章末分层突破
[自我校对]
①流程图②工序流程图
③结构图④组织结构图
右的方向画；除判断框外，大多数程序框图的符号只有一个进入点和一个退出点，而判断框是具有超过一个退出点的唯一符号.
公历规定：如果年份数字被整除而不被整除，就是闰年；如果年份数字被整除，也是闰年；其余的都不是闰年.用程序框图表示出这个规则.
【精彩点拨】解答本题可先确定算法步骤，再依据算法步骤画程序框图.
【规范解答】算法步骤：第一步输入年份；
第二步逐一判断该年份能否被，被，被整除；
第三步根据规则，输出结果.
程序框图：
[再练一题] .若某程序框图如图-所示，当输入时，则该程序运行后输出的结果是.
图-
【解析】输入＝，由于＝，＝，所以＝×＋＝，＝，此时不满足>；当＝时，
＝×＋＝，＝，此时不满足>；当＝时，＝×＋＝，＝，此时不满足>；当＝时，＝×＋＝，＝，此时不满足>；当＝时，＝×＋＝，＝，此时满足>，因此输出＝.
【答案】。
高中数学教材新课标人教B版目录完整版高中数学（B版）必修一第一章集合1．1 集合与集合的表示方法1．2 集合之间的关系与运算第二章函数2．1 函数2．2 一次函数和二次函数2．3 函数的应用（Ⅰ）2．4 函数与方程第三章基本初等函数（Ⅰ）3．1 指数与指数函数3．2 对数与对数函数3．3 幂函数 3．4 函数的应用（Ⅱ）高中数学（B版）必修二第一章立体几何初步1．1 空间几何体1．2 点、线、面之间的位置关系第二章平面解析几何初步2．1 平面真角坐标系中的基本公式2．2 直线方程2．3 圆的方程 2．4 空间直角坐标系高中数学（B版）必修三第一章算法初步1．1 算法与程序框图1．2 基本算法语句1．3 中国古代数学中的算法案例第二章统计2．1 随机抽样2．2 用样本估计总体2．3 变量的相关性第三章概率3．1 随机现象3．2 古典概型3．3 随机数的含义与应用3．4 概率的应用高中数学（B版）必修四第一章基本初等函(Ⅱ)1．1 任意角的概念与弧度制1．2 任意角的三角函数1．3 三角函数的图象与性质第二章平面向量2．1 向量的线性运算 2．2 向量的分解与向量的坐标运算2．3 平面向量的数量积2．4 向量的应用第三章三角恒等变换3．1 和角公式3．2 倍角公式和半角公式3．3 三角函数的积化和差与和差化积高中数学（B版）必修五第一章解直角三角形1．1 正弦定理和余弦定理1．2 应用举例第二章数列2．1 数列2．2 等差数列2．3 等比数列第三章不等式3．1 不等关系与不等式 3．2 均值不等式3．3 一元二次不等式及其解法3．4 不等式的实际应用3．5 二元一次不等式（组）与简单线性规划问题高中数学（B版）选修1－1第一章常用逻辑用语1．1 命题与量词1．2 基本逻辑联结词1．3 充分条件、必要条件与命题的四种形式第二章圆锥曲线与方程2．1 椭圆2．2 双曲线第三章导数及其应用3．1 导数3．2 导数的运算3．3 导数的应用高中数学（B版）选修1－2第一章统计案例第二章推理与证明第三章数系的扩充与复数的引入第四章框图高中数学（B版）选修2-1第一章常用逻辑用语1.1 命题与量词 1.2 基本逻辑联结词1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式2.1 曲线与方程 2.2 椭圆 2.3 双曲线2.4 抛物线 2.5 直线与圆锥曲线第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算 3.2 空间向量在立体几何中的应用高中数学（B版）选修2-2第一章导数及其应用1.1 导数 1.2 导数的运算1.3 导数的应用 1.4 定积分与微积分基本定理第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理 2.2 直接证明与间接证明 2.3 数学归纳法第三章数系的扩充与复数3.1 数系的扩充与复数的概念 3.2 复数的运算高中数学（B版）选修2-3第一章计数原理1.1基本计数原理 1.2排列与组合1.3二项式定理第二章概率2.1离散型随机变量及其分布列 2.2条件概率与事件的独立性2.3随机变量的数字特征 2.4正态分布第三章统计案例3.1独立性检验 3.2回归分析高中数学（B版）选修4－4第一章坐标系1.1直角坐标系平面上的压缩变换 2极坐标系1.3曲线的极坐标方程 1.4圆的极坐标方程1.5柱坐标系和球坐标系第二章参数方程2.1曲线的参数方程 2.2直线和圆的参数方程高中数学（B版）选修4－5第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1．1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1．2 基本不等式1．3 绝对值不等式的解法 1．4 绝对值的三角不等式1．5 不等式证明的基本方法第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2．1 柯西不等式 2．2 排序不等式 2．3 平均值不等式(选学)2．4 最大值与最小值问题，优化的数学模型第三章数学归纳法与贝努利不等式3.1数学归纳法原理 3.2 用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式。
