高等数学山东科技大学(精)

山东科技大学期末复习题及参考解答一.填空题1.设点)4,1,1(-A 在曲面),(:y x f z S =上.若3)1,1(=-'x f ,且),(y x f 在其定义域内任意一点),(y x 处满足方程),(),(),(y x f y x f y y x f x y x ='+',则曲面S 在A 点处的切平面方程为 03 =--z y x . 解:由题设有4)1,1(131=-'⋅-⋅y f ,即1)1,1(-=-'y f ,所以 0)4()1()1(3:=--+--z y x ΠT ,即03=--z y x .2.设2e ),,(yz z y x f x =,其中),(y x z z =是由方程0=+++xyz z y x 确定的隐函数,则 1 )1,1,0(=-'x f .解:1d de d )1,1,(d )1,1,0(0==-=-'==x xx x x x x f f . 3.曲线⎩⎨⎧==+-6022x z y x 在点)3,3,6(处的切线与Oz 轴正向的夹角为 6 π.解:曲线方程可写为⎪⎩⎪⎨⎧-===662y z y y x ,6)(,1)(,0)(2-='='='y y y z y y y x ,于是=τ}23,21,0{2}3,1,0{=,23cos =γ,故π6γ=. 4.设n 是曲面632222=++z y x 在点)1,1,1(P 处的外法向量,则函数zy x u 2286+=在点P 处沿方向n 的方向导数 711 =∂∂n u .解:令632),,(222-++=z y x z y x F ,则z F y F x F z y x 2,6,2='='=',于是n }1 ,3 ,2{=,其方向余弦为141cos ,143cos ,142cos ===γβα.又PPux∂==∂ 14886216122=+=∂∂PPy x yz y u, 1486222-=+-=∂∂PPzy x zu ,故711)14(141143148142146=-⋅+⋅+⋅=∂∂Pnu． 5.设22{(,)1}D x y x y =+≤,则235π(2sin 1)d 4Dx x y σ-++=⎰⎰.解: 2323(2sin 1)d d 2sin d d 1d DDDDDx x y x x y σσσσσ-++=-++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2π123 00π5πcos d d 00ππ.44θθρρ=+++=+=⎰⎰. 6.交换二次积分的次序:d ),(d d ),(d d ),(d 222222 4 211 11 14 02⎰⎰⎰⎰⎰⎰---+----=+y-y y x x x x y x f y y y x f x y y x f x .7.将直角坐标系下的三次积分化为球坐标系下的三次积分:=⎰⎰⎰-----+----2222221 1 11 11 11d ),,(d d x x y x y x z z y x f y x ⎰⎰⎰2 02cos 022 0d sin )cos ,sin sin ,sin cos (d d πϕπϕϕϕθϕθϕθr r r r r f .8.设有曲线段⎩⎨⎧==ta y ta x L sin cos :(π≤≤t 0),则2 π s a =⎰.解:2 d ππL s a s a a a ==⋅=⎰⎰.9.设C 是圆周)1()1(222>=+-R R y x 的正向,则22 d d π 4C x y y x x y-=+⎰.解:因为当)0,0(),(≠y x 时,xQ y x x y y P ∂∂=+-=∂∂22222)4(4,故可在C 的内部作椭圆周2224:a y x l =+,且l 与C 同向,则⎰=+-C y x x y y x 224d d 222222 4d d 12(11)d ππ2l x y ax y y x a a a a a σ+≤-=+=⋅⋅⋅=⎰⎰⎰. 10.设Ω是光滑闭合曲面∑所围成的空间域,其体积为V ,则沿∑外侧的积分3 d d )(d d )(d d )(V z y z x x z x y y x x z =-+-+-⎰⎰∑.解:V V z y z x x z x y y x x z 3d )111(d d )(d d )(d d )(=++=-+-+-⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑.11.若幂级数∑∞=-0)1(n n n x a 在1-=x 处收敛,在3=x 处发散,则其收 )3 ,1[ -=D .解:因为211=--≥R ,213=-≤R ,故2=R ,从而)3 ,1[-=D . 12.设xx x f --=41)(,则 3! )1()(n n n f =.解:因为!)1()(n fa n n =,故n n a n f !)1()(= )(N ∈n . 而∑∑∞=∞=++-=-=---=--=1011)1(31)1(3131113141)(n n nn n n x x x x x x x f , 所以n n n f 3!)1()(= )(N ∈n . 13. ch 2e e )!2(102x x n xx n n =+=-∞=∑.解:易知+∞=R .设=)(x S ∑∞=02)!2(1n n x n ,) ,(∞+-∞∈x ,1)0(=S .=')(x S ∑∞=--112)!12(1n n x n ,) ,(∞+-∞∈x ,0)0(='S . ='')(x S )()!22(1122x S x n n n =-∑∞=-,从而x x C C x S -+=e e )(21.由1)0(=S 及0)0(='S 得⎩⎨⎧=-=+012121C C C C ,解得2121==C C ,故x x S xx ch 2e e )(=+=-. 14.设)(x S 是⎩⎨⎧<≤<≤--=10 ,101 ,)(x x x x f 的以2为周期的Fourier 级数的和函数,则1 )7(, 21 )4(==-S S .解:(1)1011(4)(0),(7)(1)(1)1222S S S S S --++-====-===.15.微分方程0d )(d )1(32=++++y y y x x y 的通解为43 43C y y xy x =+++.解:0d d )d d (d 32=++++y y y y y x x y x , 0)4d()3d()d(d 43=+++y y xy x ,0)43d(43=+++y y xy x ,所以通解为C y y xy x =+++4343.16.用待定系数法求x x y y 2cos 34=+''的特解*y 时,应设]2sin )(2cos )[( x D Cx x B Ax x y +++=*.