第二章 指数函数、对数函数 与幂函数半期复习讲义(学生用 )

指数与指数函数知识要点1.指数（1）n 次方根的定义：若x n=a ，则称x 为a 的n 次方根，“n”是方根的记号.在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0的奇次方根是0；正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，0的偶次方根是0，负数没有偶次方根. （2）方根的性质①当n 为奇数时，nn a =a .②当n 为偶数时，nn a =|a |=⎩⎨⎧<-≥).0(),0(a aa a（3）分数指数幂的意义①a nm =n m a （a ＞0，m 、n 都是正整数，n ＞1）. ②anm -=nm a1=nma1（a ＞0，m 、n 都是正整数，n ＞1）.2.指数函数（1）指数函数的定义一般地，函数y =a x（a ＞0且a ≠1）叫做指数函数. （2）指数函数的图象a> ）1(0＜底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y 轴对称. （3）指数函数的性质 ①定义域：R . ②值域：（0，＋∞）. ③过点（0，1），即x =0时，y =1.④当a ＞1时，在R 上是增函数；当0＜a ＜1时，在R 上是减函数.经典例题1.3a ·6a -等于 A.－a -B.－aC.a -D. a2.函数y =23x 的图象与直线y =x 的位置关系是3.若函数y =a x+b －1（a ＞0且a ≠1）的图象经过二、三、四象限，则一定有A.0＜a ＜1且b ＞B.a ＞1且b ＞0C.0＜a ＜1且b ＜0D.a ＞1且b ＜04.函数y =－e x的图象A.与y =e x 的图象关于y 轴对称B.与y =e x的图象关于坐标原点对称C.与y =e －x 的图象关于y 轴对称D.与y =e －x的图象关于坐标原点对称5、下图是指数函数（1）y =a x ，（2）y =b x ，（3）y =c x ，（4）y =d x的图象，则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是A.a ＜b ＜1＜c ＜dB.b ＜a ＜1＜d ＜ cC.1＜a ＜b ＜c ＜dD.a ＜b ＜1＜d ＜c6、若直线y =2a 与函数y =|a x－1|（a ＞0且a ≠1）的图象有两个公共点，则a 的取值范围是___________________. 7、函数y =（21）222+-x x 的递增区间是___________.8、 已知2xx+2≤（41）x －2，求函数y =2x －2－x的值域.9、要使函数y =1+2x +4xa 在x ∈（－∞，1］上y ＞0恒成立，求a 的取值范围 . 基础练习1、已知f （x ）=a x，g （x ）=－log b x ，且lg a +lg b =0，a ≠1，b ≠1，则y =f （x ）与y =g （x ）的图象（ ）A.关于直线x +y =0对称B.关于直线x －y =0对称C.关于y 轴对称D.关于原点对称2、下列函数中值域为正实数的是A.y =－5xB.y =（31）1－xC.y =1)21(-xD.y =x 21-3、函数f （x ）=a x+log a （x +1）在［0，1］上的最大值与最小值的和为a ，则a 的值为A.41 B. 21C.2D.44、=a a a a 。

年级高一学科数学版本人教新课标A版课程标题必修1 第二章幂函数、指数函数、对数函数综合复习编稿老师王志国一校林卉二校李秀卿审核吴华斌一、学习目标：1、熟练掌握幂的运算和对数的运算。

2、进一步理解指数函数、对数函数和幂函数的概念和意义，能画出草图并能熟练应用其性质。

3、在解决简单实际问题的过程中，能理解指数函数、对数函数和幂函数是三种不同的函数模型。

二、重点、难点：重点是熟练掌握幂的运算和对数的运算，指数函数、对数函数和幂函数的概念并能熟练应用其性质。

难点是指数函数、对数函数和幂函数性质的熟练应用，尤其是对分类讨论思想的理解。

三、考点分析：1、掌握幂的运算，理解对数的概念及其运算性质。

2、理解指数函数、对数函数和幂函数的概念、图象及其性质。

3、指数函数、对数函数和幂函数作为高中学习阶段三种重要的函数模型，一直是考试的重点和热点。

知识点一：指数函数例1：如图是指数函数xxxxy a y b y c y d ====，，，的图象，则a b c d ，，，与1的大小关系是（ ）A. 1a b c d <<<<B. 1b a d c <<<<C. 1a b d c <<<<D. 1a b c d <<<< 思路分析：解本题的关键在于令x ＝1，这样一来，比较a b c d ，，，与1的大小关系就变成了比较四个函数的函数值与1的大小关系了。

解答过程：在同一坐标系中作出四个指数函数的图象，并作出直线1x =的图象，且它与指数函数图象有交点，则交点纵坐标就分别是c d a b ，，，，从图中可以看到它们由上至下依次变小，故正确选项为B 。

