山东省泰安市2020届高三数学一轮检测(一模)试题

山东省泰安市2019-2020学年第一次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知双曲线)，其右焦点F 的坐标为，点是第一象限内双曲线渐近线上的一点，为坐标原点，满足，线段交双曲线于点.若为的中点，则双曲线的离心率为（ ） A ．B ．2C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】 计算得到，，代入双曲线化简得到答案.【详解】双曲线的一条渐近线方程为，是第一象限内双曲线渐近线上的一点，，故，，故，代入双曲线化简得到：，故.故选：. 【点睛】本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.2．如果直线1ax by +=与圆22:1C x y +=相交，则点(),M a b 与圆C 的位置关系是（ ） A ．点M 在圆C 上 B ．点M 在圆C 外 C ．点M 在圆C 内 D ．上述三种情况都有可能【答案】B 【解析】 【分析】根据圆心到直线的距离小于半径可得,a b 满足的条件，利用(),M a b 与圆心的距离判断即可. 【详解】Q 直线1ax by +=与圆22:1C x y +=相交，∴圆心(0,0)到直线1ax by +=的距离1d =<，1>．也就是点(,)M a b 到圆C 的圆心的距离大于半径． 即点(,)M a b 与圆C 的位置关系是点M 在圆C 外． 故选：B 【点睛】本题主要考查直线与圆相交的性质，考查点到直线距离公式的应用，属于中档题． 3．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2()3f x x x=+-．若0x ≤，则()0f x ≤的解集是（ ） A ．[2,1]--B ．(,2][1,0]-∞-⋃-C ．(,2][1,0)-∞-⋃-D ．(,2)(1,0]-∞-⋃-【答案】B 【解析】 【分析】利用函数奇偶性可求得()f x 在0x <时的解析式和()0f ，进而构造出不等式求得结果. 【详解】()f x Q 为定义在R 上的奇函数，()00f ∴=.当0x <时，0x ->，()23f x x x∴-=---， ()f x Q 为奇函数，()()()230f x f x x x x∴=--=++<，由0230x x x <⎧⎪⎨++≤⎪⎩得：2x -≤或10x -≤<； 综上所述：若0x ≤，则()0f x ≤的解集为(][],21,0-∞--U . 故选：B . 【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，涉及到利用函数奇偶性求解对称区间的解析式；易错点是忽略奇函数在0x =处有意义时，()00f =的情况.4．己知函数sin ,2,2(),2223sin ,2,2(),222x x k k k z y x x k k k z ππππππππππ⎧⎛⎫⎡⎫+∈-+∈ ⎪⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣⎭=⎨⎛⎫⎡⎫⎪-+∈++∈ ⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣⎭⎩的图象与直线(2)(0)y m x m =+>恰有四个公共点()()()()11123344,,,,.,,,A x y B x y C x y D x y ，其中1234x x x x <<<，则()442tan x x +=（ ） A ．1- B ．0C ．1D．22+ 【答案】A 【解析】 【分析】先将函数解析式化简为|cos |y x =，结合题意可求得切点4x 及其范围4,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，根据导数几何意义，即可求得()442tan x x +的值. 【详解】函数sin ,2,2(),2223sin ,2,2(),222x x k k k z y x x k k k z ππππππππππ⎧⎛⎫⎡⎫+∈-+∈ ⎪⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣⎭=⎨⎛⎫⎡⎫⎪-+∈++∈ ⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣⎭⎩即|cos |y x =直线(2)(0)y m x m =+>与函数|cos |y x =图象恰有四个公共点，结合图象知直线(2)(0)y m x m =+>与函数cos y x =-相切于4x ，4,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 因为sin y x '=， 故444cos sin 2x k x x -==+，所以()()()()4444444sin 1221c 2tan os 2x x x x x x x -+⨯=+⨯=-++=.故选：A. 【点睛】本题考查了三角函数的图像与性质的综合应用，由交点及导数的几何意义求函数值，属于难题.5．已知函数3sin ()(1)()x x x xf x x m x e e-+=+-++为奇函数，则m =（ ）A ．12B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】 【分析】根据()f x 整体的奇偶性和部分的奇偶性，判断出m 的值. 【详解】依题意()f x 是奇函数.而3sin y x x =+为奇函数，x xy e e -=+为偶函数，所以()()()1gx x m x =+-为偶函数，故()()0gx g x --=，也即()()()()110x m x x m x +---+=，化简得()220m x -=，所以1m =.故选：B 【点睛】本小题主要考查根据函数的奇偶性求参数值，属于基础题. 6．已知函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+>≤，4πx =-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴，且()f x 在区间(,)43ππ上单调，则ω的最大值是（ ）A ．12B ．11C ．10D ．9【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得()4k πωϕπ-+=g ，且42k ππωϕπ+='+g ，故有2()1k k ω='-+①，再根据12234πππω-g …，求得12ω…②，由①②可得ω的最大值，检验ω的这个值满足条件．【详解】解：函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ…，4πx =-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴， ()4k πωϕπ∴-+=g ，且42k ππωϕπ+='+g ，k 、k Z '∈，2()1k k ω∴='-+，即ω为奇数①． ()f x Q 在(4π，)3π单调，∴12234πππω-g…，12ω∴…②． 由①②可得ω的最大值为1． 当11ω=时，由4x π=为()y f x =图象的对称轴，可得1142k ππϕπ⨯+=+，k Z ∈，故有4πϕ=-，()4k πωϕπ-+=g ，满足4πx =-为()f x 的零点， 同时也满足满足()f x 在,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调， 故11ω=为ω的最大值， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查正弦函数的图象的特征，正弦函数的周期性以及它的图象的对称性，属于中档题． 7．某个命题与自然数n 有关，且已证得“假设()*n k k N =∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”．现已知当7n =时，该命题不成立，那么（ ） A ．当8n =时，该命题不成立 B ．当8n =时，该命题成立 C ．当6n =时，该命题不成立 D ．当6n =时，该命题成立【答案】C 【解析】 【分析】写出命题“假设()*n k k N=∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”的逆否命题，结合原命题与逆否命题的真假性一致进行判断. 【详解】由逆否命题可知，命题“假设()*n k k N =∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”的逆否命题为“假设当()1n k k N*=+∈时该命题不成立，则当n k =时该命题也不成立”，由于当7n =时，该命题不成立，则当6n =时，该命题也不成立，故选：C. 【点睛】本题考查逆否命题与原命题等价性的应用，解题时要写出原命题的逆否命题，结合逆否命题的等价性进行判断，考查逻辑推理能力，属于中等题.8．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，410S =，则6S =（ ） A ．21 B ．22C ．11D ．12【答案】A 【解析】 【分析】由题意知24264,,S S S S S --成等差数列，结合等差中项，列出方程，即可求出6S 的值. 【详解】解：由{}n a 为等差数列，可知24264,,S S S S S --也成等差数列，所以()422642S S S S S -=+- ，即()62103310S ⨯-=+-，解得621S =. 故选:A. 【点睛】本题考查了等差数列的性质，考查了等差中项.对于等差数列，一般用首项和公差将已知量表示出来，继而求出首项和公差.但是这种基本量法计算量相对比较大，如果能结合等差数列性质，可使得计算量大大减少.9．如图，平面四边形ACBD 中，AB BC ⊥，AB DA ⊥，1AB AD ==，2BC =，现将ABD △沿AB 翻折，使点D 移动至点P ，且PA AC ⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．8πB ．6πC ．4πD ．823π 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得PA ⊥面ABC ，可知PA BC ⊥，因为AB BC ⊥，则BC ⊥面PAB ，于是BC PB ⊥.由此推出三棱锥P ABC -外接球球心是PC 的中点，进而算出2CP =，外接球半径为1，得出结果. 【详解】解：由DA AB ⊥，翻折后得到PA AB ⊥，又PA AC ⊥， 则PA ⊥面ABC ，可知PA BC ⊥．又因为AB BC ⊥，则BC ⊥面PAB ，于是BC PB ⊥， 因此三棱锥P ABC -外接球球心是PC 的中点．计算可知2CP =，则外接球半径为1，从而外接球表面积为4π．故选：C. 【点睛】本题主要考查简单的几何体、球的表面积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力及创新意识，属于中档题．10．设a b c ，，为非零实数，且a c b c >>，，则（ ） A ．a b c +> B ．2ab c >C ．a b2c +> D ．112a b c+> 【答案】C 【解析】 【分析】取1,1,2a b c =-=-=-，计算知ABD 错误，根据不等式性质知C 正确，得到答案. 【详解】,a c b c >>，故2a b c +>，2a bc +>，故C 正确； 取1,1,2a b c =-=-=-，计算知ABD 错误； 故选：C . 【点睛】本题考查了不等式性质，意在考查学生对于不等式性质的灵活运用.11．已知函数()ln f x x ax b =++的图象在点(1,)a b +处的切线方程是32y x =-，则a b -=（ ） A ．2 B ．3 C ．-2 D ．-3【答案】B 【解析】 【分析】根据(1)3f '=求出2,a =再根据(1,)a b +也在直线32y x =-上，求出b 的值，即得解. 【详解】 因为1()f x a x'=+，所以(1)3f '= 所以13,2a a +==，又(1,)a b +也在直线32y x =-上， 所以1a b +=， 解得2,1,a b ==- 所以3a b -=. 故选：B 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 12．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．240B ．264C ．274D ．282【答案】B 【解析】 【分析】将三视图还原成几何体，然后分别求出各个面的面积，得到答案. 【详解】由三视图可得，该几何体的直观图如图所示， 延长BE 交DF 于A 点，其中16AB AD DD ===，3AE =，4AF =， 所以表面积()3436536246302642S ⨯=⨯+⨯+⨯+⨯+=. 故选B 项.【点睛】本题考查三视图还原几何体，求组合体的表面积，属于中档题 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年山东省泰安市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，集合B={3，4}，则（∁U A）∪B=（）A．{4}B．{2，3，4}C．{3，4，5}D．{2，3，4，5}2．已知为实数，则实数t的值为（）A．1 B．﹣1 C．D．3．如图是一个程序框图，则输出S的值是（）A．84 B．35 C．26 D．104．下列说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．已知y=f（x）是R上的可导函数，则“f′（x0）=0”是“x0是函数y=f（x）的极值点”的必要不充分条件C．命题“存在x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“对任意x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“角α的终边在第一象限角，则α是锐角”的逆否命题为真命题5．高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的（）A．B．C．D．6．已知点及抛物线x2=﹣4y上一动点P（x，y），则|y|+|PQ|的最小值是（）A．B．1 C．2 D．37．已知A（2，1），O（0，0），点M（x，y）满足，则的最大值为（）A．﹣5 B．﹣1 C．0 D．18．已知下列三个命题：①若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；②在区间[﹣1，5]上随机选取一个数x，则x≥3的概率为；③直线x+y+1=0与圆相切；其中真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．39．已知函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（）A．3 B．C．D．10．奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）为偶函数，且f（1）=2，则f（4）+f（5）的值为（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，请把答案填写在答题卡相应位置. 11．已知，则cos（30°﹣2α）的值为______．12．随机抽取100名年龄在[10，20），[20，30）…，[50，60）年龄段的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示，从不小于30岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取22人，则在[50，60）年龄段抽取的人数为______．13．已知{a n}为等比数列，下列结论①a3+a5≥2a4；②；③若a3=a5，则a1=a2；④若a5＞a3，则a7＞a5．其中正确结论的序号是______．14．在平行四边形ABCD中，为CD的中点，若．则AD的长为______．15．若函数f（x）=﹣2x3+2tx2+1存在唯一的零点，则实数t的取值范围为______．三、解答题：本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．已知函数f（x）=sinxcos（x+）+1．（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边f（C）=，b=4，•=12，求c．17．有两个袋子，其中甲袋中装有编号分别为1、2、3、4的4个完全相同的球，乙袋中装有编号分别为2、4、6的3个完全相同的球．（Ⅰ）从甲、乙袋子中各取一个球，求两球编号之和小于8的概率；（Ⅱ）从甲袋中取2个球，从乙袋中取一个球，求所取出的3个球中含有编号为2的球的概率．18．已知等比数列{a n}的公比q＞1，a1=1，且a1，a3，a2+14成等差数列，数列{b n}满足：a1b1+a2b2+…+a n b n=（n﹣1）•3n+1，n∈N．（I）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）若ma n≥b n﹣8恒成立，求实数m的最小值．19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB⊥平面PAC，∠APC=90°，E是AB的中点，M是CE 的中点，N点在PB上，且4PN=PB．（Ⅰ）证明：平面PCE⊥平面PAB；（Ⅱ）证明：MN∥平面PAC．20．如图：A，B，C是椭圆的顶点，点F（c，0）为椭圆的右焦点，离心率为，且椭圆过点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若P是椭圆上除顶点外的任意一点，直线CP交x轴于点E，直线BC与AP相交于点D，连结DE．设直线AP的斜率为k，直线DE的斜率为k1，证明：．21．已知函数f（x）=lnx（Ⅰ）求函数的最大值．（Ⅱ）证明：；（Ⅲ）若不等式mf（x）≥a+x对所有的都成立，求实数a的取值范围．2020年山东省泰安市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，集合B={3，4}，则（∁U A）∪B=（）A．{4}B．{2，3，4}C．{3，4，5}D．{2，3，4，5}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据全集U求出A的补集，找出A补集与B的并集即可．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，∴∁U A={4，5}，∵B={3，4}，则（∁U A）∪B={3，4，5}．故选：C．2．已知为实数，则实数t的值为（）A．1 B．﹣1 C．D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由虚部为0求得t值．【解答】解：∵z1=2t+i，z2=1﹣2i，∴=，又为实数，∴4t+1=0，即t=﹣．故选：D．3．如图是一个程序框图，则输出S的值是（）A．84 B．35 C．26 D．10【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当k=1时，不满足退出循环的条件，执行循环后，S=1，k=3；当k=3时，不满足退出循环的条件，执行循环后，S=10，k=5；当k=5时，不满足退出循环的条件，执行循环后，S=35，k=7；当k=7时，满足退出循环的条件，故输出的S值为35，故选：B．4．下列说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．已知y=f（x）是R上的可导函数，则“f′（x0）=0”是“x0是函数y=f（x）的极值点”的必要不充分条件C．命题“存在x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“对任意x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“角α的终边在第一象限角，则α是锐角”的逆否命题为真命题【考点】命题的真假判断与应用．【分析】利用命题的定义判断A的正误；函数的极值的充要条件判断B的正误；命题的否定判断C的正误；四种命题的逆否关系判断D的正误；【解答】解：对于A，命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”，不满足否命题的定义，所以A不正确；对于B，已知y=f（x）是R上的可导函数，则“f′（x0）=0”函数不一定有极值，“x0是函数y=f（x）的极值点”一定有导函数为0，所以已知y=f（x）是R上的可导函数，则“f′（x0）=0”是“x0是函数y=f（x）的极值点”的必要不充分条件，正确；对于C，命题“存在x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“对任意x∈R，均有x2+x+1＜0”，不满足命题的否定形式，所以不正确；对于D，命题“角α的终边在第一象限角，则α是锐角”是错误命题，则逆否命题为假命题，所以D不正确；故选：B．5．高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】剩余几何体为四棱锥，分别计算出三棱柱和剩余几何体的体积．【解答】解：由俯视图可知三棱柱的底面积为=2，∴原直三棱柱的体积为2×4=8．由剩余几何体的直观图可知剩余几何体为四棱锥，四棱锥的底面为侧视图梯形的面积=6，由俯视图可知四棱锥的高为2，∴四棱锥的体积为=4．∴该几何体体积与原三棱柱的体积比为．故选C．6．已知点及抛物线x2=﹣4y上一动点P（x，y），则|y|+|PQ|的最小值是（）A．B．1 C．2 D．3【考点】抛物线的简单性质；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系．【分析】抛物线的准线是y=1，焦点F（0，﹣1）．设P到准线的距离为d，利用抛物线的定义得出：y+|PQ|=d﹣1+|PQ|=|PF|+|PQ|﹣1≥|FQ|﹣1，利用当且仅当F、Q、P共线时取最小值，从而得出故y+|PQ|的最小值．【解答】解：抛物线x2=4y的准线是y=1，焦点F（0，﹣1）．设P到准线的距离为d，则y+|PQ|=d﹣1+|PQ|=|PF|+|PQ|﹣1≥|FQ|﹣1=3﹣1=2（当且仅当F、Q、P共线时取等号）故y+|PQ|的最小值是2．故选：C．7．已知A（2，1），O（0，0），点M（x，y）满足，则的最大值为（）A．﹣5 B．﹣1 C．0 D．1【考点】简单线性规划．【分析】先画出平面区域D，进行数量积的运算即得z=2x+y﹣5，所以y=﹣2x+5+z，所以根据线性规划的方法求出z的最大值即可．【解答】解：表示的平面区域D，如图中阴影部分所示，A（2，1），O（0，0），点M（x，y）的=（2，1）•（x﹣2，y﹣1）=2x+y﹣5；∴y=﹣2x+5+z；∴5+z表示直线y=﹣2x+5+z在y轴上的截距，所以截距最大时z最大；如图所示，当该直线经过点A1（2，2）时，截距最大，此时z最大；所以点A1（2，2）代入直线y=﹣2x+5+z即得z=1．故选：D．8．已知下列三个命题：①若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；②在区间[﹣1，5]上随机选取一个数x，则x≥3的概率为；③直线x+y+1=0与圆相切；其中真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据标准差的含义，可判断①；根据几何概型概率计算公式，可判断②；根据直线与圆的位置关系，可判断③【解答】解：①若两组数据的平均数相等，不表示离散程度相等，则它们的标准差可能不相等，故为假命题；②在区间[﹣1，5]上随机选取一个数x，则x≥3的概率为=≠，故为假命题；③（0，0）点到直线x+y+1=0的距离d=，故直线x+y+1=0与圆相切，故为真命题；故选：B．9．已知函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（）A．3 B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】函数的图象向右平移个单位后与原图象重合可判断出是周期的整数倍，由此求出ω的表达式，判断出它的最小值【解答】解：∵函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，∴=n×，n∈z，∴ω=3n，n∈z，又ω＞0，故其最小值是3．故选：A．10．奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）为偶函数，且f（1）=2，则f（4）+f（5）的值为（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2【考点】抽象函数及其应用；奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数的奇偶性的性质，得到f（x+4）=f（x），即可得到结论．【解答】解：∵f（x+1）为偶函数，f（x）是奇函数，∴设g（x）=f（x+1），则g（﹣x）=g（x），即f（﹣x+1）=f（x+1），∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x+1）=f（x+1）=﹣f（x﹣1），即f（x+2）=﹣f（x），f（x+4）=f（x+2+2）=﹣f（x+2）=f（x），则f（4）=f（0）=0，f（5）=f（1）=2，∴f（4）+f（4）=0+2=2，故选：A．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，请把答案填写在答题卡相应位置. 11．已知，则cos（30°﹣2α）的值为．【考点】二倍角的余弦；两角和与差的余弦函数．【分析】利用诱导公式求得sin（15°﹣α）=，再利用二倍角的余弦公式可得cos（30°﹣2α）=1﹣2sin2（15°﹣α），运算求得结果．【解答】解：∵已知，∴sin（15°﹣α）=，则cos（30°﹣2α）=1﹣2sin2（15°﹣α）=，故答案为．12．随机抽取100名年龄在[10，20），[20，30）…，[50，60）年龄段的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示，从不小于30岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取22人，则在[50，60）年龄段抽取的人数为2．【考点】频率分布直方图．【分析】根据频率分布直方图，求出样本中不小于30岁人的频率与频数，再求用分层抽样方法抽取的人数【解答】解：根据频率分布直方图，得；样本中不小于30岁的人的频率是1﹣0.020×10+0.025×10=0.55，∴不小于30岁的人的频数是100×0.55=55；从不小于30岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取22人，在[50，60）年龄段抽取的人数为22×=22×=2．故答案为：2．13．已知{a n}为等比数列，下列结论①a3+a5≥2a4；②；③若a3=a5，则a1=a2；④若a5＞a3，则a7＞a5．