章末分层突破[自我校对]①由部分到整体，由个别到一般②类比推理③演绎推理④由一般到特殊⑤综合法⑥执果索因⑦反证法1.(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题(猜想).2.在应用归纳推理时，首先要观察部分对象的整体特征，然后分析所观察对象中哪些元素是不变的，哪些元素是变化的，并将变化的量的变化规律表达出来.如图2-1，一个树形图依据下列规律不断生长：1个空心圆点到下一行仅生长出1个实心圆点，1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和1个空心圆点.则第11行的实心圆点的个数是________.图2-1【精彩点拨】 列出每行实心圆点的个数，从中归纳出变化规律，然后运用此规律求第11行实心圆点的个数.【规范解答】 前6行中实心圆点的个数依次为：0，1，1，2，3，5，据此猜想这个数列的规律为：从第3项起，每一项都等于它前面两项的和，故续写这个数列到第11行如下：8，13，21，34，55，所以第11行的实心圆点的个数是55.【答案】 55 [再练一题]1.记S k ＝1k ＋2k ＋3k ＋…＋n k ，当k ＝1，2，3，…时，观察下列等式： S 1＝12n 2＋12n ， S 2＝13n 3＋12n 2＋16n ， S 3＝14n 4＋12n 3＋14n 2， S 4＝15n 5＋12n 4＋13n 3－130n ， S 5＝An 6＋12n 5＋512n 4＋Bn 2，… 可以推测，A －B ＝________.【导学号：37820029】【解析】 由S 1，S 2，S 3，S 4各项系数知， A ＝16，A ＋12＋512＋B ＝1， 于是B ＝－112， 所以A －B ＝16＋112＝14.【答案】1 41.从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手，由平面中的相关结论可以类比得到空间中的相关结论.2.平面图形与空间图形类比.已知图2-2①有面积关系：△P A′B′S△P AB ＝P A′·PB′P A·PB.图2-2(1)试用类比的思想写出由图2-2②所得的体积关系V PA′B′C′V PABC＝______________________.(2)证明你的结论是正确的.【精彩点拨】由面积关系，类比推测V PA′B′C′V PABC＝P A′·PB′·PC′P A·PB·PC，然后由体积公式证明.【规范解答】(1)V PA′B′C′V PABC＝P A′·PB′·PC′P A·PB·PC.(2)过A作AO⊥平面PBC于O，连接PO(图略)，则A′在平面PBC内的射影O′落在PO上，从而V P A ′B ′C ′V P ABC ＝V A ′PB ′C ′V A PBC＝13S △PB ′C ′·A ′O ′13S △PBC ·AO ＝PB ′·PC ′·A ′O ′PB ·PC ·AO ， ∵A ′O ′AO ＝P A ′P A ，∴V P A ′B ′C ′V P ABC ＝P A ′·PB ′·PC ′P A ·PB ·PC . [再练一题]2.在△ABC 中，若AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，则1AD 2＝1AB 2＋1AC 2.在四面体A -BCD 中，若AB ，AC ，AD 两两垂直，AH ⊥底面BCD ，垂足为H ，则类似的结论是什么？并说明理由.【解】 类似的结论是：如图，在四面体A -BCD 中，若AB ，AC ，AD 两两垂直，AH ⊥底面BCD ，垂足为H ，则1AH 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2. 证明如下：连接BH 并延长交CD 于E ，连接AE .∵AB ，AC ，AD 两两垂直，∴AB ⊥平面ACD .又∵AE ⊂平面ACD ，∴AB ⊥AE . 在Rt △ABE 中，有1AH 2＝1AB 2＋1AE 2. ① 又易证CD ⊥AE ，在Rt △ACD 中，1AE 2＝1AC 2＋1AD 2. ② 将②代入①得1AH 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2.演绎推理只要前提正确，推理的形式正确，那么推理所得的结论就一定正确.已知平面α∥平面β，直线l⊥α，l ∩α＝A ，如图2-3所示，求证：l ⊥β.图2-3【精彩点拨】分别确定大前提、小前提，利用演绎推理的方法证明.【规范解答】在平面β内任取一条直线b，平面γ是经过点A与直线b的平面.设γ∩α＝a.①如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行，大前提α∥β，且α∩γ＝a，β∩γ＝b，小前提所以a∥b. 结论②如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，大前提且l⊥α，a⊂α，小前提所以l⊥a.结论③如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么它也与另一条垂直，大前提a∥b，且l⊥a，小前提所以l⊥b. 结论④如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直，大前提因为l⊥b，且直线b是平面β内的任意一条直线，小前提所以l⊥β. 结论[再练一题]3.如图2-4，在空间四边形ABCD中，M，N分别为AB，AD的中点.图2-4求证：MN∥平面BCD(写出大前提，小前提，结论)【证明】三角形中位线平行于底边，大前提∵M，N分别为AB与AD的中点，∴MN 为△ABD 的中位线. 小前提 ∴MN ∥BD .结论又平面外一条直线与平面内一条直线平行，则这条直线与这个平面平行，大前提∵MN ⊄平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，MN ∥BD ， 小前提 ∴MN ∥平面BCD .