内蒙古通辽市2020年中考数学试题(原卷版)

2020年内蒙古通辽市中考数学试卷一、选择题（本题包括10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确答齐案，请在答题卡上将代表正确答案的字母用2B 铅笔涂黑）1．（3分）2020年我市初三毕业生超过30000人，将30000用科学记数法表示正确的是( )A ．50.310⨯B ．4310⨯C ．33010⨯D ．3万2．（3分）下列说法不正确的是( )A ．2a 是2个数a 的和B ．2a 是2和数a 的积C ．2a 是单项式D ．2a 是偶数3．（3分）下列事件中是不可能事件的是( )A ．守株待兔B ．瓮中捉鳖C ．水中捞月D ．百步穿杨4．（3分）如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使α∠和β∠互余的摆放方式是() A ．B ．C ．D ．5．（3分）关于x 的方程2690kx x -+=有实数根，k 的取值范围是( )A ．1k <且0k ≠B ．1k <C ．1k 且0k ≠D ．1k6．（3分）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是( )A ．B ．C ．D ．7．（3分）如图，PA ，PB 分别与O 相切于A ，B 两点，72P ∠=︒，则(C ∠= )A ．108︒B ．72︒C ．54︒D ．36︒8．（3分）如图，AD 是ABC ∆的中线，四边形ADCE 是平行四边形，增加下列条件，能判断ADCE 是菱形的是( )A ．90BAC ∠=︒B ．90DAE ∠=︒C ．AB AC =D ．AB AE =9．（3分）如图，OC 交双曲线k y x=于点A ，且:5:3OC OA =，若矩形ABCD 的面积是8，且//AB x 轴，则k 的值是( )A ．18B ．50C ．12D ．2009 10．（3分）从下列命题中，随机抽取一个是真命题的概率是( )（1）无理数都是无限小数；（2）因式分解2(1)(1)ax a a x x -=+-；（3）棱长是1cm 的正方体的表面展开图的周长一定是14cm ；（4）弧长是20cm π，面积是2240cm π的扇形的圆心角是120︒．A ．14B ．12C ．34D ．1二、填空题（本题包括7小题，每小题3分，共21分，将答案直接填在答题卡对应题的横线上）11．（3分）计算：（1）0(3.14)π-= ；（2）2cos45︒= ；（3）21-= ．12．（3分）若数据3，a ，3，5，3的平均数是3，则这组数据中（1）众数是 ；（2）a 的值是 ；（3）方差是 ．13．（3分）如图，点O 在直线AB 上，581728AOC ∠=︒'''．则BOC ∠的度数是 ．14．（3分）如图，用大小相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形⋯，按这样的方法拼成的第(1)n +个正方形比第n 个正方形多 个小正方形．15．（3分）有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了 个人．16．（3分）如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点P 在斜边AB 上，以PC 为直角边作等腰直角三角形PCQ ，90PCQ ∠=︒，则2PA ，2PB ，2PC 三者之间的数量关系是 ．17．（3分）如图①，在ABC ∆中，AB AC =，120BAC ∠=︒，点E 是边AB 的中点，点P 是边BC 上一动点，设PC x =，PA PE y +=．图②是y 关于x 的函数图象，其中H 是图象上的最低点．那么a b +的值为 ．三、解答题（包括9小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤）18．（5分）解方程：232x x=-． 19．（6分）从A 处看一栋楼顶部的仰角为α，看这栋楼底部的俯角为β，A 处与楼的水平距离AD 为90m ．若tan 0.27α=，tan 2.73β=，求这栋楼高．20．（6分）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※23=--，如：n m n mn m1※2=⨯-⨯-⨯=-．21212326（1）求(2)-※3；m-，求m的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集．（2）若3※621．（7分）甲口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字1，2；乙口袋中装有3个相同小球，它们分别写有数字3，4，5；丙口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字6，7．从三个口袋各随机取出1个小球．用画树状图或列表法求：（1）取出的3个小球上恰好有一个偶数的概率；（2）取出的3个小球上全是奇数的概率．22．（7分）如图，O的直径AB交弦（不是直径）CD于点P，且2=，求证：PC PB PA ⊥．AB CD23．（8分）某校研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）在这次调查中，共调查了多少名学生；（2）补全条形统计图；（3）若该校爱好运动的学生共有800名，则该校学生总数大约有多少名．24．（9分）某服装专卖店计划购进A ，B 两种型号的精品服装．已知2件A 型服装和3件B 型服装共需4600元；1件A 型服装和2件B 型服装共需2800元．（1）求A ，B 型服装的单价；（2）专卖店要购进A ，B 两种型号服装60件，其中A 型件数不少于B 型件数的2倍，如果B 型打七五折，那么该专卖店至少需要准备多少货款？25．（9分）中心为O 的正六边形ABCDEF 的半轻为6cm ，点P ，Q 同时分别从A ，D 两点出发，以1/cm s 的速度沿AF ，DC 向终点F ，C 运动，连接PB ，PE ，QB ，QE ，设运动时间为()t s ．（1）求证：四边形PBQE 为平行四边形；（2）求矩形PBQE 的面积与正六边形ABCDEF 的面积之比．26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ．且直线6y x =-过点B ，与y 轴交于点D ，点C 与点D 关于x 轴对称，点P 是线段OB 上一动点，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点M ，交直线BD 于点N ．（1）求抛物线的函数解析式；（2）当MDB ∆的面积最大时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．2020年内蒙古通辽市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题包括10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确答齐案，请在答题卡上将代表正确答案的字母用2B 铅笔涂黑）1．（3分）2020年我市初三毕业生超过30000人，将30000用科学记数法表示正确的是( )A ．50.310⨯B ．4310⨯C ．33010⨯D ．3万【解答】解：30000用科学记数法表示为：4310⨯．故选：B ．2．（3分）下列说法不正确的是( )A ．2a 是2个数a 的和B ．2a 是2和数a 的积C ．2a 是单项式D ．2a 是偶数【解答】解：.2A a a a =+，即2a 是2个数a 的和，说法正确；.2B a 是2和数a 的积，说法正确；.2C a 是单项式，说法正确；.2D a 不一定是偶数，故原说法错误．故选：D ．3．（3分）下列事件中是不可能事件的是( )A ．守株待兔B ．瓮中捉鳖C ．水中捞月D ．百步穿杨【解答】解：A 、守株待兔是随机事件，故此选项不合题意；B 、瓮中捉鳖是必然事件，故此选项不合题意；C 、水中捞月是不可能事件，故此选项符合题意；D 、百步穿杨是随机事件，故此选项不合题意；故选：C ．4．（3分）如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使α∠和β∠互余的摆放方式是() A ．B ．C ．D ．【解答】解：A ．α∠与β∠互余，故本选项正确；B ．αβ∠=∠，故本选项错误；C ．αβ∠=∠，故本选项错误；D ．α∠与β∠互补，故本选项错误，故选：A ．5．（3分）关于x 的方程2690kx x -+=有实数根，k 的取值范围是( )A ．1k <且0k ≠B ．1k <C ．1k 且0k ≠D ．1k【解答】解：0k =时，是一元一次方程，有实数根；k 不等于0时，是一元二次方程，根据题意，△0，∴△224(6)490b ac k =-=--⨯，解得1k ，故选：D ．6．（3分）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：三角形内心为三角形内角平分线的交点，选项B 中作了两个交的平分线． 故选：B ．7．（3分）如图，PA ，PB 分别与O 相切于A ，B 两点，72P ∠=︒，则(C ∠= )A ．108︒B ．72︒C ．54︒D ．36︒【解答】解：连接OA 、OB ， PA ，PB 分别为O 的切线，OA PA ∴⊥，OB PB ⊥，90PAO ∴∠=︒，90PBO ∠=︒，360360909072108AOB PAO PBO P ∴∠=︒-∠-∠-∠=︒-︒-︒-︒=︒， 由圆周角定理得，1542C AOB ∠=∠=︒， 故选：C ．8．（3分）如图，AD 是ABC ∆的中线，四边形ADCE 是平行四边形，增加下列条件，能判断ADCE 是菱形的是( )。

