数学中考冲刺：阅读理解型问题--巩固练习(基础)

中考数学专题复习强化练习《阅读理解问题》专题三阅读理解问题类型一定义新的运算对于实数a，b，定义运算“◆”：a◆b＝例如4◆3，因为4>3，所以4◆3＝42＋32＝5.若x，y满足方程组则x◆y＝________.【分析】根据二元一次方程组的解法以及新定义运算法则即可求出答案．【自主解答】定义新运算问题的实质是一种规定，规定某种运算方式，然后要求按照规定去计算、求值，解决此类问题的方法技巧是：(1)明白这是一种特殊运算符号，常用※，●，▲，★，&，◎，◆，♂等来表示一种运算；(2)正确理解新定义运算的含义，严格按照计算顺序把它转化为一般的四则运算，然后进行计算；(3)新定义的算式中，有括号的要先算括号里面的．1．对于两个非零实数x，y，定义一种新的运算：x*y＝ax＋by.若1*(－1)＝2，则(－2)*2的值是________．2．我们规定：若m＝(a，b)，n＝(c，d)，则m·n＝ac＋bd.如m＝(1，2)，n＝(3，5)，则m·n＝1×3＋2×5＝13.(1)已知m＝(2，4)，n＝(2，－3)，求m·n；(2)已知m＝(x－a，1)，n＝(x－a，x＋1)，求y＝m·n，问y＝m·n的函数图象与一次函数y＝x－1的图象是否相交，请说明理由．类型二方法模拟型对于三个数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的中位数，用max{a，b，c}表示这三个数中最大数，例如：M{－2，－1，0}＝－1，max{－2，－1，0}＝0，max{－2，－1，a}＝解决问题：(1)填空：M{sin 45°，cos 60°，tan 60°}＝________，如果max{3，5－3x，2x－6}＝3，则x的取值范围为________；(2)如果2·M{2，x＋2，x＋4}＝max{2，x＋2，x＋4}，求x的值；(3)如果M{9，x2，3x－2}＝max{9，x2，3x－2}，求x的值．【分析】 (1)根据定义写出sin 45°，cos 60°，tan 60°的值，确定其中位数；根据max{a，b，c}表示这三个数中最大数，对于max{3，5－3x，2x－6}＝3，可得不等式组，即可得结论；(2)根据已知条件分情况讨论，分别解出即可；(3)不妨设y1＝9，y2＝x2，y3＝3x－2，画出图象，两个函数相交时对应的x的值符合条件，结合图象可得结论．【自主解答】该类题目是指通过阅读所给材料，将得到的信息通过观察、分析、归纳、类比，作出合理的推断，大胆的猜测，从中获取新的思想、方法或解题途径，进而运用归纳与类比的方法来解答题目中所提出的问题．3．根据下列材料，解答问题．等比数列求和：一定值，即a k a k －1＝q(常数)，那么这一列数a 1，a 2，a 3…，a n ，…成等比数列，这一常数q 叫做该数列的公比． 例：求等比数列1，3，32，33，…，3100的和．解：令S ＝1＋3＋32＋33＋ (3100)则3S ＝3＋32＋33＋…＋3100＋3101，因此，3S －S ＝3101－1，所以S ＝3101－12， 即1＋3＋32＋33＋…＋3100＝3101－12. 仿照例题，等比数列1，5，52，53，…，52 018的和为________．4．我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式(整数可看作分母为1的分数)，那么无限循环小数如何表示为分数形式呢？请看以下示例：例：将0.7·化为分数形式，由于0.7·＝0.777…，设x ＝0.777…，①则10x ＝7.777…，②②－①得9x ＝7，解得x ＝79，于是得0.7·＝79. 同理可得0.3·＝39＝13，1.4·＝1＋0.4·＝1＋49＝139. 根据以上阅读，回答下列问题：(以下计算结果均用最简分数表示)【基础训练】(1)0.5·＝________，5.8·＝________；(2)将0.2·3·化为分数形式，写出推导过程；【能力提升】(3)0.3·15·＝________，2.01·8·＝________；(注：0.3·15·＝0.315 315…，2.01·8·＝2.018 18…)【探索发现】(4)①试比较0.9·与1的大小：0.9·________1；(填“＞”“＜”或“＝”)②若已知0.2·85 714·＝27，则3.7·14 285·＝________． (注：0.2·85 714·＝0.285 714 285 714…)类型三 学习新知型阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔(J.Napier ，1550－1617年)，纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉(Eu l er ，1707－1783年)才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若a x ＝N(a ＞0，a≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作：x ＝log a N.比如指数式24＝16可以转化为4＝log 216，对数式2＝log 525可以转化为52＝25.我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：log a (M·N )＝log a M ＋log a N(a ＞0，a≠1，M ＞0，N ＞0)；理由如下：设log a M ＝m ，log a N ＝n ，则M ＝a m ，N ＝a n ，∴M·N＝a m ·a n ＝a m ＋n ，由对数的定义得m ＋n ＝log a (M·N)．