中考高分的十八个关节关节用代数式表示变化规律WOR

关节六统计问题的“三项注意”和概率求法的“一个核心”一、以“三项注意”指导统计问题的解决从统计类中考试题（特别是解答类的题）来看，其考查目标主要集中在如下的方面： 方面一、统计图、表的绘制、阅读和使用；方面二、数据的代表值（众数、中位数、平均数），和离散程度（极差、方差等）的确定； 方面三、根据数据的代表值和离散程度作出决策对总体作出合理推断。

要解决好以上三个方面的问题，就应当落实好如下的“三项注意”；Ⅰ、注意每个统计图、表的完备性和同一组数据的两个统计图、表之间的一致性； Ⅱ、注意数据代表值和离散程度确定时的准确性； Ⅲ、注意决策与推断要求的取向性。

1、注意统计图、表的完备性与一致性的运用不论统计图还是统计表，都是对全体数据的一种分类表示，因此，各类之间和应等于全体，且各类之间互不交融—这就是它的完备性；而同一组数据的两种统计图、表是对同一全体、同一分类情况的不同表示形式，二者必是一致的，许多统计问题正是以这样的两条性质作为解答的基础的。

例1 小刘对本班同学业余兴趣爱好进行了一次调查，她根据采集到的数据，绘制了下面的图（1）和图（2） （1）（2）请你根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）在图（1）中，将“书画”部分的图形补充完整；（2）在图（2）中，求出“球类”部分所对应的圆心角的度数，并分别写出爱好“音乐”、“书画”、“其它”的人数占本班学生数的百分数；（3）观察图（1）和图（2），你能得出哪些结论，（只要写一条结论）【观察与思考】根据“完备性”，应先求得“全体”，而这个“全体”就隐含在“球类”部分在两种图、表中的 “一致性”之中，而得到“全体”之后，本题的几个问题即可迎刃而解。

书画球类35%其它 音乐兴趣爱好内容人数 26 8 4 10 球类 书画音乐 其它12 14解：（1）40%3514=÷ （人） ∴本班同学共40人。

∴爱好书画的同学为4121440---10=（人）将图（1）补充完整后如图（1`）。

关节三函数知识的三个支点函数是“数与代数”部分最重要的内容之一，它在实际问题及综合性问题中都有着极为广泛的应用，而且在以后的数学乃至其他学科的学习中，也都发挥着基础性与工具性的作用。

那么，怎样才算较好地掌握了函数知识呢？从一道简单的数学题说起。

题目：若a 满足不等式组41313)1(2+≤+≤-a a a a 那么，代数式)11()1(62aa a a -÷-⋅- 最大值和最小值分别是多少？简解：由所给的不等式组解得33≤≤-a又 )11()1(62aa a a -÷-⋅-15)3(6622--=--=a a a可将,15)3(2--=a y 其中33≤≤-a ，看作是一段抛物线，该抛物线的对称轴为3=a 且开口向上，可知原式在3-=a 时有最大值，21，在3=a 时有最小值—15。

析评：以上解法的思考基础可分为三层：第一层，认识到这是个求函数最值的问题；第二层，求得这个函数的标准表示式为),33(662≤≤---=a a a y 第三层，用二次函数的性质解决原来的问题。

由此可以看出：把未指明的函数总题恰当地归为函数问题。

再定出其表达式，进而应用函数的性质解决问题，正是掌握与运用函数知识的三大支点。

函数知识的三个支点：一、明意义：指总能在需要的情况下恰如其分地将问题归结为函数，即形成“函数思想”； 二、定表达式；三、用性质：指恰当地运用函数的性质解决相应的问题。

一、明意义1、函数“明意义”的基本体现对函数相关的问题，能够从以下两个方面来观察、认识和把握：①能从“总体感知”和“具体对应方式”两个视角来认识与考虑问题； ②能从“整体过程”和某些“特殊值的对应情况”来认识与考虑问题；例1 如图所示：边长分别为1和2的两个正方形，其一边在同一水平纸上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t ，大正方形内除去小正方形部分的面积为S （阴影部分），那么S 与t 的函数图象大致应为（ ）A B C D【观察与思考】“总体感知”：大正方形的面积为4，小正方形的面积为1，在小正方形平移的整个过程中阴影部分面积变化的过程是解：选A。

