北京市昌平区2019届高三4月第二次统练数 学 试 卷（文 科）2019．4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．） （1）在复平面内，复数对应的点位于（ ）．（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限（2）已知等差数列中，，则的前10项和为（ ）．（A ）（B ） （C ）（D ）（3）在中，若，则的大小为（ ）． （A ） （B ） （C ） （D ）（4）已知命题使得；命题．则下列命题为真命题的是（ ）． （A ） （B ） （C ） （D ）（5）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）．（A ）（B ） （C ）（D ）（6）下列函数中，对于任意的，满足条件的函数是（ ）．（A ） （B ） （C ） （D ）（7）假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天的回报比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0．4元，以后每天的回报是前一天的两倍．若投资的时间为天，为使投资的回报最多，你会选择哪种方案投资？（ ）． （A ）方案一（B ）方案二 （C ）方案三（D ）都可以（8）已知，若恒成立，则的取值范围是（ ）． （A ） （B ） （C ）（D ） 第二卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）（9）若直线与直线平行，则______ ．（10）已知实数满足则的最小值为_____ ．i(1i)-{}n a 264,12==a a {}n a 90100110120ABC ∆2221c a b ab-=+C ∠6π3π23π56π:,+∃∈R p x 12+<x x2:0q x x ∀∈≥R,∧p q ∨p q ∨⌝p q ∧⌝p q 1236247212,x x ∈R 211221()()0()f x f x x x x x ->≠-2log y x =1y x =-2=xy tan =y x 810:11, 1,()ln , 01⎧-≥⎪=⎨⎪<<⎩x f x xx x ()(1)f x k x ≤-k (1,)+∞(,0]-∞(0,1)[0,1]210ax y +-=2310x y --=a =,x y 50,3,0,-+≥⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩x y x x y 2=+z x y 左视图4俯视图主视图36主视图 左视图 俯视图（11）已知双曲线的焦距为，一条渐近线的斜率为，则此双曲线的标准方程为______，焦点到渐近线的距离为_____ ．（12）执行右边的程序框图，若输入的N 是4，则输出p 的值是______ ． （13）已知矩形中，，在矩形内随机取一点,则的概率为__________ ．（14）在边长为2的菱形中，，若为的中点，则的值为____;若点为边上的动点，点是边上的动点，且，， ，则的最大值为________ ．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）（15）（本小题满分13分）已知函数,． （Ⅰ）求的最小正周期及值域； （Ⅱ）求单调递增区间．22221,(0,0)x y a b a b-=>>1034ABCD 2,1AB BC ==ABCD M 90AMB ︒∠≤ABCD 60BAD ︒∠=P CD AP BD ⋅uu u r uu u rE ABF AD AE AB λ=uu u ruu u r(1)AF AD λ=-u u u r u u u r 01λ≤≤DE BF ⋅uuu r uu u r()f x cos (3sin cos )=+x x x x ∈R ()f x ()f x是（16）（本小题满分13分）某学校为调查高一新生上学路程所需要的时间（单位：分钟），从高一年级新生中随机抽取100名新生按上学所需时间分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）根据图中数据求的值（Ⅱ）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名新生参与交通安全问卷调查，应从第3，4，5组 各抽取多少名新生？（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，该校决定从这6名新生中随机抽取2名新生参加交通安全宣传活动，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率．(0,10](10,20](20,30](30,40](40,50]a 0频率/组距时间 （分钟）0.0350.03a 0.010.0055040302010频率/组距 时间（分钟）（17）（本小题满分14分）已知正四棱柱中，是的中点． （I ）求证：平面； （II ）求证：；（III ）在线段上是否存在点，当时，平面平面？若存在，求出的值并证明；若不存在，请说明理由．