高维空间中的高斯定理
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高斯定理——精选推荐
高斯定理电场和电荷的数学联系讲课思路：一、回忆电场强度通量 二、立体角三、高斯定理——证明、意义四、高斯定理的应用ES一、电场强度通量定义：通过电场中某一个面的电力线数叫做通过这个面的电场强度通量，均匀电场，垂直平面EESΦ=e θcos e ES Φ=均匀电场，与平面夹角EθθnθSE Φ ⋅=e ES,∫⋅=sS E Φ d e .n d d e S S ⋅=∫∫=⋅=SSSE S E Φd cos d e θ闭合曲面的电场强度通量SE Φ d d e ⋅=规定规定闭合曲面法线方向向外为正！即如电力线从闭合曲面内向外穿出，则电通量为正；反之，电通量为负θESd ES为封闭曲面S （平面）角:由一点（顶点）到某一曲线上两个端点作直线，由这两条直线为界所围成的空间部分称为（平面）角。
平面角是以扇形的顶点为心，半径为1的园被截得的弧度来度量。
如果在该园上所切出的长度L ，就是该平面角为L 。
二、立体角1=R 平面角弧长:2211S r l r l ==ϕ1r 2r 1l 2l ππ22==Θrr园环的弧度：1,2'====Θ∫∫n n r dl d LLπϕ（包围顶点）闭合曲线的弧度：==Θ∫Ld ϕ（不包围顶点）闭合曲线的弧度：立体角:由一点（顶点）到某一闭合曲线上所有各点作直线，由这些直线为界所围成的空间部分称为立体角。
立体角是以锥的顶点为心，半径为1的球面被锥面所截得的面积来度量的。
如果立体角在该球面上所切出的面积ds ，就是该立体角的量值d Ω。
球面:222211dS r dS r dS d ==Ω任意面元ds （ds 的法线方向n 与r 的夹角不为零）时，须将ds投影到半径为r 的球面上ds’，再对应到单位球面，求出ds 对O 点所张的立体角。
232cos ˆ'r dS r d r dS d θ=⋅==ΩS r πθ4cos '22∫∫∫===Ω=ΩSS Sr dS r dS d 整个球面对球心O 所张的立体角为4π，单位为球面度。
高斯定理的适用条件
高斯定理的适用条件
2019-12-11
「高斯定理，gauss’ law」是「库伦定律」和「场强叠加原理」的综合，它揭示了场和场源之间的定量关系，高斯面（gaussian surface）为假想的封闭面，高斯面上的电场强度为所有内外电荷的总电场强度，但穿过高斯面的通量却只与面内电荷有关，而与「面外电荷」无关。
这说明了静电场是有源场，电荷就是它的源，特别要注意必须是具有对称性的电场，才能应用高斯定理求出场强，其次，要注意选择合适的高斯面。
高斯曲面在导体内部，导体内部的电场为零，那么曲
面上任意一点的电场为零，那么通过高斯曲面的总电
通量为零。
其次，在静电感应的瞬间(时间很短)，产生感应电场，导体两端存在电位差。
但达到静电平衡后，感应电场和外加电场相互抵消，合成场强为零，导体两端的电位差为零。
记住导体的表面是等势面，两端的电位差为零。
这是因为如果静电平衡中导体的电位不相等，其上的自由电子就会移动，从电位低的地方流向电位高的地方，直到整个导体形成等电位体。
静电平衡中导体内电荷密度处处为0(可以用高斯定理证明)。
在简化对称电场的计算时，高斯定理有重要的应用，如:轴对称分布均匀无限长带电直线、圆柱体、圆柱；均匀带电的球面、球壳、球体和对称分布的球形电容器；对称分布且均匀带电的平面、平板等的电场计算。
，但是因为提到的模型在生活中不是很常见，会给学生一种神秘感。
高斯定理(高斯定理是什么？高斯定理怎么用？)
解 对称性分析：E垂直平面
选取闭合的柱形高斯面
E dS S＇
S
0 底面积
2S＇E S＇
E
S＇
0
S＇ E
S＇
E 20
E
EE
E
E 2 0
E
x
O
( 0)
讨论
无的 限电 大场 带叠 电加 平问 面题
0
0
高斯定理举例：
均匀带电球面（球体、球壳等）的 电场分布 均匀带电直线（圆柱面、圆柱体等）
的电场分布 均匀带电无限大平面的电场分布
例：均匀带电球壳的电场强度
一半径为R , 均匀带电 Q 的薄
球壳 . 求球壳内外任意点的电场强
度. 解（1）0 r R
r S +
r +
+
O
+ 1+ + +
+R +
S
s (柱面）
h 0
2 rhE h 0
E
2 0 r
z
+
+
r h
+
+o
x+
E y en
E
O
r
讨论
o
E O
无限长均匀带电柱面的电场分布
对称性分析: 视为 无限长均匀带电直 线的集合；
r
P
dE '
选同轴圆柱型高斯 面；
由高斯定理计算
dE