2020年内蒙古通辽市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）﹣5的相反数是（）A．5 B．﹣5 C．D．2．（3分）下列四个几何体的俯视图中与众不同的是（）A．B．C．D．3．（3分）空气是混合物，为直观介绍空气各成分的百分比，最适合用的统计图是（）A．折线图B．条形图C．直方图D．扇形图4．（3分）下列图形中，是轴对称图形，不是中心对称图形的是（）A． B．C． D．5．（3分）若数据10，9，a，12，9的平均数是10，则这组数据的方差是（）A．1 B．1.2 C．0.9 D．1.46．（3分）近似数5.0×102精确到（）A．十分位B．个位C．十位D．百位7．（3分）志远要在报纸上刊登广告，一块10cm×5cm的长方形版面要付广告费180元，他要把该版面的边长都扩大为原来的3倍，在每平方厘米版面广告费相同的情况下，他该付广告费（）A．540元B．1080元C．1620元D．1800元8．（3分）若关于x的一元二次方程（k+1）x2+2（k+1）x+k﹣2=0有实数根，则k的取值范围在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．9．（3分）下列命题中，假命题有（）①两点之间线段最短；②到角的两边距离相等的点在角的平分线上；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④垂直于同一直线的两条直线平行；⑤若⊙O的弦AB，CD交于点P，则PA•PB=PC•PD．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个10．（3分）如图，点P在直线AB上方，且∠APB=90°，PC⊥AB于C，若线段AB=6，AC=x，S△PAB=y，则y与x的函数关系图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）11．（3分）不等式组的整数解是．12．（3分）如图，CD平分∠ECB，且CD∥AB，若∠A=36°，则∠B=．13．（3分）毛泽东在《沁园春•雪》中提到五位历史名人：秦始皇、汉武帝、唐太宗、宋太祖、成吉思汗，小红将这五位名人简介分别写在五张完全相同的知识卡片上，小哲从中随机抽取一张，卡片上介绍的人物是唐朝以后出生的概率是．14．（3分）若关于x的二次三项式x2+ax+是完全平方式，则a的值是．15．（3分）在▱ABCD中，AE平分∠BAD交边BC于E，DF平分∠ADC交边BC于F，若AD=11，EF=5，则AB=．16．（3分）如图，将八个边长为1的小正方形摆放在平面直角坐标系中，若过原点的直线l将图形分成面积相等的两部分，则将直线l向右平移3个单位后所得直线l′的函数关系式为．17．（3分）如图，直线y=﹣x﹣与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y=的图象在第二象限交于点C，过点A作x轴的垂线交该反比例函数图象于点D．若AD=AC，则点D的坐标为．三、解答题（本大题共9小题，共69分）18．（5分）计算：（π﹣2020）0+6sin60°﹣|5﹣|﹣（）﹣2．19．（5分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x从0，1，2，3四个数中适当选取．20．（6分）一汽车从甲地出发开往相距240km的乙地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，1小时后比原来的速度加快，比原计划提前24min到达乙地，求汽车出发后第1小时内的行驶速度．21．（6分）小兰和小颖用下面两个可以自由转动的转盘做游戏，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，转动两个转盘各一次，若两次指针所指数字之和小于4，则小兰胜，否则小颖胜（指针指在分界线时重转），这个游戏对双方公平吗？请用树状图或列表法说明理由．22．（8分）如图，物理教师为同学们演示单摆运动，单摆左右摆动中，在OA的位置时俯角∠EOA=30°，在OB的位置时俯角∠FOB=60°，若OC⊥EF，点A比点B 高7cm．求：（1）单摆的长度（≈1.7）；（2）从点A摆动到点B经过的路径长（π≈3.1）．23．（8分）某校举办了一次成语知识竞赛，满分10分，学生得分均为整数，成绩达到6分及6分以上为合格，达到9分或10分为优秀，这次竞赛中，甲、乙两组学生成绩分布的折线统计图和成绩统计分析表如图所示．（1）求出下列成绩统计分析表中a，b的值：（2）小英同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中排名属中游略偏上！”观察上面表格判断，小英是甲、乙哪个组的学生；（3）甲组同学说他们组的合格率、优秀率均高于乙组，所以他们组的成绩好于乙组．但乙组同学不同意甲组同学的说法，认为他们组的成绩要好于甲组．请你写出两条支持乙组同学观点的理由．24．（9分）如图，AB为⊙O的直径，D为的中点，连接OD交弦AC于点F，过点D作DE∥AC，交BA的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）连接CD，若OA=AE=4，求四边形ACDE的面积．25．（10分）邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下的一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，称为第二次操作；…依此类推，若第n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形，如图1，▱ABCD中，若AB=1，BC=2，则▱ABCD为1阶准菱形．（1）猜想与计算：邻边长分别为3和5的平行四边形是阶准菱形；已知▱ABCD的邻边长分别为a，b（a＞b），满足a=8b+r，b=5r，请写出▱ABCD是阶准菱形．（2）操作与推理：小明为了剪去一个菱形，进行了如下操作：如图2，把▱ABCD沿BE折叠（点E 在AD上），使点A落在BC边上的点F处，得到四边形ABFE．请证明四边形ABFE 是菱形．26．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+2过点A（﹣2，0），B （2，2），与y轴交于点C．（1）求抛物线y=ax2+bx+2的函数表达式；（2）若点D在抛物线y=ax2+bx+2的对称轴上，求△ACD的周长的最小值；（3）在抛物线y=ax2+bx+2的对称轴上是否存在点P，使△ACP是直角三角形？若存在直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．2020年内蒙古通辽市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）（2020•通辽）﹣5的相反数是（）A．5 B．﹣5 C．D．【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．【解答】解：﹣5的相反数是5，故选：A．【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．2．（3分）（2020•通辽）下列四个几何体的俯视图中与众不同的是（）A．B．C．D．【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【解答】解：A、的俯视图是第一列两个小正方形，第二列一个小正方形，B、的俯视图是第一列是两个小正方形，第二列是两个小正方形，C、的俯视图是第一列两个小正方形，第二列一个小正方形，D、的俯视图是第一列两个小正方形，第二列一个小正方形，故选：B．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．3．（3分）（2020•通辽）空气是混合物，为直观介绍空气各成分的百分比，最适合用的统计图是（）A．折线图B．条形图C．直方图D．扇形图【分析】扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目；频数分布直方图，清楚显示在各个不同区间内取值，各组频数分布情况，易于显示各组之间频数的差别．【解答】解：由分析可知，要求直观反映空气的组成情况，即各部分在总体中所占的百分比，结合统计图各自的特点，应选择扇形统计图．故选D．【点评】本题考查扇形统计图、折线统计图、条形统计图，理解各自的特点是解题的关键．4．（3分）（2020•通辽）下列图形中，是轴对称图形，不是中心对称图形的是（）A． B．C． D．【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义逐个判断即可．【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、是中心对称图形，故本选项不符合题意；D、不是中心对称图形，故本选项符合题意；故选D．【点评】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义等知识点，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义的内容是解此题的关键．5．（3分）（2020•通辽）若数据10，9，a，12，9的平均数是10，则这组数据的方差是（）A．1 B．1.2 C．0.9 D．1.4【分析】先由平均数的公式计算出a的值，再根据方差的公式计算即可．【解答】解：∵数据10，9，a，12，9的平均数是10，∴（10+9+a+12+9）÷5=10，解得：a=10，∴这组数据的方差是[（10﹣10）2+（9﹣10）2+（10﹣10）2+（12﹣10）2+（9﹣10）2]=1.2．故选B．【点评】本题考查方差和平均数：一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．6．（3分）（2020•通辽）近似数5.0×102精确到（）A．十分位B．个位C．十位D．百位【分析】根据近似数的精确度求解．【解答】解：近似数5.0×102精确到十位．故选C．【点评】本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．7．（3分）（2020•通辽）志远要在报纸上刊登广告，一块10cm×5cm的长方形版面要付广告费180元，他要把该版面的边长都扩大为原来的3倍，在每平方厘米版面广告费相同的情况下，他该付广告费（）A．540元B．1080元C．1620元D．1800元【分析】根据题意可知版面的边长都扩大为原来的3倍后的面积，然后根据每平方厘米的广告费即可求出答案．【解答】解：∵一块10cm×5cm的长方形版面要付广告费180元，∴每平方厘米的广告费为：180÷50=元，∴把该版面的边长都扩大为原来的3倍后的广告费为：30×15×=1620元故选（C）【点评】本题考查相似形的应用，解题的关键是求出每平方厘米的广告费，本题属于基础题型．8．（3分）（2020•通辽）若关于x的一元二次方程（k+1）x2+2（k+1）x+k﹣2=0有实数根，则k的取值范围在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据一元二次方程的定义结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围，将其表示在数轴上即可得出结论．