又∵m＋n ＝log a M ＋log a N ，∴log a (M·N)＝log a M ＋log a N.解决以下问题：(1)将指数43＝64转化为对数式________；(2)证明：log a M N＝log a M －log a N(a ＞0，a≠1，M ＞0，N ＞0)； (3)拓展运用：计算log 32＋log 36－log 34＝________．【分析】 (1)根据题意可以把指数式43＝64写成对数式；(2)根据对数的定义可表示为指数式，计算M N的结果，同理由所给材料的证明过程可得结论； (3)根据公式：log a (M·N)＝log a M ＋log a N 和log a M N＝log a M －log a N 的逆用，可得结论． 【自主解答】这类题目就是由阅读材料给出一个新的定义、运算等，涉及的知识可能是以后要学到的数学知识，也有可能是其他学科的相关内容，然后利用所提供的新知识解决所给问题．解答这类问题的关键是要读懂题目提供的新知识，理解其本质，把它与已学的知识联系起来，把新的问题转化为已学的知识进行解决．5．知识背景当a ＞0且x ＞0时，因为(x －a x)2≥0，所以x －2a ＋a x ≥0，从而x ＋a x ≥2a(当x ＝a 时取等号)． 设函数y ＝x ＋a x(a ＞0，x ＞0)，由上述结论可知，当x ＝a 时，该函数有最小值为2 a. 应用举例已知函数y 1＝x(x ＞0)与函数y 2＝4x (x ＞0)，则当x ＝4＝2时，y 1＋y 2＝x ＋4x有最小值为24＝4. 解决问题(1)已知函数y 1＝x ＋3(x ＞－3)与函数y 2＝(x ＋3)2＋9(x ＞－3)，当x 取何值时，y 2y 1有最小值？最小值是多少？(2)已知某设备租赁使用成本包含以下三部分：一是设备的安装调试费用，共490元；二是设备的租赁使用费用，每天200元；三是设备的折旧费用，它与使用天数的平方成正比，比例系数为0.001.若设该设备的租赁使用天数为x 天，则当x 取何值时，该设备平均每天的租赁使用成本最低？最低是多少元？6．阅读理解：在平面直角坐标系中，若P ，Q 两点的坐标分别是P(x 1，y 2)，Q(x 2，y 2)，则P ，Q 这两点间的距离为|PQ|＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2.如P(1，2)，Q(3，4)，则|PQ|＝（1－3）2＋（2－4）2＝2 2.对于某种几何图形给出如下定义：符合一定条件的动点形成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹．如平面内到线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线．解决问题：如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝kx ＋12交y 轴于点A ，点A 关于x 轴的对称点为点B ，过点B 作直线l 平行于x 轴．(1)到点A 的距离等于线段AB 长度的点的轨迹是________；(2)若动点C(x ，y)满足到直线l 的距离等于线段CA 的长度，求动点C 轨迹的函数解析式；问题拓展：(3)若(2)中的动点C 的轨迹与直线y ＝kx ＋12交于E ，F 两点，分别过E ，F 作直线l 的垂线，垂足分别是点M ，N.求证：①EF 是△AMN 外接圆的切线；②1AE ＋1AF 为定值．参考答案类型一【例1】 解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝12.∵5＜12，∴x◆y＝5×12＝60.故答案为60.变式训练1．－12．解：(1)m ·n ＝2×2＋4×(－3)＝－8.(2)m ·n ＝(x －a)2＋(x ＋1)＝x 2－(2a －1)x ＋a 2＋1，∴y＝x 2－(2a －1)x ＋a 2＋1.联立方程得x 2－(2a －1)x ＋a 2＋1＝x －1，化简得x 2－2ax ＋a 2＋2＝0.∵Δ＝b 2－4ac ＝－8＜0，∴方程无实数根，两函数图象无交点．类型二【例2】 (1)∵sin 45°＝22，cos 60°＝12，tan 60°＝3，∴M{sin 45°，cos 60°，tan 60°}＝22.∵max{3，5－3x ，2x －6}＝3，则⎩⎪⎨⎪⎧3≥5－3x ，3≥2x－6，∴x 的取值范围为23≤x≤92. 故答案为22，23≤x≤92. (2)2·M{2，x ＋2，x ＋4}＝max {2，x ＋2，x ＋4}，分三种情况：①当x ＋4≤2时，即x≤－2，原等式变为2(x ＋4)＝2，解得x ＝－3.②x＋2≤2≤x＋4时，即－2≤x≤0，原等式变为2×2＝x ＋4，解得x ＝0.③当x ＋2≥2时，即x≥0，原等式变为2(x ＋2)＝x ＋4，解得x ＝0.综上所述，x 的值为－3或0.(3)不妨设y 1＝9，y 2＝x 2，y 3＝3x －2，画出图象，如图所示．结合图象，不难得出，在图象中的交点A ，B 两点处，满足条件且M{9，x 2，3x －2}＝max{9，x 2，3x －2}＝y A ＝y B ，此时x 2＝9，解得x ＝3或－3.变式训练3.52 019－144．解：(1)59 539(2)0.2·3·＝0.232 323…，设x ＝0.232 323…，①则100x ＝23.232 3…，②②－①得99x ＝23，解得x ＝2399，∴0.2·3·＝23.