解题后的思考：指数函数(01)xy a a a =>≠且，的图象恒过(01)，点，作出直线1x =与x y a =交点的纵坐标，即为对应的指数函数的底数，靠上的点对应的数值大，则底数较大。

第二章函数与导数第9课时指数函数、对数函数及幂函数(3) (对应学生用书(文）、（理)24~25页)考情分析考点新知①对数函数在高考中的考查主要是图象和性质，同时考查数学思想方法，以考查分类讨论及运算能力为主；考查形式主要是填空题，同时也有综合性较强的解答题出现,目的是结合其他章节的知识，综合进行考查.②幂函数的考查较为基础，以常见的5种幂函数为载体，考查求值、单调性、奇偶性、最值等问题是高考命题的出发点．①理解对数函数的概念;理解对数函数的单调性；掌握对数函数图象通过的特殊点.②知道对数函数是一类重要的函数模型.③了解指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x的相互关系(a〉0，a≠1）.④了解幂函数的概念，结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x－2的图象，了解它们的变化情况.1。

(必修1P112测试8改编)已知函数f(x）＝log a x（a〉0，a≠1），若f(2)>f(3），则实数a的取值范围是________．答案：（0，1）解析：因为f（2)>f(3)，所以f（x)＝log a x单调递减，则a∈(0，1）．2. （必修1P89练习3改编)若幂函数y＝f(x）的图象经过点错误!，则f(25)＝________．答案:错误!解析：设f（x)＝xα，则错误!＝9α,∴α＝－错误!，即f（x)＝x－错误!，f(25)＝错误!。

3. (必修1P111习题15改编)函数f(x)＝ln错误!是________（填“奇”或“偶”）函数．答案：奇解析：因为f（－x）＝ln错误!＝ln错误!错误!＝－ln错误!＝－f(x），所以f（x)是奇函数．4。

(必修1P87习题13改编)不等式lg(x－1)〈1的解集为________.答案:（1，11)解析：由0〈x－1〈10，∴1〈x〈11。

5。

(必修1P87习题14改编）对于任意的x1、x2∈（0，＋∞）,若函数f（x）＝lgx，则错误!与f错误!的大小关系是______________________.答案：错误!≤f错误!解析：(解法1）作差运算；(解法2)寻找错误!与f错误!的几何意义，通过函数f(x)＝lgx图象可得．1. 对数函数的定义一般地，我们把函数y ＝log a x（a〉0，a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞）．2。

幂函数、指数函数和对数函数对数及其运算法则教案第一章：幂函数1.1 幂函数的定义与性质定义：幂函数是一种形式的函数，可以表示为y = x^a，其中x是变量，a是常数。

性质：幂函数的图像是一条曲线，取决于指数a的值。

当a为正整数时，函数在x轴的正半轴上递增。

当a为负整数时，函数在x轴的正半轴上递减。

当a为分数时，函数的图像呈现出特殊的变化规律。

1.2 幂函数的图像与性质绘制幂函数的图像，观察不同指数a对图像形状的影响。

分析幂函数的单调性、奇偶性、渐近线等性质。

第二章：指数函数2.1 指数函数的定义与性质定义：指数函数是一种形式的函数，可以表示为y = a^x，其中a是底数，x是变量。

性质：指数函数的图像是一条递增的曲线，底数a大于1时，曲线向上弯曲；底数a 小于1时，曲线向下弯曲。

指数函数的渐近线是y轴。

指数函数的值域是正实数集。

2.2 指数函数的应用分析指数函数的增长速度，比较不同底数的指数函数。

应用指数函数解决实际问题，如人口增长、放射性衰变等。

第三章：对数函数3.1 对数函数的定义与性质定义：对数函数是一种形式的函数，可以表示为y = log_a(x)，其中a是底数，x是变量。

性质：对数函数的图像是一条递减的曲线，底数a大于1时，曲线向下弯曲；底数a 小于1时，曲线向上弯曲。

对数函数的渐近线是x轴。

对数函数的定义域是正实数集。

3.2 对数函数的应用分析对数函数的单调性，比较不同底数的对数函数。

应用对数函数解决实际问题，如测量、数据压缩等。

第四章：对数运算法则4.1 对数的基本性质回顾对数的定义，巩固对数函数的基本性质。

学习对数的换底公式、对数的反对数等基本性质。

4.2 对数的运算法则学习对数的加法、减法、乘法、除法等运算法则。

运用对数的运算法则进行复杂对数表达式的化简和求值。

第五章：对数函数的应用5.1 对数函数在实际问题中的应用分析实际问题，识别可以用对数函数表示的关系。

应用对数函数解决实际问题，如人口增长、放射性衰变等。