一类反应扩散捕食模型高维空间中的古典解
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W2 (Ω)
1
u1(x,0)=u10(x)≥0， x∈Ω，
∞
(2)||∇u1||L (Q )≤C||u1||W
侯立春
(铜陵学院
摘
数学与计算机学院, 安徽
铜陵
244000)
要:文章讨论的反应扩散捕食模型带有交错扩散项,目前有关此类模型的已知结果非常少,文章主要应用能量估计
方法,并结合 Shauder 理论和 Bootstrap 技巧证明了模型高维空间中古典解的存在性.文章研究结果可视为具有交错扩散项的 Lotka-Volterra 竞争模型相关工作在一定程度上的推广. 关键词:捕食-食饵模型;交错扩散;古典解;能量估计 中图分类号： O175.26 1 引言与主要结论 本文讨论如下带有交错扩散项的捕食 - 食饵模型
||v0||L
∞
(Ω)
}. 从而对∀t≥0， 存在 M0=Kmax{M,N}≥1(K 为 足 够大
{
∞
(Ω)
} ,N=max {M，
的正常数)使得(2.1)成立. 引理 2.2 设 X=(d1+α11u1)u1， u∈L∞(QT)为下列方程的解 u1t=Δ[(d1+α11u1)u1]+f1， (x,t)∈Ω×(0,T)，
n i = 1
i i
(2.2)
Ω |α|≤k
∑
||u||W
2
2.1 p
(ΩT )
=(
t)||L (Ω)+||∇u||L (Q )且 V2(QT)=L∞((0,T),L2(Ω))∩W21.0(QT).
2 T
∫
ΩT
(|u| +|Du| +|D u| +|ut| )dxdt) ， ||u||V (Ω ) = sup ||u( · ,
u1(x,0)=u10(x)≥(≠） 0， x∈Ω,
∂ηu1(x,t)=∂ηu2(x,t)=0,x∈∂Ω,t>0,
u2t-(d2+2α22u2)Δu2+2α22∑u2x u2x =f2,x∈Ω,t>0,
n i = 1
i i
u1t-(d1+2α11u1)Δu1+2α11∑u1x u1x =f1,x∈Ω,t>0,
p p 2 p pFra bibliotek2 T1 p
0≤t≤T
本文的主要结果是关于模型在高维空间中古典解的存 在性， 结论叙述如下： 定理 1.1 设 初 值 u0,v0,w0≥0 满 足 齐次 Neumann 边 界 ⎺ 且 u0,v0,w0∈C2+λ(Ω 条 件， )(λ∈(0,1)).如果空间 Ω 的维数 n<6，
2+α,1+ α 2
⎺ (Ω )×[0,∞)).
vt=Δ(d2v+a22v2)+u-v,x∈Ω,t>0,
ut=Δ(a1u+a11u2)+a0v-a1u+a2u2-a3u3-kuw,x∈Ω,t>0,
wt=Δ(d3w+a31uw+a32vw+a33w2)+(-b+u-w)w,x∈Ω,t>0, (1.1) uη(x,t)=vη(x,t)=wη(x,t)=0,x∈∂Ω,t>0, u(x,0)=u0(x)≥0,v(x,0)=v0(x)≥0,w(x,0)=w0(x)≥0,x∈Ω,
⎧ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⎨ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⎩
文献标识码： A
文章编号： 1673-260X （2017） 11-0003-04
2+λ,1+ λ 2
则问题(1.1)有唯一非负古典解 u,v,w∈C 2 辅助引理及证明 为了获得(1.1)解的 C 并证明之. 一系列引理， 得 证明
收稿日期:2017-08-18 基金项目:安徽省高校自然科学研究重点项目(KJ2015A251);池州学院自然科学研究项目(2016ZR009) - 3-
∂ηu1=0， (x,t)∈∂Ω×(0,T)， 且 0 ≤w ≤L2(QT). 则 存 在 依 赖 于 ||u10|| 其 中 d1， α11 为 正 常 数 ，
