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整体思想在解二元一次方程组中的应用

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整体思想在解二元一次方程组中的应用求解一元二次方程时，用代入消元法或是加减消元法，将二元消元为一元。

在运用消元法时，对于有些问题，不是从局部着手，而是从大处着眼，从整体上观察，探求解题途径，这种数学思想方法叫整体探求思想，在《二元一次方程组》中，体现这种思想方法的地方很多．在平常遇到方程组求解时，先从全局观察，再动手求解，可以在一定程度上训练我们“大处着眼，小处着手”的战略眼光，对今后高中数学学习，以至工作中都会有所帮助。

例1 已知x 、y 满足方程组则x －y 的值为________.分析：观察题目特点，我们发现可以把原来的两个方程相减，就能够得到所要求的结果． 解：把原来的两个方程相减得：，故，答案应该填写1．点评：本题是把x －y 作为一个整体来处理，解答起来要比解这个方程组，求出x 、y 的值，再带入x －y 计算求值省时，快速，简便．例2 解方程组⎩⎨⎧=+=+②①.2196,823y x y x分析 此题应抓住6x 是3x 的2倍，利用方程①的3x =8-2y ，从而整体代入方程②，经消元求解，使解法简洁.解 由①，得3x =8-2y . ③把③代入②，得2（8-2y ）+9y =21.∴ y =1.把y =1代入③，得3x =8-2.∴x =2，∴⎩⎨⎧==.1,2y x练习：1.解方程组⎩⎨⎧=+=+531542153y x y x分析：方程组中的系数成倍数关系，适宜把①中的整体代入②，先求出x 的值，再求出y 的值．解：由①得5y =21-3x ③把③代入②，得4x +3（21-3x ）=534x +63-9x =53，-5x =-10 x =2把x =2代入③，得5y =21-6 y =3∴原方程组的解是⎩⎨⎧==32y x⎩⎨⎧=+=+,42,52y x y x 1y x =-2.解方程组5613 7+18 1. x y x y +=⎧⎨=-⎩，①②解：由①，得6135y x =-，将其代入②，得7+3(13-5)1x x =-，解得5x =．把5x =代入③，得61355y =-⨯，解得2y =-．所以原方程组的解为52x y =⎧⎨=-⎩． 例3 解方程组⎩⎨⎧=+=+②①.3112137,3273721y x y x分析 此题数字较大，直接运用代入法或加减法，都会遇到复杂的计算，且容易出错.仔细观察各未知数的系数，第一个方程组的x ，y 的系数，刚好是第二个方程中y 和x 的系数，故可采用整体相加减，使系数绝对值变小，得到一个新的简易的方程.解 ①+②，得58x +58y =638.即x +y =11. ③②-①，得16x -16y =-16，即x -y =-1. ④③+④，得2x =10，∴ x =5.③-④，得2y =12，∴ y =6.∴ ⎩⎨⎧==.6,5y x 例4 解方程组7 233()17. 23x y x y x y x y +-⎧+=⎪⎪⎨+-⎪+=⎪⎩，①②分析：本题直接解方程组比较复杂，观察方程组中方程的特点，如果把2x y +，3x y -看成整体，先求出它们的值，计算量会较小，也不容易出错。