(3)35111 11155(4)①＝ ②267 类型三【例3】 (1)由题意可得，指数式43＝64写成对数式为3＝log 464.故答案为3＝log 464.(2)设log a M ＝m ，log a N ＝n ，则M ＝a m ，N ＝a n，∴M N ＝ama n ＝a m －n ，由对数的定义得m －n ＝log a M N .又∵m－n ＝log a M －log a N ，∴log a M N ＝log a M －log a N(a ＞0，a≠1，M ＞0，N ＞0)．(3)log 32＋log 36－log 34＝log 3(2×6÷4)＝log 33＝1. 故答案为1.变式训练5．解：(1)∵x＞－3，∴x＋3＞0，∴y 2y 1＝（x ＋3）2＋9x ＋3＝(x ＋3)＋9x ＋3≥2（x ＋3）×9x ＋3，即y 2y 1≥6，∴y 2y 1的最小值为6，此时x ＋3＝9＝3，解得x ＝0.(2)设该设备的租赁使用成本为w. 根据题意得w ＝490＋200x ＋0.001x2x ，∴w＝0.001(490 000x ＋x)＋200.∵x＞0，∴w≥0.001×2490 000x ·x＋200， 即w≥201.4，∴w 的最小值为201.4，此时x ＝490 000＝700.答：当x 取700时，该设备平均每天的租赁使用成本最低，最低是201.4元．6．解：(1)以A 为圆心，AB 长为半径的圆(2)设点C 到直线l 的距离为d.∵直线y ＝kx ＋12交y 轴于点A ，11∴|CA|＝（x －0）2＋（y －12）2.∵点B 关于x 轴与点A 对称，∴B(0，－12)，∴x 2＋(y －12)2＝(y ＋12)2，∴动点C 轨迹的函数解析式为y ＝12x 2.(3)①证明如下：如图，由(2)可知EA ＝EM ，FA ＝FN.又∵EM⊥直线l ，FN⊥直线l ，∴EM∥FN，∴∠MEA＋∠NFA＝180°，∴∠EAM＝12(180°－∠MEA)，∠FAN＝12(180°－∠NFA)，则∠E AM ＋∠FAN＝12(180°－∠MEA)＋12(180°－∠NFA)＝180°－12(∠MEA＋∠NFA)＝90°，∴∠MAN＝90°，即△AMN 是直角三角形． 设点G 是△AMN 外接圆的圆心，则点G 是直径MN 的中点，连接AG ，EG.由EM ＝EA ，AG ＝MG ，EG ＝EG ，可证明△AEG≌△MEG，∴∠EAG＝∠EMG＝90°，∴GA⊥EF，∴EF 是△AMN 的外接圆的切线．②证明如下：设点E ，F 的坐标分别为(x 1，kx 1＋12)，(x 2，kx 2＋12)，则EM ＝kx 1＋1，FN ＝kx 2＋1. 联立抛物线与直线EF 的解析式⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 2，y ＝kx ＋12，则有12x 2－kx －12＝0，∴1AE＋1AF＝1EM＋1FN＝EM＋FNEM·FN＝kx1＋1＋kx2＋1（kx1＋1）（kx2＋1）＝k（x1＋x2）＋2（kx1＋1）（kx2＋1）＝k（x1＋x2）＋2k2x1x2＋k（x1＋x2）＋1＝2k2＋2k2＋1＝2，∴1AE＋1AF的值为定值．11。

综上，数轴上A、B两点之间的距离
AB a b
．
请用上面的知识回答下列问题：
（1）数轴上表示1和5的两点之间的距离是 ________ ，数轴上表示－ 2 和－ 4 的两点之 4 间的距离是________ ，数轴上表示1和－3 2 的两点之间的距离是________ ； 4 （2）数轴上表示x和－1的两点A和B之间的 x 1 距离是___________ ，如果 AB 2 ，那么x －3或 1 为___________ ； （3）当代数式 x 1 x 2 取最小值时，相 应的x的取值范围是____________． －1≤x≤2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9 ． - - - - 1 - 2 1 3 3 5 5 7 17 19 2 19 19
实质：一种求和的方法——裂项相消法．
请用上面的方法解答下列问题：
（1）在和式
1 1 1 1 13 16 第 ， 15 4 项为 4 7____________ 7 10 1 1 1 3 13 16 可化为_____________ ．
开太远,俺们共同防御.只能要挡住莫邪红の攻击,那俺们就有机会！”端木至尊将众高阶至尊,都聚集起来.每个人,都施展自身の大道,连身上各种防御宝物都激发.壹事间,虚空内层层光晕环绕.高阶至尊本体,都在呐些光晕覆盖之下.端木至尊等人の打算是,被动防御,等着莫邪红攻击他们. 噬天族生物,优点极其突出,但也有壹弱点.呐个弱点就是,他们由于本体太过巨大,消耗能量极多.就是壹动不动,每事每刻都需要消耗极多の能量.若是连续出手攻击,那消耗能量就更快.端木至尊等人,就是想要利用莫邪红の呐个弱点,来耗死对方.只要他们都能活着,不被莫邪红吞噬借此恢 复历量,那么莫邪红消耗