(2.1)
对 (1.1) 应用比 较原 理 ， 易 知 .u1 ≥0,u2 ≥0,w ≥0
的高密度区向低密度区运动.α31,α32 为交错扩散率，交错扩
散表示一个种群向另外一个种群流动.一般地， 交 错 扩散系 负的或者是零 .正的交错扩散项表 示 一个种 数可以是正的、 群向另一个种群的低密度区扩散，负的交错扩散项表示向 另一个种群的高密度区扩散，交错扩散为零表示种群是自 包含的， 更具体的生物意义可参见文献[1]. 为简单起见，在讨论过程中始终假定系数 a0,a1,a2,a3,k,b 为正 常数 ， 给 定 相 关 符 号 为： QT=Ω ×[0,T),u ∈Wpk(Ω) 表 示 对 ∀|α| ≤k， α= (α1,α2, … ,αn) 有 Dαu ∈Lp (Ω)， ||u|| W (Ω) = (
k p
ΩT)为了证明 u1,u2≤M0， ((x,t)∈⎺ 下面考虑辅助问题
⎧ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⎨ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⎩
|Dαu|pdx) ， u ∈Wp2.1(QT)， 表 示 u,u x ,u x x (i,j=1,2, … ,n)ut ∈Lp (QT),
i i j
1 p
∫
注意到 f1,f2 在 R2 上充分光滑， 在 R+2 上拟单调.设(0,0)， 下解， 其 中 M,N 为 正 的 常 (M,N) 为 辅 助 问题 (2.2) 的 一 对 上、 数.直接计算不等式 a0N-a1M+a2M2-a3M3≤0 M-N≤0 u10≤M， u20≤N，
2 可 得 M=max a2+ √a2 +4a3|a0-a1| ,||u0||L 2a3
第 33 卷 第 11 期 （下） 2017 年 11 月
赤 峰 学 院 学 报（ 自 然 科 学 版 ） Journal of Chifeng University（Natural Science Edition）
Vol. 33 No.11 Nov. 2017
一类反应扩散捕食模型高维空间中的古典解
⎺ (Ω 我们首先给出下面 T)估计，
使 引理 2.1 设问题(1.1)解为(u1,u2,w).则存在正的常数， 0≤u1,u2≤M0,0≤w,∀t≥0
[2]
三个种群的扩散率.αii(i=1,2,3)为自扩散率， 表明个体从种群
其 中 di,αii(i=1,2,3),α31,α32， 均 为 正 的 常 数 .d1,d2,d3 分 别 为
1
u1(x,0)=u10(x)≥0， x∈Ω，
∞
(2)||∇u1||L (Q )≤C||u1||W
侯立春
(铜陵学院
摘
数学与计算机学院, 安徽
铜陵
244000)
要:文章讨论的反应扩散捕食模型带有交错扩散项,目前有关此类模型的已知结果非常少,文章主要应用能量估计
方法,并结合 Shauder 理论和 Bootstrap 技巧证明了模型高维空间中古典解的存在性.文章研究结果可视为具有交错扩散项的 Lotka-Volterra 竞争模型相关工作在一定程度上的推广. 关键词:捕食-食饵模型;交错扩散;古典解;能量估计 中图分类号： O175.26 1 引言与主要结论 本文讨论如下带有交错扩散项的捕食 - 食饵模型
||v0||L
∞
(Ω)
}. 从而对∀t≥0， 存在 M0=Kmax{M,N}≥1(K 为 足 够大
{
∞
(Ω)
} ,N=max {M，
的正常数)使得(2.1)成立. 引理 2.2 设 X=(d1+α11u1)u1， u∈L∞(QT)为下列方程的解 u1t=Δ[(d1+α11u1)u1]+f1， (x,t)∈Ω×(0,T)，
n i = 1
i i
(2.2)
Ω |α|≤k
∑
||u||W
2
2.1 p
(ΩT )
=(
t)||L (Ω)+||∇u||L (Q )且 V2(QT)=L∞((0,T),L2(Ω))∩W21.0(QT).