为此，我们先把方程变得简单． 设2x y +=A ，3x y -=B ，则原方程组化为7 317. A B A B +=⎧⎨+=⎩，解得52.A B =⎧⎨=⎩， 即52 2.3x y x y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，，整理，得106.x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得82.x y =⎧⎨=⎩，练习：1.解方程组⎩⎨⎧=+=+11541378y x y x分析：方程组中x 、y 的系数和相等，可以把两式相加减解：①+②得12x +12y =24，即x +y =2 ③①-②得4x +2y =2，即2x +y =1 ④④-③得x =-1，把x =-1代入③得y =3∴原方程组的解是⎩⎨⎧=-=31y x2.解方程组201220132013?,201320122012?.x y x y +=⎧⎨+=⎩①②分析:两方程中未知数的系数较大，若采用通常的消元法计算量很大，观察方程组的形式，可发现系数有轮换、对称的特点，且和相等，因此可采用整体相加或相减的办法，化简系数，寻找隐含的x 、y 的关系.解:①+②，化简得:x + y = 1 ③，①-②，化简得: x -y = -1 ④，③+④，化简得：x =0，把x =0代入③得y =1.所以原方程组的解为0,1.x y =⎧⎨=⎩3.已知方程组 则x +y 的值等于______________.分析：本题可用“代入法”或“加减法”求得x 、y 的值，但细心观察②×2+①，可发现x 、y 上的系数相同.因此可不求x 、y 的值而利用整体思想直接解得x +y 的值.解: ②×2+①，得10x +10y =45，所以x +y =4.5.4.解方程组 分析：从形式上看这个方程组比较复杂，应先将每一个方程都进行化简，化成二元一6833,26.x y x y +=⎧⎨+=⎩①②()()⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+162143y x y x y x y x次方程组的一般形式，然后再选择代入法或加减法。

