专题训练：二次函数与方程和不等式

《2.3 二次函数与一元二次方程、不等式》专题复习与训练第1课时 一元二次不等式及其解法【新课导入】1．一元二次不等式的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．2．一元二次不等式的一般形式 (1)ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)． (2)ax 2＋bx ＋c ≥0(a ≠0)． (3)ax 2＋bx ＋c ＜0(a ≠0)． (4)ax 2＋bx ＋c ≤0(a ≠0)．思考1：不等式x 2－y 2>0是一元二次不等式吗？提示：此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式．3．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集．思考2：类比“方程x 2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立”．不等式x 2>1的解集及其含义是什么？提示：不等式x 2>1的解集为{x |x <－1或x >1}，该集合中每一个元素都是不等式的解，即不等式的每一个解均使不等式成立．4．三个“二次”的关系条件？提示：结合二次函数图象可知，若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则⎩⎨⎧a>0，1＋4a<0，解得a∈∅，所以不存在a使不等式ax2＋x－1>0的解集为R.1．不等式3＋5x－2x2≤0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪⎪x＞3或x＜－12B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪⎪－12≤x≤3C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪⎪x≥3或x≤－12D．RC[3＋5x－2x2≤0⇒2x2－5x－3≥0⇒(x－3)(2x＋1)≥0⇒x≥3或x≤－12.]2．不等式3x2－2x＋1＞0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1＜x ＜13 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪13＜x ＜1 C ．∅D ．RD [因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8＜0，所以不等式3x 2－2x ＋1＞0的解集为R .]3．不等式x 2－2x －5>2x 的解集是________．{x |x >5或x <－1} [由x 2－2x －5>2x ，得x 2－4x －5>0，因为x 2－4x －5＝0的两根为－1,5，故x 2－4x －5>0的解集为{x |x <－1或x >5}．] 4．不等式－3x 2＋5x －4>0的解集为________．∅ [原不等式变形为3x 2－5x ＋4<0.因为Δ＝(－5)2－4×3×4＝－23<0，所以3x 2－5x ＋4＝0无解．由函数y ＝3x 2－5x ＋4的图象可知，3x 2－5x ＋4<0的解集为∅.]【合作探究】 一元二次不等式的解法【例1】 解下列不等式： (1)2x 2＋7x ＋3>0； (2)－4x 2＋18x －814≥0； (3)－2x 2＋3x －2<0.[解] (1)因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x 2＋7x ＋3＝0有两个不等实根x 1＝－3，x 2＝－12.又二次函数y ＝2x 2＋7x ＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >－12或x <－3. (2)原不等式可化为⎝⎛⎭⎪⎫2x －922≤0，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝94. (3)原不等式可化为2x 2－3x ＋2>0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以方程2x 2－3x ＋2＝0无实根，又二次函数y ＝2x 2－3x ＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R .解不含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)化标准.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正. (2)判别式.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式. (3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根. (4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图. (5)写解集.根据图象写出不等式的解集.1．解下列不等式 (1)2x 2－3x －2>0； (2)x 2－4x ＋4>0； (3)－x 2＋2x －3<0； (4)－3x 2＋5x －2>0.[解] (1)∵Δ>0，方程2x 2－3x －2＝0的根是x 1＝－12，x 2＝2，∴不等式2x 2－3x －2>0的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－12或x >2. (2)∵Δ＝0，方程x 2－4x ＋4＝0的根是x 1＝x 2＝2， ∴不等式x 2－4x ＋4>0的解集为{}x |x ≠2. (3)原不等式可化为x 2－2x ＋3>0， 由于Δ<0，方程x 2－2x ＋3＝0无解， ∴不等式－x 2＋2x －3<0的解集为R . (4)原不等式可化为3x 2－5x ＋2<0，由于Δ>0，方程3x 2－5x ＋2＝0的两根为x 1＝23，x 2＝1，∴不等式－3x 2＋5x －2>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪23<x <1.含参数的一元二次不等式的解法【例2】 解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.[思路点拨] ①对于二次项的系数a 是否分a ＝0，a <0，a >0三类进行讨论？②当a ≠0时，是否还要比较两根的大小？[解] 当a ＝0时，原不等式可化为x >1. 当a ≠0时，原不等式可化为(ax －1)(x －1)<0. 当a <0时，不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)>0，∵1a <1，∴x <1a或x >1.当a >0时，原不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0.若1a <1，即a >1，则1a<x <1；若1a ＝1，即a ＝1，则x ∈∅；若1a >1，即0<a <1，则1<x <1a.综上所述，当a <0时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <1a或x >1；当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x >1}；当0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ 1<x <1a ；当a ＝1时，原不等式的解集为∅；当a >1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1a<x <1.解含参数的一元二次不等式的一般步骤提醒：对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集，不能合并．2．解关于x 的不等式：ax 2－2≥2x －ax (a <0)． [解] 原不等式移项得ax 2＋(a －2)x －2≥0， 化简为(x ＋1)(ax －2)≥0. ∵a <0，∴(x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a ≤0.当－2<a <0时，2a≤x ≤－1；当a ＝－2时，x ＝－1； 当a <－2时，－1≤x ≤2a.综上所述，当－2<a <0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2a≤x ≤－1； 当a ＝－2时，解集为{x |x ＝－1}； 当a <－2时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤2a . 三个“二次”的关系[探究问题]1．利用函数y ＝x 2－2x －3的图象说明当y >0、y <0、y ＝0时x 的取值集合分别是什么？这说明二次函数与二次方程、二次不等式有何关系？提示：y ＝x 2－2x －3的图象如图所示．函数y ＝x 2－2x －3的值满足y >0时自变量x 组成的集合，亦即二次函数y ＝x 2－2x －3的图象在x 轴上方时点的横坐标x 的集合{x |x <－1或x >3}；同理，满足y <0时x 的取值集合为{x |－1<x <3}，满足y ＝0时x 的取值集合，亦即y ＝x 2－2x －3图象与x 轴交点横坐标组成的集合{－1,3}．这说明：方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)和不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)或ax 2＋bx ＋c <0(a >0)是函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的一种特殊情况，它们之间是一种包含关系，也就是当y ＝0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)就转化为方程，当y >0或y <0时，就转化为一元二次不等式．2．方程x 2－2x －3＝0与不等式x 2－2x －3>0的解集分别是什么？观察结果你发现什么问题？这又说明什么？提示：方程x 2－2x －3＝0的解集为{－1,3}．不等式x 2－2x －3>0的解集为{x |x <－1或x >3}，观察发现不等式x 2－2x －3>0解集的端点值恰好是方程x 2－2x －3＝0的根．3．设一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)和ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集分别为{x |x <x 1或x >x 2}，{x |x 1<x <x 2}(x 1<x 2)，则x 1＋x 2，x 1x 2为何值？提示：一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)和ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集分别为{x |x <x 1或x >x 2}，{x |x 1<x <x 2}(x 1<x 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－ba，x 1x 2＝ca ，即不等式的解集的端点值是相应方程的根．【例3】 已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}，求关于x 的不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．[思路点拨]由给定不等式的解集形式→确定a <0及关于a ，b ，c 的方程组→用a 表示b ，c→代入所求不等式→求解cx 2＋bx ＋a <0的解集[解] 法一：由不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}可知，a <0，且2和3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，由根与系数的关系可知ba ＝－5，c a＝6.由a <0知c <0，b c ＝－56，故不等式cx 2＋bx ＋a <0，即x 2＋b c x ＋a c >0，即x 2－56x ＋16>0，解得x <13或x >12，所以不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或x ＞12. 法二：由不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}可知，a <0，且2和3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，所以ax 2＋bx ＋c ＝a (x －2)(x －3)＝ax 2－5ax ＋6a ⇒b ＝－5a ，c ＝6a ，故不等式cx 2＋bx ＋a <0，即6ax 2－5ax ＋a <0⇒6a ⎝⎛⎭⎪⎫x －13⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12<0，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪⎪x ＜13或x ＞12.1．