第一课时 成比例线段和比例的基本性质.pptx.ppt

5
3∶5
a,b,c,d是成比例线段，其中a=3cm,b=2cm,c=6cm, 求线段d的长。
d=4cm
①若a=148 mm，b=220 mm，求a∶b；
②若a=148 mm，b=22 cm，求 a∶b．
解 : 1. a 148mm 37 ;
b 220mm 55
2. a 148mm 148mm 37 .
2
AE AD
AB 2 AD 2
2，
开平方，得 AB （2 AB 2舍去）
AD
AD
原来矩形长边与短边的比为 2∶1.
已知a、b、c、d是成比线段,a=4cm, b=6cm,d=9cm,则c=____
如果2x 5y,那么 x ________ y
3.把mn pq写成比例式.写错的是
A. m p qn
A
CB
解：设一份为k，这样AC=5k，CB=3k，则AB=8k ∴AC∶AB=5k∶8k=5∶8， AB∶CB=8k∶3k=8∶3．
如图，在平行四边形ABCD中，∠B=30°， AD=10．AE为BC边上的高，垂足E为BC中点．
求:AE∶BC．
A
D
解：在Rt△ABE中,B=300
∴AB=2AE.
B
的值。你发现了什么？
成比例线段
议一议
如果a,b,c,d四个数成比例，即
a b
c d
，那么
ad=bc吗？反过来,如果ad=bc，那么a,b,c,d四个
数成比例吗？与同伴交流。
比例的基本性质
如果
,那么ad=bc。
如果ad=bc(a,b,c,d都不等于0)，那么
.
例1 如图，一块矩形绸布的长AB=am,宽AD=1m，

在建筑设计中的应用
在建筑设计中，比例线段的应用同样 不可忽视。建筑师需要利用比例来协 调各个部分之间的关系，以创造和谐 、平衡的建筑外观。
例如，在建筑设计图中，建筑师会使 用比例尺来表示实际建筑与设计图纸 之间的比例关系，以确保施工过程中 的准确性。
在地图绘制中的应用
在地图绘制中，比例线段的应用至关重要。地图上的比例尺可以帮助我们了解地 图上的距离与实际距离之间的比例关系。
比例线段的等比性
总结词
比例线段的等比性是指两条线段的长度比值是常数，与线段所在的位置无关。
详细描述
如果两条线段AB和CD的长度比值是常数k，即$frac{AB}{CD} = k$，那么无论这 两条线段在平面上的位置如何变化，它们的长度比值始终保持为k。这个性质在 解决几何问题时非常有用。
比例线段的传递性
02 比例线段的性质
CHAPTER
比例线段的相似性
总结词
比例线段的相似性是指两条线段在长度上成比例，且夹角相 等。
详细描述
如果两条线段AB和CD在长度上成比例，即$frac{AB}{CD} = k$（k为常数），并且它们之间的夹角相等，那么这两条线段 被称为相似的。相似线段在几何学中具有很多重要的性质和 应用。
利用代数方法计算
总结词
利用代数方法，通过建立方程式来求解比例线段问题。
详细描述
代数方法是解决比例线段问题的另一种常用方法。通过建立方程式来表示比例线段的关 系，我们可以求解未知的线段长度。这种方法适用于解决一些涉及比例线段的代数问题
。
05 练习与思考
CHAPTER
基础练习题
基础题目1
已知线段a=10cm，b=5cm， c=2.5cm，d=5cm，判断线段a 、b、c、d是否成比例。

D． 6
C．
课堂新授

例2 已知＝＝ ，则 ＋ ＝_______.






解题秘方：紧扣“比例的基本性质”用消元法或
参数法求解.
课堂新授
解：方法一


由 ＝ ，得y＝ .



由 ＝ ，得z＝2x.

方法二
易知k ≠
易知x ≠ 0，∴原式＝

设 ＝ ＝ ＝k，∴
课堂新授




如： ＝ ＝来自 →(b1－2b2＋3b3

－

－＋
＝
＝ →
＝

－ －＋
≠ 0).
课堂新授
例1 [母题 教材 P63 练习 T1]已知四个实数a，b，c，d成
比例，其中a＝2，b＝4，c＝5，则d等于(
5-1. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，
也蕴含着“黄金分割” . 如图 5-1，点 P 为线段
AB 的黄金分割点( AP ＞ PB)，则下列结 论中正
确的是 (
D )
A. AB2 ＝ AP2+BP2 B. BP2 ＝ AP·BA
C.