结论用的思维方式.如果从解题的切入点的角度细分，直接证明方法可具体分为：比较法、代换法、放缩法、判别式法、构造函数法等，应用综合法证明问题时，必须首先想到从哪里开始起步，分析法就可以帮助我们克服这种困难，在实际证明问题时，应当把分析法和综合法结合起来使用.设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若函数f (x ＋1)与f (x )的图象关于y 轴对称.求证：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12为偶函数.【精彩点拨】 解答本题可先分析f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12为偶函数的条件，再利用已知推出满足的条件或寻找结论成立的条件.【规范解答】 要证f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12为偶函数，只需证f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12的对称轴为x ＝0，只需证－b 2a －12＝0， 只需证a ＝－b .因为函数f (x ＋1)与f (x )的图象关于y 轴对称， 即x ＝－b 2a －1与x ＝－b2a 关于y 轴对称， 即－b 2a －1－b2a ＝0， 整理得－ba ＝1， 即a ＝－b 成立，故原命题得证.[再练一题]4.当a≥2时，求证：a＋1－a<a－1－a－2.【证明】要证a＋1－a<a－1－a－2，只需证a＋1＋a－2<a＋a－1，只需证(a＋1＋a－2)2<(a＋a－1)2，只需证a＋1＋a－2＋2（a＋1）（a－2）<a＋a－1＋2a（a－1），只需证（a＋1）（a－2）<a（a－1），只需证(a＋1)(a－2)<a(a－1)，即证－2<0，而－2<0显然成立，所以a＋1－a<a－1－a－2成立.宜用反证法来证，反证法关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等等.求证：若两条平行直线a，b中的一条与平面α相交，则另一条也与平面α相交.【精彩点拨】直接证明直线与平面相交比较困难，故考虑用反证法.【规范解答】不妨设直线a与平面α相交，假设直线b不与平面α相交，则b⊂α或b∥平面α.①若b⊂α，由a∥b，a⊄α，得a∥α，这与“a与平面α相交”矛盾.②若b∥α，则平面α内有直线b′，使b′∥b.而a∥b，故a∥b′，因为a⊄α，所以a∥α，这与“a与平面α相交”矛盾.综上所述，假设不成立，则直线b与平面α只能相交.[再练一题]5.已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求证：a，b，c，d 中至少有一个是负数.【证明】假设a，b，c，d都是非负数，因为a＋b＝c＋d＝1，所以(a＋b)(c＋d)＝1.又(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，所以ac＋bd≤1，这与已知ac＋bd>1矛盾，所以a，b，c，d中至少有一个是负数.1.袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则()A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C.乙盒中红球不多于丙盒中红球D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多【解析】取两个球往盒子中放有4种情况：①红＋红，则乙盒中红球数加1；②黑＋黑，则丙盒中黑球数加1；③红＋黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加1；④黑＋红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加1.因为红球和黑球个数一样多，所以①和②的情况一样多，③和④的情况完全随机.③和④对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数没有任何影响.①和②出现的次数是一样的，所以对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数的影响次数一样.综上，选B.【答案】 B2.观察下列等式：1－12＝12，1－12＋13－14＝13＋14，1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16，…，据此规律，第n个等式可为____________________________________.【解析】等式的左边的通项为12n－1－12n，前n项和为1－12＋13－14＋…＋1 2n－1－12n；右边的每个式子的第一项为1n＋1，共有n项，故为1n＋1＋1n＋2＋…＋1n＋n.【答案】1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n3.有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________.【解析】根据丙的说法及乙看了丙的卡片后的说法进行推理.由丙说“我的卡片上的数字之和不是5”，可推知丙的卡片上的数字是1和2或1和3.又根据乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”可知，乙的卡片不含1，所以乙的卡片上的数字为2和3.