2 T
∫
ΩT
(|u| +|Du| +|D u| +|ut| )dxdt) ， ||u||V (Ω ) = sup ||u( · ,
u1(x,0)=u10(x)≥(≠） 0， x∈Ω,
∂ηu1(x,t)=∂ηu2(x,t)=0,x∈∂Ω,t>0,
u2t-(d2+2α22u2)Δu2+2α22∑u2x u2x =f2,x∈Ω,t>0,
n i = 1
i i
u1t-(d1+2α11u1)Δu1+2α11∑u1x u1x =f1,x∈Ω,t>0,
p p 2 p pFra bibliotek2 T1 p
0≤t≤T
本文的主要结果是关于模型在高维空间中古典解的存 在性， 结论叙述如下： 定理 1.1 设 初 值 u0,v0,w0≥0 满 足 齐次 Neumann 边 界 ⎺ 且 u0,v0,w0∈C2+λ(Ω 条 件， )(λ∈(0,1)).如果空间 Ω 的维数 n<6，
2+α,1+ α 2
⎺ (Ω )×[0,∞)).
vt=Δ(d2v+a22v2)+u-v,x∈Ω,t>0,
ut=Δ(a1u+a11u2)+a0v-a1u+a2u2-a3u3-kuw,x∈Ω,t>0,
wt=Δ(d3w+a31uw+a32vw+a33w2)+(-b+u-w)w,x∈Ω,t>0, (1.1) uη(x,t)=vη(x,t)=wη(x,t)=0,x∈∂Ω,t>0, u(x,0)=u0(x)≥0,v(x,0)=v0(x)≥0,w(x,0)=w0(x)≥0,x∈Ω,
⎧ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⎨ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⎩
文献标识码： A
文章编号： 1673-260X （2017） 11-0003-04
2+λ,1+ λ 2
则问题(1.1)有唯一非负古典解 u,v,w∈C 2 辅助引理及证明 为了获得(1.1)解的 C 并证明之. 一系列引理， 得 证明
收稿日期:2017-08-18 基金项目:安徽省高校自然科学研究重点项目(KJ2015A251);池州学院自然科学研究项目(2016ZR009) - 3-
∂ηu1=0， (x,t)∈∂Ω×(0,T)， 且 0 ≤w ≤L2(QT). 则 存 在 依 赖 于 ||u10|| 其 中 d1， α11 为 正 常 数 ，
(2.1)
对 (1.1) 应用比 较原 理 ， 易 知 .u1 ≥0,u2 ≥0,w ≥0
的高密度区向低密度区运动.α31,α32 为交错扩散率，交错扩
散表示一个种群向另外一个种群流动.一般地， 交 错 扩散系 负的或者是零 .正的交错扩散项表 示 一个种 数可以是正的、 群向另一个种群的低密度区扩散，负的交错扩散项表示向 另一个种群的高密度区扩散，交错扩散为零表示种群是自 包含的， 更具体的生物意义可参见文献[1]. 为简单起见，在讨论过程中始终假定系数 a0,a1,a2,a3,k,b 为正 常数 ， 给 定 相 关 符 号 为： QT=Ω ×[0,T),u ∈Wpk(Ω) 表 示 对 ∀|α| ≤k， α= (α1,α2, … ,αn) 有 Dαu ∈Lp (Ω)， ||u|| W (Ω) = (
k p
ΩT)为了证明 u1,u2≤M0， ((x,t)∈⎺ 下面考虑辅助问题
⎧ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⎨ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⎩
|Dαu|pdx) ， u ∈Wp2.1(QT)， 表 示 u,u x ,u x x (i,j=1,2, … ,n)ut ∈Lp (QT),
i i j
1 p
∫
注意到 f1,f2 在 R2 上充分光滑， 在 R+2 上拟单调.设(0,0)， 下解， 其 中 M,N 为 正 的 常 (M,N) 为 辅 助 问题 (2.2) 的 一 对 上、 数.直接计算不等式 a0N-a1M+a2M2-a3M3≤0 M-N≤0 u10≤M， u20≤N，
2 可 得 M=max a2+ √a2 +4a3|a0-a1| ,||u0||L 2a3
第 33 卷 第 11 期 （下） 2017 年 11 月
赤 峰 学 院 学 报（ 自 然 科 学 版 ） Journal of Chifeng University（Natural Science Edition）
Vol. 33 No.11 Nov. 2017
一类反应扩散捕食模型高维空间中的古典解
⎺ (Ω 我们首先给出下面 T)估计，
使 引理 2.1 设问题(1.1)解为(u1,u2,w).则存在正的常数， 0≤u1,u2≤M0,0≤w,∀t≥0
[2]
三个种群的扩散率.αii(i=1,2,3)为自扩散率， 表明个体从种群
其 中 di,αii(i=1,2,3),α31,α32， 均 为 正 的 常 数 .d1,d2,d3 分 别 为