中考冲刺：阅读理解型问题—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1. （2016•绍兴）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（ ）A ．84B ．336C ．510D ．13262．任何一个正整数n 都可以进行这样的分解：n ＝s ×t(s 、t 是正整数，且s ≤t)，如果p ×q 在n 的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p ×q 是n 的最佳分解，并规定：()pF n q=．例如18可以分解成1×18，2×9，3×6这三种，这时就有31(18)62F ==． 给出下列关于F(n)的说法：(1)1(2)2F =；(2)3(24)8F =；(3)F(27)＝3；(4)若n 是一个完全平方数，则F(n)＝1．其中正确说法的个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题3．阅读下列题目的解题过程：已知a 、b 、c 为△ABC 的三边长，且满足222244a cbc a b -=-，试判断△ABC 的形状． 解：∵222244a cbc a b -=-， (A)∴2222222()()()c a b a b a b -=+-， (B) ∴222c a b =+， (C) ∴△ABC 是直角三角形．问：(1)上述解题过程中，从哪一步开始出现错误？ 请写出该错误步骤的代号：________________． (2)错误的原因为：________________________． (3)本题的正确结论为：____________________．4．（2016•高县一模）如图1，E 为矩形ABCD 边AD 上一点，点P 从点B 沿折线BE ﹣ED ﹣DC 运动到点C 时停止，点Q 从点B 沿BC 运动到点C 时停止，它们运动的速度都是1cm/s ．若点P ，Q 同时开始运动，设运动时间为t （s ），△BPQ 的面积为y （cm 2）．已知y 与t 的函数关系图象如图2，有下列四个结论：①AE=6cm ；②sin ∠EBC=；③当0＜t ≤10时，y=t 2； ④当t=12s 时，△PBQ 是等腰三角形．其中正确结论的序号是 ．三、解答题5． 已知p 2-p -1=0,1-q -q 2=0,且pq ≠1，求1pq q+的值.解：由p 2-p -1=0及1-q -q 2=0,可知p ≠0,q ≠0 又∵pq ≠1,∴1p q ≠ ∴1-q-q 2=0可变形为21110q q ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的特征所以p 与1q 是方程x 2- x -1=0的两个不相等的实数根则111,1pq p qq++=∴=根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答.已知：2m 2-5m -1=0,21520n n +-=,且m ≠n ，求：11m n+的值.6.（市北区二模）【阅读材料】完成一件事有两类不同的方案，在第一类方案中有m 种不同的方法，在第二类方案中有n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m+n 种不同的方法，这是分类加法计数原理；完成一件事需要两个步骤，做第一步有m 种不同的方法，做第二步有n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m ×n 种不同的方法，这就是分步乘法计数原理． 【问题探究】完成沿图1的街道从A 点出发向B 点行进这件事（规定必须向北走，或向东走），会有多少种不同的走法？（1）根据材料中的原理，从A点到M点的走法共有（1+1）=2种．从A点到C点的走法：①从A点先到N点再到C点有1种；②从A点先到M点再到C点有2种，所以共有（1+2）=3种走法．依次下去，请求出从A点出发到达其余交叉点的走法数，将数字填入图2的空圆中，并回答从A点出发到B点的走法共有多少种？（2）运用适当的原理和方法，算出如果直接从C点出发到达B点，共有多少种走法？请仿照图2画图说明．【问题深入】（3）在以上探究的问题中，现由于交叉点C道路施工，禁止通行，求从A点出发能顺了到达BB点的走法数？说明你的理由．7．阅读：我们知道，在数轴上，x＝1表示一个点，而在平面直角坐标系中，x＝1表示一条直线；我们还知道，以二元一次方程2x－y＋1＝0的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数y＝2x＋1的图象，它也是一条直线，如图①.观察图①可以得出：直线x＝1与直线y＝2x＋1的交点P的坐标（1，3）就是方程组1210 xx y=⎧⎨-+=⎩的解，所以这个方程组的解为13 xy=⎧⎨=⎩在直角坐标系中，x≤1表示一个平面区域，即直线x＝1以及它左侧的部分，如图②；y≤2x＋1也表示一个平面区域，即直线y＝2x＋1以及它下方的部分，如图③．P(1,3)O xy 3lx=1 y=2x+1Oxylx=1Oxyly=2x+1① ② ③ 回答下列问题：（1）在直角坐标系中，用作图象的方法求出方程组222x y x =-⎧⎨=-+⎩的解；（2）用阴影表示2y 2x 2y 0x ⎧⎪⎨⎪⎩≥－≤－＋≥，所围成的区域．8. 我们学习过二次函数图象的平移，如：将二次函数23y x =的图象向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，所得图象的函数表达式是23(2)4y x =+-． 类比二次函数图象的平移，我们对反比例函数的图象作类似的变换： (1)将1y x=的图象向右平移1个单位长度，所得图象的函数表达式为________，再向上平移1个单位长度，所得图象的函数表达式为________． (2)函数1x y x +=的图象可由1y x =的图象向________平移________个单位长度得到；12x y x -=-的图象可由哪个反比例函数的图象经过怎样的变换得到？ (3)一般地，函数x by x a+=+(ab ≠0，且a ≠b)的图象可由哪个反比例函数的图象经过怎样的变换得到?9. “三等分角”是数学史上一个著名的问题，但仅用尺规不可能“三等分角”．下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法（如图）：将给定的锐角∠AOB 置于直角坐标系中，边OB 在x 轴上、边OA 与函数xy 1=的图象交于点P ，以P 为圆心、以2OP 为半径作弧交图象于点R ．分别过点P 和R 作x 轴和y 轴的平行线，两直线相交于点M ，连接OM 得到∠MOB ，则∠MOB=31∠AOB ．要明白帕普斯的方法，请研究以下问题：（1）设)1,(a a P 、)1,(bb R ，求直线OM 对应的函数表达式（用含b a ,的代数式表示）．（2）分别过点P 和R 作y 轴和x 轴的平行线，两直线相交于点Q ．请说明Q 点在直线OM 上，并据此证明∠MOB=31∠AOB ． （3）应用上述方法得到的结论，你如何三等分一个钝角（用文字简要说明）．10. 阅读下列材料：问题：如图1所示，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A ，B ，E 在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连接PG ，PC ．若∠ABC ＝∠BEF ＝60°，探究PG 与PC 的位置关系PGPC的值．小聪同学的思路是：延长GP 交DC 于点H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题： (1)写出上面问题中线段PG,与PC 的位置关系及PGPC的值； (2)将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变(如图2)．你在(1)中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．(3)若图1中∠ABC ＝∠BEF ＝2α(0°＜α＜90°)，将菱形BEFG 绕点B 顺旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出PGPC的值(用含α的式子表示)．【答案与解析】一、选择题 1.【答案】C ；【解析】1×73+3×72+2×7+6=510. 2.【答案】B ；二、填空题3.【答案】(1)C ；(2)错误的原因是由(B)到(C)时，等式两边同时约去了因式22()a b -，而22a b -可能等于0；(3)△ABC 是等腰三角形或直角三角形.4.【答案】①②③.【解析】（1）分析函数图象可知，BC=10cm ，ED=4cm ，故AE=AD ﹣ED=BC ﹣ED=10﹣4=6cm ，故①正确；（2）如答图1所示，连接EC ，过点E 作EF ⊥BC 于点F ，由函数图象可知，BC=BE=10cm ，S △BEC =40=BC •EF=×10×EF ，∴EF=8，∴sin ∠EBC=，故②正确；（3）如答图2所示，过点P 作PG ⊥BQ 于点G ， ∵BQ=BP=t ，∴y=S △BPQ =BQ •PG=BQ •BP •sin ∠EBC=t •t •=t 2． 故③正确；（4）结论D 错误．理由如下：当t=12s 时，点Q 与点C 重合，点P 运动到ED 的中点，设为N ， 如答图3所示，连接NB ，NC ．此时AN=8，ND=2，由勾股定理求得：NB=8，NC=2，∵BC=10，∴△BCN 不是等腰三角形，即此时△PBQ 不是等腰三角形． 故④错误； 故答案为：①②③．三、解答题5.【答案与解析】解：由2m 2-5m -1=0知m ≠0，∵m ≠n ，∴11m n≠得21520mm+-=根据2215152020m m n n +-=+-=与的特征∴11mn与是方程x 2+5 x -2=0的两个不相等的实数根 ∴115m n+=- .6. 【答案与解析】解：（1）∵完成从A 点到B 点必须向北走，或向东走，∴到达A 点以外的任意交叉点的走法数只能是与其相邻的南边交叉点和西边交叉点的数字之和， 故使用分类加法计数原理，由此算出从A 点到达其余各交叉点的走法数，填表如图1． 答：从A 点到B 点的走法共有35种．（2）如图3，使用分类加法计数原理，算出从C 点到B 点的走法为6种；（3）方法一：可先求从A 点到B 点，并经过交叉点C 的走法数，再用从A 点到B 点总走法数减去它，即得从A 点到B 点，但不经过交叉点C 的走法数．完成从A 点出发经C 点到B 点这件事可分两步，先从A 点到C 点，再从C 点到B 点， 使用分类加法计数原理，算出从A 点到C 点的走法是3种，见图2； 见图3，从C 点到B 点的走法为6种，再运用分步乘法计数原理，得到从A 点经C 点到B 点的走法有3×6=18种． ∴从A 点到B 点但不经过C 点的走法数为35﹣18=17种．方法二：如图4：由于交叉点C道路施工，禁止通行，故视为相邻道路不通，可删除与C点紧相连的线段，运用分类加法计数原理，算出从A点到B点并禁止通过交叉点C的走法有17种．从A点到各交叉点的走法数，∴从A点到B点并禁止经过C点的走法数为35﹣18=17种．7．【答案与解析】（1）如图所示，在坐标系中分别作出直线x＝－2和直线y＝－2x＋2，这两条直线的交点是P（－2，6）.则26xy=-⎧⎨=⎩是方程组222xy x=-⎧⎨=-+⎩的解.（2）如阴影所示.8．【答案与解析】(1)11yx=-；1xyx=-(2)上，1；12x y x -=-可转化为y ＝112x +-，它的图象可由反比例函数1y x=的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到．