其中正确结论的序号是②④．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据等比数列的性质结合不等式的关系进行判断即可．【解答】解：①a n=（﹣1）n，则a3+a5≥2a4不成立，故①错误，②∵a32+a52≥2|a3a5|=2a42；故；故②正确，③若a n=（﹣1）n，则a3=a5=﹣1，但a1=﹣1，a2=1，a1=a2；不成立，故③错误，④若a5＞a3，则q2a3＞a3，∵q2＞0，∴q2a5＞q2a3，即a7＞a5成立，故④正确，故正确的是②④，故答案为：②④．14．在平行四边形ABCD中，为CD的中点，若．则AD的长为1．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】用表示出，代入数量积公式解出AD．【解答】解：，==﹣+．∴=（）•（﹣）=﹣++=1．∵=，=AD2，．∴AD2+﹣=1，解得AD=1．故答案为：1．15．若函数f（x）=﹣2x3+2tx2+1存在唯一的零点，则实数t的取值范围为t＞﹣．【考点】函数零点的判定定理．【分析】求解导数f′（x）=﹣6x2+4tx，分类讨论得出极值点，根据单调性判断极值的大小，即可得出零点的个数．【解答】解：∵函数f（x）=﹣2x3+2tx2+1，∴f′（x）=﹣6x2+4tx=0，∴x=0，x=（1）当t=0时，f（x=﹣2x3+1单调递减，f（0）=1＞0，f（2）=﹣15＜0∴存在唯一的零点，是正数．（2）当t＞0时，f′（x）=﹣6x2+4tx＞0，即0f′（x）=﹣6x2+4tx＜00，即x＜0，x∴f（x）在（﹣∞，0），（，+∞）单调递减在（0，）单调递增∴极大值f（）＞f（1），极小值f（0）=1＞0，∴存在唯一的零点，（3）当t＜0时，f′（x）=﹣6x2+4tx＞0，即＜x＜0f′（x）=﹣6x2+4tx＜00，即x＜，x＞0∴f（x）在（﹣∞，），（0，+∞）单调递减在（，0）单调递增∴极小值f（）＜f（1），极大值f（0）=1＞0，∵只需极小值f（）＞0即可，+1＞0，且t＜0∴﹣＜t＜0，综上：﹣＜t＜0，或t≥0故答案为：t＞﹣．三、解答题：本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．已知函数f（x）=sinxcos（x+）+1．（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边f（C）=，b=4，•=12，求c．【考点】解三角形；两角和与差的余弦函数．【分析】（1）使用和角公式展开再利用二倍角公式与和角的正弦公式化简f（x），利用正弦函数的单调性列出不等式解出；（2）根据f（C）=求出C，根据，•=12解出a，使用余弦定理解出c．【解答】解：（1）f（x）=sinx（cosx﹣sinx）+1=sin2x﹣+1=sin（2x+）+．令≤2x+≤，解得≤x≤．∴函数f（x）的单调递减区间是[，]，k∈Z．（2）∵f（C）=sin（2C+）+=，∴sin（2C+）=1，∴C=．∵•=abcosA=2a=12，∴a=2．由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=12+16﹣24=4．∴c=2．17．有两个袋子，其中甲袋中装有编号分别为1、2、3、4的4个完全相同的球，乙袋中装有编号分别为2、4、6的3个完全相同的球．（Ⅰ）从甲、乙袋子中各取一个球，求两球编号之和小于8的概率；（Ⅱ）从甲袋中取2个球，从乙袋中取一个球，求所取出的3个球中含有编号为2的球的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）利用列举法能求出两球编号之和小于8的概率．（Ⅱ）从甲袋中任取2球，从乙袋中任取一球，先求出所有基本事件个数，再求出含有编号2的基本事件个数，由此能求出所取出的3个球中含有编号为2的球的概率．【解答】解：（Ⅰ）将甲袋中编号分别为1，2，3，4的4个分别记为A1，A2，A3，A4，将乙袋中编号分别为2，4，6的三个球分别记为B2，B4，B6，从甲、乙两袋中各取一个小球的基本事件为：（A1，B2），（A1，B4），（A1，B6），（A2，B2），（A2，B4），（A2，B6），（A3，B2），（A3，B4），（A3，B6），（A4，B2），（A4，B4），（A4，B6），共12种，其中两球面镜编号之和小于8的共有8种，所以两球编号之和小于8的概率为：=．（Ⅱ）从甲袋中任取2球，从乙袋中任取一球，所有基本事件个数n==18，其中不含有编号2的基本事件有，∴含有编号2的基本事件个数m=18﹣6=12，∴所取出的3个球中含有编号为2的球的概率p=．18．已知等比数列{a n}的公比q＞1，a1=1，且a1，a3，a2+14成等差数列，数列{b n}满足：a1b1+a2b2+…+a n b n=（n﹣1）•3n+1，n∈N．（I）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）若ma n≥b n﹣8恒成立，求实数m的最小值．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（I）数列{a n}是首项为1，公比为q的等比数列，运用等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，解方程可得a n=3n﹣1，再将n换为n﹣1，两式相减可得b n=2n﹣1；（2）若ma n≥b n﹣8恒成立，即为m≥的最大值，由c n=，作差，判断单调性，即可得到最大值，进而得到m的最小值．【解答】解：（I）∵数列{a n}是首项为1，公比为q的等比数列，∴a n=q n﹣1，由a1，a3，a2+14成等差数列，可得2a3=a1+a2+14，即为2q2=1+q+14，解得q=3（负的舍去），即有a n=3n﹣1，∴a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n=b1+3b2+32b3+…+3n﹣1b n=（n﹣1）•3n+1，∴b1+3b2+32b3+…+3n﹣2b n﹣1=（n﹣1﹣1）•3n﹣1+1（n≥2），两式相减得：3n﹣1b n=（n﹣1）•3n﹣（n﹣2）•3n﹣1=（2n﹣1）•3n﹣1，∴b n=2n﹣1，当n=1时，a1b1=1，即b1=1满足上式，∴数列{b n}的通项公式是b n=2n﹣1；（2）若ma n≥b n﹣8恒成立，即为m≥的最大值，由c n=，n≥2时，c n﹣1=，c n﹣c n﹣1=﹣=，可得n=2，3，…，6时，c n≥c n﹣1；n=7，…时，c n＜c n﹣1．即有n=5或6时，c n取得最大值，且为，即为m≥，可得m的最小值为．19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB⊥平面PAC，∠APC=90°，E是AB的中点，M是CE 的中点，N点在PB上，且4PN=PB．（Ⅰ）证明：平面PCE⊥平面PAB；（Ⅱ）证明：MN∥平面PAC．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．【分析】（I）由AB⊥平面PAC可得AB⊥PC，再结合AP⊥PC得出PC⊥平面PAB，故而平面PCE⊥平面PAB；（II）取AE中点Q，连结NQ，MQ，则可证明平面MNQ∥平面PAC，故而MN∥平面PAC．【解答】证明：（I）∵AB⊥平面PAC，PC⊂平面PAC，∴AB⊥PC，∵∠APC=90°，∴AP⊥PC，又∵AP⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，AP∩AB=A，∴PC⊥平面PAB，∵PC⊂平面PCE，∴平面PCE⊥平面PAB．（II）取AE中点Q，连结NQ，MQ，∵M是CE中点，∴MQ∥AC，∵PB=4PN，AB=4AQ，∴QN∥AP，又∵AP∩PC=P，AP⊂平面APC，PC⊂平面APC，QN∩QM=Q，QN⊂平面MNQ，QM⊂平面MNQ，∴平面MNQ∥平面PAC，∵MN⊂平面MNQ，∴MN∥平面PAC．20．如图：A，B，C是椭圆的顶点，点F（c，0）为椭圆的右焦点，离心率为，且椭圆过点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若P是椭圆上除顶点外的任意一点，直线CP交x轴于点E，直线BC与AP相交于点D，连结DE．设直线AP的斜率为k，直线DE的斜率为k1，证明：．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．【分析】（I）由题意得=， +=1，a2=b2+c2．联立解得即可得出椭圆方程．（Ⅱ）由截距式可得直线BC的方程为：y=x+2．直线AP的方程为：y=k（x﹣4），与椭圆方程联立可得：（4k2+1）x2﹣32k2x+64k2﹣16=0，又点P在椭圆上，利用根与系数的关系可得P．利用斜率计算公式可得k CP，可得直线CP的方程，可得E．把直线BC与AP的方程联立可得D．可得直线DE 的斜率，化简整理即可证明．【解答】解：（I）由题意得=， +=1，a2=b2+c2．联立解得a2=16，b2=4，∴椭圆C： +=1．证明：（Ⅱ）A（4，0），B（﹣4，0），C（0，2），直线BC的方程为：=1，化为：y=x+2．直线AP的方程为：y=k（x﹣4），与椭圆方程联立可得：（4k2+1）x2﹣32k2x+64k2﹣16=0，又点P在椭圆上，∴4x P=，解得x P=，∴y P=k（x P﹣4）=，故P．k CP==，故直线CP的方程为：y=x+2，令y=0，解得x=，可得E．把直线BC与AP的方程联立可得：，解得，∴D．直线DE的斜率为k1===，∴．21．已知函数f（x）=lnx（Ⅰ）求函数的最大值．（Ⅱ）证明：；（Ⅲ）若不等式mf（x）≥a+x对所有的都成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可；（Ⅱ）令h（x）=x﹣f（x），求出h（x）的导数，得到函数的单调区间，求出h（x）的最小值，结合F（x）的最大值，从而证出结论即可；（Ⅲ）利用参数分离法，转化为以m为变量的函数关系进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）F（x）=+=+，F′（x）=，令F′（x）＞0，解得：x＜e，令F′（x）＜0，解得：x＞e，∴F（x）在（0，e）递增，在（e，+∞）递减，故F（x）max=+；证明：（Ⅱ）令h（x）=x﹣f（x），则h′（x）=，从而h（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，∴h（x）的最小值是h（1）=1，又F（x）的最大值是+＜1，∴F（x）＜h（x），即+＜x﹣f（x）；解：（Ⅲ）不等式mf（x）≥a+x对所有的m∈[0，]，x∈[1，e2]都成立，则a≤mlnx﹣x对所有的m∈[0，]，x∈[1，e2]都成立，令H（x）=mlnx﹣x，m∈[0，]，x∈[1，e2]是关于m的一次函数，∵x∈[1，e2]，∴lnx∈[0，2]，∴当m=0时，H（m）取得最小值﹣x，即a≤﹣x，当x∈[1，e2]时，恒成立，故a≤﹣e2．2020年9月19日。

专题5 三角函数与解三角形1.近几年高考在对三角恒等变换考查的同时，对三角函数图象与性质的考查力度有所加强，往往将三角恒等变换与三角函数的图象和性质结合考查，先利用三角公式进行化简，然后进一步研究三角函数的性质.其中三角函数的定义域值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性以及图象变换是主要考查对象，难度以中档以下为主.2.高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，题型多变，往往以小题的形式独立考查正弦定理或余弦定理，以解答题的形式综合考查定理的综合应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三角恒等变换等结合考查，试题难度控制在中等或以下，主要考查灵活运用公式求解计算能力、推理论证能力、数学应用意识、数形结合思想等．预测2020年将突出考查恒等变换与三角函数图象和性质的结合、恒等变换与正弦定理和余弦定理的结合.一、单选题1．（2020届山东省潍坊市高三上期中）sin 225︒= （ ）A ．12-B ．2-C ．D ．1-2．（2020届山东省泰安市高三上期末）“1a <-”是“0x ∃∈R ，0sin 10+<a x ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知345sin πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos α=（ ）A ．10B ．10C ．2 D ．104．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）设函数2sin cos ()(,0)x x xf x a R a ax +=∈≠，若(2019)2f -=，(2019)f =( )A ．2B ．-2C ．2019D ．-20195．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）已知函数()cos()(0)f x x ωϕω=+>的最小正周期为π，且对x ∈R ，()3f x f π⎛⎫⎪⎝⎭…恒成立，若函数()y f x =在[0,]a 上单调递减，则a 的最大值是（ ） A ．π6 B ．π3C ．2π3D ．5π66．（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）若π1sin 34α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）．A ．78-B ．14-C ．14 D ．787．（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数()sin cos f x x x =+，则（ ） A ．()f x 的最小正周期为π B ．()y f x =图象的一条对称轴方程为4x π=C ．()f x 的最小值为2-D ．()f x 的0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数8．（2020届山东省九校高三上学期联考）如图是一个近似扇形的鱼塘，其中OA OB r ==，弧AB 长为l （l r <）.为方便投放饲料，欲在如图位置修建简易廊桥CD ，其中34OC OA =，34OD OB =.已知1(0,)2x ∈时，3sin 3!x x x ≈-，则廊桥CD 的长度大约为（ ）A ．323432r r l - B ．323432l l r - C ．32324l l r-D ．32324r r l-9．（2020·武邑县教育局教研室高三上期末（理））已知()cos 2cos 2παπα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，且()1tan 3αβ+=，则tan β的值为（） A ．-7B ．7C ．1D ．-110．（2020届山东师范大学附中高三月考）为了得函数23y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需把函数2y sin x =的图象（ ） A ．向左平移6π个单位 B ．向左平移3π单位 C ．向右平移6π个单位 D ．向右平移3π个单位11．（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）将曲线()cos 2y f x x =上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移4π个单位长度，得到曲线cos 2y x =，则6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．1B ．-1C D ．12．（2020届山东省济宁市高三上期末）在ABC ∆中,1,3,1AB AC AB AC ==⋅=-u u u r u u u r,则ABC ∆的面积为( )A ．12B ．1CD ．213．（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）将函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移()0a a >个单位得到函数()πcos 24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，则a 的值可以为（ ）A ．5π12B ．7π12C ．19π24D ．41π2414．（2020届山东省临沂市高三上期末）已知函数2()2cos 12f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭(0)>ω的图象关于直线4x π=对称，则ω的最小值为（ ） A ．13B ．16C ．43D ．5615．（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）已知△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos cos cos b B a C c A =+，2b =，则△ABC 面积的最大值是A ．1B C ．2D ．416．（2020届山东省烟台市高三上期末）若x α=时，函数()3sin 4cos f x x x =+取得最小值，则sin α=（ ）A ．35B ．35-C ．45D ．45-17．（2020届山东实验中学高三上期中）在ABC △中，若 13,3,120AB BC C ==∠=o ，则AC =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．418．（2020届山东实验中学高三上期中）已知()cos 2cos 2παπα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，且()1tan 3αβ+=，则tan β的值为（ ） A ．-7B ．7C ．1D ．-119．（2020届山东省济宁市高三上期末）函数22cos cos 1y x x =-++，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．20．（2020届山东师范大学附中高三月考）泉城广场上矗立着的“泉标”，成为泉城济南的标志和象征．为了测量“泉标”高度，某同学在“泉标”的正西方向的点A 处测得“泉标”顶端的仰角为45︒，沿点A 向北偏东30︒前进100 m 到达点B ，在点B 处测得“泉标”顶端的仰角为30︒，则“泉标”的高度为（ ） A ．50 mB ．100 mC ．120 mD ．150 m21．（2020届山东实验中学高三上期中）已知函数()sin 23f x a x x =的图象关于直线12x π=-对称，若()()124f x f x ⋅=-，则12a x x -的最小值为（ ） A ．4πB ．2π C ．πD ．2π22．（2020届山东省滨州市高三上期末）已知函数()2sin(2)f x x ϕ=+的图象过点,26A π⎛⎫⎪⎝⎭，则( ) A ．把()y f x =的图象向右平移6π个单位得到函数2sin 2y x =的图象B ．函数()f x 在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减C ．函数()f x 在区间[]0,2π内有五个零点D ．函数()f x 在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1 二、多选题23．（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）设函数()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ） A ．π-是()f x 的一个周期 B ．()f x 的图像可由sin 2y x =的图像向右平移3π得到 C ．()f x π+的一个零点为6x π=D ．()y f x =的图像关于直线1712x π=对称 24．（2020届山东师范大学附中高三月考）在平面直角坐标系xOy 中，角α顶点在原点O ，以x 正半轴为始边，终边经过点()()1,0P m m <，则下列各式的值恒大于0的是（ ） A ．sin tan ααB ．cos sin αα-C ．sin cos ααD ．sin cos αα+25．（2020·蒙阴县实验中学高三期末）关于函数()22cos cos(2)12f x x x π=-+-的描述正确的是（ ）A ．其图象可由2y x =的图象向左平移8π个单位得到 B ．()f x 在(0,)2π单调递增C ．()f x 在[]0,π有2个零点D ．()f x 在[,0]2π-的最小值为26．（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）已知函数()sin cos f x x x =-，()g x 是()f x 的导函数，则下列结论中正确的是（ ）A ．函数()f x 的值域与()g x 的值域不相同B ．把函数()f x 的图象向右平移2π个单位长度，就可以得到函数()g x 的图象 C ．函数()f x 和()g x 在区间,44ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上都是增函数 D ．若0x 是函数()f x 的极值点，则0x 是函数()g x 的零点27．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位长度得到()g x 图象，则下列判断正确的是（ ） A ．函数()g x 在区间,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 B ．函数()g x 图象关于直线712x π=对称 C ．函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．函数()g x 图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称28．（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知()()22210f x cos x x ωωω=->的最小正周期为π，则下列说法正确的有（ ） A ．2ω= B ．函数()f x 在[0,]6π上为增函数C ．直线3x π=是函数()y f x =图象的一条对称轴D ．5π,012骣琪琪桫是函数()y f x =图象的一个对称中心29．（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1tan A ，1tan B ，1tan C依次成等差数列，则下列结论中不一定成立．．．．．的是（ ） A ．a ，b ，c 依次成等差数列B C ．2a ，2b ，2c 依次成等差数列 D ．3a ，3b ，3c 依次成等差数列30．（2020届山东省济宁市高三上期末）将函数()sin 2f x x =的图象向右平移4π个单位后得到函数()g x 的图象,则函数()g x 具有性质( )A ．在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,为偶函数 B ．最大值为1,图象关于直线32x π=-对称 C ．在3,88ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增,为奇函数 D ．周期为π,图象关于点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 31．（2020届山东实验中学高三上期中）己知函数()()()sin 0,023f x x f x ππωϕωϕ⎛⎫=+><<- ⎪⎝⎭，为的一个零点，6x π=为()f x 图象的一条对称轴，且()()0f x π在，上有且仅有7个零点，下述结论正确．．的是（ ） A ．=6πϕB ．=5ωC ．()()0f x π在，上有且仅有4个极大值点D ．()042f x π⎛⎫⎪⎝⎭在，上单调递增32．（2019·山东师范大学附中高三月考）在平面直角坐标系xOy 中，角α顶点在原点O ，以x 正半轴为始边，终边经过点()()1,0P m m <，则下列各式的值恒大于0的是（ ） A ．sin tan ααB ．cos sin αα-C ．sin cos ααD ．sin cos αα+33．（2020届山东省烟台市高三上期末）已知函数()()sin 322f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线4x π=对称，则（ ） A ．函数12f x π⎛⎫+⎪⎝⎭为奇函数 B ．函数()f x 在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．若()()122f x f x -=，则12x x -的最小值为3πD ．函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度得到函数cos3y x =-的图象 三、填空题34．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）已知1sin 4x =，x 为第二象限角，则sin 2x =______. 35．（2020届山东省日照市高三上期末联考）已知tan 3α=，则sin cos sin cos αααα-+的值为______.36．（2020届山东师范大学附中高三月考）已知1tan 3α=，则2sin 2sin 1cos 2ααα-+的值为________．37．（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点是O ，始边是x 轴的非负半轴，02απ<<，点1tan,1tan1212P ππ⎛⎫+- ⎪⎝⎭是α终边上一点，则α的值是________. 38．（2020·全国高三专题练习（文））已知sin cos 11cos 2ααα=-，1tan()3αβ-=，则tan β=________.39．（2020届山东实验中学高三上期中）在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，若32sin sin sin ,cos 5B AC B =+=，且6ABC S ∆=，则b =__________． 40．（2020届山东省日照市高三上期末联考）已知函数()9sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，当[]0,10x π∈时，把函数()()6F x f x =-的所有零点依次记为123,,,,n x x x x ⋅⋅⋅，且123n x x x x <<<⋅⋅⋅<，记数列{}n x 的前n 项和为n S ，则()12n n S x x -+=______.41．（2020届山东省德州市高三上期末）已知函数()()sin f x A x =+ωϕ0,0,||2A πωϕ⎛⎫>><⎪⎝⎭的最大值2π，且()f x 的图象关于直线3x π=-对称，则当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的最小值为______.42．