高考数学(文)试题分类汇编 F平面向量

专题 11平面向量1．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是A ．a+2bB ．2a+bC ．a –2bD ．2a – b2．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，若 AC BC=1，则点 C 的轨迹为A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．直线3．【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知 P 是边长为 2的正六边形 ABCDEF 内的一点，则 AP AB 的取值范围是A ．(2,6) C ．(2,4)B ．(6,2) D ．(4,6)4．【2019年高考全国 I 卷文数】已知非零向量 a ，b 满足|a | 2|b|，且(a b) b ，则 a 与 b 的夹角为πB ． πA ．C ． 6 2π 3 5πD ．365．【2019年高考全国 II 卷文数】已知向量 a=(2，3)，b=(3，2)，则|a-b|= A ． 2 B ．2 C ．5 2D ．506．【2018年高考全国 I 卷文数】在△ABC 中， AD 为 BC 边上的中线， E 为 AD 的中点，则 EB1A ． AB1 AC3 B ． AB3 AC4 3 44 1 4C ．AB 1 AC D ．AB 3 AC 4 44 47．【2018年高考全国 II 卷文数】已知向量 a ，b 满足|a | 1， a b 1，则 a (2a b)A ．4 C ．2B ．3 D ．08．【2018年高考浙江卷】已知 a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量 a 与 e 的夹角为 π3，向量 b 满足 b −4e·b+3=0，则|a −b|的最小值是2A ． 3 −1 C ．2B ． 3 +1 D ．2− 39．【 2018年高考天津卷文数】在如图的平面图形中，已知BC·OM的值为OM 1,ON 2,MON 120,BM 2MA,CN 2NA,则A ．15C ． 6B ．9D．010．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】设向量a (1,1),b (m 1,2m 4)，若a b，则m11．【2020年高考天津】如图，在四边形ABCD 中， B 60, AB 3，BC 6，且.AD BC, AD AB 3，则实数的值为_________，若M,N是线段BC上的动点，且| MN2则DM DN的最小值为_________．12．【2020年高考北京】已知正方形ABCD的边长为2，点P满足AP 1 (AB AC)，则| PD |_________；2PB PD _________．13．【2020年高考浙江】已知平面单位向量e1，e2满足| 2e 1 e2 | 2．设a e 1 e2，b 3e 1 e2，向量a，b 的夹角为，则cos的最小值是_______．14．【2020年高考江苏】在△ABC中，AB 4，AC 3，∠BAC=90，D在边BC上，延长AD到P，使得AP 2若PA mPB (3 m)PC（m为常数），则CD的长度是▲．215．【2019年高考北京卷文数】已知向量=（–4，3），=（6，m），且a b，则m=__________．a b16．【2019年高考全国III卷文数】已知向量a (2,2),b (8,6)，则cos a,b___________.17．【2019年高考天津卷文数】在四边形ABCD中，AD∥BC, AB 2 3, AD 5, A 30，点E 在线段CB 的延长线上，且 AEBE ，则 BD AE _____________．18．【2019年高考江苏卷】如图，在△ABC 中，D 是 BC 的中点，E 在边 AB 上，BE=2EA ，AD 与 CE 交于点O .若 AB AC6AO EC ，则ABAC 的值是_____. 19．【2019年高考浙江卷】已知正方形 ABCD 的边长为 1，当每个i(i 1,2,3,4,5,6)取遍时，|1AB 2BC 3CD 4DA 5AC 6BD|的最小值是________；最大值是_______.20．【2018年高考全国 III 卷文数】已知向量a=1,2，b=2,2，c=1,λ．若c ∥2a + b ，则________．21．【2018年高考北京卷文数】设向量 a=（1,0），b=（−1,m ）,若 a (mab)，则 m=_________.22．【2018年高考上海卷】在平面直角坐标系中，已知点 A 1，0、 B2，0， E 、 F 是 y 轴上的两个动点，且|EF| 2 ，则 AE BF 的最小值为___________．23．【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系 xOy 中， A 为直线l : y 2x 上在第一象限内的点，B 5,0，以 AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点 D ．若 AB CD0，则点 A 的横坐标为___________．。

高考数学真题汇编---平面向量学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一．选择题（共10小题）1．（2017•新课标Ⅱ）设非零向量，满足|+|=|﹣|则（）A．⊥B．||=||C．∥D．||＞||2．（2017•新课标Ⅲ）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若=λ+μ，则λ+μ的最大值为（）A．3 B．2C．D．23．（2017•新课标Ⅱ）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则•（+）的最小值是（）A．﹣2 B．﹣C．﹣D．﹣14．（2017•浙江）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD交于点O，记I1=•，I2=•，I3=•，则（）A．I1＜I2＜I3B．I1＜I3＜I2C．I3＜I1＜I2D．I2＜I1＜I35．（2016•新课标Ⅲ）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120°6．（2016•新课标Ⅱ）已知向量=（1，m），=（3，﹣2），且（+）⊥，则m=（）A．﹣8 B．﹣6 C ．6 D．87．（2016•天津）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则•的值为（）A．﹣B．C．D．8．（2016•山东）已知非零向量，满足4||=3||，cos＜，＞=．若⊥（t+），则实数t的值为（）A．4 B．﹣4 C．D．﹣9．（2016•四川）在平面内，定点A，B，C，D满足==，•=•=•=﹣2，动点P，M满足=1，=，则||2的最大值是（）A．