平面向量数量积的坐标表示模夹角

平面向量数量积的坐标表示模夹角教学目标1．掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算．(重点)2．会运用向量坐标运算求解与向量垂直、夹角等相关问题．(难点)3．分清向量平行与垂直的坐标表示．(易混点)[基础·初探]教材整理　平面向量数量积的坐标表示、模、夹角阅读教材P 106“探究”以下至P 107例6以上内容，完成下列问题．1．平面向量数量积的坐标表示：设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ.数量积a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2向量垂直a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝02.向量模的公式：设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝．3．两点间的距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则＝AB→ ．（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）24．向量的夹角公式：设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 夹角为θ，则cos θ＝＝.a ·b|a |·|b |判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，满足x 1y 2－x 2y 1＝0，则向量a ，b 的夹角为0度．( )(2)两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．( )(3)若两个向量的数量积的坐标和小于零，则两个向量的夹角一定为钝角．( )解：(1)×.因为当x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a ，b 的夹角也可能为180°.(2)√.由向量数量积定义可知正确．(3)×.因为两向量的夹角有可能为180°.【答案】　(1)×　(2)√　(3)×[小组合作型]平面向量数量积的坐标运算　(1)(2016·安溪高一检测)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，x )，且a·b ＝－1，则x 的值等于( )A ． B ．－1212C ．D ．－3232(2)已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(3，2)，则a·b ＝________，a ·(a －b )＝________.(3)已知a ＝(2，－1)，b ＝(3，2)，若存在向量c ，满足a·c ＝2，b ·c ＝5，则向量c ＝________.根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系，利用数量积的坐标运算列出方程(组)来进行求解．解：(1)因为a ＝(1，2)，b ＝(2，x )，所以a·b ＝(1，2)·(2，x )＝1×2＋2x ＝－1，解得x ＝－.32(2)a·b ＝(－1，2)·(3，2)＝(－1)×3＋2×2＝1，a·(a －b )＝(－1，2)·[(－1，2)－(3，2)]＝(－1，2)·(－4，0)＝4.(3)设c ＝(x ，y )，因为a·c ＝2，b ·c ＝5，所以解得所以c ＝.{2x －y ＝2，3x ＋2y ＝5，){x ＝97，y ＝47，)(97，47)【答案】　(1)D (2)1　4　(3)(97，47)1．进行数量积运算时，要正确使用公式a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，并能灵活运用以下几个关系：|a|2＝a·a ；(a ＋b )(a －b )＝|a|2－|b|2；(a ＋b )2＝|a|2＋2a·b ＋|b|2.2．通过向量的坐标表示可实现向量问题的代数化，应注意与函数、方程等知识的联系．3．向量数量积的运算有两种思路：一种是向量式，另一种是坐标式，两者相互补充．[再练一题]1．设向量a ＝(1，－2)，向量b ＝(－3，4)，向量c ＝(3，2)，则向量(a ＋2b )·c ＝( )A．(－15，12)B．0C．－3D．