二.单项选择题1.设函数),(y x f z =在点M 的某邻域内有定义,下列结论正确的是( B )(A)若z 在点M 处沿任意方向l 的方向导数lz ∂∂存在,则z 在点M 处两个偏导数存在.(B)若z 在点M 处可微,则z 在点M 处的梯度存在.(C)若z 在点M 处沿任意方向l 的方向导数lz ∂∂存在,则z 在点M 处连续.(D)若z 在点M 处连续且沿任意方向l 的方向导数lz ∂∂存在,则z 在点M 处可微.2.设曲面224y x z --=上点P 处的切平面平行于平面0122=+++z y x ,则P 点的坐标为( D )(A))2,1,1(-. (B))2,1,1(-. (C))2,1,1(--. (D))2,1,1(.解:因为点P ),,(z y x 处切平面的法向量}1,2,2{y x =n 平行于已知平面的法向量}1,2,2{1=n ,故有112222==y x ,于是得1==y x ,而211422=--=z ,因此P 点的坐标为)2,1,1(. 5.设),(y x f 在域}0,2),{(2>-≤≤=R x Rx y x y x D 上连续,则二重积分=⎰⎰Dy x y x f d d ),(( C )(A)⎰⎰-22 00 d ),(d x Rx Ry y x f x . (B)⎰⎰-22 0 0 d ),(d y R Rx y x f y .(C)⎰⎰--yy R R Rx y x f y 0 22d ),(d . (D)π2in 2π 04d (cos ,sin )d Rs f θθρθρθρρ⎰⎰.8.设有球面:S 1222=++z y x ,1S 是S 的上半部分的上侧,2S 是S 的下半部分的下侧,若=1I ⎰⎰1d d S y x z ,=2I ⎰⎰2d d S y x z ,则( B )(A)21I I <. (B)21I I =. (C)21I I >. (D)021=+I I . 解:=1I ⎰⎰1d d S y x z ⎰⎰≤+--=12222d d 1y x y x y x ,=2I ⎰⎰2d d S y x z ⎰⎰≤+----=12222d )d 1(y x y x y x ⎰⎰≤+--=12222d d 1y x y x y x 1I =.9.以下四式正确的是( B )(A)∑∞=-=+1)1()1ln(n n nn x x (11≤<-x ). (B)20π(1)1(2)!nn n n ∞=-=-∑. (C)x x n x n n n sin )!12()1(02=+-∑∞= (+∞<<∞-x ). (D)211π(1)0(21)!n n n n ∞+=-=+∑. 解:)1ln()1(1x n x n nn+-=-∑∞=, 20π(1)cos π1(2)!nnn n ∞=-==-∑, x xn x n n n sin )!12()1(02=+-∑∞=)0(≠x , 211π(1)sin πππ(21)!n nn n ∞+=-=-=-+∑. 10.设正项级数∑∞=1n n u 收敛,且n n nu ∞→lim 存在,则( A ) (A)n n nu ∞→lim 0=. (B)n n nu ∞→lim 0>. (C)n n nu ∞→lim 0<. (D)不能确定. 解:因为n n nu ∞→lim nu n n 1lim ∞→=存在且∑∞=1n n u 收敛,故必有01lim =∞→n u nn ,否则∑∞=1n n u 发散. 11.将bxa x x f +=)((0≠ab )展为x 的幂级数时,所展幂级数的收敛半径=R ( D )(A)a . (B)b . (C)a b . (D)ba .解:bx a x x f +=)(x ab a x --=11∑∞=-=0)(n n x ab a x ,当1<=-x a b x a b 即b a x <时,级数绝对收敛,当1>-x a b 即b a x >时级数发散,故ba R =. 12.微分方程xy y =' (0<x )满足初始条件e1)2(=-y 的解=y ( C )(A)C x +-22e. (B)22e x . (C)22ex - (D)22Cex -.解:C x +-22e和22Ce x -不是特解,22e x 不满足初始条件,故选(C).(或直接求解.)三.解下列各题1.设),(y x z z =是由方程zz y x e =++确定的隐函数,求22x z ∂∂. 解:将方程两边对x 求导得x z x z z ∂∂=∂∂+e 1,解得1e 1-=∂∂z x z ;两边再对x 求导得22222e )(e x z x z x z z z ∂∂+∂∂=∂∂,解得 22x z ∂∂32)e 1(e e 1)(e z zz z x z -=-∂∂=. 2.设),(y x z z =是由方程0),(2222=--z x x y F 确定的隐函数,且),(v u F 可微,试计算yz x x z y ∂∂+∂∂.解:2122F x F x F x '+'-=', 12F y F y '=',22F z F z '-=',故y z x x z y ∂∂+∂∂zxyF z F y x F z F F x y ='-'-+'-'+'--=21221222][2. 3.求xy y x z ++=222在闭域1:22≤+y x D 上的最大值与最小值.解:令⎩⎨⎧=+='=+='0204x y z y x z yx ,得惟一驻点)0,0(,且0)0,0(=z .在边界122=+y x ,即⎩⎨⎧==ty tx sin cos (π20≤≤t )上,函数化为t t t t t z z cos sin sin cos 2)(22++== 232sin 212cos 21++=t t (π20≤≤t ). 令02cos 2sin )(=+-='t t t z 得81π=t ,832π=t .2232321212121)8(+=++=πz , 2232321212121)83(-=+-+-=πz .经比较得223max +z ,0min =z .4.将44分成三个正数z y x ,,之和,使得函数22232z y x u ++=达到最小值. 解:此问题为:求22232z y x u ++=在044=-++z y x 下的最小值. 作=),,,(λz y x L )44(32222-+++++z y x z y x λ,(0,0,,≠>λz y x ).令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++='=+='=+='=+='044 06 04 02z y x L z L y L x L z yx λλλλ,解得惟一驻点)8,12,24(.由于u 存在最小值(无最大值),故当8,12,24===z y x 时u 达到最小.5.