(变结论)本例中的条件不变，求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a >0的解集．已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2＋bx＋c＞0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循：(1)根据解集来判断二次项系数的符号；(2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式；(3)约去a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解.1．解一元二次不等式的常见方法(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)；②求方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图象的简图；③由图象得出不等式的解集．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解．当m<n时，若(x－m)(x－n)＞0，则可得{x|x＞n或x＜m}；若(x－m)(x－n)＜0，则可得{x|m＜x＜n}．有口诀如下：大于取两边，小于取中间．2．含参数的一元二次型的不等式在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a＞0，a＜0，a＝0.(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)．(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1＞x2，x＝x2，x1＜x2.13．由一元二次不等式的解集可以逆推二次函数的开口及与x轴的交点坐标.【课堂达标】1．思考辨析(1)mx2－5x<0是一元二次不等式．( )(2)若a>0，则一元二次不等式ax2＋1>0无解．( )(3)若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为x 1，x 2(x 1<x 2)，则一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为{x |x 1<x <x 2}．( )(4)不等式x 2－2x ＋3>0的解集为R .( )[提示] (1)错误．当m ＝0时，是一元一次不等式；当m ≠0时，是一元二次不等式．(2)错误．因为a >0，所以不等式ax 2＋1>0恒成立，即原不等式的解集为R . (3)错误．当a >0时，ax 2＋bx ＋c <0的解集为{x |x 1<x <x 2}，否则不成立． (4)正确．因为Δ＝(－2)2－12<0，所以不等式x 2－2x ＋3>0的解集为R . [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．设a <－1，则关于x 的不等式a (x －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0的解集为________．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <a 或x >1a [因为a <－1，所以a (x －a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0⇔(x －a )·⎝⎛⎭⎪⎫x －1a >0.又a <－1，所以1a >a ，所以x >1a 或x <a .]3．已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－2或x >－12，则ax 2－bx ＋c >0的解集为________．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12<x <2 [由题意，－2，－12是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根且a <0，故⎩⎪⎨⎪⎧－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－b a ，(－2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝c a，解得a ＝c ，b ＝52a .所以不等式ax 2－bx ＋c >0，即为2x 2－5x ＋2<0， 解得12<x <2，即不等式ax 2－bx ＋c >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12<x <2.] 4．解下列不等式： (1)x (7－x )≥12； (2)x 2>2(x －1)．[解] (1)原不等式可化为x 2－7x ＋12≤0，因为方程x 2－7x ＋12＝0的两根为x 1＝3，x 2＝4，所以原不等式的解集为{x |3≤x ≤4}． (2)原不等式可以化为x 2－2x ＋2>0，因为判别式Δ＝4－8＝－4<0，方程x 2－2x ＋2＝0无实根，而抛物线y ＝x 2－2x ＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R .《一元二次不等式及其解法》专题训练[合格基础练]一、选择题1．不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠－13 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－13≤x ≤13 C ．∅D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝－13 D [(3x ＋1)2≤0， ∴3x ＋1＝0，∴x ＝－13.]2．若集合A ＝{x |(2x ＋1)(x －3)<0}，B ＝{x |x ∈N *，x ≤5}，则A ∩B 等于( )A ．{1,2,3}B ．{1,2}C ．{4,5}D ．{1,2,3,4,5}B [(2x ＋1)(x －3)<0，∴－12<x <3，又x ∈N *且x ≤5，则x ＝1,2.]3．若0<t <1，则不等式(x －t )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1t <0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1t<x <t B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >1t或x <tC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <1t或x >t D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ t <x <1t D [0＜t ＜1时，t <1t ，∴解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪t <x <1t .] 4．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为－2,3，a <0，那么ax 2＋bx ＋c >0的解集为( )A ．{x |x >3或x <－2}B ．{x |x >2或x <－3}C ．{x |－2<x <3}D ．{x |－3<x <2}C [由题意知，－2＋3＝－b a ，－2×3＝c a，∴b ＝－a ，c ＝－6a ， ∴ax 2＋bx ＋c ＝ax 2－ax －6a >0， ∵a <0，∴x 2－x －6<0，∴(x －3)(x ＋2)<0，∴－2<x <3.]5．在R 上定义运算“⊙”：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为( )A ．0＜x ＜2B ．－2＜x ＜1C ．x ＜－2或x ＞1D ．－1＜x ＜2B [根据给出的定义得，x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋(x －2)＝x 2＋x －2＝(x ＋2)(x －1)，又x ⊙(x －2)<0，则(x ＋2)(x －1)<0，故不等式的解集是－2＜x ＜1.]二、填空题6．不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．{x |－4＜x ＜1} [由－x 2－3x ＋4>0得x 2＋3x －4<0，解得－4<x <1.] 7．若关于x 的不等式－12x 2＋2x ＞mx 的解集是{x |0＜x ＜2}，则实数m 的值是________．1 [将原不等式化为12x 2＋(m －2)x ＜0，即x (x ＋2m －4)＜0，故0,2是对应方程x (x ＋2m －4)＝0的两个根，代入得m ＝1.]8．已知集合A ＝{x |3x －2－x 2<0}，B ＝{x |x －a <0}，且B ⊆A ，则a 的取值范围为________．{a|a≤1}[A＝{x|3x－2－x2<0}＝{x|x2－3x＋2>0}＝{x|x<1或x>2}，B＝{x|x<a}．若B⊆A，如图，则a≤1.]三、解答题9．求下列不等式的解集：(1)x2－5x＋6>0；(2)－12x2＋3x－5>0.[解] (1)方程x2－5x＋6＝0有两个不等实数根x1＝2，x2＝3，又因为函数y＝x2－5x＋6的图象是开口向上的抛物线，且抛物线与x轴有两个交点，分别为(2,0)和(3,0)，其图象如图(1)．根据图象可得不等式的解集为{x|x>3或x<2}．(2)原不等式可化为x2－6x＋10<0，对于方程x2－6x＋10＝0，因为Δ＝(－6)2－40<0，所以方程无解，又因为函数y＝x2－6x＋10的图象是开口向上的抛物线，且与x轴没有交点，其图象如图(2)．根据图象可得不等式的解集为∅.10．解关于x的不等式x2－(3a－1)x＋(2a2－2)>0.[解] 原不等式可化为[x－(a＋1)][x－2(a－1)]>0，讨论a＋1与2(a－1)的大小(1)当a＋1>2(a－1)，即a<3时，x>a＋1或x<2(a－1)．(2)当a＋1＝2(a－1)，即a＝3时，x≠4.(3)当a＋1<2(a－1)，即a>3时，x>2(a－1)或x<a＋1，综上：当a<3时，解集为{x|x>a＋1或x<2(a－1)}，当a＝3时，解集为{x|x≠4}，当a >3时，解集为{x |x >2(a －1)或x <a ＋1}．[等级过关练]1．不等式mx 2－ax －1>0(m >0)的解集可能是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >14 B ．RC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－13<x <32 D ．∅A [因为Δ＝a 2＋4m >0，所以函数y ＝mx 2－ax －1的图象与x 轴有两个交点，又m >0，所以原不等式的解集不可能是B 、C 、D ，故选A.]2．关于x 的不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则关于x 的不等式bx 2－ax －2>0的解集为( )A ．{x |－2<x <1}B ．{x |x >2或x <－1}C ．{x |x >1或x <－2}D ．{x |x <－1或x >1}C [∵ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝－2，－b a ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝1，∴bx 2－ax －2>0，即x 2＋x －2>0， 解得x >1或x <－2.]3．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12≤x ≤－13，则不等式x 2－bx －a ＜0的解集是________．{x |2＜x ＜3} [由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的根，且a ＜0，由根与系数的关系，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝b a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ，解得a ＝－6，b ＝5，∴不等式x 2－bx －a ＜0，即为x 2－5x ＋6＜0的解集为{x |2＜x ＜3}．]4．设不等式x 2－2ax ＋a ＋2≤0的解集为A ，若A ⊆{x |1≤x ≤3}，则a 的取值范围为________．