=
－

D.


=
－

课堂新授
例6 如图3.1-2，已知点C是线段AB的黄金分割点，且
解题秘方：根据黄金分割的定义，利用黄金分割
比进行计算 .
解：∵点 C 是靠近点 B 的黄金分割点， AB ＝ 80 cm，
∴ AC=
－

AB ＝(40 － 40) cm.
∵点 D 是靠近点 A 的黄金分割点， AB ＝ 80 cm，

E B F A B
）
C
图2
C
A、 AE = AF AB AC
B 、 AE = EF AB BC D、 BE = CF AB AC
C、 BE = AE CF AF
A ③在图3中， 若△ADE∽△ACB则__________ 若__________则△ADE∽△ACB 在图4中若△ACD∽△ABC， 则————————
B
B
C （E）
A
A
D
D B C(E) B E C
C
A P •O D
C B A P O • B A （B） O • C （D）
D
P
B A P C • O D P C A （B）
O •
D
2. 基本方法 （1）直接应用上述基本图形的性质；
（或）转化应用上述基本图形的性质
( 2 ) 寻找第三比（中间比）转化：
若a/b=m/n,c/d=e/f,且m/n=e/f,则a/b=c/d
等比性质
2、平行线分线段成比例定理 A B C D E F 若AD//BE//CF， 则AB：BC=DE：EF
3、相似三角形 性质定理 如果 Δ ABC ∽ Δ DEF， 那么AB：DE=BC：EF=AC：DF B 判定定理 如果△ ABC和△ DEF中， AB/DE=AC/DF，且∠ A= ∠ D， 则△ ABC∽ △ DEF . 如果△ ABC和△ DEF中，AB/DE= BC/EF=AC/DF，则△ ABC∽ △ DEF.
A
D
又∵AD=AE ,∴CM=CE.
M P BP BD ∴ = CP CE
B
C 说明:作平行线应用“平行线分线段成比例定理”证明线段 成比例是常用解题技巧.本例还有其它作平行线的方法

《比例的基本性质》PPT 课件
比例的定义、表示方法和基本性质是数学中重要的概念。了解比例的基本性 质，可以帮助我们更好地理解和应用比例在实际问题中。
比例的定义
比例是指两个或多个量之间的相对关系。在比例中，两个量之间的比值保持 不变。
举例来说，如果两个物体的长度成比例是2:5，那么无论这两个物体的实际长 度是多少，它们的比值都是2:5。
问题一
已知三个数成比例是3:4:6，如果 第一个数是12，求第三个数。
问题二
已知两个数的比例是5:8，如果第 一个 第一个数是6，求第二个数。
总结与展望
通过本课件的学习，我们了解了比例的定义、表示方法和基本性质。掌握比 例的基本性质对于解决实际问题和进一步学习数学非常重要。
在接下来的学习中，我们将深入研究比例的应用和相关的数学概念，提高解 题能力和数学思维。
在一个比例中，如果两条线段与一条射线成比例， 那么这两条线段的延长线必然交于同一点。
同角三角形的性质
在比例中，两个三角形的对应角度相等。
解题技巧
1
步骤一
根据题目中给出的数据，确定比例的比
步骤二
2
较对象。
利用比例的性质和已知信息进行推理和
计算。
3
步骤三
验证计算结果，并进行必要的调整和修 正。
例题分析
比例的表示方法
1 冒号表示法：
比例可以使用冒号来表示。例如，2:5表示一个比例。
2 分数表示法：
比例也可以使用分数来表示。例如，2/5表示一个比例。
比例的基本性质
相等比例的性质
如果两个比例相等，它们的对应项之间的比值也 相等。
反比例的性质
如果两个比例呈反比关系，它们的对应项的乘积 始终相等。
三线共点定理

