高一数学幂函数、指数函数复习(学生版)

第12讲幂函数1．理解幂函数的概念；2．会画幂函数y x =，2y x =，3y x =，1y x -=，12y x =的图象，结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化规律和性质；3．能解决与幂函数有关的复合函数问题。

一、幂函数的概念1、幂函数的概念：把形如函数y ＝x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数．2、幂函数需要满足三个条件：（1）系数为1；（2）指数α为常数；（3）后面不加任何项。

例如3y x =，1x y x +=，21y x =+等的函数都不是幂函数．二、幂函数的图象同一坐标系中，幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x －1，=12的图象(如图)．三、幂函数的性质1、所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；2、如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增；3、如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x 从右边趋向于原点时，图象在y 轴右方无限接近y 轴，当x 从原点趋向于＋∞时，图象在x 轴上方无限接近x 轴；4、在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y 轴．四、画幂函数图象的技巧（类比具体幂函数）1、当0a <时，函数图象与坐标轴没有交点，类似于1y x -=的图象；2、当01a <<时，函数的图象向x 轴弯曲，类似于的12y x =图象；3、当1a >时，函数的图象向y 轴弯曲，类似于3y x =的图象。

再结合函数的奇偶性就容易知道它们的图象了。

考点一：判断是否为幂函数例1．下列函数为幂函数的是（）A ．22y x =B ．221y x =-C ．2y x=D ．2=y x 【变式训练】现有下列函数：①3y x =；②12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③24y x =；④51y x =+；⑤()21y x =-；⑥y x =；⑦(1)x y a a =>，其中幂函数的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4考点二：根据函数是幂函数求参数例2．已知幂函数f(x)＝x(α为常数)的图象经过点(，则f(9)＝（）A ．3-B ．13-C ．3D ．13【变式训练】幂函数()()23mx m x f =-在第一象限内是减函数，则m =（）A ．2BC ．D ．2-考点三：幂函数的定义域问题例3．函数()112f x x x -=+的定义域为（）A ．(),-∞+∞B ．()(),00,∞-+∞U C ．[)0,∞+D ．()0,∞+【变式训练】给出5个幂函数：①2y x -=；②45y x =；③14y x =；④23y x =；⑤45y x -=，其中定义域为R 的是（）A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④考点四：幂函数的图象判断与应用例4．如图，下列3个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是（）A ．①1y x -=，②12y x =，③13y x =B ．①1y x -=，②13y x =，③12y x =C ．①13y x =，②12y x =，③1y x-=D ．①13y x =，②1y x -=，③12y x=【变式训练】如图所示，图中的曲线是幂函数n y x =在第一象限的图象，已知n 取2±，12±四个值，则相应于1C ，2C ，3C ，4C 的n 依次为（）A ．2-，12-，12，2B ．2，12，12-，2-C ．12-，2-，2，12D ．2，12，2-，12-考点五：幂函数图象过定点例5．当R α∈时，函数2y x α=-的图象恒过定点A ，则点A 的坐标为________．【变式训练】不论实数a 取何值，函数()12ay x =-+恒过的定点坐标是___________．考点六：幂函数的单调性与奇偶性例6．下列函数中，在区间(,0]-∞上为增函数的是（）A ．1y x=B ．2y x =-C ．y x=D ．3y x =-【变式训练1】已知幂函数()f x 的图象经过点19,3⎛⎫⎪⎝⎭，则()f x 在定义域内（）A ．单调递增B ．单调递减C ．有最大值D ．有最小值【变式训练2】已知幂函数()()21mf x m m x =+-的图象关于y 轴对称，则m 的值为_________．考点七：利用幂函数单调性解不等式例7．已知幂函数1101 ()f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，若()()182f a f a -<-，则a 的取值范围是__________.【变式训练】若幂函数()f x 过点()42，，则满足不等式()()21f a f a ->-的实数a 的取值范围是______．考点八：幂函数的综合应用例8．已知幂函数()223(22mm y f x x m --+==-<<，且)m Z ∈满足：①在区间()0,∞+上是增函数；②对任意的x ∈R ，都有()()0f x f x -+=.（1）求同时满足①②的幂函数()f x 的解析式，（2）在（1）条件下，求[]0,3x ∈时()f x 的值域.【变式训练】已知幂函数()223m m f x x --=(m ∈Z)的图象关于y 轴对称，且在()0,+∞上是单调递减函数．（1）求m 的值；（2）解不等式()()122f x f -≥．1．下列函数，既是幂函数，又是奇函数的是（）A ．()3f x x=-B ．()f x x=C ．()41f x x =D ．()5f x x=2．