(3)函数x b y x a +=+(ab ≠0，且a ≠b)可转化为1b a y x a -=++．当a ＞0时，x b y x a+=+的图象可由反比例函数b ay x-=的图象向左平移a 个单位长度，再向上平移1个单位长度得到；当a ＜0时，x b y x a +=+的图象可由反比例函数b ay x-=的图象向右平移-a 个单位长度，再向上平移1个单位长度得到．9．【答案与解析】（1）设直线OM 的函数关系式为)1,(),1,(,bb R a a P kx y =．则),1,(a b M ∴abb a k 11=÷=． ∴直线OM 的函数关系式为x aby 1=． （2）∵Q 的坐标)1,(ba 满足x aby 1=，∴点Q 在直线OM 上． （或用几何证法，见《九年级上册》教师用书191页） ∵四边形PQRM 是矩形，∴SP=SQ=SR=SM=21PR ． ∴∠SQR=∠SRQ ． ∵PR=2OP ，∴PS=OP=21PR ．∴∠POS=∠PSO ． ∵∠PSQ 是△SQR 的一个外角，∴∠PSQ=2∠SQR ．∴∠POS=2∠SQR ． ∵QR ∥OB ，∴∠SOB=∠SQR ．∴∠POS=2∠SOB ． ∴∠SOB=31∠AOB ． （3）以下方法只要回答一种即可．方法一：利用钝角的一半是锐角，然后利用上述结论把锐角三等分的方法即可．方法二：也可把钝角减去一个直角得一个锐角，然后利用上述结论把锐角三等分后，再将直角利用等边三角形（或其它方法）将其三等分即可．方法三：先将此钝角的补角（锐角）三等分，再作它的余角．10．【答案与解析】(1)线段PG 与PC 的位置关系是PG ⊥PC ；3PGPC． (2)猜想：(1)中的结论没有发生变化．证明：如图所法，延长GP 交AD 于点H ，连接CH ，CG ．∵P 是线段DF 的中点， ∴FP ＝DP ．由题意可知AD ∥FG ， ∴∠GFP ＝∠HDP ． ∵∠GPF ＝∠HPD ， ∴△GFP ≌△HDP ． ∴GP ＝HP ，GF ＝HD ． ∵四边形ABCD 是菱形，∴CD ＝CB ，∠HDC ＝∠ABC ＝60°．由∠ABC ＝∠BEF ＝60°，且菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上， 可得∠GBC ＝60°． ∴∠HDC ＝∠GBC ． ∵四边形BEFG 是菱形， ∴GF ＝FB ． ∴HD ＝GB ． ∴△HDC ≌△GBC ． ∴CH ＝CG ，∠DCH ＝∠BCG ．∴∠DCH+∠HCB ＝∠BCG+∠HCB ＝120°， 即∠HCG ＝120°．11 ∵CH ＝CG ，PH ＝PG ，∴PG ⊥PC ，∠GCP ＝∠HCP ＝60°． ∴3PG PC=． (3)tan(90)PG PC α=-°．。

冲刺集训1 阅读理解型问题一、选择题1. 对于非零的两个实数a ，b ，规定a ⊕b ＝1b －1a.若2⊕(2x －1)＝1，则x 的值为( )A. 56B. 54C. 32D. －16(第2题)2. (2015·湖南常德)若两个扇形满足弧长的比等于它们半径的比，则称这两个扇形相似．如图，如果扇形OAB 与扇形O 1A 1B 1相似，且半径OA ∶O 1A 1＝k (k 为不等于0的常数)，有下列结论：①∠AOB ＝∠A 1O 1B 1；②△AOB ∽△A 1O 1B 1；③AB A 1B 1＝k ；④扇形OAB 与扇形O 1A 1B 1的面积之比为k 2.其中成立的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 43. 现定义一种变换：对于一个由有限个数组成的序列S 0，将其中的每个数换成该数在S 0中出现的次数，可得到一个新序列．例如序列S 0：(4，2，3，4，2)，通过变换可得到新序列S 1：(2，2，1，2，2)．若S 0可以为任意序列，则下面的序列可以作为S 1的是( )A. (1，2，1，2，2)B. (2，2，2，3，3)C. (1，1，2，2，3)D. (1，2，1，1，2)4. 若自然数n 使得三个数的加法运算“n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)”产生进位现象，则称n 为“连加进位数”．例如：2不是“连加进位数”，因为2＋3＋4＝9不产生进位现象；4是“连加进位数”，因为4＋5＋6＝15产生进位现象；51是“连加进位数”，因为51＋52＋53＝156产生进位现象．如果从0，1，2，…，99这100个自然数中任取一个数，那么取到“连加进位数”的概率是( )A. 0.88B. 0.89C. 0.90D. 0.915. 为了确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知有一种密码，将英文26个小写字母a ，b ，c ，…，z 依次对应0，1，2，…，25这26个自然数(见表格)，当明文中的字母对应的序号为β时，将β＋10除以26后所得的余数作为密文中的字母对应的序号，例如明文s 对应密文c .字母 abcdefghijklm序号 0123456789101112字母 nopqrstuvwxyz序号 13141516171819202122232425按上述规定，将明文“maths ”译成密文后是( ) A. wkdrc B. wkhtc C. eqdjc D. eqhjc6. 给出定义：设一条直线与一条抛物线只有一个公共点，且这条直线与这条抛物线的对称轴不平行，就称直线与抛物线相切，这条直线是抛物线的切线．