【推荐】最新备战2020中考数学专题复习分项提升第24讲 尺规作图(学生版)
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第24讲 尺规作图
1．尺规作图的作图工具 圆规和没有刻度的直尺 2．基本尺规作图
类型一：作一条线段等于已知线段 步骤：①作射线OP ；
②以O 为圆心，a 为半径作弧，交OP 于A ，OA 即为所求线段．
图示：
类型三：作线段的垂直平分线
步骤：①分别以点A ，B 为圆心，以大于1
2AB 长为半径，在AB 两侧作弧，两弧交于M ，N 点；
②连接MN ，直线MN 即为所求垂直平分线．
图示：
类型四：作一个角等于已知角：
步骤：①以O 为圆心，以任意长为半径作弧，交∠α的两边于点P ，Q ； ②作射线O′A；
③以O′为圆心，OP 长为半径作弧，交O′A 于点M ； ④以点M 为圆心，PQ 长为半径作弧，交前弧于点N ； ⑤过点N 作射线O′B，∠AO ′B 即为所求角．
图示：
类型五：过一点作已知直线的垂线
步骤：点在直线上：①以点O 为圆心，任意长为半径作弧，交直线于A ，B 两点； ②分别以点A ，B 为圆心，以大于1
2AB 长为半径在直线两侧作弧，交点分别为M ，N ；
③连接MN ，MN 即为所求垂线． 点在直线外：①在直线另一侧取点M ；
②以PM 为半径画弧，交直线于A ，B 两点；
③分别以A ，B 为圆心，以大于1
2AB 长为半径画弧，交M 同侧于点N ；
④连接PN ，则直线PN 即为所求的垂线．
图示：
3．常见几种基本尺规作图作三角形 ①已知三边作三角形； ②已知两边及其夹角作三角形； ③已知两角及其夹边作三角形； ④已知底边及底边上的高作等腰三角形； ⑤已知一直角边和斜边作直角三角形． 4．作图的一般步骤
(1)已知；(2)求作；(3)分析；(4)作法；(5)证明； (6)讨论．
步骤(5)(6)常不作要求，步骤(3)一般不要求，但作图中一定要保留作图痕迹.
考点1：简单尺规作图
【例题1】尺规作图，已知顶角和底边上的高，求作等腰三角形． 已知：如图，∠α，线段a.
求作：△ABC ，使AB ＝AC ，∠BAC＝α，AD⊥BC 于D ，且AD ＝a.
归纳：1．熟悉五个基本的作图步骤及作图痕迹． 2．平时多体会和理解一些复杂作图的依据及作图过程． 3．会在常见的作图语言与对应的几何语言之间进行转化．
4．提倡在平时画图时，采用尺规作图，强化自己的作图意识和规范性． 考点2： 复杂尺规作图
【例题2】如图，在△ABC 中，已知∠ABC＝90°.
(1)请在BC 上找一点P ，作⊙P 与AC ，AB 都相切，与AC 的切点为Q ；(尺规作图，保留作图痕迹) (2)连接BQ ，若AB ＝3，(1)中所作圆的半径为3
2
，求sin ∠CBQ.
考点3：关于尺规作图的应用
【例题3】（2019▪广西池河▪8分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上．
（1）尺规作图：作∠BAC的平分线，与⊙O交于点D；连接OD，交BC于点E（不写作法，只保留作图痕迹，且用黑色墨水笔将作图痕迹加黑）；
（2）探究OE与AC的位置及数量关系，并证明你的结论．
一、选择题：
1.（2018年湖北省宜昌市3分）尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线，下列作图中正确的是（）
2. （2018•襄阳）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC于点D，E．若AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（）
A．16cm B．19cm C．22cm D．25cm
3. （2019•河北•3分）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（）
A．B．C．D．
4. （2019•贵阳•3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交AB于点B和点D，再分别以点B，D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线CM交AB于点E．若AE＝2，BE ＝1，则EC的长度是（）
A．2 B．3 C．D．
5. （2018•河南）如图，已知▱AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），点B在x轴正半轴上按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA，OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于DE 的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点F；③作射线OF，交边AC于点G，则点G的坐标为（）
A．（﹣1，2）B．（，2）C．（3﹣，2）D．（﹣2，2）
二、填空题：
6. （2018•南京）如图，在△ABC中，用直尺和圆规作AB、AC的垂直平分线，分别交AB、AC于点D、E，连接DE．若BC=10cm，则DE= cm．
7. （2019•河南•3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝4，BC＝3．分别以点A，C为圆
心，大于1
2
AC长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O．若点O是AC的中点，
则CD的长为 .
8. （2018•淮安）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=5，分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交点分别为点P、Q，过P、Q两点作直线交BC于点D，则CD的长是．
三、解答题：
9. 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.
(1)利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母．(保留作图痕迹，不写作法)
①作AC的垂直平分线，交AB于点O，交AC于点D;
②以O为圆心，OA为半径作圆，交OD的延长线于点E.
(2)在(1)所作的图形中，解答下列问题.
①点B与⊙O的位置关系是_____________；(直接写出答案)
②若DE＝2，AC＝8，求⊙O的半径．
10. （2018•安徽•分）如图，⊙O为锐角△ABC的外接圆，半径为5.
（1）用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧BC的交点E(保留作图痕迹，不写作法)；（2）若（1）中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长.
11. （2019•江苏泰州•8分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝8．
（1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）若（1）中所作的垂直平分线交BC于点D，求BD的长．
12. （2018·广东·6分）如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD=75°，
（1）请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为E，交AD于F；（不要求写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）条件下，连接BF，求∠DBF的度数．
13. （2019•湖北孝感•8分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，一同学利用直尺和圆规完成如下操作：
①以点C为圆心，以CB为半径画弧，交AB于点G；分别以点G、B为圆心，以大于GB的长为半径画弧，两弧交点K，作射线CK；
②以点B为圆心，以适当的长为半径画弧，交BC于点M，交AB的延长线于点N；分别以点M、N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作直线BP交AC的延长线于点D，交射线CK于点E．
请你观察图形，根据操作结果解答下列问题；
（1）线段CD与CE的大小关系是；
（2）过点D作DF⊥AB交AB的延长线于点F，若AC＝12，BC＝5，求tan∠DBF的值．。