（2020届山东省泰安市高三上期末）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，若cos cos sin A B C a b c +=，22265b c a bc +-=，则tan B =______． 四、解答题43．（2020届山东省临沂市高三上期末）在①3cos 5A =，cos C =，②sin sin sin c C A b B =+，60B =o，③2c =，1cos 8A =三个条件中任选一个补充在下面问题中，并加以解答. 已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3a =，______，求ABC V 的面积S . 44．（2020届山东省泰安市高三上期末）在①函数()()1sin 20,22f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象向右平移12π个单位长度得到()g x 的图象，()g x图象关于原点对称；②向量),cos 2m x x ωω=u r，()11cos ,,0,24n x f x m n ωω⎛⎫=>=⋅ ⎪⎝⎭r u r r ；③函数()1cos sin 64f x x x πωω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()0ω>这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知_________，函数()f x 的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π． （1）若02πθ<<，且sin θ=()f θ的值； （2）求函数()f x 在[]0,2π上的单调递减区间．45．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，已知()2cos cos 0a c B b A ++=.（I ）求B ；（II ）若3,b ABC =∆的周长为3ABC +∆的面积.46．（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，其中0A >，0>ω，(0,)ϕπ∈，x ∈R ，且()f x 的最小值为-2，()f x 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π，()f x 的图象过点,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的解析式和单调递增区间； （2）若[0,2]x πÎ函数()f x 的最大值和最小值.47．（2020届山东省潍坊市高三上期中）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知10a b +=，5c =，sin 2sin 0B B +=．（1）求a ，b 的值： （2）求sin C 的值．48．（2020届山东省烟台市高三上期末）在条件①()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，②sin cos()6a Bb A π=+，③sinsin 2B Cb a B +=中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a bc ，6b c +=，a =， . 求ABC ∆的面积.49．（2020届山东省泰安市高三上期末）如图所示，有一块等腰直角三角形地块ABC ，90A ∠=o ，BC 长2千米，现对这块地进行绿化改造，计划从BC 的中点D 引出两条成45°的线段DE 和DF ，与AB 和AC 围成四边形区域AEDF ，在该区域内种植花卉，其余区域种植草坪；设BDE α∠=，试求花卉种植面积()S α的取值范围．50．（2020届山东省日照市高三上期末联考）在①ABC ∆面积2ABC S ∆=，②6ADC π∠=这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求AC . 如图，在平面四边形ABCD 中，34ABC π∠=，BAC DAC ∠=∠，______，24CD AB ==，求AC .51．（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，23sin 2cos02A CB +-=. （1）求角B 的大小；（2）若2sin 2sin sin B A C =，且ABC ∆的面积为3ABC ∆的周长.52．（2020届山东省德州市高三上期末）已知a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，若ABC ∆同时满足下列四个条件中的三个：①2633()b a ac c a b -+=+；②2cos 22cos 12A A +=；③6a =④2b =（1）满足有解三角形的序号组合有哪些？（2）在（1）所有组合中任选一组，并求对应ABC ∆的面积. （若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分）53．（20203(cos )sin b C a c B -=；②22cos a c b C +=；③sin 3sin2A Cb A a += 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足________________，23,b =4a c +=，求ABC ∆的面积.54．（2020届山东师范大学附中高三月考）ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足cos cos 2c A a C a +=．（1）求a b的值； （2）若1a =，7c =，求ABC V 的面积． 55．（2020·蒙阴县实验中学高三期末）在非直角ABC ∆中，a ，b ，c 分别是A ，B ，C 的对边.已知4a =，5AB AC ⋅=u u u r u u u r ，求：（1）tan tan tan tan A A B C+的值； （2）BC 边上的中线AD 的长.56．（2020届山东师范大学附中高三月考）设函数5()2cos()cos 2sin()cos 122f x x x x x ππ=++++. （1）设方程()10f x -=在(0,)π内有两个零点12,x x ，求12x x +的值；（2）若把函数()y f x =的图象向左平移6π个单位，再向下平移2个单位，得函数()g x 图象，求函数()g x 在[,]33ππ-上的最值. 57.（2020届山东省潍坊市高三上期末）在①34asinC ccosA =;②252B C bsinasinB +=这两个条件中任选-一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题.在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知 ，32a =.(1)求sinA ;(2)如图，M 为边AC 上一点，,2MC MB ABM π=∠=，求ABC V 的面积58．（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4cos cos cos a A c B b C =+.（1）若4a =，ABC ∆的面积为15，求b ，c 的值； （2）若()sin sin 0B k C k =>，且角C 为钝角，求实数k 的取值范围.59．（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）已知函数()()23sin cos sin 10f x x x x ωωωω=-+>图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π.（1）求ω的值及函数()f x 的单调递减区间；（2）如图，在锐角三角形ABC 中有()1f B =，若在线段BC 上存在一点D 使得2AD =，且6AC =，31CD =-，求三角形ABC 的面积.60．（2020届山东省济宁市高三上期末）已知()()23sin sin cos 2f x x x x ππ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭. (1)若1210f α⎛⎫= ⎪⎝⎭,求2cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值; (2)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对应的边分别,,a b c ,若有()2cos cos a c B b C -=,求角B 的大小以及()f A 的取值范围.61．（2020届山东省济宁市高三上期末）如图,某市三地A ,B ,C 有直道互通.现甲交警沿路线AB ､乙交警沿路线ACB 同时从A 地出发,匀速前往B 地进行巡逻,并在B 地会合后再去执行其他任务.已知AB =10km ,AC =6km ,BC =8km ,甲的巡逻速度为5km /h ,乙的巡逻速度为10km /h .(1)求乙到达C 地这一时刻的甲､乙两交警之间的距离;(2)已知交警的对讲机的有效通话距离不大于3km ,从乙到达C 地这一时刻算起,求经过多长时间,甲､乙方可通过对讲机取得联系.62．（2020·全国高三专题练习（文））在ABC V 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且满()(sin sin )(3sin sin )b a B A c B C -+=-.（1）求A 的大小；（2）再在①2a =，②4B π=，③3=c b 这三个条件中，选出两个使ABC V 唯一确定的条件补充在下面的问题中，并解答问题.若________，________，求ABC V 的面积.63．（2020届山东实验中学高三上期中）己知函数()23sin cos sin 244f x x x x a ππ⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为1.（1）求实数a 的值；（2）若将()f x 的图象向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.64．（2020届山东实验中学高三上期中）“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说……除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田.假设霍尔顿在一块成凸四边形ABCD 的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将BD 连接，设ABD ∆中边BD 所对的角为A ，BCD ∆中边BD 所对的角为C ，经测量已知2AB BC CD ===，23AD =.（1）霍尔顿发现无论BD 3cos A C -为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值；（2）霍尔顿发现麦田的生长于土地面积的平方呈正相关，记ABD ∆与BCD ∆的面积分别为1S 和2S ，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出2212S S +的最大值.。

山东省实验中学2020届高三第一次模拟考试数学（理）试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在直角坐标平面内，已知A（-2,0）,3（2,0）以及动点。

是AABC的三个顶点，且sin Asin B-2cosC=0,则动点C的轨迹曲线「的离心率是()\/2a/3A.2B.2 c.扬 D.右2.若函数f(x)=l+\x\+x\贝0/(lg2)+/flg|k/(lg5)+/flg^=()A.2b.4 C.6 D.83.在AA3C中，CA_CA AB.则sinA:sin3:sinC=（）543A.9:7:8b.c.6:8:7D何.3：由4.如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（）种A.120B.260C.340D.4205.已知直线y=kx-1与抛物线J=8y相切，则双曲线x2-k2y2=l的离心率为（）73A.打B.右C.D.26.已知数列｛%｝的前〃项和S"满足S"+a"=2n(nwN*),则％=()1_127321385A.3b.64 c.32d.64x+y>l,7.设x，y满足约束条件\x-y>-l,若目标函数z=ax+3y仅在点（1,0）处取得最小值，则。

的取值范围2x-y<2,为()A.(—6,3)B.(-6,-3)C.(。

，3)D.(-6,0]8.已知集合M=(x|y=log2(-4x-x2)},2V=(x|(-)x>4},则肱N=()A.d-2]b.[-2,0) c.(-4,2]D(-co,-4)9.如图，已知等腰梯形A3CD中，AB=2DC=4,AD=BC=^5,E是OC的中点，P是线段BC±的动点，则的最小值是（）_9_4A.5B.0C.5D.110.已知^A={x\a-l<x<a+2},B=(x|3<x<5},则能使A^B成立的实数。

山东省16市2020届高三第一次模拟（4月）考试数学试题分类汇编 圆锥曲线一、单项选择1. （2020·潍坊·一模）8.如图，已知抛物线C:y 2=2px （p >0）的焦点为F ，点P(x 0,2√3)（x 0>p2）是抛物线C 上一点.以P 为圆心的圆与线段PF 相交于点Q ，与过焦点F 且垂直于对称轴的直线交于点A ，B ，|AB |=|PQ |，直线PF 与抛物线C 的另一交点为M ，若|PF |=√3|PQ |，则|PQ ||FM |=（ ）A 1B. √3C. 2D. √52. （2020·威海·一模）8.已知点A ，B 分别在双曲线C:x 2a 2−y2b2=1(a >0,b >0)的左右两支上，且关于原点O 对称，C 的左焦点为F 1，直线AF 1与C 的左支相交于另一点M ，若|MF 1|=|BF 1|，且BF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则C 的离心率为（ ） A. √10B. 52C. √5D.23. （2020·泰安·一模）8.抛物线的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB =2π3，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则|MN ||AB |的最大值是（ ） A. √34B. √33C. √32D. √34. （2020·威海·一模）4.以抛物线y 2=4x 的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为（ ）.A. (x −2)2+y 2=16B. (y −2)2+x 2=16C. (x −1)2+y 2=4D. (y −1)2+x 2=45. （2020·青岛·一模）7. 在同一直角坐标系下，已知双曲线C:y 2a2−x2b2=1(a >0,b >0)的离心率为√2，双曲线C 的一个焦点到一条渐近线的距离为2，函数y =sin (2x +π6)的图象向右平移π3单位后得到曲线D ，点A ，B 分别在双曲线C 的下支和曲线D 上，则线段AB 长度的最小值为（ ） A. 2B. √3C. √2D. 16. （2020·临沂·一模）8.点M 为抛物线y =14x 2上任意一点，点N 为圆x 2+y 2−2y +34=0上任意一点，若函数f (x )=log a (x +2)+2(a >1)的图象恒过定点P ，则|MP |+|MN |的最小值为（ ） A. 52B. 114C. 3D. 1347. （2020·济南·一模）6.已知抛物线的焦点为，直线过且与抛物线交于，两点，过作抛物线准线的垂线，垂足为，的角平分线与抛物线的准线交于点，线段的中点为．若，（ ） A. 2B. 4C. 6D. 88. （2020·菏泽·一模）5.已知双曲线一条渐近线上存在一点到轴距离与到原点的距离之比为，则实数的值为（ ）． A. 2B. 4C. 6D. 8二、多项选择9. （2020·淄博·一模）11．已知椭圆x 24+y 23=1的左、右焦点分别为F 、E ，直线x ＝m （﹣1＜m ＜1）与椭圆相交于点A 、B ，则（ ） A ．当m ＝0时，△F AB 的面积为√3 B ．不存在m 使△F AB 为直角三角形 C ．存在m 使四边形FBEA 面积最大 D ．存在m ，使△F AB 的周长最大24y x ＝F l F A B A M MAF ∠P AB Q 8AB =PQ =2215x y a-=的x O 23a10. （2020·枣庄·一模）11.已知P 为双曲线C:x 23−y 2=1上的动点，过P 作两渐近线的垂线，垂足分别为A ，B ，记线段PA ，PB 的长分别为m ，n ，则（ ） A. 若PA ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1k 2=−3 B. mn >12C. 4m +n 的最小值为√3D. |AB|的最小值为3211. （2020·潍坊·一模）9.已知双曲线x 24−y22=sin2θ（θ≠kπ，k ∈Z ），则不因θ改变而变化的是（ ） A. 焦距 B. 离心率C. 顶点坐标D. 渐近线方程12. （2020·聊城·一模）11.已知直线与抛物线相交于两点，点是抛物线的准线与以为直径的圆的公共点，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 的面积为13. （2020·聊城·一模）10.若双曲线的实轴长为6，焦距为10，右焦点为，则下列结论正确的是（ ） A. 的渐近线上的点到距离的最小值为4B. 的离心率为C. 上的点到距离的最小值为2D. 过的最短的弦长为14. （2020·济宁·一模）11.设抛物线的焦点为，准线为，为上一点，以为圆心，为半径的圆交于两点，若，且的面积为，则( )A.B. 是等边三角形C. 点 到准线的距离为3D. 抛物的方程为15. （2020·菏泽·一模）12.已知直线过抛物线的焦点，且与该抛物线交于，两点，若线段的长是16，的中点到轴的距离是6，是坐标原点，则（ ）． :220l kx y kp --=2:2(0)C y px p =>,A B ()1,1M --C AB 2p =2k =-5AB =MAB △2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>F C F C 54C F F 323()2:20C y px p =>F l AC F FA l ,BD 90ABD ∠=ABF ∆3BF =ABF ∆F C 26y x =l 2:2(0)C y px p =->M N MN MN y OA. 抛物线的方程是B. 抛物线的准线方程是C. 直线的方程是D. 的面积是16. （2020·德州·一模）10.1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章.人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为，，下列结论正确的是（ ）A. 卫星向径的取值范围是B. 卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间C. 卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁D. 卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小17. （2020·日照·一模）12. 已知双曲线，不与轴垂直的直线与双曲线右支交于点，，（在轴上方，在轴下方），与双曲线渐近线交于点，（在轴上方），为坐标原点，下列选项中正确的为（ ） A. 恒成立 B. 若，则 C. 面积的最小值为1D. 对每一个确定的，若，则的面积为定值18. （2020·烟台·一模）10．已知P 是双曲线C ：x 23﹣y 2m ＝1上任一点，A ，B 是双曲线上关于坐标原点对称的两点，设直线PA ，PB 的斜率分别为k 1，k 2（k 1k 2≠0），若|k |1+|k 2|≥t 恒成立，且实数t 的最大值为233，则下列说法正确的（ ）C 28y x =-2y =l 20x y -+=MON △2a 2c [],a c a c -+()22*1x y n n n-=∈N x lB C B x C x A D A x O AC BD =13BOC AOD S S =△△AB BC CD ==AOD △n AB BC CD ==AOD △A ．双曲线的方程为x 23﹣y 2＝1B ．双曲线的离心率为2C ．函数y ＝log a （x ﹣1）（a ＞0，a ≠1）的图象恒过C 的一个焦点D ．直线2x ﹣3y ＝0与C 有两个交点三、填空题19. （2020·淄博·一模）15．已知椭圆M ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0），双曲线N ：x 2m 2−y 2n 2=1．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为 √3−1 ；双曲线N 的离心率为 ． 20. （2020·枣庄·一模）15.已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，直线√3x −y +4√3=0过点F 1且与C 在第二象限的交点为P ，若∠POF 1=60°（O 为原点），则F 2的坐标为________，C 的离心率为__________．21. （2020·泰安·一模）16.过点(,0)(0)M m m -≠的直线l 与直线3x +y −3=0垂直，直线l 与双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的两条渐近线分别交于点A,B ，若点P(m,0)满足||||PA PB =，则双曲线C 的渐近线方程为_______，离心率为_______. 22. （2020·临沂·一模）15.已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程为y =√2x ，左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在双曲线上，且AF 2⊥F 1F 2，则该双曲线的离心率为__________，sin ∠AF 1F 2=__________．23. （2020·济宁·一模）15.设双曲线的左焦点为，直线过点且与双曲线在第二象限的交点为为原点，，则双曲线的右焦点的坐标为__________；离心率为_________________.24. （2020·济南·一模）14.已知双曲线的渐近线与圆相切，则该双曲线的离心率为__________．25. （2020·德州·一模）15.已知双曲线的左、右焦点分别()2222:10,0x y C a b a b-=>>F 43200x y -+=F C ,P O OP OF =C 22221(0,0)x y a b a b-=＞＞()222+=1x y -()2222:10,0x y C a b a b-=>>为、.（1）若到渐近线的距离是3，则为__________.（2）若为双曲线右支上一点，且的角平分线与轴的交点为，满足，则双曲线的离心率为__________. 26. （2020·日照·一模）15. 直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，则__________，的最小值是__________． 27. （2020·烟台·一模）16．已知F 为抛物线x 2＝2py （p ＞0）的焦点，抛物线内一点A（1，p ），M 为抛物线上任意一点，|MA |+|MF |的最小值为3，则抛物线方程为 ；若线段AF 的垂直平分线交抛物线于P ，Q 两点，则四边形APFQ 的面积为 ．四、解答题28. （2020·淄博·一模）20．如图，已知抛物线x 2＝y ，点A （−12，14），B （32，94），抛物线上的点P （x ，y ）（−12＜x ＜32），过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ． （Ⅰ）求直线AP 斜率的取值范围； （Ⅱ）求|P A |•|PQ |的最大值．1F 2F 2F b P C 1260F PF ∠=︒12F PF ∠x Q 122FQ QF =C l ()2:20C y px p =>()1,0F C M N p =19MF NF-29. （2020·潍坊·一模）21.直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别为椭圆C:x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)的左右焦点，A 为椭圆的右顶点，点P 为椭圆C 上的动点（点P 与C 的左右顶点不重合），当△PF 1F 2为等边三角形时，12PF F S（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，M 为AP 的中点，直线MO 交直线x =−4于点D ，过点O 作OE//AP 交直线x =−4于点E ，证明：∠OEF 1=∠ODF 1.30. （2020·威海·一模）20.已知椭圆x 2a +y 2b =1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P (−1,32)是椭圆上一点，|F 1F 2|是|PF 1|和|PF 2|的等差中项．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅰ）若A 为椭圆的右顶点，直线AP 与y 轴交于点H ，过点H 的另一直线与椭圆交于M 、N 两点，且S △HMA =6S △PHN ，求直线MN 的方程．31. （2020·泰安·一模）21.已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1,F 2，直线l:y =kx +m 与椭圆C 相交于P,Q 两点；当直线l 经过椭圆C 的下顶点A 和右焦点F 2时，ΔF 1PQ 的周长为l 与椭圆C 的另一个交点的横坐标为43 （1）求椭圆C 的方程；（2）点M 为△POQ 内一点，O 为坐标原点，满足MP MO MQ ++=0，若点M 恰好在圆O ：x 2+y 2=49上，求实数m 的取值范围.32. （2020·青岛·一模）21. 已知O 为坐标原点，椭圆C:x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，F 2点又恰为抛物线D:y 2=4x 的焦点，以F 1F 2为直径的圆与椭圆C 仅有两个公共点． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 与D 相交于A ，B 两点，记点A ，B 到直线x =−1的距离分别为d 1，d 2，|AB|=d 1+d 2．直线l 与C 相交于E ，F 两点，记△OAB ，△OEF 的面积分别为S 1，2S ． （ⅰ）证明：△EFF 1的周长为定值； （ⅱ）求S 2S 1的最大值．33. （2020·临沂·一模）20.