在椭球面14222=++z y x 的第一卦限部分上求一点,使得椭球面在该点处的切平面在三个轴上的截距的平方和最小.解:设所求点为),,(z y x P .曲面在P 点的法向量}2,2,2{z y x =n ,切平面Π的方程为0)4(4222=++-++z y x Z z yY xX ,即14=++Z z yY xX .化为1411=++zZ y Y x X ,立即可得Π在三个坐标轴上的截距为z y x 4,1,1.于是问题归结为:求=u 2221611z y x ++(0,0,0>>>z y x )在条件14222=++z y x 下的最小值.作),,,(λz y x L λ+++=2221611zy x )14(222-++z y x (0,0,,≠>λz y x ).令⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-++='=+-='=+-='=+-='014 0232 022022222333z y x L z x z L y y L x x L z y x λλλλ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++==⇒14 22 222z y x x z x y ,得惟一解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===22121z y x . 由问题的实际意义知,点)2,21,21(即为所求的点.6.设三角形的周长为p 2,问三角形的三边各为多少时,才能使它绕自己的一边旋转所得的旋转体体积最大?解:设ABC ∆三边长分别为z y x ,,,则p z y x 2=++且绕其边AC 旋转(见图). 若记AC 上的高为h ,则ABC ∆的面积))()((21z p y p x p p yh S ---==,从而22))()((4y z p y p x p p h ---=;故旋转体体积=V 21π3y h =4π()()()3p p x p y p z y ---,其中p z y x 2=++ (0,0,0>>>z y x ).为简化计算,我们求函数y z p y p x p u ln )ln()ln()ln(--+-+-=在条件p z y x 2=++下的驻点.为此作辅助函数=),,,(λz y x L y z p y p x p ln )ln()ln()ln(--+-+-)2(p z y x -+++λ.解方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-++='=+--='=+---='=+--=' 0201011 01p z y x L zp L y y p L xp L z yx λλλλ得惟一驻点)43,21,43(p p p .由问题的实际意义知,)43,21,43(p p p 是V 在p z y x 2=++下的最大值点,即当p BC AB 43==,p AC 21=,且绕AC 旋转时,所得体积最大,3max π12V p =.7.用重积分表示并计算出由曲面222y x z +-=与22y x z +=所围立体的表面积.解:记1S :222y x z +-=,2S :22y x z +=,21S S S +=.在21,S S xOy 平面上的投影域均为1:22≤+y x D .y x S d d 2d 1=,2d d S x y =.故⎰⎰+++=Dy x y x S d )d 4412(22⎰⎰+=Dy x d d2 2πd d θρ⎰⎰1322π12π(14)1)126ρ=++=+.8.一质点在平面力场j i F y xx y )11(1232+-+=的作用下,沿曲线122+-=y y x 由点)0,1(A 运动到点)1,4(-B ,求力场所作的功.解:⎰⎰+-+=⋅=),( 232),( d )11(d 1d B A L B A L y y x x x y W s F . 因为xQx y y P ∂∂==∂∂32,故积分与路径无关,于是⎰⎰⎰--+-+=+-+=1 0 4 1 3)1,4( )0,1( 232d )1611(d 1d )11(d 1y y x x y y x x x y W 16132173215-=-=.9.计算曲线积分⎰-++L y yxy f y x x y xy f y 222d ]1)([d )(1,其中L 是经过)0,0(O , )32,3(A 和)2,1(B 三点的圆周上从A 点到B 点的一段劣弧,f 为可微函数.解: 因为x Q yxy f xy xy f y y P ∂∂=-'+=∂∂2321)()(,故积分与路径无关,于是选择沿⎪⎩⎪⎨⎧==x y x x C B A 2:),((x 从3变到1)积分得 原式=⎰⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--++1 3 2222d 24]1)2(4[2)2(41x x x f x x x f x4d 13-==⎰x x .10.设S 是曲面1222=++z y x (0≥z )的下侧,求⎰⎰++Sy x z x z y z y x d d d d d d 333. 解:记1:22≤+y x σ,σ+=∑S ,∑所围域记为Ω.原式⎰⎰⎰⎰-=∑上内σ=⎰⎰⎰⎰⎰≤+Ω-++-122222d 0d )(3y x V z y x σπ2π12220 0 03d d sin d r r r θϕϕ=-⋅⎰⎰⎰6π5=-.11.计算y x z z f x z y z f z z y x I yy Sd d )e (d d )e (1d d 333⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎰⎰,其中S 是由曲面22y x z +=,221y x z --=和224y x z --=所围立体的表面外侧,f 具有连续导函数.解:记S 所围立体为Ω,由Gauss 公式得⎰⎰⎰Ω++=V z y x I d )(3222π 2π42240 0 13d d sin d r r r θϕϕ=⋅⎰⎰⎰93(2π5=. 12.计算⎰⎰∑++=y x z x z yz z y xz I d d d d d d 2,其中∑是球面4222=++z y x 介于平面3=z 和2=z 之间的部分,并取法向量与Oz 轴正向成锐角的那一侧.解:记3:=z S ;S ,∑在xOy 平面的投影域:xy D 122≤+y x ;S +∑所围域记为Ω,则 =I ⎰⎰⎰⎰-+∑下下上S S ⎰⎰⎰⎰⎰+++=ΩxyD V z z z σd )3(d )2(22π 10 04d d d 3πz θρρ=+⎰⎰π3π4π=+=.15.