长郡2016年澄池杯初赛数学试卷

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F第2题图EDBAC第2题图2016年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷（考试时间:2016年3月4日下午3：00—5：00）班级:: 姓名： 成绩:考生注意:1、本试卷共五道大题，全卷满分140分；2、用圆珠笔、签字笔或钢笔作答;3、解题书写不要超出装订线;4、不能使用计算器。

一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1、已知实数a 、b 满足31|2||3|=+-+-+-a a b a ，则b a +等于（ ）A 、1-B 、2C 、3D 、52、如图，点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上,BE 、CD 相交于点F ,设四边形EADF 、BDF ∆、BCF ∆、CEF ∆的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S ，则31S S 与42S S 的大小关系为( ）A 、4231S S S SB 、4231S S S S =C 、4231S S S SD 、不能确定3、对于任意实数a ，b ,c ，d ,有序实数对（a ,b ）与（c ，d )之间的运算“*"定义为： ()*b a ，()=d c ，()bc ad bd ac +-，。

长郡教育集团2015-2016学年初一年级统一考试数学试卷时量：120分钟满分：120分2016年1月20日一、选择题（每小题3分，共30分）1、2 的相反数是（）。

A 、2 B 、2C 、2D 、122、如果1 是b 的平方根，那么2015b等于（）。

A 、1 B 、1 C 、2015 D 、13、下列等式变形正确的是（）。

A 、如果a b ，那么b a B 、如果6x ，那么3xC 、如果33x y ，那么0x yD 、如果mx my ，那么x y 4、如图，下列说法错误的是（）。

A 、A 和C 是同旁内角B 、1 和3 是同位角C 、2 和3 是内错角D 、3 和B 是同旁内角5、在市委、市政府的领导下，全市人民齐心协力，将长沙成功地创建为“全国文明城市”，为此小红特制作了一个正方体玩具，其展开图如图所示，那么在原正方体的表面上，与“文”字相对的面上标的字应是（）。

A 、全B 、明C 、城D 、国6、若一个60°的角绕顶点旋转15°，则重叠部分的角的大小是（）。

A 、15°B 、30°C 、45°D 、75°7、下列语句错误的是（）。

A 、连接两点的线段的长度叫做两点间的距离B 、两直线平行，同旁内角互补C 、若两个角有公共顶点且有一条公共边，和等于平角，则这两个角为领补角D 、平移变换中，各组对应点连成两线段平行且相等8、湖南省首届中学生运动会在长沙举行，其中足球比赛的积分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。

若一个队打了14场比赛得17分，其中负了5场，那么这个队胜了（）场。

A 、3B 、4C 、5D 、69、如图，AB ∥DE ，12 ，则AE 与DC 的位置关系是（）。

A 、平行B 、相交C 、垂直D 、不能确定10、长沙红星大市场某种高端品牌的家用电器，若按标价打八折销售该电器一件，则可获利500元，其利润率为20%。

长郡双语2015—2016学年初三第一次月考数学试卷选择题（30分）1、函数y = ）A x ＞1B x ≥1C x ＜1D x ≤12、如图，将三角板的直角顶点放在直角尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数为（ ）A 20°B 30°C 50°D 80°3、下列计算，不正确的是（ ）A —2x +3x =xB 6xy 2÷2xy =3yC （—2x 2y ）3=—6x 6y 3D 2xy 2（—x ）=—2x 2y 24、当x =1时，ax +b +1的值是—2，则（a +b —1）（1—a —b ）的值为（ ）A —16B —8C 8D 165、如图，一只蚂蚁从O 点出发，沿着扇形OAB 的边缘匀速爬行一周，设蚂蚁的运动时间为t ，蚂蚁到O 点的距离为S ，则S 关于t 的函数图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．6、若点（a ,b ）在函数y =—2x+250的图像上，则（2b a +）的值为（ ） A 250 B —250 C 125 D —1257、若关于x 的一元二次方程kx 2—2x —1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A k ＞—1B k ＜1且k ≠0C k ≥—1且k ≠0D k ＞—1且k ≠08、如图是二次函数y=ax 2+bx +c 的部分图象，由图象可知不等式ax 2+bx +c ＜0的解集是（ ）A ．—1＜x ＜5B ．x ＞5C ．x ＜—1且x ＞5D ．x ＜—1或x ＞59、如图，正方形ABCD 的边长为6，点E 、F 分别在AB 、AD 上，若CE ECF =45°，则CF的长为（ ） A B C D 10、如图，在半径为10的圆O 中，AB ，CD 是互相垂直的两条弦，垂足为P ，且AB =CD =16，则OP的长为（ ）A 6 B C D 8填空题（18分）11．光的速度大约是300000千米/秒，将300000用科学记数法表示为_____________．12．计算：1013(3)3p -+---= 。

