用分离参数法确定参数取值范围

函数中求解参数范围的几种常见策略含参函数问题是训练和检查学生逻辑理解能力和分析能力的一种综合题型，是近年来全国各省份高考题比较稳定的一道压轴题，难度不小，区分度较高，但我们也必须学会一些常见的操作方法争取抢分.运用导数确定含参数函数的参数取值范围是一类常见的探索性问题，以函数为载体，以导数为工具，考查函数性质及导数应用为目标，是最近几年函数与导数交汇试题的显著特点和命题趋向.参数分离、充分必要法、讨论最值（直接法）、数形结合等等都是常用的方法，但各有侧重，下面通过几道高考题体会下常见方法的操作流程. 1 分离参数法（首选）关于不等式(,)0,f x a x D ≥∀∈恒成立问题，将含有参数a 的代数式分离出来，即转化为()(),g a h x x D ≥∀∈恒成立，然后求解函数()h x 在区间D 上的最值即可。

但特别注意参数a 的系数恒为正或者恒为负，此类问题采取分离参数法会比较有效。

例题1 （2013年全国大纲卷文科第21题）已知函数()32=33 1.f x x ax x +++ （I）当a =()f x 的单调性；（II ）当[)()2,0,x f x ∈+∞≥时，求a 的取值范围.例题2 已知函数2()4f x x ax =-+在区间[2,4]上有零点，求实数a 的取值范围.例题3 （广州市2015届高三二模节选1）已知函数，（其中为自然对数的底数），函数在区间内是增函数，求实数a 的取值范围..分离参数发是解决参数取值范围的首选方法，通过分离参数，运用函数的观点分析讨论最值，由此确定恒成立参数范围.此方法可以避免分类讨论的繁杂，常常在不等式恒成立问题，函数零点，已知函数单调性求参数范围等等问题中经常用到.函数中求参数的问题，常常采用分离参数法，但有时候分离参数法时会出现用高中知识()ln f x a x =-11x x -+()e x g x =e ()f x ()0,1不能得出答案（需要高数求极限的知识)，因此，充要必要法是高中数学最基本最有效的方法，下面介绍恒成立中求参数取值范围的一个通法.2 充分必要法2.1 引理（简化版洛必达法则）：若函数(),()f x g x 在定义域D 内可导，a D ∈满足()()0,f a g a ==''(),()f a g a 存在，且'()0g a ≠，则''()()lim ()()x a f x f a g x g a →=. 2.2 使用条件和方法：含参函数()f x 在某个范围D （不妨设区间端点0x ）为内有()0f x ≥（或()0f x ≤）恒成立，且满足0()0f x =，那么考虑用'0()0f x ≥解得参数范围，若'0()f x 恒为零，则考虑''0()0f x ≥解出参数范围，若''0()f x 恒为零，则继续重复上述过程，直到高阶导数在0x x =处不恒为零，然后根据题目不等式方向，令此时的导数'0()0f x ≥（或'0()0f x ≤）解得参数范围.2.3 例题赏析例题4（2010全国2理第22题）设函数()1x f x e -=-.（Ⅰ）证明：当1x >-时，()1x f x x ≥+； （Ⅱ）设当0x ≥时()1x f x ax ≥+，求a 的取值范围．例题5（2015福建文第22题）已知函数． (Ⅰ)求函数的单调递增区间；（Ⅱ）证明：当时，；（Ⅲ）确定实数的所有可能取值，使得存在，当时，恒有．该类问题命题的背景：就是在区间的端点处不等式左右两边恰好相等.因此这里就有一2(1)()ln 2x f x x -=-()f x 1x >()1f x x <-k 01x >0(1,)x x ∈()()1f x k x >-个想法，如果函数在该区间内单调递增则肯定满足条件，所以就得到充分条件即参数的取值范围，但这只是充分条件，很多人在解这类题时只管得参数的范围，而没有注意还需要说明其必要性.也就是说是不是只有求出的参数范围才满足题目条件？所以就必须加入必要性的说明（主要导出矛盾，说明所求范围恰到好处，不多也不少）.