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k+1）x2+2（k+1）x+k﹣2=0有实数根，∴，解得：k＞﹣1．故选A．【点评】本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义以及在数轴上表示不等式的解集，根据一元二次方程的定义结合根的判别式，找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．9．（3分）（2020•通辽）下列命题中，假命题有（）①两点之间线段最短；②到角的两边距离相等的点在角的平分线上；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④垂直于同一直线的两条直线平行；⑤若⊙O的弦AB，CD交于点P，则PA•PB=PC•PD．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【分析】根据线段的性质公理判断①；根据角平分线的性质判断②；根据垂线的性质、平行公理的推论判断③④；连接AC、DB，根据同弧所对的圆周角相等，证出△ACP∽△DBP，然后根据相似三角形的性质得出结论．依此判断⑤．【解答】解：①两点之间线段最短，说法正确，不是假命题；②到角的两边距离相等的点在角的平分线上，说法正确，不是假命题；③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原来的说法错误，是假命题；④在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，原来的说法错误，是假命题；⑤如图，连接AC、BD．∵∠A=∠D，∠C=∠B，∴△ACP∽△DBP，∴=，∴PA•PB=PC•PD，故若⊙O的弦AB，CD交于点P，则PA•PB=PC•PD的说法正确，不是假命题．故选：C．【点评】本题考查了线段的性质公理，角平分线的性质，垂线的性质，平行公理的推论，点相交弦定理，是基础知识，需熟练掌握．10．（3分）（2020•通辽）如图，点P在直线AB上方，且∠APB=90°，PC⊥AB于C，若线段AB=6，AC=x，S△PAB=y，则y与x的函数关系图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据已知条件推出△APC∽△PBC，根据相似三角形的性质得到PC=，根据三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：∵PC⊥AB于C，∠APB=90°，∴∠ACP=∠BCP=90°，∴∠APC+∠BPC=∠APC+∠PAC=90°，∴∠PAC=∠BPC，∴△APC∽△PBC，∴，∵AB=6，AC=x，∴BC=6﹣x，∴PC2=x（6﹣x），∴PC=，∴y=AB•PC=3=3，故选D．【点评】本题考查了动点问题的函数图象，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形面积的计算，正确的判定函数的图象是解题的关键．二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）11．（3分）（2020•通辽）不等式组的整数解是0，1，2．【分析】根据不等式组的解法得出不等式组的解集，再求得整数解即可．【解答】解：解不等式一得，x＞﹣1，解不等式二得，x≤2，不等式组的解集为﹣1＜x≤2，不等式组的整数解为0，1，2，故答案为0，1，2．【点评】本题考查了不等式组的解法，掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．12．（3分）（2020•通辽）如图，CD平分∠ECB，且CD∥AB，若∠A=36°，则∠B=36°．【分析】先根据平行线的性质，得出∠A=∠ECD，∠B=∠BCD，再根据角平分线的定义，即可得到∠ECD=∠BCD，进而得出∠B=∠A．【解答】解：∵CD∥AB，∴∠A=∠ECD，∠B=∠BCD，又∵CD平分∠ECB，∴∠ECD=∠BCD，∴∠B=∠A=36°，故答案为：36°．【点评】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等，内错角相等．13．（3分）（2020•通辽）毛泽东在《沁园春•雪》中提到五位历史名人：秦始皇、汉武帝、唐太宗、宋太祖、成吉思汗，小红将这五位名人简介分别写在五张完全相同的知识卡片上，小哲从中随机抽取一张，卡片上介绍的人物是唐朝以后出生的概率是．【分析】先找出唐朝以后出生的人物，然后依据概率公式计算即可．【解答】解：在秦始皇、汉武帝、唐太宗、宋太祖、成吉思汗5五人中，唐朝以后出生的有2人．∴在上述5人中随机抽取一张，所有抽到的人物为唐朝以后出生的概率=．故答案为：．【点评】本题主要考查的是概率公式，在上述5人中，确定出唐朝以后出生的人数是解题的关键．14．（3分）（2020•通辽）若关于x的二次三项式x2+ax+是完全平方式，则a的值是±1．【分析】这里首末两项是x和这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x 和积的2倍，故﹣a=±1，求解即可【解答】解：中间一项为加上或减去x和积的2倍，故a=±1，解得a=±1，故答案为：±1．【点评】本题考查了完全平方式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．关键是注意积的2倍的符号，避免漏解．15．（3分）（2020•通辽）在▱ABCD中，AE平分∠BAD交边BC于E，DF平分∠ADC交边BC于F，若AD=11，EF=5，则AB=8或3．【分析】根据平行线的性质得到∠ADF=∠DFC，由DF平分∠ADC，得到∠ADF=∠CDF，等量代换得到∠DFC=∠FDC，根据等腰三角形的判定得到CF=CD，同理BE=AB，根据平行四边形的性质得到AB=CD，AD=BC，得出AB=BE=CF=CD，分两种情况，即可得到结论．【解答】解：①如图1，在▱ABCD中，∵BC=AD=11，BC∥AD，CD=AB，CD∥AB，∴∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠DFC，∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，∴∠BAE=∠DAE，∠ADF=∠CDF，∴∠BAE=∠AEB，∠CFD=∠CDF，∴AB=BE，CF=CD，∴AB=BE=CF=CD∵EF=5，∴BC=BE+CF﹣EF=2AB﹣EF=2AB﹣5=11，∴AB=8；②在▱ABCD中，∵BC=AD=11，BC∥AD，CD=AB，CD∥AB，∴∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠DFC，∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，∴∠BAE=∠DAE，∠ADF=∠CDF，∴∠BAE=∠AEB，∠CFD=∠CDF，∴AB=BE，CF=CD，∴AB=BE=CF=CD∵EF=5，∴BC=BE+CF=2AB+EF=2AB+5=11，∴AB=3；综上所述：AB的长为8或3．故答案为：8或3．【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，平行四边形的性质，解答本题的关键是判断出AB=BE=CF=CD．16．（3分）（2020•通辽）如图，将八个边长为1的小正方形摆放在平面直角坐标系中，若过原点的直线l将图形分成面积相等的两部分，则将直线l向右平移3个单位后所得直线l′的函数关系式为y=x﹣．【分析】设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过A作AB⊥OB于B，B过A作AC⊥OC于C，易知OB=3，利用三角形的面积公式和已知条件求出A的坐标即可得到该直线l的解析式．【解答】解：设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过A作AB⊥OB于B，∵正方形的边长为1，∴OB=3，∵经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，∴两边分别是4，∴三角形ABO面积是5，∴OB•AB=5，∴AB=，∴OC=，由此可知直线l经过（3，），设直线方程为y=kx，则=3k，k=，∴直线l解析式为y=x，∴将直线l向右平移3个单位后所得直线l′的函数关系式为y=x﹣；故答案为：y=x﹣．【点评】此题考查了面积相等问题、用待定系数法求一次函数的解析式以及正方形的性质，此题难度较大，解题的关键是作AB⊥y轴，作AC⊥x轴，根据题意即得到：直角三角形ABO，利用三角形的面积公式求出AB的长．17．（3分）（2020•通辽）如图，直线y=﹣x﹣与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y=的图象在第二象限交于点C，过点A作x轴的垂线交该反比例函数图象于点D．若AD=AC，则点D的坐标为（﹣3，2）．【分析】过C作CE⊥x轴于E，求得A（﹣3，0），B（0，﹣），解直角三角形得到∠OAB=30°，求得∠CAE=30°，设D（﹣3，），得到AD=，AC=，于是得到C（﹣3+，﹣），列方程即可得到结论．【解答】解：过C作CE⊥x轴于E，∵直线y=﹣x﹣与x，y轴分别交于点A，B，∴A（﹣3，0），B（0，﹣），∴tan∠OAB==，∴∠OAB=30°，∴∠CAE=30°，设D（﹣3，），∵AD⊥x轴，∴AD=，∵AD=AC，∴AC=，∴CE=，AE=，∴C（﹣3+，﹣），∵C在反比例函数y=的图象上，∴（﹣3+）•（﹣）=k，∴k=﹣6，∴D（﹣3，2），故答案为：（﹣3，2）．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解直角三角形，反比例函数图象上点的坐标特征，正确的点A、B、C的坐标解题的关键．三、解答题（本大题共9小题，共69分）18．（5分）（2020•通辽）计算：（π﹣2020）0+6sin60°﹣|5﹣|﹣（）﹣2．【分析】根据零指数幂的定义、特殊角的三角函数值、绝对值的性质、负指数幂的性质化简即可解决问题．【解答】解：原式=1+6×﹣3+5﹣4=2．【点评】本题考查零指数幂的定义、特殊角的三角函数值、绝对值的性质、负指数幂的性质等知识，熟练掌握基本概念是解题关键．19．