数值分析第五版第5章习题答案

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精品精品第5章

复习与思考题

1、用高斯消去法为什么要选主元？哪些方程组可以不选主元？

答：使用高斯消去法时，在消元过程中可能出现0k

kka 的情况，这时消去法无法进行；即

时主元素0k

kka，但相对很小时，用其做除数，会导致其它元素数量级的严重增长和舍入

误差的扩散，最后也使得计算不准确。最后也使得计算不准确。因此高斯消去法需要选主元，因此高斯消去法需要选主元，因此高斯消去法需要选主元，以保证计算的进行和计以保证计算的进行和计

算的准确性。

当主对角元素明显占优（远大于同行或同列的元素）时，当主对角元素明显占优（远大于同行或同列的元素）时，可以不用选择主元。可以不用选择主元。可以不用选择主元。计算时一般选计算时一般选

择列主元消去法。

2、高斯消去法与LU分解有什么关系？用它们解线性方程组Ax = b有何不同？A要满足什

么条件？

答：高斯消去法实质上产生了一个将A分解为两个三角形矩阵相乘的因式分解，其中一个

为上三角矩阵U，一个为下三角矩阵L。

用LU分解解线性方程组可以简化计算，减少计算量，提高计算精度。

A需要满足的条件是，顺序主子式（需要满足的条件是，顺序主子式（1,21,21,2，…，，…，，…，n-1n-1n-1）不为零。）不为零。

3、楚列斯基分解与LU分解相比，有什么优点？

楚列斯基分解是LU分解的一种，当限定下三角矩阵L的对角元素为正时，的对角元素为正时，楚列斯基分解具楚列斯基分解具

有唯一解。

4、哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？

具有对称正定系数矩阵的线性方程可以使用平方根法求解。

平方根法在分解过程中元素的数量级不会增长，平方根法在分解过程中元素的数量级不会增长，切对角元素恒为正数，切对角元素恒为正数，因此，是一个稳定的

算法。

5、什么样的线性方程组可用追赶法求解并能保证计算稳定？

对角占优的三对角方程组

6、何谓向量范数？给出三种常用的向量范数。

向量范数定义见p53p53，符合，符合3个运算法则。

正定性

齐次性

三角不等式

设x

为向量，则三种常用的向量范数为：（第3章p53,p53,第第5章p165p165））

1||||||n

ixx



1||||()n

ixx



1||||max||

inxx





7、何谓矩阵范数？何谓矩阵的算子范数？给出矩阵A = (a

i j )的三种范数的三种范数|| || A||

1，||

精品精品

A||2，|| A||∞，|| A||1与|| A||2哪个更容易计算？为什么？

向量范数定义见p162p162，需要满足四个条件。，需要满足四个条件。

正定条件

齐次条件

三角不等式

相容条件

矩阵的算子范数有

1||A||

2||||

||A||



从定义可知，

1||A||

更容易计算。

8、什么是矩阵的条件数？如何判断线性方程组是病态的？

答：设A为非奇异阵，称数1(A)AA

vcond （1,2,

v）为矩阵A的条件数

当(A)1cond时，方程是病态的。

9、满足下面哪个条件可判定矩阵接近奇异？

（1）矩阵行列式的值很小。

（2）矩阵的范数小。

（3）矩阵的范数大。

（4）矩阵的条件数小。

（5）矩阵的元素绝对值小。

接近奇异阵的有

（1）、（2）

注：矩阵的条件数小说明A是良态矩阵。

矩阵的元素绝对值小，不能说明行列式的值小等。

1010、判断下列命题是否正确：、判断下列命题是否正确：

（1）只要矩阵A非奇异，则用顺序消去法或直接LU分解可求得线性方程组Ax = b的解。

答：错误，主元位置可能为0，导致无法计算结果。

（2）对称正定的线性方程组总是良态的。

答：正确。

（3）一个单位下三角矩阵的逆仍为单位下三角矩阵。

答：正确。

（4）如果A非奇异，则Ax = b的解的个数是由右端向量b的决定的。

答：正确。解释：若A|b与A的秩相同，则A有唯一解。若不同，则A无解。

（5）如果三对角矩阵的主对角元素上有零元素，则矩阵必奇异。

（6）范数为零的矩阵一定是零矩阵。

答：正确。 .

