§2 两类曲线积分(数学二、三不要求)【考试要求】1. 理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系.2. 掌握计算两类曲线积分的方法.3. 掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数.4. 会用曲线积分求一些几何量与物理量.153154一、基本概念1. 对弧长的曲线积分(第一类曲线积分) (1) 定义:1(,)d lim (,)ni i i Li f x y s f s λξη→==∆∑⎰，其中L 为xOy 坐标面内的一条光滑曲线， λ为将L 进行任意分割时各小弧段长度中的最大值，(,)i i ξη为各小弧段上任取的一点.155类似地可定义:1(,,)d lim (,,)ni i i i i f x y z s f s λξηζΓ→==∆∑⎰.(2) 性质(与重积分类似) ① 线性: 11221122[(,)(,)]d (,)d (,)d L LLk f x y k f x y s k f x y s k f x y s+=±⎰⎰⎰ (12,k k 为常数).156② 可加性:12(,)d (,)d (,)d LL L f x y s f x y s f x y s =+⎰⎰⎰，其中12L L L =+.③ 中值定理: 若(,)f x y 在L 上连续，则至少存在一点(,)L ξη∈，使得(,)d (,)Lf x y s f s ξη=⋅⎰， 其中s 为曲线L 的长度.157④ 对称性:若L 关于x 轴对称，则10,(,)(,)(,)d 2(,)d ,(,)(,)LL f x y f x y f x y s f x y s f x y f x y -=-⎧⎪=⎨-=⎪⎩⎰⎰，，其中1L 为L 对应于0y ≥的部分.若L 关于y 轴对称，则 20,(,)(,)(,)d 2(,)d ,(,)(,)LL f x y f x y f x y s f x y s f x y f x y -=-⎧⎪=⎨-=⎪⎩⎰⎰，，158其中2L 为L 对应于0x ≥的部分.若L 关于x ，y 具有轮换对称性(即x ，y 互换后，L 不变)，即L 关于直线y x =对称，则(,)d (,)d 1[(,)(,)]d 2LLLf x y s f y x sf x y f y x s ==+⎰⎰⎰.⑤ 积分与积分路径方向的无关性: 若L 的两个端点为A 与B ，则159(,)d (,)d ABBAf x y s f x y s =⎰⎰.注 三元函数在空间曲线Γ上对弧长的曲线积分有类似的结果.2. 对坐标的曲线积分(第二类曲线积分) (1) 定义:1(,)d (,)d lim [(,)(,)],Lni i i i i i i P x y x Q x y y P x Q y λξηξη→=+=∆+∆⎰∑其中L 为xOy 坐标面上的有向光滑曲线弧，λ为160将L 进行任意分割时各小弧段长度的最大值， (,)i i ξη为各有向小弧段上任取的一点. (2) 性质(与对弧长的曲线积分类似，以下仅列出两条)①12(,)d (,)d (,)d (,)d (,)d (,)d LL L P x y x Q x y yP x y x Q x y y P x y x Q x y y+=+++⎰⎰⎰161其中12L L L =+.②(,)d (,)d (,)d (,)d ,LLP x y x Q x y yP x y x Q x y y -+=-+⎰⎰其中L -为L 取反方向的曲线弧.注 类似地可定义d d d P x Q y R z Γ++⎰，并有类似的性质.二、重要结论1. 对弧长的曲线积分的计算方法——化162为定积分(1) 在参数方程下，若 ():()x t L y t ϕψ=⎧⎨=⎩，，t αβ≤≤，则(,)d [(),(d Lf x y s f t t t βαϕψ=⎰⎰.(2) 在直角坐标系下，若 :()x x L y y x =⎧⎨=⎩，，a xb ≤≤，则163(,)d [,(d b L a f x y s f x y x x =⎰⎰. 若():x x y L y y =⎧⎨=⎩，，c yd ≤≤，则(,)d [(),d d L c f x y s f x y y y =⎰⎰. (3) 在极坐标系下，若:()L r r θ=，αθβ≤≤，由于()cos x r θθ=，()sin y r θθ=，所以164(,)d (cos ,sin d L f x y s f r r βαθθθ=⎰⎰.注 1 将L 的参数方程代入被积表达式即可，d s 为弧微分.注2 定积分的下限应小于上限，即αβ≤. 注3 对(,,)d f x y z s Γ⎰有类似的结果. 2. 