但是通过观察可以发现，两个未知数出现的形式只有（x +y ）和（x -y ）两种，可以把它们分别看成一个整体，利用换元法解。

解：设a =x +y ,b =x -y原方程化为解得 所以, 解得5.解方程组分析：方程组中的系数成整数倍，②可以通过变形构造出x -y ，且x -y 的系数互为相反数，可以把两式相互加减解：由②得4（x +y ）+3（x -y ）=15 ③，①+③得x +y =3 ④，把④代入①，得x -y =1 ⑤④+⑤得x =2，④-⑤得y =1∴原方程组的解是例5 如果关于m 、n 的二元一次方程组（Ⅰ）⎩⎨⎧=+=+152163bn m an m 的解是⎩⎨⎧==.1,7n m 请你用合理的方法求关于x ，y 的二元一次方程组（Ⅱ）3()()162()()15x y a x y x y b x y ++-=⎧⎨-+-=⎩的解. 分析 通过观察后发现方程组（Ⅰ）和（Ⅱ）中对应的系数分别相等，若把（Ⅱ）中的x +y 和x -y 分别看成整体，可知x +y 和x -y 的值分别与m ，n 的值相等，从而求得方程组的解.解 把方程组（Ⅱ）中的x +y 和x -y 分别看成整体，根据方程组（Ⅰ）的解是⎩⎨⎧==.1,7n m 可得⎩⎨⎧=-=+1,7y x y x ∴⎩⎨⎧==3,4y x⎪⎩⎪⎨⎧=+=-162143b a b a ⎪⎩⎪⎨⎧==135b a ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+135y x y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3134y x ⎩⎨⎧+=++=--+yx y x y x y x 3153)(43)(3)(2⎩⎨⎧==12y x例6 已知方程组373,4104.x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩①②求x +y +z 的值.分析：本题是一个三元一次方程组，依据条件不能分别求出x 、y 、z 的值，因此可探究方程中每项未知数系数的特点，从整体上考虑解决的办法.解:①×3，②×2，得92139,22028.x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩①②③-④得 x + y + z = 1 .练习1.已知5x +4y =9，且3x +8y =11.求代数式2x +3y 的值；2.已知a -2b =5，求15—3a +6b 的值.分析：1.中两个方程没有联立方程组，不易观察，可联立方程组利用整体思想探寻特征巧妙解题.2.中可对所求代数式进行变形，整体代入.解:1.联立方程组，得5493811.x y x y +=⎧⎨+=⎩①，②①+②，得8x +12y =20化简得2x +3y =5.故代数式2x +3y 的值为5.2.原式=15-(3a -6b )=15-3(a -2b )，由a -2b =5，所以原式=15-3×5=0.3. 如果2x +3y +z =130，3x +5y +z =180，求z y x yx +++2的值．解：将x +2y 、x +y +z 看作整体，已知条件变形为⎩⎨⎧=++++=++++180)()2(2130)()2(z y x y x z y x y x 解得⎩⎨⎧=++=+80502z y x y x 则z y x y x +++2=85例7 有A 、B 两种型号的U 盘，其中2个A 型U 盘与3个B 型U 盘最多可存储60GB 的信息，5个A 型U 盘与6个B 型U 盘最多可存储150GB 的信息，求3个A 型U 盘与5个B 型U 盘最多可存储多少GB 的信息？分析：本题可根据题意设未知数列方程组，在解方程组的过程中发现解决问题的办法. 解: 设1个A 型U 盘最多可存储x GB 的信息， 1个B 型U 盘最多可存储y GB 的信息，根据题意得2360,56150.x y x y +=⎧⎨+=⎩①②①×7-②，得9x +15y =270，化简得3x +5y =90.故3个A 型U 盘与5个B 型U 盘最多可存储90GB 的信息.例8 有甲、乙、丙三种货物，若买甲5件，乙2件，丙4件，一共需80元；若买甲3件，乙6件，丙4件，一共需144元，现在需购买甲、乙、丙各一件共需多少元？分析：本题可根据题意设未知数列三元一次方程组，但由题中条件只能找到两种等量关系，因此不可能一一求得三个未知数的值，需考虑整体代入探求结果.解: 设购买一件甲需x 元，一件乙需y 元，一件需丙z 元，根据题意得52480,364144.x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩①② ①+②，得8x +8y +8z =224，所以x +y +z =28.故购买甲、乙、丙各一件共需28元.练习：1.有甲、乙、丙三种商品，如果购甲3件、乙2件，丙1件共需315元钱，购甲1件、乙2件、丙3件共需285元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需 元钱．分析：我们可以通过设元，构建三元一次方程组来解答．设购买甲、乙、丙三种商品分别需要x 元、y 元和z 元，要想求出购甲、乙、丙三种商品各一件共需多少元钱，我们可以运用整体的思想求出x +y +z 的值就可以得到正确答案．解：设购买甲、乙、丙三种商品分别需要x 元、y 元和z 元，那么，根据题意，可以得到：3x +2y +z =315x +2y +3z =285，解得：x +y +z =150.因此，可以填写答案是150元．2.有这样一个问题：今有四数，取其三个而相加，其和分别为22，22，26和20，求此四数各几何？部分学生读不懂题意，但大部分学生是列出了方程组，却不知该如何求解.如果能灵活运用整体思想，此题便能轻松求解.解 若设此四数分别为a ，b ，c ，d ，则根据题意可列出方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++=++④③②①.20,26,22,22d c b d c a d b a c b a①+②+③+④，得3(a +b +c +d )=90.∴a +b +c +d =30. ⑤⑤-①，得d =8，⑤-②，得c =8，⑤-③，得b =4，⑤-④，得a =10，∴ 所求的四数分别为10，4，8，8.总之，在解二元一次方程组的有关问题时，“代入法”和“加减法”是解方程常用的方法，有时根据题目的形式特征及方程组系数的特点，采用整体思想，灵活代入或加减，可巧妙求出未知量，达到简单、快捷的效果.但同时也要注意具体问题具体分析，切不可生搬硬套.。

