山东科技大学数学分析考研真题2017—2019年
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山东科技大学711微积分2019年考研真题
=
−1
<1
+1 ， ≥1
二、（本题包括 2 个小题，第一小题 12 分，第二小题 10 分，共 22 分）
1、设
f
(x,Βιβλιοθήκη y)( x 2
y2 ) sin
0
xy , (x, y) (0, 0), x2 y2
, (x, y) (0, 0),
问在点（0,0）处：（1）是否连续？（2）是否存在偏导数？（3）是否可微？
2、求微分方程 y '' 3y ' 2 y 2e x 的通解.
七、（本题包括 2 个小题，每小题 8 分，共 16 分）
1、已知 x 0 ，证明不等式： x 1 x2 ln(1 x) ． 2
2、设函数 > 0 在[0,1] 上连续，在 (0,1) 内可导，且有
1 =2 0 ，
证明：∃ ∈ 0,1 ，使 1 +
2、已知 exz xy z 0 ，求 z 、 z 和 2z .
x y yx
三、（本题包括 2 个小题，每小题 12 分，共 24 分）
1、计算定积分：（1）
1
2 arcsin xdx ；（2）
2 max(x, x2 )dx .
0
2
2、计算二重积分：
（1） xyd ，其中 D 是由直线 y 1、 x 2 及 y x 所围成的区域. D
2019 年山东科技大学 硕 士 研 究 生 入 学 考 试 专 业 课 真 题
一、（本题包括 4 个小题，每小题 6 分，共 24 分）求下列极限：
1、lim −sin −1
→0 1− 1− 2
1
2、lim ln 1−lnx
山东科技大学数据结构与操作系统考研真题2017—2019年
同步与互斥活动，并说明所定义的信号量的含义。要求用伪代码描述。
（12 分）
《数据结构》部分
一、简答题（30 分，每题 5 分） 1、串、数组、广义表从元素间关系上可以看成线性结构，它们与 一般意义上的线性表相比有何特殊性？ 2、借助栈可以实现更复杂的操作，请简述如何利用栈实现对表达 式中括号是否匹配的检验。 3、基于关键字比较的查找算法所能达到最优时间复杂度是？能否 设计一种与问题规模无关的查找算法？请给出基本思路。 4、图的广度优先遍历与树的何种遍历策略相似？请给出简单解释。 5、《数据结构》中经常采用“树形化组织”的方式来整理数据， 比如折半查找表、二叉排序树、大顶堆/小顶堆等，请简述这样 做的优点。 6、何为稳定的排序方法？何为不稳定的排序方法？哪些排序算法 是不稳定的？
①请画出该图； ②给出从顶点 3 开始的深度优先遍历序列； ③给出从顶点 4 开始的广度优先遍历序列。 3、假设有一个 10000*10000 的稀疏矩阵，期中 1%的元素为非零元 素，要求构造一个哈希表，完成以下任务。 ①设计哈希函数（根据给定非零元素的行值和列值确定其在哈
希表的位置）； ②给出处理冲突的方法； ③简要分析该哈希表的查找效率。 4、设待排序的关键字序列为{13，7，16，45，36，27，17，6， 12，56}，试分别完成以下任务： ①建小顶堆； ②给出以 13 为枢轴进行一趟快速排序的过程。 三、算法设计题（20 分，每题 10 分） 1、已知链表 A 和 B 分别表示元素递增的两个集合，试写一算法求 两个集合的交集，结果存放于链表 A 中。 2、已知二叉排序树采用二叉链表存储，试写一高效算法从小到大 输出二叉排序树中所有值小于 X 的结点的数据。
（2）如果在第一个时间单元（也就是到达时间为 1.0）期间，CPU 被
2016年山东科技大学考研真题708数学分析硕士研究生专业课考试试题
2、求幂级数
1 2 x 2 3x2 3 4 x3 n (n 1) xn
的收敛域以及和函数。
3、证明含参变量反常积分 exydy 在[a, b](a 0) 上一致收敛。 0
八、（6分）证明函数项级数
n 1
1 nx
在 (1, ) 上有连续的各阶导函数。
在，但在 0, 0 点处不可微。
2、设函数 u f (x, y, z) 有连续的一阶偏导数，又函数 y y(x) 和 z z(x) 分
别由 exy y 2, ex zx sin t dt 确定，求 du .
