6.图形的旋转和中心对称

初二数学讲义第三讲 旋转对称图形与中心对称图形一、主要知识点1．把—个图形绕旋转中心旋转一定(小于周角)角度后，所得图形能够与自身重合，这种图形称为旋转对称图形。

2．中心对称图形是绕某一中心点旋转180°后能与自身重合的旋转对称图形，这个中心点叫做对称中心；3．中心对称图形是旋转对称图形的特例。

4．中心对称的特征：如果两个图形成中心对称，那么对称中心在对应点的连线上且平分这条线段．两个图形的对应角相等，对应线段平行且相等，两个图形的形状和大小都一样。

5．中心对称与中心对称图形：中心对称与中心对称图形是两个不同的概念，它们既有区别又有联系。

区别：(1)中心对称是指两个图形的关系，中心对称图形是指一个具有某种性质的图形。

(2)成中心对称的两个图形的对称点分别在两个图形上，中心对称图形的对称点在一个图形上。

联系：若把中心对称图形的两部分看成两个图形，则它们成中心对称，若把中心对称的两个图形看成—个整体，则成为中心对称图形。

6．常见的中心对称图形有：①线段；②相交直线；③平行四边形；④矩形；⑤菱形；⑥正方形；⑦圆。

既是轴对称图形，又是中心对称图形的有：①线段；②相交直线；④矩形；⑤菱形；⑥正方形；⑦圆。

二、例题与练习例1．下列旋转对称图形中绕哪一个点旋转多少度与自身重合？答：例2．如图所示，该图按顺时针绕旋转中心旋转，可与自身重合的度数是 （ ） （A ）60°； （B ）180°； （C ）120°； （D ）320°。

答：（1）（3） （4） （5）例3．如图，△ABC 为等边三角形，D 为△ABC 内一点，△ABD 经过旋转后到达△ACE 的位置。

（1）旋转中心是点 ；（2）旋转角度是 ；（3）△ADE 是 三角形。

例4、如图，已知△ABC 和点O ，画出△A ’B ’C ’，使△A ’B ’C ’和△ABC 关于点O 成中心对称。

解：（1）连结 并延长 到 ，使 = ，于是得到点 的对称点 ；（2）同样画出点 和点 的对称点 和 ； （3）顺次连结 、 、 。

中心对称与旋转的联系和区别
中心对称和旋转都是几何变换中常见的概念，它们之间有一些联系和区别。

联系：
1. 中心对称和旋转都是二维平面上的变换操作，可以改变图形的位置、形状和方向。

2. 中心对称和旋转都是保持图形不变的操作，即变换后的图形与变换前的图形相似。

3. 在一些特定情况下，中心对称和旋转可以相互转化。

例如，一个图形绕着某个点旋转180度后，可以与它的中心对称图形重合。

区别：
1. 中心对称是将图形关于某个中心点进行对称，保持图形形状不变，但可能改变图形的位置和方向。

旋转是将图形绕着某个点旋转一定角度，保持图形位置不变，但可能改变图形的形状和方向。

2. 中心对称的对称轴是直线，而旋转的旋转轴是一个点。

3. 中心对称的变换方式只有一种，即图形关于中心点的对称。

旋转的变换方式有多种，可以是顺时针或逆时针旋转，可以是任意角度的旋转。

4. 中心对称可以是任意次数的对称，而旋转可以是任意角度的旋转。

综上所述，中心对称和旋转虽然有一些联系，但在变换方式、变换效果和变换特点上都存在一些区别。

中心对称与旋转对称中心对称和旋转对称是几何学中常见的概念，它们在我们日常生活和各个领域中的应用非常广泛。

本文将从定义、特点以及实际应用等方面对中心对称和旋转对称进行探讨。

一、中心对称中心对称是指平面上的一个图形围绕一个点进行旋转180度后，仍能够与原来的图形完全重合。

中心对称具有如下特点：1. 对称中心：对于一个中心对称的图形，存在一个称为对称中心的点，该点与图形的每一个点都保持相等的距离。

图形中的任意一对对称点均位于对称中心的同一个直径上。

2. 对称轴：对称轴是通过对称中心和图形中任意一对对称点的直线。

对称轴上的任意一点到对称中心的距离与这个点的对称点到对称中心的距离相等。

3. 对称图形：中心对称图形是指具有中心对称性的图形，在进行180度旋转后能够与原来的图形完全重合。

中心对称在我们的日常生活中随处可见。

例如，花朵、雪花、蝴蝶等自然界中的许多图案都具有中心对称性。

此外，在建筑设计、艺术创作等领域中，中心对称也被广泛运用，以达到美观和平衡的效果。

二、旋转对称旋转对称是指平面上的一个图形按照某个点进行旋转一定角度后，可以与原来的图形完全重合。

旋转对称具有如下特点：1. 旋转中心：旋转对称图形的旋转中心是图形中心的一个点，通过该点进行旋转，使图形能够与原来的图形完全重合。

2. 旋转角度：旋转角度是指图形按照旋转中心进行旋转的角度，通常是90度、180度、270度等整数倍的角度。

3. 对称图形：具有旋转对称性的图形，在经过一次或多次旋转后，能够与原来的图形完全重合。

旋转对称在许多领域中都有广泛的应用。

例如，在几何学中，正多边形具有旋转对称性，同时也是中心对称的。

在艺术创作、标志设计等领域，旋转对称常被用于打造简洁而富有美感的图案。

总结：中心对称和旋转对称是几何学中非常重要的概念。

通过中心对称，我们可以实现图形的对称分布和平衡美感；通过旋转对称，我们可以创造出简洁而富有艺术感的图案。

在实际生活和各个领域中，中心对称和旋转对称都有着广泛的应用，丰富了我们的视觉体验。

专题9.1 图形的旋转、中心对称-重难点题型【苏科版】【知识点1 旋转的定义】在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。

