广东揭阳第三中学2020届疫情下第三次试（理科数学）试题高三数学（理科）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集为R ，集合{}220A x x x =-<，{}10B x x =-≥，则()R A B =（ ） A. {}01x x <≤B. {}01x x <<C. {}12x x ≤<D.{}02x x <<【答案】B 【解析】 【分析】根据集合间的交集运算，补集运算求解即可. 【详解】{}02A x x =<<，{}1B x x =≥(){}{}{}02101R A B x x x x x x ⋂=<<⋂<=<<故选：B【点睛】本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题. 2.i 是虚数单位，复数313iz i=+，则（ ）A. 1322z -=B. 34z =C. 3322z =- D.3344z i =+ 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算，模长公式求解即可. 【详解】333333444(13)(13)i i i z i i +===++-1122z -==，||2z == 故选：D【点睛】本题主要考查了复数的除法运算以及几何意义，属于基础题.3.已知,,a b c 满足312346,log 4,,5a b c ===则（ ） A. a b c <<B. b c a <<C. c a b <<D.c b a <<【答案】B 【解析】 【分析】根据指数与对数的性质，即可进行判断.【详解】3123464,1,log 42,1,015a abc c =>>==-=<<<，故a c b >> 故选：B【点睛】本题主要考查了指数与对数比较大小，属于中档题. 4.二项式261()2x x-的展开式中3x 的系数为（ ） A. 52-B.52C.1516D. 316-【答案】A 【解析】 【分析】根据二项式展开的通项，求解即可.【详解】通项为()()6212316611122r rrr rr rr T C x C xx --+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令1233r -=，则3r =，()333334615122T C x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭故选：A【点睛】本题主要考查了求指定项的系数，属于基础题.5.中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(2,1)-，则它的离心率为（ ）【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的性质，得出12b a =，再结合离心率公式，即可得出答案. 【详解】设双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，其渐近线为b y x a=±点()2,1-在渐近线上，所以12b a =，由2e == 故选：D【点睛】本题主要考查了求双曲线的离心率，属于中档题.6.某学校开展脱贫攻坚社会实践走访活动，学校安排了2名教师带队，4名学生参与，为了调查更具有广泛性，将参加人员分成2个小组，每个小组由1名教师和2名学生组成，到甲、乙两地进行调查，不同的安排方案共有（ ） A. 12种 B. 10种 C. 9种 D. 8种【答案】A 【解析】 【分析】将任务分三步完成，在每步中利用组合的方法计算，最后利用分步乘法计数原理，将结果相乘，即可得出答案.【详解】第一步，为甲地选一名老师，有122C =种选法； 第二步，为甲地选两个学生，有246C =种选法； 第三步，为乙地选1名老师和2名学生，有1种选法 故不同的安排方案共有26112⨯⨯=种 故选：A【点睛】本题主要考查简单组合问题的求解，属于中档题.7.函数()3cos x x f x x x -=+在-22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，的图像大致为（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，以及特殊值即可判断.【详解】因为()33()()()cos cos()x x x x f x f x x x x x ----==-=--+-+- 又定义域关于原点对称，故该函数为奇函数，排除B 和D.又21124f ππ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，故排除C . 故选：A.【点睛】本题考查函数图像的选择，通常结合函数的性质，以及特殊值进行判断即可.8.若,x y 满足4,20,24,x y x y x y +≤⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩则4y x -的最大值为（ ）A. 72-B. 52-C. 32-D. 1-【答案】D 【解析】 【分析】画出平面区域，结合目标函数几何意义，求解即可.【详解】该不等式组表示的平面区域，如下图所示4y x-表示该平面区域中的点(),x y 与(0,4)A 确定直线的斜率 由斜率的性质得出，当区域内的点为线段AB 上任意一点时，取得最大值.不妨取84(,)33B 时，4y x -取最大值443183-=- 故选：D【点睛】本题主要考查了求分式型目标函数的最值，属于中档题.9.在△ABC 中，D 是BC 中点，E 是AD 中点，CE 的延长线交AB 于点,F 则（ ）A. 1162DF AB AC =-- B. 1134DF AB AC =-- C. 3142DF AB AC =-+D. 1126DF AB AC =--【答案】A 【解析】 【分析】设AB AF λ=，由平行四边形法则得出144AE AF AC λ=+，再根据平面向量共线定理得出得出=3λ，由DF AF AD =-，即可得出答案.