0t
dx
3、在曲线 x2 y2 1上找一个位于第一象限的点，使得该曲线在该点处的 4
1、计算定积分 2 sin5x cos x dx . 0
2、计算不定积分
1 4 sin2 x cos2 x dx
.
3、设函数 f (x) 在区间[0,1] 上可积,且满足 arctan x f ( x) 1 f ( x)dx, 求 0 1 f (x)dx 的值。 0
4、函数 f (x) 在区间[a, a] (a 0) 上连续，证明
a f (x)dx 1 a f (x) f (x)dx ，
a
2 a
并求定积分 1 x4 dx 的值。 11 ex
四、一元微分学 （每题8分，共16分）
1、函数 f (x) 在[a, b] 上连续，在 (a,b) 上可微，证明：存在 （a,b），使下 式成立
2 f (b) f (a) b2 a2 f '( ).
山东科技大学2016年招生硕士学位研究生入学考试试卷
山东科技大学考研真题610数学分析 2007
四、（15分）设 在 上连续,且 存在。证明： 在 上有界。又问 在 上必有最大值或最小值吗？
五、（12分）已知 是 上的连续函数，并且 存在，令 。证明： 在 是一致连续的。
六、（15分）
1．设 为正整数， ，证明： 。
2．设 ，求： 。
七、（15分）计算 ，其中 为 所围成的区域。
八、（15分）
1．计算 ，其中 为球面 被平面 所截得的圆周。
2．设曲线积分 与路径无关，其中 具有一阶连续导数，且 求 。
九、（15分）设曲面 为： 的下侧，
计算 。
十、（15分）判定幂级数 的收敛范围，并求其和函数。
一、（18分）
1．求极限： 。
2．计算定积分 。
3．设参数方程 确定函数 ，
其中 具有二阶连续导数，且 ，求 。
二、（15分）从原点 向抛物线 引两条切线，记D：由抛物线与所引两切线所围成的图形。
（1）求图形D的面积A；
（2）求图形D绕X轴旋转一周而生成的旋转体之体积 。
三、（15分ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ设 ，其中 在 可导，且 。证明：至少存在一点 ，使 。
五、（12分）已知 是 上的连续函数，并且 存在，令 。证明： 在 是一致连续的。
六、（15分）
1．设 为正整数， ，证明： 。
2．设 ，求： 。
七、（15分）计算 ，其中 为 所围成的区域。
八、（15分）
1．计算 ，其中 为球面 被平面 所截得的圆周。
2．设曲线积分 与路径无关，其中 具有一阶连续导数，且 求 。
九、（15分）设曲面 为： 的下侧，
计算 。
十、（15分）判定幂级数 的收敛范围，并求其和函数。
一、（18分）
1．求极限： 。
2．计算定积分 。
3．设参数方程 确定函数 ，
其中 具有二阶连续导数，且 ，求 。
二、（15分）从原点 向抛物线 引两条切线，记D：由抛物线与所引两切线所围成的图形。
（1）求图形D的面积A；
（2）求图形D绕X轴旋转一周而生成的旋转体之体积 。
三、（15分ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ设 ，其中 在 可导，且 。证明：至少存在一点 ，使 。
山东科技大学数字测图原理与方法考研真题2017—2019年
一、 选择题（每题2分，共10分）1、A 点的高斯坐标为=112240m ，=19343800m ，则A 点所在6°带的带号及中央子午线的经度分别为( )A x A y A. 19带，111 B. 19带，117 C . 11带，63 D. 11带，662、测量值的中误差越小，表明（ ）。
A ．测量精度越低 B. 其对应的权越小 C. 与测量精度无关 D. 以上说法都不对3、测量了两段距离及其中误差分别为：d1=136.46m±0.015m ，d2=960.76m±0.025m ，比较它们测距精度的结果为( )。
A. d1精度高B. 精度相同C. d2精度高D. 无法比较4、用经纬仪测水平角和竖直角，一般采用正倒镜方法，下面哪个仪器误差不能用正倒镜法消除（ ）。
A. 视准轴不垂直于横轴B. 竖盘指标差C. 横轴不水平D. 竖轴不竖直5、解算一条导线至少须有的已知数据是（ ）。