对于一些较难的题目，比如压轴题，分离参数后的函数可能很复杂，不容易求最值，而且所给的区间又不满足方法2中的区间端点函数值为零，此时，我们别无他法，只能老老实实地回归到分类讨论的方向上来.3 直接法(分类讨论)采取分类讨论解决含参函数的单调性、极值和最值问题，最关键的是明晰分类讨论的标准，导函数是否有零点，零点是否在所求解的区间内，零点的大小关系，端点值的大小比较等等这些都是常见的分类标准，在解决具体问题时候请遵循解题的相关原则（最高次系数优先考虑，系数无参数时因式分解，不能因式分解时在考虑判别式）.例题6（10年全国新课标1文第21题）已知函数42()32(31)4f x ax a x x =-++ （I ）当16a =时，求()f x 的极值; （II ）若()f x 在()1,1-上是增函数，求a 的取值范围.例题7（华南师大附中2015届高三三模节选）已知函数和．（Ⅰ）m =1时，求方程f (x ) = g (x )的实根；（Ⅱ）若对于任意的恒成立，求的取值范围.含参数的函数问题作为高考题中的压轴角色，在采取相应的破解策略之前首先要克服的是自己的畏难恐惧心理，保持冷静的心态，充满信心，用坚强的意志力逐步攻克，采取步步为营的姿态，能抢一分式一分.无论解答的策略有多少，大胆的尝试才是解题的硬道理. 4相关的高考真题及模拟试题练习ln ()1x x f x x =+()(1)()g x m x m R =-∈[1,),()()x f x g x ∈+∞≤m（2007年广东文21）已知a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间[]11-，上有零点，求a 的取值范围．（答案：1a ≥或a ≤）（15年北京理）已知函数()1ln1x f x x +=-. （1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）求证：当()0,1x ∈时，()323x f x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭； （3）设实数k 使得()33x f x k x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭对()0,1x ∈恒成立，求k 得最大值.（答案：2）（13年辽宁文科21）（1）证明：当[0,1]x ∈时，sin 2x x x ≤≤； （2）若不等式()3222cos 42x ax x x x ++++≤对[]0,1x ∈恒成立，求实数a 的取值范围.（答案：(,2]-∞-）（15年广州一模节选）已知函数()()2ln 12a f x x x x =++-()0a ≥，若()0f x >对()0,x ∈+∞都成立，求a 的取值范围. （答案：[)1,+∞）。

巧用分离参数法求参数的取值范围作者：李惠来源：《中学课程辅导高考版·学生版》2012年第09期一、分离参数法求参数取值范围在恒成立问题中的应用恒成立问题能够很好的考查函数、不等式等知识以及化归等数学思想，是一种常考题型．分离参数法是常用的求参数取值范围的策略之一，在恒成立问题中常用分离参数法求参数取值范围．a≥f(x)恒成立a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立a≤f(x)min．用此法首先要设法分离参数，然后求函数f(x)的最值．例1当0≤x≤12时，|ax－2x3|≤12恒成立，求实数a的取值范围．思路点拨：本题是恒成立问题中求参数取值范围，注意到|ax－2x3|≤12中含有绝对值，先用公式去绝对值得－12≤ax－2x3≤12，问题转化为ax－2x3≥－12ax－2x3≤12在［0,12］上恒成立．此时要分离参数a，注意到x的符号，需对x是否为0分类讨论．解析：10当x=0时，|ax－2x3|≤12恒成立．20当0a≥2x2－12x a≤2x2+12x在（0,12］恒成立．