判断级数∑∞=-12!)e (n nn n n λλ（0≥λ）的敛散性. 解:因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-=++∞→+∞→!)e ()1()!1()e (lim lim 21121n n n n a a n n n n n n n n λλλλ e)11(limλλ=+=∞→n n n, 故当1e<λ,即e <λ时,级数收敛,当e =λ时级数显然收敛; 当1e>λ,即e >λ时,级数发散.16.求幂级数∑∞=+02!21n n n x n n 的收敛域及和函数. 解:因为01!2)!1(21)1(lim lim 2121=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=+∞→+∞→n n n n a a n n n n n n ,所以) ,(∞+-∞=D . =)(x S ∑∞=+02!21n n n x n n ∑∑∞=∞=+=020)()(2!2!1n n n n x n n x n=+=∑∞=122!e n n x t n n ∑∞=--+112)!1(e n n x t n n t ∑'∞=-+=12][)!1(e n n x n t t ∑'∞=--+=112][)!1(e n n x n tt t 22222e )421(e )(e ]e [e xtx txx x t t t t ++=++='+=,) ,(∞+-∞∈x . 17.将函数231)(2++=x x x f 展为)1(-x 的幂级数.解:231)(2++=x x x f x x x x +-+=++=2111)2)(1(1 )1(31)1(21-+--+=x x 311131211121-+--+=x x∑∑∞=∞=-----=003)1()1(312)1()1(21n nn n n n n n x x , n n n n n x )1)(3121()1(101---=+∞=+∑,)3 ,1(-∈x . 18.将π()2x x ϕ-=(π20<≤x )展为以2π为周期的Fourier 级数,并求级数∑∞=12cos n n nx 的和函数.解: (1)π()2x x ϕ-=在[0, 2π)上满足Dirichlet 条件,且2π0 01()d πa x x ϕ=⎰ 2π 0π1d 0π2x x -==⎰, 2π 0π1cos d π2n x a nx x -==⎰ 2π 2π0 011πcos d cos d 2π2πnx x x nx x -⎰⎰2π2π0 0sin 110sin d 02π[]x nx nx x n n =--=⎰ ( ,2,1=n ), 2π 0π1sin d π2n x b nx x -==⎰ 2π 2π0 011πsin d sin d 2π2πnx x x nx x -⎰⎰2π2π0 0cos 1110cos d 2π[]x nx nx x n n n-=-+=⎰ ( ,2,1=n ); 故∑∞=1sin ~)(n n nx x ϕπ,(0, 2π)20, 0x x -⎧⎪=⎨⎪=⎩. (2)设=)(x f ∑∞=12cos n n nx ,[0, 2π)x ∈,其中=)0(f 221π16n n∞==∑;因为=')(x f 1sin ππ222n nx x x n ∞=--=-=-∑,(0, 2π)x ∈,所以=)(x f ⎰'+xx x f f 0 d )()0(2222ππ2π36π64212x x x x +-=+-=,[0, 2π)x ∈. 19.设有微分方程)(2x y y ϕ=-',其中⎩⎨⎧><=1,01,2)(x x x ϕ.试求在) ,(∞+-∞内的连续函数)(x y y =,使之在)1 ,(-∞和) ,1(∞+内都满足所给方程,且满足条件0)0(=y .解: (1)当1<x 时,方程为22=-'y y ,通解为1e 21-=x C y ,由0)0(=y 得11=C ,所以1e 2-=x y . (2)当1>x 时,方程为02=-'y y ,通解为x C y 22e =.要使)(x y y =在1=x 处连续,必须)1e (lim e lim 21221-=-+→→x x x x C ,即1e e 222-=C ,于是得22e 1--=C ,所以x y 22e )e 1(--=.(3)补充定义=)1(y 1e 2-,则得在) ,(∞+-∞内的连续函数)(x y y =⎩⎨⎧>-≤--1x ,e )e (11,1e 222xx x 满足所给方程及初始条件.20.一质量为m 的汽艇以速度0v 行驶,在0=t 时刻关闭动力继续行驶.假定水对汽艇的阻力与行驶速度v 的n 次方成正比(n 为常数),求v 与关闭动力后行驶距离之间的函数关系.解:设经过t 时间后,行驶的距离为)(t x (0>t ),阻力n kv R -=(0>k ),由Newton 第二定律得 0)]([)(='+''n t x mk t x ,由题设有0)0(,0)0(v x x ='=.因为v t x =')(,所以xv v t x d d )(='',于是方程化为0d d 1=+-n v mk x v ,分离变量得x mk v v n d d 1-=-.(1)当2≠n 时,通解为C x mk n v n+=--22,由0)0()0(v x v ='=得n vC n -=-220,所以x n mk v v nn )2(202--=--,即)()2(220n n v v k n m x ----=; (2)当2=n 时,通解为x mk C v -=e,由0)0()0(v x v ='=得0v C =,故x mk v v -=e0,即vvkm x 0ln =.21.设)(x f 具有二阶连续导数,且积分y x f x y x f x f L x d )(d ])()(2[e '+-'-⎰λ (λ为常数)与路径无关,试求)(x f .解:因为积分与路径无关,故有xQyP ∂∂=∂∂,即)()()(2e x f x f x f x ''=-'-λ,整理得x x f x f x f λe )()(2)(=+'+''.0122=++r r ⇒121-==r r ,所以)(e 21x C C Y x +=-.当1-≠λ时,设x A y λe =*,代入原方程定出2)1(1λ+=A ,即2)1(e λλ+=*xy ,此时通解为=y )(e 21x C C x+-2)1(e λλ++x; 当1-=λ时,设xAx y λe 2=*,代入原方程定出21=A ,即2e 2xx y -*=,此时通解为=y )2(e 221x x C C x ++-.22.