A. 两条边的坐标方位角，一个点的坐标B. 一条边的坐标方位角，一个点的坐标C. 两条边的坐标方位角，两个点的坐标D. 一条边的坐标方位角，两个点的坐标二、 填空题（每空1分，共15分）1、地形图的分幅方法有 和 两种。
2、衡量测量精度的指标有 、 和 。
3、测量外业依据的基准线是_____，基准面是______；测量内业计算的基准面是________，基准线是_____。
4、竖直角观测中，盘左、盘右的竖盘读数分别为94°24′30″和265°35′54″（竖盘按顺时针标注），则最终竖直角为 ，竖盘指标差为 。
5、某平面三角形中，观测了α、β两个内角，其测角中误差均为±4″，则就此推算三角形第三个内角γ的中误差为 。
6、GPS的误差按来源可分为 、 和 三类。
三、 简答题（每题7分，共70分）1、测绘学研究的对象和任务是什么？2、误差产生的原因主要有哪些？误差包括哪些种类？偶然误差具有哪些特性？3、角度测量中为何要用正、倒镜观测？水准测量时，为何要使用前后视距尽量相等？为何采用后－前－前－后的观测顺序？为何要使一测段中的测站数为偶数？4、高斯投影有哪些特点？如何建立高斯平面直角坐标系？5、什么是数字高程模型？它有何特点？它有哪些用途？6、等高线有哪些种类？等高线有何特性？7、大比例尺地面数字测图软件具有哪些功能？8、何为三联脚架法？它有何优点？简述其外业工作的作业程序。
新版山东科技大学数学考研经验考研真题考研参考书
在决定考研的那一刻，我已预料到这一年将是怎样的一年，我做好了全身心地准备和精力来应对这一年枯燥、乏味、重复、单调的机械式生活。
可是虽然如此，我实在是一个有血有肉的人呐，面对诱惑和惰性，甚至几次妥协，妥协之后又陷入对自己深深的自责愧疚当中。
这种情绪反反复复，曾几度崩溃。
所以在此想要跟各位讲，心态方面要调整好，不要像我一样使自己陷入极端的情绪当中，这样无论是对自己正常生活还是考研复习都是非常不利的。
所以我想把这一年的经历写下来，用以告慰我在去年饱受折磨的心脏和躯体。
告诉它们今年我终于拿到了心仪学校的录取通知书，你们的付出和忍耐也终于可以扬眉了。
知道自己成功上岸的那一刻心情是极度开心的，所有心酸泪水，一扫而空，只剩下满心欢喜和对未来的向往。
首先非常想对大家讲的是，大家选择考研的这个决定实在是太正确了。
非常鼓励大家做这个决定，手握通知书，对未来充满着信念的现在的我尤其这样认为。
当然不是说除了考研就没有了别的出路。
只不过个人感觉考研这条路走的比较方便，流程也比较清晰。
没有太大的不稳定性，顶多是考上，考不上的问题。
而考得上考不上这个主观能动性太强了，就是说，自己决定自己的前途。
所以下面便是我这一年来积攒的所有干货，希望可以对大家有一点点小小的帮助。
由于想讲的实在比较多，所以篇幅较长，希望大家可以耐心看完。
文章结尾会附上我自己的学习资料，大家可以自取。
山东科技大学数学的初试科目为：(101)思想政治理论(201)英语一(710)数学分析和(835)高等代数参考书目为：1.《数学分析》（上、下册），华东师范大学数学系，高等教育出版社，2010年（第四版）2.《高等代数》，北京大学数学系，高等教育出版社，2003年（第三版）先说英语，最重要的就是两个环节：单词和真题。
关于单词单词一定要会，不用着急做题，先将单词掌握牢，背单词的方式有很多，我除了用乱序单词，我还偏好使用手机软件，背单词软件有很多，你们挑你们用的最喜欢的就好，我这里就不做分享了。
山东大学数学分析考研真题2000-2019
2001年山东大学数学分析真题一、填空题1．220cos 21lim sin x x x x→-=+______。
2．2!lim n n n n n→-∞=______。
3．设u ＝xln （xy ），则22u x∂=∂______。
4．积分220x x =⎰______。
5．交换积分次序2120d (,)d x x x f x y y -=⎰⎰______。
6．积分(3,4)(0,1)d d x x y y -+=⎰______。
7．幂级数1(1)n n n n x ∞=+∑的和函数为______。
8．设f （x ）＝arctanx ，则f （2n ＋1）（0）______。
二、1．叙述函数f （x ）在[a ，b] 上一致连续和不一致连续的ε－δ型语言。
2．计算定积分20d x e x +∞-⎰。
3．叙述并证明连续函数的中间值定理。