－11解：依题意可知，a＋2b＝(1，－2)＋2(－3，4)＝(－5，6)，∴(a＋2b)·c＝(－5，6)·(3，2)＝－5×3＋6×2＝－3.【答案】　C向量的模的问题　(1)(2016·莱州期末)设平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|2a－b|等于( )A．4B．555C．3D．4(2)已知向量a＝(1，2)，b＝(－3，2)，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________.(1)两向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线的坐标表示：x1y2－x2y1＝0.x2＋y2(2)已知a＝(x，y)，则|a|＝.解：(1)由y＋4＝0知y＝－4，b＝(－2，－4)，∴2a－b＝(4，8)，∴|2a－b|＝4.故选D．5(2)由题意知，a＋b＝(－2，4)，a－b＝(4，0)，因此|a＋b|＝＝2，|a－b|＝4.（－2）2＋4255【答案】　(1)D　(2)2　4向量模的问题的解题策略：(1)字母表示下的运算，利用|a|2＝a 2将向量模的运算转化为向量的数量积的运算．(2)坐标表示下的运算，若a ＝(x ，y )，则|a|＝.x 2＋y 2[再练一题]2．已知向量a ＝(2x ＋3，2－x )，b ＝(－3－x ，2x )(x ∈R )，则|a ＋b|的取值范围为________.解：∵a ＋b ＝(x ，x ＋2)，∴|a ＋b|＝＝x 2＋（x ＋2）22x 2＋4x ＋4≥，2（x ＋1）2＋22∴|a ＋b|∈[，＋∞)．2【答案】　[，＋∞)2[探究共研型]向量的夹角与垂直问题探究1　设a ，b 都是非零向量，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ是a 与b 的夹角，那么cos θ如何用坐标表示？【提示】　cos θ＝＝.a ·b|a ||b |探究2　已知a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)，当a 与b 的夹角α为钝角时，λ的取值范围是什么？【提示】　∵a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)，∴|a |＝，|b |＝，a ·b ＝λ－1.21＋λ2∵a ，b 的夹角α为钝角，∴{λ－1<0，21＋λ2≠1－λ，)即{λ<1，λ2＋2λ＋1≠0，)∴λ<1且λ≠－1.∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1，1)．　(1)已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，k )，且a 与b 的夹角为锐角，则实数k 的取值范围是( )A ．(－2，＋∞)B ．∪(－2，12)(12，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－2，2)(2)已知a ＝(3，4)，b ＝(2，－1)，且(a ＋m b )⊥(a －b )，则实数m 为何值？(1)可利用a ，b 夹角为锐角⇔求解．{a·b >0a ≠λb )(2)可利用两非零向量a ⊥b ⇔a ·b ＝0来求m .解：(1)当a·b 共线时，2k －1＝0，k ＝，此时a ，b 方向相同，12夹角为0°，所以要使a 与b 的夹角为锐角，则有a·b>0且a ，b 不同向．由a·b ＝2＋k >0得k >－2，且k ≠，即实数k 的取值范围是12∪，选B ．(－2，12)(12，＋∞)【答案】　B(2)a ＋m b ＝(3＋2m ，4－m )，a －b ＝(1，5)，因为(a ＋m b )⊥(a －b )，所以(a ＋m b )·(a －b )＝0，即(3＋2m )×1＋(4－m )×5＝0，所以m ＝.2331．利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤：(1)求向量的数量积．利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积．(2)求模．利用|a|＝计算两向量的模．x 2＋y 2(3)求夹角余弦值．由公式cos θ＝求夹角余弦值．(4)求角．由向量夹角的范围及cos θ求θ的值．2．涉及非零向量a 、b 垂直问题时，一般借助a ⊥b ⇔a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＝0来解决．[再练一题]3．