去发现大千世界中奇妙无比的黄金分割吧！
b a
=
d c
b d
=
a c
7
勇于探索
已知
ac bd
，判断下列比例式是否
成立,并说明理由．
(1) a －b c －d (2) a a c
bd
b bd
比例式变形的常用方法:
利用等式性质
设比值
8
应用稳固
1.已知 a b3 ,求下列算式的值. b3 4
(1) 2a b b
(2) 3a 4b a 5b
z2
12
黄金分割 两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现： 将一条线段〔AB〕分割成大小两条线段〔AP、PB〕， 假设小段与大段的长度之比等于大段的长度与全长之比
， 即PB:AP=AP:AB，那么可得出这一比值等于0．618…． 这种分割称为黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点.
雅典帕德嫩神庙：包含黄金矩形的建筑 物，它是世界上最美丽的建筑之一
连女神维纳 斯的雕像上 也都烙有
自然界中的黄金分割 “0.618”的印
记
为什么人们会关注黄金分割呢？那是因为人们认为这个分割 点是分割线段时最优美的、最令人赏心悦目的点．
自古希腊以来，黄金分割就被视为最美丽的几何学比率，并 广泛地用于建造神殿和雕刻中．但在比古希腊还早2000多年所 建的金字塔中，它就已被采用了．文明古国埃及的金字塔，形 似方锥，大小各异．但这些金字塔的高与底面的边长的比都接 近于0．618．不仅在建筑和艺术中，就是在日常生活中，黄金 分割也处处可见．如演员在舞台上表演，站在黄金分割点上， 台下的观众看上去感觉最好．有人发现，人的肚脐高度和人体 总高度的比也接近黄金比．就连普通树叶的宽与长之比，蝴蝶 身长与双翅展开后的长度之比也接近0．618．还有黄金矩形、 黄金三角形〔顶角为36°的等腰三角形〕等，五角星中更是充 满了黄金分割．

7
像这样，对于四条线段a、b、c、d，
如 两果条其线中段两的条比线，段如的a长度c的（比或等a∶于b另＝外
c∶d），
bd
那么，这四条线段叫做成比例线段，简
称比例线段．此时也称这四条线段成比
例．
8
注意：
1、单位统一
2、顺序性：
称a,b,c,d成比例
ac(或a:bc:d)
bd
ac(或a:dc:b) 称a, d,c,b 成比例 db
3
线段的比：
如果选用同一个长度单位量得两条线段
AB,CD的长度分别是m、n，那么这两条线段的
比就是它们长度的比，即AB:CD=m:n或写
成 AB m.其中，线段AB,CD分别叫做这个线段
CD n
比的前项、后项.如果把 么 AB K ，或AB=k﹒CD.
mm nn
表示成比值k,那
CD
4
五边形 ABCDE与五边形A’B’C’D’E’形状相 同，AB=5cm，A’B’=3cm。AB:A’B’=5 : 3，
a c
b=d
ad bc cb = da .
34
练习2—1：如果 AE·BF=AF·BE，
那么
AE AF =
BE BF
，
AE BE =
AF BF
，
BE BF
=
AE AF
，
BE AE
=
BF AF
，
BF AF
=
BE AE
，
BF BE
=
AF AE
，
AF AE
=
BF BE
，
AF BF
=
AE BE
；
35
说明： 同时对调比例式两边的比的前后项， 比例式仍然成立 (比值变了).

3．如图，在 △ABC 中，AB = 12 cm，AE = 6 cm，
EC = 5 cm，且 AD = AE ，求 AD 的长． DB EC
下课了!
注：四条线段成比例与这四条线段的排列顺序有关。
比例外项
其中a : b c : d
比例内项
当比例内项相等时，即 a b (或 a : b b : c) bc
那么b叫作a，c的比例中项
问三题、：比如果例a的、基b、本c、性d 质四个数成比例，
即a bBiblioteka c d，那么ad＝bc 吗？反过来，如果ad
n
CD
例题1：
五边形 ABCDE与五边形 A’B’C’D’E’形状相同， AB=5cm，A’B’=3cm。 请问：线段AB与线段A’B’ 的比是多少？
注： 1、这个比值刻画了这两个五边形的大小关系。 2、线段的比要统一单位长度。
做一做
如图，设小方格的边长为1，四边形ABCD 与四边形EFGH的顶点都在格点上，那么 AB,AD,EH,EF的长度分别是多少？分别
计算 AB 、AD、AB 、EH 的值。你发 EH EF AD EF
现了什么？
二、成比例线段：四条线段a、b、c、d中，如果a与
b的比等于c与d的比，即
a b