1111-ABCD A B C D M 1DD 1//BD AMC 1⊥AC BD 1BB P 1BPBB λ=11//A PC AMCλ（18）（本小题满分13分）已知等差数列的前项和为，公差，且． （Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列是首项为1，公比为的等比数列，求数列的前n 项和． {}n a n n S 2=d 5346=+S a {}n a {}n nb ac {}n b n T（19）（本小题满分13分）已知函数，． （Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）如果对于任意的，都有，求的取值范围．32()213a f x x x ax =+--'(1)0-=f ()f x [2,0)x ∈-()3f x bx ≤+b（20）（本小题满分14分）已知椭圆的焦点为，点是椭圆上的一点，与轴的交点恰为的中点， ．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若点为椭圆的右顶点，过焦点的直线与椭圆交于不同的两点,求面积的取值范围．2222:1(0)x y C a b a b+=>>12(1,0),(1,0)F F -P C 1PF y Q 1PF 34OQ =C A 1F C ,M N AMN ∆北京市昌平区2019届高三4月第二次统练（二模) 数学试卷（文科）参考答案及评分标准 2019．4一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．题 号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 答 案ACCBACBD二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．） （9） （10）（11）； （12）（13）； （14） ；（注：第一空2分，第二空3分）三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） （15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为………1分………3分 ， ………4分 所以 ． ………6分 因为，所以． ………7分所以． 所以的值域为． ………8分 （Ⅱ）因为 ， ………10分所以 ． ………11分 所以． ………12分所以函数的单调递增区间为． ………13分（16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为, ………1分4-3-221169x y -=32414π-132-()cos (3sin cos )f x x x x =+23sin cos cos x x x =+311sin 2cos 2222x x =++1sin(2)62x π=++22T ππ==x ∈R 1sin(2)16x π-≤+≤113sin(2)2622x π-≤++≤()f x 13[,]22-222262k x k πππππ-+≤+≤+222233k x k ππππ-+≤≤+36k x k ππππ-+≤≤+()f x [,],()36k k k ππππ-++∈Z (0.0050.010.030.035)101a ++++⨯=C 1D 1A 1B 1MCD PQ所以． ………2分 （Ⅱ）依题意可知，第3组的人数为， 第4组的人数为， 第5组的人数为．所以3、4、5组人数共有60． ………3分所以利用分层抽样的方法在60名学生中抽取6名新生,分层抽样的抽样比为． ………4分 所以在第3组抽取的人数为人 ， 在第4组抽取的人数为人， 在第5组抽取的人数为人， ………7分 （Ⅲ）记第3组的3名新生为,第4组的2名新生为,第5组的1名新生为．则从6名新生中抽取2名新生，共有:,共有15种． …………9分其中第4组的2名新生至少有一名新生被抽中的有:共有9种, …………11分则第4组至少有一名新生被抽中的概率为 …………13分 （17）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）在正四棱柱中,连结交于，连结． 因为为正方形，所以为中点． ………1分 在中， 因为为中点，所以∥． ………2分 因为平面，平面， ………4分 所以∥平面． ………5分 （Ⅱ）因为为正方形，所以． ………6分 因为平面，所以． ………7分 因为, ………8分 所以平面． ………9分0.02a =0.310030⨯=0.210020⨯=0.110010⨯=616010=130310⨯=120210⨯=110110⨯=123,,A A A 12,B B 1C 313231121121(,),(,),(,),(,),(,),(,)A B A B A C B B B C B C 12,B B 11122122(,),(,),(,),(,),A B A B A B A B 3132121121(,),(,),(,),(,),(,)A B A B B B B C B C 93155P ==1111ABCD A B C D -BD AC N MN ABCD N BD 1DBD ∆M 1DD 1BD MN MN ⊂AMC 1BD ⊄AMC 1BD AMC ABCD AC BD ⊥1DD ⊥ABCD 1DD AC ⊥1DD BD D =I ⊥AC 1BDD因为，所以． ………10分（Ⅲ）当，即点为线段的中点时，平面平面．…11分 因为且，所以四边形是平行四边形．所以． ………12分 取的中点，连结． 因为为中点， 所以且，所以四边形是平行四边形．所以． ………13分 同理． 所以．