已知a ＝(1，2)，b ＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a 与b 的夹角为直角；(2)a 与b 的夹角为钝角；(3)a 与b的夹角为锐角．解：设a 与b 的夹角为θ，则a ·b ＝(1，2)·(1，λ)＝1＋2λ.(1)因为a 与b 的夹角为直角，所以cos θ＝0，所以a ·b ＝0，所以1＋2λ＝0，所以λ＝－.12(2)因为a 与b 的夹角为钝角，所以cos θ<0且cos θ≠－1，所以a ·b <0且a 与b 不反向．由a ·b <0得1＋2λ<0，故λ<－，12由a 与b 共线得λ＝2，故a 与b 不可能反向，所以λ的取值范围为.(－∞，－12)(3)因为a 与b 的夹角为锐角，所以cos θ>0，且cos θ≠1，所以a ·b >0且a ，b 不同向．由a ·b >0，得λ>－，由a 与b 同向得λ＝2，所以λ的取值范围12为∪(2，＋∞)．(－12，2)[构建·体系]1．已知a ＝(1，－1)，b ＝(2，3)，则a·b ＝( )A ．5B ．4C ．－2D ．－1【解析】　a·b ＝(1，－1)·(2，3)＝1×2＋(－1)×3＝－1.【答案】　D2．已知a ＝(－2，1)，b ＝(x ，－2)，且a ⊥b ，则x 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解：由题意，a·b ＝(－2，1)·(x ，－2)＝－2x －2＝0，解得x ＝－1.故选A ．【答案】　A3．(2016·邢台期末)平行四边形ABCD 中，＝(1，0)，AB→ ＝(2，2)，则·等于( )AC → AD → BD → A ．－4B ．－2C ．2D ．4解：·＝(－)·(－2)AD → BD → AC → AB → AC → AB → ＝＋2－3·AC 2→ AB 2→ AC→ AB → ＝8＋2－3×2＝4.故选D ．【答案】　D4．已知a ＝(3，－4)，则|a|＝________.解：因为a ＝(3，－4)，所以|a|＝＝5.32＋（－4）2【答案】　55．已知向量a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)，求：(1)a·b ；(2)(a ＋b )2；(3)(a ＋b )·(a －b )．解：(1)因为a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)，所以a·b ＝3×1＋(－1)×(－2)＝3＋2＝5.(2)a ＋b ＝(3，－1)＋(1，－2)＝(4，－3)，所以(a ＋b ) 2＝|a ＋b|2＝42＋(－3)2＝25.(3)a ＋b ＝(3，－1)＋(1，－2)＝(4，－3)，a －b ＝(3，－1)－(1，－2)＝(2，1)，(a ＋b )·(a －b )＝(4，－3)·(2，1)＝8－3＝5.学业分层测评[学业达标]一、选择题1．(2016·开封质检)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(x ，－2)，c ＝(0，2)，若a ⊥(b －c )，则实数x 的值为( )A ． B ．4334C ．－D ．－3443解：b －c ＝(x ，－4)，由a ⊥(b －c )知3x －4＝0，∴x ＝.故选A ．43【答案】　A2．(2016·马鞍山质检)已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(x ，4)，且a ∥b ，则|a －b|＝( )A ．5B ．335C ．2D ．252解：∵a ∥b ，∴4＋2x ＝0，∴x ＝－2，a －b ＝(1，－2)－(－2，4)＝(3，－6)，∴|a －b|＝3.故选B ．5【答案】　B3．已知向量a ＝(1，)，b ＝(－2，2)，则a 与b 的夹角是( )33A ．B ．π6π4C ．D ．π3π2解：设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝＝＝，a ·b|a||b|（1，3）·（－2，23）2×412解得θ＝.故选C ．π3【答案】　C4．若a ＝(2，3)，b ＝(－4，7)，则a 在b 方向上的投影为( )A ．B ．65565C ．D ．13513解：a 在b 方向上的投影为|a |cos<a ，b >＝＝＝＝.a ·b |b |（2，3）·（－4，7）（－4）2＋722×（－4）＋3×765655【答案】　A5．已知正方形OABC 两边AB ，BC 的中点分别为D 和E ，则∠DOE 的余弦值为( )A ．