有下列命题：①直线y ＝0是抛物线y ＝14x 2的切线；②直线x ＝－2与抛物线y ＝14x 2相切于点(－2，1)；③若直线y ＝x ＋b 与抛物线y ＝14x 2相切，则切点为(2，1)；④若直线y ＝kx －2与抛物线y ＝14x 2相切，则实数k ＝ 2.其中正确命题的序号是( )A. ①②④B. ①③C. ②③D. ①③④ 二、填空题7. 我们定义一种新的运算“！”，即对非0自然数n ，有n ！＝n ×(n －1)×…×3×2×1，如3！＝3×2×1，4！＝4×3×2×1，则2015！2014！＝________．(第8题)8. 如图，平面中两条直线l 1和l 2交于点O ，对于平面上任意一点M ，若p ，q 分别是点M 到直线l 1和l 2的距离，则称有序非负实数对(p ，q )是点M 的“距离坐标”．根据上述定义，有下列结论：①“距离坐标”是(0，1)的点有1个；②“距离坐标”是(5，6)的点有4个；③“距离坐标”是(a ，a )(a 为非负实数)的点有4个．其中正确的是________(填序号)．9. (2015·湖南常德)取一个自然数，若它是奇数，则乘3加上1；若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到 1.这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的．例如，取自然数5，经过下面5步运算可得1，即：5――→×3＋116――→÷28――→÷24――→÷22――→÷21.若自然数m 经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m 的值为________．三、解答题10. (2015·浙江台州)定义：如图①，点M ，N 把线段AB 分割成AM ，MN 和BN ，若以AM ，MN ，BN 为边的三角形是一个直角三角形，则称M ，N 是线段AB 的勾股分割点．(第10题)(1)已知M ，N 是线段AB 的勾股分割点，若AM ＝2，MN ＝3，求BN 的长．(2)如图②，在△ABC 中，FG 是中位线，D ，E 是线段BC 的勾股分割点，且EC >DE ≥BD ，连结AD ，AE 分别交FG 于点M ，N ，求证：M ，N 是线段FG 的勾股分割点．(3)已知C 是线段AB 上的一定点，其位置如图③所示，请在BC 上画一点D ，使C ，D 是线段AB 的勾股分割点(要求尺规作图，保留作图痕迹，画出一种情形即可)．(4)如图④，已知M ，N 是线段AB 的勾股分割点，MN >AM ≥BN ，△AMC ，△MND 和△NBE 均为等边三角形，AE 分别交CM ，DM ，DN 于点F ，G ，H .若H 是DN 的中点，试探究S △AMF ，S △BEN 和S 四边形MNHG 的数量关系，并说明理由．11. 如图①，在△ABC 中，沿∠BAC 的平分线AB 1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B 1A 1C 的平分线A 1B 2折叠，剪掉重复部分……将余下部分沿∠B n A n C 的平分线A n B n ＋1折叠，点B n 与点C 重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，则称∠BAC 是△ABC 的好角．(第11题)小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．情形一：如图②，沿等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；情形二：如图③，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合．探究发现：(1)在△ABC中，∠B＝2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角？答：________(填“是”或“不是”)．(2)小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C(不妨设∠B＞∠C)之间的等量关系为________．根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C(不妨设∠B＞∠C)之间的等量关系为________．应用提升：(3)小丽找到一个三角形，三个角分别为15°，60°，105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角．请你完成，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．参考答案1．A 2．D 3．D[由于序列S0含5个数，于是新序列中不可能有3个2，所以A，B中所给序列不能作为S1；如果S1中有3，那么S1中应有3个3，所以C中所给序列也不能作为S1，故选D．] 4．A[由题意，得0，1，2，10，11，12，20，21，22，30，31，32都不是“连加进位数”，其余各数都是“连加进位数”，∴在这100个数中“连加进位数”有88个，其概率为88100＝0．88．] 5．A[m 对应的数字是12，12＋10＝22，除以26的余数仍是22，因此对应字母w ；a 对应的数字是0，0＋10＝10，除以26的余数仍是10，因此对应字母k ；t 对应的数字是19，19＋10＝29，除以26的余数是3，因此对应字母d ，同样推理得h 对应r ，s 对应c ，∴译成密文后是wkdrc ．] 