dE dE'
0 rR
高斯 Carl Friedrich
Gauss 德国 1777～1855 数学家、天文学家
选取闭合的柱形高斯面
E dS S＇
S
0 底面积
2S＇E S＇
E
S＇
0
S＇ E
S＇
E 20
E
EE
E
E 2 0
E
x
O
( 0)
讨论
无的 限电 大场 带叠 电加 平问 面题
0
0
高斯定理举例：
均匀带电球面（球体、球壳等）的 电场分布 均匀带电直线（圆柱面、圆柱体等）
的电场分布 均匀带电无限大平面的电场分布
例：均匀带电球壳的电场强度
一半径为R , 均匀带电 Q 的薄
球壳 . 求球壳内外任意点的电场强
度. 解（1）0 r R
r S +
r +
+
O
+ 1+ + +
+R +
S
s (柱面）
h 0
2 rhE h 0
E
2 0 r
z
+
+
r h
+
+o
x+
E y en
E
O
r
讨论
o
E O
无限长均匀带电柱面的电场分布
对称性分析: 视为 无限长均匀带电直 线的集合；
r
P
dE '
选同轴圆柱型高斯 面；
由高斯定理计算
dE
dE dE'
0 rR
高斯 Carl Friedrich
Gauss 德国 1777～1855 数学家、天文学家
高斯定理高斯定理高斯定理高斯定理高斯定理高斯定理高...
acb adb
a
即静电场力移动电荷沿任一闭合路径所作的功为零
Q q0 ≠ 0
r r ∴ ∫ E • dl = 0
26
在点电荷系电场中：
r n r E = ∑ Ei
i =1 l
n r r n r r r r ∫ E ⋅ dl = ∫ ∑ Ei ⋅ dl = ∑ ∫ Ei ⋅ dl = 0 l l i =1 i =1
r r 3. 分别求出 Φ E = ∫ E ⋅ d S
从而求得 E
和 ΦE =1Biblioteka εo∑qS内
i
，
17
例5-5 求均匀带电球面的电场。半径为R，带电量q>0 解: 对称性分析
r<R
= E 1 4π r
2
r E 具有球对称 作高斯面——球面
r v Φ e = ∫ E 1 ⋅ d S = E 1 ∫ dS
电荷处在静电场中一定的位置就具有一定的势能， 电荷处在静电场中一定的位置就具有一定的势能， 称为电荷在静电场中的电势能 称为电荷在静电场中的电势能。 电势能。 静电场力对电荷所做的功 = 静电势能增量的负值 试验电荷 q0 处于 a 点和 b 点分 别具有电势能 Wa 和 Wb 则 a → b 电场力的功
∆S
∆S
r E
θ
θ
r n
r E
Φe = E∆S
r r Φe = E∆S cosθ = E • ∆S
8
(2) 非均匀电场 S为任意曲面
dΦe = EdS⊥ = EdS cos θ v v = E ⋅ dS
Φ e = ∫ d Φ e = ∫ E cos θ dS S S v v v v = ∫ E ⋅ dS = ∫ E ⋅ n dS
a
即静电场力移动电荷沿任一闭合路径所作的功为零
Q q0 ≠ 0
r r ∴ ∫ E • dl = 0
26
在点电荷系电场中：
r n r E = ∑ Ei
i =1 l
n r r n r r r r ∫ E ⋅ dl = ∫ ∑ Ei ⋅ dl = ∑ ∫ Ei ⋅ dl = 0 l l i =1 i =1
r r 3. 分别求出 Φ E = ∫ E ⋅ d S
从而求得 E
和 ΦE =1Biblioteka εo∑qS内
i
，
17
例5-5 求均匀带电球面的电场。半径为R，带电量q>0 解: 对称性分析
r<R
= E 1 4π r
2
r E 具有球对称 作高斯面——球面
r v Φ e = ∫ E 1 ⋅ d S = E 1 ∫ dS
电荷处在静电场中一定的位置就具有一定的势能， 电荷处在静电场中一定的位置就具有一定的势能， 称为电荷在静电场中的电势能 称为电荷在静电场中的电势能。 电势能。 静电场力对电荷所做的功 = 静电势能增量的负值 试验电荷 q0 处于 a 点和 b 点分 别具有电势能 Wa 和 Wb 则 a → b 电场力的功
∆S
∆S
r E
θ
θ
r n
r E
Φe = E∆S
r r Φe = E∆S cosθ = E • ∆S
8
(2) 非均匀电场 S为任意曲面
dΦe = EdS⊥ = EdS cos θ v v = E ⋅ dS
Φ e = ∫ d Φ e = ∫ E cos θ dS S S v v v v = ∫ E ⋅ dS = ∫ E ⋅ n dS
高斯定理相关内容ppt
2
问题:Leabharlann 1 Ψ e S E dS q内 0 i
③ 当通过高斯面的电场强度通量为零时,是否意味着 高斯面内没有电荷?