B ．1232C ．D ．3545解：以点O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设边长为1，则D ，E ，于是cos ∠DOE ＝(1，12)(12，1)＝.(1，12)(12，1)12＋(12)2 ·(12)2 ＋1245【答案】　D 二、填空题6．已知＝(－2，1)，＝(0，2)，且∥，⊥，则点OA → OB → AC → OB → BC → AB → C 的坐标是________．解：设C (x ，y )，则＝(x ＋2，y －1)，AC→ ＝(x ，y －2)，＝(2，1)．BC → AB→ 由∥，⊥，得AC→ OB → BC → AB → 解得{2（x ＋2）＝0，2x ＋y －2＝0，){x ＝－2，y ＝6，)∴点C 的坐标为(－2，6)．【答案】　(－2，6)7．(2016·德州高一检测)若向量a ＝(－2，2)与b ＝(1，y )的夹角为钝角，则y 的取值范围为________．解：若a 与b 夹角为180°，则有b ＝λa (λ<0)即，解得y ＝－1且λ＝－，所以b ≠λa (λ<0)时{1＝－2λy ＝2λλ<0)12y ≠－1；①若a 与b 夹角θ∈时，则只要a·b<0且b ≠λa (λ<0)．(π2，π)当a·b <0有－2＋2y <0解得y <1.②由①②得y <－1或－1<y <1【答案】　(－∞，－1)∪(－1，1)三、解答题8．已知＝(6，1)，＝(4，k )，＝(2，1)．AB → BC → CD→ (1)若A ，C ，D 三点共线，求k 的值；(2)在(1)的条件下，求向量与的夹角的余弦值．BC → CD → 解：(1)因为＝＋＝(10，k ＋1)，由题意知A ，C ，D 三AC→ AB → BC → 点共线，所以∥，所以10×1－2(k ＋1)＝0，即k ＝4.AC→ CD → (2)因为＝(2，1)，设向量与的夹角为θ，则cosθ＝CD → BC→ CD → ＝＝.BC→ ·CD →|BC→ ||CD → |1242×5310109．已知a ＝(1，1)，b ＝(0，－2)，当k 为何值时，(1)k a －b 与a ＋b 共线；(2)k a －b 与a ＋b 的夹角为120°.解：∵a ＝(1，1)，b ＝(0，－2)，k a －b ＝k (1，1)－(0，－2)＝(k ，k ＋2)，a ＋b ＝(1，1)＋(0，－2)＝(1，－1)．(1)∵k a －b 与a ＋b 共线，∴k ＋2－(－k )＝0，∴k ＝－1.即当k ＝－1时，k a －b 与a ＋b 共线．(2)∵|k a －b |＝，k 2＋（k ＋2）2|a ＋b |＝＝，12＋（－1）22(k a －b )·(a ＋b )＝(k ，k ＋2)·(1，－1)＝k －k －2＝－2，而k a －b 与a ＋b 的夹角为120°，∴cos 120°＝，（k a －b ）·（a ＋b ）|k a －b ||a ＋b |即－＝，12－22·k 2＋（k ＋2）2化简整理，得k 2＋2k －2＝0，解之得k ＝－1±.3即当k ＝－1±时，k a －b 与a ＋b 的夹角为120°.3[能力提升]1．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( )A ．B ．(79，73)(－73，－79)C ．D ．(73，79)(－79，－73)解：设c ＝(x ，y )，又因为a ＝(1，2)，b ＝(2，－3)，所以c ＋a ＝(x ＋1，y ＋2)，又因为(c ＋a )∥b ，所以有(x ＋1)·(－3)－2·(y ＋2)＝0，即－3x －2y －7＝0，①又a ＋b ＝(3，－1)，由c ⊥(a ＋b )得：3x －y ＝0，②由①②解得{x ＝－79，y ＝－73，)因此有c ＝.(－79，－73)【答案】　D2．(2016·徐州高一检测)在平面直角坐标系内，已知三点A (1，0)，B (0，1)，C (2，5)，求：(1)，的坐标；(2)|－|的值；(3)cos ∠BAC 的值．AB → AC → AB → AC→ 解：(1)＝(0，1)－(1，0)＝(－1，1)，AB→ ＝(2，5)－(1，0)＝(1，5)．AC→ (2)因为－＝(－1，1)－(1，5)＝(－2，－4)，AB→ AC → 所以|－|＝＝2.AB→ AC → （－2）2＋（－4）25(3)因为·＝(－1，1)·(1，5)＝4，AB→ AC → ||＝，||＝，AB → 2AC→ 26cos ∠BAC ＝＝＝.AB → ·AC →|AB→ ||AC → |42×2621313。