（5分）（2020•通辽）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x从0，1，2，3四个数中适当选取．【分析】首先化简（1﹣）÷，然后根据x的取值范围，从0，1，2，3四个数中适当选取，求出算式的值是多少即可．【解答】解：（1﹣）÷=×=∵x﹣1≠0，x﹣2≠0，x﹣3≠0，∴x≠1，2，3，当x=0时，原式==﹣【点评】此题主要考查了分式的化简求值问题，要熟练掌握，注意先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．20．（6分）（2020•通辽）一汽车从甲地出发开往相距240km的乙地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，1小时后比原来的速度加快，比原计划提前24min到达乙地，求汽车出发后第1小时内的行驶速度．【分析】根据题意结合行驶的时间的变化得出等式进而求出答案．【解答】解：设汽车出发后第1小时内的行驶速度是x千米/小时，根据题意可得：=1++，解得：x=80，经检验得：x=80是原方程的根，答：汽车出发后第1小时内的行驶速度是80千米/小时．【点评】此题主要考查了分式方程的应用，正确表示出汽车行驶的时间是解题关键．21．（6分）（2020•通辽）小兰和小颖用下面两个可以自由转动的转盘做游戏，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，转动两个转盘各一次，若两次指针所指数字之和小于4，则小兰胜，否则小颖胜（指针指在分界线时重转），这个游戏对双方公平吗？请用树状图或列表法说明理由．【分析】首先依据题先用树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率，游戏是否公平，求出游戏双方获胜的概率，比较是否相等即可．【解答】解：这个游戏对双方是公平的．如图，∴一共有6种情况，和大于4的有3种，∴P（和大于4）==，∴这个游戏对双方是公平的．【点评】本题考查的是游戏的公平性，熟记概率公式是解答此题的关键．22．（8分）（2020•通辽）如图，物理教师为同学们演示单摆运动，单摆左右摆动中，在OA的位置时俯角∠EOA=30°，在OB的位置时俯角∠FOB=60°，若OC ⊥EF，点A比点B高7cm．求：（1）单摆的长度（≈1.7）；（2）从点A摆动到点B经过的路径长（π≈3.1）．【分析】（1）作AP⊥OC、BQ⊥OC，由题意得∠AOP=60°、∠BOQ=30°，设OA=OB=x，根据三角函数得OP=OAcos∠AOP=x、OQ=OBcos∠BOQ=x，由PQ=OQ﹣OP可得关于x的方程，解之可得；（2）由（1）知∠AOB=90°、OA=OB=7+7，利用弧长公式求解可得．【解答】解：（1）如图，过点A作AP⊥OC于点P，过点B作BQ⊥OC于点Q，∵∠EOA=30°、∠FOB=60°，且OC⊥EF，∴∠AOP=60°、∠BOQ=30°，设OA=OB=x，则在Rt△AOP中，OP=OAcos∠AOP=x，在Rt△BOQ中，OQ=OBcos∠BOQ=x，由PQ=OQ﹣OP可得x﹣x=7，解得：x=7+7≈18.9（cm），答：单摆的长度约为18.9cm；（2）由（1）知，∠AOP=60°、∠BOQ=30°，且OA=OB=7+7，∴∠AOB=90°，则从点A摆动到点B经过的路径长为≈29.295，答：从点A摆动到点B经过的路径长为29.295cm．【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意构建直角三角形，利用三角函数的定义表示出所需线段的长度及掌握弧长公式是解题的关键．23．（8分）（2020•通辽）某校举办了一次成语知识竞赛，满分10分，学生得分均为整数，成绩达到6分及6分以上为合格，达到9分或10分为优秀，这次竞赛中，甲、乙两组学生成绩分布的折线统计图和成绩统计分析表如图所示．（1）求出下列成绩统计分析表中a，b的值：（2）小英同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中排名属中游略偏上！”观察上面表格判断，小英是甲、乙哪个组的学生；（3）甲组同学说他们组的合格率、优秀率均高于乙组，所以他们组的成绩好于乙组．但乙组同学不同意甲组同学的说法，认为他们组的成绩要好于甲组．请你写出两条支持乙组同学观点的理由．【分析】（1）由折线图中数据，根据中位数和甲权平均数的定义求解可得；（2）根据中位数的意义求解可得；（3）可从平均数和方差两方面阐述即可．【解答】解：（1）由折线统计图可知，甲组成绩从小到大排列为：3、6、6、6、6、6、7、9、9、10，∴其中位数a=6，乙组学生成绩的平均分b==7.2；（2）∵甲组的中位数为6，乙组的中位数为7.5，而小英的成绩位于全班中上游，∴小英属于甲组学生；（3）①乙组的平均分高于甲组，即乙组的总体平均水平高；②乙组的方差比甲组小，即乙组的成绩比甲组的成绩稳定．【点评】本题主要考查折线统计图、加权平均数、中位数及方差，熟练掌握加权平均数、中位数及方差的定义是解题的关键．24．（9分）（2020•通辽）如图，AB为⊙O的直径，D为的中点，连接OD交弦AC于点F，过点D作DE∥AC，交BA的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）连接CD，若OA=AE=4，求四边形ACDE的面积．【分析】（1）欲证明DE是⊙O的切线，只要证明AC⊥OD，ED⊥OD即可．=S△CFD，推出S四边形ACDE=S△ODE，求出△（2）由△AFO≌△CFD（SAS），推出S△AFOODE的面积即可．【解答】（1）证明：∵D为的中点，∴OD⊥AC，∵AC∥DE，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）解：连接DC，∵D为的中点，∴OD⊥AC，AF=CF，∵AC∥DE，且OA=AE，∴F为OD的中点，即OF=FD，在△AFO和△CFD中，∴△AFO≌△CFD（SAS），=S△CFD，∴S△AFO=S△ODE∴S四边形ACDE在Rt△ODE中，OD=OA=AE=4，∴OE=8，∴DE==4，=S△ODE=×OD×DE=×4×4=8．∴S四边形ACDE【点评】本题考查切线的判定、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．25．（10分）（2020•通辽）邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下的一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，称为第二次操作；…依此类推，若第n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形，如图1，▱ABCD中，若AB=1，BC=2，则▱ABCD为1阶准菱形．（1）猜想与计算：邻边长分别为3和5的平行四边形是3阶准菱形；已知▱ABCD的邻边长分别为a，b（a＞b），满足a=8b+r，b=5r，请写出▱ABCD是12阶准菱形．（2）操作与推理：小明为了剪去一个菱形，进行了如下操作：如图2，把▱ABCD沿BE折叠（点E 在AD上），使点A落在BC边上的点F处，得到四边形ABFE．请证明四边形ABFE 是菱形．【分析】（1）利用平行四边形准菱形的意义即可得出结论；（2）先判断出∠AEB=∠ABE，进而判断出AE=BF，即可得出结论．【解答】解：（1）如图1，利用邻边长分别为3和5的平行四边形进行3次操作，所剩四边形是边长为1的菱形，故邻边长分别为3和5的平行四边形是3阶准菱形：如图2，∵b=5r，∴a=8b+r=40r+r=8×5r+r，利用邻边长分别为41r和5r的平行四边形进行8+4=12次操作，所剩四边形是边长为1的菱形，故邻边长分别为41r和5r的平行四边形是12阶准菱形：故答案为：3，12（2）由折叠知：∠ABE=∠FBE，AB=BF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥BF，∴∠AEB=∠FBE，∴∠AEB=∠ABE，∴AE=AB，∴AE=BF，∴四边形ABFE是平行四边形，∴四边形ABFE是菱形【点评】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，菱形的性质和判定，以及平行四边形的准菱形的理解和应用，解（1）的关键是理解准菱形的意义，解（2）的关键是掌握判断菱形的方法，是一道中考常考题．26．（12分）（2020•通辽）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+2过点A （﹣2，0），B（2，2），与y轴交于点C．（1）求抛物线y=ax2+bx+2的函数表达式；（2）若点D在抛物线y=ax2+bx+2的对称轴上，求△ACD的周长的最小值；（3）在抛物线y=ax2+bx+2的对称轴上是否存在点P，使△ACP是直角三角形？若存在直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的函数表达式；（2）由轴对称的最短路径得：因为B与C关于对称轴对称，所以连接AB交对称轴于点D，此时△ACD的周长最小，利用勾股定理求其三边相加即可；（3）存在，当A和C分别为直角顶点时，画出直角三角形，设P（1，y），根据三角形相似列比例式可得P的坐标．【解答】解：（1）把点A（﹣2，0），B（2，2）代入抛物线y=ax2+bx+2中，，解得：，∴抛物线函数表达式为：y=﹣x2+x+2；（2）y=﹣x2+x+2=﹣（x﹣1）2+；∴对称轴是：直线x=1，如图1，过B作BE⊥x轴于E，∵C（0，2），B（2，2），对称轴是：x=1，∴C与B关于x=1对称，∴CD=BD，连接AB交对称轴于点D，此时△ACD的周长最小，∵BE=2，AE=2+2=4，OC=2，OA=2，∴AB==2，AC==2，∴△ACD的周长=AC+CD+AD=AC+BD+AD=AC+AB=2+2；答：△ACD的周长的最小值是2+2，（3）存在，分两种情况：①当∠ACP=90°时，△ACP是直角三角形，如图2，过P作PD⊥y轴于D，设P（1，y），则△CGP∽△AOC，∴，∴，∴CG=1，∴OG=2﹣1=1，∴P（1，1）；②当∠CAP=90°时，△ACP是直角三角形，如图3，。