精品精品（7）奇异矩阵的范数一定是零。

答：错误，

• 可以不为0。

（8）如果矩阵对称，则）如果矩阵对称，则|| || A||

1 = || A||

∞ 。

答：根据范数的定义，正确。

（9）如果线性方程组是良态的，则高斯消去法可以不选主元。

答：错误，不选主元时，可能除数为0。

（1010））在求解非奇异性线性方程组时，在求解非奇异性线性方程组时，即使系数矩阵病态，即使系数矩阵病态，即使系数矩阵病态，用列主元消去法产生的误差也很用列主元消去法产生的误差也很

小。

答：错误。对于病态方程组，选主元对误差的降低没有影响。

（1111））|| A ||

1 = || AT ||

∞ 。

答：根据范数的定义，正确。

（1212）若）若A是n

n的非奇异矩阵，则

)(cond)(cond1



AA。

答：正确。A是n

n的非奇异矩阵，则A存在逆矩阵。

根据条件数的定义有：1

111111cond()

cond()()AAA

AAAAAAA

•

•••

精品精品习题

1、设A是对称阵且0

11a

，经过高斯消去法一步后，，经过高斯消去法一步后，AA约化为









2111

0AaaT

，证明

是对

称矩阵。

证明：

设对称矩阵11121

12222

12...

...

............

...n

nnnnaaa

aaa

aaa







 ，则经过1次高斯校区法后，有

11121

112

2212212

1111(1)

21212

1111

11121

1212

221221

1111

2121

1111...

0...

............

0...

...

0...

............

0...n

nnn

nnnnaaa

aaaa

aaaaaa

aaa

aaaa

aa





































所以

1122[...]T

naaa



1212

221221

1111

2121

1111...

.........

...nn

nnnnaaaaaa

aaaa

aa













所以A2为对称矩阵。

2、设A是对称正定矩阵，经过高斯消去法一步后，是对称正定矩阵，经过高斯消去法一步后，AA约化为()

ijnAa

，其中()

ijnAa

，

(2)

21()

ijnAa

；

证明：（1）A的对角元素0(1,2,,)

iiain

；（2）

是对称正定矩阵；

（1）依次取nixT

ii,,2,1,)0,,0,1,0,,0,0(

，则因为A是对称正定矩阵，

所以有0

AxxaT

ii。

李庆扬-数值分析第五版第5章与第7章习题答案

复习与思考题

1、用高斯消去法为什么要选主元？哪些方程组可以不选主元？

答：使用高斯消去法时，在消元过程中可能出现0kkka 的情况，这时消去法无法进行；即时主元素0kkka，但相对很小时，用其做除数，会导致其它元素数量级的严重增长和舍入误差的扩散，最后也使得计算不准确。因此高斯消去法需要选主元，以保证计算的进行和计算的准确性。

当主对角元素明显占优（远大于同行或同列的元素）时，可以不用选择主元。计算时一般选择列主元消去法。

2、高斯消去法与LU分解有什么关系？用它们解线性方程组Ax = b有何不同？A要满足什么条件？

答：高斯消去法实质上产生了一个将A分解为两个三角形矩阵相乘的因式分解，其中一个为上三角矩阵U，一个为下三角矩阵L。

用LU分解解线性方程组可以简化计算，减少计算量，提高计算精度。

A需要满足的条件是，顺序主子式（1,2，…，n-1）不为零。

3、楚列斯基分解与LU分解相比，有什么优点？

楚列斯基分解是LU分解的一种，当限定下三角矩阵L的对角元素为正时，楚列斯基分解具有唯一解。

4、哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？

具有对称正定系数矩阵的线性方程可以使用平方根法求解。

平方根法在分解过程中元素的数量级不会增长，切对角元素恒为正数，因此，是一个稳定的算法。

5、什么样的线性方程组可用追赶法求解并能保证计算稳定？

对角占优的三对角方程组

6、何谓向量范数？给出三种常用的向量范数。

向量范数定义见p53，符合3个运算法则。正定性

齐次性

三角不等式

设x 为向量，则三种常用的向量范数为：（第3章p53,第5章p165）

11||||||niixx

12221||||()niixx

1||||max||iinxx

7、何谓矩阵范数？何谓矩阵的算子范数？给出矩阵A = (ai j )的三种范数|| A||1，|| A||2，|| A||∞，|| A||1与|| A||2哪个更容易计算？为什么？

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.. . .