三、本题任选两题1．设f （x ，y ）处处具有连续的一阶偏导数，且f （1，0）＝f （－1，0），试证在单位圆上存在两点（x 1，y 1）和（x 2，y 2），满足下列两式：x i f y ′（x i ，y i ）－y i f x ′（x i ，y i ）＝0，i ＝1，22．设f （x ）在[0，＋∞] 上连续且f ≥0，如果f （x ）f （y ）f （z ）≤x 2yf （z ）＋y 2zf （x ）＋z 2xf （y ） 求证：520()d 2a f x x a ≤⎰3．设f （x ）在（0，＋∞）上连续可微，且()lim 0x f x x →+∞= 求证：存在序列{x n }使得x n →＋∞且f′（x n ）→0。
2005年山东大学数学分析真题10．f （x ）对一切b 在[0，b]上可积，且lim ()2x f x →+∞=证明 00lim ()d 2t tx t t e f x x -→=⎰11．证明：2101d 16x x x π=-⎰2015年山东大学数学分析真题2016年山东大学数学分析真题2017年山东大学数学分析真题2018年山东大学数学分析真题2019年山东大学数学分析真题。
《山东大学数学分析2007-2017年考研真题及答案解析》
目录Ⅰ历年考研真题试卷 (2)山东大学2007年招收硕士学位研究生入学考试试题 (2)山东大学2009年招收硕士学位研究生入学考试试题 (3)山东大学2010年招收硕士学位研究生入学考试试题 (5)山东大学2011年招收硕士学位研究生入学考试试题 (6)山东大学2012年招收硕士学位研究生入学考试试题 (7)山东大学2014年招收硕士学位研究生入学考试试题 (8)山东大学2015年招收硕士学位研究生入学考试试题 (10)山东大学2016年招收硕士学位研究生入学考试试题 (12)山东大学2017年招收硕士学位研究生入学考试试题 (14)Ⅱ历年考研真题试卷答案解析 (16)山东大学2007年招收硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (16)山东大学2009年招收硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (22)山东大学2010年招收硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (29)山东大学2011年招收硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (34)山东大学2012年招收硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (39)山东大学2014年招收硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (46)山东大学2015年招收硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (52)山东大学2016年招收硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (59)山东大学2017年招收硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (68)Ⅰ历年考研真题试卷山东大学2007年招收硕士学位研究生入学考试试题科目代码：651科目名称：数学分析（答案必须写在答卷纸上，写在试卷上无效）1.求()sin 0lim cot xx x →2.求222222222222(),: 1.Vx y z x y z dxdydz V a b c a b c ++++=⎰⎰⎰3.求211.n n n x ∞-=∑()0,1x ∈4.证明：20lim sin 0.n n xdx π→∞=⎰5.()()0,()f a f b f x ''==有二阶导数，证明：存在,ξ满足24()()().()f f b f a b a ξ''≥--6.22220(,)0,0.x y f x y x y +≠=+≠⎩，证明：(,)f x y 在（0，0）连续，有有界偏导数,x y f f ''在（0，0）不可微。
山东科技大学数学分析2005年考研专业课初试真题
科目代码：310
请在答题纸（本）上做题，在此试卷及草稿纸上做题无效！