设高为)(t h 厘米(t 为时间,单位为小时)的雪堆,在融化过程中其侧面方程为)()(2)(22t h y x t h z +-=,其体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数为0.9),问高度为130厘米的雪堆全部融化需要多少小时? 解: 设雪堆的体积为V ,侧面积为S ,则 222 ()()23 0 01[()()]2ππd d d [()()]d ()24h t h t x y h t h t z V z x y h t h t z z h t +≤-==-=⎰⎰⎰⎰, ⎰⎰≤+'+'+=)(2122222d d 1t h y x yx y x z z S ⎰⎰≤+++=)(21222222d d )()(161t h y x y x t h y x2πd ()h t ρ=⎰213π()12h t =. 由题设知S tV 9.0d d -=,即23π()d ()4d h t h t t 213π()91012h t =-,于是 1013d (t)d -=t h , 故C t t h +-=1013)(,由130)0(=h 得130=C ,即 1301013)(+-=t t h .令0)(=t h 得100=t (小时),即高度为130厘米的雪堆全部融化需要100小时.23.求微分方程24d (2)d xy x x y y =- 的通解.解：方程可化为：31d 2d x x y x y y --=-，这是Bernoulli 方程.令1(1)2,z x x --==则方程化为线性方程 3d 42,d z z y y y-=- 44d d 34e2e d (2ln ),y yyy z C y y y C y ---⎡⎤⎰⎰=+-=-⎢⎥⎣⎦⎰ 故通解为24(2ln ).x y C y =-24.求幂级数30(3)!n n x n ∞=∑的和函数. 解：易知收敛半径为+∞，设30(),(, ),(3)!nn x s x x n ∞==∈-∞+∞∑显然(0) 1.s =313211(),(0)0;(),(0)0;(31)!(32)!n n n n x x s x s s x s n n ∞∞--==''''''====--∑∑ 33310()();(33)!(3)!n n n n x x s x s x n n ∞∞-=='''===-∑∑ 故得 ()()0,(0)1,(0)0,(0)0.s x s x s s s '''-=⎧⎨'''===⎩ 或 ()()()e ,(0)1,(0)0. x s x s x s x s s '''⎧++=⎨'==⎩（1）()()0,(0)1,(0)0,(0)0s x s x s s s '''-=⎧⎨'''===⎩的求解过程如下：3212,3123110,1,()e e .2x x r r r s x C C x C x -⎛⎫-===-∴=++ ⎪⎝⎭又21232311()e e ,22x x s x C C x C x -⎡⎤⎛⎫⎛⎫'=+-+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦21232311()e esin ,22x x s x C C C x -⎡⎤⎛⎫⎫''=+--+-⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦于是由初始条件得121231231, 10,210,2C C C C C C ⎧+=⎪⎪⎪-+=⎨⎪⎪--=⎪⎩解得1231, 32,30.C C C ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩所以和函数212()e e c ,(,).33x x s x x x -=+∈-∞+∞（2）()()()e ,(0)1,(0)0 x s x s x s x s s '''⎧++=⎨'==⎩的求解过程如下：221,212110,()e sin .2x r r r S x C x C x -⎛⎫++==-±∴=+ ⎪⎝⎭因为i 1λω+=不是特征根，故设e x s A =，代入原方程，得1,3A =即1e ,3x s =于是2121()()()e e .3x x s x S x s x C x C x -⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭由(0)1s =得123C =，即2212()e +e .33x x s x C x -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭222111()e +e 332x x s x C x -⎡⎤⎫⎫'=-+⎢⎥⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由(0)0s '=得20C =，所以和函数212()e e c ,(,).os 33x x s x x x -=+∈-∞+∞四.证明题2.若0lim =∞→n n na ,且∑∞=+-+11])1[(n n n na a n 收敛,试证∑∞=1n n a 收敛. 证:记=n s 1n k k a =∑,=n σ∑=+-+nk k k ka a k 11])1[(, ,2,1=n ,则}{n σ收敛.=n σ )2(21a a -)23(32a a -+)34(43a a -+ +])1[(1+-++n n na a n 13212222+-++++=n n na a a a a 12+-=n n na s ,12121++=∴n n n na s σ.因为}{n σ收敛,所以要证}{n s 收敛,只需证}{1+n na 收敛.事实上,由0lim =∞→n n na 知0)1(lim 1=++∞→n n a n ,于是 =+∞→1lim n n na 0])1(1[lim 1=+++∞→n n a n n n . 因此}{n s 收敛,即∑∞=1n n a 收敛.(且∑∞=1n n a 21=∑∞=+-+11])1[(n n nna an .)3.若幂级数∑∞=0n nn x a 的收敛半径10=R ,则幂级数∑∞=0!n nn x n a 的收敛半径+∞=R . 证:因为10=R ,故对于)1 ,0(0∈x ,级数∑∞=00n n n x a 绝对收敛,从而}{0nn x a 有界,设M x a n n ≤0.于是),(∞+-∞∈∀x ,有nn n n nn n n x x n M x x n x a x n a 000!!!≤≤.而由比值法知,) ,(∞+-∞∈∀x ,∑∞=00!n nn x x n M 收敛,从而∑∞=0!n n n x n a 绝对收敛,故其收敛半径+∞=R .4.设)1(21,211nn n a a a a +==+(N ∈n ),试证:(1) nn a ∞→lim 存在; (2) ∑∞=+-11)(1n n naa收敛.