令f(x)=2x2－12x，g(x)=2x2+12x则原命题a≥f(x)max a≤g(x)min∵0且f′(x)=4x+12x2>12，g′(x)=4x－12x2＝(2x-1)(4x2+2x+1)2x2．∴f′(x)>0,g′(x)∴f(x)在（0,12］上为增函数，g(x)在（0,12］上为减函数．∴f(x)max=f(12)=－12，g(x)min=g(12)=32.所以a的取值范围是［－12,32］．点评：分离参数时，不等式左右两端同除以一个代数式时应注意其正负，分离参数后，函数的最值常借助于导数来求．二、分离参数法求参数取值范围在二次方程根的分布中的应用在二次方程根的分布问题中求参数的取值范围，可利用二次方程根的分布知识建立关于参数的不等式组，解之即得所求参数的取值范围；若方程中的参数可以分离，利用分离参数求解，更为简洁．例2方程x2－2ax+1=0在［12,3］中至少有一个根，求实数a的取值范围．思路点拨：分离参数a原命题转化为a=12x+12x在［12,3］中至少有一个根．只需在同一坐标系中作出函数f(x)=x2+12x与函数y=a的图像，使两图像在［12,3］内至少有一个交点，从而将问题转化为求函数值域．解析：x2－2ax+1=0在［12,3］中至少有一个根a=12x+12x在［12,3］中至少有一个根．令f(x)=x2+12x,x∈［12,3］，y=a，画出两函数图像如图所示：∵f(x)在（12,1］上为减函数，在［1,3］上为增函数，∴f(x)的值域为［1,53］．∴f(x)min≤a≤f(x)max，即a∈［1,53］．点评：“对勾函数”y=ax+bx（a>0,b>0），在（0,ba］为减函数，在［ba,+∞）上为增函数．这是非常有用的结论.二次方程中求参数的取值范围，可分离参数后转化为求函数的值域问题．数形结合，直观求解．三、分离参数法求参数取值范围在函数单调性中的应用函数单调性的应用问题常涉及到求参数取值范围．此类问题可转化为恒成立问题或实根分布问题来求解．例3已知函数f(x)=(x2－ax+5)e x在区间［0,+∞）上单调递增，求a的取值范围．思路点拨：f(x)在区间［0,+∞）上单调递增可以转化为f′(x)≥0在［0,+∞）上恒成立．分离参数法可求解．解析：f(x)在区间［0,+∞）上单调递增f′(x)≥0在［0,+∞）上恒成立．∵f′(x)=(2x－a)e x+(x2－ax+5)e x=e x(x2－ax+2x－a+5)=e x［x2+(2－a)x+5－a］∴e x［x2+(2－a)x+5－a］≥0在［0,+∞）上恒成立．原命题x2+(2－a)x+5－a≥0在［0,+∞）上恒成立．方法一：（转化为恒成立问题）x2+(2－a)x+5－a≥0在［0,+∞）上恒成立．a(x+1)≤x2+2x+5在［0,+∞）上恒成立．注意到x+1>0故上式a≤x2+2x+5x+1在［0,+∞）上恒成立．令g(x)=x2+2x+5x+1，则原命题a≤g(x)min，下求g(x)在［0,+∞）上的最小值．g(x)=x2+2x+5x+1=(x+1)2+4x+1=(x+1)+4x+1≥4，当且仅当x+1=4x+1时，即x=1时g(x)min=4，所以得a的取值范围a≤4．方法二：（转化为二次方程实根分布问题）10当摹 0即－4≤a≤4时，f′(x)≥0在［0,+∞）恒成立．∴f(x)在［0,+∞）上单调递增．20当 >0即a>4或a综上得a的取值范围是a≤4．求参数的取值范围问题，我们常常利用转化的思想，将问题转化为与之等价的恒成立问题或二次方程根的分布问题，巧妙分离参数，求参数范围问题往往能够顺利地解决．。