( f ( x))
0
1
2
dx 1 。
山东科技大学2005年招收硕士学位研究生入学考试 数学分析试卷
（共2页） 一、求下列极限：（15分） sin 4 x 1． lim x 0 x 1 1 3 1 x 1 2． lim x 0 x 3．计算： lim ( x 2 y 2 ) x 2 y 2
( x , y ) ( 0 , 0 )
( x y )dx ( x y )dy ，其中 C 为逆时针曲线 x 2 y 2 a 2 2 2 x y C 1 dS ，其中 S 为平面 x y z 1 在 八．（14分）计算机第一型曲面积分： 2 S (1 x y ) x 0, y 0, z 0 内的部分。
七．（13分）计算
九．（14分）计算： ( xdydz ydxdz zdxdy ) ，式中的 S 为球面 x 2 y 2 z 2 a 2 的外表
S
面。 十．（16分） 1．设 Nhomakorabea e 。证明： 。 2．已知
z z y nz 。 ) 满足方程： x 2 y 2 x y x
第2页
第1页
六．（18分） 1．计算 2 sin 20 xdx 的值。
0
2．设函数 f ( x) 在区间 [0,1] 上有连续的一阶导数，且 f (1) f (0) 1 。证明：
1 2 x dx 的值。 ，求 x 2 0 e 1 6 n 1 n
二．（16分）
dy d 2 y y 1．设 ln x 2 y 2 arctan , 求 , 2 。 dx dx x
请在答题纸（本）上做题，在此试卷及草稿纸上做题无效！
( f ( x))
0
1
2
dx 1 。
山东科技大学2005年招收硕士学位研究生入学考试 数学分析试卷
（共2页） 一、求下列极限：（15分） sin 4 x 1． lim x 0 x 1 1 3 1 x 1 2． lim x 0 x 3．计算： lim ( x 2 y 2 ) x 2 y 2
( x , y ) ( 0 , 0 )
( x y )dx ( x y )dy ，其中 C 为逆时针曲线 x 2 y 2 a 2 2 2 x y C 1 dS ，其中 S 为平面 x y z 1 在 八．（14分）计算机第一型曲面积分： 2 S (1 x y ) x 0, y 0, z 0 内的部分。
七．（13分）计算
九．（14分）计算： ( xdydz ydxdz zdxdy ) ，式中的 S 为球面 x 2 y 2 z 2 a 2 的外表
S
面。 十．（16分） 1．设 Nhomakorabea e 。证明： 。 2．已知
z z y nz 。 ) 满足方程： x 2 y 2 x y x
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第1页
六．（18分） 1．计算 2 sin 20 xdx 的值。
0
2．设函数 f ( x) 在区间 [0,1] 上有连续的一阶导数，且 f (1) f (0) 1 。证明：
1 2 x dx 的值。 ，求 x 2 0 e 1 6 n 1 n
二．（16分）
dy d 2 y y 1．设 ln x 2 y 2 arctan , 求 , 2 。 dx dx x
山东科技大学849概率论与数理统计2019年考研真题
p(x, y)
a
x2 ( yห้องสมุดไป่ตู้)2
e 2 , x, y
2
1、 求常数 a ；
2、判断 X 与 Y 独立否？为什么？
3、求 Z X 2 的密度函数； 4、求W 2 X 3Y 的密度函数。
四、（20 分）设 ( X ,Y ) 的联合密度函数为：
p(x)
81
1 64
y cos
x,
| x | ,| y | 2 ，令 Z X Y ，
涨？
2、求 的置信水平1 0.99 的双侧置信区间；
3、若有 的置信水平1 0.99 的双侧置信区间为
[X
S a, X n
S n
t 0.996(15)]
，且满足
P{X
S a X n
S n
t 0.997(35)}
0.99
，
试确定常数 a （用分位数表示）。
（已知：t0.99 (35) 2.4377 ，t0.99 (36) 2.4345 ，t0.995 35 2.7238 ，
的密度函数为
p(x)
2e2( x
),
0,
x x
1、 证 明 的 极 大 似 然 估 计 为 ˆ1 min X1, X2 ,L , X n ， 矩 估 计 为