第三单元函数第十二课时反比例函数及其应用基础达标训练1. (2017台州)已知电流I(安培)、电压U(伏特)、电阻R(欧姆)之间的关系为I＝U R，当电压为定值时，I关于R的函数图象是()2. 反比例函数y＝kx(k>0)，当x<0时，图象在()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限第3题图3. (2017广东省卷)如图所示，在同一平面直角坐标系中，直线y＝k1x(k1≠0)与双曲线y＝k2x(k2≠0)相交于点A，B两点，已知点A的坐标为(1，2)，则点B的坐标是()A. (－1，－2)B. (－2，－1)C. (－1，－1)D. (－2，－2)4. 在同一平面直角坐标系中，函数y＝mx＋m(m≠0)与y＝mx(x≠0)的图象可能是()5. (2017兰州)如图，反比例函数y＝kx(x<0)与一次函数y＝x＋4的图象交于A，B两点，A，B两点的横坐标分别为－3，－1，则关于x的不等式kx<x＋4(x<0)的解集为()A. x<－3B. －3<x<－1C. －1<x<0D. x<－3或－1<x<0 第5题图6. (2017天津)若点A(－1，y1)，B(1，y2)，C(3，y3)在反比例函数y＝－3x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是()A. y1<y2<y3B. y2<y3<y1C. y3<y2<y1D. y2<y1<y37. (2017济宁)请写出一个过点(1，1)，且与x轴无交点的函数解析式：____________．8. (2017哈尔滨)已知反比例函数y＝3k－1x的图象经过点(1，2)，则k的值为________．9. (2017南宁)对于函数y ＝2x ，当函数值y <－1时，自变量x 的取值范围________． 10. (2017陕西)已知A ，B 两点分别在反比例函数y ＝3m x (m ≠0)和y ＝2m －5x (m ≠52)的图象上，若点A 与点B 关于x 轴对称，则m 的值为________．11. (2017连云港)设函数y ＝3x 与y ＝－2x －6的图象的交点坐标为(a ，b )，则1a ＋2b 的值是________．12. (2017南京)函数y 1＝x 与y 2＝4x 的图象如图所示，下列关于函数y ＝y 1＋y 2的结论：①函数的图象关于原点中心对称；②当x <2时，y 随x 的增大而减小；③当x >0时，函数的图象最低点的坐标是(2，4)，其中所有正确结论的序号是________．第12题图 第13题图13. (2017绍兴)如图，Rt △ABC 的两个锐角顶点A ，B 在函数y ＝kx (x >0)的图象上，AC ∥x 轴，AC ＝2.若点A 的坐标为(2，2)，则点B 的坐标为________． 14. (8分)(2017湘潭)已知反比例函数y ＝kx 的图象过点A (3，1)．(1)求反比例函数的解析式；(2)若一次函数y＝ax＋6(a≠0)的图象与反比例函数的图象只有一个交点，求一次函数的解析式．15. (8分)如图，已知反比例函数y＝kx的图象经过点A(4，m)，AB⊥x轴，且△AOB的面积为2.(1)求k和m的值；(2)若点C(x，y)也在反比例函数y＝kx的图象上，当－3≤x≤－1时，求函数值y的取值范围．第15题图16. (8分)如图，一次函数y＝k1x＋b与反比例函数y＝k2x的图象交于A(2，m)，B(n，－2)两点．过点B作BC⊥x轴，垂足为C，且S△ABC＝5.(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)根据所给条件，请直接写出不等式k1x＋b＞k2x的解集；(3)若P(p，y1)，Q(－2，y2)是函数y＝k2x图象上的两点，且y1≥y2，求实数p的取值范围．第16题图17. (8分)(2017河南)如图，一次函数y＝－x＋b与反比例函数y＝kx(x>0)的图象交于点A(m，3)和B(3，1)．(1)填空：一次函数的解析式为______________，反比例函数的解析式为______________；(2)点P是线段AB上一点，过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，若△POD的面积为S，求S的取值范围．第17题图能力提升训练1. 如图，A ，B 两点在反比例函数y ＝k 1x 的图象上，C ，D 两点在反比例函数y ＝k 2x 的图象上，AC ⊥y 轴于点E ，BD ⊥y 轴于点F ，AC ＝2，BD ＝1，EF ＝3，则k 1－k 2的值是( ) A. 6 B. 4 C. 3 D. 22. (2017云南)已知点A (a ，b )在双曲线y ＝5x 上，若a 、b 都是正整数，则图象经过B (a ，0)、C (0，b)两点的一次函数的解析式(也称关系式)为__________．第3题图3. (2017烟台)如图，直线y ＝x ＋2与反比例函数y ＝kx 的图象在第一象限交于点P ，若OP ＝10，则k 的值为________．4. (2017宁波)已知△ABC 的三个顶点为A (－1，－1)，B (－1，3)，C (－3，－3)，将△ABC 向右平移m(m >0)个单位后，△ABC 某一边的中点恰好落在反比例函数y ＝3x 的图象上，则m 的值为________．5. (2017成都)在平面直角坐标系x O y 中，对于不在坐标轴上的任意一点P (x ，y )，我们把点P ′(1x ，1y )称为点P 的“倒影点”．直线y ＝－x ＋1上有两点A ，B ，它们的倒影点A ′，B′均在反比例函数y ＝kx 的图象上，若AB ＝22，则k ＝__________． 6. (8分)(2017德阳)如图，函数y ＝⎩⎨⎧2x ，（0≤x≤3）－x ＋9，（x ＞3）的图象与双曲线y ＝k x (k≠0，x ＞0)相交于点A (3，m)和点B . (1)求双曲线的解析式及点B 的坐标；(2)若点P 在y 轴上，连接P A ，PB ，求当P A ＋PB 的值最小时点P 的坐标．