B．C．D．10．（2016•四川）已知正三角形ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M 满足||=1，=，则||2的最大值是（）A．B．C．D．二．填空题（共20小题）11．（2017•山东）已知向量=（2，6），=（﹣1，λ），若，则λ=．12．（2017•新课标Ⅲ）已知向量=（﹣2，3），=（3，m），且，则m=．13．（2017•新课标Ⅰ）已知向量=（﹣1，2），=（m，1），若向量+与垂直，则m=．14．（2017•新课标Ⅰ）已知向量，的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|=．15．（2017•山东）已知，是互相垂直的单位向量，若﹣与+λ的夹角为60°，则实数λ的值是．16．（2017•江苏）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20，则点P的横坐标的取值范围是．17．（2017•北京）已知点P在圆x2+y2=1上，点A的坐标为（﹣2，0），O为原点，则•的最大值为．18．（2017•江苏）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα=7，与的夹角为45°．若=m+n（m，n∈R），则m+n=．19．（2017•天津）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若=2，=λ﹣（λ∈R），且=﹣4，则λ的值为．20．（2016•新课标Ⅱ）已知向量=（m，4），=（3，﹣2），且∥，则m=．21．（2016•上海）在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（0，﹣1），P是曲线y=上一个动点，则•的取值范围是．22．（2016•新课标Ⅰ）设向量=（m，1），=（1，2），且|+|2=||2+||2，则m=．23．（2016•山东）已知向量=（1，﹣1），=（6，﹣4），若⊥（t+），则实数t的值为．24．（2016•新课标Ⅰ）设向量=（x，x+1），=（1，2），且⊥，则x=．25．（2016•浙江）已知平面向量，，||=1，||=2，=1，若为平面单位向量，则||+||的最大值是．26．（2016•上海）如图，已知点O（0，0），A（1，0），B（0，﹣1），P是曲线y=上一个动点，则•的取值范围是．27．（2016•江苏）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，•=4，•=﹣1，则•的值是．28．（2016•北京）已知向量=（1，），=（，1），则与夹角的大小为．29．（2016•上海）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为正八边形A1A2…A8的中心，A1（1，0）任取不同的两点A i，A j，点P满足++=，则点P落在第一象限的概率是．30．（2016•浙江）已知向量，，||=1，||=2，若对任意单位向量，均有|•|+|•|≤，则•的最大值是．三．解答题（共1小题）31．（2017•山东）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=3，= =3，求A和a．﹣6，S△ABC高考数学真题汇编---平面向量参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．【分析】由已知得，从而=0，由此得到．【解答】解：∵非零向量，满足|+|=|﹣|，∴，解得=0，∴．故选：A．2．【分析】如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，先求出圆的标准方程，再设点P的坐标为（cosθ+1，sinθ+2），根据=λ+μ，求出λ，μ，根据三角函数的性质即可求出最值．【解答】解：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，则A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），∵动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，设圆的半径为r，∵BC=2，CD=1，∴BD==∴BC•CD=BD•r，∴r=，∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=，设点P的坐标为（cosθ+1，sinθ+2），∵=λ+μ，∴（cosθ+1，sinθ+2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ），∴cosθ+1=λ，sinθ+2=2μ，∴λ+μ=cosθ+sinθ+2=sin（θ+φ）+2，其中tanφ=2，∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，∴1≤λ+μ≤3，故λ+μ的最大值为3，故选：A．3．【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．【解答】解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，则A（0，），B（﹣1，0），C（1，0），设P（x，y），则=（﹣x，﹣y），=（﹣1﹣x，﹣y），=（1﹣x，﹣y），则•（+）=2x2﹣2y+2y2=2[x2+（y﹣）2﹣]∴当x=0，y=时，取得最小值2×（﹣）=﹣，故选：B．4．【分析】根据向量数量积的定义结合图象边角关系进行判断即可．【解答】解：∵AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，∴AC=2，∴∠AOB=∠COD＞90°，由图象知OA＜OC，OB＜OD，∴0＞•＞•，•＞0，即I3＜I1＜I2，故选：C．5．【分析】根据向量的坐标便可求出，及的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC的值，根据∠ABC的范围便可得出∠ABC 的值．【解答】解：，；∴；又0°≤∠ABC≤180°；∴∠ABC=30°．故选：A．【分析】求出向量+的坐标，根据向量垂直的充要条件，构造关于m的方程，解得答案．【解答】解：∵向量=（1，m），=（3，﹣2），∴+=（4，m﹣2），又∵（+）⊥，∴12﹣2（m﹣2）=0，解得：m=8，故选：D．7．【分析】由题意画出图形，把、都用表示，然后代入数量积公式得答案．【解答】解：如图，∵D、E分别是边AB、BC的中点，且DE=2EF，∴•========．故选：C．【分析】若⊥（t+），则•（t+）=0，进而可得实数t的值．【解答】解：∵4||=3||，cos＜，＞=，⊥（t+），∴•（t+）=t•+2=t||•||•+||2=（）||2=0，解得：t=﹣4，故选：B．9．