－1＜a ≤115 [设y ＝x 2－2ax ＋a ＋2，因为不等式x 2－2ax ＋a ＋2≤0的解集为A ，且A ⊆{x |1≤x ≤3}，所以对于方程x 2－2ax ＋a ＋2＝0. 若A ＝∅，则Δ＝4a 2－4(a ＋2)＜0， 即a 2－a －2＜0，解得－1＜a ＜2. 若A ≠∅，则⎩⎨⎧Δ＝4a 2－4(a ＋2)≥0，12－2a ＋a ＋2≥0，32－3×2a ＋a ＋2≥0，1≤a ≤3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－1，a ≤3，a ≤115，1≤a ≤3，所以2≤a ≤115.综上，a 的取值范围为－1＜a ≤115.]5．已知M 是关于x 的不等式2x 2＋(3a －7)x ＋3＋a －2a 2<0的解集，且M 中的一个元素是0，求实数a 的取值范围，并用a 表示出该不等式的解集．[解] 原不等式可化为(2x －a －1)(x ＋2a －3)<0， 由x ＝0适合不等式得(a ＋1)(2a －3)>0， 所以a <－1或a >32.若a <－1，则－2a ＋3－a ＋12＝52(－a ＋1)>5， 所以3－2a >a ＋12，此时不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪a ＋12<x <3－2a ； 若a >32，由－2a ＋3－a ＋12＝52(－a ＋1)<－54，所以3－2a <a ＋12，此时不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪3－2a <x <a ＋12. 综上，当a <－1时，原不等式的解集为⎝⎛⎭⎪⎫a ＋12，3－2a ，当a >32时，原不等式的解集为⎝⎛⎭⎪⎫3－2a ，a ＋12.第2课时 一元二次不等式的应用【新课导入】1．分式不等式的解法主导思想：化分式不等式为整式不等式思考1：x＋2>0与(x－3)(x＋2)>0等价吗？将x＋2>0变形为(x－3)(x＋2)>0，有什么好处？提示：等价；好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式．2．(1)不等式的解集为R(或恒成立)的条件设二次函数y＝ax2＋bx ＋c若ax2＋bx＋c≤k恒成立⇔y max≤k若ax2＋bx＋c≥k恒成立⇔y min≥k3.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的步骤(1)阅读理解，认真审题，分析题目中有哪些已知量和未知量，找准不等关系．(2)设出起关键作用的未知量，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系)．(3)解不等式(或求函数最值)．(4)回扣实际问题．思考2：解一元二次不等式应用题的关键是什么？提示：解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x，用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解．1．若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪⎪x－2x≤0，则A∩B等于( ) A．{x|－1≤x<0} B．{x|0<x≤1}C．{x|0≤x<2} D．{x|0≤x≤1}B[∵A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0<x≤2}，∴A∩B＝{x|0<x≤1}．]2．不等式x＋1x≥5的解集是________．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪⎪0<x≤14[原不等式⇔x＋1x≥5xx⇔4x－1x≤0⇔⎩⎨⎧x(4x－1)≤0，x≠0，解得0<x≤14.]3．不等式x2＋ax＋4＜0的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．a＞4或a＜－4 [∵x2＋ax＋4＜0的解集不是空集，即不等式x2＋ax＋4＜0有解，∴Δ＝a2－4×1×4＞0，解得，a＞4或a＜－4.]4.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是________．{x |10≤x ≤30} [设矩形高为y ，由三角形相似得：x 40＝40－y40，且x >0，y >0，x <40，y <40，xy ≥300，整理得y ＋x ＝40，将y ＝40－x 代入xy ≥300，整理得x 2－40x ＋300≤0，解得10≤x ≤30.]【合作探究】 分式不等式的解法【例1】 解下列不等式： (1)x －3x ＋2<0； (2)x ＋12x －3≤1. [解] (1)x －3x ＋2<0⇔(x －3)(x ＋2)<0⇔－2<x <3， ∴原不等式的解集为{x |－2<x <3}．(2)∵x ＋12x －3≤1，∴x ＋12x －3－1≤0， ∴－x ＋42x －3≤0， 即x －4x －32≥0.此不等式等价于(x －4)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32≥0且x －32≠0，解得x <32或x ≥4，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <32或x ≥4.1．对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．1．解下列不等式：(1)x ＋1x －3≥0；(2)5x ＋1x ＋1<3. [解] (1)根据商的符号法则，不等式x ＋1x －3≥0可转化成不等式组⎩⎨⎧(x ＋1)(x －3)≥0，x ≠3.解这个不等式组，可得x ≤－1或x >3. 即知原不等式的解集为{x |x ≤－1或x >3}． (2)不等式5x ＋1x ＋1<3可改写为5x ＋1x ＋1－3<0， 即2(x －1)x ＋1<0. 可将这个不等式转化成2(x －1)(x ＋1)<0， 解得－1<x <1.所以，原不等式的解集为{x |－1<x <1}． 一元二次不等式的应用【例2】 国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m 吨．按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．根据市场规律，税率降低x 个百分点，收购量能增加2x 个百分点．试确定x 的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.[思路点拨] 将文字语言转换成数学语言：“税率降低x 个百分点”即调节后税率为(8－x )%；“收购量能增加2x 个百分点”，此时总收购量为m (1＋2x %)吨，“原计划的78%”即为2 400m ×8%×78%.[解] 设税率调低后“税收总收入”为y元．y＝2 400m(1＋2x%)·(8－x)%＝－1225m(x2＋42x－400)(0<x≤8)．依题意，得y≥2 400m×8%×78%，即－1225m(x2＋42x－400)≥2 400m×8%×78%，整理，得x2＋42x－88≤0，解得－44≤x≤2.根据x的实际意义，知x的范围为0<x≤2.求解一元二次不等式应用问题的步骤2．某校园内有一块长为800 m，宽为600 m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．[解] 设花卉带的宽度为x m(0<x<600)，则中间草坪的长为(800－2x)m，宽为(600－2x)m.根据题意可得(800－2x)(600－2x)≥12×800×600，整理得x2－700x＋600×100≥0，即(x－600)(x－100)≥0，所以0<x≤100或x≥600，x≥600不符合题意，舍去．故所求花卉带宽度的范围为0＜x≤100.不等式恒成立问题[探究问题]1．若函数y ＝ax 2＋2x ＋2对一切x ∈R ，f (x )>0恒成立，如何求实数a 的取值范围？提示：若a ＝0，显然y >0不能对一切x ∈R 都成立．所以a ≠0，此时只有二次函数y ＝ax 2＋2x ＋2的图象与直角坐标系中的x 轴无交点且抛物线开口向上时，才满足题意，则⎩⎨⎧a ＞0，Δ＝4－8a <0，解得a >12.2．若函数y ＝x 2－ax －3对－3≤x ≤－1上恒有x 2－ax －3<0成立，如何求a 的范围？提示：要使x 2－ax －3<0在－3≤x ≤－1上恒成立，则必使函数y ＝x 2－ax －3在－3≤x ≤－1上的图象在x 轴的下方，由y 的图象可知，此时a 应满足⎩⎨⎧(－3)2＋3a －3＜0，(－1)2＋a －3＜0，即⎩⎨⎧3a ＋6<0，a －2<0，解得a <－2.故当a ＜－2时，有f (x )<0在－3≤x ≤－1上恒成立．3．若函数y ＝x 2＋2(a －2)x ＋4对任意－3≤a ≤1时，y <0恒成立，如何求x 的取值范围？提示：由于本题中已知a 的取值范围求x ，所以我们可以把函数f (x )转化为关于自变量是a 的函数，求参数x 的取值问题，则令y ＝2x ·a ＋x 2－4x ＋4.要使对任意－3≤a ≤1，y <0恒成立，只需满足⎩⎨⎧2x ＋x 2－4x ＋4＜0(－3)×2x ＋x 2－4x ＋4＜0，即⎩⎨⎧x 2－2x ＋4<0，x 2－10x ＋4<0.因为x 2－2x ＋4<0的解集是空集，所以不存在实数x ，使函数y ＝x 2＋2(a －2)x ＋4对任意－3≤a ≤1，y <0恒成立．【例3】 已知y ＝x 2＋ax ＋3－a ，若－2≤x ≤2，x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，求a 的取值范围．[思路点拨] 对于含参数的函数在某一范围上的函数值恒大于等于零的问题，可以利用函数的图象与性质求解．[解] 设函数y＝x2＋ax＋3－a在－2≤x≤2时的最小值为关于a的一次函数，设为g(a)，则(1)当对称轴x＝－a2<－2，即a>4时，g(a)＝(－2)2＋(－2)a＋3－a＝7－3a≥0，解得a≤73，与a>4矛盾，不符合题意．(2)当－2≤－a2≤2，即－4≤a≤4时，g(a)＝3－a－a24≥0，解得－6≤a≤2，此时－4≤a≤2.(3)当－a2>2，即a<－4时，g(a)＝22＋2a＋3－a＝7＋a≥0，解得a≥－7，此时－7≤a<－4.综上，a的取值范围为－7≤a≤2.1．(变结论)本例条件不变，若y＝x2＋ax＋3－a≥2恒成立，求a的取值范1．不等式ax 2＋bx ＋c >0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a ＝0时，b ＝0，c >0；当a ≠0时，⎩⎨⎧ a >0，Δ<0.2．不等式ax 2＋bx ＋c <0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a ＝0时，b ＝0，c <0；当a ≠0时，⎩⎨⎧a <0，Δ<0.3．解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．1．解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组)求解．当不等式含有等号时，分母不为零．2．对于某些恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参数分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然，这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到以下简单结论：(1)若f (x )有最大值f (x )max ，则a >f (x )恒成立⇔a >f (x )max ；(2)若f (x )有最小值f (x )min ，则a <f (x )恒成立⇔a <f (x )min .3．在某集合A 中恒成立问题 设y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)若ax 2＋bx ＋c ＞0在集合A 中恒成立，则集合A 是不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的取值(范围).【课堂达标】 1．思考辨析(1)不等式1x>1的解集为x <1.( )(2)求解m >ax 2＋bx ＋c (a ＜0)恒成立时，可转化为求解y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小值，从而求出m 的范围．( )[提示] (1)1x >1⇒1x －1>0⇒x －1x<0⇒{x |0<x <1}．故(1)错．(2)m >ax 2＋bx ＋c (a ＜0)恒成立转化为m >y max ，故(2)错． [答案] (1)× (2)×2．不等式(x ＋1)(x ＋2)2(x ＋3)x ＋4>0的解集为________．{x |－4<x <－3或x >－1} [原式可转化为(x ＋1)(x ＋2)2(x ＋3)(x ＋4)>0， 根据数轴穿根法，解集为－4<x <－3或x >－1.]3．对于任意实数x ，不等式(a －2)x 2－2(a －2)x －4＜0恒成立，则实数a 的取值范围是________．