关节十五由函数图象衍生出的问题图象本是函数关系的一种表达方式，现以它为主背景，可以衍生出如下的两类问题：Ⅰ、由图象反过来研究对应的实际问题，这类问题解决的基本过程是：“图象→对应的函数关系→实际问题”； Ⅱ、图象和坐标系里的几何图形相结合，这类问题解决的基本方向是：将图象上点的特征和几何图形的相关计算恰当地结合起来。

一、由图象研究对应的实际问题例1 如图（1），三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同。

正常水位时，大孔水面宽度20=AB 米，顶点M 距水面6米（即6=MO 米），小孔顶点N 距水面5.4米（即5.4=NC 米）。

当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF 。

【观察与思考】读图，并和实际背景对照，可知： ①应先求出大孔对应的抛物线的解析式； ②求出F 点的横坐标；解：设大孔对应的抛物线解析式为h ax y +=2， 因为点)6,0(),0,10(M B 在该抛物线上，即 解得65032+-=∴x y 令5.465032=+-x ，解得51=x ，.52-=x 10=∴EF 米。

答；当水位不涨刚好淹没小孔时，大孔的水面宽为10米。

例2 某企业有甲、乙两个长方体形的蓄水池，将甲池中的水以每小时6立方米的速度注入乙水池，甲，乙两个蓄水池中的水的深度y （米）与注水时间x （小时）之间的函数图象如图（2）的所示，结合图象回答下列问题：（1）求注水多长时间甲，乙两个蓄水池水深度相同；（2）求注水多长时间甲，乙两个蓄水量相同；【观察与思考】由两段图象可求出对应的两函数关系式， 再借两函数关系式去解决（1），（2）两个问题。

xyOA BEM FN正常水位Ch a +=1000h =6h =6503-=ay42 1甲乙2,3211=-=b k 232+-=∴x y 甲。

设22b x k y +=乙。

把（0，1）和（3，4）代入，解得1,122==b k ，1+=∴x y 乙（1）根据题意，由 解得53=x 。

关节十三图形引入动点后形成的函数和方程问题图形中引入动点以后 ，随着点 的移动，便会引起其他相关量的变化，这样就会出现变量之间的函数关系；而动点在运动过程中，也会引起相关图形的变化，这样就可能产生特定形状、特定位置或特定关系的图形。

这些问题就需要借助方程来解决。

但不管是动点问题引出的函数。

还是由动点引出的方程，却都需要借助于几何计算来建立。

因此，几何计算才是图形动点问题得以解决的真正核心基础，也即一、图形引入动点形成的函数问题例1 如图（1），ABC Rt ∆中，,5,4,90==︒=∠BA AC ACB 点P 是AC 上的动点（P 不与A ，C 重合）。

x PC =，点P 到AB 的距离为y 。

（1）求y 与x 的函数关系式；（2）试讨论以P 为圆心，半径为x 的圆与AB 所在直线的位置关系，并指出相应的x 取值范围。

（1）（1`）【观察与思考】（1）如图（1`），若AB PQ ⊥于Q ，要建立PQ 和CP 的函数关系，可以通过APQ Rt ∆和ABC Rt ∆的相似关系。

（2）就是讨论⊙P 的半径（即x ）和圆心P 到AB 的距离（即y ）的大小关系。

解：（1）过P 作AB PQ ⊥于Q ，如图（1`），则y PQ =， 易知AQP Rt ∆∽ACB Rt ∆，AB AP BC PQ ::=∴，,543x y -=∴化简得：)40(51253<<+-=x x y 。

图形动点问题通过几何计算（主要是解直角形和三角形的相似关系函数（变化规律）方程（特定形状的图形、特定位置的图形、特定关系的图形）⇒ ⇒ACBPA CBPQ（2）令y x =，即,51253+-=x x 解得23=x ，此时⊙P 与直线AB 相切。

对应地有：230<<x 时，⊙P 与直线AB 相离；423<<x 时，⊙P 与直线AB 相交。

【说明】本题的关键就是通过两直角三角形相似关系构成的比例等式导出函数关系式，再通过⊙P 和AB 相切这一特殊情况来判断⊙P 和AB 的三种位置关系。

关节十二探究二：几何图形的不变性 和变化规律以及特殊条件下的特定性关于几何图形性质方面的探究，已成为近年来各地中考试卷中带有普遍性的热点，细分起来，这样的题目 又可分为两大类：第一类，设置变化性的图形背景，探究由变化所体现的“图形不变性”或“变化规律”。