【分析】由==，可得D为△ABC的外心，又•=•=•，可得可得D为△ABC的垂心，则D为△ABC的中心，即△ABC为正三角形．运用向量的数量积定义可得△ABC的边长，以A为坐标原点，AD所在直线为x轴建立直角坐标系xOy，求得B，C的坐标，再设P（cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），由中点坐标公式可得M的坐标，运用两点的距离公式可得BM的长，运用三角函数的恒等变换公式，结合正弦函数的值域，即可得到最大值．【解答】解：由==，可得D为△ABC的外心，又•=•=•，可得•（﹣）=0，•（﹣）=0，即•=•=0，即有⊥，⊥，可得D为△ABC的垂心，则D为△ABC的中心，即△ABC为正三角形．由•=﹣2，即有||•||cos120°=﹣2，解得||=2，△ABC的边长为4cos30°=2，以A为坐标原点，AD所在直线为x轴建立直角坐标系xOy，可得B（3，﹣），C（3，），D（2，0），由=1，可设P（cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），由=，可得M为PC的中点，即有M（，），则||2=（3﹣）2+（+）2=+==，当sin（θ﹣）=1，即θ=时，取得最大值，且为．故选：B．10．【分析】如图所示，建立直角坐标系．B（0，0），C．A．点P的轨迹方程为：=1，令x=+cosθ，y=3+sinθ，θ∈[0，2π）．又=，可得M，代入||2=+3sin，即可得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．B（0，0），C．A．∵M满足||=1，∴点P的轨迹方程为：=1，令x=+cosθ，y=3+sinθ，θ∈[0，2π）．又=，则M，∴||2=+=+3sin≤．∴||2的最大值是．也可以以点A为坐标原点建立坐标系．解法二：取AC中点N，MN=，从而M轨迹为以N为圆心，为半径的圆，B，N，M三点共线时，BM为最大值．所以BM最大值为3+=．故选：B．二．填空题（共20小题）11．【分析】利用向量共线定理即可得出．【解答】解：∵，∴﹣6﹣2λ=0，解得λ=﹣3．故答案为：﹣3．12．【分析】利用平面向量数量积坐标运算法则和向量垂直的性质求解．【解答】解：∵向量=（﹣2，3），=（3，m），且，∴=﹣6+3m=0，解得m=2．故答案为：2．13．【分析】利用平面向量坐标运算法则先求出，再由向量+与垂直，利用向量垂直的条件能求出m的值．【解答】解：∵向量=（﹣1，2），=（m，1），∴=（﹣1+m，3），∵向量+与垂直，∴（）•=（﹣1+m）×（﹣1）+3×2=0，解得m=7．故答案为：7．14．【分析】根据平面向量的数量积求出模长即可．【解答】解：【解法一】向量，的夹角为60°，且||=2，||=1，∴=+4•+4=22+4×2×1×cos60°+4×12=12，∴|+2|=2．【解法二】根据题意画出图形，如图所示；结合图形=+=+2；在△OAC中，由余弦定理得||==2，即|+2|=2．故答案为：2．15．【分析】根据平面向量的数量积运算与单位向量的定义，列出方程解方程即可求出λ的值．【解答】解：【方法一】由题意，设=（1，0），=（0，1），则﹣=（，﹣1），+λ=（1，λ）；又夹角为60°，∴（﹣）•（+λ）=﹣λ=2××cos60°，即﹣λ=，解得λ=．【方法二】，是互相垂直的单位向量，∴||=||=1，且•=0；又﹣与+λ的夹角为60°，∴（﹣）•（+λ）=|﹣|×|+λ|×cos60°，即+（﹣1）•﹣λ=××，化简得﹣λ=××，即﹣λ=，解得λ=．故答案为：．16．【分析】根据题意，设P（x0，y0），由数量积的坐标计算公式化简变形可得2x0+y0+5≤0，分析可得其表示表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域，联立直线与圆的方程可得交点的横坐标，结合图形分析可得答案．【解答】解：根据题意，设P（x0，y0），则有x02+y02=50，=（﹣12﹣x0，﹣y0）•（﹣x0，6﹣y0）=（12+x0）x0﹣y0（6﹣y0）=12x0+6y+x02+y02≤20，化为：12x0﹣6y0+30≤0，即2x0﹣y0+5≤0，表示直线2x﹣y+5=0以及直线上方的区域，联立，解可得x0=﹣5或x0=1，结合图形分析可得：点P的横坐标x0的取值范围是[﹣5，1]，故答案为：[﹣5，1]．17．【分析】设P（cosα，sinα）．可得=（2，0），=（cosα+2，sinα）．利用数量积运算性质、三角函数的单调性与值域即可得出．【解答】解：设P（cosα，sinα）.=（2，0），=（cosα+2，sinα）．则•=2（cosα+2）≤6，当且仅当cosα=1时取等号．故答案为：6．18．【分析】如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由与的夹角为α，且tanα=7．可得cosα=，sinα=．C．可得cos（α+45°）=．sin（α+45°）=．B．利用=m+n（m，n∈R），即可得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由与的夹角为α，且tanα=7．∴cosα=，sinα=．∴C．cos（α+45°）=（cosα﹣sinα）=．sin（α+45°）=（sinα+cosα）=．∴B．∵=m+n（m，n∈R），∴=m﹣n，=0+n，解得n=，m=．则m+n=3．故答案为：3．19．【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用、表示出，再根据平面向量的数量积列出方程求出λ的值．【解答】解：如图所示，△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2，=2，∴=+=+=+（﹣）=+，又=λ﹣（λ∈R），∴=（+）•（λ﹣）=（λ﹣）•﹣+λ=（λ﹣）×3×2×cos60°﹣×32+λ×22=﹣4，∴λ=1，解得λ=．故答案为：．20．【分析】直接利用向量共线的充要条件列出方程求解即可．【解答】解：向量=（m，4），=（3，﹣2），且∥，可得12=﹣2m，解得m=﹣6．故答案为：﹣6．21．【分析】设P（cosα，sinα），α∈[0，π]，则=（1，1），=（cosα，sinα+1），由此能求出•的取值范围．【解答】解：∵在平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，﹣1），P是曲线y=上一个动点，∴设P（cosα，sinα），α∈[0，π]，∴=（1，1），=（cosα，sinα+1），=cosα+sinα+1=，∴•的取值范围是[0，1+]．故答案为：[0，1+]．22．【分析】利用已知条件，通过数量积判断两个向量垂直，然后列出方程求解即可．【解答】解：|+|2=||2+||2，可得•=0．向量=（m，1），=（1，2），可得m+2=0，解得m=﹣2．故答案为：﹣2．23．【分析】根据向量的坐标运算和向量的数量积计算即可．