－2＜a ≤2 [当a －2＝0，即a ＝2时，－4＜0恒成立； 当a －2≠0，即a ≠2时，则有⎩⎨⎧a －2＜0，Δ＝[－2(a －2)]2－4×(a －2)×(－4)＜0，解得－2＜a ＜2.综上，实数a 的取值范围是－2＜a ≤2.]4．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏．为了使这批台灯每天能获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？[解] 设每盏台灯售价x 元，则x ≥15，并且日销售收入为x [30－2(x －15)]，由题意知，当x ≥15时，有x [30－2(x －15)]>400，解得：15≤x <20.所以为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，应当制定这批台灯的销售价格为15≤x ＜20.《一元二次不等式的应用》专题训练[合格基础练]一、选择题 1．不等式1＋x1－x≥0的解集为( ) A ．{x |－1<x ≤1} B ．{x |－1≤x <1} C ．{x |－1≤x ≤1}D ．{x |－1<x <1}B [原不等式⇔⎩⎨⎧(x ＋1)(x －1)≤0，x －1≠0，∴－1≤x <1.]2．不等式(x －2)2(x －3)x ＋1<0的解集为( )A ．{x |－1<x <2或2<x <3}B ．{x |1<x <3}C ．{x |2<x <3}D ．{x |－1<x <2}A [原不等式⇔⎩⎨⎧(x ＋1)(x －3)<0，x －2≠0，∴－1<x <3且x ≠2.] 3．不等式组⎩⎨⎧x －1>a 2，x －4<2a 有解，则实数a 的取值范围是( )A ．－1＜a ＜3B ．a ＜－1或a ＞3C ．－3＜a ＜1D ．a ＜－3或a ＞1A [由题意得，a 2＋1<x <4＋2a . ∴只须4＋2a >a 2＋1，即a 2－2a －3<0，∴－1<a <3.]4．二次不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为全体实数的条件是( ) A.⎩⎨⎧ a >0Δ>0B.⎩⎨⎧ a >0Δ<0C.⎩⎨⎧a <0Δ>0D.⎩⎨⎧a <0Δ<0D [二次不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为全体实数等价于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象全部在x 轴下方，需要开口向下，且与x 轴无交点，故需要⎩⎨⎧a <0Δ<0.]5．在R 上定义运算⊙：A ⊙B ＝A (1－B )，若不等式(x －a )⊙(x ＋a )<1对任意的实数x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．－1<a <1B ．0<a <2C ．－12<a <32D ．－32<a <12C [∵(x －a )⊙(x ＋a )＝(x －a )(1－x －a )， ∴不等式(x －a )⊙(x ＋a )<1，即(x －a )(1－x －a )<1对任意实数x 恒成立，即x 2－x －a 2＋a ＋1>0对任意实数x 恒成立，所以Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)<0， 解得－12<a <32，故选C.]二、填空题6．当1＜x ＜2时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________．m ≤－5 [设y ＝x 2＋mx ＋4，要使1＜x ＜2时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立． 则有⎩⎨⎧1＋m ＋4≤0，4＋2m ＋4≤0，解得m ≤－5.]7．若0＜a ＜1，则不等式(a －x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＞0的解集是________．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪a ＜x ＜1a [原不等式为(x －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0，由0＜a ＜1，得a ＜1a ，∴a ＜x ＜1a.]8．某地每年销售木材约20万m 3，每立方米价格为2 400元．为了减少木材消耗，决定按销售收入的t %征收木材税，这样每年的木材销售量减少52t 万m 3.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t 的取值范围是________．3≤t ≤5 [设按销售收入的t %征收木材税时，税金收入为y 万元，则y ＝2 400×⎝⎛⎭⎪⎫20－52t ×t %＝60(8t －t 2)．令y ≥900，即60(8t －t 2)≥900，解得3≤t ≤5.] 三、解答题9．若不等式(1－a )x 2－4x ＋6>0的解集是{x |－3<x <1}． (1)解不等式2x 2＋(2－a )x －a >0；(2)b 为何值时，ax 2＋bx ＋3≥0的解集为R?[解] (1)由题意知1－a <0，且－3和1是方程(1－a )x 2－4x ＋6＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a <0，41－a＝－2，61－a ＝－3，解得a ＝3.∴不等式2x 2＋(2－a )x －a >0， 即为2x 2－x －3>0，解得x <－1或x >32，∴所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >32. (2)ax 2＋bx ＋3≥0，即3x 2＋bx ＋3≥0， 若此不等式解集为R ，则Δ＝b 2－4×3×3≤0， ∴－6≤b ≤6.10．某地区上年度电价为0.8元/kw·h，年用电量为a kw·h.本年度计划将电价降低到0.55元/kw·h 至0.75元/kw·h 之间，而用户期望电价为0.4元/kw·h.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k )．该地区电力的成本价为0.3元/kw·h.(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y 与实际电价x 的函数关系式； (2)设k ＝0.2a ，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%?[解] (1)设下调后的电价为x 元/千瓦时，依题意知，用电量增至k x －0.4＋a ，电力部门的收益为y ＝⎝⎛⎭⎪⎫k x －0.4＋a (x －0.3)(0.55≤x ≤0.75)．(2)依题意，有⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎪⎫0.2a x －0.4＋a (x －0.3)≥[a ×(0.8－0.3)](1＋20%)，0.55≤x ≤0.75.整理，得⎩⎨⎧x 2－1.1x ＋0.3≥0，0.55≤x ≤0.75.解此不等式，得0.60≤x ≤0.75.∴当电价最低定为0.60元/千瓦时时，仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%.[等级过关练]1．下列选项中，使不等式x <1x<x 2成立的x 的取值范围是( )A ．x ＜－1B ．－1＜x ＜0C ．0＜x ＜1D ．x ＞1A [法一：取x ＝－2，知符合x <1x<x 2，即－2是此不等式的解集中的一个元素，所以可排除选项B ，C ，D.法二：由题知，不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x 2<0，即(x 2－1)(x 3－1)x 2<0，从而(x －1)2(x ＋1)(x 2＋x ＋1)x 2<0，解得x <－1，选A.]2．若不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( ) A ．－3＜k ＜0B ．－3≤k ＜0C ．－3≤k ≤0D ．－3＜k ≤0D [当k ＝0时，显然成立；当k ≠0时，即一元二次不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立，则⎩⎨⎧ k ＜0，Δ＝k 2－4×2k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－38＜0，解得－3＜k ＜0. 综上，满足不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立的k 的取值范围是－3＜k ≤0.]3．不等式|x (x －2)|＞x (x －2)的解集是________．{x |0＜x ＜2} [不等式|x (x －2)|＞x (x －2)的解集即x (x －2)＜0的解集，解得0＜x ＜2，故不等式的解集为{x |0＜x ＜2}．]4．不等式x 2＋8y 2≥λy (x ＋y )对于任意的x ，y ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围为________．－8≤λ≤4 [因为x 2＋8y 2≥λy (x ＋y )对于任意的x ，y ∈R 恒成立， 所以x 2＋8y 2－λy (x ＋y )≥0对于任意的x ，y ∈R 恒成立，即x 2－λyx ＋(8－λ)y 2≥0恒成立，由二次不等式的性质可得，Δ＝λ2y 2＋4(λ－8)y 2＝y 2(λ2＋4λ－32)≤0，所以(λ＋8)(λ－4)≤0，解得－8≤λ≤4.]5．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，且不等式ax 2＋bx ＋c ＞－2x 的解集为{x |1＜x ＜3}．(1)若方程ax 2＋bx ＋c ＋6a ＝0有两个相等的实根，求y ＝ax 2＋bx ＋c 的函数式；(2)若y ＝ax 2＋bx ＋c 的最大值为正数，求a 的取值范围．[解] (1)∵ax 2＋bx ＋c ＋2x ＞0的解集为(1,3)，∴ax 2＋(b ＋2)x ＋c ＝a (x －1)(x －3)且a ＜0，ax 2＋bx ＋c ＝ax 2－(2＋4a )x ＋3a .①又∵ax 2＋bx ＋c ＋6a ＝0化简为ax 2－(2＋4a )x ＋9a ＝0，有两个相等的实根，∴Δ＝[－(2＋4a )]2－4a ×9a ＝0，即5a 2－4a －1＝0，解得a ＝－15或a ＝1(舍去)． 将a ＝－15代入①得y ＝－15x 2－65x －35. (2)由y ＝ax 2－2(1＋2a )x ＋3a ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋2a a 2－a 2＋4a ＋1a 及a ＜0， 可得y 的最大值为－a 2＋4a ＋1a ，由⎩⎨⎧ －a 2＋4a ＋1a ＞0，a ＜0解得a ＜－2－3或－2＋3＜a ＜0，故当y 的最大值为正数时，实数a 的取值范围是a ＜－2－3或－2＋3＜a ＜0.。

专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式1．（浙江高考真题）已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f （4）>f （1），则（ ） A ．a >0，4a ＋b ＝0 B ．a <0，4a ＋b ＝0 C ．a >0，2a ＋b ＝0 D ．a <0，2a ＋b ＝0【答案】A 【解析】由已知得f (x )的图象的对称轴为x ＝2且f (x )先减后增，可得选项. 【详解】由f (0)＝f （4），得f (x )＝ax 2＋bx ＋c 图象的对称轴为x ＝－2ba＝2，∴4a ＋b ＝0， 又f (0)>f （1），f （4）>f （1），∴f (x )先减后增，于是a >0， 故选：A.2．（2021·全国高三专题练习（文））已知函数42()f x x x =-，则错误的是（ ）A ．()f x 的图象关于y 轴对称B ．方程()0f x =的解的个数为2C ．()f x 在(1,)+∞上单调递增D ．()f x 的最小值为14-【答案】B 【解析】结合函数的奇偶性求出函数的对称轴，判断A ，令()0f x =，求出方程的解的个数，判断B ，令2t x =，2211()()24g t t t t =-=--，从而判断C ，D 即可．【详解】42()f x x x =-定义域为R ，显然关于原点对称，又()()4242()f x x x x x -=---=-()f x =，所以()y f x =是偶函数，关于y 轴对称，故选项A 正确. 令()0f x =即2(1)(1)0x x x +-=，解得：0x =，1，1-，函数()f x 有3个零点，故B 错误；练基础令2t x =，2211()()24g t t t t =-=--，1x >时， 函数2t x =，2()g t t t =-都为递增函数，故()f x 在(1,)+∞递增，故C 正确；由12t =时，()g t 取得最小值14-，故()f x 的最小值是14-，故D 正确．