答:当通过高斯面的电场强度通量为零时,意味着高 斯面内没有净电荷。
④当通过高斯面的电场强度通量为零时, 是否 意味着高斯面上各点的场强都为零? 答:高斯面上各点的场强并不一定都为零。
1 Ψ e S E dS q内 0 i
①高斯面上各点的场强与高斯面外的电荷有无关系? 答:通过高斯面的电场强度通量仅与高斯面内电荷有关, 但高斯面上各点的场强却与高斯面内外电荷都有关。 ②当电荷分布已知时,能否用高斯定理求场强分布?如果能, 在什么情况下? 答:当带电体电荷分布具有对称性时,可以用高斯定理求场强。
高斯定理和库仑定律的关系
① 高斯定理和库仑定律二者并不独立。高斯定理可以由 库仑定律和场强叠加原理导出。反过来，把高斯定理作 为基本定律也可以导出库仑定律。
② 两者在物理涵义上并不相同。库仑定律把场强和电荷 直接联系起来,在电荷分布已知的情况下由库仑定律可以 求出场强的分布。而高斯定理将场强的通量和某一区域内 的电荷联系在一起，在电场分布已知的情况下，由高斯定 理能够求出任意区域内的电荷。 ③ 库仑定律只适用于静电场,而高斯定理不但适用于静电 场和静止电荷,也适用于运动电荷和变化的电磁场。 1
3
《高斯定理的应用》课件
PART 02
高斯定理的应用场景
REPORTING
静电场问题
解决点电荷产生的电场问题
高斯定理在静电场问题中的应用主要是用来解决点电荷产生的电场分布问题。通过选取适当的闭合曲面，我们可以计算出包 围点电荷的电场强度。
稳恒磁场问题
解决恒定电流产生的磁场问题
在稳恒磁场问题中，高斯定理可以用来计算由恒定电流产生的磁场分布。通过选取适当的闭合曲面， 我们可以计算出包围电流的磁感应线。
代数几何
高斯定理在代数几何中也有应用，如代数曲面的 高斯映射和曲面的高斯-博内定理等。
3
组合数学
高斯定理在组合数学中也有应用，如在组合计数 和图论等领域。
高斯定理的发展趋势与未来展望
理论完善
随着数学和物理学科的发展，高斯定 理的理论基础和应用范围还有待进一 步深化和完善。
交叉学科应用
随着各学科之间的交叉融合，高斯定 理在其他交叉学科中的应用也将得到 进一步拓展。
更加简单和直观。
高斯定理的数学表达形式
总结词
高斯定理的数学表达形式为： ∫∫Df(x,y,z)dxdy=∫∫∫Ωf(x,y,z)dxdydz，其中D是封闭曲面的 面积分，Ω是封闭曲面围成的体积的积分。
详细描述
高斯定理的数学表达形式是：对于一个封闭曲面Σ，其内部任 意一点(x,y,z)处的函数f(x,y,z)与其对应的面积分 ∫∫Df(x,y,z)dxdy可以通过计算封闭曲面围成的体积Ω的函数 f(x,y,z)的积分来得到，即 ∫∫Df(x,y,z)dxdy=∫∫∫Ωf(x,y,z)dxdydz。这个公式揭示了封 闭曲面内的积分与其围成的体积之间的关系。
04
它适用于具有连续分布 的场，如电荷或电流分 布。
大学物理高斯定理课件
复分析
在复分析中，高斯定理可以用于研究复函数的积分和全纯函数的空间性质。
THANKS
感谢观看
微分情势和积分公式
高斯定理的推导过程中需要用到微分 情势和积分公式，这些是微分几何的 重要概念和工具。
03
高斯定理的证明
证明的思路
01
引入高斯定理的背 景和意义
阐述高斯定理在电场和磁场中的 重要性，说明证明高斯定理的必 要性。
02
确定证明方法
03
构建证明框架
介绍使用微积分和向量场的方法 来证明高斯定理，说明其公道性 和可行性。
01
多重积分情势
高斯定理可以通过多重积分的情势进行 推广，以处理更复杂的几何形状和场散 布。
02
03
广义高斯定理