我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。

【知识点2 旋转的性质】旋转的特征：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等。

理解以下几点：（1）图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。

（2）对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。

（3）图形的大小与形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。

【考点1 旋转对称图形】【例1】（2021秋•丰润区期末）如图，五角星的五个顶点等分圆周，把这个图形绕着圆心顺时针旋转一定的角度后能与自身重合，那么这个角度至少为（）A．60°B．72°C．75°D．90°【分析】根据五角星的五个顶点等分圆周，所以出现正五边形，进而可得结论．【解答】解：因为五角星的五个顶点等分圆周，所以360°÷5＝72°，所以这个图形绕着圆心顺时针旋转一定的角度后能与自身重合，那么这个角度至少为72°．故选：B ．【变式1-1】（2021•南关区四模）如图所示的正六边形花环绕中必至少旋转α度能与自身重合，则α为（ ）A ．30B ．60C ．120D ．180【分析】观察可得图形有6部分组成，从而可得旋转角度．【解答】解：该图形围绕自己的旋转中心，至少针旋转360°6=60°后，能与其自身重合．故选：B ．【变式1-2】（2021秋•海淀区校级月考）如图是一个旋转对称图形，若将它绕自身中心旋转一定角度之后能与原图重合，则这个角度可能为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【分析】如图，观察图形可知：∠AOB ＝∠EOF ＝60°，推出旋转角是60°的倍数时，旋转后可以与原来图形重合，由此即可判断．【解答】解：如图，观察图形可知：∠AOB ＝∠EOF ＝60°∴旋转角是60°的倍数时，旋转后可以与原来图形重合，故选：C ．【变式1-3】（2021春•高平市期末）下列图形中，是旋转对称图形的有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据旋转对称图形的定义对四个图形进行分析即可．【解答】解：旋转对称图形是从左起第（1），（2），（3）；不是旋转对称图形的是（4）．故选：C．【考点2 由旋转的性质求角的度数】【例2】（2021秋•川汇区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝40°．将△ABC 绕顶点A逆时针旋转一定的角度得到△AB′C′，并使点C的对应点C′恰好落在边AB 上，则∠BB'C'的度数是（）A．20°B．25°C．30°D．35°【分析】根据旋转可得∠BAB′＝∠ABAC＝50°，A′B＝AB，∠C＝∠AC'B'＝90°，得∠ABB′＝∠AB'B＝65°，进而可得∠BB'C'的度数．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝40°，∴∠CAB＝90°﹣∠ABC＝90°﹣40°＝50°．∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，∴∠BAB′＝∠ABAC＝50°，A′B＝AB，∠C＝∠AC'B'＝90°，∴∠ABB′＝∠AB'B=12×（180°﹣50°）＝65°，∴∠BB'C'＝90°﹣∠ABB'＝90°﹣65°＝25°，故选：B．【变式2-1】（2021秋•沙坪坝区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°）后得到△DEC，设CD交AB于点F，连接AD，若AF＝AD，则旋转角α的度数为（）A．50°B．40°C．30°D．20°【分析】根据旋转的性质得∠DCA＝α，CD＝CA，则∠CDA＝∠CAD=12（180°﹣α）＝90°−12α，利用三角形外角的性质得∠DF A＝30°+α，AF＝AD，利用等腰三角形的性质得30°+α＝90°−12α，即可得到α的值．【解答】解：∵△ABC绕C点按逆时针方向旋转α角（0°＜α＜90°）得到△DEC，∴∠DCA＝α，CD＝CA，∴∠CDA＝∠CAD=12（180°﹣α）＝90°−12α，∵AF＝AD，∴∠ADF＝∠AFD，∵∠DF A＝30°+α，∴90°−12α＝30°+α，解得α＝40°；故选：B．【变式2-2】（2021秋•泰山区期末）小明把一副三角板按如图所示叠放在一起，固定三角板ABC，将另一块三角板DEF绕公共顶点B顺时针旋转（旋转角度不超过180°）．若两块三角板有一边平行，则三角板DEF旋转的度数可能是（）A．15°或45°B．15°或45°或90°C．45°或90°或135°D．15°或45°或90°或135°【分析】分四种情况讨论，由平行线的性质和旋转的性质可求解．【解答】解：设旋转的度数为α，若DE∥AB，则∠E＝∠ABE＝90°，∴α＝90°﹣30°﹣45°＝15°，若BE∥AC，则∠ABE＝180°﹣∠A＝120°，∴α＝120°﹣30°﹣45°＝45°，若BD∥AC，则∠ACB＝∠CBD＝90°，∴α＝90°，当点C，点B，点E共线时，∵∠ACB＝∠DEB＝90°，∴AC∥DE，∴α＝180°﹣45°＝135°，故选：D．【变式2-3】（2021秋•南召县期末）一副直角三角尺按如图①所示叠放，现将含45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针旋转．如图②，当∠CAE ＝15°时，此时BC∥DE．继续旋转三角尺ABC，使两块三角尺至少有一组边互相平行，则∠CAE（0°＜∠CAE＜180°）其他所有可能符合条件的度数为．【分析】分四种情况进行讨论，分别依据平行线的性质进行计算即可得到∠CAE的度数，再找到关于A点中心对称的情况即可求解．【解答】解：如图②，当BC∥DE时，∠CAE＝45°﹣30°＝15°；如图，当AE∥BC时，∠CAE＝90°﹣30°＝60°；如图，当DE∥AB（或AD∥BC）时，∠CAE＝45°+60°＝105°；如图，当DE∥AC时，∠CAE＝45°+90°＝135°．综上所述，旋转后两块三角板至少有一组边平行，则∠CAE（0°＜∠CAE＜180°）其它所有可能符合条件的度数为60°或105°或135°，故答案为：60°或105°或135°．【考点3 由旋转的性质求线段的长度】【例3】（2021秋•怀化期末）如图，△ABC是等边三角形，点P在△ABC内，P A＝6，将△P AB绕点A逆时针旋转得到△QAC，则PQ的长等于（）A．6B．√6C．3D．2【分析】根据等边三角形的性质推出AC＝AB，∠CAB＝60°，根据旋转的性质得出△CQA≌△BP A，推出AQ＝AP，∠CAQ＝∠BAP，求出∠P AQ＝60°，得出△APQ是等边三角形，即可求出答案．