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整体思想应用举例

整体思想应用举例

整体思想应用举例在我们初一学习的《二元一次方程组》这一章中，整体思想有广泛的的应用.一、用于解方程组例1 解方程组⎩⎨⎧2002x+2003y=2001①2003x+2002y=2004②分析：如果选用代入法解答，比如由①得，x= 2001- 2003y 2002,再代入②，得 2003×（2001- 2003y 2002）+2002y=2004 解答起来十分麻烦.如果选用加减法，比如，①×2003- ②×2002，可以消去x ，得2003×2003y-2002×2002y=2001×2003- 2004×2002形式也很复杂，不易求解.注意到两个方程的系数正好对调这一特征，先将两方程相加，①+②，得4005x + 4005y = 4005化简，得 x+y=1 ③再将两方程相减，① - ②，得-x + y = - 3化简，得 x-y=3 ④由③、④组成方程组，得⎩⎨⎧x + y =1 ③x - y =3 ④对于这个方程组，不难解得⎩⎨⎧x = 2y = -1例2 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x+y-z=11①y+z-x=5 ②z+x-y=1 ③ 分析：注意到此方程组中的数据具有轮换特征，可将三个方程相加，①+②+③，得 x+y+z=17 ④④-①,得 z = 3;④-②,得 x = 6;④-③,得 y = 8.所以，原方程组的解为 ⎩⎪⎨⎪⎧x = 6y = 8z = 3 例3（1998年广东省中考题）如果关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎨⎧3x-ay = 162x+by = 15的解是⎩⎨⎧x=7y=1 ，那么关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎨⎧3(x+y)-a(x-y)=162(x+y)+b(x-y)=15的解是_____. 分析：如果把⎩⎨⎧x=7y=1 代入⎩⎨⎧3x-ay = 162x+by = 15 ，解出a 、b 的值，再代入⎩⎨⎧3(x+y)-a(x-y)=162(x+y)+b(x-y)=15，进而求解，虽然可行，但很繁琐。

整体思想在数学解决问题中的应用

整体思想在数学解决问题中的应用

整体思想在数学解决问题中的应用整体思想就是考虑数学问题时，不是着眼于它的局部特征，而是把注意和和着眼点放在问题的整体结构上，通过对其全面深刻的观察，从宏观整体上认识问题的实质，把一些彼此独立但实质上又相互紧密联系着的量作为整体来处理的思想方法。

整体思想在处理数学问题时，有广泛的应用。

一、整体思想在代数式求值中的应用例1：m+n=2，mn=1，则 = ；思路：不用单独求m和n，而是把变成在把m+n和mn的值进行整体代入。

例2：已知 +x-1=0，则 = ；思路：不用单独求x值，而是 +x-1=0变化成2（ + x）-1=0得到 + x=进行整体代入。

二、整体思想在解方程（组）中的应用例1：若方程组的解是，则方程组的解是（）。

A． B． C． D．思路：把x+2和y-1看做一个整体，根据已知方程组的解，容易得到x+2=8.3，y-1=1.2，进而求得x和y的值。

例2：若二元一次方程组的解为则a-b=；思路：不用解方程求x和y，只需把方程组中两个方程相加，得到4x-4y=7，得到x-y的值，进而得到a-b的值。

三、整体思想在求线段长中的应用例1(河北2018中考)：如图，点为△ABC的内心，，，，将平移使其顶点与重合，则图中阴影部分的周长为（）A.4.5B.4C.3D.2思路：阴影部分的周长可以凑成一个整体转化为线段AB的长。

例2：如图，某楼梯示意图，BC＝4米。

要在楼梯上铺设地毯，则地毯的长度大约为（）米。

(取1.73)思路：其实地毯的长度就是所有台阶的长度与高度的和，即AC+BC的长。

四、整体思想在求角度中的应用例1：如图，三个全等三角形按如图的形式摆放,则∠1+∠2+∠3的度数是( )。

A.90∘B.120∘C.135∘D.180∘思路：∠1+∠2+∠3的度数和看做一个整体去求。

可以利用平移的办法转化为一个平角，也可以用三个平角的和减去两个三角形的内角和。

五、整体思想在求面积中的应用例2：如图，⊙A，⊙B，⊙C两两不相交，半径都是1cm，则图中阴影部分的面积是( )cm²。

七年级数学下册102二元一次方程组的解法用整体思想解二元一次方程组素材青岛版.