2020年内蒙古通辽市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题包括10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确答齐案，请在答题卡上将代表正确答案的字母用2B铅笔涂黑）1．（3分）（2020•通辽）2020年我市初三毕业生超过30000人，将30000用科学记数法表示正确的是（）A．0.3×105B．3×104C．30×103D．3万【分析】根据科学记数法定义：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法，即可表示．【解答】解：30000用科学记数法表示为：3×104．故选：B．【点评】本题考查了科学记数法﹣表示较大的数，解决本题的关键是掌握科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．[科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．2．（3分）（2020•通辽）下列说法不正确的是（）A．2a是2个数a的和B．2a是2和数a的积C．2a是单项式D．2a是偶数【分析】分别根据乘法的定义，单项式的定义以及偶数的定义逐一判断即可．【解答】解：A.2a＝a+a，即2a是2个数a的和，说法正确；B.2a是2和数a的积，说法正确；C.2a是单项式，说法正确；D.2a不一定是偶数，故原说法错误．故选：D．【点评】本题主要考查了单项式的定义，偶数的定义，熟记相关定义是解答本题的关键．3．（3分）（2020•通辽）下列事件中是不可能事件的是（）A．守株待兔B．瓮中捉鳖C．水中捞月D．百步穿杨【分析】不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，可得答案．【解答】解：A、守株待兔是随机事件，故此选项不合题意；B、瓮中捉鳖是必然事件，故此选项不合题意；C、水中捞月是不可能事件，故此选项符合题意；D、百步穿杨是随机事件，故此选项不合题意；故选：C．【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4．（3分）（2020•通辽）如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使∠α和∠β互余的摆放方式是（）A．B．C．D．【分析】根据余角和补角的概念、结合图形进行判断即可．【解答】解：A．∠α与∠β互余，故本选项正确；B．∠α＝∠β，故本选项错误；C．∠α＝∠β，故本选项错误；D．∠α与∠β互补，故本选项错误，故选：A．【点评】本题考查了余角和补角，是基础题，熟记概念与性质是解题的关键．5．（3分）（2020•通辽）关于x的方程kx2﹣6x+9＝0有实数根，k的取值范围是（）A．k＜1且k≠0B．k＜1C．k≤1且k≠0D．k≤1【分析】若一元二次方程有有实数根，则根的判别式△＝b2﹣4ac≥0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．【解答】解：k＝0时，是一元一次方程，有实数根；k不等于0时，是一元二次方程，根据题意，△≥0，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4k×9≥0，解得k≤1，故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．6．（3分）（2020•通辽）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是（）A．B．C．D．【分析】利用基本作图和三角形内心的定义进行判断．【解答】解：三角形内心为三角形内角平分线的交点，选项B中作了两个交的平分线．故选：B．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质．7．（3分）（2020•通辽）如图，P A，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠P＝72°，则∠C＝（）A．108°B．72°C．54°D．36°【分析】连接OA、OB，根据切线的性质得到∠P AO＝90°，∠PBO＝90°，求出∠AOB，根据圆周角定理解答即可．【解答】解：连接OA、OB，∵P A，PB分别为⊙O的切线，∴OA⊥P A，OB⊥PB，∴∠P AO＝90°，∠PBO＝90°，∴∠AOB＝360°﹣∠P AO﹣∠PBO﹣∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣72°＝108°，由圆周角定理得，∠C=12∠AOB＝54°，故选：C．【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．8．（3分）（2020•通辽）如图，AD是△ABC的中线，四边形ADCE是平行四边形，增加下列条件，能判断▱ADCE是菱形的是（）A．∠BAC＝90°B．∠DAE＝90°C．AB＝AC D．AB＝AE【分析】根据菱形的判定定理即可得到结论．【解答】解：添加∠BAC ＝90°时，∵AD 是△ABC 的中线，∴AD =12BC ＝CD ，∴四边形ADCE 是菱形，选项A 正确；添加∠DAE ＝90°，∵四边形ADCE 是平行四边形∴四边形ADCE 是矩形，选项B 错误；添加AB ＝AC ，可得到AD ⊥BC ，∴∠ADC ＝90°，∴四边形ADCE 是平行四边形是矩形，选项C 错误；添加AB ＝AE ，∵四边形ADCE 是平行四边形，∴AE ＝CD ，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝CD ＝AE ，∴AB ＝BD ，故不能选项D 不能判定四边形ADCE 是菱形；故选：A ．【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质、等腰三角形的判定、熟练掌握菱形的判定是关键．9．（3分）（2020•通辽）如图，OC 交双曲线y =k x 于点A ，且OC ：OA ＝5：3，若矩形ABCD的面积是8，且AB ∥x 轴，则k 的值是（ ）A ．18B ．50C ．12D ．2009【分析】延长DA 、CB ，交x 轴于E 、F ，通过证得三角形相似求得△AOE 的面积＝9，根据反比例函数系数k 的几何意义，即可求得k 的值．【解答】解：延长DA 、CB ，交x 轴于E 、F ，∵四边形ABCD 矩形，且AB ∥x 轴，∴DE ⊥x 轴，CF ⊥x 轴，∴AE ∥CF ，∴△AOE ∽△COF ，∴S △OFC S △AOE =（OC OA ）2=259，∵矩形ABCD 的面积是8，∴△ABC 的面积为4，∵AB ∥x 轴，∴△ABC ∽△OFC ，∴S △OFC S △ABC =（OC AC ）2， ∵OC ：OA ＝5：3，∴OC AC =52，∴S △OFC 4=254，∴S △OFC ＝25，∴S △OFC S △AOE =259，∴S △AOE ＝9，∵双曲线y =k x 经过点A ，∴S △AOE =12|k |＝9，∵k ＞0，∴k ＝18，故选：A ．【点评】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键．10．（3分）（2020•通辽）从下列命题中，随机抽取一个是真命题的概率是（ ）（1）无理数都是无限小数；（2）因式分解ax 2﹣a ＝a （x +1）（x ﹣1）；（3）棱长是1cm 的正方体的表面展开图的周长一定是14cm ；（4）弧长是20πcm ，面积是240πcm 2的扇形的圆心角是120°．A ．14B ．12C ．34D ．1【分析】根据各个小题中的说法可以判断是否为真命题，从而可以得到随机抽取一个是真命题的概率．【解答】解：（1）无理数都是无限小数是真命题，（2）因式分解ax 2﹣a ＝a （x +1）（x ﹣1）是真命题；（3）棱长是1cm 的正方体的表面展开图的周长一定是14cm 是真命题；（4）弧长是20πcm ，面积是240πcm 2的扇形的半径是240π×2÷20π＝24cm ，圆心角为：180°×20π24π=150°，故弧长是20πcm ，面积是240πcm 2的扇形的圆心角是120°是假命题；故随机抽取一个是真命题的概率是34， 故选：C ．【点评】本题考查命题和定理，解答本题的关键是明确题意，可以判断出各个命题的真假．二、填空题（本题包括7小题，每小题3分，共21分，将答案直接填在答题卡对应题的横线上）11．（3分）（2020•通辽）计算：（1）（3.14﹣π）0＝ 1 ；（2）2cos45°＝ √2 ；（3）﹣12＝ ﹣1 ．【分析】（1）根据任何非零数的零次幂等于1即可；（2）根据特殊角的三角函数值计算即可；（3）根据有理数的乘方的定义计算即可．【解答】解：（1）（3.14﹣π）0＝1；（2）2cos45°=2×√22=√2；（3）﹣12＝﹣1×1＝﹣1．故答案为：（1）1；（2）√2；（3）﹣1．【点评】本题主要考查了实数的运算．熟练掌握相关定义是解答本题的关键．12．（3分）（2020•通辽）若数据3，a ，3，5，3的平均数是3，则这组数据中（1）众数是 3 ；（2）a 的值是 1 ；（3）方差是 85 ．【分析】根据平均数、中位数、方差、众数的意义和计算方法进行计算即可．【解答】解：（1）不论a 取何值，出现次数最多的是3，出现3次，因此众数是3；（2）（3×3+a +5）＝3×5，解得，a ＝1，（3）S 2=15[（1﹣3）2+（5﹣3）2]=85，故答案为：3，1，85． 【点评】本题考查中位数、众数、平均数、方差的意义和计算方法，理解各个概念的意义是正确计算的关键．13．（3分）（2020•通辽）如图，点O 在直线AB 上，∠AOC ＝58°17′28″．则∠BOC 的度数是 121°42′32″ ．【分析】依据邻补角的定义，即可得到∠BOC的度数．【解答】解：∵点O在直线AB上，且∠AOC＝58°17′28″，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣58°17′28″＝121°42′32″，故答案为：121°42′32″．【点评】本题主要考查了邻补角的定义．解题的关键是掌握邻补角的定义：如果两个角互为邻补角，那么它们的和为180°．14．（3分）（2020•通辽）如图，用大小相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形…，按这样的方法拼成的第（n+1）个正方形比第n个正方形多2n+3个小正方形．【分析】观察不难发现，所需要的小正方形的个数都是平方数，然后根据相应的序数与正方形的个数的关系找出规律解答即可．【解答】解：∵第1个正方形需要4个小正方形，4＝22，第2个正方形需要9个小正方形，9＝32，第3个正方形需要16个小正方形，16＝42，…，∴第n+1个正方形有（n+1+1）2个小正方形，第n个正方形有（n+1）2个小正方形，故拼成的第n+1个正方形比第n个正方形多（n+2）2﹣（n+1）2＝2n+3个小正方形．