ˆ2
X
1 2
，其中
X
为样本均值；
2、证明ˆ1 的分布密度函数为
f
(x)
2ne2n(x ) , 0,
x x
3、证明ˆ2
和ˆ1
1 6
6 k 1
X 2k
，V
16 5 k 1
X 2k U
2，
4
1、确定常数 a ，使 a X 2k1 X 2k 2 成为 2 分布； k 1
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1、证明不等式：当 0 x 1， e2x 1 x ； 1 x
2、证明：若 f (x) 在[a,b] 上连续，且 f (x) 0 ，则
ln 1
b f (x)dx 1
b
ln f (x)dx 。
ba a
ba a
五、定积分应用（共 15 分，第 1 题 7 分，第 2 题 8 分）
求由曲线 y x(1 x) 与 x 轴围成的区域 （1）绕 x 轴旋转一周所得旋
a
1 x
2、已知
x y
et et
cos t sin t
，求
d2y dx 2
。
三、计算下列积分（共 15 分，每题 5 分）
1、
e3x ex
1dx 1
，
2、 ln x 2dx ； x
n1
3、
1
ln[x]dx ，这里[x] 表
示不超过 x 最大整数。
四、证明不等式（共 15 分，第 1 题 7 分，第 2 题 8 分）
六、幂级数问题（共 12 分，第 1 题 8 分，第 2 题 4 分）
x
n 1
1、求幂级数
n1 n(n 1)
(1 x 1) 的和函数。
1
2、求级数
n1 n(n 1)2n
的值。
七、 多元函数的微分 (共 12 分) 已知函数
f
(x,
y)
x2y2
(x2
y2
3
)2
,
x2
y2
0
试证： f (x, y) 在 (0,0) 处连续且存在偏导数，
x2 y2 2z
z2
, 从 z 轴正向看去，取逆时针方向。
十一、曲面积分（共 12 分）计算第二型曲面积分
I x3dydz 2 y3dzdx 3z3dxdy 其中， 为球面 x2 y2 z2 a2 (a 0) 在第一
卦限部分，方向取上侧。
一、求下列极限（本题 16 分）
1、 lim 1 x 3 ； x8 2 3 x
转体的体积； （2）绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积。
六、级数和函数列问题（共 15 分，第 1 题 7 分，第 2 题 8 分）
1、
求无穷级数 (1)n
n1
n2 2n
的和。
2、设 f (x) 在[0,1] 上连续， f (1) 0 ，证明：
(1) {xn} 在[0,1] 上不一致收敛；(2) { f (x)xn}在[0,1] 上一致收敛。
山东科技大学 2018 年全国硕士研究生招生考试 数学分析试卷
一、极限问题（共 20 分，每小题 10 分）
tan2 x
1、求极限 lim
。
x0 1 x sin x 1
2、设 a1
0,
0,
an1
1 2
(an
an
),
n
1,2, 。
证明： 数列an 收敛，且其极限为 。
二、一元函数的微分（共 20 分，每小题 10 分）
九、重积分问题（共 12 分） 设 F (t)
f (x2 y 2 z2 )dxdydz 其中 f (u) 为连
x2 y2 z2 t2
续可导函数且
f
(0) 0,
f
' (0)
1
。试证：
lim
t 0
F (t t5
)
ln(1 4t) e5t 1
0。
十、曲线 积分 （共 12 分） 计算曲线积分 3ydx xzdy yz2dz ,其中 是圆周
f (1) 2
1 2
xf ( x)dx
0 。证明：
0,1 使得
f
'( )
f
( )
。
0
五、一元函数连续性和微积分（共 15 分）
设 f ( x) 连续， g(x) 1 f (xt)dt 且 lim f (x) A （ A 为常数）。
0
x0 x
（1）求导函数 g( x) ； （2）讨论导函数 g( x) 在 x 0 处的连续性。
七、 讨论题 (本题 12 分)
讨论函数
f
(x,
y)
x3 y3 , x2 y2 0 x2 y2
在 (0,0) 点
0,
x2 y2 0
（1）连续性；（2）偏导数存在性；（3）可微性。
八、极值问题（12 分） 求函数 ln x ln y 3ln z 在条件