动点P 在椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上，过点P 作x 轴的垂线，垂足为A ，点B 满足AB →=3AP →，已知点B 的轨迹是过点Q (0,3)的圆． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点（M ，N 在x 轴的同侧），F 1，F 2为椭圆的左、右焦点，若F 1M//F 2N ，求四边形F 1F 2NM 面积的最大值．34. （2020·聊城·一模）20.已知椭圆的长轴长为4，右焦点为，且椭圆上的点到点的距离的最小值与最大值的积为1，圆与轴交于两点. （1）求椭圆的方程；（2）动直线与椭圆交于两点，且直线与圆相切，求的面积与的面积乘积的取值范围.2222:1(0)x y C a b a b+=>>F C F 22:1O x y +=x ,A B C :l y kx m =+C ,P Q l O APQ BPQ35. （2020·济宁·一模）21.已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）是否存在一个正实数，满足当时，恒成立，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.36. （2020·济宁·一模）22.已知椭圆与抛物线在第一象限的交点为，椭圆的左、右焦点分别为，其中也是抛物线的焦点，且. （1）求椭圆的方程；（2）过的直线（不与轴重合）交椭圆于两点，点为椭圆的左顶点，直线分别交直线于点，求证：为定值.37. （2020·济南·一模）21.在平面直角坐标系中，①已知点，直线：()()()1xf x ax e a R =-∈()f x a x ∈R ()1f x ≤a ()22122:10x y E a b a b+=>>22:4E y x=P 1E 12,F F 2F 2E 253PF =1E 2F l x 1E M N 、A 1E AM AN 、4x =B C 、2BF C ∠xOy A l，动点满足到点的距离与到直线的距离之比为；②已知圆的方程为，直线为圆的切线，记点到直线的距离分别为，动点满足；③点，分别在轴，轴上运动，且，动点满足． （1）在①，②，③这三个条件中任选一个，求动点的轨迹方程；（2）记（1）中的轨迹为，经过点的直线交于，两点，若线段的垂直平分线与轴相交于点，求点纵坐标的取值范围．38. （2020·菏泽·一模）21.已知椭圆的左､右焦点分别为，，以，，和，面积为（1）求椭圆的标准方程；（2）设，为椭圆上的任意两点，若直线与圆相切，求面积的取值范围．39. （2020·东营一中·一模）21.已知直线过椭圆的右3x ＝P A l 2C 224x y +=l C A l 12,d d P 12,PA d PB d ＝＝S T x y 3ST ＝P 21+33OP OS OT =P E (1,0)D l 'E M N MN y Q Q 2222:1(0)x y C a b a b+=>>1F 2F (,)M a b -(,)N a b 2F 1F C A B C AB 2212:7O x y +=AOB 1x y +=()222210x y a b a b+=>>焦点，且交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的中点是， （1）求椭圆的方程；（2）过原点的直线l 与线段AB 相交（不含端点）且交椭圆于C ，D 两点，求四边形面积的最大值.40. （2020·德州·一模）20.已知抛物线的焦点为，圆的方程为：，若直线与轴交于点，与抛物线交于点，且. （1）求出抛物线和圆的方程.（2）过焦点的直线与抛物线交于、两点，与圆交于、两点（，在轴同侧），求证：是定值.41. （2020·日照·一模）20. 已知椭圆的左、右焦点分别为21,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭ACBD ()2:20E x py p =>F M 220x y py +-=4x =x R Q 54QF RQ =E M F l E A B M C D A C y AC DB ⋅()2222:10x y C a b a b+=>>，，以为圆心过椭圆左顶点的圆与直线相切于，且满足． （1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆右焦点的直线与椭圆交于不同的两点，，问内切圆面积是否有最大值？若有，求出最大值；若没有，说明理由．42. （2020·烟台·一模）22．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)过点M(2，√2)，且焦距为4．（1）求椭圆C 的标准方程（2）设P 为直线l ：y =2√2上一点，Q 为椭圆C 上一点，以PQ 为直径的圆恒过坐标原点O ．（i ）求|OP |2+4|OQ |2的取值范围：（ii ）是否存在圆心在原点的定圆恒与直线PQ 相切？若存在，求出该定圆的方程；若不存在，说明理由．1F 2F 2F M 34120x y -+=N 11212MF F F =C C 2F l C A B 1F AB。

专题03 充分、必要、充要问题的研究一、题型选讲题型一 、充分、不要条件的判断充分、必要条件的三种判断方法：（1）定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．（2）等价法：利用p⇒q 与非q⇒非p ，q⇒p 与非p⇒非q ，p⇔q 与非q⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．（3）集合法：若A⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件． 例1、【2020年高考天津】设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可. 求解二次不等式2a a >可得：1a >或0a <， 据此可知：1a >是2a a >的充分不必要条件. 故选A ．1-1、【2019年高考天津理数】设x ∈R ，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由250x x -<可得05x <<，由|1|1x -<可得02x <<， 易知由05x <<推不出02x <<， 由02x <<能推出05x <<，故05x <<是02x <<的必要而不充分条件， 即“250x x -<”是“|1|1x -<”的必要而不充分条件. 故选B.1-2、（2020届浙江省台州市温岭中学3月模拟）已知,x y 是非零实数，则“x y >”是“11x y<”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】 因为11x y <,所以00x y x y xy xy >⎧->⇒⎨>⎩或0x y xy <⎧⎨<⎩ ,所以x y >是“11x y <”的既不充分也不必要条件,选D 1-3、（2020·浙江省温州市新力量联盟高三上期末）已知0a >且1a ≠，则“()log 1a a b ->”是“()10a b -⋅<”成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由()log 1a a b ->当1a >时，a b a ->得0b <，推出()10a b -<， 当01a <<时，0a b a <-<得0b >，推出()10a b -<， 则()log 1a a b ->是()10a b -<的充分条件，但当()10a b -<时不一定能推出()log 1a a b ->（比如：01a <<，1b >，这时0a b -<无意义） 则()log 1a a b ->是()10a b -<的不必要条件， 故选：A.1-4、（2020届浙江省温丽联盟高三第一次联考）已知m 为非零实数，则“11m＜-”是“1m ＞-”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由11m <-，得10m m +<，解得10m -<<，故“11m<-”是“1m >-”的充分不必要条件.故选A.例2、【2020年高考浙江】已知空间中不过同一点的三条直线l ，m ，n ．“l ，m ，n 共面”是“l ，m ，n 两两相交”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】将两个条件相互推导，根据能否推导的结果判断充分必要条件. 依题意，,,m n l 是空间不过同一点的三条直线，当,,m n l 在同一平面时，可能////m n l ，故不能得出,,m n l 两两相交.当,,m n l 两两相交时，设,,m n A m l B n l C ⋂=⋂=⋂=，根据公理2可知,m n 确定一个平面α，而,B m C n αα∈⊂∈⊂，根据公理1可知，直线BC 即l α⊂，所以,,m n l 在同一平面.综上所述，“,,m n l 在同一平面”是“,,m n l 两两相交”的必要不充分条件. 故选B.2-1、（2020·浙江学军中学高三3月月考）已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当“直线a 和直线b 相交”时，平面α和平面β必有公共点，即平面α和平面β相交，充分性成立； 当“平面α和平面β相交”，则 “直线a 和直线b 可以没有公共点”，即必要性不成立. 故选A.例3、【2020年高考北京】已知,αβ∈R ，则“存在k ∈Z 使得π(1)k k αβ=+-”是“sin sin αβ=”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】(1)当存在k ∈Z 使得π(1)kk αβ=+-时，若k 为偶数，则()sin sin πsin k αββ=+=；若k 为奇数，则()()()sin sin πsin 1ππsin πsin k k αββββ=-=-+-=-=⎡⎤⎣⎦；(2)当sin sin αβ=时，2πm αβ=+或π2πm αβ+=+，m ∈Z ，即()()π12kk k m αβ=+-=或()()π121kk k m αβ=+-=+，亦即存在k ∈Z 使得π(1)kk αβ=+-．所以，“存在k ∈Z 使得π(1)kk αβ=+-”是“sin sin αβ=”的充要条件.故选C ．3-1、（2020届浙江省宁波市余姚中学高考模拟）在ABC ∆中，“tan tan 1B C >”是“ABC ∆为钝角三角形”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由题意可得，在ABC ∆中，因为tan tan 1A B >， 所以sin sin 1cos cos A BA B>，因为0,0A B ππ<<<<，所以sin sin 0A B >，cos cos 0A B >，结合三角形内角的条件，故A,B 同为锐角，因为sin sin cos cos A B A B >， 所以cos cos sin sin 0A B A B -<，即cos()0A B +<，所以2A B ππ<+<，因此02C <<π，所以ABC ∆是锐角三角形，不是钝角三角形，所以充分性不满足，反之，若ABC ∆是钝角三角形，也推不出“tan tan 1B C >，故必要性不成立， 所以为既不充分也不必要条件，故选D.3-2、（2020·浙江温州中学3月高考模拟）“”αβ≠是”cos cos αβ≠的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】cos cos αβαβ=⇒=所以cos cos αβαβ≠⇒≠ （逆否命题）必要性成立当cos cos αβαβ=-⇒=，不充分 故是必要不充分条件，答案选B3-3、（江苏省南通市通州区2019-2020学年高三第一次调研抽测）将函数()sin 4f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移ϕ个单位，得到函数y g x =（）的图象.则“34πϕ=”是“函数()g x 为偶函数”的________条件，（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”中选填一个） 【答案】充分不必要【解析】由题意，将函数()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移ϕ个单位，可得sin 4（）=πϕ⎛⎫+- ⎪⎝⎭gx x 的图像， 当34πϕ=时，可得3sin sin cos 442（）=πππ⎛⎫⎛⎫+-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭gx x x x ，显然()g x 为偶函数， 所以“34πϕ=”是“函数()g x 为偶函数”的充分条件； 若函数()g x 为偶函数，则,42ππϕπ-=+∈k k Z ，即,4πϕπ=--∈k k Z ，不能推出34πϕ=， 所以“34πϕ=”不是“函数()g x 为偶函数”的必要条件， 因此“34πϕ=”是“函数()g x 为偶函数”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要例4、【2019年高考北京理数】设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】∵A ､B ､C 三点不共线，∴|AB +AC |>|BC |⇔|AB +AC |>|AC -AB |⇔|AB +AC |2>|AC -AB |2AB ⇔·AC >0AB ⇔与AC 的夹角为锐角，故“AB 与AC 的夹角为锐角”是“|AB +AC |>|BC |”的充分必要条件. 故选C.4-1、（2020届山东省日照市高三上期末联考）设,a b 是非零向量，则2a b =是a abb =成立的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件【答案】B 【解析】由2a b =可知：a b ， 方向相同，a ba b ， 表示 a b ， 方向上的单位向量所以a b a b=成立;反之不成立. 故选B例5、（2020届浙江省嘉兴市高三5月模拟）已知,R a b ∈，则“1a =”是“直线10ax y +-=和直线2(2)10x a y +--=垂直”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】直线10ax y +-=和直线2(2)10x a y +--=垂直， 则()220a a +-=，解得2a =-或1a =，所以，由“1a =”可以推出“直线10ax y +-=和直线2(2)10x a y +--=垂直”，由 “直线10ax y +-=和直线2(2)10x a y +--=垂直”不能推出“1a =”，故“1a =”是“直线10ax y +-=和直线2(2)10x a y +--=垂直”的充分不必要条件， 故选：A.5-1、（2020·浙江温州中学高三3月月考）“直线()1330m x y +-+=与直线220x my -+=平行”的充要条件是m =（ ） A ．-3 B ．2 C ．-3或2 D ．3或2【答案】A【解析】当0m =或1m =-时，显然直线不平行， 由132m m+=，解得：3m =-或2m =， 3m =-时，直线分别为：2330x y --+=和2320x y ++=，平行， 2m =时，直线分别为：3330x y -+=和2220x y -+=，重合，故3m =-， 故选：A ．例6、（2020届浙江省宁波市鄞州中学高三下期初）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“10a >”是“990S >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】设等比数列{}n a 公比为q ，当1q =时，19910990a S a >⇔=>，当1q ≠时，999999111,011q q S a q q --=⋅>--， 19900a S >⇔>∴，所以“10a >”是“990S >”的充要条件. 故选:C.6-1、（2020·浙江高三）等差数列{a n }的公差为d ，a 1≠0，S n 为数列{a n }的前n 项和，则“d ＝0”是“2nnS S ∈Z ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】等差数列{a n }的公差为d ，a 1≠0，S n 为数列{a n }的前n 项和，若d ＝0，则{a n }为常数列，故a n =1a ， 即2112,n n S na S na ==⇒“2nnS S ∈Z ”，当2nnS S ∈Z 时，d 不一定为0， 例如，数列1，3，5，7，9，11中，631357911135S S +++++==++4，d ＝2， 故d ＝0是2nnS S ∈Z 的充分不必要条件． 故选：A ．题型二、根据充分、必要条件判断含参的问题解决此类问题要注意以下两点：（1）把充分、不要条件转化为集合之间的关系；（2）根据集合之间的关系列出关于参数的不等式。

2020年山东省泰安市高考数学一模试卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合4=(x|-4<x<3}>B={-5,-4,一3,—2},则AC\B={)A.{一4,一3,—2}B.(-3,-2}C・(-4,-3} D. {-5,-4)2.设，是虚数单位.如果复数z=M，其实部与虚部互为相反数，那么实数々=（）A.—3B.3C.—iD.3.某老师从自己所带的两个班级中各抽取6人，记录他们的考试成绩，得到甲||乙如图所示的茎叶图，已知甲班6名同学成绩的平均数为82,乙班6名同学[6|7成绩的中位数为77,则z-y=（）, 7?：?：6x1|R25A.3B.-3C.4D. -40L L4.过焦点为F的抛物线y2=i2x上一点M向其准线作垂线，垂足为N,若直线NF的斜率为—手则|MF|=（）A.2B.2^3C.4D.4屯5.如图是一个算法流程图，则输出的〃的值为（）A. 3B. 4C.5D.6y-x<0,6.设%,y满足约束条件x+2y<4,则z=x—3y的最大值为（）（x-2y<2,A.4B. IC. -：D・27.一个正三棱柱的三视图如图所示，则该校柱的表面积为（）A. 24 +V3B. 24 + 2V3C. 14V 字 D・ 12焰8, 在等比数列｛%｝中，若Q1 = 2, %=16，则｛%｝的前5项和晃等于（）A. 30 B. 31 C. 62 D. 649. 函数/'（x ） = /4sin （anr + <p ）（其中4 > 0, 3 > 0. M < ?）的图象如图所示.为了得到g （x ） = sin2x的图象，则只需将『侦）的图象（）A.向左平移:个长度单位C.向右平移:个长度单位 B.向右平移?个长度单位D.向左平移;个长度单位1!哗＞.』3 -:r), T 1 . n 则/(2019)=()A i B.j C. j IL 3、已知 lg2 = a. Ig3 = t,则也 12 等于()A. B. fe + 2« C. « + 2iD 蓦D・u +护r f -（3/w + 1）k +3,X 。

高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合A={x|-2＜x≤0}，B={-2，-1，0，1，2}，则A∩B=（）A. {-2，-1}B. {-2，0}C. {-1，0}D. {-2，-1，0}2.若复数（2-i）（a+i）的实部与虚部互为相反数，则实数a=（）A. 3B.C.D. -33.某中学数学竞赛培训班共有10人，分为甲，乙两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，已知甲组5名同学成绩的平均数为81，乙组5名同学成绩的中位数为73，则x-y的值为（）A. 2B. -2C. 3D. -34.从抛物线y2=4x在第一象限内的一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，从且|PM|=4，设抛物线的焦点为F，则直线PF的斜率为（）A. B. C. D. 25.如图是一个算法流程图，若输入n的值是13，输出S的值是46，则a的取值范围是（）A. 9≤a＜10B. 9＜a≤10C. 10＜a≤11D. 8＜a≤96.已知实数x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值是（）A. 0B. 1C. 5D. 67.（1-2x）5（2+x）的展开式中，x3的系数是（）A. 120B. -120C. 100D. -1008.函数f（x）=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，为了得到y=sin2x的图象，只需将f（x）的图象（）A. 向右平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向左平移个单位9.已知函数等于（）A. 2B. log26C. log27D. 310.在中，三边长分别为，，，最小角的余弦值为，则这个三角形的面积为（）A. B. C. D.11.在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝AC＝CC1＝1，则AN与BM所成角的余弦值为（）A. B. C. D.12.已知函数f（x）=|x2-2x-1|-t有四个不同的零点x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则2（x4-x1）+（x3-x2）的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知在△ABC和点M满足=，若存在实数m使得成立，则m=______．14.如图是某几何体的三视图，该几何体的体积为______．15.若，α∈（，π），则sin2α=______．16.已知双曲线的左焦点为F，A，B分别是C的左、右顶点，P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E，直线BM与y轴交于点N，若（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等差数列{a n}满足．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}中，b1=1，b2=2，从数列{a n}中取出第b n项记为c n，若{c n}是等比数列，求{b n}的前n项和T n．18.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是边长为2的等边三角形，底面ABCD是菱形，且∠BAD=60°．（1）证明：AD⊥PB；（2）求平面PAD与平面PBC所成二面角的大小．19.已知椭圆的离心率，且经过点．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P（-2，0）且不与x轴重合的直线l与椭圆C交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），过右焦点F的直线AF，BF分别交椭圆C于点M、N，设，的取值范围．20.某老师是省级课题组的成员，主要研究课堂教学目标达成度，为方便研究，从实验班中随机抽取30次的随堂测试成绩进行数据分析．已知学生甲的30次随堂测试成绩如下（满分为100分）：（1）把学生甲的成绩按[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90]分成6组，列出频率分布表，并画出频率分布直方图；（2）规定随堂测试成绩80分以上（含80分）为优秀，为帮助学生甲提高成绩，选取学生乙，对甲与乙的随堂测试成绩进行对比分析，甲与乙测试成绩是否为优秀相互独立．已知甲成绩优秀的概率为P1（以频率估计概率），乙成绩优秀的概率为P2，若P2-P1≥0.5，则此二人适合为学习上互帮互助的“对子”．在一次随堂测试中，记X为两人中获得优秀的人数，已知E（X）=0.8，问二人是否适合结为“对子”？21.已知m＞0，函数f（x）=e x-mx，直线l：y=-m．（1）讨论f（x）的图象与直线l的交点个数；（2）若函数f（x）的图象与直线l：y=-m相交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点（x1＜x2），证明：．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．曲线C的方程为x2-2x+y2=0．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l的普通方程与曲线C的极坐标方程；（2）直线与直线l交于点A，点B是曲线C上一点，求△AOB 面积的最大值．23.已知函数f（x）=|x+1|-m|x-2|（m∈R）．（1）当m=3时，求不等式f（x）＞1的解集；（2）当x∈[-1，2]时，不等式f（x）＜2x+1恒成立，求m的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合A表示-2到0的所有实数，集合B表示5个整数的集合，∴A∩B={-1，0}，故选：C．直接利用交集运算得答案．本题考查了交集及其运算，是基础题．2.【答案】D【解析】解：∵（2-i）（a+i）=（2a+1）+（2-a）i的实部与虚部互为相反数，∴2a+1+2-a=0，即a=-3．故选：D．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部与虚部的和为0求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】D【解析】【分析】根据茎叶图中的数据，结合平均数与中位数的概念，求出x、y的值．本题考查了平均数与中位数的概念与应用问题，是基础题．【解答】解：根据茎叶图中的数据，得；甲班5名同学成绩的平均数为×（72+77+80+x+86+90）=81，解得x=0；又乙班5名同学的中位数为73，则y=3；x-y=0-3=-3．故选：D．4.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了抛物线的应用、直线斜率．解题的关键是灵活利用了抛物线的定义．先设出P点坐标，进而求得抛物线的准线方程，即可求得P点横坐标，代入抛物线方程求得P的纵坐标，进而利用斜率公式求得答案．【解答】解：设P（x0，y0），P在第一象限,依题意可知抛物线准线x=-1，∴x0=4-1=3，∴y0=，∴P（3，），F（1，0）．∴直线PF的斜率为.故选C．5.【答案】B【解析】解：依次运行流程图，结果如下：n=13，S=0满足判断框内的条件n≥a，S=13，n=12满足判断框内的条件n≥a，S=25，n=11满足判断框内的条件n≥a，S=36，n=10满足判断框内的条件n≥a，S=46，n=9此时，不满足判断框内的条件n≥a，退出循环，所以a的取值范围是9＜a≤10．故选：B．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．6.【答案】D【解析】解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=-x+z，平移直线y=-x+z，由图象可知当直线，y=-x+z经过点A时，直线y=-x+z的截距最大，此时z最大．由，得A（0，3），此时z的最大值为z=0+2×3=6，故选：D．