广义高斯定理将高斯定理的应用范围 扩大到非保守场，例如电磁场和引力 场。
高斯定理在其他物理领域的应用
01
02
03
电动力学
高斯定理在电动力学中用 于计算电场和电荷散布的 关系，以及电磁波的传播 。
相对论物理
在相对论物理中，高斯定 理可以应用于计算引力场 的能量密度和压力。
粒子物理学
在粒子物理学中，高斯定 理可以用于计算粒子在强 磁场中的运动轨迹和能量 。
高斯定理在其他数学领域的应用
微积分学
高斯定理是微积分学中的重要概念，可以用于 解决一系列积分问题。
实分析
实分析中，高斯定理可用于研究函数的积分性 质和可积性。
04
高斯定理的应用实例
电场中的应用
计算电场散布
高斯定理可以用来计算给定电荷散布 的电场散布，特别是在处理点电荷、 均匀带电球体等简单电荷散布时，高 斯定理提供了简洁的解决方案。
《高斯定理应用》课件
本节将详细介绍高斯定理的定义、公式以及推导过程。
电学应用
高斯定理在电学中有广泛的应用，可用于计算电场强度、电场线以及电场通 量。 电学应用的例子包用
高斯定理也可以应用于磁学领域，用于计算磁场强度和磁通量。 磁学应用常见于电磁感应、电动机和磁体设计等领域。
流体力学应用
高斯定理在流体力学中具有重要意义，可用于计算流体的流速、流量以及流体的运动。 流体力学应用可以帮助我们研究流体在管道、河流等各种情况下的行为。
举例
选取电学应用为例，通过详细讲解高斯定理在电场中的应用，加深对该定理 的理解。 通过计算实例，展示高斯定理在电学领域中的实际应用价值。
总结
通过本课件，我们学习了高斯定理的基本概念和应用，强调了它在物理学中 的重要性。
掌握了高斯定理，我们能够更好地理解和解决与电场、磁场和流体力学相关 的问题。
参考资料
推荐相关书籍和论文，可以进一步学习和深入研究高斯定理的应用。 还可以参考一些网站和视频资源，扩展对高斯定理的理解和应用。
《高斯定理应用》PPT课件
前言
高斯定理是物理学中的重要概念，它描述了电场、磁场和流体力学中的通量 和边界关系。 本节将介绍高斯定理的基本概念，并探讨其在不同领域中的应用。
高斯定理
高斯定理是物理学中的基本定理之一，它描述了一个闭合曲面内的电场、磁 场或流体的通量。
高斯定理有三种形式：微分形式、积分形式和局部形式，每种形式都有其特 定的应用场景。
电学应用
高斯定理在电学中有广泛的应用，可用于计算电场强度、电场线以及电场通 量。 电学应用的例子包用
高斯定理也可以应用于磁学领域，用于计算磁场强度和磁通量。 磁学应用常见于电磁感应、电动机和磁体设计等领域。
流体力学应用
高斯定理在流体力学中具有重要意义，可用于计算流体的流速、流量以及流体的运动。 流体力学应用可以帮助我们研究流体在管道、河流等各种情况下的行为。
举例
选取电学应用为例，通过详细讲解高斯定理在电场中的应用，加深对该定理 的理解。 通过计算实例，展示高斯定理在电学领域中的实际应用价值。
总结
通过本课件，我们学习了高斯定理的基本概念和应用，强调了它在物理学中 的重要性。
掌握了高斯定理，我们能够更好地理解和解决与电场、磁场和流体力学相关 的问题。
参考资料
推荐相关书籍和论文，可以进一步学习和深入研究高斯定理的应用。 还可以参考一些网站和视频资源，扩展对高斯定理的理解和应用。
《高斯定理应用》PPT课件
前言
高斯定理是物理学中的重要概念，它描述了电场、磁场和流体力学中的通量 和边界关系。 本节将介绍高斯定理的基本概念，并探讨其在不同领域中的应用。
高斯定理
高斯定理是物理学中的基本定理之一，它描述了一个闭合曲面内的电场、磁 场或流体的通量。
高斯定理有三种形式：微分形式、积分形式和局部形式，每种形式都有其特 定的应用场景。