故选：B ．3．（2021·北京高三其他模拟）设x ∈R ，则“2560x x -+<”是“|2|1x -<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】分别解出两个不等式的解集，比较集合的关系，从而得到两命题的逻辑关系. 【详解】2560x x -+<23x ⇒<<；|2|1x -<13x ⇒<<；易知集合()2,3是()1,3的真子集，故是充分不必要条件. 故选：A.4．（2021·全国高三月考）已知函数2()f x x bx c =-++，则“02b f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”是“方程()0f x =有两个不同实数解且方程(())0f f x =恰有两个不同实数解”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】根据二次函数的图象与性质，求得(())02bf f >，反之若()0f t =有两个正根12t t <，当12max ()t t f x <<，得到方程(())0f f x =恰有四个不同实数解，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由2()f x x bx c =-++表示开口向下的抛物线，对称轴的方程为2b x =，要使得方程()0f x =有两个不同实数，只需()02bf >，要使得方程(())0f f x =恰有两个不同实数解，设两解分别为12,x x ，且12x x <， 则满足1max 2()x f x x <<，因为12(,)x x x ∈时，()0f x >，所以(())02b f f >，所以必要性成立； 反之，设()02b t f =>，即()0f t >，当()0f t =有两个正根，且满足12t t <，若12max ()t t f x <<， 此时方程(())0f f x =恰有四个不同实数解，所以充分性不成立.所以“02b f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”是“方程()0f x =有两个不同实数解且方程(())0f f x =恰有两个不同实数解”的必要不充分条件. 故选：C.5．（2021·全国高三专题练习）若当x ∈(1，2)时，函数y =(x -1)2的图象始终在函数y =log a x 的图象的下方，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】1<a ≤2. 【解析】在同一个坐标系中画出两个函数的图象，结合图形，列出不等式组，求得结果. 【详解】如图，在同一平面直角坐标系中画出函数y =(x -1)2和y =log a x 的图象.由于当x ∈(1，2)时，函数y =(x -1)2的图象恒在函数y =log a x 的图象的下方，则1log 21aa >⎧⎨⎩，解得1<a ≤2.故答案为：1<a ≤2.6.（2020·山东省微山县第一中学高一月考）若不等式220ax x a ++<对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是_________.【答案】(,1)-∞- 【解析】∵不等式220ax x a ++<对任意x ∈R 恒成立， ∴函数22y ax x a =++的图象始终在x 轴下方，∴2440a a <⎧⎨∆=-<⎩，解得1a <-， 故答案为：(,1)-∞-．7.（2021·全国高三专题练习）已知当()0,x ∈+∞时，不等式9x －m ·3x ＋m ＋1>0恒成立，则实数m 的取值范围是________．【答案】(,2-∞+ 【解析】先换元3x ＝t ，()1,t ∈+∞，使f （t ）＝t 2－mt ＋m ＋1>0在()1,t ∈+∞上恒成立，再利用二次函数图象特征列限定条件，计算求得结果即可. 【详解】令3x ＝t ，当()0,x ∈+∞时，()1,t ∈+∞，则f （t ）＝t 2－mt ＋m ＋1>0在()1,t ∈+∞上恒成立，即函数在()1,t ∈+∞的图象在x 轴的上方，而判别式()()224144m m m m ∆=--+=--，故2440m m ∆=--<或()0121110m f m m ∆≥⎧⎪⎪≤⎨⎪=-++≥⎪⎩，解得2m <+故答案为：(,2-∞+.8．（2021·浙江高一期末）已知函数2()1(0)f x ax x a =-+≠，若任意1x 、2[1,)x ∈+∞且12x x ≠，都有()()12121f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围是___________．【答案】[)1,+∞ 【解析】本题首先可令12x x >，将()()12121f x f x x x ->-转化为()()1122f x x f x x ->-，然后令()()g x f x x =-，通过函数单调性的定义得出函数()g x 在[1,)+∞上是增函数，最后分为0a =、0a ≠两种情况进行讨论，结合二次函数性质即可得出结果. 【详解】因为任意1x 、2[1,)x ∈+∞且12x x ≠，都有()()12121f x f x x x ->-，所以令12x x >，()()12121f x f x x x ->-即()()1212f x f x x x ->-，()()1122f x x f x x ->-，令()()221g x f x x ax x =-=-+，则函数()g x 在[1,)+∞上是增函数， 若0a =，则()21g x x =-+，显然不成立；若0a ≠，则0212a a>⎧⎪-⎨-≤⎪⎩，解得1a ≥，综合所述，实数a 的取值范围是[)1,+∞， 故答案为：[)1,+∞.9.（2021·四川成都市·高三三模（理））已知函数21,0()2,0x x f x x x x --≤⎧=⎨-+>⎩，若()()12f x f x =，且12x x ≠，则12x x -的最大值为________． 【答案】134【解析】由()()12f x f x =得，212221x x x =--，把12x x -转化为212212231x x x x x x -=-=-++，利用二次函数求最值. 【详解】()y f x =的图像如图示：不妨令12x x <，由图像可知，10x ≤，20x >由()()22121221221221f x f x x x x x x x =⇒--=-+⇒=--，由212212231x x x x x x -=-=-++ 当232x =时，12max134x x -=． 故答案为：134. 10．（2021·浙江高一期末）已知函数2()24f x kx x k =-+．（Ⅰ）若函数()f x 在区间[2,4]上单调递减，求实数k 的取值范围； （Ⅱ）[2,4]x ∀∈，()0f x ≥恒成立，求实数k 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）1(,]4-∞；（Ⅱ）1[,)2+∞ 【解析】（Ⅰ）由题意讨论0k =，0k >与0k <三种情况，求出函数的对称轴，结合区间，列不等式求解；（Ⅱ）利用参变分离法得24k x x≥+在[2,4]上恒成立，令4()f x x x =+，根据单调性，求解出最值，即可得k 的取值范围. 【详解】（Ⅰ）当0k =时，()2f x x =-，在区间[2,4]上单调递减，符合题意；当0k >时，对称轴为1x k，因为()f x 在区间[2,4]上单调递减，所以14k ≥，得14k ≤，所以104k <≤；当0k <时，函数()f x 在区间[2,4]上单调递减，符合题意，综上，k 的取值范围为1(,]4-∞.（Ⅱ）[2,4]x ∀∈，()0f x ≥恒成立，即[2,4]x ∀∈，22244x k x x x≥=++恒成立，令4()f x x x=+，可知函数()f x 在[2,4]上单调递增，所以()4f x ≥，所以max 2142x x ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪+⎝⎭，所以12k ≥，故k 的取值范围为1[,)2+∞1．（2020·山东省高三二模）已知函数()()21f x x m x m =+--，若()()0f f x 恒成立，则实数m 的范围是（ ）A ．3,3⎡--+⎣B ．1,3⎡--+⎣C ．[]3,1- D ．3⎡⎤-+⎣⎦【答案】A 【解析】()()()()211f x x m x m x m x =+--=-+，（1）1m >-，()()0ff x ≥恒成立等价于()f x m ≥或()1f x ≤-恒成立，即()()21f x x m x m m =+--≥或()()211f x x m x m =+--≤-（不合题意，舍去）恒成立；即01m ∆≤⎧⎨>-⎩，解得(1,3m ∈--+， （2）1m =-恒成立，符合题意； （3）1m <-，()()0ff x ≥恒成立等价于()f x m ≤（不合题意，舍去）或()1f x ≥-恒成立，等价于1m ∆≤⎧⎨<-⎩，解得[)3,1m ∈--. 综上所述，3,3m ⎡∈--+⎣，故选：A.2．（2021·浙江高三二模）已知()22f x x x =-，对任意的1x ，[]20,3x ∈．方程练提升()()()()12f x f x f x f x m -+-=在[]0,3上有解，则m 的取值范围是（ ）A ．[]0,3B ．[]0,4C ．{}3D ．{}4【答案】D 【解析】对任意的1x ，[]20,3x ∈．方程()()()()12f x f x f x f x m -+-=在[]0,3上有解，不妨取取()11f x =-，()23f x =，方程有解m 只能取4，则排除其他答案.【详解】2()(1)1f x x =--，[0,3]x ∈，则min ()1f x =-，max ()3f x =.要对任意的1x ，[]20,3x ∈．方程()()()()12f x f x f x f x m -+-=在[]0,3上都有解, 取()11f x =-，()23f x =，此时，任意[0,3]x ∈，都有()()()()124m f x f x f x f x =-+-=， 其他m 的取值，方程均无解，则m 的取值范围是{}4. 故选：D.3.（2020·浙江省高三二模）已知函数()321,020a x x f x x ax x ⎧-≤⎪=⎨-+->⎪⎩的图象经过三个象限，则实数a 的取值范围是________. 【答案】2a <或3a >. 【解析】当0x ≤时，3()||11f x a x =-≤-，此时函数图象经过第三象限，当02x <<时，2()(1)2f x x a x =-++，此时函数图象恒经过第一象限，当2[(1)]40a =--->且10a +>，即3a >时，函数图像经过第一、四象限，当2x ≥时，2()(1)2f x x a x =---，此时函数图象恒经过第一象限，当(2)0f <，即2a >时，函数图像经过第一、四象限， 综上所述：2a <或3a >.4．（2020·陕西省西安中学高三其他（理））记{},max ,,,m m nm n n m n ≥⎧=⎨<⎩函数{}22()max 44(1),ln (1)f x x ax a x a =-+--<有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是_________.【答案】12a < 【解析】令()()2244(1)0g x x ax a x =-+-->，因为1a <，则()2(1)651(5)0ln1g a a a a =-+-=---<=，所以(1)ln10f ==，即1是函数()f x 的零点， 因为函数()g x 的对称轴为122a x =<， 所以根据题意，若函数()f x 有且只有一个零点，则二次函数()g x 没有零点，22(4)16(1)0a a ∆=--<，解得12a <. 故答案为：12a <5．（2021·浙江高三专题练习）已知函数()21,()2f x x x a b a b R =+-+∈，若[1,1]x ∈-时，()1f x ≤，则12a b +的最大值是___________. 【答案】12- 【解析】根据函数()21,()2f x x x a b a b R =+-+∈，分1a >，1a <-和11a -≤≤三种情况讨论，分别求得其最大值，即可求解. 【详解】由题意，函数()21,()2f x x x a b a b R =+-+∈， 当1a >时，()211,[1,1]22f x x x a b x =-++∈-，因为() 1f x ≤，可得(1)11()14f f -≤⎧⎪⎨≥-⎪⎩，所以1122115216a b a b ⎧+≤-⎪⎪⎨⎪+≥-⎪⎩，所以15111622a b -≤+≤-； 当1a <-时，()211,[1,1]22f x x x a b x =+-+∈-，因为()1f x ≤，可得()max 11(1)1122f x f a b ==+-+≤， 所以1122b a ≤-，所以113222a b a +=-≤-；当11a -≤≤时，()21,[1,1]2f x x x a b x =+-+∈-，由()1f x ≤知，()max (1)1112f f x a b =+--+=， 因为11a -≤≤，所以10a --≤，所以()max (1)1112f f x a b =+--+=，所以1122a b +≤-，综上可得，12a b +的最大值是12-.