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AC＝AB，∠CAB＝60°，∵将△P AB绕点A逆时针旋转得到△QAC，∴△CQA≌△BP A，∴AQ＝AP，∠CAQ＝∠BAP，∴∠CAB＝∠CAP+∠BAP＝∠CAP+∠CAQ＝60°，即∠P AQ＝60°，∴△APQ是等边三角形，∴QP＝P A＝6，故选：A．【变式3-1】（2021秋•甘井子区期末）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AB＝1，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A'BC'，若直线A'C'经过点A，则CC'的长为（）A．1B．2C．√3D．4【分析】根据旋转的性质可证明△BCC'、△ABA'是等边三角形，再利用含30°角的直角三角形的性质可得AC＝2AB＝2，由勾股定理得BC=√3，从而解决问题．【解答】解：∵将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A'BC'，∴BA＝BA'，BC＝BC'，∠BAC＝∠BA'C'，∵∠BAC＝60°，∴∠A'＝60°，∴△ABA'是等边三角形，∴∠ABA'＝60°，∴∠CBC'＝∠ABA'＝60°，∴△BCC'是等边三角形，∴CC'＝BC，∵∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，∴∠ACB＝30°，∴AC＝2AB＝2，∴BC=√3，∴CC'＝BC=√3，故选：C．【变式3-2】（2021春•覃塘区期末）如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC ＝8，BC＝6，将三角形ABC绕顶点C逆时针旋转得到三角形A'B'C，A'B'与AC相交于点P，则线段PC长度的最小值为（）A．6B．5.2C．4.8D．4【分析】当CP与A'B'垂直时，CP有最小值，即为直角三角形斜边上的高，由勾股定理求出CP长即可【解答】解：当CP与A'B'垂直时，CP有最小值，如图，由旋转的性质知B'C＝BC＝6，A'C＝AC＝8，AB＝A'B'＝10，∵S△A'B'C=12×B'C×A'C=12×A'B'×CP，∴CP=6×810=4.8．故选：C．【变式3-3】（2021秋•江油市期末）把一副三角板如图1放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AB＝6，CD＝8把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到三角形D1CE（如图2），此时AB与CD1交于点H，则线段AD1的长度为√34．【分析】由直角三角形的性质可得AC＝BC＝3√2，∠DCE＝60°，∠ABC＝∠BAC＝45°，由旋转的性质可求∠D1CB＝45°，由直角三角形的性质可求AH＝CH＝3，由勾股定理可求解．【解答】解：如图，AB于CD1交于点H，∵∠ACB＝∠DEC＝90°，∠BAC＝45°，∠CDE＝30°，斜边AB＝6，CD＝8，∴AC＝BC＝3√2，∠DCE＝60°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∵将三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到三角形D1CE，∴∠D1CB＝45°，CD1＝CD＝8，∴AB⊥CD1，∴AH＝CH＝3，∴D1H＝5，∴AD1=√AH2+D1H2=√25+9=√34，故答案为：√34．要作出一个图形关于某一点的成中心对称的图形，【考点4 中心对称图形】【例4】（2021秋•招远市期末）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．一棋谱中四部分的截图由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（）A．B．C．D．【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．【解答】解：选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；选项B、C、D不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；故选：A．【变式4-1】（2021秋•通榆县期末）如图，在下面的扑克牌中，牌面是中心对称图形的有（）A．2张B．3张C．4张D．5张【分析】根据中心对称图形的概念和扑克牌的花色求解．【解答】解：由于黑桃9与梅花3、黑桃8中间的图形旋转180°后无法与原来重合，故不是中心对称图形；只有红桃2，方片J是中心对称图形，共2张．故选：A．【变式4-2】（2021秋•海阳市期末）我国民间，流传着许多含有吉祥意义的文字图案，表示对幸福生活的向往，良辰佳节的祝贺．比如下列图案分别表示“福”、“禄”、“寿”、“喜”，其中是中心对称图形的是（）A．①③B．①④C．②③D．②④【分析】根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．【解答】解：①不是中心对称图形，故本选项不合题意；②是中心对称图形，故本选项符合题意；③不是中心对称图形，故本选项不合题意；④是中心对称图形，故本选项符合题意；故选：D．【变式4-3】（2021秋•市南区期末）万花筒写轮眼是漫画《火影忍者》及其衍生作品中的一种瞳术，下列图标中，是中心对称图形的有（）个．A．2B．3C．4D．5【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心可得答案．【解答】解：从左往右第二、四、五这3个图形不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，第一、三这两个图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，所以是中心对称图形，故选：A．【考点5 设计中心对称图形】【例5】（2021秋•迁安市期末）图1和图2中所有的正方形都全等，将图1的正方形放在图2中的①②③④某一位置，所组成的图形是中心对称图形的位置是（）A．①②B．③④C．②④D．②③【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，进而得出答案．【解答】解：将图1的正方形放在图2中的③④位置，所组成的图形是中心对称图形．故选：B．【变式5-1】（2021春•汝阳县期末）图1和图2中所有的小正方形都全等，将图1的正方形放在图2中①②③④的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是．