已知幂函数的图象经过点116,4P ⎛⎫⎪⎝⎭，则该幂函数的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．3．幂函数的图象过点12,4⎛⎫⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（）A ．偶函数，单调递增区间()0,+∞B ．偶函数，单调递减区间[)0,+∞C ．偶函数，单调递增区间(),0-∞D ．奇函数，单调递增区间(),-∞+∞4．幂函数a b c d y x y x y x y x ====，，，在第一象限的图像如图所示，则a b c d ，，，的大小关系是（）A ．a b c d >>>B ．d b c a >>>C ．d c b a >>>D ．b c d a>>>5．（多选）下列关于函数的描述中，正确的是（）A ．y =是幂函数B ．12x y +=是指数函数C ．22log y x =是对数函数D ．21)y =不是二次函数6．（多选）下列函数为幂函数的是（）A ．132y x=B ．0y x =C ．()21y x =+D ．1y x -=7．（多选）下列关于幂函数说法正确的是（）A ．图像必过点(1,1)B ．可能是非奇非偶函数C ．都是单调函数D ．图像不会位于第四象限8．已知幂函数()f x 的图象经过点2⎛⎫⎪⎝⎭，则(4)f 的值为________．9．已知函数()2+af x x =（a 为不等于0的常数）的图象恒过定点P ，则P 点的坐标为_______.10．已知幂函数()()2211mm f x m m x+-=--在()0,∞+上是减函数，则实数m 值是______.11．已知函数()nf x x =的图像经过点()2,8，若()()210f x f x +-<，则x 的取值范围为__________.12．已知幂函数()f x 的图像经过111(1,1),3,,,924A B C D ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭四点中的两点，且()f x 在(0,)+∞上为减函数．（1）求()f x 的解析式；（2）若(1)(23)f a f a +=-，求实数a 的值．13．已知幂函数()()()2246101,Z,R nnf x m m xn n m -+=-+>∈∈的图象关于y 轴对称，且在()0,∞+上单调递增.（1）求m 和n 的值；（2）求满足不等式()()32231nma a --+<-的a 的取值范围.1．下列函数中不是幂函数的是()A ．y =B ．3y x =C ．3y x =D ．1y x -=2．下列函数是幂函数的是（）A ．22y x =B ．1y x -=-C ．31y x =D ．2xy =3．若幂函数()()223265m f x m m x --+＝的图象与x 轴没有交点，则()f x 的图象（）A ．关于原点对称B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．不具有对称性4．在下列幂函数中，是偶函数且在()0,∞+上是严格增函数的是（）．A ．2y x -=B ．12y x -=C ．13y x =D ．23y x =5．已知幂函数()y f x =的图象过点22,4⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则下列关于()f x 说法正确的是（）A ．奇函数B ．偶函数C ．在(0,)+∞单调递减D ．定义域为[0,)+∞6．函数54y x =的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．7．如图是幂函数y x α=的部分图像，已知α分别取113333--、、、这四个值，则与曲线1234C C C C 、、、相应的α依次为（）A ．113333--、、、B ．113333--、、、C ．113333--、、、D ．113333--、、、8．已知幂函数()f x 的图像过点(，则()8f =______.9．若函数25(3)m y m x -=-是幂函数，则当12x =时的函数值为______．10．已知()(21)1n f x x =-+，则函数()y f x =的图象恒过的定点P 的坐标为__．11．已知幂函数()()211432()1t t f x t t x --=-+(Z t ∈)是偶函数，且在(0,)+∞上是增函数，则函数的解析式为_______．12．已知幂函数()()()2157R m f x m m x m --=-+∈为奇函数.（1）求12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）若()()21f a f a +>，求实数a 的取值范围.13．已知幂函数()()226Z mm f x x m --=∈在区间()0,∞+上是减函数．（1）求函数()f x 的解析式；f x的奇偶性和单调性；（2）讨论函数()f x的值域．（3）求函数()。

〖2.1〗指数函数【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次当n 是偶数时，正数a 的正的n 负的n 次方根用符号表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：n a =；当n a =；当n 为偶数时， (0)|| (0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m na a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：1()0,,,m m nn a a m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈第1讲 §2.1.1 指数与指数幂的运算1. 若n x a =，则x 叫做a 的n n >1，且n N *∈n 次方根具有如下性质：（1）在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数；正数的偶次方根是两个绝对值相等、符号相反的数，负数的偶次方根没有意义；零的任何次方根都是零.