x2 y2 z2 5r 2 (x 0, y 0, z 0) 上的极大值，以此结果 证明不等式： abc3 27 a b c 5 , 其中 a, b, c 为任意正常数。
0,
x2 y2 0
但不可微。
八、证明题（共 15 分，第 1 题 8 分，第 2 题 7 分）
1、设
f
( , ) 具有二阶连续偏导数且满足拉普拉斯方程：
2 f 2
2 f 2
0,
试证：
函数 z
f
(x2
y2,2xy) 也满足拉普拉斯方程 2z x 2
2z y 2
0。
2、证明：含参量积分 I ( ) ex2 dx ，当 0 时收敛但不一致收敛。 0
C
其中 C
是抛物线 y2
2x
上由
O(0,0)
到
A(
,1)
的一段弧。
2
十一、计算曲面积分（12 分）计算第二型曲面积分
I [ f (x, y, z) x]dydz [2 f (x, y, z) y]dzdx [ f (x, y, z) 2z]dxdy
其中， 为平面 x y z 1 在第四卦限部分，方向取上侧。
一、求极限（共 15 分，每题 5 分）
1、求
lim
x0
x
1 x
；
x
(arctan
t
)
2
dt
2、求 lim 0
；
x
1 x2
3、求 lnim
11 n2 n3
1 n2
2 n3
1 n2
n n3
。
二、计算下列各题（共 15 分，每题 5 分）
1、已知 y arctan x 2 ，求 dy ； 2、已知 y x4 ，求 y(n) (n 4) ；
5
九、重积分问题（12 分）设 F (t)
f ( x2 y2 z2 )dxdydz
x2 y2 z2 t 2
其中 f (u) 为连续可导函数且 f (0) 0, f '(0) 1 ，求 lim F (t) 。
t t0 4
十、计算曲线积分（12 分）
计算曲线积分 (2xy3 y2 cos x)dx (1 2 y sin x 3x2 )dy ,
1、已知
y2
2
ln
y
sin2
x
，求
d2y dx 2
。
2、设
f
(x)
1 cos
x
,
x, x
x 0,
0,
问：当 为何值时？
（1）在 x 0 连续； （2）在 x 0 可导, 并求 f (0) 。
三、一元函数的积分（共 10 分）
求积分
2
4
xdx 1 cos 2x
。
四、一元函数微积分及应用（共 10 分）设 f ( x) 在 [0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1] 上可微且
2、证明：若 f (x) 在[a,b] 上连续，且 f (x) 0 ，则
ln 1
b f (x)dx 1
b
ln f (x)dx 。
ba a
ba a
五、定积分应用（共 15 分，第 1 题 7 分，第 2 题 8 分）
求由曲线 y x(1 x) 与 x 轴围成的区域 （1）绕 x 轴旋转一周所得旋
a
1 x
2、已知
x y
et et
cos t sin t
，求
d2y dx 2
。
三、计算下列积分（共 15 分，每题 5 分）
1、
e3x ex
1dx 1
，
2、 ln x 2dx ； x
n1
3、
1
ln[x]dx ，这里[x] 表
示不超过 x 最大整数。
四、证明不等式（共 15 分，第 1 题 7 分，第 2 题 8 分）
六、幂级数问题（共 12 分，第 1 题 8 分，第 2 题 4 分）
x
n 1
1、求幂级数
n1 n(n 1)
(1 x 1) 的和函数。
1
2、求级数
n1 n(n 1)2n
的值。
七、 多元函数的微分 (共 12 分) 已知函数
f
(x,
y)
x2y2
(x2
y2
3
)2
,
x2
y2
0
试证： f (x, y) 在 (0,0) 处连续且存在偏导数，
x2 y2 2z
z2
, 从 z 轴正向看去，取逆时针方向。
十一、曲面积分（共 12 分）计算第二型曲面积分
I x3dydz 2 y3dzdx 3z3dxdy 其中， 为球面 x2 y2 z2 a2 (a 0) 在第一
卦限部分，方向取上侧。
一、求下列极限（本题 16 分）
1、 lim 1 x 3 ； x8 2 3 x
转体的体积； （2）绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积。
六、级数和函数列问题（共 15 分，第 1 题 7 分，第 2 题 8 分）
1、