第6题图拓展培优训练1. (2016长郡第二届澄池杯)如图，直线y ＝x ＋4与双曲线y ＝kx (k ≠0)相交于A (－1，a )、B 两点，在y 轴上找一点P ，当P A ＋PB 的值最小时，点P 的坐标为________．第1题图 第2题图2. 如图，已知点(1，3)在函数y ＝kx (x ＞0)的图象上．正方形ABCD 的边BC 在x 轴上，点E 是对角线BD 的中点，函数y ＝kx (x ＞0)的图象又经过A 、E 两点，则点E 的横坐标为________．答案 1. C 【解析】 当电压为定值时，I ＝U R为反比例函数，且R >0，I >0，∴只有第一象限有图象．2. C 【解析】∵在反比例函数y ＝kx 中，k ＞0，∴反比例函数图象在第一、三象限内，∴当x ＜0时，函数图象在第三象限．3. A 【解析】如题图，A 、B 两点是关于原点对称的，又∵A 的坐标是(1，2)，∴B 的坐标是(－1, －2)．4. D 【解析】当m ＜0时，函数y ＝mx ＋m 的图象经过第二、三、四象限，函数y ＝mx 的图象位于第二、四象限；当m ＞0时，函数y ＝mx ＋m 的图象经过第一、二、三象限，函数y ＝mx 的图象位于第一、三象限，故选D.5. B 【解析】kx <x ＋4(x <0)表示x <0时，反比例函数图象在一次函数图象下方时x 的取值范围，∵反比例函数图象与一次函数图象交于A 、B 两点，点A 和点B 的横坐标分别为－3，－1，∴由函数图象可知，kx <x ＋4(x <0)的解集为：－3<x <－1.6. B 【解析】∵点A 、B 、C 在反比例函数图象上，将点A (－1，y 1)，B (1，y 2)，C (3，y 3)分别代入y ＝－3x 得，y 1＝－3－1＝3，y 2＝－31＝－3，y 3＝－33 ＝－1，∴y 2＜y 3＜y 1. 7. y ＝1x8. 19. －2<x <0 【解析】∵y ＜－1，即2x ＜－1，∴2x ＋1＜0，整理得x (x ＋2)＜0，解得－2＜x ＜0.10. 1 【解析】设A (x ，y )，则B (x ，－y )，∵A 在y ＝3mx 上，B 在y ＝2m －5x 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3m x －y ＝2m －5x，∴3m x ＋2m －5x ＝0，∴m ＝1.11. －2 【解析】∵点(a ，b )是函数y ＝3x 与y ＝－2x －6的图象的交点，∴b ＝3a ，b ＝－2a －6，即ab ＝3，2a ＋b ＝－6，则1a ＋2b ＝b ＋2a ab ＝－63＝－2.12. ①③ 【解析】由函数图象可知①正确；由反比例函数在y 轴两边增减性不一样，故②错误；∵x ＞0，∴y ＝x ＋4x ＝(x)2＋(2x )2－4＋4＝(x －2x)2＋4，当x ＝2x时，函数有最小值，此时x ＝2，y ＝4，故函数图象最低点的坐标为(2，4)，正确结论的序号是①③.13. (4，1) 【解析】∵点A (2，2)在函数y ＝k x (x ＞0)的图象上，∴2＝k2，得k ＝4，∵在Rt △ABC 中，AC ∥x 轴，AC ＝2，∴点B 的横坐标是4，∴y ＝44＝1，∴点B 的坐标为(4，1)．14. 解：(1)将点A (3，1)代入反比例函数解析式中，得1＝k3， ∴k ＝3，∴反比例函数的解析式为y ＝3x ； (2)已知一次函数y ＝ax ＋6(a ≠0)， 联立两个解析式得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x y ＝ax ＋6， 整理得ax 2＋6x －3＝0①，∵一次函数与反比例函数图象只有一个交点，则①式中Δ＝62－4a ×(－3)＝0，解得a ＝－3≠0，∴一次函数解析式为y ＝－3x ＋6.15. 解：(1)k ＝xy ＝2S △OAB ＝2×2＝4，将点A (4，m)代入y ＝4x ，得m ＝1；(2)当x ＝－3时，y ＝－43； 当x ＝－1时，y ＝－4，∴－4≤y ≤－43. 16. 解：(1)将A (2，m )，B(n ，－2)代入y ＝k 2x 得k 2＝2m ＝－2n ，即m ＝－n ，则A (2，－n )，如解图，过A 作AE ⊥x 轴于E ，过B 作BF ⊥y 轴于F ，延长AE 、BF 交于D ，第16题解图∵A (2，－n)，B (n ，－2)，∴BD ＝2－n ，AD ＝－n ＋2，BC ＝2，∵S △ABC ＝12·BC ·BD ，∴12×2×(2－n)＝5，解得n ＝－3， 即A (2，3)，B (－3，－2)，将A(2，3)代入y ＝k 2x 得k 2＝6，即反比例函数的解析式是y ＝6x ，把A (2，3)，B(－3，－2)代入y ＝k 1x ＋b 得⎩⎨⎧3＝2k 1＋b －2＝－3k 1＋b ， 解得k 1＝1，b ＝1，∴一次函数的解析式是y ＝x ＋1；(2)不等式k 1x ＋b ＞k 2x 的解集是－3＜x ＜0或x ＞2；(3)分为两种情况：当点P 在第三象限时，要使y 1≥y 2，实数P 的取值范围是P ≤－2；当点P 在第一象限时，要使y 1≥y 2，实数P 的取值范围是P ＞0，综上所述，P 的取值范围是P ≤－2或P ＞0.17. 解：(1)y ＝－x ＋4，y ＝3x ；(2)由(1)得3＝3m ，解得m ＝1，∴A 点坐标为(1，3)，设P 点坐标为(a ，－a ＋4)(1≤a ≤3)，则S ＝12OD ·PD ＝12a (－a ＋4)＝－12(a －2)2＋2，∵－12＜0， ∴当a ＝2时，S 有最大值，此时S ＝－12×(2－2)2＋2＝2， 由二次函数的性质得，当a ＝1或3时，S 有最小值，最小值为－12×(1－2)2＋2＝32， ∴S 的取值范围是32≤S ≤2. 