（2）n 次方根（*1,n n N >∈且）有如下恒等式：n a =,||,a n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数；（a ≥0）.2. 规定正数的分数指数幂：mna =（0,,,1a m n N n *>∈>且）； 1m nm naa-==.¤例题精讲：【例1】已知21na =，求33n nn na a a a --++的值.【例2】化简与求值：（1（2+⋅⋅⋅+【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对图象的影响在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．第2讲 §2.1.2 指数函数及其性质（一）1. 定义：一般地，函数(0,1)x y a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R .2. 以函数2x y =与1()2x y =的图象为例，观察这一对函数的图象，总结如下性质：定义域为R ，值域为(0,)+∞；当0x =时，1y =，即图象过定点(0,1)；当01a <<时，在R 上是减函数，当1a >时，在R 上是增函数.¤例题精讲：【例1】求下列函数的定义域,和值域：（1）132xy -=； （2）51()3x y -=；【例2】已知函数23()(0,1)x f x a a a -=>≠且. （1）求该函数的图象恒过的定点坐标；（2）指出该函数的单调性.第3讲 §2.1.2 指数函数及其性质（二）¤知识要点：以函数2x y =与1()2x y =的图象为例，得出这以下结论：（1）函数()y f x =的图象与()y f x =-的图象关于y 轴对称.（2）指数函数(0,1)x y a a a =>≠且的图象在第一象限内，图象由下至上，底数由下到大.¤例题精讲：【例2】已知21()21x x f x -=+. （1）讨论()f x 的奇偶性； （2）讨论()f x 的单调性.【例3】求下列函数的单调区间：（1）223x x y a +-=； （2）10.21x y =-.【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)xa x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a aM M N N-= ③数乘：log log ()na a n M M n R =∈ ④log a NaN =⑤log log (0,)b na a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a =>≠且 第4讲 §2.2.1 对数与对数运算（一）¤知识要点：1. 定义：一般地，如果x a N =(0,1)a a >≠，那么数 x 叫做以a 为底 N 的对数（logarithm ）.记作 log a x N =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数2. 我们通常将以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm ），并把常用对数10log N 简记为lg N在科学技术中常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数，并把自然对数log e N 简记作ln N 3. 根据对数的定义，得到对数与指数间的互化关系：当0,1a a >≠时，log b a N b a N =⇔=.4. 负数与零没有对数；log 10a =， log 1a a = ¤例题精讲：【例1】求证：（1）log n a a n =； （2）log log log a a a M M N N-=.【例2】试推导出换底公式：log log log c a c bb a=（0a >，且1a ≠；0c >，且1c ≠；0b >）.第5讲 §2.2.1 对数与对数运算（二）¤知识要点：1. 对数的运算法则：log ()log log a a a M N M N =+，log log log aa a MM N N=-，log log n a a M n M =，其中0,1a a >≠且，0,0,M N n R >>∈. 三条法则是有力的解题工具，能化简与求值复杂的对数式.2. 对数的换底公式log log log b a b N N a =. 如果令b =N ，则得到了对数的倒数公式1log log a b b a=. 同样，也可以推导出一些对数恒等式，如log log n n a a N N =，log log m n a a nN N m=，log log log 1a b c b c a =等. ¤例题精讲：【例1】化简与求值：（1）21lg2lg5(lg 2++【例2】若2510a b ==，则11a b+= .【例3】 （1）方程lg lg(3)1x x ++=的解x =________；（2）设12,x x 是方程2lg lg 0x a x b ++=的两个根，则12x x 的值是 .【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数第6讲 §2.2.2 对数函数及其性质（一）¤知识要点：1. 定义：一般地，当a ＞0且a ≠1时，函数a y=log x 叫做对数函数(logarithmic function). 自变量是x ； 函数的定义域是（0，+∞）.2. 由2log y x =与12log y x =的图象，可以归纳出对数函数的性质：定义域为(0,)+∞，值域为R ；当1x =时，0y =，即图象过定点(1,0)；当01a <<时，在(0,)+∞上递减，当1a >时，在(0,)+∞上递增.¤例题精讲：【例1】求下列函数的定义域：（1）y （2）y【例2】已知函数()log (3)a f x x =+的区间[2,1]--上总有|()|2f x <，求实数a 的取值范围.