【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，进而得出答案．【解答】解：当正方形放在③的位置，即是中心对称图形．故答案为：③．【变式5-2】（2021秋•辛集市期末）如图，方格纸中有三个点A，B，C，要求作一个四边形使这三个点在这个四边形的边（包括顶点）上，且四边形的顶点在方格的顶点上．（1）在甲图中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；（2）在乙图中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形；（3）在丙图中作出的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形．【分析】（1）平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；（2）等腰梯形是轴对称图形但不是中心对称图形；（3）正方形既是轴对称图形又是中心对称图形．【解答】解：（1）甲图：平行四边形，（2）乙图：等腰梯形，（3）丙图：正方形．【变式5-3】（2021•宁波模拟）图1，图2，图3均是由边长为1的正三角形构成的网格，每个网格图中有5个正三角形已涂上阴影．请在余下空白正三角形中，按下列要求涂上阴影：（1）在图1中涂上一个阴影正三角形，使得阴影部分图形是中心对称图形，但不是轴对称图形；（2）在图2中涂上两个阴影正三角形，使得阴影部分图形是轴对称图形，但不是中心对称图形；（3）在图3中涂上三个阴影正三角形，使得阴影部分图形既是中心对称图形，又是轴对称图形．【分析】（1）根据题意涂阴影；（2）根据题意涂阴影；（3）根据题意涂阴影；【解答】解：（1）如图1；（2）如图2，答案不唯一；（3）如图3，答案不唯一．【考点6 旋转变换作图】【例6】（2021秋•广饶县期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A （1，3），B（4，4），C（2，1）．（1）把△ABC向左平移4个单位后得到对应的△A1B1C1，请画出平移后的△A1B1C1；（2）把△ABC绕原点O旋转180°后得到对应的△A2B2C2，请画出旋转后的△A2B2C2；（3）观察图形，判断△A1B1C1与△A2B2C2是否成中心对称？如果是，直接写出对称中心的坐标．【分析】（1）利用点平移的坐标变换规律得到A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；（2）根据关于原点对称的点的坐标特征得到A2、B2、C2的坐标，然后描点即可；（3）连接A1A2、B1B2、C1C2，它们相交一点，则两个三角形关于这个点中心对称．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，△A2B2C2即为所求；（3）由图可得，△A1B1C1与△A2B2C2关于点（﹣2，0）中心对称．【变式6-1】（2021秋•普陀区期末）如图，已知四边形ABCD和直线MN．（1）画出四边形A1B1C1D1，使四边形A1B1C1D1与四边形ABCD关于直线MN成轴对称；（2）画出四边形A2B2C2D2，使四边形A2B2C2D2与四边形ABCD关于点O成中心对称；（3）四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2的位置关系是．【分析】（1）根据轴对称的性质即可画出四边形A1B1C1D1，使四边形A1B1C1D1与四边形ABCD关于直线MN成轴对称；（2）根据中心对称性质即可画出四边形A2B2C2D2，使四边形A2B2C2D2与四边形ABCD 关于点O成中心对称；（3）结合以上画图即可得四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2的位置关系是．【解答】解：（1）如图，A1B1C1D1即为所求；（2）如图，A2B2C2D2即为所求；（3）关于直线CO成轴对称．故答案为：CO．【变式6-2】（2021秋•顺城区月考）在如图所示平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在格点上．（1）将△ABC以O为旋转中心逆时针旋转90°，画出旋转后的△A1B1C1，并直接写出坐标A1（﹣4，2），B1（﹣2，1），C1（﹣1，5）；（2）画出△A1B1C1关于原点对称的△A2B2C2，并直接写出坐标A2（4，﹣2），B2（2，﹣1），C2（1，﹣5）；（3）若△ABC内有一点P（a，b），经过上面两次变换后点P在△A2B2C2中的对应点为P2，请直接写出点P2的坐标．（用含a，b的代数式表示）【分析】（1）分别作出三个顶点绕点O逆时针旋转90°所得对应点，再首尾顺次连接即可；（2）分别作出三个顶点关于原点对称的对应点，再首尾顺次连接即可；（3）结合以上对应点的坐标变化规律可得答案．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所作，A1（﹣4，2），B1（﹣2，1），C1（﹣1，5），故答案为：（﹣4，2），（﹣2，1），（﹣1，5），（2）如图，△A2B2C2即为所作，A2（4，﹣2），B2（2，﹣1），C2（1，﹣5），故答案为：（4，﹣2），（2，﹣1），（1，﹣5），（3）根据题意知P2（b，﹣a）．【变式6-3】（2021秋•孝义市期中）在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（5，4），B（1，3），C（3，1），点P（a，b）是△ABC内的一点．（1）以点O为中心，把△ABC顺时针旋转90°，画出旋转后的△A1B1C1，并写出A1，B1，C1的坐标：A1（4，﹣5），B1（3，﹣1），C1（1，﹣3）．注：点A 与A1，B与B1，C与C1分别是对应点；（2）点P的对应点P1的坐标是（b，﹣a）；（3）若以点O为中心，把△ABC逆时针旋转90°，则点P的对应点P2的坐标是（﹣b，a），点P1与点P2关于原点对称．（填写“x轴”、“y轴”或“原点”）【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A1，B1，C1，然后写出A1，B1，C1的坐标；（2）利用A1，B1，C1的坐标特征写出点P的对应点P1的坐标；（3）先写出点P的对应点P2的坐标，再利用P1和P2的坐标特征可判断点P1与点P2关于原点对称．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；A1（4，﹣5），B1（3，﹣1），C1（1，﹣3）；故答案为（4，﹣5），（3，﹣1），（1，﹣3）；（2）点P的对应点P1的坐标是（b，﹣a）；故答案为（b，﹣a）；（3）点P的对应点P2的坐标是（b，﹣a），点P1与点P2关于原点对称．。