故答案为：12-6.（2021·浙江高三期末）已知函数()()21sin sin ,22bf x x x a a b R =+-+∈，若对于任意x ∈R ，均有()1f x ≤，则+a b 的最大值是___________.【答案】1- 【解析】首先讨论1a ≥、1a ≤-时()f x 的最值情况，由不等式恒成立求+a b 的范围，再讨论11a -<<并结合()f x 的单调情况求+a b 的范围，最后取它们的并集即可知+a b 的最大值. 【详解】当sin a x ≥时，211()(sin )4216a b f x x +=-+-， 当sin a x <时，211()(sin )4216b a f x x -=++-，令sin [1,1]t x =∈-，则()()2211,4216{11(),()4216a b t a t g t b a t a t +⎛⎫-+-≥ ⎪⎝⎭=-++-<∴当1a ≥时，14t =有min 1()216a b g t +=-；1t =-有max 3()22a b g t +=+； 由x ∈R 有()1f x ≤，有131121622a b a b ++-≤-<+≤，故1518a b -≤+≤-； 当1a ≤-时，14t =-有min 1()216b a g t -=-；1t =有max 3()22b a g t -=+； 由x ∈R 有()1f x ≤，有131121622b a b a ---≤-<+≤，故1518b a -≤-≤-，即3a b +≤-； 当11a -<<时，()2211(),(1)4216{11,(1)4216a b t t a g t b a t a t +-+--<<=-⎛⎫++-≤< ⎪⎝⎭， ∴1(1,)4a ∈--：()g t 在(1,)a -上递减，1[,)4a -上递减，1[,1]4-上递增； 11[,]44a ∈-：()g t 在(1,)a -上递减，[,1)a 上递增；1(,1)4a ∈：()g t 在1(1,]4-上递减，1[,)4a 上递增，[,1)a 上递增；∴综上，()g t 在(1,1)-上先减后增，则(1)1(1)1g g ≤⎧⎨-≤⎩，可得1a b +≤-∴1a b +≤-恒成立，即+a b 的最大值是-1. 故答案为：1-.7．（2020·武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）高一期中）已知函数2()3(,)f x ax bx a b R =++∈，且()0f x ≤的解集为[1,3]．（1）求()f x 的解析式；（2）设()()41xh x f x x =+-，在定义域范围内若对于任意的12x x ，，使得()()12h x h x M -≤恒成立，求M 的最小值．【答案】（1）2()43f x x x =-+；（2）2． 【解析】（1）代入方程的根，求得参数值.（2）使不等式恒成立，根据函数单调性求得函数的最值，从而求得参数的值. 【详解】 解：（1）由题意(1)30(3)9330f a b f a b =++=⎧⎨=++=⎩解得14a b =⎧⎨=-⎩2()43f x x x ∴=-+（2）由题意max ()()min M h x h x -2(),2xh x x R x =∈+ 当0()0x h x ==当10()2x h x x x≠=+， 令2()g x x x=+，当0,()22x g x>，当x =当0,()x g x <≤-x =()(,)g x ∴∈-∞-⋃+∞(),00,(0)44h x x ⎡⎫⎛∈-⋃≠⎪ ⎢⎪⎣⎭⎝⎦综上，()44h x ⎡∈-⎢⎣⎦2442M⎛∴--= ⎝⎭min 2M ∴=8．（2021·浙江高一期末）设函数()()2,f x x ax b a b R =-+∈． （1）若()f x 在区间[]0,1上的最大值为b ，求a 的取值范围； （2）若()f x 在区间[]1,2上有零点，求2244a b b +-的最小值． 【答案】（1）[)1,+∞；（2）45. 【解析】（1）对实数a 的取值进行分类讨论，分析函数()f x 在区间[]0,1上的单调性，求得()max f x ，再由()max f x b =可求得实数a 的取值范围；（2）设函数()f x 的两个零点为1x 、2x ，由韦达定理化简()22222221222222241414144a x x x x x x b b x +-=+⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭，设()22224124g x x =⎛⎫+- ⎪⎝⎭，由[]21,2x ∈结合不等式的基本性质求出()2g x 的最小值，即为所求. 【详解】（1）二次函数()2f x x ax b =-+的图象开口向上，对称轴为直线2a x =. ①当02a≤时，即当0a ≤时，函数()f x 在区间[]0,1上单调递增，则()()max 11f x f a b ==-+； ②当012a <<时，即当02a <<时，函数()f x 在0,2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在,12a ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增， ()0f b =，()11f a b =-+，所以，(){}max 1,01max ,1,12a b a f x b a b b a -+<<⎧=-+=⎨≤<⎩；③当12a≥时，即当2a ≥时，函数()f x 在区间[]0,1上单调递减，则()()max 0f x f b ==.综上所述，()max 1,1,1a b a f x b a -+<⎧=⎨≥⎩.所以，当()f x 在区间[]0,1上的最大值为b ，实数a 的取值范围是[)1,+∞； （2）设函数()f x 的两个零点为1x 、2x ，由韦达定理可得1212x x ax x b+=⎧⎨=⎩，所以，()()22222222222212121211221212122444424142a b b x x x x x x x x x x x x x x x x x +-=++-=-++=+-+()222222222212222222241414141x x x x x x x x x x ⎛⎫=+-+-≥- ⎪+++⎝⎭， 设()242222222222422222444144141124x x g x x x x x x x =-===++⎛⎫++- ⎪⎝⎭， 由212x ≤≤可得221114x ≤≤，所以，()2222445124g x x =≥⎛⎫+- ⎪⎝⎭.此时，21x =，由212241x x x =+可得115x =. 所以，当115x =，21x =时，2244a b b +-取最小值45. 9．（2020·全国高一单元测试）已知函数f （x ）=9x ﹣a ⋅3x +1+a 2（x ∈[0，1]，a ∈R ），记f （x ）的最大值为g （a ）．（Ⅰ）求g （a ）解析式；（Ⅱ）若对于任意t ∈[﹣2，2]，任意a ∈R ，不等式g （a ）≥﹣m 2+tm 恒成立，求实数m 的范围．【答案】（Ⅰ）g （a ）=22499,3431,3a a a a a a ⎧-+≤⎪⎪⎨⎪-+>⎪⎩；（Ⅱ）m ≤﹣52或m ≥52．【解析】（Ⅰ）令u =3x ∈[1，3]，得到f （x ）=h （u ）=u 2﹣3au +a 2，分类讨论即可求出， （Ⅱ）先求出g （a ）min =g （32）=﹣54，再根据题意可得﹣m 2+tm ≤﹣54，利用函数的单调性即可求出．【详解】解：（Ⅰ）令u =3x ∈[1，3]，则f （x ）=h （u ）=u 2﹣3au +a 2． 当32a≤2，即a ≤43时，g （a ）=h （u ）min =h （3）=a 2﹣9a +9； 当322a>，即a ＞43时，g （a ）=h （u ）min =h （1）=a 2﹣3a +1； 故g （a ）=22499,3431,3a a a a a a ⎧-+≤⎪⎪⎨⎪-+>⎪⎩；（Ⅱ）当a≤43时，g （a ）=a 2﹣9a +9，g （a ）min =g （43）=﹣119；当a 43>时，g （a ）=a 2﹣3a +1，g （a ）min =g （32）=﹣54；因此g （a ）min =g （32）=﹣54；对于任意任意a ∈R ，不等式g （a ）≥﹣m 2+tm 恒成立等价于﹣m 2+tm ≤﹣54． 令h （t ）=mt ﹣m 2，由于h （t ）是关于t 的一次函数，故对于任意t ∈[﹣2，2]都有h （t ）≤﹣54等价于5(2)45(2)4h h ⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩，即2248504850m m m m ⎧+-≥⎨--≥⎩， 解得m ≤﹣52或m ≥52． 10．（2021·全国高一课时练习）已知函数()22(0)f x ax ax b a =-+>，在区间[]0,3上有最大值16，最小值0.设()()f xg x x=． （1）求()g x 的解析式；（2）若不等式()22log log 0g x k x -⋅≥在[]4,16上恒成立，求实数k 的取值范围；【答案】（1）()148g x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭(0)x ≠；（2）(,1]-∞． 【解析】（1）由二次函数的性质知()f x 在0,1上为减函数，在()1,3上为增函数，结合其区间的最值，列方程组求,a b ，即可写出()g x 解析式； （2）由题设得222184()4log log k x x≤-+在[]4,16x ∈上恒成立，即k 只需小于等于右边函数式的最小值即可. 【详解】（1）∵()2(1)f x a x b a =-+-(0a >)，即()f x 在0,1上为减函数，在()1,3上为增函数．又在[]0,3上有最大值16，最小值0，∴(1)0f b a =-=，(3)316f a b =+=，解得4a b ==， ∴()148g x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭(0)x ≠； （2）∵()22log log 0g x k x -≥∴22214log 8log log x k x x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭，由[]4,16x ∈，则[]2log 2,4x ∈， ∴222221814()44(1)log log log k x x x ≤-+=-，设21log t x =，11,42t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ∴()24(1)h t t =-在11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，当12t =时，()h t 最小值为1，∴1k ≤，即(,1]k ∈-∞.1．（浙江省高考真题）若函数()2f x =x ax b ++在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M m -的值（ ）A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关练真题【答案】B 【解析】因为最值在2(0),(1)1,()24a a fb f a b f b ==++-=-中取，所以最值之差一定与b 无关，选B ．2.（2018·浙江高考真题）已知λ∈R，函数f (x )={x −4,x ≥λx 2−4x +3,x <λ，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________． 【答案】 (1,4) (1,3]∪(4,+∞) 【解析】由题意得{x ≥2x −4<0 或{x <2x 2−4x +3<0 ，所以2≤x <4或1<x <2，即1<x <4，不等式f (x )<0的解集是(1,4),当λ>4时，f(x)=x −4>0，此时f(x)=x 2−4x +3=0,x =1,3，即在(−∞,λ)上有两个零点；当λ≤4时，f(x)=x −4=0,x =4，由f(x)=x 2−4x +3在(−∞,λ)上只能有一个零点得1<λ≤3.综上，λ的取值范围为(1,3]∪(4,+∞).3.（北京高考真题）已知0x ≥,0y ≥,且1x y +=,则22x y +的取值范围是_____.【答案】1[,1]2【解析】试题分析：22222(1)221,[0,1]x y x x x x x +=+-=-+∈，所以当01x =或时，取最大值1；当12x =时，取最小值12.因此22x y +的取值范围为1[,1]2.4.（2018·天津高考真题（理））已知0a >，函数222,0,()22,0.x ax a x f x x ax a x ⎧++≤=⎨-+->⎩若关于x 的方程()f x ax=恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是______________.【答案】(48)，【解析】分析：由题意分类讨论0x ≤和0x >两种情况，然后绘制函数图像，数形结合即可求得最终结果. 