能力提升训练1. D 【解析】设点A (m ，k 1m )、点B (n ，k 1n )，则点C(k 2m k 1，k 1m )、点D (k 2n k 1，k 1n )，∵AC ＝2，BD ＝1，EF ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －k 2m k 1＝2k 2n k 1－n ＝1k 1m －k 1n ＝3，解得k 1－k 2＝2.2. y ＝－5x ＋5或y ＝－15x ＋1 【解析】∵点A (a ，b ) 在双曲线y ＝5x 上，∴b ＝5a ，∵a ，b 都是正整数，∴a ＝1，b ＝5或a ＝5，b ＝1.①当a ＝1，b ＝5时，B (1，0)，C (0，5)，设一次函数的解析式为y ＝k 1x ＋b 1(k 1≠0)，把B (1，0)，C (0，5)代入，得⎩⎨⎧k 1＋b 1＝0b 1＝5，解得⎩⎨⎧k 1＝－5b 1＝5，∴一次函数的解析式为y ＝－5x ＋5；②当a ＝5，b ＝1时，设一次函数解析式为y ＝k 2x ＋b 2(k 2≠0)，把B (5，0)，C (0，1)代入，得⎩⎨⎧5k 2＋b 2＝0b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝－15b 2＝1，∴一次函数的解析式为y ＝－15x ＋1，综上所述，一次函数的解析式为y ＝－5x ＋5或y ＝－15x ＋1. 3. 3 【解析】设点P (m ，m ＋2)，由OP ＝10，可得m 2＋(m ＋2)2＝(10)2，∵m ＞0，解得m ＝1，又∵点P (1 ，3)在y ＝k x 的图象上，∴k ＝3.4. 0.5或4 【解析】分两种情况讨论：①若为AC 中点(－2，－2)向右平移m个单位后落在图象上，则有点(m －2，－2)在y ＝3x 上，代入得－2＝3m －2，∴m ＝0.5；②若为AB 中点(－1，1)向右平移m 个单位后落在图象上，则有点(m －1，1)在y ＝3x 上，代入得1＝3m －1，∴m ＝4，∴m 为0.5或4. 5. －43【解析】设A 、B 的坐标分别为：A (a ，－a ＋1)，B(b ，－b ＋1)，∵AB ＝22，∴(a －b)2＋(－a ＋1＋b －1)2＝(22)2，∴a －b ＝±2，由倒影点的定义得A ′(1a ，11－a )，B ′(1b ，11－b )，又∵A ′、B ′都在函数y ＝k x 上，∴k ＝1a （1－a ）＝1b （1－b ），则a (1－a )＝b (1－b )，整理得(a －b)(1－a －b)＝0，∵a －b ＝±2，∴1－a －b ＝0，即a ＋b ＝1，解方程组⎩⎨⎧a ＋b ＝1a －b ＝2与⎩⎨⎧a ＋b ＝1a －b ＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32b ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12b ＝32，∴k ＝1a （1－a ）＝－43. 6. 解：(1)∵A (3，m )在直线y ＝2x 上，∴m ＝2×3＝6，∴A (3，6)，∵A (3，6)在双曲线y ＝k x 上，∴k ＝3×6＝18，∴双曲线的解析式为y ＝18x ，当x >3时，联立解析式得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋9y ＝18x ， 得⎩⎨⎧x ＝6y ＝3或⎩⎨⎧x ＝3y ＝6(舍去)， ∴点B 的坐标为(6，3)；(2)如解图，作A 关于y 轴的对称点A ′(－3，6)，第6题解图连接PA′，∵PA ′＝PA ，∴PA ＋PB ＝PA ′＋PB ≥A′B ，当A ′，P ，B 三点共线，即P 在A′B 与y 轴的交点P ′处时，PA ＋PB 取到最小值，∵A ′(－3，6)，B (6，3)，∴AB ＝（6＋3）2＋（3－6）2＝310，∴PA ＋PB 的最小值是310，设直线A′B 的函数关系式为y ＝kx ＋b ，已知直线过点A ′(－3，6)，B (6，3)，代入得⎩⎨⎧6＝－3k ＋b 3＝6k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－13b ＝5， ∴y ＝－13x ＋5，令x ＝0，得y ＝5，∴P ′(0，5)，∴当PA ＋PB 取到最小值310时，点P 的坐标为(0，5)．拓展培优训练1. (0，52) 【解析】把点A 坐标代入y ＝x ＋4，得－1＋4＝a ，∴a ＝3，即A (－1，3)，把点A 坐标代入双曲线的解析式得3＝－k ，解得k ＝－3，联立函数解析式得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋4y ＝－3x ，解得⎩⎨⎧x 1＝－1y 1＝3(舍)，⎩⎨⎧x 2＝－3y 2＝1，即点B 坐标为(－3，1)，如解图，作点A 关于y 轴的对称点C ，则点C 坐标为(1，3)，连接BC ，与y 轴的交点即为点P ，使得PA ＋PB 的值最小，设直线BC 的解析式为y ＝ax ＋b ，把B ，C 坐标代入得⎩⎨⎧－3a ＋b ＝1a ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝52，∴直线BC 解析式为：y ＝12x ＋52，令x ＝0，y ＝52，即点P 的坐标为(0，52)．第1题解图2. 6 【解析】∵点(1，3)在函数y ＝k x 图象上，代入得：k ＝3，即y ＝3x ，设A (a ，b)，由题意知E (a ＋b 2，b 2)，又∵函数图象在第一象限，经过点A 、E ，分别代入得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝3b 2（a ＋b 2）＝3，解得⎩⎨⎧a ＝62b ＝6或⎩⎨⎧a ＝－62b ＝－6(舍)，∴点E 的横坐标为a ＋b 2＝ 6.。