旋转与中心对称旋转和中心对称是几何学中两种重要的变换方式。

它们在平面几何和立体几何中有广泛的应用，并且对于我们理解和解决几何问题具有重要意义。

一、旋转变换旋转是指以某一点为中心，按照一定的角度和方向将图形围绕中心点旋转。

在平面几何中，我们通常用角度来表示旋转的大小，用顺时针或逆时针来表示旋转的方向。

以平面上的一个点P为中心，逆时针旋转角度为θ的图形A，可以用记号R(θ,P)表示。

在旋转变换中，点P始终保持不变，而图形A的所有点按照相同的角度和方向绕点P旋转。

旋转变换有许多重要的性质。

首先，旋转变换保持长度不变。

也就是说，图形A经过旋转变换后，图形的任意两点之间的距离保持不变。

其次，旋转变换保持角度不变。

图形A中任意两线段之间的夹角，在旋转变换后仍然保持不变。

这些性质使得旋转变换在解决与角度和距离有关的几何问题时非常有用。

二、中心对称变换中心对称是指以某一点为对称中心，图形上对称的点与对称中心距离相等。

在平面几何中，中心对称分为对称轴在图形内部的内部中心对称和对称轴在图形外部的外部中心对称。

以点P为对称中心的内部中心对称变换，可以用记号S(P)表示。

对于任意点Q，它的对称点Q'在直线PQ上，并且PQ'=PQ。

图形A中的每一个点Q经过内部中心对称变换后得到的对称点Q'，都在直线PQ 上，并且偏离对称中心的距离相等。

外部中心对称变换与内部中心对称变换类似，只不过对称轴在图形的外部。

以线段AB为外部对称轴，可以用记号S(AB)表示。

图形A 中的每一个点Q经过外部中心对称变换后得到的对称点Q'，都在直线AB上，并且偏离对称轴的距离相等。

中心对称变换具有许多重要的性质。

首先，中心对称变换保持距离不变。

也就是说，图形A经过中心对称变换后，图形的任意两点之间的距离保持不变。

其次，中心对称变换使得线段、角度和面积保持不变。

图形A中任意两线段之间的夹角，在中心对称变换后仍然保持不变。

旋转与中心对称知识点总结一、旋转的基本概念1. 旋转的定义旋转是指一个图形绕着一个固定的点（称为旋转中心）旋转一定角度，使得图形的每一点都按照相同的角度和方向进行旋转。

旋转是一种基本的变换方式，可以将一个图形变换成另一个图形。

2. 旋转的性质（1）旋转保持图形的大小不变，只改变其位置和方向。

（2）旋转是一种等距变换，即旋转前后图形上的任意两点的距离不变。

（3）旋转有方向性，即按照逆时针或者顺时针方向旋转。

（4）旋转的角度可以是正数、负数或者零。

3. 旋转的记法在表示旋转时，通常用“R(α, O)”来表示。

其中，R表示旋转的动作，α表示旋转的角度，O 表示旋转的中心。

4. 旋转的应用旋转在几何中有着广泛的应用，如在图形的相似性、对称性、平移和旋转组合变换等方面都有重要作用。

此外，旋转还在几何构造和设计中有着重要的应用价值。

二、中心对称的基本概念1. 中心对称的定义中心对称是指以某一点为中心进行对称变换，使得图形的每一点都关于这个中心对称，即以中心为轴，使得对称的两个部分分别对称于中心点的两侧。