dc（或a∶b＝c∶d）
，那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简
称比例线段，也称这四条线段成比例。
练习 已知线段a=1cm，b=2cm，c=3cm，d=6cm。问：a、b、c、 d是不是成比例线段？
＝bc，那么a、b、c、d 四个数成比例吗？
三、比例的基本性质
如果 a c ，那么ad＝bc．
bd
如果ad＝bc(a、b、c、d都不等于0)，那么

3b 2 1b
3
2
2
a 3x 3x 3 a b 3x 2x x
如图，将一张矩形纸片沿它的长边 对折（EF为折痕），得到两个全等的小 矩形。如果小矩形长边与短边的比等于 原来矩形长边与短边的比，那么原来矩 形的长边与短边的比是多少？
D
F
C
A
E
B
D
F
C
A
E
B
C C C
B C
1、线段的比： 即两条线段的长度比。
2、反过来如果ad=bc，那么a,b,c,d四个
数成比例，即 a c 吗 ？
bd
如果ad＝bc（ a、b、c、d 都不等于0），
那么 a c（或a : b c : d）
bd
1.如果-2x=5y，那么
x
-5
____2 ___
y
2.若ad bc ,则下列比例错误的是（C ）A.Leabharlann a b cdAD = 1 m．
由
AE
AD
，得
1 3
a
1
，
AD AB 1 a
1
即 a2 = 1．
3
∴ a2 = 3．
开平方，得 a = 3 （a = － 3 舍去）．
1、一把矩形米尺，长1m,宽3cm，则这把米尺的长和宽的比
A 为（ ）
A、100：3 B 、1:3 C、10:3 D、1000:3
2、甲、乙两地相距35km，图上距离为7cm,则这张图的比例
花一花样一美样丽美，丽感，谢感你谢的你阅的读阅。读。 87、满勇放招气眼损通前，往方谦天，受堂只益，要。怯我懦们20通继:30往续2地，0:3狱收0。获:17的270.季:1340节.22就00:23在00T前:1u7方e7s.。d1a42y.02,.0J72u.10ly4T12u40e,.s72d.01a24y02, 0Ju.7ly.1144。, 2020年7月14日星期二二〇二〇年七月十 花一样美丽，感谢你的阅读。 四日

用于解决几何问题
成比例线段可以用于解决许多几何问题，例如求线段的长度、角度等。
02
成比例线段的种类
等比例线段
定义
等比例线段是长度成比例的线段，其中两个端点之间的距离 与一个端点之间的距离成比例。
性质
等比例线段的长度比为常数，即线段上任意两个点的距离之 比等于同一线段上两个端点之间的距离之比。
不等比例线段
三角形相似定理
如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边成比例， 那么这两个三角形相似。
成比例线段与中点坐标的关系
中点坐标公式
如果一个点在一条直线上，那么这条直线的中点坐标就是这条直线两端点坐 标的平均值。
中点坐标与成比例线段的关系
如果两个线段成比例，那么它们的中点坐标的比值也成比例。
成比例线段与相似三角形的判定
利用对称轴绘制
准备工具
纸张或电子设备、圆规、直尺
绘制第一条线段
在对称轴的一侧，使用直尺和圆规，按照 比例中的第一个长度，绘制第一条线段
确定对称轴
确定需要绘制成比例线段所在的对称轴
绘制第二条线段
在另一侧的对称位置，使用相同的方法， 绘制第二条线段
04
成比例线段的应用
在几何中的应用
相似三角形的判定
绘制第二条线段
使用圆规，按照比例中的第二个长 度，绘制第二条线段
利用软件工具绘制
准备工具
打开绘图软件
计算机、绘图软件（如 Microsoft Office 中的 PowerPoint、Excel 等）
打开相应的软件，并选择适当的画布尺寸
选择线段工具
在工具栏中选择直线或线条工具
绘制成比例线段
根据软件中提供的比例工具或通过输入长度 值，绘制成比例线段