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用整体思想解二元一次方程组 解二元一次方程组主要是通过消元（代入消元法、加减消元法），化二元一次方程组为一元一次方程，然后求出二元一次方程组的解，在运用消元法解二元一次方程组时，还要注重整体思想的运用，以探求消元捷径，提高解题速度和准确性．一、代入消元法中的整体思想1、 直接整体代入例1 解方程组⎩⎨⎧=+=+531542153y x y x 分析：方程组中的系数成倍数关系，适宜把①中的整体代入②，先求出x 的值，再求出y 的值．解：由①得5y=21-3x ③把③代入②，得4x+3（21-3x ）=534x+63-9x=53，-5x=-10 x=2把x=2代入③，得5y=21-6 y=3∴原方程组的解是⎩⎨⎧==32y x2、 变形后整体代入例2 解方程组⎩⎨⎧=+=+876254y x y x 分析：由①得4x=2-5y ，把4x 看成整体代入②，式较简捷，解：由①得4x=2-5 ③把③代入②得2x+2-5y+7y=8，化简得x=3-y ④，把④代入①得4（3-y ）+5y=2，解得y=-10，把y=-10代入①得4x-50=2，解得x=13∴原方程组的解是⎩⎨⎧-==1013yx二、加减消元法中的整体思想3、 直接整体加减① ①例3 解方程组⎩⎨⎧=+=+11541378y x y x 分析：方程组中x 、y 的系数和相等，可以把两式相加减解：①+②得12x+12y=24，即x+y=2 ③①-②得4x+2y=2，即2x+y=1 ④④-③得x=-1，把x=-1代入③得y=3∴原方程组的解是⎩⎨⎧=-=31y x 4、 变形后整体加减例4 解方程组⎩⎨⎧+=++=--+yx y x y x y x 3153)(43)(3)(2分析：方程组中的系数成整数倍，②可以通过变形构造出x-y ，且x-y 的系数互为相反数，可以把两式相互加减解：由②得4（x+y ）+3（x-y ）=15 ③，①+③得x+y=3 ④，把④代入①，得x-y=1 ⑤④+⑤得x=2，④-⑤得y=1∴原方程组的解是⎩⎨⎧==12y x 三、由整体思想构造方程组例5 如果2x+3y+z=130，3x+5y+z=180，求z y x y x +++2的值．解：将x+2y 、x+y+z 看作整体，已知条件变形为解得⎩⎨⎧=++=+80502z y x y x 则z y x y x +++2=85① ①。