【例3】求不等式log (27)log (41)(0,1)a a x x a a +>->≠且中x 的取值范围.第7讲 §2.2.2 对数函数及其性质（二）¤知识要点：1. 当一个函数是一一映射时, 可以把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量, 而把这个函数的自变量新的函数的因变量. 我们称这两个函数为反函数（inverse function ）. 互为反函数的两个函数的图象关于直线y x =对称.2. 函数(0,1)x y a a a =>≠与对数函数log (0,1)a y x a a =>≠互为反函数.3. 复合函数(())y f x ϕ=的单调性研究，口诀是“同增异减”，即两个函数同增或同减，复合后结果为增函数；若两个函数一增一减，则复合后结果为减函数. 研究复合函数单调性的具体步骤是：（i ）求定义域；（ii ）拆分函数；（iii ）分别求(),()y f u u x ϕ==的单调性；（iv ）按“同增异减”得出复合函数的单调性.¤例题精讲：【例1】讨论函数0.3log (32)y x =-的单调性.【例3】指数函数(0,1)x y a a a =>≠的图象与对数函数log (0,1)a y x a a =>≠的图象有何关系？第8讲 §2.3 幂函数知识要点：1. 幂函数的基本形式是y x α=，其中x 是自变量，α是常数. 要求掌握y x =，2y x =，3y x =，1/2y x =，1y x -=这五个常用幂函数的图象.2. 观察出幂函数的共性，总结如下：（1）当0α>时，图象过定点(0,0),(1,1)；在(0,)+∞上是增函数.（2）当0α<时，图象过定点(1,1)；在(0,)+∞上是减函数；在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近.3. 幂函数y x α=的图象，在第一象限内，直线1x =的右侧，图象由下至上，指数α由小到大. y 轴和直线1x =之间，图象由上至下，指数α由小到大.¤例题精讲：【例1】已知幂函数()y f x =的图象过点(27,3)，试讨论其单调性.【例3】幂函数m y x =与n y x =在第一象限内的图象如图所示，则（ ）.A ．101n m -<<<<B ．1,01n m <-<<C ．10,1n m -<<>D ．1,1n m <->〖2.3〗幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．（2）幂函数的图象（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当qpα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则q py x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q py x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则qpy x =是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．〖补充知识〗二次函数（1）二次函数解析式的三种形式①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠ ②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠ ③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠（2）求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便．（3）二次函数图象的性质①二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bx a=-顶点坐标是24(,)24b ac b a a--． ②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2ba-+∞上递增，当2b x a =-时，2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递增，在[,)2ba -+∞上递减，当2bx a=-时，2max 4()4ac b f x a -=．③二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠当240b ac ∆=->时，图象与x轴有两个交点11221212(,0),(,0),||||||M x M x M M x x a =-=． （4）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=- ③判别式：∆ ④端点函数值符号．①k ＜x 1≤x 2⇔ ⎩⎨⎧△＝b 2－4ac ≥0af (k )＞0－b 2a ＞k②x 1≤x 2＜k ⇔ ⎩⎨⎧△＝b 2－4ac ≥0af (k )＞0－b 2a ＜k③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0第 11 页 共 13 页④k 1＜x 1≤x 2＜k 2⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧△＝b 2－4ac ≥0a ＞0f (k 1)＞0f (k 2)＞0k 1＜－b 2a＜k 2或⎩⎪⎨⎪⎧△＝b 2－4ac ≥0a ＜0f (k 1)＜0f (k 2)＜0k 1＜－b 2a＜k 2⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0f (k 1)＞0f (k 2)＜0f (p 1)＜0f (p 2)＞0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0f (k 1)＜0f (k 2)＞0f (p 1)＞0f (p 2)＜0此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上）最小值① 若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a=-③若2bq a->，则()m f q =最大值① 若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p = xxxxx x(q)0x第 13 页 共 13 页(Ⅱ)当0a <时(开口向下)最大值①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a=-③若2bq a->，则()M f q =最小值①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．xfxfxfxxx。