【解答】解：∵向量=（1，﹣1），=（6，﹣4），∴t+=（t+6，﹣t﹣4），∵⊥（t+），∴•（t+）=t+6+t+4=0，解得t=﹣5，故答案为：﹣5．24．【分析】根据向量垂直的充要条件便可得出，进行向量数量积的坐标运算即可得出关于x的方程，解方程便可得出x的值．【解答】解：∵；∴；即x+2（x+1）=0；∴．故答案为：．25．【分析】由题意可知，||+||为在上的投影的绝对值与在上投影的绝对值的和，由此可知，当与共线时，||+||取得最大值，即．【解答】解：||+||=，其几何意义为在上的投影的绝对值与在上投影的绝对值的和，当与共线时，取得最大值．∴=．故答案为：．26．【分析】设出=（x，y），得到•=x+，令x=cosθ，根据三角函数的性质得到•=sinθ+cosθ=sin（θ+），从而求出•的范围即可．【解答】解：设=（x，y），则=（x，），由A（1，0），B（0，﹣1），得：=（1，1），∴•=x+，令x=cosθ，θ∈[0，π]，则•=sinθ+cosθ=sin（θ+），θ∈[0，π]，故•的范围是[﹣，1，]，故答案为：[﹣1，]．27．【分析】由已知可得=+，=﹣+，=+3，=﹣+3，=+2，=﹣+2，结合已知求出2=，2=，可得答案．【解答】解：∵D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，∴=+，=﹣+，=+3，=﹣+3，∴•=2﹣2=﹣1，•=92﹣2=4，∴2=，2=，又∵=+2，=﹣+2，∴•=42﹣2=，故答案为：28．【分析】根据已知中向量的坐标，代入向量夹角公式，可得答案．【解答】解：∵向量=（1，），=（，1），∴与夹角θ满足：cosθ===，又∵θ∈[0，π]，∴θ=，故答案为：．29．【分析】利用组合数公式求出从正八边形A1A2…A8的八个顶点中任取两个的事件总数，满足++=，且点P落在第一象限，则需向量+的终点落在第三象限，列出事件数，再利用古典概型概率计算公式求得答案．【解答】解：从正八边形A1A2…A8的八个顶点中任取两个，基本事件总数为．满足++=，且点P落在第一象限，对应的A i，A j，为：（A4，A7），（A5，A8），（A5，A6），（A6，A7），（A5，A7）共5种取法．∴点P落在第一象限的概率是，故答案为：．30．【分析】根据向量三角形不等式的关系以及向量数量积的应用进行计算即可得到结论．【解答】解：由绝对值不等式得≥|•|+|•|≥|•+•|=|（+）•|，于是对任意的单位向量，均有|（+）•|≤，∵|（+）|2=||2+||2+2•=5+2•，∴|（+）|=，因此|（+）•|的最大值≤，则•≤，下面证明：•可以取得，（1）若|•|+|•|=|•+•|，则显然满足条件．（2）若|•|+|•|=|•﹣•|，此时|﹣|2=||2+||2﹣2•=5﹣1=4，此时|﹣|=2于是|•|+|•|=|•﹣•|≤2，符合题意，综上•的最大值是，法2：由于任意单位向量，可设=，则|•|+|•|=||+||≥||+|=||=|+|，∵|•|+|•|≤，∴|+|≤，即（+）2≤6，即||2+||2+2•≤6，∵||=1，||=2，∴•≤，即•的最大值是．法三：设=，=，=，则=+，=﹣，|•|+|•|=||+||=||≤||，由题设当且仅当与同向时，等号成立，此时（+）2取得最大值6，第21页（共22页）由于|+|2+|﹣|）2=2（||2+||2）=10，于是（﹣）2取得最小值4，则•=，•的最大值是．故答案为：．三．解答题（共1小题）31．【分析】根据向量的数量积和三角形的面积公式可得tanA=﹣1，求出A和c的值，再根据余弦定理即可求出a．【解答】解：由=﹣6可得bccosA=﹣6，①，由三角形的面积公式可得S△ABC=bcsinA=3，②∴tanA=﹣1，∵0＜A＜180°，∴A=135°，∴c==2，由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA=9+8+12=29∴a=第22页（共22页）。

F 平面向量F1 平面向量的概念及其线性运算4．H1、F1[2012·上海卷] 若d ＝(2,1)是直线l 的一个方向向量，则l 的倾斜角的大小为________(结果用反三角函数值表示)．4．arctan 12[解析] 考查直线的方向向量、斜率与倾斜角三者之间的关系，关键是求出直线的斜率．由已知可得直线的斜率k ＝12，k ＝tan α，所以直线的倾斜角α＝arctan 12.20．H5、F1、H1[2012·陕西卷] 已知椭圆C 1：x24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．(1)求椭圆C 2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB →＝2OA →，求直线AB 的方程．20．解：(1)由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x24＝1(a ＞2)，其离心率为32，故a 2－4a ＝32，则a ＝4，故椭圆C 2的方程为y 216＋x24＝1.(2)解法一：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )， 由OB →＝2OA →及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上， 因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A＝41＋4k 2， 将y ＝kx 代入y 216＋x 24＝1中，得(4＋k 2)x 2＝16，所以x 2B＝164＋k 2， 又由OB →＝2OA →得x 2B ＝4x 2A ，即164＋k 2＝161＋4k 2， 解得k ＝±1，故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .解法二：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )， 由OB →＝2OA →及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上， 因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k 2， 由OB →＝2OA →得x 2B ＝161＋4k 2，y 2B ＝16k 21＋4k 2，将x 2B ，y 2B 代入y 216＋x 24＝1中，得4＋k 21＋4k 2＝1，即4＋k 2＝1＋4k 2，解得k ＝±1， 故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .F2 平面向量基本定理及向量坐标运算13．F2、F3[2012·湖北卷] 已知向量a ＝(1,0)，b ＝(1,1)，则 (1)与2a ＋b 同向的单位向量的坐标表示为________； (2)向量b －3a 与向量a 夹角的余弦值为________．13．