因为，，所以平面平面． ………14分（18）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为公差，且，所以． ………2分 所以． ………4分 所以等差数列的通项公式为． ………5分（Ⅱ）因为数列是首项为1，公比为的等比数列， 所以． ………6分 所以． ………7分（1）当时，． ………8分 所以． ………9分 （2）当时，因为 ① ………9分②………10分①-②得………11分11BD BDD ⊂平面1AC BD ⊥12λ=P 1BB 11//A PC AMC 11//AA CC 11AA CC =11AAC C 11//AC A C 1CC Q ,MQ QB M 1DD //MQ AB MQ AB =ABQM //BQ AM 1//BQ C P 1//AM C P 1111AC C P C ⋂=AC AM A ⋂=11//A PC AMC 2=d 5346=+S a 1154524((31)2)62a a ⨯+⨯=+-⨯+12a ={}n a 2n a n ={}n nb ac 1n nnb c a -=112n n n n b a c n c --=⋅=⋅1c =2n b n =2(22)(1)2n n n T n n n n +==+=+1c ≠1231n n n T b b b b b -=+++++L 012212462(1)2n n n T c c c n c n c --=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅L 12312462(1)2n n n cT c c c n c n c -=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅L 0121(1)22222n nn c T c c c c n c --=⋅+⋅+⋅++⋅-⋅L………12分………13分（19）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为， ………1分因为，所以． ………2分所以令，解得． ………3分 随着的变化，和的变化情况如下：↘↗↘即在和上单调递减，在上单调递增． ………6分 （Ⅱ）因为对于任意的，都有，即， 所以． ………8分设．因为， ………9分又因为，所以． ………10分 所以．所以在上单调递增． ………11分 所以． ………12分 即． ………13分 （20）（本小题满分14分）解：（I ）因为为的中点，为的中点，， 所以，且． ………1分 所以．2(1)21n n c n c c-=-⋅-22(1)2(1)1n nn c n c T c c-⋅=---2'()22f x ax x a =+-'(1)0-=f 2a =-2'()224f x x x =-++'()0f x =121,2x x =-=x '()f x ()f x x (,1)-∞-1-(1,2)-2(2,)+∞'()f x -+-()f x ()f x (,1)-∞-(2,)+∞(1,2)-[2,0)x ∈-()3f x bx ≤+3223413bx x x x +≥-++-22443b x x x ≤-++-224()43h x x x x =-++-244'()13h x x x=-++[2,0)x ∈-2440,03x x->>'()0h x >()h x [2,0)-min 4()(2)3h x h =-=43b ≤Q 1PF O 12F F 34OQ =2//PF OQ 2322PF OQ ==212PF F F ⊥因为， 所以． ………2分 因为, ………3分 所以．所以椭圆的方程为． ………4分（Ⅱ）设过点的直线的斜率为,显然．（1）当不存在时，直线的方程为，所以． 因为，所以． …………5分 （2）当存在时，设直线的方程为．由,消并整理得: ． …………6分设,则，． …………7分 因为， …………8分 又因为点到直线的距离， …………9分所以 …………10分 设，则． …………11分 12(1,0),(1,0)F F -22112252PF F F PF =+=12532422a PF PF =+=+=2222,3a b a c ==-=C 22143x y +=1(1,0)F -l k 0k ≠k l 1x =-3MN =(2,0)A 11922AMN S MN AF ∆==k l (1)y k x =+22(1),143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y 2222(34)84120k x k x k +++-=1122(,),(,)M x y N x y 2122834k x x k -+=+212241234k x x k-⋅=+222121()()MN x x y y =-+-2212(1)34k k+=+(2,0)A (1)y k x =+231k d k =+12AMN S d MN ∆=⋅⋅242111892416k k k +=++21m k=11819(1)61m m =++++因为,所以． 因为函数在上单调递增， …………12分 所以． 所以． 所以．所以． 所以所以． …………13分 综合（1）（2）可知 ． …………14分 0m >11m +>1()9f x x x =+1(,)3+∞19(1)101m m ++>+19(1)6161m m +++>+111169(1)61m m <++++11149(1)61m m <++++1918129(1)61m m <++++902AMN S ∆<<902AMNS ∆<≤。