证: (1))1(21,211n n n a a a a +==+1212≥+=nn a a (N ∈n ),即}{n a 有下界;又02121<-=-+nnn n a a a a ,即}{n a 单调递减,故n n a ∞→lim 存在. (2)因为}{n a 单调递减,所以11-+n n a a 0>,即∑∞=+-11)(1n n n a a是正项级数,又因为1≥n a ,所以11-+n n a a =111+++-≤-n n n n n a a a a a (N ∈∀n );而n n a ∞→lim 存在,故∑∞=+-11)(n n n a a 收敛,于是由比较判别法知,∑∞=+-11)(1n n n a a收敛.5.证明: (1)∑∞=+-1)(1ln 1n n n n收敛; (2)1ln 131211lim =++++∞→n n n . 证: (1)因为=+-≤n n n 1ln 10)11ln(1n n +-2211112o n n n n ⎡⎤⎛⎫=--+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2211,2o n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 而∑∞=121n n收敛,所以∑∞=+-1)(1ln 1n n n n 收敛.(2) ∑∞=+-1)(1ln 1n n n n ∑=∞→++-=nk n k k k1)(ln )1ln(1lim ]ln )1ln(1312ln 3ln 212ln 1[lim n n n n ++-+-++-+-=∞→ )]1ln(131211[lim +-++++=∞→n nn , 因为∑∞=+-1)(1ln 1n n n n收敛,即)]1ln(131211[lim +-++++∞→n n n 存在,故 0ln )1ln(131211lim =+-++++∞→nn n n , 即0ln )1ln(ln 131211lim =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-++++∞→n n n n n ; 易知1ln )1ln(lim =+∞→n n n , 所以 =++++∞→nn n ln 131211lim 1ln )1ln(lim =+∞→n n n . 7. 12111,(2,3,4,).:n n n a a a a a n +-===+=设证明111,,2n n n x a x ∞-=<∑对于收敛().s x 并求其和函数解：111,2n n n x a x ∞-=<∑(1)先证:对于收敛.{}0,,n n a a >由题设知单调增从而112n n n n a a a a +-=+≤，即 2322123222222 (2,3,4,).n n n n n n a a a a a n -----≤≤≤≤≤== 易知2122n n n x∞--=∑的收敛半径为11,,22x ∀<于是2122n n n x ∞--=∑绝对收敛，即1222n n n x∞--=∑收敛；又11122,n n n n n n a xa xx----=≤故2122n n n x ∞--=∑绝对收敛，从而111,2n n n x a x ∞-=<∑对于收敛.（2）再求和函数111() ().2n n n s x a x x ∞-==<∑11111122()11[]n n n n n n n n n n s x a xa xa a x ∞∞∞---+-=====+=+-∑∑∑112112231111n n k m n n k m n n k m a x a xa xa x ∞∞∞∞---+-=====+-=+=+-∑∑∑∑11311111[()1]()k m k m k m a x x a x s x x xs x x x ∞∞--===+-=+---∑∑211(),0.x s x x xx-=-≠解之得21(),(0),1s x x x x=≠--又1(0)1,s a ==所以1,2x ∀<有1211() .1n n n s x a x x x∞-===--∑ 9.设正数列{}n a 单调递减，若级数1(1)nn n a ∞=-∑发散，则111nn n a ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑收敛.证：因为0,n a >且{}n a ，故有极限，设lim ,n n a a →∞=则0.a ≥又因为1(1)n n n a ∞=-∑发散，故由Leibniz 判别法知0a ≠，即lim 0.n n a a →∞=>11lim lim 1,111n n n n a a →∞→∞⎛==<∴ +++⎝111nn n a ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑收敛. 10. 设0,n u ≠且lim 1,n n n u →∞=试证11111(1)n n n n u u ∞-+=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∑条件收敛.证：记1111(1),n n n n a u u -+⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭由lim 1,n nn u →∞=知 111lim lim lim 2,11n n n n n n n n a n n n n n u u u u n n →∞→∞→∞++⎛⎫⎛⎫+=+=+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭而11n n ∞=∑发散，故1n n a ∞=∑发散，即原级数不会绝对收敛. 因为11111(1)nk n kk k s u u -+=⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭∑ 1122334111111111(1)n nn u u u u u u u u -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++-+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11111(1),n n u u -+=+-且由1lim lim 1,1n n n n un u n→∞→∞==知1lim 0n nu →∞=，从而111lim(1)0,n n n u -→∞+-=故11lim ,n n s u →∞=即原级数收敛. 因此原级数条件收敛.。