6．B[①∵直线y ＝0是x 轴，抛物线y ＝14x 2的顶点在x 轴上，∴直线y ＝0是抛物线y ＝14x 2的切线，故此命题正确；②∵直线x ＝－2与抛物线y ＝14x 2的对称轴(y 轴)平行，∴不符合定义，故此命题错误；③∵直线y＝x ＋b 与抛物线y ＝14x 2相切，∴14x 2－x －b ＝0，∴Δ＝1＋b ＝0，解得b ＝－1．把b ＝－1代入14x2－x －b ＝0，得x ＝2．把x ＝2代入抛物线的函数表达式，得y ＝1，∴直线y ＝x ＋1与抛物线y ＝14x2相切，且相切于点(2，1)，故此命题正确；④∵直线y ＝kx －2与抛物线y ＝14x 2相切，∴14x 2＝kx －2，即14x 2－kx ＋2＝0，Δ＝k 2－2＝0，解得k ＝±2，故此命题错误．综上所述，正确命题的序号是①③．] 7．2015 8．② 9．128，21，20，3[由题意，得3x ＋1中的x 一定是自然数，逆推可得： 1――→×2此处不能3x ＋1x 非自然数2――→×2此处不能3x ＋1x 非自然数4――→×2此处不能3x ＋1x ＝18――→×2此处不能3x ＋1x 非自然数16⎩⎪⎨⎪⎧――→×2下一个数是偶数32――→×2此处不能3x ＋1x 非自然数64⎩⎨⎧――→×2下一个数是偶数128――→3x ＋1下一个数是奇数21――→3x ＋1下一个数是奇数5――→×2此处不能3x ＋1x 非自然数10⎩⎨⎧――→×2下一个数是偶数20――→3x ＋1下一个数是奇数3]10．(1)∵M ，N 是线段AB 的勾股分割点， AM ＝2，MN ＝3，∴若MN 为斜边，则MN 2＝AM 2＋BN 2，即32＝22＋BN 2，解得BN ＝5；若BN 为斜边，则BN 2＝AM 2＋MN 2，即BN 2＝22＋32，解得BN ＝13．∴BN 的长为5或13． (2)∵FG 是△ABC 的中位线，AD ，AE 分别交FG 于点M ，N ，∴FM ，MN ，NG 分别是△ABD ，△ADE ，△AEC 的中位线．∴BD ＝2FM ，DE ＝2MN ，EC ＝2NG ．∵D ，E 是线段BC 的勾股分割点，且EC >DE ≥BD ，∴EC 2＝DE 2＋B D 2．∴()2NG 2＝()2MN 2＋()2FM 2，∴NG 2＝MN 2＋FM 2．∴M ，N 是线段FG 的勾股分割点． (3)如解图，C ，D 是线段AB 的勾股分割点．(第10题解)(4)S 四边形MNHG ＝S △AMF ＋S △BEN ．理由如下：设AM ＝a ，BN ＝b ，MN ＝c ．∵H 是DN 的中点，∴DH ＝HN ＝12c ．∵△MND ，△BNE 均为等边三角形，∴∠D ＝∠DNE ＝60°．又∵∠DHG ＝∠NHE ，∴△DGH ≌△NEH ．∴DG ＝EN ＝b ．∴MG ＝c －b ．∵GM ∥EN ，∴△AGM ∽△AEN ．∴c －b b ＝a a ＋c．∴c 2＝2ab －ac ＋bc ．∵M ，N 是线段AB 的勾股分割点，∴c 2＝a 2＋b 2．∴(a －b )2＝(b －a )c ．又∵b －a ≠c ，∴a ＝b ．在△DGH 和△CAF 中，∠D ＝∠C ，DG ＝CA ，∠DGH ＝∠CAF ，∴△DGH ≌△CAF ．∴S △DGH ＝S △CAF ．∵c 2＝a 2＋b 2，∴34c 2＝34a 2＋34b 2．∴S △DMN ＝S △ACM ＋S △ENB ．∵S △DMN ＝S △DGH ＋S 四边形MNHG ，S △ACM ＝S △CAF ＋S △AMF ，∴S 四边形MNHG ＝S △AMF＋S △BEN ．(第11题解)11．(1)是[由折叠的性质知，∠B ＝∠AA 1B 1．∵∠AA 1B 1＝∠A 1B 1C ＋∠C ，而∠B ＝2∠C ，∴∠A 1B 1C ＝∠C ，就是说第二次折叠后∠A 1B 1C 与∠C 重合，因此∠BAC 是△ABC 的好角．] (2)∠B ＝3∠C ∠B ＝n ∠C [∵经过三次折叠∠BAC 是△ABC 的好角，∴第三次折叠的∠A 2B 2C ＝∠C ，如解图所示．∵∠ABB 1＝∠AA 1B 1，∠AA 1B 1＝∠A 1B 1C ＋∠C ，又∵∠A 1B 1C ＝∠A 1A 2B 2，∠A 1A 2B 2＝∠A 2B 2C ＋∠C ，∴∠ABB 1＝∠A 1B 1C ＋∠C ＝∠A 2B 2C ＋∠C ＋∠C ＝3∠C ．由上面的探索发现，若∠BAC 是△ABC 的好角，折叠一次重合，有∠B ＝∠C ；折叠二次重合，有∠B ＝2∠C ；折叠三次重合，有∠B ＝3∠C ；…；由此可猜想若经过n 次折叠∠BAC 是△ABC 的好角，则∠B ＝n ∠C ．] (3)∵最小角4°是△ABC 的好角，不妨设∠A ＝4°，∠B ＝x °，∠C ＝y °，则x ＝my ，y ＝4n (m ，n 均为正整数)．由∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，得4＋4mn＋4n ＝180，即n (m ＋1)＝44．可得符合条件的正整数解有⎩⎪⎨⎪⎧m ＝43，n ＝1； ⎩⎪⎨⎪⎧m ＝21，n ＝2； ⎩⎪⎨⎪⎧m ＝10，n ＝4； ⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝11；⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝22.∴此三角形三个角的度数分别为①4°，172°，4°；②4°，168°，8°；③4°，160°，16°；④4°，132°，44°；⑤4°，88°，88°．。