[答案] (1)⎝⎛⎭⎫31010，1010 (2)－255 [解析] (1)由题意，2a ＋b ＝(3,1)，所以与2a ＋b 同向的单位向量的坐标为⎝⎛⎭⎫310，110，即⎝⎛⎭⎫31010，1010. (2)因为a ＝(1,0)，b ＝(1,1)，所以b －3a ＝(－2,1)．设向量b －3a 与向量a 的夹角为θ，则cos θ＝(b －3a )·a |b －3a ||a |＝(－2，1)·(1，0)5×1＝－255.3．F2[2012·广东卷] 若向量AB →＝(1,2)，BC →＝(3,4)，则AC →＝( ) A ．(4,6) B ．(－4，－6) C ．(－2，－2) D ．(2,2)3．A [解析] 因为AC →＝AB →＋BC →＝(1,2)＋(3,4)＝(4,6)．所以选择A.9．F2[2012·全国卷] △ABC 中，AB 边的高为CD ，若CB →＝a ，CA →＝b ，a·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则AD →＝( )A.13a －13bB.23a －23bC.35a －35bD.45a －45b9．D [解析] 本小题主要考查平面向量的基本定理，解题的突破口为设法用a 和b 作为基底去表示向量AD →.易知a ⊥b ，|AB |＝5，用等面积法求得|CD |＝255，∵AD ＝AC 2－CD 2＝455，AB ＝5，∴AD →＝45AB →＝45(a －b )，故选D.7．F2、C6[2012·陕西卷] 设向量a ＝(1，cos θ)与b ＝(－1,2cos θ)垂直，则cos2θ等于( )A.22B.12C ．0D ．－1 7．C [解析] 由向量垂直的充要条件可知，要使两向量垂直，则有－1＋2cos 2θ＝0，则cos2θ＝2cos 2θ－1＝0.故选C.6．F2、F3[2012·重庆卷] 设x ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b ，则|a ＋b |＝( ) A. 5 B.10 C ．2 5 D ．106．B [解析] 因为a ⊥b ，所以a ·b ＝0，即x ·1＋1·(－2)＝0，解得x ＝2，所以a ＋b ＝(3，－1)，|a ＋b |＝32＋(－1)2＝10，选B.F3 平面向量的数量积及应用12．F3[2012·上海卷] 在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1.若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|，则AM →·AN →的取值范围是________．12．[1,4] [解析] 令BM →＝nBC →(0≤n ≤1)，则DN →＝(1－n )DC →，在矩形ABCD 中，AM →＝AB →＋nAD →，AN →＝AD →＋(1－n )AB →，所以AM →·AN →＝(AB →＋nAD →)·[AD →＋(1－n )AB →]＝(1－n )AB →2＋nAD →2＝4－3n ，而函数f (n )＝4－3n 在[0,1]上是单调递减的，其值域为[1,4]，所以AM →·AN →的取值范围是[1,4]． 1．F3[2012·辽宁卷] 已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )，若a ·b ＝1，则x ＝( )A ．－1B ．－12C.12 D ．11．D [解析] 本小题主要考查向量数量积的坐标运算．解题的突破口为正确运用数量积的坐标运算公式．因为a ·b ＝(1，－1)·(2，x )＝1×2－1·x ＝1⇒x ＝1，所以答案选D. 15．F3[2012·课标全国卷] 已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________.15．[答案] 3 2[解析] 因为|2a －b |＝10，平方得4a 2－4a ·b ＋b 2＝10，得4－4×|b |×22＋|b |2＝10，解得|b |＝3 2.12．F3[2012·江西卷] 设单位向量m ＝(x ，y )，b ＝(2，－1)．若m ⊥b ，则|x ＋2y |＝________.12.5 [解析] 设c ＝(1,2) ，则c ⊥b ，∴c ∥m .∵| m |＝1，∴|m·c |＝|c |＝ 5.21．H5、H8、F3[2012·重庆卷] 如图，设椭圆的中点为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1，F 2，线段OF 1，OF 2的中点分别为B 1，B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形．(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B 1作直线交椭圆于P ，Q 两点，使PB 2⊥QB 2，求△PB 2Q 的面积．21．解：(1)设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，右焦点为F 2(c,0)．因△AB 1B 2是直角三角形且|AB 1|＝|AB 2|，故∠B 1AB 2为直角，从而|OA |＝|OB 2|，即b ＝c2.结合c 2＝a 2－b 2得4b 2＝a 2－b 2，故a 2＝5b 2，c 2＝4b 2，所以离心率e ＝c a ＝255.在Rt △AB 1B 2中，OA ⊥B 1B 2，故S △AB 1B 2＝12·|B 1B 2|·|OA |＝|OB 2|·|OA |＝c2·b ＝b 2，由题设条件S △AB 1B 2＝4得b 2＝4，从而a 2＝5b 2＝20.因此所求椭圆的标准方程为：x 220＋y 24＝1.(2)由(1)知B 1(－2,0)、B 2(2,0)．由题意，直线PQ 的倾斜角不为0，故可设直线PQ 的方程为：x ＝my －2.代入椭圆方程得(m 2＋5)y 2－4my －16＝0.(*)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1，y 2是上面方程的两根，因此y 1＋y 2＝4mm 2＋5，y 1·y 2＝－16m 2＋5.又B 2P →＝(x 1－2，y 1)，B 2Q →＝(x 2－2，y 2)，所以 B 2P →·B 2Q →＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2 ＝(my 1－4)(my 2－4)＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2－4m (y 1＋y 2)＋16 ＝－16(m 2＋1)m 2＋5－16m 2m 2＋5＋16＝－16m 2－64m 2＋5，由PB 2⊥QB 2，知B 2P →·B 2Q →＝0，即16m 2－64＝0，解得m ＝±2.当m ＝2时，方程(*)化为：9y 2－8y －16＝0，故y 1＝4＋4109，y 2＝4－4109，|y 1－y 2|＝8910，△PB 2Q 的面积S ＝12|B 1B 2|·|y 1－y 2|＝16910.