作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．7.【答案】B【解析】解：（1-2x）5（2+x）=2（1-2x）5+x（1-2x）5∵（1-2x）5的展开式的通项为T r+1=C5r（-2x）r=（-2）r C5r x r令r=3得（1-2x）5展开式中x3的项的系数是-8C53=-80令r=2得（1-2x）5展开式中x2的项的系数是4C52=40∴（1-2x）5（2+x）=2（1-2x）5+x（1-2x）5的展开式中x3的项的系数是2×（-80）+40=-120故选：B．将已知多项式展开，将求展开式中x3的项的系数转化为求二项式展开式的项的系数；利用二项展开式的通项公式求出通项，令通项中的r分别取3，2求出二项式的含x3和含x2的系数．本题考查等价转化的能力及利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．8.【答案】B【解析】【分析】由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的f（x）的解析式．再根据函数y=A sin（ωx+φ）的图象的变换规律，可得结论．本题主要考查由函数y=A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=A sin（ωx+φ）的图象的变换规律，属于中档题．【解答】由函数f（x）=A sin（ωx+φ），的图象可得A=1，，∴ω=2．再由五点法作图可得2×+φ=0，∴φ=．故函数的f（x）的解析式为f（x）=sin（2x+）=sin2（x+）．故把f（x）=sin2（x+）的图象向右平移个单位长度，可得g（x）=sin2x的图象，故选：B．9.【答案】A【解析】解：∵函数f（x）=，∴f（2019）=f（4）=log24=2．故选：A．推导出f（2019）=f（4），由此能求出结果．本题考查函数值值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．10.【答案】A【解析】【分析】本题考查余弦定理，考查三角形面积公式的应用，是基础题．设最小角为α，故α对应的边长为a，然后利用余弦定理化简求解即可得a的值，再由三角形面积公式求解即可．【解答】解：设最小角为α，故α对应的边长为a，则cosα==，解得a=3．∵最小角α的余弦值为，∴=．∴=．故选：A．11.【答案】D【解析】【分析】本题考查了异面直线及其所成的角，属中档题．可先作出所求角再利用余弦定理求值．【解答】解：如图：取BC中点E，连接NE,AE，MN,∵M，N分别是A1B1，A1C1的中点，,又E为BC的中点，,,所以四边形BENM为平行四边形，所以, 则或其补角即为所求异面直线所成角，又,,所以．故选D．12.【答案】A【解析】解：由f（x）=|x2-2x-1|-t=0得|x2-2x-1|=t，作出y=|x2-2x-1|的图象如图，要使f（x）有四个不同的零点，则0＜t＜2，同时x1，x4，是方程x2-2x-1-t=0的两个根，x2，x3，是方程x2-2x-1+t=0的两个根，则x1x4=-1-t，x1+x4=2，x2x2=-1+t，x2+x3=2，则x4-x1===2，x3-x2===2，则2（x4-x1）+（x3-x2）=4+2，设h（t）=4+2，h′（t）=-=-，由h′（t）＞0得-＞0，得＞，平方得＞得8-4t＞2+t，得5t＜6，即0＜t＜，此时为增函数，由h′（t）＜0得＜t＜2，此时为减函数，故当t=时，h（t）取得极大值h（）=+2=4+2=+=4，h（0）=6，h（2）=8，则8＜6，即h（t）的取值范围是，故选：A．作出y=|x2-2x-1|的图象，利用|x2-2x-1|=t有4个不同的根，用t表示x1，x2，x3，x4，结合根与系数之间的关系，求出2（x4-x1）+（x3-x2）的表达式，构造函数，研究函数的单调性和取值范围即可．本题主要考查函数与方程的应用，利用数形结合，转化为关于t的函数关系，构造函数，求函数的导数，研究函数的单调性和极值是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．13.【答案】3【解析】解：由点M满足，知点M为△ABC的重心，设点D为底边BC的中点，则=∴∴m=3故答案为：3确定点M为△ABC的重心，利用向量的加法法则，即可求得m的值．本题考查平面向量的基本定理，考查向量的加法法则，解题的关键是确定点M为△ABC 的重心14.【答案】12【解析】解：由三视图知，该几何体是一个三棱柱，如图所示；用垂直于侧棱的平面截三棱柱，得截面图形是侧视图，又侧棱长为4，则该三棱柱的体积为V=S截面•侧棱=×2×4×3=12．故答案为：12．由三视图知该几何体是一个三棱柱，用垂直于侧棱的平面截三棱柱得截面图形是侧视图，根据侧棱长求出该三棱柱的体积．本题考查了利用三视图求几何体的体积应用问题，是基础题．15.【答案】【解析】【分析】本题主要考查了二倍角公式及其应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题.直接利用二倍角公式的变换求出结果．【解答】解：由，α∈（，π），所以：，整理得：，所以：，则：，∴sin2．故答案为.16.【答案】3【解析】解：因为PF⊥x轴，所以设M（-c，t），则A（-a，0），B（a，0），AE的斜率k=，则AE的方程为y=（x+a），令x=0，则y=，即E（0，），BN的斜率为-，则BN的方程为y=-（x-a），令x=0，则y=，即N（0，），因为|OE|=2|ON|，所以2•||=||，即2（c-a）=c+a，即c=3a，则离心率e==3．故答案为：3．根据条件分别求出直线AE和BN的方程，求出N，E的坐标，利用|OE|=2|ON|的关系建立方程进行求解即可．本题主要考查双曲线离心率的计算，根据条件求出直线方程和点N，E的坐标是解决本题的关键．17.【答案】解：（1）差数列{a n}满足，可得a1+a2=4，a1+a2+a2+a3=12，设等差数列的公差为d，可得2a1+d=4，4a1+4d=12，解得a1=1，d=2，则a n=1+2（n-1）=2n-1；（2）由题意可得c1=a=a1=1，c2=a=a2=3，可得数列{c n}的公比为3，c n=3n-1，由c n=a=2b n-1，可得b n=（1+3n-1），{b n}的前n项和T n=（1+3+…+3n-1）+n=•+n=．【解析】（1）设等差数列的公差为d，由通项公式解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）分别求得c1，c2，可得公比，由等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，计算可得所求和．本题考查等差数列和等比数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查化简运算能力，属于中档题．18.【答案】证明：（1）取AD的中点E，连结PE，BE，BD，∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形，∴AD⊥BE，同理，得AD⊥PE，又PE∩BE=E，PE⊂平面PBE，BE⊂平面PBE，∴AD⊥平面PBE，又PB⊂平面PBE，∴AD⊥PB．解：（2）∵平面PAD⊥平面ABCD，由（1）可知EA，EB，EP两两垂直，以E为坐标原点建立空间直角坐标系E-xyz，如图，由题意得PD=PA=AD=2，则E（0，0，0），B（0，，0），C（-2，，0），P（0，0，），∴=（0，，0），=（0，，-），=（-2，，-），设平面PBC的一个法向量=（x，y，z），由，取y=1，得=（0，1，1），由（1）得是平面PAD的一个法向量，∴cos＜，＞==，∴＜＞=45°，∴平面PAD与平面PBC所成二面角的大小为45°．【解析】（1）取AD的中点E，连结PE，BE，BD，推导出AD⊥BE，AD⊥PE，从而AD⊥平面PBE，由此能证明AD⊥PB．（2）EA，EB，EP两两垂直，以E为坐标原点建立空间直角坐标系E-xyz，利用向量法能求出平面PAD与平面PBC所成二面角的大小．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.【答案】解：（1）由题意可得，解得a2=2，b2=1，则椭圆方程为+y2=1，（2）设直线l的斜率为k，A（x1，y2），B（x2，y2），M（x3，y3），则=（1-x1，-y1），=（x3-1，y3），由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，由=α，可得-y1=ay3，则α=-，当AM与x轴不垂直时，直线AM的方程为y=（x-1），即x=，代入曲线C的方程又x12+y12=1，整理可得（3-2x1）y2+2y1（x1-1）-y12=0，∴y1y3=-，∴α=-=3-2x1，当AM与x轴垂直时，A点横坐标为x1=1，α=1，显然a=3-2x也成立，∴α=3-2x，同理可得β=3-2x，设直线l的方程为y=k（x+2），（k≠0），联立，消去y整理得（2k2+1）x2+8k2x+8k2-2=0，由△=（8k2）2-4（2k2+1）（8k2-2）＞0，解得0＜k2＜，又x1+x2=-，∴α+β=3-2x1+3-2x2=6-2（x1+x2）=14-∈（6，10）即α+β的取值范围是（6，10）．【解析】（1）由题意可得，解得a2=2，b2=1，即可求出椭圆方程，（2）设直线l的斜率为k，A（x1，y2），B（x2，y2），M（x3，y3），则=（1-x1，-y1），=（x3-1，y3），分“两种情况，求出直线AG的方程，联立直线与椭圆的方程，由根与系数的关系的分析可得α+β范围，即可得答案．本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系，关键依据椭圆的性质，求出椭圆的标准方程．画出频率分布直方图如图所示；（2）由（1）知P1=0.1，随机变量X的所有可能取值分别为0，1，2；当X=0时，P（X=0）=0.9×（1-P2），当X=1时，P（X=1）=0.9×P2+0.1×（1-P2）=0.8×P2+0.1，当X=2时，P（X=2）=0.1×P2；X所以的数学期望为（）P2+0.1+2×0.1×P2=P2+0.1=0.8，解得P2=0.7；所以P2-P1=0.7-0.1=0.6＞0.5，所以学生甲与学生乙适合结为“对子”．【解析】（1）根据题意列出频率分布表，画出频率分布直方图即可；（2）由题意知随机变量X的所有可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，再计算数学期望值，求出P2以及P2-P1的值，由此得出结论．本题考查了频率分布直方图与离散型随机变量的分布列和数学期望的计算问题，是中档题．21.【答案】解：（1）由題意，令g（x）=e x-mx+m，（m＞0）则g'（x）=e x-m，令g'（x）＞0，解得x＞ln m．所以g（x）在（ln m，+∞）上单调递增，令g'（x）＜0，解得x＜ln m，所以g（x）在（-∞，ln m）上单调递减，则当x=ln m时，函数取得极小值，同时也是最小值g（x）min=g（ln m）=m-m lnm+m=m（2-ln m）①当m（2-ln m）＞0，即0＜m＜e2时，f（x）的图象与直线l无交点，②当m（2-ln m）=0，即m=e2时f（x）的图象与直线l只有一个交点．③当m（2-ln m）＜0，即m＞e2时f（x）的图象与直线l有两个交点．综上所述，当0＜m＜e2时，f（x）的图象与直线l无交点m=e2时f（x）的图象与直线l只有一个交点，m＞e2时f（x）的图象与直线l有两个交点．（2）证明：令φ（x）=g（ln m+x）-g（ln m-x）=me x-me-x-2mx，（x＞0）φ′（x）=m（e x+e-x-2）∵e x+e-x≥2=2，∴φ'（x）≥0，即φ（x）在（0，+∞）上单调递增，∴φ（x）＞φ（0）=0∴x＞0时，g（ln m+x）＞g（ln m-x）恒成立，又0＜x1＜ln m＜x2，∴ln m-x1＞0，∴g（ln m+ln m-x1）＞g（ln m-ln m+x1）即g（2ln m-x1）＞g（x1），又g（x1）=g（x2）∴g（x2）＜g（2ln m-x1）∵2ln m-x1＞ln m，x2＞ln m，y=g（x）在（ln m，+∞）上单调递增，∴x2＜2ln m-x1即x1+x2＜2ln m．∵，∴•=（mx1-m）（mx2-m）=m2（x1-1）（x2-1），∵．∴m2（x1-1）（x2-1）＜m2，即（x1-1）（x2-1）＜1，则x1x2-（x1+x2）+1＜1，∴x1x2-（x1+x2）＜0，即x1x2＜x1+x2，即成立．【解析】本题主要考查函数与方程的应用，构造函数，求出函数的导数，研究函数的单调性和极值是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．（1）根据函数与方程的关系，设g（x）=e x-mx+m，求函数的导数，研究函数的单调性和极值，结合极值与0的关系进行判断即可．（2）构造函数φ（x），求函数的导数，结合f（x）与l的交点坐标，进行证明即可．22.【答案】解：（1）由x=2+t得t=（x-2）代入y=2+整理得x-+4=0，∴直线l的普通方程为x-+4=0，又，∴ρ2cos2θ-2ρcosθ+ρ2sin2θ=0，∴ρ=2cosθ，∴曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，（2）由得，∴A（2，2），设B（ρ，θ），则ρ=2cosθ，∴△AOB的面积S=|OA||OB|sin∠AOB=|4ρsin（-θ）|=|4cosθsin（-θ）|=|2cos（2θ+）+|，∴S mac=2+．【解析】（1）用代入法消去t可得直线l的普通方程；利用x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得曲线C的极坐标方程；（2）先求得A（2，2），再利用B的极径求出三角形的面积，再求最值．本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题．23.【答案】解：（1）当m=3时，f（x）=|x+1|-3|x-2|，由f（x）＞1，得或或，解得：＜x≤2或2＜x＜3，故不等式的解集是（，3）；（2）当x∈[-1，2]时，f（x）=x+1-m（2-x），f（x）＜2x+1恒成立，即x+1-m（2-x）＜2x+1恒成立，整理得：（2-x）m＞-x，当x=2时，0＞-2成立，当x∈[-1，2]时，m＞=1-，令g（x）=1-，∵-1≤x＜2，∴0＜2-x≤3，∴≥，∴1-≤，故g（x）max=，故m＞．【解析】（1）代入m的值，得到关于x的不等式组，解出即可；（2）问题转化为x+1-m（2-x）＜2x+1恒成立，当x∈[-1，2]时，m＞=1-，令g（x）=1-，求出g（x）的最大值，求出m的范围即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道常规题．。

专题8 数列数列是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，大小均有.其中，小题重点考查等差数列、等比数列基础知识以及数列的递推关系；解答题的难度中等或稍难，将稳定在中等难度.往往在利用方程思想解决数列基本问题后，进一步数列求和，在求和后可与不等式、函数、最值等问题综合.在考查等差数列、等比数列的求和基础上，进一步考查“裂项相消法”、“错位相减法”等，与不等式结合，“放缩”思想及方法尤为重要． 预测2020年将保持稳定，注意主观题与不等式、函数等相结合.一、单选题1．（2020届山东省淄博市高三二模）“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为 ABC．D．2．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）已知数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且23n n n S a +=，则1n n a a -的最大值为（ ） A ．3-B ．1-C ．3D ．13．（2020届山东省济宁市高三3月月考）在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．”则下列说法错误的是（ ） A ．此人第二天走了九十六里路 B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里.C ．此人第三天走的路程占全程的18D ．此人后三天共走了42里路若存在两项,m n a a32=，则14m n+的最小值为 A ．34B ．910C ．32D ．955．（2020届山东省青岛市高三上期末）已知数列{}n a 中,32a =,71a =.若1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,则5a =( ) A ．23B ．32C ．43D ．34二、多选题6．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若4524a a +=，648S =，则下列正确的是（ ） A ．12a =-B ．12a =C ．4d =D ．4d =-7．（2020·山东曲阜一中高三3月月考）在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则下列说法正确的是（ ） A ．此人第二天走了九十六里路B ．此人第三天走的路程站全程的18C ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里D ．此人后三天共走了42里路8．（2020届山东省潍坊市高三模拟二）将n 2个数排成n 行n 列的一个数阵，如图：该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中m ＞0）.已知a 11＝2，a 13＝a 61+1，记这n 2个数的和为S .下列结论正确的有（ ）A ．m ＝3B ．767173a =⨯C ．()1313j ij a i -=-⨯D ．()()131314n S n n =+- 9．（2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）等差数列{}n a 是递增数列，满足753a a =，前n 项和为n S ，下列选择项正确的是（ ） A ． 0d >B ．10a <C ．当5n =时n S 最小D ．0n S >时n 的最小值为810．（2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟）已知数列{}{},n n a b 满足1111312,2ln(),0n n n n n n n a a b b a b n N a b n*+++=+=++∈+> 给出下列四个命题，其中的真命题是（ ） A ．数列{}n n a b -单调递增； B ．数列{}n n a b + 单调递增； C ．数{}n a 从某项以后单调递增； D ．数列{}n b 从某项以后单调递增.三、填空题11．（2020届山东省烟台市高三模拟）已知数列{}n a 的前n 项和公式为221n S n n =-+，则数列{}n a 的通项公式为___．12．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏.在某种玩法中，用n a 表示解下()*9,n n n N≤∈个圆环所需移动的最少次数，{}na 满足11a=，且()()112122n n n a n a a n --⎧-⎪=⎨+⎪⎩为偶数为奇数，则解下5个圆环需最少移动________次.四、解答题13．（2020·山东高三模拟）已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前4项和为414S =, 且137,,a a a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式; （2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .14．（2020届山东省烟台市高三模拟）已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+.（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令1(1)(2)n n n nn a c b ++=+.求数列{}n c 的前n 项和n T . 15．（2020届山东省高考模拟）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12n n S a a =-（*n N ∈），数列{}n b 满足16b =，14n n nb S a =++（*n N ∈）． （Ⅰ）求数列{}n a 通项公式； （Ⅱ）记数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：12nT ＜． 16．（2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且23b =，39b =，11a b =，144a b =．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和．17．（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）已知数列{}n a 中，11a =，121n n a a n +=+-，n n b a n =+.（1）求证：数列{}n b 是等比数列; （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .18．（2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，其前n 项和为n S ，若2822a a +=，且4712,,a a a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若12111n n T S S S =+++，证明：34n T <. 19．（2020届山东省泰安市肥城市一模）记n S 为公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，已知2219a a =，618S =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S 的最大值及对应n 的大小.20．（2020届山东省济宁市高三3月月考）已知数列{}n a 为公差不为0的等差数列，且139a a a 、、成等比数列，246a a +=.（1）求数列{}n a 的通项n a ； （2）设()21cos3n n n a b a π+=，求数列{}nb 的前2020项的和2020S.21．（2020届山东省菏泽一中高三2月月考）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知11a =,121n n S S +-=,n *∈N . (1)证明:{}1n S +为等比数列,求出{}n a 的通项公式; (2)若n nn b a =,求{}n b 的前n 项和n T ,并判断是否存在正整数n 使得1250n n T n -⋅=+成立?若存在求出所有n 值;若不存在说明理由.22．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，627S =. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设2n an b =，记n T 为数列{}n b 的前n 项和.若124m T =，求m .23．（2020届山东省潍坊市高三模拟二）已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且*12(1)()n n a a n N +=+∈.（Ⅰ）证明：数列{a n +2}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设b n ＝log 2（a n +2）﹣log 23，求数列32n n b a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和n T .24．（2020届山东省六地市部分学校高三3月线考）数列{}n a 满足：123a a a +++()1312nn a +=- （1）求{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足3n na b n a =，求{}n b 的前n 项和n T .25．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）已知函数()log k f x x =（k 为常数，0k >且1k ≠）． （1）在下列条件中选择一个________使数列{}n a 是等比数列，说明理由； ①数列(){}n f a 是首项为2，公比为2的等比数列； ②数列(){}n f a 是首项为4，公差为2的等差数列；③数列(){}n f a 是首项为2，公差为2的等差数列的前n 项和构成的数列．（2）在（1）的条件下，当k =12241+=-n n n a b n ，求数列{}n b 的前n 项和n T . 26．（2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）在①325256a a a b =+=，；②234323b a a b =+=，；③345298S a a b =+=，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{}n a 的公差为()1d d >，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ，且11a b d q ==，，____________．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式． （2）记nn na cb =，求数列{}n c ，的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 27．（2020·山东高三下学期开学）已知数列{}n a 满足123123252525253n n na a a a ++++=----…．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：11226n T ≤<． 28．（2020届山东省淄博市高三二模）已知数列{}n a 满足132a =，且()1112,22n n n a a n n *--=+≥∈N .（1）求证：数列{}2nn a 是等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S .29．（2020届山东省淄博市部分学校高三3月检测）已知数列{}n a 满足11a =，1431n n a a n +=+-，n n b a n =+.（1）证明：数列{}n b 为等比数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和.30．（2020·2020届山东省淄博市高三二模）（本小题满分12分）设函数()()22ln 11x f x x x =+++.（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）如果对所有的x ≥0，都有()f x ≤ax ，求a 的最小值；（Ⅲ）已知数列{}n a 中， 11a =，且()()1111n n a a +-+=，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：11ln 2n n n na S a a ++>-.一、单选题1．（2020届山东省淄博市高三二模）“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为 ABC． D．【答案】D 【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为所以1(2,)n n a n n N -+=≥∈， 又1a f =，则7781a a q f === 故选D.2．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）已知数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且23n n n S a +=，则1n n a a -的最大值为（ ） A ．3- B ．1-C ．3D ．1【答案】C 【解析】当2n ≥ 时，1121,,33n n n n n n S a S a --++== 两式作差可得：11211213311n n n n n a n n n a a a a n n --+++=-⇒==+-- ， 据此可得，当2n = 时，1nn a a -的最大值为33．（2020届山东省济宁市高三3月月考）在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．”则下列说法错误的是（ ）A ．此人第二天走了九十六里路B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里.C ．此人第三天走的路程占全程的18D ．此人后三天共走了42里路【答案】C 【解析】由题意可知，每天走的路程里数构成以12为公比的等比数列，由S 6=378求得首项，再由等比数列的通项公式求第二天的，第三天的，后三天的路程，即可得到答案．4．（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）已知正项等比数列{}n a 满足：2853516,20a a a a a =+=，若存在两项,m n a a 32=，则14m n+的最小值为 A ．34B ．910C ．32D ．95【答案】A 【解析】因为数列{}n a 是正项等比数列，28516a a a ，3520a a +=，所以2285516a a a a ，516a =，34a =，所以253a a q =，2q ，451a a q ，11a =，1112n n n a a q --==，32=，所以1110222m n，12m n +=，414114112125n m mnm n mnm n431124520,0n m mnm n ，当且仅当2n m =时“=”成立， 所以14mn的最小值为34，故选A 。

