题．解略。