再根据甲的说法“我与乙的卡片上相同的数字不是2”可知，甲的卡片上的数字是1和3.【答案】1和34.已知f(x)＝x1＋x，x≥0，若f1(x)＝f(x)，f n＋1(x)＝f(f n(x))，n∈N＋，则f2 014(x)的表达式为________.【解析】f1(x)＝x1＋x，f2(x)＝x1＋x1＋x1＋x＝x1＋2x，f3(x)＝x1＋2x1＋x1＋2x＝x1＋3x，…，由数学归纳法得f2 014(x)＝x1＋2 014x.【答案】 f 2 014(x )＝x1＋2 014x5.观察下列等式：⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin2π3－2＝43×1×2；⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin2π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin3π5－2＋⎝⎛⎭⎪⎫sin4π5－2＝43×2×3；⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin2π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin3π7－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin6π7－2＝43×3×4；⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin2π9－2＋⎝⎛⎭⎪⎫sin3π9－2＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫sin8π9－2＝43×4×5；…… 照此规律， ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2n π2n ＋1－2＝________.【解析】 通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的43是个固定数，43后面第一个数是等式左边最后一个数括号内角度值分子中π的系数的一半，43后面第二个数是第一个数的下一个自然数，所以，所求结果为43×n ×(n ＋1)，即43n (n ＋1).【答案】 43n (n ＋1)。
§1 数系的扩充与复数的引入1．1 数的概念的扩展 1．2 复数的有关概念1．了解引入虚数单位i 的必要性，了解数集的扩充过程．2．理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念．(重点) 3．掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．(易混点) 4．理解复数的几何表示．(难点)教材整理1 复数的有关概念及分类 阅读教材P 73部分，完成下列问题． 1．复数的有关概念 (1)复数①定义：形如a ＋b i 的数叫作复数，其中a ，b ∈R ，i 叫作虚数单位．a 叫作复数的实部，b 叫作复数的虚部．②表示方法：复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i. (2)复数集①定义：复数的全体组成的集合叫作复数集． ②表示：通常用大写字母C 表示． 2．复数的分类及包含关系 (1)复数a ＋b i ，a ，b ∈R .⎩⎨⎧实数 b ＝0 ，虚数 b ≠0 ⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数 a ＝0 ，非纯虚数 a ≠0 .(2)集合表示：图411判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a ，b 为实数，则z ＝a ＋b i 为虚数．( ) (2)若a 为实数，则z ＝a 一定不是虚数．( ) (3)b i 是纯虚数．( )(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．( ) 【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)√ 教材整理2 复数的有关概念阅读教材P 74“1.2复数的有关概念”以下至P 75“练习”以上部分，完成下列问题． 1．两个复数相等a ＋b i ＝c ＋d i 当且仅当a ＝c ，且b ＝d .2．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )――→一一对应复平面内的点Z (a ，b )； (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )――→一一对应复平面向量OZ →＝(a ，b )． 3．复数的模设复数z ＝a ＋b i 在复平面内对应的点是Z (a ，b )，点Z 到原点的距离|OZ |叫作复数z 的模或绝对值，记作|z |，且|z |＝a 2＋b 2.如果(x ＋y )i ＝x －1，则实数x ，y 的值分别为( ) A ．x ＝1，y ＝－1 B ．x ＝0，y ＝－1 C ．x ＝1，y ＝0D ．x ＝0，y ＝0【解析】 ∵(x ＋y )i ＝x －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，x －1＝0，∴x ＝1，y ＝－1.