1.4高斯定理
v ds1
v ˆ er ( E ) v v dser ( E ) ˆ θ
ˆ n
现在又以q为中心， 为半径作球面S 现在又以 为中心，r2为半径作球面 2，与锥体截出 为中心 v 面元为 ds2，如图。 如图。
v v 都非常小， 认为有： 因为面元 ds 和ds2 都非常小，故认为有：
ds 2 = ds cosθ
代数和除以 ε 0。数学表达式为： 数学表达式为：
1、定义及数学表达式（P18） 、定义及数学表达式（ ）
v v 1 ∫∫ E ⋅ ds =
(S )
ε0
∑)q (
S内
i
（4.1） ）
或
v v 1 ∫∫ E ⋅ ds =
(S )
ε0
∫∫∫ ρdV
(V )
（4.1′） ）
由库仑定律及场强叠加原理证明其正确性。 由库仑定律及场强叠加原理证明其正确性。
S1
ˆ n1
L
ˆ′ n3
φE + φE = 0 ⇒ φE = 0
1 3 S
ˆ n3
（正负电荷都有此结果） 正负电荷都有此结果） （4）推广 ）
ˆ n2
根据场强叠加原理将上述结论进行推广。 根据场强叠加原理将上述结论进行推广。 内有q 个点电荷， ①面S内有 1、q2、……qn个点电荷，且它们可正 内有 可负 v v v v
锥体分成这样一对对面元， 面的电通量等于S 锥体分成这样一对对面元，故S面的电通量等于 1面 面的电通量等于 面是球面，故有： 的电通量， 的电通量，而S1面是球面，故有：
2 2 2 1
v v v 通量， 面及S 面及 即ds1和ds 有相等的 E 通量，而S面及 1面可用许多
v v φE = ∫∫ E ⋅ ds =
高斯定理的推导与应用
高斯定理的推导与应用在物理学的广阔领域中，高斯定理是一个极其重要的概念，它在静电学、磁场学等多个领域都有着广泛而深刻的应用。
接下来，让我们一同深入探讨高斯定理的推导过程以及其丰富多样的应用。
要理解高斯定理，首先得从电场的基本概念说起。
电场强度 E 是描述电场性质的一个重要物理量，它表示单位正电荷在电场中所受到的力。
假设有一个点电荷 q，在距离它 r 处的电场强度 E 可以由库仑定律得出：E ＝ kq ／ r²，其中 k 是库仑常数。
现在考虑一个任意闭合曲面 S 包围着一个点电荷 q。
为了计算通过这个闭合曲面的电通量，我们将闭合曲面 S 分割成无数个小面元 dS 。
对于每个小面元，其电通量dΦ 等于电场强度 E 在该面元上的投影与面元面积 dS 的乘积，即dΦ ＝ E·dS 。
由于电场强度的大小与距离的平方成反比，而面元 dS 与距离的平方成正比，所以在以点电荷为球心的球面上，电场强度的大小与面元面积的乘积是一个常数。
也就是说，通过闭合曲面 S 的总电通量Φ 等于 E 与整个闭合曲面面积的乘积。
而对于一个点电荷，电场强度在各个方向上都是均匀辐射的，所以通过闭合曲面的总电通量Φ ＝ q ／ε₀，其中ε₀是真空介电常数。
这就是高斯定理对于单个点电荷的情况。
如果有多个点电荷存在，根据电场的叠加原理，总电场强度等于各个点电荷产生的电场强度的矢量和。
通过同样的分析方法，可以得出通过任意闭合曲面的电通量等于该闭合曲面所包围的净电荷除以ε₀。
高斯定理的表达式为：∮E·dS ＝Σq ／ε₀。
高斯定理有着广泛的应用。
在静电学中，它可以方便地求解具有高度对称性的电荷分布所产生的电场。
例如，对于一个均匀带电的球体，我们可以通过选取一个与球体同心的球面作为高斯面，利用高斯定理轻松地求出球内外的电场分布。
假设球体的半径为 R ，电荷体密度为ρ 。
当考察点在球外时，选取半径为 r （r ＞ R ）的球面作为高斯面。