【详解】设AB AF λ=，111124444AE AB A A C A AC D F λ==+=+ 因为C E F 、、三点共线，则1=144λ+，=3λ所以1111132262DF AF AD AB AB AC AB AC =-=--=--故选：A【点睛】本题主要考查了用基底表示向量，属于中档题.10.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，22a =且对于任意1n >，*n N ∈满足()1121n n n S S S +-+=+，则（ ）A. 47a =B. 16240S =C. 1019a =D.20381S =【答案】D 【解析】 【分析】利用数列的递推关系式判断求解数列的通项公式，然后求解数列的和，判断选项的正误即可． 【详解】当2n 时，111112(1)22n n n n n n n n n S S S S S S S a a +-+-++=+⇒-=-+⇒=+．所以数列{}n a 从第2项起为等差数列，1,122,2n n a n n =⎧=⎨-⎩，所以，46a =，1018a =． 21()(1)(1)12n n a a n S a n n +-=+=-+，1616151241S =⨯+=，2020191381S =⨯+=．故选：D ．【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用、数列求和以及数列的通项公式的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．11.已知圆锥顶点为P ，底面的中心为O ，过直线OP 的平面截该圆锥所得的截面是面积为33 ）A. B. 3πC.D. 9π【答案】B 【解析】 【分析】根据正三角形的面积，得出圆锥的高为3，底面圆的直径为出答案.【详解】因为过直线12O O 的平面截该圆锥所得的截面是面积为设正三角形边长为a 2=，解得a =所以圆锥的高为3，底面圆的直径为所以该圆锥的体积为213332V ππ⎛=⨯⨯⨯= ⎝⎭． 故选：B【点睛】本题主要考查了求圆锥的体积，属于中档题.12.已知函数()2(cos cos )sin f x x x x =+⋅，给出下列四个命题：（ ） ①()f x 的最小正周期为π ②()f x 的图象关于直线π4x =对称 ③()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 ④()f x 的值域为[2,2]-其中所有正确的编号是（ ） A. ②④ B. ①③④ C. ③④ D. ②③【答案】C 【解析】 【分析】举反例判断①②；根据正弦函数的单调性判断③；讨论cos 0x ≥，cos 0x <时，对应的最值，即可得出()f x 的值域.【详解】()()2cos cos sin 2cos sin sin2f x x x x x x x =+⋅=+函数π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭4π03f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π4π33f f ⎛⎫⎛⎫≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数()f x 的最小正周期不是π，故①错误．由于6πf ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2π03f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴3π26πf f ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故()f x 的图象不关于直线π4x =对称，故排除②． 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，ππ2,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()2cos sin sin22sin2f x x x x x =+=，单调递增，故③正确．当cos 0x ≥时，()2cos sin sin22sin cos sin22sin2f x x x x x x x x =+=+= 故它的最大值为2，最小值为2-当cos 0x <时，()2cos sin sin22sin cos sin20f x x x x x x x =+=-+=， 综合可得，函数()f x 的最大值为2，最小值为2-，故④正确． 故选：C【点睛】本题主要考查了求正弦型函数的单调性以及值域，属于中档题.二、填空题：共4小题，每小题5分共20分，将答案填写在答题卷中的相应区域，答案写在．．．．试题卷上无效．．．．．．. 13.曲线ln y x =在点()10，处的切线方程为__________. 【答案】1y x =- 【解析】 【分析】利用切线的斜率是函数在切点处导数，求出切线斜率，再利用直线方程的点斜式求出切线方程．【详解】∵y ＝lnx ，∴1'y x=， ∴函数y ＝lnx 在x ＝1处的切线斜率为1， 又∵切点坐标为（1，0）， ∴切线方程为y ＝x ﹣1． 故答案为y ＝x ﹣1．【点睛】本题考查了函数导数的几何意义，利用导数研究曲线上某点切线方程，正确求导是关键．14.设△ABC 的内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若2cos cos sin b C c B a A +=，则A =__________.【答案】2π 【解析】 【分析】利用正弦定理求解即可.