2. 中心对称的性质（1）中心对称的图形和它的中心对称图形是全等的，即它们的形状和大小都完全相同。

（2）中心对称是一种等长变换，原图形中的任意一点到中心的距离和对称图形中的相对点到中心的距离相等。

（3）中心对称是一种对易变换，即进行两次中心对称等于原图形。

3. 中心对称的应用中心对称在几何中也有着重要的应用，如在图形的分类和性质判断、对称性的分析、几何构造等方面都有重要的应用。

此外，中心对称还在艺术设计和图案构图中有着重要的应用价值。

三、旋转与中心对称的关系1. 旋转与中心对称的联系旋转和中心对称在一定条件下是等价的，即通过旋转可以实现中心对称，通过中心对称也可以实现旋转。

这是因为旋转和中心对称都是一种对称性变换，它们都具有保持图形不变的性质。

2. 旋转与中心对称的应用旋转与中心对称在一些几何问题中常常结合使用，如在构造等边三角形、六边形等图形时，旋转和中心对称可以互相借助，以实现图形的变换和构造。

中心对称及中心对称图形专题讲义一、基本概念:1.图形的旋转：⑴。

定义：在平面内,将一个图形绕一个定点旋转一定的角度,这样的图形变换称为图形的旋转.这个定点称为旋转中心。

旋转的角度称为旋转角。

如果图形上的点P经过旋转变为P＇,那么这两点叫做这个旋转的对应点。

2。

性质：由实验还可得出如下结论:①.旋转前、后的图形全等。

②。

对应点到旋转中心的距离相等.③。

每一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等。

例1.已知线段AB和点O，画出AB绕点O逆时针旋转100°后的图形。

3. 中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。

关于中心对称的两个图形是全等形.4。

中心对称的性质:有一个对称中心点；成中心对称的两个图形,对称点的连线都经过对称中心,并且被对称中心平分；中心对称的两个图形具有（一般地)旋转的一切性质。

5。

中心对称图形：平面内，如果把一个图形绕着某一点旋转180°后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形。

这个点就是它的对称中心。

6。

中心对称图形:中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。

7.中心对称与中心对称图形之间的关系：区别:(1)中心对称是指两个图形的关系,中心对称图形是指具有某种性质的图形.（2)成中心对称的两个图形的对称点分别在两个图形上，中心对称图形的对称点在一个图形上。

联系:若把中心对称图形的两部分看成两个图形，则它们成中心对称；若把中心对称的两个图形看成一个整体,则成为中心对称图形.8.轴对称图形与中心对称图形：9。

轴对称与中心对称：【中心对称和中心对称图形基础练习】1．判断题（1）三角形一定不是中心对称图形（）（2)中心对称图形的对称中心是唯一的（）（3)如果一个四边形是中心对称图形,那么这个四边形一定是平行四边形（）(4）一个四边形既是中心对称图形，也是轴对称图形，则这个四边形一定是矩形(）（5）如果关于中心对称的两个图形只有一个交点，那么这个点一定是对称中心（）2．选择题（1)下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）．A．角B．等边三角形C．线段D．平行四边形（2）下列多边形中，是中心对称图形而不是轴对称图形的是(）．A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形(3)已知下列命题：①关于中心对称的两个图形一定不全等②关于中心对称的两个图形是全等形③两个全等的图形一定关于中心对称其中真命题的个数是（)．A．0B．1C．2D．3（4）下列图形中，不是中心对称图形的是()．A．菱形B．矩形C．五角星D．线段(5）下列图形中，一定是轴对称图形,且一定不是中心对称图形的是（）．A．角B．射线C．三角形D．矩形3．如图4-81，矩形ABCD是一块木板，请画图找出它的对称中心O．图4-814．已知:四边形ABCD关于O点成中心对称，求证：四边形ABCD是平行四边形．5．按要求画一个图形：所画图形中同时要有正方形和圆，并且这个图形既是轴对称图形又是中心对称图形．【针对性训练】1。

第一讲图形的旋转、中心对称与中心对称图形1.1 图形的旋转一、知识点1．旋转的概念：在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。

这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。

2．旋转的性质：（1）旋转前后图形的大小和形状没有改变，旋转前后的图形全等；（2）对应点到旋转中心的距离相等；（3）对应线段的长度、对应角的大小相等3．旋转作图：旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角。

二、典型例题例1．下列各组图中，图形甲变成图形乙，既能用平移，又能用旋转的是（）例2．如图,△ABC为等边三角形,D是△ABC内一点,若将△ABD经过一次逆时针旋转后到△ACP的位置,则旋转中心是______,旋转角等于______△ADP是______三角形。

例3．如图，将△ ABC 绕点 C 顺时针方向旋转 40 °得△ A ′ B ′ C ，若 AC ⊥ A ′ B ′，则∠ BAC等于（）A. 50 °B. 60 °C. 70 °D. 80 °例4．△ABC在方格中的位置如图所示．（1）请在方格纸上建立平面直角坐标系,使得A 、B 两点的坐标分别为A （2,﹣1）、B （1,﹣4）．并求出C 点的坐标。