专题2 相等关系与不等关系高考试题不等式的考查有两类，一是涉及不等式的性质、不等式的解法、绝对值不等式；二是基本不等式及其应用等，一般不独立命题，而是以工具的形式，与充要条件、函数与导数、解析几何、三角函数、数列等综合考查.预测2020年独立考查的内容将是不等式的性质或基本不等式的应用问题，不等式的解法将与集合、函数等其它知识点综合考查.第一部分 相等关系与不等关系一、单选题1．（2020届山东省日照市高三上期末联考）如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：有一根竹子原高一丈（一丈10=尺），现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高是（ ）A ．2.55尺B ．4.55尺C ．5.55尺D ．6.55尺2．（2019·山东师范大学附中高三月考）函数()312xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在区间为（ ）A ．()1,0-B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,23．（2020届山东省泰安市高三上期末）若()33log 21log a b ab +=+2+a b 的最小值为（ ）A ．6B ．83C ．3D ．1634．（2020·全国高三专题练习（文））“[]1,2x ∀∈，210ax +≤”为真命题的充分必要条件是（ ）A ．1a ≤-B ．14a -≤ C ．2a ≤- D．0a ≤5．（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知a R ∈，则“01a <<”是“,x R ∀∈2210ax ax ++>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．（2020届山东实验中学高三上期中）若,a b 是任意实数，且a b >，则（ ）A ．22a b >B ．1ba<C ．()10g a b ->D ．1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7．（2020届山东省滨州市高三上期末）已知x ∈R ，则“121x⎛⎫ ⎪⎭>⎝”是“21x -<<-”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）不等式220ax bx ++>的解集为{12}x x -<<，则不等式220x bx a ++>的解集为（ ）A ．{1x <-或1}2x > B ．1{1}2x x -<<C ．{21}x x -<<D ．{2x <-或1}x >9．（2020届山东省济宁市高三上期末）已知奇函数()f x 在R 上单调,若正实数,a b 满足()()490f a f b +-=，则11a b+的最小值是( ) A ．1B ．92C ．9D ．1810．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）如图，在△ABC 中，点,D E 是线段BC 上两个动点，且AD AE +u u u r u u u rx AB y AC =+u u u r u u u r ，则14x y+的最小值为（ ）A ．32B ．2C ．52D ．9211．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）不等式3ln 1x x e a x x --≥+对任意(1,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围（ ）A ．(,1]e -∞-B ．2(,2]e -∞-C ．(,2]-∞-D ．(,3]-∞-12．（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知0a >，0b >，若不等式41ma b a b+≥+恒成立，则m 的最大值为（ ） A ．10B ．12C ．16D ．913．（2020届山东师范大学附中高三月考）若0a >，0b >，()lg lg lg 2a b a b +=+，则2a b +的最小值为（ ） A ．9B ．8C ．7D ．614．（2020届山东实验中学高三上期中）设{}2|8150A x x x =-+=，{}|10B x ax =-=，若A B B =I ，求实数a 组成的集合的子集个数有 A ．2B ．3C ．4D ．815．（2020届山东实验中学高三上期中）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x +=-，且当2x >时，有()()()()2,11xf x f x f x f ''+>=若，则不等式()12f x x <-的解集是（ ） A ．(2,3) B ．(),1-∞C ．()()1,22,3⋃D ．()(),13,-∞⋃+∞二、多选题16．（2020届山东省泰安市高三上期末）已知a b c d ,,,均为实数，则下列命题正确的是（ ） A ．若,a b c d >>，则ac bd > B ．若0,0ab bc ad >->，则0c da b-> C ．若,,a b c d >>则a d b c ->- D ．若,0,a b c d >>>则a b d c> 17．（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）设11a b >>>-，0b ≠，则下列不等式中恒成立的是（ ） A ．11a b< B ．11a b> C ．2a b > D ．22a b >18．（2020届山东省潍坊市高三上期中）若x y ≥，则下列不等式中正确的是（ ） A ．22x y ≥B ．2x yxy +≥ C ．22x y ≥ D ．222x y xy +≥19．（2020届山东省九校高三上学期联考）下列结论正确的是（ ）A ．x R ∀∈，12x x+≥B ．若0a b <<，则3311a b ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．若()20x x -<，则()2log 0,1x ∈D ．若0a >，0b >，1a b +≤，则104ab <≤20．（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的P 点的距离是2km ，从P 点沿海岸正东12km 处有一个城镇.假设一个人驾驶的小船的平均速度为3/km h ，步行的速度为5/km h ，时间t （单位：h ）表示他从小岛到城镇的时间，x （单位：km ）表示此人将船停在海岸处距P 点的距离.设24,u x x =++24v x x =+-，则（ ）A ．函数()v f u =为减函数B ．15432t u v --=C ．当 1.5x =时，此人从小岛到城镇花费的时间最少D ．当4x =时，此人从小岛到城镇花费的时间不超过3h 三、填空题21．（20201x x +x =______. 22．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）函数2245()(1)1x x f x x x -+=>-的最小值是__________.23．（2020届山东省潍坊市高三上期中）“x R ∃∈，220x x a --<” 为假命题，则实数a 的最大值为__________．24．（2020·全国高三专题练习（理））谈祥柏先生是我国著名的数学科普作家，他写的《数学百草园》、《好玩的数学》、《故事中的数学》等书，题材广泛、妙趣横生，深受广大读者喜爱.下面我们一起来看《好玩的数学》中谈老的一篇文章《五分钟内挑出埃及分数》：文章首先告诉我们，古埃及人喜欢使用分子为1的分数（称为埃及分数）.如用两个埃及分数13与115的和表示25等.从11111,,,,,234100101⋅⋅⋅这100个埃及分数中挑出不同的3个，使得它们的和为1，这三个分数是________.（按照从大到小的顺序排列）25．（2020·全国高三专题练习（理））已知圆()()22212x y -+-=关于直线()10,0ax by a b +=>>对称，则21a b+的最小值为__________． 26．（2020届山东实验中学高三上期中）设命题21:01x p x -<-，命题()()2:2110q x a x a a -+++≤，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是_____________．27．（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）设()()201x a x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨+⎪⎩，，＞． （1）当12a =时，f （x ）的最小值是_____； （2）若f （0）是f （x ）的最小值，则a 的取值范围是_____． 四、解答题28．（2020届山东师范大学附中高三月考）已知某工厂每天固定成本是4万元，每生产一件产品成本增加100元，工厂每件产品的出厂价定为a 元时，生产x 件产品的销售收入是21()5004R x x x =-+（元），()P x 为每天生产x 件产品的平均利润（平均利润＝总利润/总产量）.销售商从工厂每件a 元进货后又以每件b 元销售， ()b a c a λ=+-，其中c 为最高限价()a b c <<，λ为销售乐观系数，据市场调查，λ是由当b a -是c b -，c a -的比例中项时来确定.（1）每天生产量x 为多少时，平均利润()P x 取得最大值？并求()P x 的最大值； （2）求乐观系数λ的值；（3）若600c =，当厂家平均利润最大时，求a 与b 的值.29．（2020届山东省潍坊市高三上期中）在经济学中，函数()f x 的边际函数()Mf x 定义为()()()1Mf x f x f x =+-．某医疗设备公司生产某医疗器材，已知每月生产x 台()x N *∈的收益函数为()2300020R x x x =- （单位：万元），成本函数()5004000C x x =+（单位：万元），该公司每月最多生产100台该医疗器材．（利润函数=收益函数－成本函数）（1）求利润函数()P x 及边际利润函数()MP x ；（2）此公司每月生产多少台该医疗器材时每台的平均利润最大，最大值为多少?（精确到0.1） （3）求x 为何值时利润函数()P x 取得最大值，并解释边际利润函数()MP x 的实际意义． 30．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）非空集合()(){}2|312310A x x a x a =-++-<，集合(){}223|220B x x a a x a a =-++++<（Ⅰ）当3a =时，求A B I ；（Ⅱ）命题p ：x A ∈，命题q ：x B ∈，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围.第二部分 计数原理一、单选题1．（2020届山东省烟台市高三上期末）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周.若课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，则所有可能的排法种数为（ ） A ．216B ．480C ．504D ．6242．（2020届山东省九校高三上学期联考）汽车维修师傅在安装好汽车轮胎后，需要紧固轮胎的五个螺栓，记为A 、B 、C 、D 、E （在正五边形的顶点上），紧固时需要按一定的顺序固定每一个螺栓，但不能连续固定相邻的两个，则不同固定螺栓顺序的种数为（ ） A ．20 B ．15 C ．10D ．53．（2020·全国高三专题练习（理））已知某超市为顾客提供四种结账方式:现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲只会用现金结账，顾客乙只会用现金和银联卡结账，顾客丙与甲.乙结账方式不同，丁用哪种结账方式都可以若甲乙丙丁购物后依次结账，那么他们结账方式的组合种数共有（ ） A ．36种B ．30种C ．24种D ．20种4．（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）“总把新桃换旧符”（王安石）、“灯前小草写桃符”（陆游），春节是中华民族的传统节日，在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满50元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有4名顾客都领取一件礼品，则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是（ ）A ．59B ．49C ．716D ．9165．（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）6本不同的书摆放在书架的同一层上,要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有（ ）种 A ．24B ．36C ．48D ．606．（2020届山东省滨州市高三上期末）展开式中项的系数为（ ）A ．B ．C ．D ．7．（2020届山东省九校高三上学期联考）吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩2支香烟”的概率为（ ）A ．15 B ．815 C ．35D ．3208．（2020届山东省临沂市高三上期末）6324x x ⎛⎝的展开式的中间项为（ ） A ．-40B ．240x -C ．40D ．240x9．（2020届山东省潍坊市高三上期中）(82x 展开式中3x 的系数为（ ）A ．-112B ．28C ．56D ．112二、多选题 三、填空题10．（2020届山东省日照市高三上期末联考）二项式261(2)x x-的展开式中的常数项是_______.（用数字作答）11．（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）在32nx x ⎛ ⎝的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是 ．12．（2020届山东省德州市高三上期末）6212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为______；系数最大的项是______. 13．（2020届山东省临沂市高三上期末）现将七本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，则甲分得的书不少于3本的概率是______.14．（2020·全国高三专题练习（理））在()8x 的展开式中,含44x y 项的系数是_______.。

2013年山东省泰安市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2013•泰安一模）已知集合A={﹣1，1}，B={x|1≤2x＜4}，则A∩B 等于（ ） A ． {﹣1，0，1} B ． {1} C ． {﹣1，1} D ． {0，1}考点： 交集及其运算． 专题： 计算题． 分析：利用指数函数的性质求出集合B 中不等式的解集，确定出集合B ，找出A 与B 的公共元素，即可求出两集合的交集．解答：解：由集合B 中的不等式变形得：20≤2x ＜22， 解得：0≤x＜2， ∴B=[0，2），又A={﹣1，1}， 则A∩B={1}． 故选B 点评： 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2013•泰安一模）复数（i 为虚数单位）的模是（ ）A ．B ．C ． 5D ． 8考点： 复数求模． 专题： 计算题． 分析： 直接求出复数的代数形式，然后求解复数的模即可． 解答：解：因为，所以，故选A ． 点评： 本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的模的求法，考查计算能力．3．（5分）（2013•泰安一模）如果随机变量ξ～N （﹣1，σ2），且P （﹣3≤ξ≤﹣1）=0.4，则P （ξ≥1）等于（ ） A ． 0.1 B ． 0.2 C ． 0.3 D ． 0.4考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义． 专题：计算题． 分析： 本题是一个正态分布问题，根据所给的随机变量取值的平均水平的特征数﹣1，而正态曲线是一个关于x=μ即x=﹣1对称的曲线，根据对称性写出概率．解答： 解：如果随机变量ξ～N （﹣1，σ2），且P （﹣3≤ξ≤﹣1）=0.4， ∵P（﹣3≤ξ≤﹣1）=∴∴P（ξ≥1）=．点评： 一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似的服从正态分布，正态分布在概率和统计中具有重要地位． 4．（5分）（2013•泰安一模）下列命题，其中说法错误的是（ ）A ． 命题“若x 2﹣3x ﹣4=0，则x=4”的逆否命题为“若x≠4，则x 2﹣3x ﹣4≠0”B ． “x=4”是“x 2﹣3x ﹣4=0．”的充分条件C ． 命题“若m ＞0，则方程x 2+x ﹣m=0有实根”的逆命题为真命题D ． 命题“若m 2+n 2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m 2+n 2≠0，则m≠0或n≠0”考点： 命题的真假判断与应用． 专题：计算题；函数的性质及应用． 分析：命题“若x 2﹣3x ﹣4=0，则x=4”的逆否命题为“若x≠4，则x 2﹣3x ﹣4≠0；“x=4”是“x 2﹣3x ﹣4=0”的充分条件；命题“若m ＞0，则方程x 2+x ﹣m=0有实根”的逆命题是假命题；命题“若m 2+n 2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m 2+n 2≠0，则m≠0或n≠0”．解答：解：命题“若x 2﹣3x ﹣4=0，则x=4”的逆否命题为“若x≠4，则x 2﹣3x ﹣4≠0”，故A 正确；∵“x=4”⇒“x 2﹣3x ﹣4=0”，“x 2﹣3x ﹣4=0”⇒“x=4，或x=﹣1”，∴“x=4”是“x 2﹣3x ﹣4=0”的充分条件，故B 正确；命题“若m ＞0，则方程x 2+x ﹣m=0有实根”的逆命题为：∵若方程x 2+x ﹣m=0有实根，则△=1+4m≥0，解得m，∴“若方程x 2+x ﹣m=0有实根，则m ＞0”，是假命题，故C 不正确；命题“若m 2+n 2=0，则m=0且n =0”的否命题是“若m 2+n 2≠0，则m≠0或n≠0”，故D 正确． 故选C ． 点评： 本题考查命题的真假判断，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答． 5．（5分）（2013•泰安一模）若程序框图如图所示，则该程序运行后输出k 的值是（ ）A．4B．5C．6D．7考点：程序框图．分析：根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦不满足条件就退出循环，执行语句输出k，从而到结论．解答：解：当输入的值为n=5时，n不满足上判断框中的条件，n=16，k=1n不满足下判断框中的条件，n=16，n满足上判断框中的条件，n=8，k=2，n不满足下判断框中的条件，n=8，n满足判断框中的条件，n=4，k=3，n不满足下判断框中的条件，n=4，n满足判断框中的条件，n=2，k=4，n不满足下判断框中的条件，n=2，n满足判断框中的条件，n=1，k=5，n满足下面一个判断框中的条件，退出循环，即输出的结果为k=5，故选B．点评：本题主要考查了循环结构，是当型循环，当满足条件，执行循环，属于基础题．6．（5分）（2013•泰安一模）当时，函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0）取得最小值，则函数是（）A．奇函数且图象关于点对称B．偶函数且图象关于点（π，0）对称C．奇函数且图象关于直线对称D．偶函数且图象关于点对称考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题．分析：由f（）=sin（+φ）=﹣1可求得φ=2kπ﹣（k∈Z），从而可求得y=f（﹣x）的解析式，利用正弦函数的奇偶性与对称性判断即可．解答：解：∵f（）=sin（+φ）=﹣1，∴+φ=2kπ﹣，∴φ=2kπ﹣（k∈Z），∴y=f（﹣x）=Asin（﹣x+2kπ﹣）=﹣Asinx，令y=g（x）=﹣Asinx，则g（﹣x）=﹣Asin（﹣x）=Asinx=﹣g（x），∴y=g（x）是奇函数，可排除B，D；其对称轴为x=kπ+，k∈Z，对称中心为（kπ，0）k∈Z，可排除A；令k=0，x=为一条对称轴，故选C．点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，求φ是难点，考查正弦函数的奇偶性与对称性，属于中档题．7．（5分）（2013•泰安一模）在△ABC中，∠A=60°，AB=2，且△ABC的面积为，则BC的长为（）A．B．3C．D．7考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：由△ABC的面积S△ABC=，求出AC=1，由余弦定理可得BC，计算可得答案．解答：解：∵S△ABC==×AB×ACsin60°=×2×AC×，∴AC=1，△ABC中，由余弦定理可得BC==，故选A．点评：本题考查三角形的面积公式，余弦定理的应用，求出 AC，是解题的关键．8．（5分）（2013•泰安一模）已知则向量与的夹角为（）A．B．C．D．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：由条件求得，再由，求得向量与的夹角．解答：解：由于，所以，所以，所以，故选B．点评：本题主要考查用两个向量的数量积表示两个向量的夹角，两个向量数量积的运算，属于中档题．9．（5分）（2013•泰安一模）若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是（）A．a+b≥2B．C．D．a2+b2＞2ab考点：不等关系与不等式．专题：常规题型．分析：根据不等关系与不等式以及基本不等式等相关知识对四个选项逐一判断得出正确选项．解答：解：因为ab＞0，则或，则排除A与B；由于a2+b2≥2ab恒成立，当且仅当a=b时，取“=”，故D错；由于ab＞0，则，即，所以选C．故答案为 C点评：本题考查不等式与不等关系，解题的关键是熟练掌握不等式成立判断的方法以及基本不等式适用的范围．10．（5分）（2013•泰安一模）设函数f（x）=x3﹣4x+a（0＜a＜2）有三个零点x1、x2、x3，且x1＜x2＜x3，则下列结论正确的是（）A．x1＞﹣1 B．x2＜0 C．0＜x2＜1 D．x3＞2考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数的极值，再根据f （x）的三个零点为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，求得各个零点所在的区间，从而得出结论．解答：解：∵函数f （x）=x3﹣4x+a，0＜a＜2，∴f′（x）=3x2﹣4．令f′（x）=0，得x=±．∵当x＜﹣时，f′（x）＞0；在（﹣，）上，f′（x）＜0；在（，+∞）上，f′（x）＞0．故函数在（﹣∞，﹣）上是增函数，在（﹣，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数．故f（﹣）是极大值，f（）是极小值．再由f （x）的三个零点为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，得 x1＜﹣，﹣＜x 2，x3＞．根据f（0）=a＞0，且f （）=a ﹣＜0，得＞x2＞0．∴0＜x2＜1．故选C．