【详解】2cos cos sin b C c B a A +=，由正弦定理得3sin cos sin cos sin B C C B A +=()3sin +sin B C A =，3sin sin A A =,()0,,sin 0,sin 1A A A π∈∴≠=，则2A π=故答案为2π 【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，属于中档题.15.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知32=2+2a S ，43=2+2a S 则公比为q 为________. 【答案】3 【解析】 【分析】32=22a S +，43=2+2a S ，两式相减，即可得出公比.【详解】32=22a S +，43=2+2a S 以上相减可得433a a =，所以数列的公比为3q =， 故答案为3【点睛】本题主要考查了求等比数列的公比，属于基础题.16.已知函数())f x x =，若实数,a b 满足(1)()0f a f a ++=，则a =_______. 【答案】12- 【解析】 【分析】判断该函数的奇偶性以及单调性，即可求解. 【详解】函数()f x 的定义域为R1())))()f x x x x f x --===-=-则())lnf x x =为奇函数当0x ≥时，()0f x '=>，则函数()f x 在R 上单调递增 故()()()()()101f a f a f a f a f a ++=⇒+=-=-，1a a +=-，12a =- 故答案为12-【点睛】本题主要考查了函数单调性以及奇偶性的应用，属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.答案写在试题卷上无效．．．．．．．．．．17.在△ABC 中，角、、A B C 所对的边为a b c 、、，若22()3a c b ac +=+，点D 在边AB 上，且1BD =，DA DC =. （1）若BCD ∆CD 的长； （2）若AC =A ∠的大小. 【答案】（1；（2）18A π∠=或6A π∠=【解析】 【分析】（1）根据余弦定理得出3B π=，再由三角形面积公式得出2BC =，最后利用余弦定理即可得出CD 的长；（2）利用正弦定理，化简得出cos sin 23πθθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，利用诱导公式得出sin sin 223ππθθ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用正弦函数的性质，即可得出A ∠的大小.【详解】（1）又由()223a c b ac +=+可得222a c b ac +-=由余弦定理可得2221cos 222a cb ac B ac ac +-===，0B π<<所以3B π=因为BCD1sin 12BC BD B BD ⋅==，所以2BC = BCD 中,由余弦定理，得22212cos 4122132CD BC BD BC BD B =+-⋅=+-⨯⨯⨯= 所以CD =（2）由题意得设DCA A θ∠=∠= △ADC 中，由正弦定理，()sin 2sin AC CD A A π=-得CD = ① 在△BCD 中，由正弦定理sin sin CD BD B DCB=∠ 即11sin sin 2sin 2333CDπππθπθ==⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ② 由①②可得cos sin 23πθθ⎛⎫=+⎪⎝⎭即sin sin 223ππθθ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由223ππθθ-=+，解得18πθ=由2,23ππθθπ⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得.6πθ=故18A π∠=或6A π∠=.【点睛】本题主要考查了正弦定理以及余弦定理的应用，属于中档题. 18.在几何体ABCDE 中，2CAB π∠=，CD ⊥平面ABC ，BE ⊥平面ABC ，2AB AC BE ===，1CD =.（1）设平面ABE与平面ACD的交线为直线l，求证：l∥平面BCDE；（2）求二面角A DE B--的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）2 2【解析】【分析】（1）利用线面平行的判定定理以及线面平行的性质定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【详解】（1）因为CD⊥平面ABC，BE⊥平面ABC所以//CD BE又因为CD⊄平面ABE，BE⊂平面ABE，所以//CD平面ABEl=平面ABE平面ACD，CD⊂平面ACD，则//CD l又l⊄平面BCDE，CD⊂平面BCDE所以//l平面BCDE（2）建立如图所示的空间直角坐标系因为2CAB π∠=，2AB AC BE ===，1CD =.所以2222BC AC AB =+=则()0,0,0C ，)2,2,0A,()0,22,0B ,()0,0,1D ,()0,22,2E设平面ADE 的法向量为(),,n x y z =()2,2,1AD =--,()0,22,1DE =则0n AD n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即220,20x z z -+=+= 令22z =，则3,1xy，所以(3,1,22n =-设平面BCDE 的法向量为()1,,n x y z =()0,0,1CD =,()0,22,0CB =则110n CD n CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,220z y ==取1x =，则0y z ==所以()11,0,0n =1112cos ,2n n n n n n ⋅== 所以12,2sin n n =，故二面角A DE B --的正弦值22【点睛】本题主要考查了证明线面平行以及利用向量法求面面角，属于中档题.19.