§4指数函数、幂函数、对数函数增长的比较§5信息技术支持的函数研究必备知识基础练知识点一指数函数、幂函数、对数函数增长的差异1．研究函数y＝0.5e x－2，y＝ln (x＋1)，y＝x2－1在[0，＋∞)上的增长情况．知识点二指数函数、幂函数、对数函数增长的比较2．下面对函数f(x)＝log12 x，g(x)＝(12)x与h(x)＝x－12在区间(0，＋∞)上的衰减情况的叙述正确的是( )A．f(x)的衰减速度逐渐变慢，g(x)的衰减速度逐渐变快，h(x)的衰减速度逐渐变慢B．f(x)的衰减速度逐渐变快，g(x)的衰减速度逐渐变慢，h(x)的衰减速度逐渐变快C．f(x)的衰减速度逐渐变慢，g(x)的衰减速度逐渐变慢，h(x)的衰减速度逐渐变慢D．f(x)的衰减速度逐渐变快，g(x)的衰减速度逐渐变快，h(x)的衰减速度逐渐变快3．当2<x<4时，2x，x2，log2x的大小关系是( )A．2x>x2>log2x B．x2>2x>log2xC．2x>log2x>x2 D．x2>log2x>2x4．函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象关于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2．(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数．(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)的大小．知识点三指数函数、幂函数、对数函数的实际应用5．假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？(可用计算器)关键能力综合练1．四人赛跑，假设其跑过的路程和时间的函数关系分别是f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝4x ，f 3(x )＝log 3x ，f 4(x )＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人对应的函数关系是( )A ．f 1(x )＝x 2B ．f 2(x )＝4xC ．f 3(x )＝log 3xD ．f 4(x )＝2x2．以下四种说法中，正确的是( ) A ．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快 B ．对任意的x >0，x a>log a x C ．对任意的x >0，a x >log a xD ．一定存在x 0，当x >x 0，a >1，n >0时，总有a x>x n>log a x 3．已知－1<α<0，则( )A ．0.2α>(12 )α>2αB ．2α>0.2α>(12 )αC ．(12 )α>0.2α>2αD ．2α>(12 )α>0.2α4．有一组实验数据如下表所示：A ．y ＝log a x (a >1)B ．y ＝ax ＋b (a >1)C ．y ＝ax 2＋b (a >0) D ．y ＝log a x ＋b (a >1) 5.如图给出了红豆生长时间t (月)与枝数y (枝)的关系图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是( ) A．指数函数：y＝2tB．对数函数：y＝log2tC．幂函数：y＝t3D．二次函数：y＝2t26．(探究题)某校甲、乙食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知该年9月份两食堂的营业额又相等，则该年5月份( )A．甲食堂的营业额较高B．乙食堂的营业额较高C．甲、乙两食堂的营业额相同D．不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高7．函数y＝x2与函数y＝x ln x在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是________．8．某种病菌经30分钟繁殖为原来的2倍，且知这种病菌的繁殖规律为y＝e kt(k为常数，t为时间，单位：小时)，y表示病菌个数，则k＝________，经过5小时，1个病菌能繁殖为________个．9．(易错题)某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示．以下四种说法：①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变．其中说法正确的序号是________．核心素养升级练1．(多选题)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程f i(x)(i ＝1，2，3，4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x3，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，则以下结论正确的是( )A．当x>1时，甲走在最前面B．当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最后面C．丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲2．(情境命题—生活情境)某地区第1周、第2周、第3周患某种传染病的人数分别为52，54，58.为了预测以后各周的患病人数，甲选择了模型y＝ax2＋bx＋c，乙选择了模型y ＝p·q x＋r，其中y为患病人数，x为周数，a，b，c，p，q，r都是常数．结果第4周、第5周、第6周的患病人数分别为66，82，115，你认为谁选择的模型较好？§4指数函数、幂函数、对数函数增长的比较§5信息技术支持的函数研究必备知识基础练1．解析：分别在同一个坐标系中画出三个函数的图象，如图所示，从图象上可以看出函数y＝0.5e x－2的图象首先超过了函数y＝ln (x＋1)的图象，然后又超过了函数y＝x2－1的图象，即存在一个x0满足0.5e x0－2＝x2－1，当x>x0时，ln (x ＋1)<x2－1<0.5e x－2.y＝ln (x＋1)增长最慢，y＝0.5e x－2增长最快．2．答案：C解析：由函数f(x)＝log12 x，g(x)＝(12)x与h(x)＝x－12在区间(0，＋∞)上的图象(图略)知函数f(x)，g(x)，h(x)的衰减速度均逐渐变慢，故选C.3．答案：B解析：在同一平面直角坐标系中画出函数y＝log2x，y＝x2，y＝2x的图象(图略)，由图象，可知在区间(2，4)上从上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝log2x的图象．所以当2<x<4时，x2>2x>log2x.4．解析：(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.(2)因为f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)，所以1<x1<2，9<x2<10，所以x1<6<x2.由图可知g(6)>f(6).5．解析：设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y＝40(x∈N＋)进行描述；方案二可以用函数y＝10x(x∈N＋)进行描述；方案三可以用函数y＝0.4×2x－1(x∈N＋)进行描述．要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析．画出三个函数的图象，如图所示，由图可知方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案三的函数与方案二的函数的增长情况很不相同．可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二所无法企及的．从每天所得回报看，在第1～3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5～8天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元．下面再看累计的回报数．列表如下：因此，投资1～6天，应选择第一种投资方案；投资7天，应选择第一或第二种投资方案；投资8～10天，应选择第二种投资方案；投资11天(含11天)以上，应选择第三种投资方案．关键能力综合练1．答案：D解析：在同一平面直角坐标系中画出函数f 1(x )，f 2(x )，f 3(x )，f 4(x )的图象(图略)，可知当x >4时，f 4(x )>f 1(x )>f 2(x )>f 3(x )，故选D.2．答案：D解析：对于A ，幂函数的增长速度受指数影响，指数与一次项系数不确定，增长速度不能比较，而B ，C 中x a ，log a x ，a x的大小都受a 的影响，选D.3．答案：A解析：∵12 >0.2，－1<α<0，∴2α<(12 )α<0.2α.故选A.4．答案：C解析：通过所给数据可知y 随x 增大，其增长速度越来越快，而A 、D 中的函数增长速度越来越慢，B 中的函数增长速度保持不变，故选C.5．答案：A解析：由题中图象可知该函数模型为指数函数． 6．答案：A解析：设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m ，甲食堂的营业额每月增加a (a >0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x .由题意，可得m ＋8a ＝m ×(1＋x )8，则5月份甲食堂的营业额y 1＝m ＋4a ，乙食堂的营业额y 2＝m ×(1＋x )4＝m （m ＋8a ） .因为y 21 －y 22 ＝(m ＋4a )2－m (m ＋8a )＝16a 2>0，所以y 1>y 2，故该年5月份甲食堂的营业额较高．7．答案：y ＝x 2解析：当x 变大时，x 比ln x 增长要快，∴x 2要比x ln x 增长得要快． 8．答案：2ln 2 1 024解析：设病菌原来有1个，则半小时后为2个，得2＝e k2 ，解得k ＝2ln 2，y (5)＝e(2ln2)·5＝e10ln 2＝210＝1 024(个).9．答案：②③解析：由t ∈[0，3]的图象联想到幂函数y ＝x α(0<α<1).反映了C 随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢．由t ∈[3，8]的图象可知，总产量C 没有变化，即第三年后停止生产，所以②③正确．核心素养升级练1．答案：BCD解析：路程f i (x )(i ＝1，2，3，4)关于时间x (x ≥0)的函数关系式分别为：f 1(x )＝2x －1，f 2(x )＝x 3，f 3(x )＝x ，f 4(x )＝log 2(x ＋1).它们相应的函数模型分别是指数型函数、幂函数、一次函数和对数型函数模型． 当x ＝2时，f 1(2)＝3，f 2(2)＝8，∴选项A 不正确；根据四种函数的变化特点，对数型函数的变化是先快后慢，当x ＝1时甲、乙、丙、丁四个物体重合，从而可知当0<x <1时，丁走在最前面，当x >1时，丁走在最后面，∴选项B 正确；结合对数型和指数型函数的图象变化情况，可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，∴选项C 正确；指数函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长，最前面的物体一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体．