对坐标的曲线积分的计算方法——化为定积分165(1) 在参数方程下，若():()x t L y t ϕψ=⎧⎨=⎩，，α为起点的参数，β为终点的参数，则 [][]{}d d (),()()(),()()dL P x Q y P t t t Q t t t βαϕψϕϕψψ''+=+⎰⎰(2) 在直角坐标系下，若:()x x L y y x =⎧⎨=⎩，，起点的横坐标为a ，终点的横坐标为b ，则166 [][]{}d d ,(),()()d bL a P x Q y P x y x Q x y x y x x '+=+⎰⎰.特别地，若:L y c =(c 为常数，a x b ≤≤)，则 d d (,)d bL a P x Q y P x c x +=⎰⎰; 若:L x l =(l 为常数，c y d ≤≤)，则 d d (,)d d L c P x Q y Q l y y +=⎰⎰. 注1 将曲线L 的方程代入被积表达式即可.167注 2 定积分的下限是起点的参数，上限是终点的参数，积分下限不一定小于积分上限. 注3 对d d d P x Q y R z Γ++⎰有类似的结果. 注4 两类曲线积分的计算过程:(1) 画出积分曲线L 的图形;(2) 选取适当的坐标系，并写出曲线L 的参数方程;(3) 将L 的方程代入被积表达式化为定积分并计算其值.1683. 两类曲线积分之间的关系()d d d d d d d cos cos d ,L L Lx y P x Q y P Q s ss P Q s αβ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭=+⎰⎰⎰ 其中cos α，cos β是平面上有向曲线弧L 的切向量的方向余弦.类似地有169d d d (cos cos cos )d ,P x Q y R zP Q R s αβγΓΓ++=++⎰⎰其中cos α，cos cos βγ，是空间有向曲线弧Γ的切向量的方向余弦.4. 格林公式设闭区域D 由分段光滑的封闭曲线L 围成，函数(,)P x y 与(,)Q x y 在D 上具有一阶连续的偏导数，则170()d d d d L D Q P x y P x Q y x y ∂∂-=+∂∂⎰⎰⎰，其中L 是D 的边界曲线取正向.注 1 使用格林公式前要注意验证条件，特别要注意L 的方向.注2 若L 不是封闭曲线，则在使用格林公式时要添加适当的辅助线，一般是添加平行于坐标轴的直线，这样会使计算简单.注3 若D 是由曲线1L 与2L 所围成的复连通171区域，且在D 上Q P x y∂∂≡∂∂，则 12d d d d L L P x Q y P x Q y +=+⎰⎰， 其中1L 与2L 互为反方向.注4 格林公式的几何意义: 1d d 2LA x y y x =-⎰， 其中A 为由L 所围成闭区域的面积.5. 平面上的曲线积分与路径无关的条件172 设函数(,)P x y ，(,)Q x y 在单连通区域D 上具有一阶连续的偏导数，则以下四个命题等价:(1) d d LP x Q y +⎰在D 内与路径无关;(2) 对任意的点(,)x y D ∈，均有Q P x y∂∂≡∂∂; (3) d d 0L P x Q y +=⎰，其中L 为任一简单分段光滑闭曲线;(4) 在D 内存在函数(,)u x y ，使得d (,)d d u x y P x Q y =+，且17300000(,)(,)00(,)d d (,)d (,)d (,)d (,)d x y x y xy x y yxy x u x y P x Q yP x y x Q x y y Q x y y P x y x=+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰,此时称(,)u x y 为二元变上限的函数或称为二元函数全微分的原函数，000(,)P x y 是D 内一个适当的点，利用在折线上的第二类曲线积分求得，也可以利用下面的不定积分方法求出.174设(,)(,)d ()u x y P x y x C y =+⎰(将y 看作常数),令(,)uQ x y y∂=∂(将x 看作常数)，解出()C y 代入上式即得(,)u x y .6. 曲线积分的应用(1) d Ls s =⎰表示曲线弧L 的弧长.(2) (,)d LM x y s ρ=⎰表示占有平面上曲线L ，线密度为(,)x y ρ的曲线形构件的质量.175(3) 当(,)0f x y ≥时，(,)d Lf x y s ⎰表示以L 为准线，母线平行于z 轴的柱面的面积. (4) 曲线形构件的质心坐标(,)d (,)d LLx x y sx x y s ρρ=⎰⎰，(,)d (,)d LLy x y sy x y sρρ=⎰⎰.