（2）作出△ABC 关于横轴对称的△A 1 B 1 C 1 ,再作出△ABC 以坐标原点为旋转中心、旋转180°后△A 2 B 2 C 2 ,并写出C 1 ,C 2 两点的坐标。

例5．如图,在直角坐标系中,已知点A(−3,0),B(0,4)，对△OAB 连续作旋转变换，依次得到三角形①，②，③， ④…，则三角形⑩的直角顶点的坐标为_________________．三、课堂练习1．下列现象属于旋转的有（ ）个．（1）方向盘的转动；（2）钟摆的运动；（3）荡秋千运动；（4）传送带的移动． A.1 B.2 C.3 D.42．如图，这是一个正面为黑，反面为白的未拼完的拼木盘，给出如下四块正面为黑、反面为白的拼木，现欲拼满拼木盘并使其颜色一致，请问应选择的拼木是（ ）A ．B ．C ．D ．3．一个图形无论经过平移还是旋转，有以下说法（ ）①对应线段平行；②对应线段相等；③对应角相等；④图形的形状和大小都没有发生变化． A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④4．如图，该图形绕点O 按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是（ ） A.72° B.108° C.144° D.216°5．如图,将正方形图案绕中心O 旋转180°后,得到的图案是( )第（4）题图6．正方形绕中心至少旋转________度后能与自身重合．7．如图，在等边三角形ABC 中，AB=6，D 是BC 上一点，且BC=3BD ，△ABD 绕点A 旋转后得到△ACE ，则CE 的长度为________．8．如图所示，五角星的顶点是一个正五边形的五个顶点．这个五角星可以由一个基本图形（图中的阴影部分）绕中心O 至少经过________次旋转而得到，每一次旋转_______度．9．如图，把Rt △ABC 绕点A 逆时针旋转40°，得到Rt △AB ′C ′，点C ′恰好落在边AB上，连接BB ′，则∠BB ′C ′=________度．10．如图，在△ABC 中，∠CAB=75°，在同一平面内，将△ABC 绕点A 旋转到△AB ′C ′的位置，使得CC ′∥AB ，则∠BAB ′=________. 四、课堂小结五、课后作业1．如图,△ABC 以点A 旋转中心,按逆时针方向旋转60∘得到△AB ′C ′,则△ABB ′是（ ）三角形。

DB1、旋转的定义：把一个平面图形绕平面内 转动 就叫做图形的旋转。

旋转的三要素：旋转 ；旋转 ；旋转旋转的基本性质：（1）对应点到 的距离相等。

（2）每一组对应点与旋转中心所连线段的夹角相等都等于 （3）旋转前后的两个图形是 2、 旋转作图基本步骤： ○1明确旋转三要素：______________、______________、_______________○2找出原图形中的各顶点在新图形中的对应点的位置。

○3按原图形中各顶点的排列规律，将这些对应点连成一个新的图形。

3、中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转︒180，如果它能够与 重合， 那么就说 关于这个点对称或中心对称。

这个点叫做对称中心。

性质：（1）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过 ，而且被对称中心 。

（2）中心对称的两个图形是 图形。

4、中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转︒180，如果旋转后的图形能够与 完全重合，那么这个图形叫做中心对称图形。