在决定考研的那一刻，我已预料到这一年将是怎样的一年，我做好了全身心地准备和精力来应对这一年枯燥、乏味、重复、单调的机械式生活。

可是虽然如此，我实在是一个有血有肉的人呐，面对诱惑和惰性，甚至几次妥协，妥协之后又陷入对自己深深的自责愧疚当中。

这种情绪反反复复，曾几度崩溃。

所以在此想要跟各位讲，心态方面要调整好，不要像我一样使自己陷入极端的情绪当中，这样无论是对自己正常生活还是考研复习都是非常不利的。

所以我想把这一年的经历写下来，用以告慰我在去年饱受折磨的心脏和躯体。

告诉它们今年我终于拿到了心仪学校的录取通知书，你们的付出和忍耐也终于可以扬眉了。

知道自己成功上岸的那一刻心情是极度开心的，所有心酸泪水，一扫而空，只剩下满心欢喜和对未来的向往。

首先非常想对大家讲的是，大家选择考研的这个决定实在是太正确了。

非常鼓励大家做这个决定，手握通知书，对未来充满着信念的现在的我尤其这样认为。

当然不是说除了考研就没有了别的出路。

只不过个人感觉考研这条路走的比较方便，流程也比较清晰。

没有太大的不稳定性，顶多是考上，考不上的问题。

而考得上考不上这个主观能动性太强了，就是说，自己决定自己的前途。

所以下面便是我这一年来积攒的所有干货，希望可以对大家有一点点小小的帮助。

由于想讲的实在比较多，所以篇幅较长，希望大家可以耐心看完。

文章结尾会附上我自己的学习资料，大家可以自取。

山东科技大学数学的初试科目为：(101)思想政治理论(201)英语一(710)数学分析和(835)高等代数参考书目为：1.《数学分析》（上、下册），华东师范大学数学系，高等教育出版社，2010年（第四版）2.《高等代数》，北京大学数学系，高等教育出版社，2003年（第三版）先说英语，最重要的就是两个环节：单词和真题。

关于单词单词一定要会，不用着急做题，先将单词掌握牢，背单词的方式有很多，我除了用乱序单词，我还偏好使用手机软件，背单词软件有很多，你们挑你们用的最喜欢的就好，我这里就不做分享了。

一．求极限（20分）：1、曲线)(x f y =与x y sin =在原点相切，证明：2)2(lim =∞→nnf n 。

2、求极限：⎪⎭⎫⎝⎛-→x x x x cot 11lim 0。

3、求520)]cos(1[limxdtt x x ⎰-+→。

4、求极限⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→32323212111lim n n n n n n nn 。