第二类，设置附有特殊条件或特殊结论的图形背景，研究由此生产的“特定性质”。

这两类探究问题正好体现着人们扩展认识的两个基本方向：一是由特殊向一般扩充，二是向相对更为特殊的方向深入。

现在我们分别来解析与归纳这两类探究性问题应解的思考特征。

一、探究图形变化引出的不变性或变化规律从图形变化过程来看，又分为三条途径：Ⅰ、由“图形变换”形成变化背景，探究其中的不变性或变化规律； Ⅱ、由“特殊到一般”形成的变化背景，探究其中的不变性或变化规律； Ⅲ、由“类比”形成的变化背景，探究其中的不变性或变化规律。

从解法的思考来说，三类题目尽管有很多一致性，但因图形变化的背景不同必然带来基本切入点的不同。

1、图形变换引出的不变性或变化规律我们知道，图形的“轴对称”、“平移”、“旋转”这些变换，是图形运动及延伸的重要途径，研究这些“变换”中的图形的“不变性”或“变化规律”，便是既自然又现成的展开方式。

对于这些起源于“变换”的探究性问题，解法的思考当然要围绕“变换”而展开，主要思考方向可有：Ⅰ、化归到基本图形的“变换性质”；Ⅱ、沿“变换”考查图形变化中所体现的统一性和差异性。

（1）借助于“化归到基本图形或变换性质”的思考获得解达例1 如图（1），在ABC ∆中，BA CG AC AB ⊥=,交BA 的延长线于点G 。

一等腰直角三角尺按如图（1）所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F ，一条直角边与AC 边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B 。

（1）（2）AB CG FB C（1）在图（1）中请你通过观察、测量BF 与CG 的长度，猜想并写出BF 与CG 满足的数量关系， 然后证明你的猜想。

关节二充足发挥方程的工具性作用方程是重要的数学工具，它能够干什么用呢？结论是：凡是有关“求值”的问题，不论是如何的背景下和情境中，绝大部分状况都能够借助结构方程来解决。

一、方程用于本质问题中的求值这方面的题目，同学们做的已经好多，这里只举一例。

例1 秋末，因为冷空气入侵，某地域地面气温急剧降落到0℃以下的天气称为“霜冻”。

由霜冻所致使的植物生长遇到影响或损坏的现象称为霜冻灾祸。

秋末某天，气象台公布了该地域以下的降温预告：子夜0时至第二天5时气温将匀速地由3℃降到—3℃，而后从第二天5时至第二天8时，气温将又匀速地由—3℃升到5℃，一种农作物在0℃以下连续超出3小时就会造成霜冻灾祸，依据气象台的预告信息，你以为能否有必需对该农作物采纳防冻举措？并说明原因。

【察看与思虑】第一，这本质是要求出两个数值：一是0时至第二天5时气温降落过程中在哪个时辰达到0℃；二是在第二天5时至第二天8时气温上涨过程中，在哪个时辰达到0℃，明显是求值总问题。

应分别结构方程来解决。

第二，能够用“匀速”所包含的“相等关系”来导出方程，即时辰1对应的温度时辰2对应的温度时辰3对应的温度时辰2对应的温度时辰1时辰2时辰3时辰2（事实上，只需把本问题的“温度差”看作“行程”，它就相当于行程问题了。

）简解：设在0时至第二天5时之间的x时，气温降到0℃，则依题意有：303,解得x（时）50x 0设在第二天5时至第二天8时之间的y时气温升到0℃，依题意有：5(3)50，解得y（时）858。

气温在0℃以下的时间为小时（大于3小时）所以，会对该农作物造成霜冻灾祸，所以应付它采纳防冻举措。

二、方程用于数学识题中的价值数学识题中有林林总总或显或隐的求值问题，多半可借助方程来解决。

1、借助方程，解决某些“数与式”的问题例1 假如一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么，称这个正整数为“神奇数”。