整体思想在初中数学中的应用-最新教育文档

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整体思想在初中数学中的应用整体思想是初中数学中的一种严重思想，贯穿于初中数学教学的各个阶段，是解决好数学问题的一种严重策略.所谓整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法.整体思想涉及的形式较多，这里就通过整体思想在初中数学解题过程中的几种多见应用方法加以举例分析，让我们进一步感受、理解和掌握整体思想的解题技巧，以提高自己的解题能力.一、整体思想在求代数式的值中的应用例1：已知a-a-1=0，求a+2a+2012的值.分析：此题若先从已知条件a-a-1=0中解出a的值，然后代入代数式求解，尽管理论上是正确的，但解答相当麻烦且很困难.若注意到所求代数式与方程的关系，将a-a-1=0转化为a-a=1，再把a-a看做一个整体，用整体思想进行分析求解，则解题会变得简单、简易.解：∵a-a-1=0∴a-a=1∴a+2a+2012=a+a+（a+a）-a+2012=a（a+a）+（a+a）-a+2012=（a+a）（a+1）-a+2012=1×（a+1）-a+2012=2013例2：已知x=2时，ax+bx+cx-8=10.求当x=-2时，代数式ax+bx+cx-8的值.分析：由于ax+bx+cx中的x的指数均为奇数，故当x=2和x=-2时，它的值恰好互为相反数，从而可用整体代入的方法求得代数式的值.解：当x=2时，∵ax+bx+cx-8=10，∴32a+8b+2c=18.①当x=-2时，ax+bx+cx-8=（-2）a+（-2）b+（-2）c-8=-（32a+8b+2c）-8.将①式整体代入，得到-（32a+8b+2c）-8=-18-8=-26.故当x=2时，代数式ax+bx+cx-8的值为-26.二、整体思想在因式分解中的应用例3：因式分解：（a+2a+2）（a+2a+4）+1.分析：对于这类题目，学生很简易先做整式乘法，把式子（a+2a+2）（a+2a+4）+1展开后得到a+4a+10a+12a+9，要把这个多项式进行因式分解，就必须恰当地运用拆项和乘法公式，这是何等的困难.仔细观察可以发现式子中前一项的两个因式中都含有式子a+2a，如果我们把a+2a看成一个整体，展开后就可以得到一个关于a+2a的二次三项式，问题就迎刃而解了.解：（a+2a+2）（a+2a+4）+1=[（a+2a）+2][（a+2a）+4]+1=（a+2a）+4（a+2a）+2（a+2a）+8+1=（a+2a）+6（a+2a）+9=（a+2a+3）三、整体思想在解方程或方程组中的应用例4：解方程：（x-1）-5（x-1）+4=0.分析：如果我们去括号，整理后得到的将是关于x的高次方程x-7x+10=0，要直接解这个方程难度很大.这时我们可以将x-1视为一个整体，设x-1=y，运用整体思想来分析，就可以化难为易.解：设x-1=y，则原方程可化为y-5y+4=0解得y=1，y=4.当y=1时，x-1=1，解得x=±；当Y=4时，x-1=4，解得x=±.∴原方程的解为x=，x=-，x=，x=-.例5：解方程组：x+y=5 ①y+z=4 ②z+x=5 ③分析：解三元一次方程组的基本思路是消元，本题完全可以通过带入消元法或加减消元法将三元一次方程组转化为二元一次方程组来解，但这样比较麻烦.如果我们把三个式子相加，就可以得到x+y+z的值，再把x+y+z看成一个整体分别与方程组中的三个式子相减，就可以求得方程组的解.解：①+②+③，得2（x+y+z）=12 ④④-①，得z=9④-②，得x=8④-③，得y=7∴原方程组的解是x=8y=7z=9.四、整体思想在解应用题中的应用例6：若买铅笔4支，日记本3本，圆珠笔2支，共需10元；若买铅笔9支，日记本7本，圆珠笔5支，共需25元，则购买铅笔、日记本、圆珠笔各一样共需多少元？分析：本题是要求购买铅笔、日记本、圆珠笔各一样共需多少元.如果设铅笔每支x元，日记本每本y元，圆珠笔每支z元，需要有三个等量关系，才能列出三个方程分别求出x，y，z的值，但本应用题只有两个等量关系，只能列出两个方程，这就需要应用整体思想，直接求出的值.解：设铅笔每支x元，日记本每本y元，圆珠笔每支z元，依题意得：4x+3y+2z=10 ①9x+7y+5z=25 ②②-①，得5x+4y+3z=15 ③③-①，得x+y+z=5.答：购买铅笔、日记本、圆珠笔各一样共需5元.五、整体思想在几何问题中的应用例6：在如图所示的星形图中，求∠A、∠B、∠C、∠D、∠E的和.分析：显然，我们无法分别求出∠A、∠B、∠C、∠D、∠E的度数，但仔细审题后可以发现，题目中并不是分别求出这五个角的值，而是要求“∠A+∠B+∠C+∠D+∠E”这一整体的值，因此我们可以利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，把这些角集中到一个三角形内，再利用三角形的内角和定理，就可以使问题得以解决.解：∠AMN，∠ANM分别是△MCE和△NBD的一个外角.∴∠AMN=∠C+∠E，∠ANM=∠B+∠D.在△AMN中，∠A+∠AMN+∠ANM=180°，∴∠A+∠C+∠E+∠B+∠D=180°，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.通过举例，我们可以看出，整体思想在初中数学中的作用及严重性.在解答某些数学题时，若能用整体思想去考虑，把整体思想渗透到解题中去，就能做到有的放矢，提高数学思维能力及数学解题能力.。