湖南省2016届高三四校联考试题数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{}322≥-=x x x P ，{}42<<=x x Q ，那么=Q P （） A ．)4,3[ B ．]3,2( C ．)2,1(- D ．]3,1(-2.以下命题中，是真命题的是（）A ．0,00≤∈∃x eR x B ．22,x R x x >∈∀C ．已知b a ,为实数，那么0=+b a 的充要条件是1-=ba D ．已知b a ,为实数，那么1,1>>b a 是1>ab 的充分条件3.以下四个命题中：①在回归分析中，可用相关指数2R 的值判定模型的拟合成效，2R 越大，模拟的拟合成效越好；其中真命题的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4 4.已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a b y a x C 的离心率为25，那么C 的渐近线方程为（） A ．x y 41±= B ．x y 31±= C ．x y 21±= D ．x y ±= 5.已知⎰=211xdx S ，⎰=212dx e S x ，⎰=2123dx x S ，那么321,,S S S 的大小关系为（） A ．321S S S << B ．231S S S << C ．123S S S << D ．132S S S <<6.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F 若a AC =，b BD =，那么=AF （）A ．b a 2141+B ．b a 4121+C ．b a 3132+D ．b a 3221+7.将函数x y 2cos =的图象向左平移4π个单位，取得函数x x f y cos )(⋅=的图象，那么)(x f 的表达式能够是（） A ．x x f sin 2)(-= B ．x x f sin 2)(=C ．x x f 2sin 22)(=D ．)2cos 2(sin 22)(x x x f += 8.某程序框图如下图，现将输出),(y x 值依次记为：⋅⋅⋅⋅⋅⋅),,(,),,(),,(2211n n y x y x y x 假设程序运行中输出的一个数组是)10,(-x ，那么数组中的=x （）A ．32B ．24C ．18D ．169.在直角坐标系中，P 点的坐标为)54,53(，Q 是第三象限内一点，1=OQ 且43π=∠POQ ，那么Q 点的横坐标为（）A ．1027-B ．523-C ．1227-D ．1328- 10.某几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为（）A ．6311B ．3C ．335D ．334 11.现概念θθθsin cos i ei +=，其中i 为虚数单位，e 为自然对数的底数，R ∈θ，且实数指数幂的运算性质对θi e 都适用，假设θθθθθ4452325505sin cos sin cos cos C C C a +-=，θθθθθ4553235415sin sin cos sin cos C C C b +-=，那么复数bi a +等于（）A ．θθ5sin 5cos i +B ．θθ5sin 5cos i -C ．θθ5cos 5sin i +D ．θθ5cos 5sin i -12.已知函数x x x x f ln )(+=，假设Z k ∈，且)()2(x f x k <-对任意的2>x 恒成立，那么k 的最大值为（）A ．3B ．4C ．5D ．6第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上）13.假设抛物线)0(22>=p px y 的准线通过双曲线122=-y x 的一个核心，那么=p _____.14.已知实数x 、y 知足⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤--≤0220332y x y x y ，那么目标函数y x z +=3的最大值为______.15.假设函数2)(2-+=x a x x f 在),0(+∞上单调递增，那么实数a 的取值范围是______.16.已知平面四边形ABCD 为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在直线，其余各边均在此直线的同侧），且2=AB ，4=BC ，5=CD ，3=DA ，那么平面四边形ABCD 面积的最大值为______. 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤.）17.（本小题总分值12分）已知数列{}n a 与{}n b 知足))((211*++∈-=-N n b b a a n n n n .（1）若11=a ，53+=n b n ，求数列{}n a 的通项公式；（2）若61=a ，)(2*∈=N n b n n 且λλ22++>n a n n 对一切*∈N n 恒成立，求实数λ的取值范围.18.（本小题总分值12分）如图，四棱锥ABCD P -中， 90=∠=∠BAD ABC ，AD BC 2=，PAB ∆与PAD ∆都是等边三角形.（1）证明：CD PB ⊥；（2）求二面角B PD A --的余弦值.19.（本小题总分值12分）“依照《中华人民共和国道路交通平安法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在mL mg 100/80~20（不含80）之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在mL mg 100/80（含80）以上时，属醉酒驾车.”2015年“7夕”晚8时开始，长沙市交警队在解放路一交通岗前设点，对过往的车辆进行抽查，通过4个小时共查出喝过酒的驾车者60名.以下图是用酒精测试仪对这60名驾车者血液中酒精浓度进行检测后所得结果画出的频率散布直方图.（1）求这60名驾车者中属醉酒驾车的人数；（图中每组包括左端点，不包括右端点）（2）求这60名驾车者血液的酒精浓度的平均值；（3）将频率散布直方图中的七组从左到右依次命名为第一组，第二组，...,第七组，在第五组和第七组的所有人中抽出两人，记他们的血液酒精浓度别离为x 、)100/(mL mg y ，那么事件10≤-y x 的概率是多少？20.（本小题总分值12分） 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知1F 、2F 别离是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E 的左、右核心，B A ,别离是椭圆E 的左、右极点，)0,1(D 为线段2OF 的中点，且522=+BF AF .（1）求椭圆E 的方程；（2）若M 为椭圆E 上的动点（异于点A 、B ），连接1MF 并延长交椭圆E 于点N ，连接MD 、ND 并别离延长交椭圆E 于点P 、Q ，连接PQ .设直线MN 、PQ 的斜率存在且别离为1k 、2k .试问是不是存在常数λ，使得021=+k k λ恒成立？假设存在，求出λ的值；假设不存在，说明理由.21.（本小题总分值12分）已知函数e e bx ax x f x ()12()(2-++=为自然对数的底数).（1）若21=a ，求函数)(x f 的单调区间； （2）若1)1(=f ，且方程1)(=x f 在)1,0(内有解，求实数a 的取值范围.请考生在2二、23、24三题中任选一题作答，若是多做，那么按所做的第一题记分.22.（本小题总分值10分）选修4-1：几何证明选讲如图，EP 交圆于C E ,两点，PD 切圆于G D ,为CE 上一点且PD PG =，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F .（1）求证：AB 为圆的直径；（2）若BD AC =，求证：ED AB =.23.（本小题总分值10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为t t y t x (213231⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系，圆C 的极坐标方程为)6sin(4πθρ-=.（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）若),(y x P 是直线l 与圆面)6sin(4πθρ-≤的公共点，求y x +3的取值范围.24.