如：4 2202,12 4222,20 6242，所以4，12，20这三个数都是神奇数，1）28和2008这两个数是神奇数吗？为何？2）两个连续奇数的平方差（取正数）是神奇数吗？为何？【察看与思虑】依据题中规定知道，若m(2x2)2(2x)2（※），(此中x是整数，m为正整数)，则m就是“神奇数”。

关节八审题与解法探寻的策略任何一个解题过程都可分为两大环节，第一个环节是“解法的思考与形成”第二个环节是“解法的实施”。

越是思维含量大与能力要求高的题目，越重在第一个环节。

审题与解法的探寻是构成第一个环节的两个步骤或说两个侧面，它们各有侧重但又密不可分，我们只是为了更好地进行分析和说明问题，才把二者分开来论述。

一、 审题的策略1、研究背景绝大多数的数学题目，在已给的条件中都蕴含了结论的成立或不成立，即使是探究型的题目，要探究出的结论也必以条件为发生的根据。

而题目所给的背景，就是最重要的条件，所以研究“背景”是获得解法的前提和启动器。

例1如图，已知ABC ∆。

（1）请你在BC 边上分别取两点D ，E ，（BC 的中点除外）连结AD ，AE ，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形。

（2）请你根据使（1）成立的相应条件，证明AE AD AC AB +>+【观察与思考】研究背景对于（1），通过画草图，如图（1`），其中除了ABC ∆外，还有五个三角形，它们由顶点A 引的高都相等，易知只有在“DE CE BD ≠=”的条件下，才能确保图中“只存在两对面积相等的三角形”。

对于（2），要证明AE AD AC AB +>+，由“要证线段的不等应借于三角形中三边的关系”这一基本认识，结合（1`）中的EC BD =，立刻想到将AEC ∆平移至 （1`） FBD ∆，再进行推导。

解：（1）略；（2）证明：如图（1``），分别过点D ，B 作CA ，EA 的平行线， 两线交于F 点，DF 与AB 交于G 点。

FBD AEC FDB ACE ∠=∠∠=∠∴,在AEC ∆和FBD ∆中，又有BD CE =，FBD AEC ∆≅∆∴在AGD ∆中，AD DG AG >+， 在BFG ∆中，FB FG BG >+，0,0>-+>-+FB FG BG AD DG AG 。

关节一 数与式的三项要点 ■ 1 第一编 核心知识的再提升⏹ 任何教学问题的解决都必以核心知识为基础。

⏹ 对知识的掌握是有层次高低之别的，只有上升到“原理”层次的知识掌握，才能和心应手发挥作用。

关节一数与式的三项要点“数与式”是初中数学的核心内容之一，不公在各中考试卷中占有相当比重，更重要的是它的作用体现与融合在诸多知识运用之中，其中三项要点，尤望同学们掌握与用好。

要点一、准确与灵活是“运算”之魂； 要点二、深入把握“教”、“式”的性质；要点三、善于将情景中的数量或数量关系抽象为代数式；一、准确与灵活是“运算”之魂1、 灵活运用运算法则，运算律和运算性质对以个几道中考试题，我们给出新的解法，请同学们感悟“灵活”的意义和作用。

例1化简：()y x y x x y x x +÷⎪⎭⎫⎝⎛--+-221 解：原式)......12(21yx y x y x x y x x ++-+⋅+-=（先把除法转换成乘法，再用分配律乘入括号内） 112121=+-=xx2 ■ 中考数学高分的十八个关节例2计算：⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⋅++2422122a a a a a a 解：原式)......4(21)2(12--⋅++=a a a a a （先从括号内提出“公因式21-a ”而后约分）a11+= 例3已知x 是一元二次方程0132=-+x x 的实数根，求代数式)252(6332--+÷--x x xx x的值。

解：原式)......9(332-÷-=x xx （除式和被除式同乘以)2-x )13......(31)3(3122=+=+=x x x x 因为以上三题是中考题，也都是较容易的题，从每一道题的解法可以看出：越是能适时而恰当运用“运算律”，“公式”“性质”等，则越可使运算步骤减少，过程简化。