详解：分类讨论：当0x ≤时，方程()f x ax =即22x ax a ax ++=， 整理可得：()21x a x =-+，很明显1x =-不是方程的实数解，则21x a x =-+，当0x >时，方程()f x ax =即222x ax a ax -+-=， 整理可得：()22x a x =-，很明显2x =不是方程的实数解，则22x a x =-，令()22,01,02x x x g x x x x ⎧-≤⎪⎪+=⎨⎪>⎪-⎩， 其中211211x x x x ⎛⎫-=-++- ⎪++⎝⎭，242422x x x x =-++-- 原问题等价于函数()g x 与函数y a =有两个不同的交点，求a 的取值范围. 结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数()g x 的图象， 同时绘制函数y a =的图象如图所示，考查临界条件， 结合0a >观察可得，实数a 的取值范围是()4,8.5.（2020·江苏省高考真题）已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+∈R 在区间D 上恒有()()()f x h x g x ≥≥．（1）若()()222 2()f x x x g x x x D =+=-+=∞-∞+，，，，求h (x )的表达式； 【答案】（1）()2h x x =； 【解析】（1）由题设有2222x x kx b x x -+≤+≤+对任意的x ∈R 恒成立. 令0x =，则00b ≤≤，所以0b =.因此22kx x x ≤+即()220x k x +-≥对任意的x ∈R 恒成立，所以()220k ∆=-≤，因此2k =. 故()2h x x =.6．（浙江省高考真题（文））设函数2(),(,)f x x ax b a b R =++∈.（1）当214a b时，求函数()f x 在[1,1]-上的最小值()g a 的表达式； （2）已知函数()f x 在[1,1]-上存在零点，021b a ≤-≤，求b 的取值范围.【答案】（1）222,2,4(){1,22,2,24a a a g a a a a a ++≤-=-<≤-+>；（2）[3,9--【解析】 （1）当214a b时，2()()12a f x x =++，故其对称轴为2a x =-. 当2a ≤-时，2()(1)24a g a f a ==++.当22a -<≤时，()()12a g a f =-=.当2a >时，2()(1)24a g a f a =-=-+.综上，222,2,4(){1,22,2,24a a a g a a a a a ++≤-=-<≤-+>（2）设,s t 为方程()0f x =的解，且11t -≤≤，则{s t ast b+=-=.由于021b a ≤-≤，因此212(11)22t ts t t t --≤≤-≤≤++. 当01t ≤≤时，222222t t t b t t --≤≤++， 由于222032t t --≤≤+和212932t t t --≤≤-+所以293b -≤≤-当10t -≤≤时，222222t t t b t t --≤≤++， 由于22202t t --≤<+和2302t t t --≤<+，所以30b -≤<.综上可知，b 的取值范围是[3,9--.。

专题03 二次函数与方程、不等式知识网络重难突破知识点一二次函数与一元二次方程二次函数y＝ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)1.抛物线与x轴的交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的解.2.若已知二次函数y＝ax2+bx+c的函数值为s，求自变量x的值，就是解一元二次方程ax2+bx+c=s.【典例1】(2019•镇海区一模)若二次函数y＝ax2﹣2ax+c(a≠0)的图象经过点(﹣1，0)，则方程ax2﹣2ax+c ＝0的解为()A．x1＝﹣3，x2＝﹣1 B．x1＝﹣1，x2＝3C．x1＝1，x2＝3 D．x1＝﹣3，x2＝1【点拨】先确定抛物线的对称轴为直线x＝1，再根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3，0)，从而根据抛物线与x轴的交点问题得到方程ax2﹣2ax+c＝0的解．【解析】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，而抛物线与x轴的一个交点坐标为(﹣1，0)，所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3，0)，所以方程ax2﹣2ax+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝3．故选：B．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．【变式训练】1．(2018秋•江汉区期中)如表中列出了二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的一些对应值，则一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的一个近似解x1的范围是()x…﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …y…﹣11 ﹣5 ﹣1 1 1 …A．﹣3＜x1＜﹣2 B．﹣2＜x1＜﹣1 C．﹣1＜x1＜0 D．0＜x1＜1【点拨】根据函数的增减性：函数在[﹣1，0]上y随x的增大而增大，可得答案．【解析】解：当x＝﹣1时，y＝﹣1，x＝1时，y＝1，函数在[﹣1，0]上y随x的增大而增大，得一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的一个近似解在﹣1＜x1＜0，故选：C．【点睛】本题考查了图象求一元二次方程的近似根，两个函数值的积小于零时，方程的解在这两个函数值对应的自变量的中间．2．(2019•德城区一模)关于x的方程(x﹣3)(x﹣5)＝m(m＞0)有两个实数根α，β(α＜β)，则下列选项正确的是()A．3＜α＜β＜5 B．3＜α＜5＜βC．α＜2＜β＜5 D．α＜3且β＞5【点拨】根据平移可知：将抛物线y＝(x﹣3)(x﹣5)往下平移m个单位可得出抛物线y＝(x﹣3)(x﹣5)﹣m，依此画出函数图象，观察图形即可得出结论．【解析】解：将抛物线y＝(x﹣3)(x﹣5)往下平移m个单位可得出抛物线y＝(x﹣3)(x﹣5)﹣m，画出函数图象，如图所示．∵抛物线y＝(x﹣3)(x﹣5)与x轴的交点坐标为(3，0)、(5，0)，抛物线y＝(x﹣3)(x﹣5)﹣m与x轴的交点坐标为(α，0)、(β，0)，∴α＜3＜5＜β．故选：D．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的图象以及平移的性质，依照题意画出函数图象，利用数形结合解决问题是解题的关键．3．(2019秋•镇海区校级期中)如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A(﹣3，4)，B(1，1)，则关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解为﹣3，1．【点拨】根据抛物线与直线的交点坐标的横坐标即可求解．【解析】解：因为抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A(﹣3，4)，B(1，1)，所以关于x的方程ax2＝bx+c的解为x1＝﹣3，x2＝1，即关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解为x1＝﹣3，x2＝1．故答案为﹣3、1．【点睛】本题考查了抛物线与直线交点坐标，解决本题的关键是两交点的横坐标就是方程的解．知识点二二次函数与x轴交点情况对于二次函数y＝ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：①△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；②△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；③△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点.【典例2】下列二次函数的图象与x轴没有交点的是()A．y＝﹣3x2﹣4x B．y＝x2﹣3x﹣4 C．y＝x2﹣6x+9 D．y＝2x2+4x+5【点拨】分别计算四个选项中的判别式的值，然后根据判别式的意义确定抛物线与x轴的交点个数，从而可对各选项进行判断．【解析】解：A、△＝(﹣4)2﹣4×(﹣3)×0＞0，此抛物线与x轴有两个交点，所以A选项错误；B、△＝(﹣3)2﹣4×(﹣4)＞0，此抛物线与x轴有两个交点，所以B选项错误；C、△＝(﹣6)2﹣4×9＝0，此抛物线与x轴有1个交点，所以C选项错误；D、△＝42﹣4×2×5＜0，此抛物线与x轴没有交点，所以D选项正确．故选：D．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数(△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点)．【变式训练】1．(2019秋•新昌县校级月考)二次函数y＝2x2﹣5x+3的图象与x轴的交点有()A．1个B．2个C．3个D．4个【点拨】△＝b2﹣4ac＝25﹣4×2×3＝1＞0，即可求解．【解析】解：△＝b2﹣4ac＝25﹣4×2×3＝1＞0，故二次函数y＝2x2﹣5x+3的图象与x轴有两个交点，故选：B．【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查根的判别式，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点代表的意义．2．(2018秋•西湖区期末)一元二次方程x2+bx+c＝0有一个根为x＝﹣3，则二次函数y＝2x2﹣bx﹣c的图象必过点()A．(﹣3，0) B．(3，0) C．(﹣3，27) D．(3，27)【点拨】先把x＝﹣3代入方程x2+bx+c＝0得3b﹣c＝9，利用整体代入的方法计算出自变量为﹣3对应的函数值为27，从而可判断抛物线经过点(﹣3，27)．【解析】解：把x＝﹣3代入方程x2+bx+c＝0得9﹣3b+c＝0，则3b﹣c＝9，当x＝﹣3时，y＝2x2﹣bx﹣c＝18+3b﹣c＝18+9＝27，所以二次函数y＝2x2﹣bx﹣c的图象必过点(﹣3，27)．故选：C．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的图象上点的坐标特征．3．(2018秋•瑞安市期末)已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，对称轴是直线x＝﹣1，若点A的坐标为(1，0)，则点B的坐标是()A．(﹣2，0) B．(0，﹣2) C．(0，﹣3) D．(﹣3，0)【点拨】利用点B与点A关于直线x＝﹣1对称确定B点坐标．【解析】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，∴点A与点B关于直线x＝﹣1对称，而对称轴是直线x＝﹣1，点A的坐标为(1，0)，∴点B的坐标是(﹣3，0)．故选：D．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．知识点三二次函数与不等式(组)1.涉及一元二次不等式的，可以利用二次函数图像图象求解2.两个函数的值的大小比较，上方图象的函数值大于下方图象的函数值.【典例4】(2019秋•新昌县校级月考)已知函数y1＝x2与函数y2＝x+3的图象大致如图所示，若y1＜y2，则自变量x的取值范围是()A．＜x＜2 B．x＞2或x＜C．x＜﹣2或x＞D．﹣2＜x＜【点拨】联立y1＝x2、y2＝x+3并解得：x＝﹣2或，y1＜y2，此时直线在抛物线上方，即可求解．【解析】解：联立y1＝x2、y2＝x+3并解得：x＝﹣2或，∵y1＜y2，即直线在抛物线上方时，确定x的取值范围，此时，﹣2＜x，故选：D．【点睛】本题考查的是二次函数与不等式(组)，要求学生通过函数图象交点，比较函数值的大小，从而确定不等式的解值，而不是采取直接解不等式的方法求解．【变式训练】1．(2018秋•苍南县期中)如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴交于A(0，2)，且经过B(4，2)，则不等式ax2+bx+c＞2的解集为0＜x＜4．【点拨】直接利用二次函数图象利用A，B点坐标得出不等式ax2+bx+c＞2的解集．【解析】解：如图所示：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴交于A(0，2)，且经过B(4，2)，∴不等式ax2+bx+c＞2的解集为：0＜x＜4．故答案为：0＜x＜4．【点睛】此题主要考查了二次函数与不等式，正确利用数形结合分析是解题关键．2．(2018秋•下城区期末)已知函数y1＝﹣(m+1)x2+nx+2与y2＝mx+2的图象都经过A(4，﹣4)．