点评：本题主要考查函数的零点的定义，函数的零点与方程的根的关系，利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数的极值，属于中档题．11．（5分）（2013•泰安一模）直线x+（a2+1）y+1=0（a∈R）的倾斜角的取值范围是（）A．[0，] B．[，π）C．[0，]∪（，π）D．[，）∪[，π）考点：直线的倾斜角．专题：计算题．分析：由直线的方程得斜率等于，由于 0＞﹣≥﹣1，设倾斜角为α，则0≤α＜π，﹣1≤tanα＜0，求得倾斜角α 的取值范围．解答：解：直线x+（a2+1）y+1=0（a∈R）的斜率等于，由于 0＞﹣≥﹣1，设倾斜角为α，则0≤α＜π，﹣1≤tanα＜0，∴≤α＜π，故选 B．点评：本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值的范围求角的范围，得到0≤α＜π，﹣1≤tanα＜0，是解题的关键．12．（5分）（2013•泰安一模）设奇函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数，f（﹣1）=﹣1．若函数f（x）≤t2﹣2at+1对所有的x∈[﹣1，1]都成立，则当a∈[﹣1，1]时，t的取值范围是（）A．﹣2≤t≤2B．C．t≤﹣2或t=0或t≥2D．考点：函数恒成立问题；函数单调性的性质；函数奇偶性的性质．专题：综合题；压轴题．分析：要使函数f（x）≤t2﹣2at+1对所有的x∈[﹣1，1]都成立，只需要f（x）的最大值小于等于t2﹣2at+1，再变换主元，构建函数，可得不等式，从而可求t的取值范围．解答：解：∵奇函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数，f（﹣1）=﹣1∴x=1时，函数有最大值f（1）=1若函数f（x）≤t2﹣2at+1对所有的x∈[﹣1，1]都成立，∴1≤t2﹣2at+1∴2at﹣t2≤0，设g（a）=2at﹣t2（﹣1≤a≤1），欲使2at﹣t2≤0恒成立，则∴∴t≤﹣2或t=0或t≥2故选C．点评：本题考查函数的奇偶性，单调性与最值，考查恒成立问题，考查变换主元的思想，利用最值解决恒成立问题时我们解决这类问题的常用方法．二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.请把答案填在答题纸的相应位置. 13．（4分）（2013•泰安一模）从集合{1，2，3，4，5}中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：先计算出从集合{1，2，3，4，5}中随机选取3个不同的数对应的基本事件总数，再列举出这3个数可以构成等差数列的基本事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．解答：解：从集合{1，2，3，4，5}中随机选取3个不同的数，共有=10种不同的情况；其中可以构成等差数列的情况有：（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5）和（1，3，5）四种故这3个数可以构成等差数列的概率为=故答案为：点评：本题考查的知识点是古典概型及其概率计算公式，其中本题易忽略1，3，5这种情况，而造成错解．14．（4分）（2013•泰安一模）二项式的展开式中，常数项等于1215 （用数字作答）．考点：二项式定理．专题：计算题．分析：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项解答：解：展开式的通项公式为，由6﹣3k=0得k=2，所以常数项为，故答案为1215．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．15．（4分）（2013•泰安一模）已知矩形ABCD的顶点都在半径为5的球O的球面上，且AB=8，BC=2，则棱锥O﹣ABCD的体积为．考点：球内接多面体；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据题意，球心0在矩形所在平面内的射影为矩形对角线的交点O1．算出AC==2，结合球的截面圆性质算出OO1=，最后利用锥体体积公式即可算出棱锥O﹣ABCD的体积．解答：解：球心0在矩形所在平面内的射影为矩形对角线的交点O1．∵AB=8，BC=2，∴对角线长AC=，由球的截面圆性质，得棱锥的高OO1=，∴棱锥O﹣ABCD的体积为V=S ABCD×OO1=．故答案为：点评：本题给出圆的内接矩形ABCD，求棱锥O﹣ABCD的体积．着重考查了球的截面圆性质和锥体体积公式等知识，属于中档题．16．（4分）（2013•泰安一模）设双曲线的离心率为2，且一个焦点与抛物线x2=8y 的焦点相同，则此双曲线的方程为．考点：抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用抛物线的方程先求出抛物线的焦点即双曲线的焦点，利用双曲线的方程与系数的关系求出a2，b2，利用双曲线的三个系数的关系列出m，n的一个关系，再利用双曲线的离心率的公式列出关于m，n的另一个等式，解方程组求出m，n的值，代入方程求出双曲线的方程．解答：解：抛物线的焦点坐标为（0，2），所以双曲线的焦点在y轴上且c=2，所以双曲线的方程为，即a2=n＞0，b2=﹣m＞0，所以，又，解得n=1，所以b2=c2﹣a2=4﹣1=3，即﹣m=3，m=﹣3，所以双曲线的方程为．故答案为：．点评：解决双曲线、椭圆的三参数有关的问题，有定注意三参数的关系：c2=a2+b2而椭圆中三参数的关系为a2=c2+b2三、解答题：17．（12分）（2013•泰安一模）设等比数列{a n}的前n项和为S n，a4=a1﹣9，a5，a3，a4成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式，（2）证明：对任意k∈N+，S k+2，S k，S k+1成等差数列．等比数列的前n项和；等差数列的通项公式；等差关系的确定．考点：等差数列与等比数列．专题：分析：（1）由题意可建立，解之可得，进而可得通项公式；（2）由（1）可求S k，进而可得S k+2，S k+1，由等差中项的定义验证S k+1+S k+2=2S k即可解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，解答：则，解得，故数列{a n}的通项公式为：a n=（﹣2）n﹣1，（2）由（1）可知a n=（﹣2）n﹣1，故S k==，所以S k+1=，S k+2=，∴S k+1+S k+2====，而2S k=2===，故S k+1+S k+2=2S k，即S k+2，S k，S k+1成等差数列点本题考查等比数列的前n项和，以及等差关系的确定，属中档题．评：18．（12分）（2013•泰安一模）已知．（1）求A的值；（II）设α、β∈[0，]，f（3α+π）=，f（3β﹣）=﹣，求cos（α+β）的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：三角函数的求值；平面向量及应用．分析：（1）利用两个向量的数量积公式求得f（x）==2Asin（+）．再由 f（）=，可得A的值．（II）由（1）可得 f（x）=2Asin（+），由f（3α+π）=，求得cosα 的值，再由 f（3β﹣）=﹣，求得sinβ的值．再由α、β的范围利用同角三角函数的基本关系，求得sinα 和cosβ 的值，再根据cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ，运算求得结果．解答：解：（1）由题意可得f（x）==Asin+Acos=2Asin（+）．再由 f（）=2Asin（+）=A=，可得A=1．（II）由（1）可得 f（x）=2Asin（+），∴f（3α+π）=2sin（α++）=2cosα=，可得cosα=．又 f（3β﹣）=2sin（β﹣+）=﹣2sinβ=﹣，sinβ=．再由α、β∈[0，]，可得sinα=，cosβ=，∴cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=﹣=．点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，两个向量的数量积公式的应用，属于中档题．19．（12分）（2013•泰安一模）如图在多面体ABCDEF中，ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED，且AD=DE=2BF=2．（I）求证：AC⊥EF；（II）求二面角C﹣EF﹣D的大小；（III）设G为CD上一动点，试确定G的位置使得BG∥平面CEF，并证明你的结论．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定．专题：平面向量及应用．分析：（I）建立坐标系，利用向量的数量积为0，即可证明AC⊥EF；（II）取为平面EFD的法向量，求出平面CEF的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角C﹣EF﹣D的大小；（III）若BG∥平面CEF，只需，则可得G为CD的中点时，BG∥平面CEF．解答：（I）证明：建立如图所示的坐标系，则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），F（2，2，1），E（0，0，2）∴∴=﹣2×2+2×2+（﹣1）×0=0∴AC⊥EF；（II）解：∵ED⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥ED∵AC⊥EF，∴取为平面EFD的法向量∴=（﹣2，2，0）设平面CEF的法向量为=（x，y，1），∴∵=（0，2，﹣2），∴∴∴设二面角C﹣EF﹣D的大小为θ，则cosθ===∵θ∈[0，π]，∴（III）解：设G（0，y0，0），y0∈[0，2]若BG∥平面CEF，只需，又=（﹣2，y0，0）∴=（﹣2，y0﹣2，0）•（﹣，1，1）=1+y0﹣2+0=0∴y0=1∴G点坐标为（0，1，0）即当G为CD的中点时，BG∥平面CEF．点评：本题考查利用空间向量求空间角，考查线面平行，考查学生的分析问题和解决问题的能力，属于中档题．20．（12分）（2013•泰安一模）某产品按行业生产标准分成6个等级，等级系数ξ依次为1，2，3，4，5，6，按行业规定产品的等级系数ξ≥5的为一等品，3≤ξ＜5的为二等品，ξ＜3的为三等品．若某工厂生产的产品均符合行业标准，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下；（I）以此30件产品的样本来估计该厂产品的总体情况，试分别求出该厂生产原一等品、二等品和三等品的概率；（II）已知该厂生产一件产品的利润y（单位：元）与产品的等级系数ζ的关系式为，若从该厂大量产品中任取两件，其利润记为Z，求Z的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（I）由样本数据，结合行业规定，确定一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件，即可估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率；（II）确定Z的可能取值为：2，3，4，5，6，8．用样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得Z的分布列，从而可求数学期望．解答：解：（I）由样本数据知，30件产品中等级系数ξ≥7有6件，即一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）∴样本中一等品的频率为=0.2，故估计该厂生产的产品的一等品率为0.2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）二等品的频率为=0.3，故估计该厂生产的产品的二等品率为0.3；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）三等品的频率为=0.5，故估计该厂生产的产品的三等品的频率为0.5．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（II）∵Z的可能取值为：2，3，4，5，6，8．用样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得P（Z=2）=0.5×0.5=，P（Z=3）=2×=，P（Z=4）=×=，P（Z=5）=2××=，P（Z=6）=2××=，P（Z=8）==，∴可得X的分布列如下：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）其数学期望EX=3.8（元）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）点评：本题考查统计知识，考查离散型随机变量的分布列与期望，解题时利用样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率．21．（13分）（2013•泰安一模）已知椭圆C1：=1，椭圆C2以C1的短轴为长轴，且与C1有相同的离心率．（I）求椭圆C2的方程；（II）设直线l与椭圆C2相交于不同的两点A、B，已知A点的坐标为（﹣2，0），点Q（0，y0）在线段AB的垂直平分线上，且=4，求直线l的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（I）设椭圆C2的方程，利用椭圆C1：=1，椭圆C2以C1的短轴为长轴，且与C1有相同的离心率，即可确定椭圆的方程；（II）设出点B的坐标和直线l的斜率，表示出直线l的方程与椭圆方程联立，消去y，由韦达定理求得点B的横坐标的表达式，设线段AB的中点为M，确定M的坐标，分类讨论，利用=4，即可得到结论．解答：解：（I）设椭圆C2的方程为（a＞b＞0）∵椭圆C1：=1，椭圆C2以C1的短轴为长轴，且与C1有相同的离心率∴a=2，e=∴c=∴∴椭圆C2的方程为；（II）点A的坐标是（﹣2，0）．设点B的坐标为（x1，y1），直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k（x+2）．与椭圆C2的方程联立，整理得（1+4k2）x2+16k2x+（16k2﹣4）=0∴﹣2x1=，得x1=，从而y1=设线段AB的中点为M，得到M的坐标为（）①当k=0时，点B的坐标是（2，0），线段AB的垂直平分线为y轴，∴=（﹣2，﹣y0），=（2，﹣y0）．由=4得y0=±2，∴l的方程为y=0；②当k≠0时，线段AB的垂直平分线方程为令x=0，解得y0=﹣∴=（﹣2，﹣y0），=（x1，y1﹣y0）．∴=（﹣2，﹣y0）•（x1，y1﹣y0）=+（）=4∴7k2=2∴，∴l的方程为y=．点评：本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查综合分析与运算能力，属于中档题．22．（13分）（2013•泰安一模）已知函数f（x）=（ax2+bx+c）e x且f（0）=1，f（1）=0．（I）若f（x）在区间[0，1]上单调递减，求实数a的取值范围；（II）当a=0时，是否存在实数m使不等式2f（x）+4xe x≥mx+1≥﹣x2+4x+1对任意x∈R恒成立？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的概念及应用．分析：（1）由题意，函数f（x）=（ax2+bx+c）e x在[0，1]上单调递减且满足f（0）=1，f （1）=0，可求出函数的导数，将函数在[0，1]上单调递减转化为导数在[0，1]上的函数值恒小于等于0，再结合f（0）=1，f（1）=0这两个方程即可求得a取值范围；（II）当a=0时，若mx+1≥﹣x2+4x+1得，由二次函数知识求得m=4，在证明当m=4时，2f（x）+4xe x≥mx+1对任意x∈R恒成立，g（x）=（2x+2）e x﹣4x﹣1，只需g（x）＞0即可．解答：解：（1）由f（0）=1，f（1）=0得c=1，a+b=﹣1，则f（x）=[ax2﹣（a+1）x+1]e x，∴f′（x）=[ax2+（a﹣1）x﹣a]e x，由题意函数f（x）=（ax2+bx+c）e x在[0，1]上单调递减可得对于任意的x∈（0，1），都有f′（x）＜0当a＞0时，因为二次函数y=ax2+（a﹣1）x﹣a图象开口向上，而f′（0）=﹣a＜0，所以只需要f′（1）=（a﹣1）e＜0，即a＜1，故有0＜a＜1；当a=1时，对于任意的x∈（0，1），都有f′（x）=（x2﹣1）e x＜0，函数符合条件；当a=0时，对于任意的x∈（0，1），都有f′（x）=﹣xe x＜0，函数符合条件；当a＜0时，因f′（0）=﹣a＞0函数不符合条件；综上知，a的取值范围是0≤a≤1（II）当a=0时，f（x）=（1﹣x）e x，假设存在实数m使不等式2f（x）+4xe x≥mx+1≥﹣x2+4x+1对任意x∈R恒成立，由mx+1≥﹣x2+4x+1得，x2+（m﹣4）x≥0恒成立，∴△=（m﹣4）2≤0，∴m=4．下面证明：当m=4时，2f（x）+4xe x≥mx+1对任意x∈R恒成立，即（2x+2）e x≥4x+1对任意x∈R恒成立，令g（x）=（2x+2）e x﹣4x﹣1，g′（x）=（2x+4）e x﹣4，∵g′（0）=0，当x＞0时，2x+4＞4，e x＞1，∴（2x+4）e x＞4，g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）上单调递增，当x＜0时，2x+4＜4，0＜e x＜1，∴（2x+4）e x＜4，g′（x）＜0，g（x）在（﹣∞0，）上单调递减，∴g（x）min=g（0）=1＞0，∴g（x）＞0，即（2x+2）e x≥4x+1对任意x∈R恒成立．综上所述，实数m=4使不等式2f（x）+4xe x≥mx+1≥﹣x2+4x+1对任意x∈R恒成立．点评：本题考查利用导数求函数在闭区间上的最值，利用导数研究函数的单调性，此类题解题步骤一般是求导，研究单调性，确定最值，求最值，解题的关键是把函数在闭区间上递减转化为函数的导数在此区间上小于等于0恒成立，将单调递减的问题转化为不等式恒成立是此类题常用的转化思路，第二小题求恒成立参数的取值范围，本题考查了转化的思想，推理判断的能力，计算量大，难度较大，极易因为判断不准转化出错或计算出错，常作为高考的压轴题．。

山东省泰安一中、宁阳一中2020届高三数学上学期段考试题（三）（含解析）一、单项选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}22|1|log 0A x x B x x =<=<,，则AB =（ ）A. (),1-∞B. (0,1)C. (1,0)-D. ()1,1-【答案】D 【解析】 【分析】分别解一元二次不等式和对数不等式可得集合A ，B ，再根据并集的定义运算即可. 【详解】集合{}()2|11,1A x x =<=-，{}()2|log 00,1B x x =<=，则()1,1A B ⋃=-， 故选：D .【点睛】本题主要考查集合的并集的求法，考查一元二次不等式和对数不等式的解法，属于基础题.2.若实数x y >，则（ ） A. 0.50.5log log x y > B. ||||x y C. 2x xy >D. 22x y >【答案】D 【解析】 【分析】由函数0.5log y x =的单调性可判断A ；举出反例1x =-，2y =-可判断BC ；直接根据不等式的性质即可判断D .【详解】由于函数0.5log y x =在定义域内单调递减，故0.50.5log log x y <，故A 错误； 当1x =-，2y =-时，满足x y >成立，但||||x y 不成立，故B 错误；当1x =-，2y =-时，满足x y >成立，但2x xy >不成立，故C 错误；直接根据不等式的性质可得D 正确，故选：D.【点睛】本题主要考查了通过不等式的性质判断命题的真假，属于基础题. 3.设x ∈R ，则“12x +<”是“lg 0x <”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】解出不等式根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可.【详解】由题解12x +<，解得：31x -<<，解lg 0x <可得：01x <<； 则31x -<<不能推出01x <<成立，01x <<能推出31x -<<成立， 所以“12x +<”是“lg 0x <”的必要不充分条件， 故选：B【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题.4.已知,αβ是不重合的平面，,m n 是不重合的直线，则m α⊥的一个充分条件是( ) A. m n ⊥，n ⊂αB. //m β，αβ⊥C. n α⊥，n β⊥，m β⊥D. n αβ=，αβ⊥，m n ⊥【答案】C 【解析】 【分析】由题意，分别分析每个答案，容易得出当n α⊥，n β⊥，得出//αβ，再m β⊥得出m α⊥，得出答案.【详解】对于答案A ：m n ⊥，n α⊂，得出m 与α是相交的或是垂直的，故A 错； 答案B ：//m β，αβ⊥，得出m 与α是相交的、平行的都可以，故B 错； 答案C ：n α⊥，n β⊥，得出//αβ，再m β⊥得出m α⊥，故C 正确；答案D: n αβ⋂=，αβ⊥，m n ⊥，得出m 与α是相交的或是垂直的，故D 错 故选C【点睛】本题主要考查了线面位置关系的知识点，熟悉平行以及垂直的判定定理和性质定理是我们解题的关键所在，属于较为基础题.5.已知正实数a ，b ，c 满足236log a log b log c ==，则（ ） A. a bc = B. 2b ac =C. c ab =D. 2c ab =【答案】C 【解析】 【分析】设236log log log a b c k ===，则2k a =，3k b =，6k c =，由此能推导出c ab =． 【详解】解：∵ 正实数a ，b ，c 满足236log log log a b c ==， ∴ 设236log log log a b c k ===， 则2k a =，3k b =，6k c =， ∴ c ab =． 故选C ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查对数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.如图Rt ABC ∆中，2ABC π∠=，2AC AB =，BAC ∠平分线交△ABC 的外接圆于点D ，设AB a =，AC b =，则向量AD =（ ）A. a b +B.12a b + C. 12a b +D. 23a b +【答案】C 【解析】【分析】根据Rt ABC ∆中，的边角关系，结合圆的性质，得到四边形ABDO 为菱形，所以12AD AB AO a b =+=+．【详解】解：设圆的半径为r ，在Rt ABC ∆中，2ABC π∠=，2AC AB =，所以3BAC π∠=，6ACB π∠=，BAC ∠平分线交ABC ∆的外接圆于点D ，所以6ACB BAD CAD π∠=∠=∠=，则根据圆的性质BD CD AB ==， 又因为在Rt ABC ∆中，12AB AC r OD ===， 所以四边形ABDO 为菱形，所以12AD AB AO a b =+=+．故选C ．【点睛】本题考查了向量的平行四边形法则，共线向量基本定理，圆的性质等知识，考查分析解决问题的能力和计算能力．属于中档题．7.设函数11xf x a e （）=+-，若f x （）为奇函数，则不等式()1f x >的解集为（ ） A. 01（，） B. 13n -∞（，）C. 03ln （，）D. 02（，）【答案】C 【解析】 【分析】由f x （）为奇函数得到12a =，再分析得到函数1112x f x e +-（）＝在()0,+∞上为减函数且()()0f x f x >，在0∞（﹣，）上减函数且0f x （）＜，又由ln31131,12f ln e （）＝+=-则1f 3f x x f ln （）＞得到（）＞（），则有03x ln ＜＜，即不等式的解集为0 3.ln ，【详解】根据题意，函数()11xf x a e =+-，其定义域为{}0x x ≠， 若()f x 为奇函数，则()()0,f x f x -+=即11120,11xx a a a e e -⎛⎫⎛⎫+++=-+=⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭解可得1,2a =则()1112x f x e =+-. 又由1xy e ＝﹣在0（，）+∞为增函数，其0y ＞，则1112x f x e +-（）＝在()0,+∞上为减函数且()0.f x > 则()f x 在0∞（﹣，）上减函数且0f x （）＜，又由ln31131,12f ln e （）＝+=-则13f x f x f ln ⇒（）＞（）＞（），则有03x ln ＜＜，即不等式的解集为0 3.ln ，故选 C【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的应用，考查函数的单调性及其应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 8.已知0,0,,a b a b >>的等比中项为2，则11a b b a+++的最小值为（ ） A. 3 B. 4C. 5D. 42【答案】C 【解析】 【分析】由等比中项得：4ab =，目标式子变形为5()4a b +，再利用基本不等式求最小值. 【详解】11155()()(1)()2544a b a b a b a b a b ab b a ab ab ++++=++=++=+≥⋅=， 等号成立当且仅当2a b ==，∴原式的最小值为5.【点睛】利用基本不等式求最小值时，注意验证等号成立的条件. 9.已知函数()cos()f x A x ωϕ=+（0A >，0>ω，||2ϕπ<）的图象如图所示，令()()()g x f x f x '=+，则下列关于函数()g x 的说法中正确的是（ ）A. 函数()g x 图象的对称轴方程为512x k π=π+()k ∈Z B. 函数()g x 的最大值为2C. 函数()g x 的图象上存在点P ，使得在P 点处的切线与直线31y x =-+平行D. 若函数()()2h x g x =+的两个不同零点分别为1x ，2x ，则12x x -最小值为2π 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数f （x ）的图象求出A 、T 、ω和φ的值，写出f （x ）的解析式，求出f ′（x ），写出g （x ）＝f （x ）+f ′（x ）的解析式，再判断题目中的选项是否正确． 