（本小题总分值10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数a a x x f +-=2)(.（1）假设不等式6)(≤x f 的解集为{}32≤≤-x x ，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，假设存在实数n 使)()(n f m n f --≤成立，求实数m 的取值范围.湖南省2016届高三四校联考试题数学（理科）参考答案一、选择题ADBCB CAAAB AB6.C 【解析】∵=，=，∴21212121+=+=+=，因为E 是OD 的中点，∴31=EB DE ，因此AB DF 31=， ∴b a BD AC AC BD OA OB AB DF 61616161))21(21(31)(3131-=-=---⨯=-==， b a b a b a DF AD AF 3132********+=-++=+=.应选C . 7.A 【解析】将函数x y 2cos =的图象向左平移4π个单位，取得函数x x x y 2sin )22cos()]4(2cos[-=+=+=ππ的图象，因为x x x cos sin 22sin -=-，因此x x f sin 2)(-=.8.A 【解析】运行第一次，输出)0,1(，3=n ，2=x ，2-=y ；运行第二次，输出)2,2(-，5=n ，4=x ，4-=y ；运行第三次，输出)4,4(-，7=n ，8=x ，6-=y ；运行第四次，输出)6,8(-，9=n ，16=x ，8-=y ；运行第五次，输出)8,16(-，11=n ，32=x ，10-=y ；运行第六次，输出)10,32(-，13=n ，64=x ，12-=y .因此选A .9.A 【解析】设α=∠xOP ，那么53cos =α，54sin =α，10272254)22(53)43cos(-=⋅--⋅=+=παQ x 10.B 【解析】由三视图可知该几何体是一个四棱锥，其直观图如下图，设E 为AD 的中点，那么AD BE ⊥.⊥PE 平面ABCD ，PAD ∆为正三角形，四棱锥的底面是直角梯形，上底1，下底2，高2；棱锥的高为3，∴体积33]2)21(21[31=⨯⨯+⨯⨯=V ，应选B.【解析】（θθθsin cos i e i +=其实为欧拉公式）)sin (sin cos )sin (cos sin cos )sin (cos cos 55544532352325415505θθθθθθθθθθi C C i C C i C C bi a ++--+=+)sin ()sin (cos )sin (cos )sin (cos )sin (cos cos 555544453323522325415505θθθθθθθθθθi C i C i C i C i C C +++++=θθθθθθ5sin 5cos )()sin (cos 555i e e i i i +===+=⨯.【解析】先画x x x x f ln )(+=的简图，设)2(-=x k y 与x x x x f ln )(+=相切于)2))((,(>m m f m M 因此2)()(-='mm f m f ，即2ln ln 2-+=+m m m m m ，可化为0ln 24=--m m ， 设m m m g ln 24)(--=，因为08)(22<-=e e g ，010)(33>-=e e g ，因此32e m e <<，)5,4(ln 2)(∈+='m m f 又Z k ∈，因此4max =k ，选B.二、填空题13.22 【解析】抛物线)0(22>=p px y 的准线方程是2p x -=，双曲线122=-y x 的一个核心)0,2(1-F ，因为抛物线)0(22>=p px y 的准线通过双曲线122=-y x 的一个核心，因此22-=-p ，解得22=p ，因此答案应填：22.14.7 【解析】作出可行域如下图：作直线03:0=+y x l ，再作一组平行于0l 的直线z y x l =+3:，当直线l 通过点M 时，y x z +=3取得最大值，由⎩⎨⎧==--2033y y x 得：⎪⎩⎪⎨⎧==235y x ，因此点M 的坐标为)2,35(，因此72353max =+⨯=z . 15.]0,4[- 【解析】∵2)(2-+=x a x x f ，∴⎩⎨⎧<+-≥-+=2,22,2)(22x a ax x x a ax x x f ，又∵)(x f 在),0(+∞上单调递增，∴040222≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-a a a ，即实数a 的取值范围是]0,4[-.D D x cos 3034cos 53253222-=⨯⨯-+=，即7cos 8cos 15=-B D ①，又平面四边形ABCD 面积为)sin 15sin 8(21sin 5321sin 4221D B D B S +=⨯⨯+⨯⨯=， 即S D B 2sin 15sin 8=+②.①②平方相加得 2404)cos(240449)cos cos sin (sin 2402256422-=+-+=-++S D B S D B D B ，当π=+D B 时，S 取最大值302.16.【解析】（1）因为)(211n n n n b b a a -=-++，53+=n b n ，因此6)5383(2)(211=--+=-=-++n n b b a a n n n n ， .............4分因此{}n a 是等差数列，首项为11=a ，公差为6，即56-=n a n . ..........6分（2）因为n n b 2=，因此1112)22(2+++=-=-n n n n n a a ，当2≥n 时，112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-+⋅⋅⋅+-+-=--+226222121+=++⋅⋅⋅++=+-n n n ， ...........8分当1=n 时，61=a ，符合上式，因此221+=+n n a ， ...........9分由λλ22++>n a n n 得1122122+++=+>n n n n n λ， .................10分 021221111≤-=-++++n n n n n n ， 因此当2,1=n 时，122++n n n 取最大值43， 故λ的取值范围为),43(+∞. ...............12分18.【解析】（1）取BC 的中点E ，连接DE ，那么ADEB 为正方形，过P 作⊥PO 平面ABCD ，垂足为O ，连接OD OE OB OA ,,,， ................................2分由PAB ∆和PAD ∆都是等边三角形可知PD PB PA ==，因此OD OB OA ==，即点O 为正方形ADEB 对角线的交点. .....................4分故BD OE ⊥，从而⊥OE 平面PBD ，因此PB OE ⊥，因为O 是BD 的中点，E 是BC 的中点，因此CD OE ∥，因此CD PB ⊥. ...................6分（2）由（1）可知，OP OB OE ,,两两垂直.以O 为原点，OE 方向为x 轴正方向，OB 方向为y 轴正方向，OP 方向为z 轴正方向，成立如下图的直角坐标系xyz O -， ....................7分 设2=AB ，那么)0,0,2(-A ，)0,2,0(-D ，)2,0,0(P ，)0,2,2(-=，)2,0,2(=， .......................8分设平面PAD 的法向量),,(z y x =，022=-=⋅y x ，022=+=⋅z x ，取1=x ，得1,1-==z y ，即)1,1,1(-=n ， ....................10分因为⊥OE 平面PBD ，设平面PBD 的法向量为，取)0,0,1(=m ，由图象可知二面角B PD A --的大小为锐角， ...................11分因此二面角B PD A --的余弦值为3331cos ===θ. .............12分 19.【解析】（1）依题意知醉酒驾车者即血液酒精浓度在mL mg 100/80（含80）以上者，共有36005.0=⨯人， .........................3分（2）由图知60名驾车者血液的酒精浓度的平均值)100/(4705.0851.0751.06515.0552.04515.03525.025mL mg =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. ...7分（3）第五组和第七组的人别离有：61.060=⨯人，305.060=⨯人. ........9分10≤-y x 即选的两人只能在同一组中.2136315)10(292326=+=+=<-C C C y x P . .................12分20.