故答案为：2n+3．【点评】此题考查的知识点是图形数字的变化类问题，关键是通过图形找出规律，按规律求解．15．（3分）（2020•通辽）有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了12个人．【分析】根据增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即原数×（1+增长百分率）2＝后来数．【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得（1+x）2＝1691+x＝±13x1＝12，x2＝﹣14（舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染了12个人．故答案为：12．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即原数×（1+增长百分率）2＝后来数．16．（3分）（2020•通辽）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在斜边AB上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，∠PCQ＝90°，则P A2，PB2，PC2三者之间的数量关系是PB2+AP2＝2CP2．【分析】连接BQ，由“SAS”可证△ACP≌△BCQ，可得∠CAP＝∠CBQ＝45°，可得∠ABQ＝90°，由勾股定理可得PB2+BQ2＝PQ2，即可求解．【解答】解：如图，连接BQ，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∵△PCQ是等腰直角三角形，∴PC＝CQ，∠PCQ＝90°＝∠ACB，PQ2＝2CP2，∴∠ACP＝∠BCQ，又∵AC＝BC，∴△ACP≌△BCQ（SAS），∴∠CAP＝∠CBQ＝45°，∴∠ABQ＝90°，∴PB2+BQ2＝PQ2，∴PB2+AP2＝2CP2，故答案为：PB2+AP2＝2CP2．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，证明∠ABQ＝90°是本题的关键．17．（3分）（2020•通辽）如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点E是边AB 的中点，点P是边BC上一动点，设PC＝x，P A+PE＝y．图②是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点．那么a+b的值为3+2√3．【分析】点A关于BC的对称点为点A′，连接A′E交BC于点P，此时y最小，进而求解．【解答】解：如图，将△ABC沿BC折叠得到△A′BC，则四边形ABA′C为菱形，菱形的对角线交于点O，设菱形的边长为2m，在△ABC中，BC＝2BO＝2×AC sin∠OAC＝4m×sin60°＝2√3m，从图②看，BC＝3√3=2√3m，解得：m=3 2；点A关于BC的对称点为点A′，连接A′E交BC于点P，此时y最小，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，则∠BAA′＝60°，故AA′B为等边三角形，∵E是AB的中点，故A′E⊥AB，而AB∥A′C，故∠P A′C为直角，则a＝PC=A′Ccos∠BCA′=2mcos30°=4√33m，此时b＝AA′＝2m，则a+b＝2m+4√33m＝3+2√3．故答案为3+2√3．【点评】本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、菱形的性质、解直角三角形．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．三、解答题（包括9小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤）18．（5分）（2020•通辽）解方程：2x−2=3x．【分析】方程两边都乘以最简公分母x（x﹣2）把分式方程化为整式方程，然后解整式方程，再进行检验．【解答】解：方程两边都乘以x（x﹣2）得，2x＝3x﹣6，解得x＝6，检验：当x＝6时，x（x﹣2）＝6×4＝24≠0，所以x＝6是分式方程的解．因此，原分式方程的解是x＝6．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．19．（6分）（2020•通辽）从A处看一栋楼顶部的仰角为α，看这栋楼底部的俯角为β，A处与楼的水平距离AD为90m．若tanα＝0.27，tanβ＝2.73，求这栋楼高．【分析】在两个直角三角形中，利用边角关系求出BD、CD的长，即可求楼高BC．【解答】解：在Rt△ABD中，BD＝tanα•AD＝0.27×90＝24.3（米），在Rt△ACD中，CD＝AD•tanβ＝90×2.73＝245.7（米），∴BC＝BD+CD＝24.3+245.7＝270（米），答：这栋楼高BC约为270米．【点评】本题考查直角三角形的边角关系的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．20．（6分）（2020•通辽）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n＝m2n﹣mn﹣3m，如：1※2＝12×2﹣1×2﹣3×2＝﹣6．（1）求（﹣2）※√3；（2）若3※m≥﹣6，求m的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集．【分析】（1）根据新定义规定的运算法则列式，再由有理数的运算法则计算可得；（2）根据新定义列出关于x的不等式，解不等式即可得．【解答】解：（1）（﹣2）※√3=（﹣2）2×√3−（﹣2）×√3−3√3=4√3+2√3−3√3=3√3；（2）3※m≥﹣6，则32m﹣3m﹣3m≥﹣6，解得：m≥﹣2，将解集表示在数轴上如下：【点评】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是根据新定义列出算式和一元一次不等式及解一元一次不等式的步骤．21．（7分）（2020•通辽）甲口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字1，2；乙口袋中装有3个相同小球，它们分别写有数字3，4，5；丙口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字6，7．从三个口袋各随机取出1个小球．用画树状图或列表法求：（1）取出的3个小球上恰好有一个偶数的概率；（2）取出的3个小球上全是奇数的概率．【分析】（1）画树状图展示所有12种等可能的结果，找出取出的3个小球上恰好有一个偶数的结果数，然后根据概率公式计算；（2）找出取出的3个小球上全是奇数的结果数，然后根据概率公式计算．【解答】解：（1）画树状图为：共有12种等可能的结果，其中取出的3个小球上恰好有一个偶数的结果数为5，所以取出的3个小球上恰好有一个偶数的概率=5 12；（2）取出的3个小球上全是奇数的结果数为2，所以取出的3个小球上全是奇数的概率=212=16．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．22．（7分）（2020•通辽）如图，⊙O的直径AB交弦（不是直径）CD于点P，且PC2＝PB •P A，求证：AB⊥CD．【分析】连接AC、BC，如图，根据圆周角定理得到∠A＝∠D，∠C＝∠B，则可判断△APC∽△BPD，利用相似比得到PC•PD＝P A•PB，利用PC2＝PB•P A得到PC＝PD，然后根据垂径定理得到结论．【解答】证明：连接AC、BC，如图，∵∠A＝∠D，∠C＝∠B，∴△APC∽△BPD，∴PC：PB＝P A：PD，∴PC•PD＝P A•PB，∵PC2＝PB•P A，∴PC＝PD，∵AB为直径，∴AB⊥CD．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系；也考查了圆周角定理和垂径定理．23．（8分）（2020•通辽）某校研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）在这次调查中，共调查了多少名学生；（2）补全条形统计图；（3）若该校爱好运动的学生共有800名，则该校学生总数大约有多少名．【分析】（1）根据爱好运动的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数；（2）根据（1）中的结果和统计图中的数据，可以得到爱好阅读和上网的人数，从而可以将条形统计图补充完整；（3）根据爱好运动的学生所占的百分比，可以计算出该校学生总数大约有多少名．【解答】解：（1）40÷40%＝100（名），即在这次调查中，共调查了100名学生；（2）爱好上网的学生有：100×10%＝10（名），爱好阅读的学生有：100﹣40﹣20﹣10＝30（名），补全的条形统计图如右图所示；（3）800÷40%＝2000（名），答：该校学生总数大约有2000名．【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．24．（9分）（2020•通辽）某服装专卖店计划购进A，B两种型号的精品服装．已知2件A 型服装和3件B型服装共需4600元；1件A型服装和2件B型服装共需2800元．（1）求A，B型服装的单价；（2）专卖店要购进A，B两种型号服装60件，其中A型件数不少于B型件数的2倍，如果B型打七五折，那么该专卖店至少需要准备多少货款？【分析】（1）设A型服装的单价为x元，B型服装的单价为y元，根据“2件A型服装和3件B型服装共需4600元；1件A型服装和2件B型服装共需2800元”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购进B 型服装m 件，则购进A 型服装（60﹣m ）件，根据购进A 型件数不少于B 型件数的2倍，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围，设该专卖店需要准备w 元的货款，根据总价＝单价×数量，即可得出w 关于m 的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．