12-34欽学放学2020年第12期例谈函数中的分离参数问题葛丹(江苏省江阴市第二中学，江苏江阴214432)分离参数法是求参数取值范围的一种常用方法.通过分离参数，利用函数观点讨论主变量的变化情况，获取函数的性质或图像，由此我们可以确定参数的变化范围.这种方法可以避免分类讨论的麻烦,从而使问题得以顺利解决.分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到，解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题.由于分离参数法的重要性和独特性，所以高考试题也经常涉及这方面的知识点•下面就例谈函数中分离参数的有关问题,用以抛砖引玉，期望对大家能有启发和帮助.例1设函数/(x)=ax3-3%+l(x e R),若对于任意的％e［-1,1］都有/(%)M0成立,则实数a的值为________.分析：若x=0,则不论a取何值,/(%)M0显然成立；当％>0,即％e(0,1］时,/(%)=31ax3-3x+10可化为aX X设g(%)=2-1，则g J)=3(l严)，所X X X以g&)在区间(0,y］上单调递增，在区间1上单调递减，因此g(«)mai=4,从而a M4；当兀<0,即％e［一1,0)时，/(%)-ax-313兀+1M0可化为a—----,g'(兀)=x x3(1—2兀)-~4一->°，gG)在区间［-1,0)上单调X递增，因此g(x)mi…=g(-l)=4,从而aW4,综上a=4.点评：此题的关键是考虑要分离对象的定义域，根据不等式的性质，通过分类讨论来分离参数，将问题迎刃而解.例2已知函数/(%)=e*+e：其中e是自然对数的底数.若关于乂的不等式吋(％)W e"+m-1在(0,+8)上恒成立,求实数m的取值范围.分析：由题意，m(e「*+e*)W e"+m-1,即m(e x+e'x-1)W e~x- 1.由(0,+8),得e+e-*-l>0,即e'1-1m W-------------对％e(0,+8)恒成立.e+e-11一t令£=e"(t>1),则m W-----------对任意£-£+1£丘(1,+8)恒成立.再设u-l(u>0), nil I-t u11贝0:=_---------；二-----:—》_可, t-f+1u+zz+113u+—+1u当且仅当U=1时等号成立，由此可得m W _亍点评：此题的关键是通过换元，求岀函数的最小值.例3若函数f(x)=ae x-x-3有2个不同的零点,则实数a的取值范围是________•分析：依题意方程ae x-X-3=0有两个久+3解，分离参数得a=—，即函数y=a与函数e筑+3y=—「的图像有两个交点.e兀+3可设g(E=-^(x e R),则g©)=e—%—2-----；—(x e R)，令g'(%)=o,得％=-2.e2020年第12期12-35当x e(-oo,-2),g'(x)>0,g(x)为增函数；当x e(-2,+oo),g'(x)<0, g(x)为减函数•如图1,注意到函数g&)在y 轴右侧的图像应在%轴的上方,所以正确结论是(0,e2).点评：此题的关键是正确作出函数的图像，否则就会得到错误结果(-8,e2).例4设曲线y=(ax-l)e x在点4(%0, J.)处的切线为人，曲线y=(1-x)e-*在点3B(%o,力)处的切线为心,若存在%o e0,—,使得人丄仏，则实数a的取值范围是________•分析：因为直线」12的斜率分别为= (ax0+a-1)e",k2=(x0-2)e x°.图2由题意可得k x k2=(ax0+a-1)(x0-2)=3-1在0,—上有解，所以_%o_3a(x0-2)(%+O'3令t=x0-3e~3,-—，则=七=]丄(z+l)(z+4)42t+—+5t点评：此题的关键是通过分离参数，求出函数的值域.2例5已知函数/(x)=x+In x——,eg(x)=-,其中e为自然对数的底数.若函数x/(X)与g(%)的图像恰有一个公共点，实数m的取值范围是________•a分析：由X+In X-----二—(x>0)，得到e x22m=x+xln x-----%(%>0).e2设仇(兀)=x2+%ln x一一%(%>0),贝！Je2/1\ /i z(%)—2%+In%+1-----(x>0).因为人'(—I—0,且h"(x)=2+->0(x>0),所以方程Xh'g=0有且只有一个解.