所以，越是善于将算法、算律、公式、性质联合运用，越能提高运 算的准确性和过程的简约性。

关节五几何计算方法与作用的归纳当以比单纯逻辑论证宽泛得多的思想和视角来研究几何图形及其和相关的问题时，“几何计算”的意义和作用，就被大大地加强了。

第一，几何图形的大小及形状、几何图形间的位置关系，在许多时候本来就需要运用相关的数量来表示，无疑地就会涉及到几何量的计算；第二，当我们注重研究图形的动点问题，图形的变换及运动问题，在坐标系里研究图形的一些问题时，就愈是不可避免地要借助几何量的计算；第三，那些基于实际而模型化为几何图形的应用类问题，更是必须依靠几何量的计算来解决。

因此，《课标》理念下的几何学习，几何计算的份量加大了，层次提高了。

在本关节，我们先将几何计算的基本方法加以归纳，为而后的应用作好充分准备。

一、掌握好几何计算的两种主要方法几何计算的两种主要方法是： Ⅰ、借助于解直角三角形； Ⅱ、借助于三角形的相似关系。

1、善于用解直角三角形的方法完成几何计算 （1）要善于依题情恰当地构造直角三角形例1 如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠（如图中阴影）部分的面积是（ ）（1`）（1）A 、αsin 1 B 、αcos 1C 、αsinD 、αcos【观察与思考】将原问题抽象为图（1`），在菱形ABCD 中，α∠=∠A ，顶点A 到直线CD 和直线CB 的距离都为1，求菱形ABCD 的面积。

为此，作,CD AH ⊥交CD 的延长线于点H ，则有AH ，AD AH CD S ABCD ⋅=⋅=菱形其中ααsin 1,sin 1sin 1==∠==ABCD S ADH AH ，AD AH 菱形即AB CD Hαα例2 如图，在ABC Rt ∆中，190==︒=∠BC ，AC ACB 。

将ABC ∆绕点C 逆时针旋转30°得到111C B A ∆，1CB 与AB 相交于点D 。

求BD 的长。

【观察与思考】注意到,45︒=∠B 若作CB DG ⊥于点G ，如图（1`）则（1） 可得DBG Rt ∆中，DG=BG ，同时在︒=∠∆30DCG ，CDG Rt 中，而CB=1， 从而可构造关于BD 的方程，求得其值。

坐标系里的几何图形将几何图形置于坐标系，是为了用代数的方法研究图形，因此坐标系里是“数形结合”的大演场，是“几何与代数综合”的新舞台。

现在，我们就来研究这类问题的思考与解法特征。

坐标系里的几何图形问题又可分三类：Ⅰ、坐标系里的基本几何图形； Ⅱ、坐标系里的几何图形引入动点； Ⅲ、坐标系里的几何图形实施交换。

※这三类问题围绕的共同核心都是“求点的坐标”与“求线段的长度”，解决的共同依据是“几何图形的性质”（包括变换的性质）和“几何计算”（特别是构造与解直角三角形。

）一、坐标系里的基本几何图形例1 如图，已知边长为1的正方形OABC 在直角坐标系中，B ，C 两点在第二象限内，OA 与x 轴的夹角为︒60，那么C 点的坐标是 ，B 点的坐标是 。

【观察与思考】 去构造合适的直角三角形，如图那样作辅助线，可由OCM Rt ∆求得点C 的坐标，由OEA Rt ∆和BEN Rt ∆求得点B 的坐标。

解：如图所示，作x CM ⊥轴于点M ，在OCM Rt ∆中，︒=∠=30,1COM OC ，,23,21==∴MO CM ∴C 点的坐标为)1,23(-。

又设AB 与y 轴的交点为E ，y BN ⊥轴于N 。

在OEA Rt ∆中，332,33,30,1==︒=∠=OE AE EOA OA 。

在BEN Rt ∆中，︒=∠-=-=-=60,333331BEN AE AB BE,21323333,633-=⋅-=-=∴BN EN 213+=+=EN OE ON 。

点B 在第二象限，∴B 点的坐标为231,231(+-）。

【说明】从本题可以看出：Ⅰ、求点的坐标是坐标系里几何图形问题的核心，而求点的坐标的基本过程是分这样的两步走：首先，选定或构造恰当的直角三角形，通过解相关的直角三角形，求得有关的线段的长；然后根据点所在的象限，将有关线段的长转换为点的坐标。

Ⅱ、坐标系里图形问题解法的优或劣，决定因素表现在对相关直角三角形的选取和构造上。