【解答】解：（1）设A 型服装的单价为x 元，B 型服装的单价为y 元，依题意，得：{2x +3y =4600x +2y =2800， 解得：{x =800y =1000． 答：A 型服装的单价为800元，B 型服装的单价为1000元．（2）设购进B 型服装m 件，则购进A 型服装（60﹣m ）件，依题意，得：60﹣m ≥2m ，解得：m ≤20．设该专卖店需要准备w 元的货款，则w ＝800（60﹣m ）+1000×0.75m ＝﹣50m +48000， ∵k ＝﹣50，∴w 随m 的增大而减小，∴当m ＝20时，w 取得最小值，最小值＝﹣50×20+48000＝47000．答：该专卖店至少需要准备47000元货款．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的性质以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．25．（9分）（2020•通辽）中心为O 的正六边形ABCDEF 的半轻为6cm ，点P ，Q 同时分别从A ，D 两点出发，以1cm /s 的速度沿AF ，DC 向终点F ，C 运动，连接PB ，PE ，QB ，QE ，设运动时间为t （s ）．（1）求证：四边形PBQE 为平行四边形；（2）求矩形PBQE 的面积与正六边形ABCDEF 的面积之比．【分析】（1）证明△ABP ≌△DEQ （SAS ），可得BP ＝EQ ，同理PE ＝BQ ，由此即可证明；（2）求出t ＝0s 或6s 时，四边形PBQE 是矩形，求出矩形面积和正六边形面积，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，∴AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝EF ＝F A ，∠A ＝∠ABC ＝∠C ＝∠D ＝∠DEF ＝∠F ，∵点P ，Q 同时分别从A ，D 两点出发，以1cm /s 速度沿AF ，DC 向终点F ，C 运动， ∴AP ＝DQ ＝t ，PF ＝QC ＝6﹣t ，在△ABP 和△DEQ 中，{AB =DE∠A =∠D AP =DQ，∴△ABP ≌△DEQ （SAS ），∴BP ＝EQ ，同理可证PE ＝QB ，∴四边形PEQB 为平行四边形．（2）解：连接BE 、OA ，则∠AOB =360°6=60°，∵OA ＝OB ，∴△AOB 是等边三角形，∴AB ＝OA ＝6，BE ＝2OB ＝12，当t ＝0时，点P 与A 重合，Q 与D 重合，四边形PBQE 即为四边形ABDE ，如图1所示： 则∠EAF ＝∠AEF ＝30°，∴∠BAE ＝120°﹣30°＝90°，∴此时四边形ABDE 是矩形，即四边形PBQE 是矩形．当t ＝6时，点P 与F 重合，Q 与C 重合，四边形PBQE 即为四边形FBCE ，如图2所示： 同法可知∠BPE ＝90°，此时四边形PBQE 是矩形．综上所述，t ＝0s 或6s 时，四边形PBQE 是矩形，∴AE=√122−62=6√3，∴矩形PBQE的面积＝矩形ABDE的面积＝AB×AE＝6×6√3=36√3；∵正六边形ABCDEF的面积＝6△AOB的面积＝6×14矩形ABDE的面积＝6×14×36√3=54√3，∴矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比=2 3．【点评】本题考查了正六边形的性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握正六边形的性质是解题的关键．26．（12分）（2020•通辽）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．且直线y＝x﹣6过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x 轴对称，点P是线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线BD 于点N．（1）求抛物线的函数解析式；（2）当△MDB的面积最大时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）由一次函数图象与坐标轴交点B 、D 的坐标，再由对称求得C 点坐标，再用待定系数法求抛物线的解析式；（2）设P （m ，0），则M （m ，﹣m 2+5m +6），N （m ，m ﹣6），由三角形的面积公式求得△MDB 的面积关于m 的二次函数，最后根据二次函数的最大值的求法，求得m 的值，进而得P 点的坐标；（3）分三种情况：M 为直角顶点；N 为直角顶点；Q 为直角顶点．分别得出Q 点的坐标．【解答】解：（1）令y ＝0，得y ＝x ﹣6＝0，解得x ＝6，∴B （6，0），令x ＝0，得y ＝x ﹣6＝﹣6，∴D （0，﹣6），∵点C 与点D 关于x 轴对称，∴C （0，6），把B 、C 点坐标代入y ＝﹣x 2+bx +c 中，得{−36+6b +c =0c =6， 解得，{b =5c =6， ∴抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2+5x +6；（2）设P （m ，0），则M （m ，﹣m 2+5m +6），N （m ，m ﹣6），则MN ＝﹣m 2+4m +12，∴△MDB 的面积=12MN ⋅OB =−3m 2+12m +36═﹣3（m ﹣2）2+48，∴当m＝2时，△MDB的面积最大，此时，P点的坐标为（2，0）；（3）由（2）知，M（2，12），N（2，﹣4），当∠QMN＝90°时，QM∥x轴，则Q（0，12）；当∠MNQ＝90°时，NQ∥x轴，则Q（0，﹣4）；当∠MQN＝90°时，设Q（0，n），则QM2+QN2＝MN2，即4+（12﹣n）2+4+（n+4）2＝（12+4）2，解得，n＝4±√55，∴Q（0，4+√55）或（0，4−√55）．综上，存在以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形．其Q点坐标为（0，12）或（0，﹣4）或（0，4+√55）或（0，4−√55）．【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值的应用，待定系数法，直角三角形的性质，三角形的面积计算，分类讨论思想，关键是正确求出函数解析式和分类讨论．第21页（共21页）。

内蒙古通辽市2020年中考数学试卷一、单选题（共10题；共20分）1.2020年我市初三毕业生超过30000人，将30000用科学记数法表示正确的是( )A. B. C. D. 3万2.下列说法错误的．．．是( )A. 是2个数a的和B. 是2和数a的积C. 是单项式D. 是偶数3.下列事件中是不可能事件．．．．．的是( )A. 守株待兔B. 瓮中捉鳖C. 水中捞月D. 百步穿杨4.如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使和互余的摆放方式是( )A. B. C. D.5.若关于x的方程kx2﹣6x+9=0有实数根，则k的取值范围是（）A. k＜1B. k≤1C. k＜1且k≠0D. k≤1且k≠06.根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是( )A. B. C. D.7.如图，分别与相切于两点，，则( )A. B. C. D.8.如图，是的中线，四边形是平行四边形，增加下列条件，能判断是菱形的是( )A. B. C. D.9.如图，交双曲线于点A，且，若矩形的面积是8，且轴，则k的值是( )A. 18B. 50C. 12D.10.从下列命题中，随机抽取一个是真命题的概率是( )⑴无理数都是无限小数；⑵因式分解；⑶棱长是的正方体的表面展开图的周长一定是；⑷弧长是，面积是的扇形的圆心角是．A. B. C. D. 1二、填空题（共7题；共7分）11.计算：________；________；________．12.若数据3，a，3，5，3的平均数是3，则这组数据众数是________；a的值是________；方差是________．13.如图，点O在直线上，，则的度数是________．14.如图，用大小相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形……，按这样的方法拼成的第个正方形比第n个正方形多________个小正方形．15.有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了________个人．16.如图，在中，，点P在斜边上，以为直角边作等腰直角三角形，，则三者之间的数量关系是________．17.如图①，在中，，点E是边的中点，点P是边上一动点，设．图②是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点．．那么的值为________．三、解答题（共9题；共85分）18.解方程：.19.从A处看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，A处与楼的水平距离为，若，求这栋楼高．20.用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定，如：．（1）求；（2）若，求m的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集．21.甲口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字1，2；乙口袋中装有3个相同小球，它们分别写有数字3，4，5；丙口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字6，7．从三个口袋各随机取出1个小球．用画树状图或列表法求：（1）取出的3个小球上恰好有一个偶数的概率；（2）取出的3个小球上全是奇数的概率．22.如图，的直径交弦(不是直径) 于点P，且．求证：．23.某校研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）在这次调查中，共调查了多少名学生；（2）补全条形统计图；（3）若该校爱好运动的学生共有800名，则该校学生总数大约有多少名．24.某服装专卖店计划购进两种型号的精品服装．已知2件A型服装和3件B型服装共需4600元；1件A型服装和2件B型服装共需2800元．（1）求型服装的单价；（2）专卖店要购进两种型号服装60件，其中A型件数不少于B型件数的2倍，如果B型打七五折，那么该专卖店至少需要准备多少货款？25.中心为O的正六边形的半径为．