求无穷级数 (1)n
n1
n2 2n
的和。
2、设 f (x) 在[0,1] 上连续， f (1) 0 ，证明：
(1) {xn} 在[0,1] 上不一致收敛；(2) { f (x)xn}在[0,1] 上一致收敛。
山东科技大学 2018 年全国硕士研究生招生考试 数学分析试卷
一、极限问题（共 20 分，每小题 10 分）
tan2 x
1、求极限 lim
。
x0 1 x sin x 1
2、设 a1
0,
0,
an1
1 2
(an
an
),
n
1,2, 。
证明： 数列an 收敛，且其极限为 。
二、一元函数的微分（共 20 分，每小题 10 分）
九、重积分问题（共 12 分） 设 F (t)
f (x2 y 2 z2 )dxdydz 其中 f (u) 为连
x2 y2 z2 t2
续可导函数且
f
(0) 0,
f
' (0)
1
。试证：
lim
t 0
F (t t5
)
ln(1 4t) e5t 1
0。
十、曲线 积分 （共 12 分） 计算曲线积分 3ydx xzdy yz2dz ,其中 是圆周
f (1) 2
1 2
xf ( x)dx
0 。证明：
0,1 使得
f
'( )
f
( )
。
0
五、一元函数连续性和微积分（共 15 分）
设 f ( x) 连续， g(x) 1 f (xt)dt 且 lim f (x) A （ A 为常数）。
0
x0 x
（1）求导函数 g( x) ； （2）讨论导函数 g( x) 在 x 0 处的连续性。
七、 讨论题 (本题 12 分)
讨论函数
f
(x,
y)
x3 y3 , x2 y2 0 x2 y2
在 (0,0) 点
0,
x2 y2 0
（1）连续性；（2）偏导数存在性；（3）可微性。
八、极值问题（12 分） 求函数 ln x ln y 3ln z 在条件
x2 y2 z2 5r 2 (x 0, y 0, z 0) 上的极大值，以此结果 证明不等式： abc3 27 a b c 5 , 其中 a, b, c 为任意正常数。
0,
x2 y2 0
但不可微。
八、证明题（共 15 分，第 1 题 8 分，第 2 题 7 分）
1、设
f
( , ) 具有二阶连续偏导数且满足拉普拉斯方程：
2 f 2
2 f 2
0,
试证：
函数 z
f
(x2
y2,2xy) 也满足拉普拉斯方程 2z x 2
2z y 2
0。
2、证明：含参量积分 I ( ) ex2 dx ，当 0 时收敛但不一致收敛。 0
C
其中 C
是抛物线 y2
2x
上由
O(0,0)
到
A(
,1)
的一段弧。
2
十一、计算曲面积分（12 分）计算第二型曲面积分
I [ f (x, y, z) x]dydz [2 f (x, y, z) y]dzdx [ f (x, y, z) 2z]dxdy
其中， 为平面 x y z 1 在第四卦限部分，方向取上侧。
一、求极限（共 15 分，每题 5 分）
1、求
lim
x0
x
1 x
；
x
(arctan
t
)
2
dt
2、求 lim 0
；
x
1 x2
3、求 lnim
11 n2 n3
1 n2
2 n3
1 n2
n n3
。
二、计算下列各题（共 15 分，每题 5 分）
1、已知 y arctan x 2 ，求 dy ； 2、已知 y x4 ，求 y(n) (n 4) ；
5
九、重积分问题（12 分）设 F (t)
f ( x2 y2 z2 )dxdydz
x2 y2 z2 t 2
其中 f (u) 为连续可导函数且 f (0) 0, f '(0) 1 ，求 lim F (t) 。
t t0 4
十、计算曲线积分（12 分）
计算曲线积分 (2xy3 y2 cos x)dx (1 2 y sin x 3x2 )dy ,
1、已知
y2
2
ln
y
sin2
x
，求
d2y dx 2
。
2、设
f
(x)
1 cos
x
,
x, x
x 0,
0,
问：当 为何值时？
（1）在 x 0 连续； （2）在 x 0 可导, 并求 f (0) 。
三、一元函数的积分（共 10 分）
求积分
2
4
xdx 1 cos 2x
。
四、一元函数微积分及应用（共 10 分）设 f ( x) 在 [0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1] 上可微且