【详解】根据函数()()cos f x A x ωϕ=+）的图象知，A ＝2，24362T πππ=-=， ∴T ＝2π，ω2Tπ==1； 根据五点法画图知， 当x 6π=时，ωx +φ6π=+φ0=∴φ6π=-，∴f （x ）＝2cos 6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭∴f ′（x ）＝2sin 6x π⎛⎫--⎪⎝⎭， ∴g （x ）＝f （x ）+f ′（x ） ＝2cos 6x π⎛⎫-⎪⎝⎭ 2sin 6x π⎛⎫--⎪⎝⎭＝ cos 12x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭令12x k ππ+=，k ∈Z ，解得-12x k ππ= k ∈Z ，∴函数g （x ）的对称轴方程为12x k ππ=-,k ∈Z ，A 错误当+12x π=2k π，即212x k ππ=-时，函数g （x ）取得最大值，B 错误；g ′（x）＝+12x π⎛⎫- ⎪⎝⎭， 假设函数g （x ）的图象上存在点P （x 0，y 0），使得在P 点处的切线与直线l ：y ＝-3x+1平行 则k ＝g ′（0x）＝0+12x π⎛⎫- ⎪⎝⎭=-3得0sin +112x π⎛⎫=> ⎪⎝⎭,显然不成立，所以假设错误，即C 错误； 方程g （x ）＝-2，则cos +12x π⎛⎫⎪⎝⎭＝2， ∴cos +12x π⎛⎫ ⎪⎝⎭= ∴+12x π=4π+2k π或+12x π= 24k ππ-+ ,k ∈Z ；即x 2k π=+ 6π或x 23k ππ=-,k ∈Z故方程的两个不同的解分别为1x ，2x ，则12x x -最小值为2π 12x x -的最小值为2π，D 正确． 故选D ．【点睛】本题考查了由()()cos f x A x ωϕ=+的部分图象确定解析式，三角函数的性质，也考查了导数的应用以及命题真假的判断问题，是中档题．10.已知函数22ln ,0()3,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨--≤⎪⎩，若方程()1f x kx =+有四个不相等的实根，则实数k的取值范围是（ ） A. 1(,1)3B. 1(,2)3C. 14(,)25D. 1(,1)2【答案】D 【解析】 【分析】原题等价于函数()f x 的图象与直线1y kx =+有四个交点，当直线1y kx =+与函数()232f x x x =--相切时，12k =，当直线1y kx =+与函数()2ln f x x x x =-相切时，利用导数的几何意义可得1k =，再结合图象即可得结果.【详解】作出22ln ,0()3,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨--≤⎪⎩的图象如图所示，方程()1f x kx =+有四个不相等的实根，等价于函数()f x 的图象与直线1y kx =+有四个交点， 其临界位置为1y kx =+和两段曲线相切时， 当直线1y kx =+与函数()232f x x x =--相切时， 联立2321y x x y kx ⎧=--⎪⎨⎪=+⎩得()222320x k x +++=，由241270k k =+-=，解得12k =或72k =-（由图可得舍负） 当直线1y kx =+与函数()2ln f x x x x =-相切时， 设切点坐标为()0000,2ln x x x x -，()1ln f x x '=-，切线的斜率为：01ln k x =-，切线方程为()()000002ln 1ln y x x x x x x -+=--，由于切线1y kx =+恒过()0,1，代入可得01x =，可得：1k =， 即由图知函数()f x 的图象与直线1y kx =+有四个交点时， 实数k 的取值范围是112k <<， 故选：D .【点睛】本题主要考查了方程的根的个数与函数图象交点个数的关系及利用导数求函数图象的切线方程，有一定难度.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题4分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 11.在给出的下列命题中，正确的是（ ）A. 设O A B C 、、、是同一平面上的四个点，若(1)()OA m OB m OC m R =⋅+-⋅∈，则点、、A B C 必共线B. 若向量,a b 是平面α上的两个向量，则平面α上的任一向量c 都可以表示为()c a b R λμμλ=+∈、，且表示方法是唯一的C. 已知平面向量OA OB OC 、、满足,||||AB AC OA OB OA OC AO AB AC λ⎛⎫⋅=⋅=+ ⎪⎝⎭则ABC ∆为等腰三角形D. 已知平面向量OA OB OC 、、满足||||(0)OA OB OC r r ==>|=|，且0OA OB OC ++=，则ABC ∆是等边三角形【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A ，根据共线定理判断A 、B 、C 三点共线即可；对于B ，根据平面向量的基本定理，判断命题错误；对于C ，根据向量的运算性质可得OA 为BC 的垂线且OA 在 BAC ∠的角平分线上，从而可判断C ；对于D ，根据平面向量的线性表示与数量积运算得出命题正确； 【详解】对于A ，()1()m OB m OC m R OA =⋅+-⋅∈，∴()OA OC m OB OC -=-，∴ C A mCB =，且有公共点C ， ∴则点A 、B 、C 共线，命题A 正确；对于B ，根据平面向量的基本定理缺少条件,a b 不共线，故B 错误；对于C ，由于 O A OB OA OC ⋅=⋅，即()0OA OB OC ⋅-=， 0OA CB ⋅=，得 O A CB ⊥，即OA 为BC 的垂线， 又由于||||AB AC AO AB AC λ⎛⎫=+⎪⎝⎭，可得OA 在 BAC ∠的角平分线上， 综合得ABC ∆为等腰三角形，故C 正确；对于D ，平面向量OA 、OB 、OC 满足()0OA OB OC r r ===>，且0OA OB OC ++=， ∴ O OA B OC +=-，∴2222OA OA OB OB OC +⋅+=， 即22222cos ,r r OA OB r r +⋅+=，∴1cos ,2OA OB =-， ∴OA 、OB 的夹角为120︒，同理OA 、OC 的夹角也为120︒， ∴ABC 是等边三角形，故D 正确； 故选ACD .【点睛】本题主要考查利用命题真假的判断考查了平面向量的综合应用问题，属于中档题. 12.已知函数()f x 的定义域为[]1,5-，部分对应值如下表：x1-0 4 5()f x12 2 1()f x 的导函数()y f x '=的图象如图所示，关于()f x 的命题正确的是（ ）A. 函数()f x 是周期函数B. 函数()f x 在[]0,2上是减函数C. 函数()y f x a =-的零点个数可能为0，1，2，3，4 D 当12a <<时，函数()y f x a =-有 4个零点 【答案】BC 【解析】 【分析】先由导函数的图象和原函数的关系画出原函数的大致图象，再借助与图象和导函数的图象，对五个命题，一一进行验证即可得到答案.【详解】由导函数的图象和原函数的关系得，原函数的大致图象可由以下两种代表形式，如图：由图得：A 为假命题，函数()f x 不能断定为是周期函数；B 为真命题，因为在[0]2，上导函数为负，故原函数递减； C 为真命题，动直线y a =与()y f x =图象交点个数可以为0、1、2、3、4个，故函数()y f x a =-的零点个数可能为0、1、2、3、4个；D 为假命题，当a 离1非常接近时，对于第二个图，()y f x =有2个零点，也可以是3个零点， 故选：BC .【点睛】本题主要考查导函数和原函数的单调性之间的关系,二者之间的关系是：导函数为正，原函数递增；导函数为负，原函数递减，考查了通过函数图象研究零点的个数，属于中档题. 13.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点F 是线段1BC 上的动点，则下列说法正确的是（ ）A. 无论点F 在1BC 上怎么移动，都有11A F B D ⊥B. 当点F 移动至1BC 中点时，才有1A F 与1B D 相交于一点，记为点E ，且12A EEF= C. 无论点F 在1BC 上怎么移动，异面直线1A F 与CD 所成角都不可能是30 D. 当点F 移动至1BC 中点时，直线1A F 与平面1BDC 所成角最大且为60︒ 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A ，直接证明1B D ⊥面11A BC 即可判断A ；对于B ，设A 1F 和B 1D 相交于点E ，则11A DEFB E ，所以111 A E DA EF B F=，即可判断B ；对于C ，F 为BC 1中点时，最小角的正切值为2323>，最小角大于30，即可判断C ；对于D ，当F 为BC 1中点时，最大角的余弦值为161163262OF A F ==<，最大角大于60︒，可判断D . 【详解】对于A 选项，在正方体中，易知1111AC B D ⊥，由1DD ⊥面1111D C B A 得111AC DD ⊥，而1111B D DD D =，故11A C ⊥面11DD B ，所以111AC B D ⊥，同理可得：11BC B D ⊥，又因为1111BC AC C ⋂=，所以1B D ⊥面11A BC ， 又1A F ⊂面11A BC ，∴11A F B D ⊥，即A 正确；对于B 选项，当点F 为BC 1中点时，也是B 1C 的中点，它们共面于平面11A B CD ，且必相交，设交点为E ，连接A 1D 和B 1F ，如图所示：因为11A DEFB E ，所以111 2A E DAEF B F==，故B 正确； 对于C 选项，当F 从B 移至C 1时，异面直线A 1F 与CD 所成角由大变小再变大，且F 为BC 1中点时，最小角的正切值为2232123=>，最小角大于30，即C 正确；对于D 选项，当点F 在BC 1上移动时，直线A 1F 与平面BDC 1所成角由小变大再变小，如图所示，其中点O 为A 1在平面BDC 1上的投影，当F 为BC 1中点时，最大角的余弦值为16116326OF A F ==<，最大角大于60︒，故D 错误， 故选：ABC .【点睛】本题考查空间立体几何中的综合问题，涉及线面夹角、异面直线夹角、线线垂直等问题，考查学生的空间立体感和推理运算能力，属于中档题. 三.填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 14.等比数列{}n a 的各项均为正数，且463718a a a a +=，则31323339log log log log a a a a ++++=__________【答案】9 【解析】 【分析】由等比数列通项公式得53a =，再由931323935log log log log a a a a ++⋯+=，能求出结果.【详解】∵等比数列{}n a 的各项均为正数，且463718a a a a +=， ∴由等比数列通项公式得53a =，∴31323339log log log log a a a a +++⋯+()3129log a a a =⨯⨯⋯⨯9353log 9log 39a ===，故答案为：9.【点睛】本题主要考查对数式求值，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.15.已知向量()()4,2,,1a b λ==，若a 与b 的夹角是锐角，则实数λ的取值范围为______.【答案】()1,22,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】由a 与b 的夹角为锐角，则0a b ⋅>，列出不等式解出λ，要去掉使a 与b 同向（a 与b 的夹角为0）的λ的取值. 【详解】∵a 与b 的夹角为锐角 ∴0a b ⋅>，即420λ+>，解得12λ>-， 当2λ=时，a 与b 同向，∴实数λ的取值范围是()1,22,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭故答案为：()1,22,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查的知识点是向量数量积的性质及运算律，将夹角转化为数量积与0的关系是解题的关键，属于中档题.16.已知数列{}n a 中，()*112,1,n n n a n a a a n N +=-=+∈，若对于任意的[]2,2a ∈-，不等式21211n a t at n +<+-+恒成立，则t 的取值范围为__________． 【答案】(][),22,-∞-+∞【解析】由题设可得111n n n a a a n n +-=+，即111n n n a a n n++=+，也即111(1)n n a a n n n n +=+++，所以11111n n a a n n n n +=+-++，令1,2,3,n n =⋅⋅⋅可得331212*********,,,,21123223433411n n a a a a a a a a n n n n +=+-=+-=+-⋅⋅⋅=+-++，将以上n 等式两边相加可得11111331111n a a n n n +=+-=-<+++，所以2213t at +-≥，即2240t at +-≥，令2()24,[2,2]F a t at a =+-∈-，则22(2)020{{(2)020F t t F t t -≥--≥⇒≥+-≥，解之得2t ≥或2t ≤-，应填答案(,2][2,)-∞-+∞．点睛：本题将数列的列项求和与不等式恒成立问题有机地加以整合，旨在考查数列通项递推关系，列项法求和，不等式恒成立等有关知识和方法．解答本题的关键是建立不等式组，求解时借助一次函数的图像建立不等式组22(2)020{{(2)020F t t F t t -≥--≥⇒≥+-≥，最后通过解不等式组使得问题巧妙获解．17.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，b =ABC ∆面积为222)S b a c =--，则角B = _______ ，ABC ∆面积S 的最大值为_____.【答案】 (1). 56π(2). 4-【分析】用余弦定理代入三角形面积公式化简可得tan 3B =-，同时注意角的取值范围，即可求出B ，利用余弦定理得228a c =+，结合基本不等式可得(82ac ≤，代入三角形面积公式即可得结果.【详解】22231)(2cos )sin 12122S b a c ac B ac B =--=-=（sin tan cos 3B B B ∴==-(0,)B π∈，56B π∴=，1cos 22B B ∴=-=. 由余弦定理得，2222cos b a c ac B =+-，228a c =++（当且仅当a c =时取等号）8(2ac ∴≤=11sin 424S ac B ac ∴==≤-【点睛】本题主要考查通过余弦定理解三角形，三角形面积公式以及基本不等式的应用，考查了学生的计算能力，属于中档题．四.解答题（本大题共6小题，第18题10分，第19-21题14分，第22-23题15分，共82分）18.已知数列{}n a 中，3265,14a a a =+=，且122,2,2n n n a a a++成等比数列，（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足1(1)n n n b a n +=+-，求数列{}n b 的前2n 项和为2n T .【答案】（1）21n a n =-；（2）24n n - 【解析】（1）由122,2,2n n n aa a ++成等比数列，化简可得122n n n a a a ++=+，利用等差数列的通项公式可得n a ；（2）根据{}n b 通项公式的特征，采用分组求和、并项求和与等差数列前n 项和公式相结合的形式求和即可. 【详解】（1）∵122,2,2n n n aa a ++成等比数列，∴112(2)22n n n a a a ++=⋅，∴122n n n a a a ++=+，∴数列{}n a 成等差数列， 由3265,14a a a =+=得1a 1,d 2，∴21n a n =-（2）∵1(1)n n n b a n +=+-，∴21221234212342n n n T b b b a a a a a n =+++=++-+++-++-=122()[1234(21)2]n a a a n n ++++-+-++--=[135(41)][(12)(34)(212)]n n n ++++-+-+-++--2(141)(1)2n n n +-+-⨯=24n n -【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、分组求和、并项求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题. 19.设函数()sin()cos()32f x x x ππωω=-+-，其中03ω<<.已知()03f π=. （1）求ω和()y f x =的周期.（2）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标缩短为原来的14倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值.【答案】（1）12ω=，4T π=；（2）最小值32- 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化函数()f x 为正弦型函数，根据()03f π=求出ω的值，进而可得周期；（2）写出()f x 解析式，利用平移法则写出()g x 的解析式，由,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦得22,333x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，结合正弦函数可得结果.【详解】（1）因为1()sin()cos()sin sin 322f x x x x x x ππωωωωω=-+-=+3sin )26x x x πωωω==- 由题设知()03f π=，所以,36k k Z ωππ-=π∈，故132k k Z ω=+∈，， 又03ω<<，所以12ω= 周期24T ππω==（2）由（1）得1()sin()26f x x π=-将函数()y f x =的图象上各点的横坐标缩短为原来的14倍（纵坐标不变），得π26y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，则())3g x x π=+，当,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，22,333x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦所以当233x ππ+=-，即3x π=-时，()g x 取得最小值32-， 当232x ππ+=，即12x π=时，()g x 取得最大值3.【点睛】本题主要考查了三角恒等变换与正弦型函数在闭区间上的最值问题，将函数式化为()sin y A ωx φ=+的形式是解题的关键，属于中档题.20.如图，某公园有三条观光大道,,AB BC AC 围成直角三角形，其中直角边200BC m =，斜边400AB m =.现有甲、乙、丙三位小朋友分别在,,AB BC AC 大道上嬉戏，（1）若甲、乙都以每分钟100m 的速度从点B 出发在各自的大道上奔走，乙比甲迟2分钟出发，当乙出发1分钟后到达E ，甲到达D ，求此时甲、乙两人之间的距离；（2）甲、乙、丙所在位置分别记为点,,D E F .设CEF θ∠=，乙、丙之间的距离是甲、乙之间距离的2倍，且3DEF π∠=，请将甲、乙之间的距离y 表示为θ的函数，并求甲、乙之间的最小距离.【答案】（1）7（2）5032sin()3y πθπθ=≤≤+；503m【解析】 【分析】（1）由题意300BD =，100BE =，BDE 中，由余弦定理可得甲乙两人之间的距离； （2）BDE 中，由正弦定理可得2002cos si si 0n n 6y yθθ-=︒，可将甲乙之间的距离y 表示为θ的函数，并求甲乙之间的最小距离. 【详解】（1）依题意得300,100BD BE ==在△ABC中，1cos2BCBAB==，所以3Bπ=在△BDE中，由余弦定理得2222cosDE BD BE BD BE B=+-⋅=2213001002300100700002+-⨯⨯⨯=，所以1007DE=答：甲、乙两人之间的距离为1007.（2）由题意得22,EF DE y BDE CEFθ==∠=∠=在Rt CEF∆中，cos2cosCE EF CEF yθ=⋅∠=在△BDE中，由正弦定理得sin sinBE DEBDE DBE=∠∠即2002cossi si0n n6y yθθ-=︒所以1003503,023cos sin sin()3yπθπθθθ==≤≤++，所以当6πθ=时，y有最小值503答：甲、乙之间的最小距离为503m.【点睛】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查正弦、余弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.21.如图，在四棱锥P ABCD-中，ABCD为矩形，APB∆是以P∠为直角的等腰直角三角形，平面PAB⊥平面ABCD．(1)证明：平面PAD⊥平面PBC；(2) M为直线PC的中点，且2AP AD==，求二面角A MD B--的余弦值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）310. 【解析】【分析】（Ⅰ）由ABCD 为矩形，得AD AB ⊥，再由面面垂直的性质可得AD ⊥平面PAB ，则AD PB ⊥，结合PA PB ⊥，由线面垂直的判定可得PB ⊥平面PAD ，进一步得到平面PAD ⊥平面PBC ；（Ⅱ）取AB 中点O ，分别以,OP OB 所在直线为,x y 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面MAD 与平面MBD 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A MD B --的余弦值，再由平方关系求得二面角A MD B --的正弦值． 【详解】（Ⅰ）证明：ABCD 为矩形，AD AB ∴⊥，平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，AD ∴⊥平面PAB ，则AD PB ⊥，又PA PB ⊥，PA AD A ⋂=，PB ∴⊥平面PAD ，而PB ⊂平面PBC ， 平面PAD ⊥平面PBC ；（Ⅱ）取AB 中点O ，分别以,OP OB 所在直线为,x y 轴建立空间直角坐标系，由2AP AD ==，APB ∆是以P ∠为直角的等腰直角三角形， 得：()()()220,2,0,0,2,2,2,0,,122A D B M ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭， 23223222,,1,,,1,,1222222MA MD MB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．设平面MAD 的一个法向量为(),,m x y z =，由232022232022m MA x y z m MD x y z ⎧⋅=---=⎪⎪⎨⎪⋅=--+=⎪⎩，取1y =，得()3,1,0m =-； 设平面MBD 的一个法向量为(),,n x y z =，由23202222022n MD x y z n MB x y z ⎧⋅=--+=⎪⎪⎨⎪⋅=-+-=⎪⎩，取1z =，得(),,n x y z =. 210cos ,10102m n m n m n ⋅-∴===-⋅⨯． ∴二面角A MD B --的正弦值为31010． 【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角，是中档题．22.已知函数1()ln f x a x x =-，a R ∈． （1）若曲线()y f x =在点处的切线与直线20x y +=垂直，求a 的值；（2）求函数()f x 的单调区间；（3）当1a =，且2x ≥时，证明：(1)25f x x -≤-．【答案】（1）1（2）见解析（3）见解析【解析】【详解】（1）函数()f x 的定义域为{}0x x ，21()a f x x x '=+． 又曲线()y f x =在点处的切线与直线20x y +=垂直，所以(1)12f a '=+=，即1a =．（2）由于21()ax f x x ='+． 当0a ≥时，对于，有()0f x '>在定义域上恒成立， 即()f x 在上是增函数．当0a <时，由()0f x '=，得． 当时，()0f x '>，()f x 单调递增；、 当时，()0f x '<，()f x 单调递减．(3)当1a =时，1(1)ln(1)1f x x x -=---，．、 令1()ln(1)251g x x x x =---+-． 2211(21)(2)()21(1)(1)x x g x x x x --=+-=----'． 当2x >时，()0g x '<，()g x 单调递减．又(2)0=g ，所以()g x 在恒为负． 所以当时，()0g x ≤． 即1ln(1)2501x x x ---+≤-． 故当1a =，且2x ≥时，(1)25f x x -≤-成立．23.设函数()3()x f x mx e m R =-+∈. （1）讨论函数()f x 的极值；（2）若a 为整数，0m =，且(0,)x ∀∈+∞，不等式()[()2]2x a f x x --<+成立，求整数a 的最大值.【答案】（1）见解析；（2）2【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的导数，分为0m ≤和0m >两种情形，结合极值的定义即可得结论；（2）原不等式等价于2,01x x a x x e +<+>-，令()2,01x x g x x x e +=+>-，根据导数和函数的最值的关系即可求出a 的最值.【详解】（1）由题意可得()f x 的定义域为R ，()'=-x f x m e当0m ≤时，()0f x '<恒成立，∴()f x 在R 上单调递减，()f x 无极值，当0m >时，令()0f x '=，解得ln x m =，当(ln ,)x m ∈+∞时， ()0,()f x f x '<单调递减， 当(ln )x m ∈-∞，时，()0,()f x f x '>，单调递增， ∴()f x 在ln x m =处取得极大值，且极大值为(ln )ln 3=-+f m m m m ，无极小值， 综上所述，当0m ≤时，无极值，当0m >时，()f x 极大值为ln 3m m m -+，无极小值. （2）把0()3x m f x mx e =⎧⎨=-+⎩代入()[()2]2x a f x x --<+可得()(1)2x a x e x --<+， ∵0x >，则10x e -> ∴21x x a x e +-<-， ∴2,01x x a x x e +<+>-(*) 令2()1x x g x x e +=+-， ∴2(3)()(1)x x x e e x g x e --'=-， 由（1）可知，当1m =时，()3xf x e x =-++在()0,∞+上单调递减， 故函数()3x h x e x =--在(0,)+∞上单调递增，而(1)0(2)0h h <⎧⎨>⎩ ∴()h x 在(0,)+∞上存在唯一的零点0x 且0(1,2)x ∈故()g x '在(0,)+∞上也存在唯一的零点且为0x当0)(0x x ∈，时，()0g x '<，当0(,)x x ∈+∞时，()0g x '>，∴min 0()()g x g x =由0()0g x '=，可得003x e x =+，∴00()1g x x =+，∴0()(2,3)g x ∈，由(*)式等价于0()a g x ，∴整数a 的最大值为2.【点睛】本题考查了导数和函数的单调性极值最值得关系，考查了运算求解能力和转化与化归能力，属于难题.。