当m ＝－2时，同理可得(或由对称性可得)△PB 2Q 的面积S ＝16910.综上所述，△PB 2Q 的面积为16910.9．F3[2012·江苏卷] 如图1－3，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·AF →＝2，则AE →·BF →的值是________．9.2 [解析] 本题考查几何图形中的向量的数量积的求解，解题突破口为合理建立平面直角坐标系，确定点F 的位置．以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则AB →＝(2，0)． 设AF →＝(x,2)，则由条件得2x ＝2，得x ＝1，从而F (1,2)，AE →＝(2，1)，BF →＝(1－2，2)，于是AE →·BF →＝ 2. 15．F3[2012·湖南卷] 如图1－5，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP＝3→→图1－515．18 [解析] 本题考查平面向量的数量积和向量的表示，意在考查考生对数量积的掌握和向量相互转化能力；具体的解题思路和过程：把未知向量用已知向量来表示．AP →·AC →＝AP →·(DB →＋2BC →)＝2AP →·BC →＝2AP →·AD →＝2|AP →|·|AP →|＝18.[易错点] 本题易错一：找不到已知向量，无法把未知向量用已知向量表示；易错二：不会转化AD →＝BC →，把向量放到同一个直角三角形中；易错三：发现不了AD →在向量AP →上的射影等于|AP →|.13．F2、F3[2012·湖北卷] 已知向量a ＝(1,0)，b ＝(1,1)，则 (1)与2a ＋b 同向的单位向量的坐标表示为________； (2)向量b －3a 与向量a 夹角的余弦值为________．13．[答案] (1)⎝⎛⎭⎫31010，1010 (2)－255 [解析] (1)由题意，2a ＋b ＝(3,1)，所以与2a ＋b 同向的单位向量的坐标为⎝⎛⎭⎫310，110，即⎝⎛⎭⎫31010，1010. (2)因为a ＝(1,0)，b ＝(1,1)，所以b －3a ＝(－2,1)．设向量b －3a 与向量a 的夹角为θ，则cos θ＝(b －3a )·a |b －3a ||a |＝(－2，1)·(1，0)5×1＝－255.10．F3[2012·广东卷] 对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝α∘ββ∘β.若两个非零的平面向量a ，b 满足a 与b 的夹角θ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，且a ∘b 和b ∘a 都在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎪⎪n 2n ∈Z 中，则a ∘b ＝( )A.52B.32 C ．1 D.1210．D [解析] 根据新定义得：a ∘b ＝a ·b b ·b ＝|a ||b |cos θ|b ||b |＝|a |cos θ|b |＝n 2(n ∈Z )，(1)b ∘a ＝b ·a a ·a ＝|a ||b |cos θ|a ||a |＝|b |cos θ|a |＝m 2(m ∈Z )，(2)以上两式相乘得：cos 2θ＝n ·m4(n ，m ∈Z )．∵θ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，∴cos 2θ∈⎝⎛⎭⎫0，12，即 n ·m 4<12，所以0<mn <2，又因为n ，m ∈Z ，所以m ＝n ＝1，所以a ∘b ＝12.所以选择D. 11．F3[2012·安徽卷] 设向量a ＝(1,2m )，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m )，若(a ＋c )⊥b ，则|a |＝________.11.2 [解析] 因为a ＋c ＝(3,3m )，又b ＝(m ＋1,1)，(a ＋c )⊥b, 所以(a ＋c )·b ＝0，即(3,3m )·(m ＋1,1)＝6m ＋3＝0，解得m ＝－12，则a ＝(1，－1)．故|a |＝ 2.13．F3[2012·北京卷] 已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB→的值为________，DE →·DC →的最大值为________．13．1 1 [解析] 本题考查平面向量的数量积，平面向量的投影等基础知识．法一：投影法：设向量DE →，DA →的夹角为θ，则DE ·CB ＝DE →·DA →＝|DE →|·|DA →|cos θ，由图可知，|DE →|cos θ＝|DA →|，所以原式等于|DA →|2＝1，要使DE →·DC →最大只要使向量DE →在向量DC →上的投影达到最大即可，因为DE →在向量DC →上的投影达到最大为|DC →|＝1，所以(DE →·DC →)max ＝|DC →|2＝1；法二：因为DE →＝DA →＋AE →且DA →⊥AE →，所以DE →·CB →＝(DA →＋AE →)·DA →＝|DA →|2＝1，DE →·DC →＝(DA →＋AE →)·AB →＝AB →·AE →＝|AB →||AE →|＝|AE →|，所以要使DE →·DC →最大，只要|AE →|最大即可，明显随着E 点在AB 边上移动|AE →|max ＝1，故(DE →·DC →)max ＝1.法三：以D 为坐标原点，DC →与DA →所在直线分别为x ，y 轴 建立平面直角坐标系，如图所示，可知E (x,1)，0≤x ≤1，所以DE →＝(x,1)，CB →＝(0,1)，可得DE →·CB →＝x ×0＋1×1＝1.因为DC →＝(1,0)，所以DE →·DC →＝x ，因为1≥x ≥0，所以(DE →·DC →)max ＝1.3．A2、F3[2012·福建卷] 已知向量(2,1)，则a ⊥b 的充要条件是( )A ．x ＝－12B ．x ＝－1C ．x ＝5D ．x ＝03．D [解析] 因为a ⊥b ，所以a ·b ＝0，即(x －1)×2＋2×1＝0，解得x ＝0.8．F3[2012·天津卷] 在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝1，AC ＝2，设点P ，Q 满足AP →＝λAB →，AQ →＝(1－λ)AC →，λ∈R .若BQ →·CP →＝－2，则λ＝( )A.13B.23C.43D ．2 8．B [解析] BQ →·CP →＝(AQ →－AB →)·(AP →－AC →)＝[(1－λ)AC →－AB →]·(λAB →－AC →)＝－(1－λ)AC →2－λAB →2＝3λ－4＝－2，解得λ＝23.7．