【答案】 A预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：________________________________________________________ 解惑：__________________________________________________________ 疑问2：________________________________________________________ 解惑：__________________________________________________________ 疑问3：________________________________________________________ 解惑：__________________________________________________________复数的概念与分类(1)若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x 的值是( ) A ．－1 B ．1 C ．±1D ．－1或－2(2)已知复数z ＝a ＋(a 2－1)i 是实数，则实数a 的值为________．(3)当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m＋(m 2－2m )i 为：①实数？②虚数？③纯虚数？【精彩点拨】 依据复数的分类标准，列出方程(不等式)组求解．【自主解答】 (1)∵(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x 2＋3x ＋2≠0.由x 2－1＝0，得x ＝±1，又由x 2＋3x ＋2≠0，得x ≠－2且x ≠－1，∴x ＝1.(2)∵z 是实数，∴a 2－1＝0，∴a ＝±1. 【答案】 (1)B (2)±1(3)①当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m ≠0，即m ＝2时，复数z 是实数．②当m 2－2m ≠0，且m ≠0，即m ≠0且m ≠2时，复数z 是虚数．③当⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －6m ＝0，m 2－2m ≠0，即m ＝－3时，复数z 是纯虚数．利用复数的分类求参数时，要先确定构成实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解．要特别注意复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )为纯虚数的充要条件是a ＝0且b ≠0.1．复数z ＝a 2－b 2＋(a ＋|a |)i(a ，b ∈R )为纯虚数的充要条件是( ) A ．|a |＝|b | B ．a <0且a ＝－b C ．a >0且a ≠bD ．a >0且a ＝±b【解析】 要使复数z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝0，a ＋|a |≠0，∴a >0，a ＝±b .故选D. 【答案】 D复数相等(1)下列命题： ①若a ＋b i ＝0，则a ＝b ＝0； ②x ＋y i ＝2＋2i ⇔x ＝y ＝2；③若y ∈R ，且(y 2－1)－(y －1)i ＝0，则y ＝1. 其中正确命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3(2)已知x ，y ∈R ，(x ＋2y －1)＋(x －3y ＋4)i ＝10－5i ，求x ，y . 【精彩点拨】 根据复数相等的充要条件求解．【自主解答】 (1)命题①②中未明确a ，b ，x ，y 是否为实数，从而a ，x 不一定为复数的实部，b ，y 不一定是复数的虚部，故命题①②错误；命题③中，y ∈R ，从而y 2－1，－(y －1)是实数，根据复数相等的条件得⎩⎪⎨⎪⎧ y 2－1＝0，－ y －1 ＝0，∴y ＝1，故③正确．【答案】 B(2)因为x ，y ∈R ，所以(x ＋2y －1)，(x －3y ＋4)是实数，所以由复数相等的条件得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝10，x －3y ＋4＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4.所以x ＝3，y ＝4.1．复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，其中a ，b ，c ，d ∈R ，则z 1＝z 2⇔a ＝c 且b ＝d . 2．复数问题实数化是解决复数相等问题最基本的也是最重要的思想方法．转化过程主要依据复数相等的充要条件．基本思路是：(1)等式两边整理为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式；(2)由复数相等的充要条件可以得到由两个实数等式所组成的方程组； (3)解方程组，求出相应的参数．2．(1)若(x －y )＋(2x －3)i ＝(3x ＋y )＋(x ＋2y )i(其中x ，y 为实数)，则x ＝________，y ＝________.(2)已知(2x ＋8y )＋(x －6y )i ＝14－13i ，则xy ＝________. 【解析】 (1)由复数相等的意义得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝3x ＋y ，2x －3＝x ＋2y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝－1.