【解析】（1）∵522=+BF AF ，∴F AF 225=.∵)(5c a c a -=+，化简得c a 32=，点)0,1(D 为线段2OF 的中点，∴2=c ，从而5,3==b a ，左核心)0,2(1-F ，故椭圆E 的方程为15922=+y x . ............5分 （2）存在知足条件的常数λ，74-=λ， 设),,(),,(),,(),,(44332211y x Q y x P y x N y x M那么直线MD 的方程为1111+-=y y x x ，代入椭圆方程1592=+x ，整理得， 0415112211=--+-y y x y y x . .............7分 ∵5)1(11131--=+x x y y y .∴54113-=x y y ， 从而595113--=x x x ，故点)54,595(1111---x y x x P ， ........8分 同理，点)54,595(2222---x y x x Q . ................9分∵三点N F M ,,1共线，∴222211+=+x y x y ， 从而)(2211221y y y x y x -=-. ...............10分 从而47)(4)(7)(4)(5595595545412121212112211211221143432k x x y y x x y y y x y x x x x x x y x y x x y y k =--=--+-=--------=--=. .....11分 故07421=-k k ，从而存在知足条件的常数λ，74-=λ. .............12分 21.【解析】（1）当21=a ，x e bx x x f -++=)1()(2，x e b x b x x f --+-+-=']1)2([)(2， .....1分 令0)(='x f ，得11=x ，b x -=12.当0=b 时，0)(≤'x f . ...........2分当0>b ，11<<-x b 时，0)(>'x f ，b x -<1或1>x 时，0)(<'x f ； ......3分当0<b ，b x -<<11时，0)(>'x f ，b x ->1或1<x 时，0)(<'x f .因此，0=b 时，)(x f 的单调递减区间为),(+∞-∞；0>b 时，)(x f 的单调递增区间为)1,1(b -，递减区间为)1,(b --∞，),1(+∞；0<b 时，)(x f 的单调递增区间为)1,1(b -，递减区间为)1,(-∞，),1(+∞-b . .....4分（2）由1)1(=f 得e b a =++12，a e b 21--=，由1)1(=f 得122++=bx ax e x ，设12)(2---=bx ax e x g x ， 则)(x g 在)1,0(内有零点.设0x 为)(x g 在)1,0(内的一个零点，那么由0)1(,0)0(==g g 知)(x g 在区间),0(0x 和)1,(0x 上不可能单调递增，也不可能单调递减，设)()(x g x h '=，那么)(x h 在区间),0(0x 和)1,(0x 上均存在零点，即)(x h 在)1,0(上至少有两个零点. ...........5分b ax e x g x --='4)(，a e x h x 4)(-='. 当41≤a 时，0)(>'x h ，)(x h 在区间)1,0(上递增，)(x h 不可能有两个及以上零点； ......6分 当4e a ≥时，0)(<'x h ，)(x h 在区间)1,0(上递减，)(x h 不可能有两个及以上零点； ......7分 当441e a <<时，令0)(='x h 得)1,0()4ln(∈=a x ，因此)(x h 在区间))4ln(,0(a 上递减，在)1),4(ln(a 上递增，)(x h 在区间)1,0(上存在最小值))4(ln(a h . ............8分若)(x h 有两个零点，那么有：0))4(ln(<a h ，0)0(>h ，0)1(>h . ........9分)441(1)4ln(46)4ln(44))4(ln(e a e a a a b a a a a h <<-+-=--= 设)1(,1ln 23)(e x e x x x x <<-+-=ϕ，那么x x ln 21)(-='ϕ，令0)(='x ϕ，得e x =. 当e x <<1时，0)(>'x ϕ，)(x ϕ递增，当e x e <<时，0)(<'x ϕ，)(x ϕ递减，01)()(max <-+==e e e x ϕϕ，因此0))4(ln(<a h 恒成立. ..........10分由0221)0(>+-=-=e a b h ，04)1(>--=b a e h ，得2122<<-a e . 当2122<<-a e 时，设)(x h 的两个零点为21,x x ，那么)(x g 在),0(1x 递增，在),(21x x 递减，在)1,(2x 递增，因此0)0()(1=>g x g ，0)1()(2=<g x g ，那么)(x g 在),(21x x 内有零点.综上，实数a 的取值范围是)21,22(-e . ........12分 22.证明：（1）∵PD PG =，∴PGD DG P ∠=∠，∵PD 为切线，∴DBA DA P ∠=∠. ....2苦恼 ∵GA E PGD ∠=∠，∴EGA DBA ∠=∠，∴BAD EGA BAD DBA ∠+∠=∠+∠，∴PFA BDA ∠=∠， .............4分∵EP AF ⊥，∴ 90=∠PFA ，∴ 90=∠BDA ，∴AB 为圆的直径. .......5分（2）连接DC BC ,，∵AB 为圆的直径，∴ 90=∠=∠ACB BDA ， ................6分在BDA RT ∆与ACB RT ∆中，BA AB =，BD AC =，∴ACB RT BDA RT ∆≅∆，∴CBA DAB ∠=∠， .................7分∵DAB DCB ∠=∠，∴CBA DCB ∠=∠， ..........8分∴AB DC ∥，∵EP AB ⊥，∴EP DC ⊥，∴DCE ∠为直角，∴ED 为圆的直径， .......9分∵AB 为圆的直径，∴ED AB =. ..........10分23.【解析】（1）因为圆C 的极坐标方程为)6sin(4πθρ-=，因此)cos 21sin 23(4)6sin(42θθρπθρρ-=-=， ...............2分 又222y x +=ρ，θρcos =x ，θρsin =y ， 因此x y y x 23222-=+，因此圆C 的一般方程为032222=-++y x y x . .................5分（2）解法1：设y x z +=3，故圆C 的方程4)3()1(03222222=-++⇒=-++y x y x y x ，因此圆C 的圆心是)3,1(-，半径是2， 将⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=t y t x 213231代入y x z +=3得t z -=， 又直线l 过)3,1(-C ，圆C 的半径是2，因此22≤≤-t ，因此22≤-≤-t ，即y x +3的取值范围是]2,2[-. ...........10分 解法2：直线l 的参数方程化成一般方程为：23=+y x ， .......6分 由⎩⎨⎧=-++=+4)3()1(2322y x y x 解得)13,31(1+--P ，)13,31(2-+-P ， ..............8分 ∵),(y x P 是直线l 与圆面)6sin(4πθρ-≤的公共点，∴点P 在线段21P P 上，∴y x +3的最大值是2)13()31(3=-++-， 最小值是2)13()31(3-=++--， ∴y x +3的取值范围是]2,2[-. .........10分24.【解析】（1）由62≤+-a a x 得a a x -≤-62，∴a a x a -≤-≤-626， 即33≤≤-x a ，∴23-=-a ，∴1=a . ....................5分（2）由（1）知112)(+-=x x f ，令)()()(n f n f n -+=ϕ， 则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+≤≤--≤-=+++-=21,422121,421,4221212)(n n n n n n n n ϕ， .................8分 ∴)(n ϕ的最小值为4，故实数m 的取值范围是),4[+∞. ..............10分。