F3[2012·浙江卷] 设a ，b 是两个非零向量( ) A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥b B ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得b ＝λaD ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a |－|b |7．C [解析] 本题考查对平面向量数量积理解及应用．法一：对于选项A ，若|a ＋b |＝|a |－|b |可得a ·b ＝－|a ||b |，则a 与b 为方向相反的向量，A 不正确；对于选项B ，由a ⊥b ，得a ·b ＝0，由|a ＋b |＝|a |－|b |得a ·b ＝－|a ||b |，故B 不正确；对于选项C ，若|a ＋b |＝|a |－|b |可得a ·b ＝－|a ||b |，则a 与b 为方向相反的共线向量，∴b ＝λa ；对于选项D ，若b ＝λa ，当λ>0时，|a ＋b |＝|a |＋|b |，当λ<0时，可有|a ＋b |＝|a |－|b |，故D 不正确．法二：特值验证排除，先取a ＝(2,0)，b ＝(－1,0)，满足|a ＋b |＝|a |－|b |，但两向量不垂直，故A 错；再取a ＝(2,0)，b ＝(1,0)，满足a ＝λb ，但不满足|a ＋b |＝|a |－|b |，故D 错；取a ＝(2,0)，b ＝(0，－1)，满足a ⊥b ，但不满足|a ＋b |＝|a |－|b |，故B 错，所以答案为C.[点评] 由|a ＋b |＝|a |－|b |判断a ，b 方向相反，且有|a |≥|b |是一个重要的结论，由此可以对各选项加以正确分析与应用．15．C8、F3[2012·浙江卷] 在△ABC 中，M 是线段BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________.15．－16 [解析] 本题主要考查平面几何的性质、平面向量的线性运算与数量积．法一：AB →·AC →＝(AM →＋MB →)·(AM →＋MC →) ＝|AM →|2－|MB →|2＝9－5×5＝－16.法二：特例法：假设△ABC 是以AB 、AC 为腰的等腰三角形，如图，AM ＝3，BC ＝10，AB ＝AC ＝34，cos ∠BAC ＝34＋34－1002×34＝－817，AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos∠BAC ＝－16.6．F2、F3[2012·重庆卷] 设x ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b ，则|a ＋b |＝( ) A. 5 B.10 C ．2 5 D ．106．B [解析] 因为a ⊥b ，所以a ·b ＝0，即x ·1＋1·(－2)＝0，解得x ＝2，所以a ＋b ＝(3，－1)，|a ＋b |＝32＋(－1)2＝10，选B.F4 单元综合7．F4[2012·四川卷] 设a 、b 都是非零向量．下列四个条件中，使a |a |＝b|b |成立的充分条件是( )A ．|a |＝|b |且a ∥bB ．a ＝－bC ．a ∥bD ．a ＝2b7．D [解析] 要使得a |a |＝b|b |，在a ，b 为非零向量的前提下，必须且只需a 、b 同向即可，结合四个选项，只有D 满足这一条件． 16．C9、F4[2012·山东卷] 如图1－5，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP →的坐标为________．16．(2－sin2,1－cos2) [解析] 本题考查向量坐标运算与三角函数，考查数据处理能力与创新意识，难题．根据题意可知圆滚动了2个单位弧长，点P 旋转了2弧度．结合图象，设滚动后圆与x轴的交点为Q ，圆心为C 2，作C 2M ⊥y 轴于M, ∠PC 2Q ＝2，∠PC 2M ＝2－π2，∴点P 的横坐标为2－1×cos ⎝⎛⎭⎫2－π2＝2－sin2， 点P 的纵坐标为1＋1×sin ⎝⎛⎭⎫2－π2＝1－cos2.2012模拟题1．[2012·湛江测试] 已知向量a ＝(1,3)，b ＝(2，x )，且a ∥b ，则x ＝( )A ．－23 B.23C ．6D ．－61. C [解析] 由a ∥b 则x －3×2＝0，即x ＝6，选C.2．[2012·宁夏一中模拟] 若a ，b ，c 均为单位向量，且a·b ＝－12，c ＝x a ＋y b (x ，y ∈R )，则x ＋y 的最大值是( )A ．2 B. 3 C. 2 D ．12．A [解析] 因为a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝－12，c ＝x a ＋y b (x ，y ∈R )，由|c |＝1得x 2＋y 2＝xy ＋1，所以xy ≤1，而(x ＋y )2＝x 2＋y 2＋2xy ＝3xy ＋1≤4，x ＋y ≤2，选A.3．[2012·三明普通高中联考] 关于x 的方程a x 2＋b x ＋c ＝0(其中a 、b 、c 都是非零平面向量)，且a 、b 不共线，则该方程的解的情况是( )A ．至多有一个解B ．至少有一个解C ．至多有两个解D ．可能有无数个解3．C [解析] 由已知，x 是实数．关于x 的方程a x 2＋b x ＋c ＝0(其中a 、b 、c 都是非零向量)可化为c ＝－x 2a －x b ，a ，b 不共线且为非零平面向量，由平面向量的基本定理，存在唯一实数对(m ，n )使c ＝m a ＋n b .于是⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＝m －x ＝n ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－m ，x ＝－n ，至多有两个解．4．[2012·青岛期末] 设i 、j 是平面直角坐标系(坐标原点为O )内分别与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量，且OA →＝－2i ＋j ，OB →＝4i ＋3j ，则△OAB 的面积等于________．4．5 [解析] 设OA →，OB →的夹角为α，则cos α＝－2×4＋1×35×5＝－55，∴sin α＝255，S △OAB ＝12×5×5×255＝5.5．[2012·台州质量评估] 如图G5－1，扇形AOB 的弧的中点为M ，动点C ，D 分别在OA ，OB 上，且OC ＝BD .若OA ＝1，∠→·MD →的取值范围是________．5. ⎣⎡⎦⎤38，12 [解析] 设OC ＝BD ＝x ，MC →·MD →＝(OC →－OM →)·(OD →－OM →)＝OC →·OD →＋OM →2－OM →·(OC →＋OD →)．∵∠COM ＝∠DOM ＝60°，∴MC →·MD →＝x (1－x )cos120°＋1－x cos60°－(1－x )cos60°＝x 2－x ＋12，x ∈[0,1]．。