二．导数及高阶导数（20分）：1、设35x x x y ++=，求'y 。

2、已知xx y -=14，求)4()(>n yn 。

3、由方程⎰-=+x y dt t y x 022)cos(确定了y 是x 的函数，求dxdy 。

4、设)()('),('t f t tf y t f x -==，)('''t f 存在且)(''t f 不为零，求三阶导数33dxyd 。

三．证明题（17分）：1、设)(x f 在)0(],[>a b a 上连续，在),(b a 内可导。

证明：存在),(,b a ∈ηξ 使)('2)('ηηξf ba f +=。

2、证明：方程)2(11≥=+++-n x xx n n在)1,0(内必有惟一实根n x ，并求n n x ∞→lim 。

四．积分计算（18分）：1、计算不定积分：⎰+2)1(x e dx。

2、计算定积分：dx e x ⎰-2ln 01。

3、讨论反常积分)0()1)(1(02>++⎰∞+ααx x dx的敛散性，若收敛，求出其值。

五． 解下列各题（30分）1、设22()z f x y =+ , 其中f 具有二阶导数, 求22zx∂∂, 2z x y ∂∂∂。

2、计算积分 (),lx y ds +⎰:l 顶点为(0,0), (1,0), (1,1)的三角形边界。

3、计算积分xdydz ydzdx zdxdy ∑++⎰⎰，∑为锥面22y x z +=在平面4=z 下方的部分，取外法线方向。

山东科技大学2018年全国硕士研究生招生考试数学分析试卷一、极限问题（共20分，每小题10分）1、求极限20x →2、设 ,2,1(21,0,011=+=>>+n a a a a nn n σσ。

证明：数列{}n a 收敛，且其极限为σ。

二、一元函数的微分（共20分，每小题10分）1、已知222ln sin y y x +=，求22d ydx 。

2、设1cos , 0,(), 0,x x f x x x α-≥⎧=⎨<⎩问：当α为何值时？（1）在0x =连续；（2）在0x =可导,并求(0)f '。

三、一元函数的积分（共10分）求积分241cos2xdxxππ-⎰。

四、一元函数微积分及应用（共10分）设()f x 在[0,1]上可微且120(1)2()0f xf x dx -=⎰。

证明：()0,1ξ∃∈使得ξξξ)()('f f -=。

五、一元函数连续性和微积分（共15分）设()f x 连续，1()()g x f xt dt =⎰且0()limx f x A x→=（A 为常数）。

（1）求导函数()g x '；（2）讨论导函数()g x '在0x =处的连续性。

六、幂级数问题（共12分，第1题8分，第2题4分）1、求幂级数)11()1(11<<-+∑∞=-x n n x n n 的和函数。

2、求级数∑∞=+12)1(1n nn n 的值。

七、多元函数的微分(共12分)已知函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,)(),(2222232222y x y x y x y x y x f 试证：),(y x f 在)0,0(处连续且存在偏导数，但不可微。

八、证明题（共15分，第1题8分，第2题7分）1、设),(ηξf 具有二阶连续偏导数且满足拉普拉斯方程：02222=∂∂+∂∂ηξff ,试证：函数)2,(22xy y x f z -=也满足拉普拉斯方程02222=∂∂+∂∂yzx z 。

山科大高等数学定积分题目1.1 一、定积分计算定积分计算主要依据牛顿—莱伯尼兹公式：设⎰+=C x F dx x f )()(，则()()()()bb aaf x dx F b F a F x =-=⎰。

其主要计算方法与不定积分的计算方法是类似的，也有三个主要方法，但需要指出的是对于第Ⅱ类直接交换法，注意积分限的变化：()111()()()()()(())x t bb aa t x f x dx f t t dt ϕϕϕϕϕϕ---=='=⎰⎰。

例4.1．111)edx x⎰解：原式=e11)ln d x ⎰=32125((ln )ln )|33ex x += 例4.2．3⎰ 解：原式tx t x =+-==112221121t tdt t -+⎰=32 121t t dt t -+⎰=322125()|33t t -= 例4.3．⎰202sin πxdx x解：原式=⎰-202cos 21πx xd =⎰+-20202cos 21|2cos 21ππxdx x x=20|2sin 414ππx +=4π1.2 二、特殊类函数的定积分计算1．含绝对值函数利用函数的可拆分性质，插入使绝对值为0的点，去掉绝对值，直接积分即可。

例4.4．⎰--21|1|dx x解：原式=121 1(1)(1)x dx x dx --+-⎰⎰=212|)2(2x x -+=)121(02--+=25例4.5．⎰--++22|)1||1(|dx x x解：原式=11221 1(|1||1|)(|1||1|)(|1||1|)x x dx x x dx x x dx ---++-+++-+++-⎰⎰⎰ =11221 1(11)(11)(11)x x dx x x dx x x dx ------++++-+++-⎰⎰⎰=11221 1222xdx dx xdx ----++⎰⎰⎰=212122|4|x x ++---=)14(4)41(-++--=102．分段函数积分例4.6．⎩⎨⎧≤+>=0,10,)(2x x x x x f ，求⎰-11)(dx x f解：原式=⎰⎰-+011)()(dx x f dx x f =⎰⎰-++01102)1(dx x dx x =103012|31|)2(x x x ++- =31)121(+--=65例4.7．⎩⎨⎧≤>+=1,1,12)(x x x x x f ，求⎰-+12)1(dx x f解：原式11221(1)()u x f x dx f u du =+--=+==⎰⎰1211()()f u du f u du -+⎰⎰1222111(21)0()udu u du u u -=++=++⎰⎰624=-= 3．奇函数积分如果 ()f x 为定义在[],a a -的奇函数，则()0aa f x dx -≡⎰，这是一个很重要考点。