某学校开设了射击选修课，规定向A 、B 两个靶进行射击：先向A 靶射击一次，命中得1分，没有命中得0分，向B 靶连续射击两次，每命中一次得2分，没命中得0分；小明同学经训练可知：向A 靶射击，命中的概率为45，向B 靶射击，命中的概率为34，假设小明同学每次射击的结果相互独立.现对小明同学进行以上三次射击的考核. （1）求小明同学恰好命中一次的概率；（2）求小明同学获得总分X 的分布列及数学期望()E X . 【答案】（1）18；（2）分布列见解析，()195E X =【解析】 【分析】（1）根据事件的独立性以及互斥事件的性质，求解即可；（2）得出X 的可能取值，并得出相应的概率，得出分布列，即可得出数学期望()E X . 【详解】（1）记：“小明恰好命中一次”为事件C ，“小明射击A 靶命中”为事件D , “该射手第一次射击B 靶命中”为事件E ，“该射手第二次射击B 靶命中”为事件F ， 由题意可知()45P D =，()()34P E P F == 由于C DEF DEF DEF =++()()2434334331111154544544P C P DEF DEF DEF ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭18=； （2）X 可取0,1,2,3,4,5()211105480P X ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭，()241115420P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭()121133254440P X C ==⨯⨯⨯= ()124133354410P X C ==⨯⨯⨯=，()213945480P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()243955420P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭()113399190123458020401080205E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查了事件独立性的应用以及求离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题.20.如图，设F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左焦点，直线：2a x c=-与x轴交于P 点，AB 为椭圆的长轴，已知8AB =，且2PA AF =，过P 点作斜率为k 直线l 与椭圆相交于不同的两点M N 、 ，（1）当14k =时，线段MN 的中点为H ，过H 作HG MN ⊥交x 轴于点G ，求GF ； （2）求MNF ∆面积的最大值. 【答案】（1）2413；（2）33【解析】 【分析】（1）利用椭圆的性质得出椭圆方程，根据题意得出直线l 的方程，直线HG 的方程，进而得出2,013G ⎛⎫-⎪⎝⎭，由距离公式得出GF ； （2）设直线l 的方程为()8y k x =+，当0k =时，0MNF S ∆=，当0k ≠时，设1m k=，直线l 的方程为8x my =-，联立22811612x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，利用韦达定理以及弦长公式，得出222414m m MN +⋅-=. 【详解】（1）∵8AB =, ∴4a =，又∵2PA AF =，即()2222310aa a c e e c-=-⇒-+= ∴12e =∴2c =, 22212b a c =-= ∴椭圆的标准方程为2211612x y +=点P 的坐标为()8,0-，点F 的坐标为()2,0- 直线l的方程为()184y x =+ 即48x y =-联立224811612x y x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得21348360y y -+=，设1122,,M x y N x y ，()00,H x y则124813y y +=，123613y y = 所以12024213y y y +==，0024848481313x y =-=⨯-=- 直线HG 的斜率为4-，直线HG 的方程为24841313y x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭ 令0y =，解得213x =-即2,013G ⎛⎫- ⎪⎝⎭所以22421313G F GF x x ⎛⎫=-=---=⎪⎝⎭（2）直线l 的方程为()8y k x =+，当0k =时，三角形不存在 当0k ≠时，设1m k=，直线l 的方程为8x my =-联立22811612x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()2234481440m y my +-+=，设1122,,M x y N x y()()()2224843414457640m m m ∆=--+⨯=->，解得2m >或2m <-1224834m y y m +=+，12214434y y m =+MN == 点F 到直线l的距离d ==1122MNFS MN d ∆=⋅==7216=≤=当且仅当=，即m =时（此时适合于△＞0的条件）取等号,所以当114k m ==±时，直线l为)814y x =±+时，MNF ∆面积取得最大值为【点睛】本题主要考查了求椭圆的方程以及三角形面积问题，属于中档题.21.