因此浪％)的图像如图2所示，所以m的取值范围是m M0或m= e+1点评：此题的关键是通过观察，猜想出导函数为零时的解为X=丄，并且要证明导函数e为单调递增，以确定解唯一.X例6函数/(%)=-,若对任意的％e(0,e2),都有/(%)<-一—成立，求实数％的A:+2%-%取值范围.■%1分析：/(^»)=—<---------对任意力6e k+2x-x(0,2)都成立，所以k+2x-x2>0,即&>x2-2x对任意乂e(0,2)都成立，从而％M0.又不等式整理可得％<-+x2-2x,令12-36欽学款学2020年第12期g(x) =+ x 12 _ 2x.1 — In xg'(x)=----------，当0 < % < e 时,g ，(%) >X0；当 ％ > e 时,g'(%) < 0. g(%)在(0, e)上是 增函数，在(e, +8)上是减函数，且g(l) = 0.Xe x (x -所以 g'(%) =------------+ 2(% - 1) = (%-x1)(］ + 2)= 0,得％ = 1.当％ e (1,2)时, g'M >0,函数g(%)在(1, 2)±单调递增，同理，函数g&)在(0, 1)上单调递减.所以k < g(%)min =g(l)=e - 1 ,综上所述，实数的取值 范围是［0, e - 1)・点评：此题的关键是注意隐含条件的挖掘•即k > x 2 - 2x 对任意x e (0, 2)都成立，从而k M 0.例7 已知函数/(兀)=In% - ax 2 + a 兀恰有 两个零点,则实数a 的取值范围为________・分析：如果In 兀- ax 2 + a% = 0,贝！］ a =In x石---(X > 0且％ # 1),而研究g(x)=X - X I V石一(X > 0且x# 1)的图像性质是比较麻烦 X - X］n 兀的.如果将函数/(%)合理变形为——=a(x -XI n y1)(X > 0)的形式，观察函数g(x)=——(X >X0)和函数ft(x)=a(x-l)(x > 0)的图像恰有两个交点时的情况就比较容易了.图3当％〉e 时,g(x) > 0,又 g ，(1)= 1,所以 g(%)在(1,0)处的切线方程为y = % - 1.由图像可知，直线/i(x)=a(x - 1)的斜率a 的取值范围为(0, 1) U (1, + 8 ).点评：此题的关键是挖掘其几何背景，在代数与几何的结合上寻找解题思路，转化为研究斜率k=a 的几何意义.3例 8 已知函数f(x)=-x 3 +-x 2, g(x) = 31nx,对于任意％ > 1,恒有/'(%) W kgg 成立，求实数％的取值范围.分析:此题若分离参数是比较繁琐的，而 将其转化为x 2 - x + k\nx 0(x > 1)恒成立,去考虑函数h(x) = x - x + A:lnx(x > 1)的最 小值大于或等于零即可.由 h'(x')=-------------，当％ > 1 时,2x 2 -xX > I.(i) 当心- 1时,gx) >0恒成立MG) 在(1, +oo)上是增函数，所以为仏)〉人(1)= 0,满足题意，则kM- 1;(ii) 当％ < - 1时，令h'(x) = 0,解得衍=x e ( 1, x 2)时,胪(％) < 0, h(x)在(1, /)上 是减函数，所以人(％) <A(l) = 0,不合题意，舍去.综上可得实数％的取值范围是［-1, + 8 ).点评：此题的关键是化归为研究函数的值域问题.总之，在利用分离参数法解决函数综合 问题时，要认真分析、处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化 归为基本问题来解决，尤其是要注意等价转化、分类讨论、数形结合等思想的综合运用.并且要仔细审题，弄清题目的已知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件，防止出错.若分离 参数后问题比较复杂要合理寻找其他解题思 路，等价转化为容易解决的问题来研究化解之.。

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