若y2≤y1，则x的取值范围为x≤0或x≥4．【点拨】先A点坐标代入y2＝mx+2得4m+2＝﹣4，再求出m，则可判断二次函数图象的开口向上，易得函数y1＝﹣(m+1)x2+nx+2与y2＝mx+2的图象都经过点(0，2)，然后根据函数图象，写出直线不在抛物线上方所对应的自变量的范围即可．【解析】解：把A(4，﹣4)代入y2＝mx+2得4m+2＝﹣4，解得m＝﹣，∵﹣(m+1)＞0，∴二次函数图象的开口向上，∵函数y1＝﹣(m+1)x2+nx+2与y2＝mx+2的图象都经过点(0，2)，∴y2≤y1，则x的取值范围为x≤0或x≥4．故答案为x≤0或x≥4．【点睛】本题考查了二次函数与不等式(组)：对于二次函数y＝ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．3．(2019秋•秀洲区期中)如图，直线y＝x+m和抛物线y＝x2+bx+3都经过点A、点B，且A(1，0)，(1)求m的值及点B的坐标；(2)求不等式x2+bx+3≥x+m的解集．(直接写出答案)【点拨】(1)将点A的坐标代入一次函数表达式得：0＝1+m，解得：m＝﹣1，同理解得：b＝﹣4，联立方程组即可求解；(2)从图象可以看出：不等式x2+bx+3≥x+m的解集为：x≤1或x≥4．【解析】解：(1)将点A的坐标代入一次函数表达式得：0＝1+m，解得：m＝﹣1，故直线的表达式为：y＝x﹣1…①；将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝1+b+3，解得：b＝﹣4，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3…②，联立①②并解得：x＝1或4，故点B(4，3)；(2)从图象可以看出：不等式x2+bx+3≥x+m的解集为：x≤1或x≥4．【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．巩固训练1．(2019春•西湖区校级月考)函数y＝ax2+bx+c如图所示，若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，则()A．k＞0 B．k＞﹣3 C．k＜﹣3 D．k＝0【点拨】结合函数图象，利用当k＞﹣3时，直线y＝k与抛物线y＝ax2+bx+c＝0有两个交点，从而可对各选项进行判断．【解析】解：抛物线y＝ax2+bx+c的顶点的纵坐标为﹣3，直线y＝﹣3与抛物线y＝ax2+bx+c＝0只有一个交点，当k＞﹣3时，直线y＝k与抛物线y＝ax2+bx+c＝0有两个交点，所以当k＞﹣3时，方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根．故选：B．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．2．(2019春•安吉县期中)如图，抛物线y＝﹣x2+mx的对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx ﹣t＝0(t为实数)在1＜x＜3的范围内有解，则t的取值范围是()A．﹣5＜t≤4 B．3＜t≤4 C．﹣5＜t＜3 D．t＞﹣5【点拨】先利用抛物线的对称轴方程求出m得到抛物线解析式为y＝﹣x2+4x，配方得到抛物线的顶点坐标为(2，4)，再计算出当x＝1或3时，y＝3，结合函数图象，利用抛物线y＝﹣x2+4x与直线y＝t在1＜x＜3的范围内有公共点可确定t的范围．【解析】解：∵抛物线y＝﹣x2+mx的对称轴为直线x＝2，∴﹣＝2，解得m＝4，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+4x，抛物线的顶点坐标为(2，4)，当x＝1时，y＝﹣x2+4x＝3；当x＝3时，y＝﹣x2+4x＝3，∵关于x的一元二次方程x2+mx﹣t＝0(t为实数)在1＜x＜3的范围内有解，∴抛物线y＝﹣x2+4x与直线y＝t在1＜x＜3的范围内有公共点，∴3＜t≤4．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．3．(2019•慈溪市模拟)已知抛物线y＝x2+mx+n与x轴只有一个公共点，且过点A(a，b)，B(a﹣4，b)，则b 的值为()A．4 B．2 C．6 D．9【点拨】根据抛物线y＝x2+mx+n与x轴只有一个公共点，可知△＝0，从而可以得到m与n的关系，再根据抛物线y＝x2+mx+n过点A(a，b)，B(a﹣4，b)，可以得到a和m的关系，从而可以求得b的值．【解析】解：∵抛物线y＝x2+mx+n与x轴只有一个公共点，∴△＝m2﹣4×1×n＝m2﹣4n＝0，∴n＝m2，∵抛物线y＝x2+mx+n过点A(a，b)，B(a﹣4，b)，∴b＝a2+ma+n，b＝(a﹣4)2+m(a﹣4)+n，∴a2+ma+n＝(a﹣4)2+m(a﹣4)+n，化简，得a＝，∴b＝a2+ma+n＝()2+m×+m2＝4，故选：A．【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，求出b的值．4．(2019•杭州)在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y＝(x+a)(x+b)的图象与x轴有M个交点，函数y ＝(ax+1)(bx+1)的图象与x轴有N个交点，则()A．M＝N﹣1或M＝N+1 B．M＝N﹣1或M＝N+2C．M＝N或M＝N+1 D．M＝N或M＝N﹣1【点拨】先把两个函数化成一般形式，若为二次函数，再计算根的判别式，从而确定图象与x轴的交点个数，若一次函数，则与x轴只有一个交点，据此解答．【解析】解：∵y＝(x+a)(x+b)，a≠b，∴函数y＝(x+a)(x+b)的图象与x轴有2个交点，∵函数y＝(ax+1)(bx+1)＝abx2+(a+b)x+1，∴当ab≠0时，△＝(a+b)2﹣4ab＝(a﹣b)2＞0，函数y＝(ax+1)(bx+1)的图象与x轴有2个交点，即N＝2，此时M＝N；当ab＝0时，不妨令a＝0，∵a≠b，∴b≠0，函数y＝(ax+1)(bx+1)＝bx+1为一次函数，与x轴有一个交点，即N＝1，此时M＝N+1；综上可知，M＝N或M＝N+1．故选：C．【点睛】本题主要考查一次函数与二次函数与x轴的交点问题，关键是根据根的判别式的取值确定抛物线与x轴的交点个数，二次项系数为字母的代数式时，要根据系数是否为0，确定它是什么函数，进而确定与x轴的交点个数．5．(2019春•西湖区校级月考)函数y＝x2+bx+c与y＝x的图象如图所示，则不等式x2+(b﹣1)x+c＜0的解集为1＜x＜3．【点拨】根据当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，可得x2+bx+c＜x，继而可求得答案．【解析】解：∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，∴x2+bx+c＜x，∴x2+(b﹣1)x+c＜0．∴不等式x2+(b﹣1)x+c＜0的解集为1＜x＜3，故答案为1＜x＜3．【点睛】主要考查二次函数与不等式(组)，此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．6．(2019•拱墅区校级模拟)已知如图二次函数y1＝ax2+bx+c(a≠0)与一次函数y2＝kx+m(k≠0)的图象相交于点A(﹣2，4)，B(8，2)(如图所示)则能使y1＜y2成立的x的取值范围是﹣2＜x＜8．【点拨】根据函数图象，写出抛物线在直线下方部分的x的取值范围即可．【解析】解：由图可知，﹣2＜x＜8时，y1＜y2．故答案为：﹣2＜x＜8．【点睛】本题考查了二次函数与不等式组，数形结合是数学中的重要思想之一，解决函数问题更是如此，同学们要引起重视．7．(2019•柯城区校级一模)如图，已知直线y1＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B．过A，B两点的抛物线y2＝ax2+bx+c交x轴于点C(﹣1，0)．(1)求A，B的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)求出当y1＞y2时，自变量x的取值范围．【点拨】(1)利用一次函数的解析式确定A、B的坐标；(2)利用待定系数法求抛物线解析式；(3)写出抛物线在直线下方所对应的自变量的范围．【解析】解：(1)当x＝0时，y＝﹣x+2＝2，则B(0，2)；当y＝0时，﹣x+2＝0，解得x＝4，则A(4，0)；(2)设抛物线解析式为y＝a(x+1)(x﹣4)，把B(0，2)代入得a(0+1)(0﹣4)＝2，解得：a＝﹣，所以抛物线解析式为y＝﹣(x+1)(x﹣4)，即y＝﹣x2+x+2；(3)当y1＞y2时，x的取值范围为x＜0或x＞4．【点睛】本题考查了二次函数与不等式(组)：对于二次函数y＝ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．也考查了抛物线与x轴的交点问题和二次函数的性质．8．(2019春•西湖区校级月考)若二次函数y＝kx2+(3k+2)x+2k+2．(1)若抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，求k的值；(2)求证：抛物线与x轴有交点．(3)经研究发现，无论k为何值，抛物线经过某些特定的点，请求出这些定点．(4)若y1＝2x+2，在﹣2＜x＜﹣1范围内请比较y1，y的大小．【点拨】(1)抛物线的对称轴是直线x＝﹣1＝﹣，即可求解；(2)△＝b2﹣4ac＝(3k+2)2﹣4k(2k+2)＝(k+2)2≥0，即可求解；(3)y＝kx2+(3k+2)x+2k+2＝k(x2+3x+2)+2x+2，当x2+3x+2＝0时，函数过定点，则x＝﹣1或﹣2，即可求解；(4)如图所示，抛物线过定点：(﹣1，0)、(﹣2，﹣2)，由图象可见：当k＞0时，y1＞y；当k＜0时，y1＜y．【解析】解：(1)抛物线的对称轴是直线x＝﹣1＝﹣，解得：k＝﹣2；(2)△＝b2﹣4ac＝(3k+2)2﹣4k(2k+2)＝(k+2)2≥0，故：抛物线与x轴有交点；(3)y＝kx2+(3k+2)x+2k+2＝k(x2+3x+2)+2x+2，当x2+3x+2＝0时，函数过定点，则x＝﹣1或﹣2，则定点为：(﹣1，0)、(﹣2，﹣2)；(4)如图所示，抛物线过定点：(﹣1，0)、(﹣2，﹣2)，由图象可见：当k＞0时，y1＞y；当k＜0时，y1＜y．【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．。

二次函数与一元二次方程、不等式练习题1．如图，直线y 1＝kx +n （k ≠0）与抛物线y 2＝ax 2+bx +c （a ≠0）分别交于A （﹣1，0），B （2，﹣3）两点，那么当y 1＞y 2时，x 的取值范围是（ ）A ．﹣1＜x ＜2B ．x ＞2C ．x ＜﹣1或x ＞2D ．x ≤﹣12．抛物线y 1＝﹣x 2+4x 和直线y 2＝2x 的图象如图所示，那么不等式y 1＞y 2的解集是（ ）第2题 第1题 第3题A ．x ＜0B ．0＜x ＜4C ．0＜x ＜2D ．2＜x ＜43．已知抛物线y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，则关于x 的方程ax 2+bx +c =0的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数B ．有两个相等的实数根C ．有两个同号的实数根D ．没有实根 4．抛物线2321y x x =-+-与y 轴的交点坐标为（ ）A ．()0,1 B ．()0,1- C ．()1,0- D ．()1,0第9题图5．已知二次函数y=（k ﹣2）x 2+2x+1的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ） A ．k≥3 B ．k ＜3 C ．k≤3且k≠2 D ．k ＜2 6．若二次函数y=x 2﹣2x+c 的图象与x 轴没有交点，则c 的值可能是（ ） A ．﹣3 B ．﹣2 C ．0 D ．27．二次函数y=x2+bx+1的图象与x轴只有一个公共点，则此公共点的坐标是（）A．（1，0）B．（2，0）C．（﹣1，0）或（﹣2，0）D．（﹣1，0）或（1，0）8．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个9．函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，那么关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是A．有两个不相等的根B．有两个同号的实数根C．有两个相等实数根D．无实数根11．抛物线y＝－2x2－x＋2与坐标轴的交点个数是()A．3 B．2 C．1 D．012．若抛物线y=x2﹣2x﹣1与x轴的交点坐标为（a，0），则代数式a2﹣2a+2017的值为（）A．2019 B．2018 C．2017 D．201613．抛物线y=ax2−4x+c经过A(−1,−1)和B(3,−9).（1）求该二次函数的表达式；（2）直接写出当y>0时，x的取值范围；（3）若点P(m,m)在该函数图像上，求点P的坐标.。