已知函数()()1ln 1f x x x =++，()ln 1xg x e x -=++（1）讨论()f x 的单调性；（2）设()()()h x f x g x =-，若()h x 的最小值为M ，证明：2211M e e--<<-. 【答案】（1）在0,上单调递增；（2）见解析【解析】 【分析】（1）利用导数证明单调性即可；（2）利用导数证明()h x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，从而得出()00000001ln ln ln 1x M h x x x x x x e==-=++，()210,x e e --∈ ，结合()f x 的单调性，即可证明2211M e e--<<-. 【详解】(1)()()1ln 1ln ln 1f x x x x x x =++=++()1ln 1f x x x +'=+， 设()()221111ln 1,x m x x m x x x x x -=++=-='()01m x x >'⇒>；()001m x x <⇒<<'所以()m x 在0,1上单调递减，在1,上单调递增()()min 120m x m ==>，即0fx所以()f x 在0,上单调递增(2) ()()()()1ln ln ln xx h x f x g x x x ex x x e --=-=+--=-()ln 1x h x e x -=++' ，设()ln 1x F x e x -=++()11x x xe x F x e x xe ='-=-+， 设()xG x e x =- ()10x G x e ='->，所以()G x 在0,上单调递增()()010G x G >=>，即()0F x '>，所以()F x 在0,上单调递增()()12120,10e e F eeF ee------=>=-<所以()F x 在0,上恰有一个零点()210,x e e--∈且()00ln 10*x e x -++=()h x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增()00000001ln ln ln 1x M h x x x x x x e==-=++，()210,x e e --∈ 由（1）知()0f x 在0,上单调递增所以()()()2102211f e f x f e e e ----=<<=- 所以2211M e e--<<-【点睛】本题主要考查了利用导数证明函数的单调性，以及利用导数证明不等式，属于较难题.22.在平面坐标系中xOy 中，已知直线l 的参考方程为82x t ty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的参数方程为22x sy ⎧=⎪⎨=⎪⎩（s 为参数）.设P 为曲线C 上的动点，（Ⅰ）求直线l 和曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）求点P 到直线l 的距离的最小值. 【答案】（Ⅰ）280x y -+=，24y x =【解析】 【分析】（Ⅰ）由直线l 的参数方程为8(2x t t ty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩为参数），消去参数t ，可得普通方程．由曲线C 的参数方程为22(x ss y ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）．消去参数s ，可得曲线C 直角坐标方程．（Ⅱ）设点(,)P x y ，则22(x ss y ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）．利用点到直线的距离公式可得：d ==【详解】（Ⅰ）由直线l 的参数方程为8(2x tt ty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩为参数），消去参数t ，可得：280x y -+=． 所以直线l 直角坐标方程为280x y -+=．由曲线C的参数方程为22(x s s y ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）．消去参数s ，可得：24y x =．所以曲线C 直角坐标方程为24y x =．（Ⅱ）设点(,)P x y，则22(x ss y ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）．则45d ===当s =4x =，4y =，所以点P 到直线l ． 【点睛】本题考查了参数方程、点到直线的距离公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 23.设a 、b 、c 均为正数，（Ⅰ）证明：222a b c ab bc ca ++≥++；（Ⅱ）若1ab bc ca ++=，证明a b c ++≥.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析 【解析】 【分析】（Ⅰ）运用重要不等式222a b ab +，222b c bc +，222c a ca +，累加可得证明；（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论和三个数的完全平方公式，整理可得证明．【详解】（Ⅰ）因为a ，b ，c 均为正数，由重要不等式可得222a b ab +，222b c bc +，222c a ca +，以上三式相加可得222222222a b b c c a ab bc ca +++++++， 即222a b c ab bc ca ++++；（Ⅱ）因为1ab bc ca ++=，由（Ⅰ）可知2221a b c ++， 故2222()222123a b c a b c ab bc ca ++=++++++=， 所以3a b c++得证．【点睛】本题考查不等式的证明，注意运用基本不等式和变形，考查推理能力，属于基础题．- 1 -。