中心对称、中心对称图形是两个不同的概念，它们既有区别又有联系。

区别：中心对称是针对 图形而言的，而中心对称图形指是 图形。

联系：把中心对称的两个图形看成一个“整体”，则成为 。

把中心对称图形的两个部分看成“两个图形”，则它们 。

5、 利用尺规作关于中心对称的图形：○1明确对称中心的位置○2利用“对应点的连线被对称中心平分”的特性，分别找出原图形中各个关键点的对应点○3按原图形中各点的次序，将各对应点连接起来 6、点（x ，y ）关于x 轴对称后是（ , ） 点（ , ）关于y 轴对称后是（-x ，y ） 点（x ，y ）关于原点对称后是（ ， ）1如图1，P 是正△ABC 内的一点，若将△PBC 绕点B 旋转到△P BA ，则∠PBP ’的度数是 （ ）A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°2、 如图，∠AOB ＝90°，∠B ＝30°，△A ’OB ’可以看作是由△AOB 绕点O 顺时针旋转α角度得到的，若点A ’在AB 上，则旋转角α的大小可以是 （ ） A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°3、如图所示，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将△ABO 绕点O 按顺时针方向旋转90°，得A B O ''△ ，则点A '的坐标为 （ ）．A ．（3，1）B ．（3，2）C ．（2，3）D ．（1，3） 4、下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A ．等腰梯形B ．平行四边形C ．正三角形D ．矩形5、单词NAME 的四个字母中，是中心对称图形的是 （ ） A ．N B ．A Ｃ．M D ．E6、某校计划修建一座既是中心对称图形又是轴对称图形的花坛，从学生中征集到的设计方案有等腰三角形、正三角形、等腰梯形、菱形等四种方案，你认为符合条件的是（ ） x y 12 43 0 -1 -2 -3 1 2 3 AB7、下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 ( )8、已知如图1所示的四张牌，若将其中一张牌旋转180O 后得到图2，则旋转的牌是 （ ）9、下列各组图中，图形甲变成图形乙，既能用平移，又能用旋转的是（ ）例题1、如图，根据要求画图．（1）把△ABC 向右平移5个方格，画出平移的图形．（2）以点B为旋转中心，把△ABC 顺时针方向旋转90度，画出旋转后的图形．分析：（1）找出平移后的点A 、B 、C 的对应点的位置，然后顺次连接即可； （2）找出旋转变换后的点A 、C 的对应点的位置，然后顺次连接即可． 解：如图所示，（1）△A′B′C′即为平移后的图形； （2）△A″BC″即为旋转后的图形．图1图2A ．B ．C ．D ．甲乙甲乙A ．B ．C ．D．甲乙甲乙例题2、如图，已知P是正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3，以点B为旋转中心，将△ABP沿顺时针方向旋转，使点A与点C重合，这时P点旋转到G点．（1）请画出旋转后的图形，并说明此时△ABP以点B为旋转中心旋转了多少度？（2）求出PG的长度；（3）请你猜想△PGC的形状，并说明理由．例题1、如图，在画有方格图的平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点均在格点上．（1）填空：△ABC是________三角形，它的面积等于_______平方单位；（2）将△ACB绕点B顺时针方向旋转90°，在方格图中用直尺画出旋转后对应的△A′C′B，则A′点的坐标是（，），C′点的坐标是（，）．【变式练习】1、如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为A （-2，-1）、B （-1，1）、C （0，-2）．（1）点B 关于坐标原点O 对称的点的坐标为_______ （2）将△ABC 绕点C 顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A 1B 1C ； （3）求过点B 1的反比例函数的解析式．2、如图所示，每个小方格都是边长为1的正方形，以O 点为坐标原点建立平面直角坐标系.(1)画出四边形OABC 关于y 轴对称的四边形OA 1B 1C 1，并写出点B 1的坐标是 . (2)画出四边形OABC 绕点O 顺时针方向旋转90°后得到的四边形OA 2B 2C 23、如图，在由边长为1的小正方形组成的方格纸中，有两个全等的三角形，即111A B C △和222A B C △．（1）请你指出在方格纸内如何运用平移、旋转变换，将111A B C △重合到222A B C △上； （2）在方格纸中将111A B C △经过怎样的变换后可以与222A B C △成中心对称图形？画出变换后的三角形并标出对称中心．2C2B2A例题2、如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，点D 在BC 的延长线上，且BD=AB ，过点B 作BE ⊥AC ，与BD 的垂线DE 交于点E ． （1）求证：△ABC ≌△BDE ；（2）△BDE 可由△ABC 旋转得到，利用尺规作出旋转中心O （保留作图痕迹，不写作法）．【变式练习】1、如图，已知△ABC 和△A″B″C″及点O ． ⑴画出△ABC 关于点O 对称的△A′B′C ′；⑵若△A″B″C″与△A′B′C′关于点O ′对称，请确定点O′的位置； ⑶探究线段OO′与线段CC″之间的关系，并说明理由．2、如图，已知AD 是△ABC 的中线，画出以点D 为对称中心，与△ABC 成中心对称的三角形．C″B″A ″图 10CBA例题3、△ABC是等边三角形，D是BC上一点，△ABD经旋转后到达△ACE的位置．（1）旋转中心是哪一点？（2）旋转了多少度？（3）若M是AB的中点，那么经过上述旋转后，点M转到了什么位置？【变式练习】1、如图，四边形ABCD的∠BAD=∠C=90º,AB=AD,AE⊥BC于E,BEA∆∆旋转后能与DFA 重合。

第6讲图形的旋转-中心对称知识点1图形的旋转图形的旋转：在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。

这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。

旋转的三个要素：旋转中心、旋转的角度和旋转方向.图形旋转的性质：1、经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，2、任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等。

3、一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等。

【典例】例1 如图，△ABC为钝角三角形，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到△AB′C′，连接BB′，若AC′∥BB′，则∠CAB′的度数为【答案】90°【解析】解：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转l20°得到△AB′C′，∴∠BAB′=∠CAC′=120°，AB=AB′，∴∠AB′B=（180°﹣120°）=30°，∵AC′∥BB′，∴∠C′AB′=∠AB′B=30°，∴∠CAB′=∠CAC′﹣∠C′AB′=120°﹣30°=90°。

例2 如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α，得到△EBD，若点A恰好在ED的延长线上，则∠CAD的度数为【答案】180°﹣α【解析】解：由题意可得，∠CBD=α，∠ACB=∠EDB，∵∠EDB+∠ADB=180°，∴∠ADB+∠ACB=180°，∵∠ADB+∠DBC+∠BCA+∠CAD=360°，∠CBD=α，∴∠CAD=180°﹣α例3 如图，往竖直放置的在A处由短软管连接的粗细均匀细管组成的“U”形装置中注入一定量的水，水面高度为6cm，现将右边细管绕A处顺时针方向旋转60°到AB位置，则AB 中水柱的长度约为【答案】8cm【解析】解：如图，AB中水柱的长度为AC，CH为此时水柱的高，设CH=x，竖直放置时短软管的底面积为S，∵∠BAH=90°﹣60°=30°，∴AC=2CH=2x，∴细管绕A处顺时针方向旋转60°到AB位置时，底面积为2S，∵x•S+x•2S=6•S+6•S，解得x=4，∴AC=2x=8，即AB中水柱的长度约为8cm。