(2)由复数相等的意义，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋8y ＝14，x －6y ＝－13，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.所以xy ＝－2.【答案】 (1)1 －1 (2)－2复数的几何意义探究1 若向量OZ 1→对应的复数是5－4i ，向量OZ →2对应的复数是－5＋4i ，如何求OZ →1＋OZ→2对应的复数？【提示】 因为向量OZ 1→对应的复数是5－4i ，向量OZ →2对应的复数是－5＋4i ，所以OZ →1＝(5，－4)，OZ →2＝(－5,4)，所以OZ →1＋OZ →2＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)，所以OZ →1＋OZ →2对应的复数是0.探究2 若复数(a ＋1)＋(a －1)i(a ∈R )在复平面内对应的点P 在第四象限，则a 满足什么条件？【提示】 a 满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＞0，a －1＜0，即－1＜a ＜1.(1)已知复数z 的实部为1，且|z |＝2，则复数z 的虚部是( ) A ．－ 3 B.3i C ．±3iD ．± 3(2)求复数z 1＝6＋8i 及z 2＝－12－2i 的模，并比较它们模的大小．【精彩点拨】 (1)设出复数z 的虚部，由模的公式建立方程求解．(2)用求模的公式直接计算．【自主解答】 (1)设复数z 的虚部为b ，∵|z |＝2，实部为1，∴1＋b 2＝4，∴b ＝±3，选D.【答案】 D(2)因为z 1＝6＋8i ，z 2＝－12－2i ，所以|z 1|＝62＋82＝10， |z 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋ －2 2＝32. 因为10>32，所以|z 1|>|z 2|.1．复数集和复平面内所有的点构成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可以根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．2．计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，再利用复数模的公式进行计算． 3．两个复数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．3．(1)复数4＋3i 与－2－5i 分别表示向量OA →与OB →，则向量AB →表示的复数是________． (2)已知复数z ＝3＋a i ，且|z |<4，求实数a 的取值范围．【解析】 (1)因为复数4＋3i 与－2－5i 分别表示向量OA →与OB →，所以OA →＝(4,3)，OB →＝(－2，－5)，又AB →＝OB →－OA →＝(－2，－5)－(4,3)＝(－6，－8)，所以向量AB →表示的复数是－6－8i.【答案】 －6－8i(2)∵z ＝3＋a i(a ∈R )，|z |＝ 32＋a 2， 由已知得32＋a 2<4， ∴a 2<7，∴a ∈(－7， 7)．1．给出下列三个命题：①若z∈C，则z2≥0；②2i－1的虚部是2i；③2i的实部是0.其中真命题的个数为( )A．0 B．1C．2 D．3【解析】复数的平方不一定大于0，故①错误；2i－1的虚部为2，故②错误；2i的实部是0，③正确，故选B.【答案】 B2．已知复数z＝2－3i，则复数的模|z|等于( )A．5 B．8C．6 D．11【解析】|z|＝ 2 2＋ －3 2＝11.【答案】 D3．下列命题正确的是__________(填序号)．①若x，y∈C，则x＋y i＝1＋2i的充要条件是x＝1，y＝2；②若实数a与a i对应，则实数集与纯虚数集一一对应；③实数集的补集是虚数集．【解析】①由于x，y都是复数，故x＋y i不一定是代数形式，因此不符合两个复数相等的充要条件，故①是假命题．②当a＝0时，a i＝0为实数，故②为假命题．③由复数集的分类知，③正确，是真命题．【答案】③4．复数z＝x－2＋(3－x)i在复平面内的对应点在第四象限，则实数x的取值范围是________．【解析】∵复数z在复平面内对应的点在第四象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2＞0，3－x ＜0，解得x ＞3.【答案】 (3，＋∞)5．已知复数z ＝(m 2＋3m ＋2)＋(m 2－m －6)i ，则当实数m 为何值时，复数z 【导学号：67720023】(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数． 【解】 z ＝(m 2＋3m ＋2)＋(m 2－m －6)i.(1)令m 2－m －6＝0⇒m ＝3或m ＝－2，即m ＝3或m ＝－2时，z 为实数． (2)令m 2－m －6≠0，解得m ≠－2且m ≠3，所以m ≠－2且m ≠3时，z 是虚数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋3m ＋2＝0，m 2－m －6≠0，解得m ＝－1，所以m ＝－1时，z 是纯虚数．我还有这些不足：(1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________。