一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列各数中，有理数是（）A. √2B. πC. 3.14D. 0.1010010001……2. 若x² - 5x + 6 = 0，则x的值为（）A. 2，3B. 3，2C. 1，4D. 1，23. 已知三角形的三边长分别为3、4、5，则该三角形的面积是（）A. 6B. 8C. 10D. 124. 下列函数中，是反比例函数的是（）A. y = x²B. y = 2x + 3C. y = 3/xD. y = x³5. 在直角坐标系中，点A（2，3）关于x轴的对称点为（）A.（2，-3）B.（-2，3）C.（-2，-3）D.（2，-3）二、填空题（每题5分，共25分）6. 已知x + 2 = 5，则x = _______。

7. 若a、b、c为等差数列，且a + b + c = 9，则a² + b² + c² = _______。

8. 已知等腰三角形ABC中，AB = AC，且底边BC的长度为4，则腰长为 _______。

9. 若x² - 2x - 3 = 0，则x的值为 _______。

10. 在直角坐标系中，点P（-3，2）关于y轴的对称点为 _______。

三、解答题（每题15分，共45分）11. （10分）已知二次函数y = ax² + bx + c的图象开口向上，且顶点坐标为（-1，2）。

求该函数的解析式。

12. （10分）已知等腰三角形ABC中，AB = AC，底边BC的长度为6，底角B的度数为30°。

求该三角形的面积。

13. （15分）已知函数y = kx + b的图象经过点A（2，3）和点B（-1，0），求该函数的解析式。