点同时分别从两点出发，以的速度沿向终点运动，连接，设运动时间为．（1）求证：四边形为平行四边形；（2）求矩形的面积与正六边形的面积之比．26.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，且直线过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称．点P是线段上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线于点N．（1）求抛物线的函数解析式；（2）当的面积最大时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以三点为顶点的三角形是直角三角形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．答案解析部分一、单选题1.【解析】【解答】解：将30000用科学记数法表示为3×104．故答案为：B．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．2.【解析】【解答】解：A、=a+a，是2个数a的和，不符合题意；B、=2×a，是2和数a的积，不符合题意；C、是单项式，不符合题意；D、当a为无理数时，是无理数，不是偶数，符合题意；故答案为：D.【分析】根据2a的意义，分别判断各项即可.3.【解析】【解答】解：A、守株待兔，不一定就能达到，是随机事件，不符合；B、瓮中捉鳖是必然事件，不符合；C、水中捞月，一定不能达到，是不可能事件，选项不符合；D、百步穿杨，未必达到，是随机事件，不符合；故答案为：C.【分析】不可能事件是一定不会发生的事件，依据定义即可判断．4.【解析】【解答】解：A、∠α与∠β互余，故本选项符合题意；B、∠α+∠β＞90°，即不互余，故本选项不符合题意；C、∠α+∠β=270°，即不互余，故本选项不符合题意；D、∠α+∠β=180°，即互补，故本选项不符合题意；故答案为：A.【分析】根据图形，结合互余的定义判断即可．5.【解析】【解答】解：（1）当k=0时，﹣6x+9=0，解得x=；（2）当k≠0时，此方程是一元二次方程，∵关于x的方程kx2﹣6x+9=0有实数根，∴△=（﹣6）2﹣4k×9≥0，解得k≤1，由（1）、（2）得，k的取值范围是k≤1．故选B．【分析】由于k的取值范围不能确定，故应分k=0和k≠0两种情况进行解答．6.【解析】【解答】解：三角形内心为三个角的角平分线的交点，由基本作图得到B选项作了两个角的角平分线，而三角形三条角平分线交于一点，从而可用直尺成功找到三角形内心．故答案为：B．【分析】根据三角形内心的定义，三角形内心为三边的垂直平分线的交点，然后利用基本作图和选项进行判断．7.【解析】【解答】解：连接OA、OB，∵直线PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∵∠P=72°，∴∠AOB=108°，∵C是⊙O上一点，∴∠ACB=54°．故答案为：C．【分析】连接OA、OB，根据切线的性质定理，结合四边形AOBP的内角和为360°，即可推出∠AOB的度数，然后根据圆周角定理，即可推出∠C的度数．8.【解析】【解答】解：A、若，则AD=BD=CD=AE，∵四边形ADCE是平行四边形，则此时四边形ADCE为菱形，符合题意；B 、若，则四边形ADCE是矩形，不符合题意；C、若，则∠ADC=90°，则四边形ADCE是矩形，不符合题意；D、若，而AB＞AD，则AE≠AD，无法判断四边形ADCE为菱形，不符合题意.故答案为：A.【分析】根据菱形的判定方法逐一分析即可.9.【解析】【解答】解：过点A和点C分别作x轴的垂线，垂足为E和F，∴AE∥CF，∴△OAE∽△OCF，∵OC：OA=5：3，∴OF：OE=CF：AE=5：3，设点A（m，n），则mn=k，∴OE=m，AE=n，∴OF= ，CF= ，∴AB=OF-OE= ，BC=CF-AE= ，∵矩形ABCD的面积为8，∴AB·BC= × =8，∴mn=18=k，故答案为：A.【分析】过点A和点C分别作x轴的垂线，垂足为E和F，得到△OAE∽△OCF，设点A（m，n），求出AB和BC，利用矩形ABCD的面积为8求出mn，即k值.10.【解析】【解答】解：（1）无理数都是无限小数，是真命题，⑵因式分解，是真命题，⑶棱长是的正方体的表面展开图的周长一定是，是真命题，⑷设扇形半径为r，圆心角为n，∵弧长是，则= ，则，∵面积是，则= ，则360×240，则，则n=3600÷24=150°，故扇形的圆心角是，是假命题，则随机抽取一个是真命题的概率是，故答案为：C.【分析】分别判断各命题的真假，再利用概率公式求解.二、填空题11.【解析】【解答】解：1，2× = ，-1，故答案为：1，，-1.【分析】根据零指数幂，特殊角的三角函数值，乘方运算法则分别计算即可.12.【解析】【解答】解：根据题意得，3+a+3+5+3=3×5，解得：a=1，则一组数据1，3，3，3，5的众数为3，方差为：= =1.6，故答案为：（1）3；（2）1；（3）1.6【分析】根据平均数的定义先求出a的值，再根据众数的定义、以及方差公式进行计算即可得出答案．13.【解析】【解答】解：由图可知：∠AOC和∠BOC互补，∵，∴∠BOC=180°- = ，故答案为：.【分析】根据补角的定义，进行计算即可.14.【解析】【解答】解：∵第一个图形有22=4个正方形组成，第二个图形有32=9个正方形组成，第三个图形有42=16个正方形组成，∴第n个图形有（n+1）2个正方形组成，第n+1个图形有（n+2）2个正方形组成∴（n+2）2-（n+1）2=2n+3故答案为：2n+3．【分析】首先根据图形中小正方形的个数规律得出变化规律，进而得出答案．15.【解析】【解答】解：设平均一人传染了x人，x+1+（x+1）x=169解得：x=12或x=-14（舍去）．∴平均一人传染12人．故答案为：12．【分析】设平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感，列方程求解16.【解析】【解答】解：过点C作CD⊥AB，交AB于点D∵△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB，∴CD=AD=DB，∵PA2=（AD-PD）2=（CD-PD）2=CD2-2CD•PD+PD2，PB2=（BD+PD）2=（CD+PD）2=CD2-2CD•PD+PD2，∴PA2+PB2=2CD2+2PD2=2（CD2+PD2），在Rt△PCD中，由勾股定理可得PC2=CD2+PD2，∴PA2+PB2=2PC2，∵△CPQ为等腰直角三角形，且∠PCQ=90°，∴2PC2=PQ2，∴PA2+PB2=PQ2，故答案为PA2+PB2=PQ2.【分析】把AP2和PB2都用PC和CD表示出来，结合Rt△PCD中，可找到PC和PD和CD的关系，从而可找到PA2，PB2，PQ2三者之间的数量关系；17.【解析】【解答】解：如图，过B作AC的平行线，过C作AB的平行线，交于点D，可得四边形ABCD为平行四边形，又AB=AC，∴四边形ABCD为菱形，点A和点D关于BC对称，∴PA+PE=PD+PE，当P，D，E共线时，PA+PE最小，即DE的长，观察图像可知：当点P与点B重合时，PD+PE= ，∵点E是AB中点，∴BE+BD=3BE= ，∴BE= ，AB=BD= ，∵∠BAC=120°，∴∠ABD=（180°-120°）÷2×2=60°，∴△ABD为等边三角形，∴DE⊥AB，∠BDE=30°，∴DE=3，即PA+PE的最小值为3，即点H的纵坐标为a=3，当点P为DE和BC交点时，∵AB∥CD，∴△PBE∽△PCD，∴，∵菱形ABCD中，AD⊥BC，∴BC=2× =6，∴，解得：PC=4，即点H的横坐标为b=4，∴a+b=3+4=7，故答案为：7.【分析】过B 作AC 的平行线，过C 作AB 的平行线，交于点D ，证明四边形ABCD 为菱形，得到点A 和点D 关于BC 对称，从而得到PA+PE=PD+PE ，推出当P ，D ，E 共线时，PA+PE 最小，即DE 的长，观察图像可知：当点P 与点B 重合时，PD+PE=，分别求出PA+PE 的最小值为3，PC 的长，即可得到结果.三、解答题18.【解析】【分析】首先去掉分母，观察可得最简公分母是x （x ﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，然后解一元一次方程，最后检验即可求解．19.【解析】【分析】根据正切的定义分别求出BD 、DC 的长，求和即可.20.【解析】【分析】（1）根据新定义规定的运算法则列式，再由有理数的运算法则计算可得；（2）根据新定义列出关于x 的不等式，解不等式即可得．21.【解析】【分析】（1）画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果，然后利用概率公式求解即可求得答案；（2）画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果，然后利用概率公式求解即可求得答案； 22.【解析】【分析】连接AC 和BD ，证明△PAC ∽△PDB ，得到，再根据 得到 ，从而得到PC=PD ，根据垂径定理得出结果. 23.【解析】【分析】（1）根据爱好运动人数的百分比，以及运动人数即可求出共调查的人数；（2）根据两幅统计图即可求出阅读的人数以及上网的人数，从而可补全图形．（3）利用样本估计总体即可估计爱好运动的学生人数．24.【解析】【分析】（1）设A 型女装的单价是x 元，B 型女装的单价是y 元．根据“2件A 型女装和3件B 型女装共需4600元；1件A 型女装和2件B 型女装共需2800元”列出方程组并解答；（2）设购进A 型女装m 件，则购进B 型女装（60-m ）件，依据“A 型的件数不少于B 型件数的2倍”求得m 的取值范围，然后根据购买方案求得需要准备的总费用．25.【解析】【分析】（1）只要证明△ABP ≌△DEQ （SAS ），可得BP=EQ ，同理PE=BQ ，由此即可证明；（2）过点B ，点E 作BN ⊥CD ，EM ⊥CD ，连接OC ，OD ，过点O 作OH ⊥CD 分别求出矩形的面积和正六边形 的面积，从而得到结果.26.【解析】【分析】（1）根据直线 求出点B 和点D 坐标，再根据C 和D 之间的关系求出点C坐标，最后运用待定系数法求出抛物线表达式；（2）设点P 坐标为（m ，0），表示出M 和N 的坐标，再利用三角形面积求法得出S △BMD = ，再求最值即可；（3）分当∠QMN=90°时，当∠QNM=90°时，当∠MQN=90°时，三种情况，结合相似三角形的判定和性质，分别求解即可.。