∴选项D 正确．故选B 、C 、D.2．解析：依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ·12＋b ·1＋c ＝52，a ·22＋b ·2＋c ＝54，a ·32＋b ·3＋c ＝58， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝52，4a ＋2b ＋c ＝54，9a ＋3b ＋c ＝58， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，c ＝52， 所以甲：y 1＝x 2－x ＋52，又⎩⎪⎨⎪⎧p ·q 1＋r ＝52， ①p ·q 2＋r ＝54， ②p ·q 3＋r ＝58， ③②—①，得p ·q 2－p ·q 1＝2， ④ ③—②，得p ·q 3－p ·q 2＝4， ⑤ ⑤÷④，得q ＝2.将q ＝2代入④式，得p ＝1. 将q ＝2，p ＝1代入①式，得r ＝50， 所以乙：y 2＝2x＋50.计算当x ＝4时，y 1＝64，y 2＝66； 当x ＝5时，y 1＝72，y 2＝82； 当x ＝6时，y 1＝82，y 2＝114. 可见，乙选择的模型较好．。

指数函数、对数函数、幂函数单元复习与巩固一、知识框图二、知识要点梳理知识点一：指数及指数幂的运算1.根式的概念的次方根的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中当为奇数时，正数的次方根为正数，负数的次方根是负数，表示为；当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为.负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数.2.n次方根的性质：(1)当为奇数时，；当为偶数时，(2)3.分数指数幂的意义：；注意：0的正分数指数幂等与0，负分数指数幂没有意义.4.有理数指数幂的运算性质：(1) (2) (3)知识点二：指数函数及其性质1.指数函数概念一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为.2.指数函数函数性质：函数指数函数名称定义函数且叫做指数函数图象定义域值域过定点图象过定点，即当时，.奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向象的影响看图象，逐渐减小.知识点三：对数与对数运算1.对数的定义(1)若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数.(2)负数和零没有对数.(3)对数式与指数式的互化：.2.几个重要的对数恒等式，，.3.常用对数与自然对数常用对数：，即；自然对数：，即(其中…).4.对数的运算性质如果，那么①加法：②减法：③数乘：④⑤⑥换底公式：知识点四：对数函数及其性质1.对数函数定义一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域.2.对数函数性质：函数名称对数函数定义函数且叫做对数函数图象定义域值域过定点图象过定点，即当时，.奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内，从顺时针方向看图象，逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向看图象，逐渐减小.知识点六：幂函数1.幂函数概念 形如的函数，叫做幂函数，其中为常数.2.幂函数的性质(1)图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限 无图象.幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象 关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象 限.(2)过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点.(3)单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数.如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴.(4)奇偶性：具体函数具体讨论(5)图象特征：幂函数当时，在第一象限，图像与32,x y x y ==的图像大致趋势一样,当10<<α时，在第一象限，图像与21x y =的图像大致趋势一样,当0<α时，在第一象限，图像与1-=xy 的图像大致趋势一样一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表： 0>∆0=∆0<∆二次函数c bx ax y ++=2（0>a ）的图象c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2一元二次方程()的根002>=++a c bx ax有两相异实根)(,2121x x x x < 有两相等实根ab x x 221-==无实根 的解集)0(02>>++a c bx ax{}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R 的解集)0(02>≥++a c bx ax{}21x x x x x ≥≤或RR 的解集)0(02><++a c bx ax {}21x x x x <<∅ ∅ 的解集)0(02>≤++a c bx ax{}21x x xx ≤≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=a b x x 2∅。