(5) 曲线形构件的转动惯量 2(,)d x LI y x y s ρ=⎰，2(,)d y LI x x y s ρ=⎰，22()(,)d O LI x y x y s ρ=+⎰.176(6) 变力沿曲线所作的功(,)d (,)d LW P x y x Q x y y =+⎰，其中变力(,)(,)(,)F x y P x y i Q x y j =+，L 为质点运动的曲线.注 以上关于平面上的曲线积分的结论都可以推广到空间上的曲线积分.(7) 环流量 向量场(,,)(,,)(,,)(,,)A x y z P x y z i Q x y z j R x y z k=++177沿有向闭曲线Γ的环流量为d d d I P x Q y R z Γ=++⎰，其中Γ为流体流动时经过的曲线.三、典型例题题型1 计算对弧长的曲线积分例 1 计算d L x yI s x y+=+⎰，其中L 为从(1,0)A 经(0,1)C 至(1,0)B -的折线1(0)x y y +=≥.178解 画出L 的图形,利用直角坐标计算.:1,01,:1,10.AC y x x CB y x x =-≤≤=+-≤≤因为在L 上1,x y +=所以()()()d d d L AC CBI x y s x y s x y s =+=+++⎰⎰⎰()()101011d 1d 12d x x x x x x --⎡⎤=⋅+++⋅⎣⎦=++=⎰⎰⎰179例2 计算4433()d LI x y s =+⎰，其中L 为内摆线(星形线)222333(0)x y a a +=>.解 画出L 的图形,利用直角坐标计算较复杂,将L 用参数方程表示为33cos ,sin ,02,x a t y a t t π==≤≤3d 3sin cos d sin2d 2s a t t t a t t ==,于是180()424433cos sin sin 2d 2I at t a t t π=+⋅⎰()77442336cos sin sin 2d 4.at t t t a π=+⋅=⎰注 可利用对称性简化为计算14,I I =其中1I 为沿星形线位于第一象限部分的积分.例 3计算d LI s =⎰，其中L 为圆周222x y a +=，直线y x =及x 轴在第一象限内所181围成图形的边界曲线.解 画出L 的图形,在直线OA 与OB 上选x 为参数, 在AB 上选t 为参数,利用可加性得d d d OAABOBI s s s=++⎰⎰⎰42d e d d aa ax a t xπ=+⋅+⎰⎰⎰()2e 1e .4aaa π=-+182例4 计算222()d I x y z s Γ=++⎰，其中Γ是曲面22292x y z ++=与平面1x z +=的交线.解 取x 为参数,将Γ表示为,11,221.x x y x z x =⎧⎪⎪=±-+≤≤+⎨⎪⎪=-⎩183由方程组确定的隐函数的求导法可得d 12d ,1,d d y x zx y x-==-于是d d s x ==由于被积函数关于y 是偶函数,Γ关于xOz坐标面对称(即用y -代替y 时,被积函数与Γ的184方程都不变), 所以1212121292d 21d 21818.I xx π--=⋅⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦==⎰⎰185例 5 计算d LI y s =⎰，其中L 为222222()()(0)x y a x y a +=->.解 曲线L 的极坐标方程为22cos2,r a θ=即r =因为积分曲线和被积函数均关于,x y 及x 轴,y 轴对称,所以1861404d 4()sin d L I y sr πθθθ==⎰⎰187424024sin d 4sin d 41.2a a aa ππθθθθ==⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰⎰题型2 计算对坐标的曲线积分 例 1 计算1882222()d ()d LI x y x x y y =++-⎰,其中L 为曲线11(02)y x x =--≤≤，其方向从原点(0,0)O 经(1,1)A 到(2,0)B .解 画出L 的图形,:,:01;OA y x x =→:2,:1 2.AB y x x =-→利用可加性得22222222()d ()d ()d ()d OAAB I x y x x y y x y x x y y=++-+++-⎰⎰()()()(){}122222221d 221d x x x x x x x x⎡⎤=+++-+--⋅-⎣⎦⎰⎰189()12220142d 22d .3x x x x =+-=⎰⎰例2 计算d d d Lx x y y z zI ++=⎰， 其中L 是从点(1,1,1)A 到点(4,4,4)B 的直线段.