5．平面向量（含解析）一、选择题【2015，2】2．已知点A (0,1)，B (3,2)，向量(4,3)AC =--u u u r ，则向量BC =u u u r ( )A ．(-7,-4)B ．(7,4)C ．(-1,4)D ．(1,4)【2014，6】设D ,E ,F 分别为ΔABC 的三边BC ,CA ,AB 的中点，则=+( )A ．B ．21 C ．21 D ． 二、填空题 【2017，13】已知向量()1,2a =-r ，(),1b m =r ，若向量a b +r r 与a r 垂直，则m = ．【2016，13】设向量()1x x +,a =，()12,b =，且⊥a b ，则x = ．【2013，13】已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝ta ＋(1－t )b ．若b ·c ＝0，则t ＝______．【2012，15】15．已知向量a r ，b r 夹角为45°，且||1a =r ，|2|a b -=r r ，则||b =r _________．【2011，13】 已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量+a b 与向量k -a b 垂直，则k = ． 2011—2017年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编4．平面向量一、选择题（2017·4）设非零向量，a b ，满足+=-a b a b 则（ ）A ．a ⊥b B. =a b C. a ∥b D. >a b（2015·4）向量a = (1，-1)，b = (-1，2)，则(2a +b )·a =（ ）A. -1B. 0C. 1D. 2（2014·4）设向量b a ρρ,满足10||=+b a ρρ，6||=-b a ρρ，则=⋅b a ρρ（ ）A ．1B ．2C ．3D ．5二、填空题（2016·13）已知向量a =(m ,4)，b =(3,-2)，且a ∥b ，则m =___________.（2013·14）已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD ⋅=uu u r uu u r _______.（2012·15）已知向量a ，b 夹角为45º，且|a |=1，|2-a b |b |= .（2011·13）已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a +b 与向量k a -b 垂直，则k = .5．平面向量（解析版）一、选择题【2015，2】解：(3,1),u u u r u u u r u u u r u u u r Q AB BC AC AB =∴=-=(-7,-4)，故选A【2014，6】解：+EB FC EC CB FB BC +=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =111()222AC AB AB AC AD +=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,故选A 二、填空题【2017，13】已知向量()1,2a =-r ，(),1b m =r ，若向量a b +r r 与a r 垂直，则m = ．【解析】由题得(1,3)a b m +=-r r ，因为()0a b a +⋅=r r r ，所以(1)230m --+⨯=，解得7m =；【2016，13】设向量()1x x +,a =，()12,b =，且⊥a b ，则x = ． 解析：23-．由题意()210x x ⋅=++=a b ，解得23x =-．故填23-． 【2013，13】已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝ta ＋(1－t )b ．若b ·c ＝0，则t ＝______． 解析：2． ∵b ·c ＝0，|a |＝|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，∴a ·b ＝111122⨯⨯=． ∴b ·c ＝[ta ＋(1－t )b ]·b ＝0，即ta ·b ＋(1－t )b 2＝0．∴12t ＋1－t ＝0． ∴t ＝2．【2012，15】15．已知向量a r ，b r 夹角为45°，且||1a =r ，|2|a b -=r r ，则||b =r _________． 【解析】23． 由已知||2245cos ||||=︒⋅⋅=⋅．因为|2|a b -=r r 10||4||422=+⋅-，即06||22||2=--， 解得23||=． 【2011，13】 已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量+a b 与向量k -a b 垂直，则k = ． 【解析】因为a 与b 为两个不共线的单位向量，所以1==a b ．又k -a b 与+a b 垂直，所以()()0k +⋅-=a b a b ，即220k k +⋅-⋅-=a a b a b b ，所以10k k -+⋅-⋅=a b a b ，即1cos cos 0k k θθ-+-=．（θ为a 与b 的夹角）所以()()11cos 0k θ-+=，又a 与b 不共线，所以cos 1θ≠-，所以1k =．故答案为1．2011—2017年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编4．平面向量（解析版）一、选择题此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除 （2017·4）A 解析：由||||+=-a b a b r r r r 平方得2222()2()()2()++=-+a ab b a ab b r r r r r r r r ，即0=ab r r ，则⊥a b r r ，故选A.（2015·4）C 解析：由题意可得a 2=2，a ·b =-3，所以(2a +b )·a =2a 2+a ·b =4-3=1.（2014·4）A 解析：2222||210.||2 6.a b a b ab a b a b ab +=++=-=∴+-=r r r r r r r r r r r r Q Q Q 两式相减，则 1.ab =r r二、填空题（2016·13）-6解析：因为a ∥b ，所以2430m --⨯=，解得6m =-．（2013·14）2解析：在正方形中，12AE AD DC =+uu u r uuu r uuu r ，BD BA AD AD DC =+=-uu u r uu r uuu r uuu r uuu r ，所以2222111()()222222AE BD AD DC AD DC AD DC ⋅=+⋅-=-=-⨯=uu u r uu u r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r .（2012·15）∵|2-a b |=224410-⋅=a a b +b ，即260--=|b |b |，解得|b |=（舍）（2011·13）k = 1解析： (a +b )·(k a -b )=0展开易得k =1.。