. 学习参考 . 第5章

复习与思考题

1、用高斯消去法为什么要选主元？哪些方程组可以不选主元？

当主对角元素明显占优（远大于同行或同列的元素）时，可以不用选择主元。计算时一般选择列主元消去法。

2、高斯消去法与LU分解有什么关系？用它们解线性方程组Ax = b有何不同？A要满足什么条件？

答：高斯消去法实质上产生了一个将A分解为两个三角形矩阵相乘的因式分解，其中一个为上三角矩阵U，一个为下三角矩阵L。

用LU分解解线性方程组可以简化计算，减少计算量，提高计算精度。

A需要满足的条件是，顺序主子式（1,2，…，n-1）不为零。

3、楚列斯基分解与LU分解相比，有什么优点？

楚列斯基分解是LU分解的一种，当限定下三角矩阵L的对角元素为正时，楚列斯基分解具有唯一解。

4、哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？

具有对称正定系数矩阵的线性方程可以使用平方根法求解。

平方根法在分解过程中元素的数量级不会增长，切对角元素恒为正数，因此，是一个稳定.. . .

. 学习参考 . 的算法。

5、什么样的线性方程组可用追赶法求解并能保证计算稳定？

李庆扬数值分析第五版习题答案清华大学出版社

数值分析是一门研究数值计算方法的学科，它应用于各个领域，解决了许多实际问题。《李庆扬数值分析第五版习题答案》是一本为读者提供数值分析习题解答的参考书，由清华大学出版社出版。

第一章误差

1.1 绝对误差与相对误差

在数值计算过程中，由于测量、取近似值和舍入误差等原因，我们常常会得到与真实值有一定偏差的结果。绝对误差和相对误差是描述数值计算结果与真实值之间误差大小的衡量标准。绝对误差表示实际值和计算值之间的差别，相对误差则是绝对误差与实际值之比。

1.2 舍入误差与有效数字

在数值计算中，由于计算机底层的二进制表示以及计算机在表示无穷和无法精确表示的数字时需要进行近似，会导致舍入误差。有效数字是用来表示浮点运算结果的一种方式，能够控制舍入误差的影响。

第二章插值与多项式逼近

2.1 插值问题的提出

插值问题是在有限数据点的基础上，构造一个与这些数据点足够接近的函数。插值的目的是通过已知数据点之间构造一个函数，使得通过这个函数计算的结果近似于真实的未知数据点的值。 2.2 拉格朗日插值法

拉格朗日插值法是通过构造一个基于已知数据点的多项式函数，来实现对未知数据点的预测。它通过对每个数据点进行加权，以使得插值多项式通过这些数据点。

2.3 牛顿插值法

牛顿插值法是通过使用差商的概念，构造一个多项式函数来进行插值。差商是指由数据点的函数值所决定的差分系数。

第三章数值积分与数值微分

3.1 数值积分的基本思想

数值积分是通过将区间进行离散化，将连续变量转化为离散变量的和，从而实现对曲线下面积的近似计算。

3.2 复合求积公式

复合求积公式将整个区间分割为若干子区间，对每个子区间进行积分，并将结果相加得到最终的数值积分结果。通过增加子区间的数量，可以提高数值积分的精确度。

3.3 数值微分的基本思想

数值微分是通过利用离散数据点之间的差值，来近似计算函数在某个点处的导数。

数值分析第二章计算实习题

% 对龙格函数：2(x)1(125)fx 的三次样条插值.

clear;

x0 = -1:0.1:1;

y0 = 1./(25*x0.^2);

x1 = linspace(-1,1,20);

y1 = interp1(x0,y0,x1,'spline');

plot(x0,y0,'b');

hold on

plot(x1,y1,'m');

title('三次样条插值','FontName',' Times New Roman ','FontSize',11);

legend('龙格函数曲线','三次样条插值曲线',-2);

axis ([-1,1,0,1]);

xlabel('x轴','FontName',' Times New Roman ','FontSize',11);

ylabel('y轴','FontName',' Times New Roman ','FontSize',11);

% 对龙格函数：2(x)1(125)fx 的三次多项式插值.

clear;

x0 = [-1:0.01:1];

y0 = 1./(1+25*x0.^2);

x1 = linspace(-1,1,10);

y1 = interp1(x0,y0,x1,'cubic');

plot(x0,y0,'b');

hold on

plot(x1,y1,'m');

title('三次多项式','FontName','Times New Roman','FontSize',11);

legend('龙格插值曲线','三次多项式插值曲线',-2);

axis ([-1,1,0,1]);

xlabel('x轴','FontName',' Times New Roman ','FontSize',11);

ylabel('y轴','FontName',' Times New Roman ','FontSize',11);

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