解 L 是空间直线段,它的参数方程为1,1,1,03,x t y t z t t =+=+=+≤≤代入被积表达式得190()331d t I t +==⎰例3 计算222d d d I xy x yz y zx z Γ=+-⎰，其中Γ为曲线2224520x y z x y ⎧++=⎨+=⎩，上由点(3,6,0)A -经点B 到点(2,4,5)C -的有向曲线弧.解 Γ的参数方程为191,2,:32,x t y t z t ==-=→- 代入被积表达式得()()()()222235224552d 1085.4tI t t t tt t -⎡⎤-=⋅-+----⋅⋅⎢⎥⎣⎦=-⎰题型3 格林公式的应用 例1 计算19222(2)d (2)d LI y xy x x x y y =++++⎰，其中L 为沿着224x y x +=的上半圆周从(4,0)A 经(0,0)O 再到A 的闭曲线.解 画出L 的图形,利用格林公式得()()22212d d d d 122.2DDI x x x y x y ππ⎡⎤=+-+=⎣⎦=⋅⋅=⎰⎰⎰⎰例2 计算193(e 1)cos d (e )sin d x xLI y x x y x y ⎡⎤=+-+-⎣⎦⎰， 其中L 分别为 (1) 连接(0,0)O ,(1,1)A 与(2,0)B 的有向折线OAB ; (2) 抛物线弧OA :2y x =.解 因为积分曲线不是封闭的,所以不能直接使用格林公式,而直接化为定积分计算有较大困难,因此先添加辅助线,与原曲线构成闭合曲线,再使用格林公式及曲线积分的性质即可.(1) :,:01;OA y x x =→194:2,:12,:0,:20.AB y x x BO y x =-→=→ 由格林公式得()02d d e 1d OABOBOxD I Q P x y x x y =-⎛⎫∂∂=---+ ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰22d de e .xDx y x ⎡⎤=--+=⎣⎦⎰⎰ （2）作辅助线 :1,:10;AC x y =→195:0,:10.CO y x =→由格林公式得 OAOACOACCO=--⎰⎰⎰⎰()()11d d e 1sin 1d e 1d xD x y y y x ⎡⎤=---+--+⎣⎦⎰⎰⎰⎰()()2100d de 1cos11e 1cos1.3x x y =-++=-++⎰⎰196例3 计算22d d 4L x y y xI x y-=+⎰，其中L 是以(1,0)为中心，半径为(1)R >的圆周取逆时针方向. 解 当(,)(0,0)x y ≠时,222224.(4)P y x Qy x y x∂-∂=≡∂+∂ 在L 上的曲线积分不满足格林公式的条件,取一足够小的椭圆(a 足够小) 222:4,l x y a +=使l 位于L 内,且取逆时针方向.由L 与l -构成一条197封闭曲线,利用格林公式有22()d d 0d d 0,4L l Dx y y xx y x y +--==+⎰⎰⎰ 即 2222d d d d 44L l x y y x x y y xI x y x y--==++⎰⎰19822222421d d 12d d 2.2l x y a x y y x a x y a aa a ππ+≤=-==⋅⋅⋅=⎰⎰⎰题型4 曲线积分与路径无关例 1 设曲线积分2d ()d Lxy x y x y ϕ+⎰与199路径无关，其中()x ϕ为连续可导函数，(0)0ϕ=，求(1,1)2(0,0)d ()d I xy x y x y ϕ=+⎰.解 先求()x ϕ,再求.I因为曲线积分与路径无关,所以,P Q y x ∂∂≡∂∂即2(),xy y x ϕ'=2()2,().x x x x C ϕϕ'==+又因为(0)0ϕ=,20,().C x x ϕ∴=∴=取折线OAB 计算20022222110d ()d d d d d 10d d .2OAB OA ABI xy x y x yxy x yx y xy x yx yx y y ϕ=+=+++=+=⎰⎰⎰⎰⎰例 2 设函数(,)Q x y 在xOy 坐标面上具有一阶连续的偏导数，曲线积分2d (,)d Lxy x Q x y y +⎰与路径无关，并且对任意201的t 恒有(,1)(1,)(0,0)(0,0)2d (,)d 2d (,)d t t xy x Q x y y xy x Q x y y +=+⎰⎰，求(,)Q x y .解 因为曲线积分与路径无关,所以,P Q y x ∂∂≡∂∂ 即22,(,)().Q x Q x y x C y x∂=∴=+∂202(,1)(0,0)1122d (,)d (0,)d 2d ()d ,t t xy x Q x y yQ y y x x C y y t +=+=+⎰⎰⎰⎰[](1,)(0,0)002d (,)d (1,)d 1()d ()d ,t ttt xy x Q x y y Q y yC y y t C y y +==+=+⎰⎰⎰⎰。
