图形的分割法

割补法和分割法
什么叫做割补法和分割法？
割补法和分割法都是计算平面几何图形面积的推导方法，也是一种思考方法。

在面积和体积教学中，都有着广泛的应用。

割补法是指：把一个图形的某一部分割下来，填补在图形的另一部分，在原来面积不变的情况下，使其转化为已经掌握的旧的图形，以利于计算公式的推导。

平行四边形通过割补可转化为长方形（或正方形），梯形通过割补可转化为平行四边形，圆通过割补可转化为近似长方形等。

（1）平行四边形割补后转化为长方形：
（2）梯形割补后转化为平行四边形：
分割法是指：对一些不规则图形的面积，不能使用割补法，可以利用不规则图形的凹凸特点，将其分割成若干个可以计算的规则图形（如：长方形、三角形、梯形、……），先将各个规则图形的面积计算出来，然后再把这些规则图形的面积加在一起，总面积就是不规则图形的面积。

这种计算不规则图形的方法，叫做分割法。

下面两个图形就采用了分割法。

（1）
（2）
左图ABDE是一个不规则图形，用分割法可分成一个平行四边形ABDE，一个三角形BCD，把平行四边形和三角形的面积分别求出来，再把所得的结果加在一起，就是这个不规则图形的面积。

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第四讲 图形的分割一、正方形的展开图1、找相对面：隔着看2、模型“141”型：最长方向有4个，两边各1个； “231”型：鸭子有嘴又有腿； “222“333判断方法：最长方向有4个，两边各1个（特殊型除外）。

二、等分图形1、形状相同2、大小一样总数÷份数=每份数注意：除不尽，再把每个图形等分（变少为多）特殊型——奚瑞丰老师【例1】下面的图形可以折成一个正方体和一个长方体吗？根据折成的图形判断，每个面上的图案跟哪个图案是相对的。

（）和（）相对； （）和（）相对； （）和（）相对； （）和（）相对； （）和（）相对； （）和（）相对；解析：可以先准备一个这样的平面展开图，让孩子折一下，折好了之后让孩子观察一下每个面，找一下相对的面，之后再打开让孩子说一说相对的面的位置，也可以适当地提问，如：相对的两个面会不会挨着。

根据立体图形平面展开图的特征，可以轻松的观察出对面的图形。

（ ）和（ ）相对；（ ）和（ ）相对； （ ）和（ ）相对； （ ）和（ ）相对； （ ）和（ ）相对； （ ）和（ ）相对；【例2】把一个正方体剪开可以得到多种不同形状的展开图，下面三个都可以折成一个正方体吗？如果可以就是正方体的展开图。

解析：可以亲自和小朋友们折一下，或者通过总结的正方体展开图的规律解释：最长方向有4个，两边各1个（特殊型除外），这样的展开图就是正方形展开图。

观察我们的题目，第一个最长方向有4个，并且两边各1个，所以可以折成正方体；第二个最长方向也是4个，但是剩下的2个正方形在一个方向，所以不能折成正方体；第三个是我们的特殊型中的“222“型，所以可以折成正方体。

1、小朋友们一起玩“拼正方体的展开图”游戏，现在已经有五个小朋友站好了位置，如果你是第六个小朋友，你会站在哪里才能使拼出来的图形可以做成一个正方体呢？请找出四个位置。

2、兔宝宝最近非常开心，因为她拿着六块相同的拼图拼出了一个非常漂亮的图案。

班级数学练习巩固图形分割的方法和技巧巩固图形分割的方法和技巧图形分割是数学中的一个重要概念，它指的是将图形分解为若干个互相不重叠的部分。

对于初中数学的学生来说，掌握图形分割的方法和技巧，不仅能够提高他们的数学素养，还能够培养他们的逻辑思维和空间想象能力。

下面介绍一些班级数学练习中可以使用的图形分割的方法和技巧。

一、图形分割的分类我们需要了解图形分割的分类。

根据不同的图形类别，图形分割可以分为矩形分割、三角形分割、正方形分割、圆形分割、五边形分割等。

不同形状的图形分割有不同的方法和技巧，因此在练习时要针对不同的图形形状做出相应的选择。

二、矩形分割矩形分割是图形分割中比较简单的一种。

当我们需要将一个矩形分解为若干个互相不重叠的部分时，我们可以采用如下方法：1.将矩形分割为若干个等宽或等高的矩形，然后将这些矩形再进行分割。

2.采用垂线分割法，将矩形沿着一条对角线分成两部分，然后再在这两个小矩形中分别沿着另一条对角线分割成四部分。

如此反复进行分割，直到不能再分割为止。

三、三角形分割三角形分割的方法和技巧比较丰富，下面介绍几种常用的方法：1.长宽相等法。

将一个三角形沿着中线分割为两个等边三角形，然后将这些等边三角形再沿着中线分割成更小的等边三角形。

这种方法适用于正三角形。

2.垂线分割法。

将一个三角形沿着其中一条边作垂线分成两个小三角形，然后在另一个小三角形中作垂线分割，最后逐步分割成若干个小三角形。

这种方法适用于一般三角形。

3.对称分割法。

将一个三角形依次分割成多个部分，并在分割的每一个步骤中，都保持对称性。

这种方法需要具有一定的空间想象能力。

四、正方形分割正方形的图形分割方法比较简单，可以采用如下两种方法：1.对角线分割法。

将正方形沿着对角线分成两个小正方形，并将这些小正方形再沿着对角线分割成更小的正方形。

2.垂线分割法。

将正方形沿着一个边作垂线分成两个小正方形，然后在另一个小正方形中作垂线分割，一直分割下去，直到不能再分割为止。

图形切割的技巧
1. 利用对称性：如果图形有对称性，可以利用对称性来切割图形。

例如一个圆形可以通过任意直径将其切成两个对称的半圆形。

2. 利用重心：图形的重心是一个重要的几何中心点，如果图形有对称性，它的重心就在中心，可以利用重心和对称性来切割图形。

3. 利用旋转：可以选择一个顶点作为旋转中心，对图形进行旋转，然后再沿着旋转轴切割。

这种方法可以用来切割一些规则的多边形。

4. 利用分割线：将图形分割成多个小图形，然后对每个小图形进行切割。

5. 利用相似形：如果两个图形是相似的，可以将一个图形的缩小版放在另一个图形中，然后沿着小图形的轮廓线切割大图形。

6. 利用切割体：将一个图形固定在一个坚硬的底部上，并使用一个切割体（如刀子或剪刀）按照预定的形状切割。

这种方法可以用来切割纸或其它薄的材料。

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图形的拆分和组合
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目录
CONTENTS
01 图形的拆分
02 图形的组合
03 图形的拆分与组合 的应用
04 图形的拆分与组合 的技巧
05 图形的拆分与组合 的注意事项
图形的拆分
拆分定义
拆分：将图形分解 成多个部分或元素
目的：便于理解和 处理图形
方法：使用几何工 具或算法进行分解
拆分实例
圆形拆分：将圆形 分为两个半圆
正方形拆分：将正 方形分为四个等边 三角形
长方形拆分：将长 方形分为两个矩形
三角形拆分：将三 角形分为三个等边 三角形
提高图形的灵活性和可塑性
拆分意义
便于对图形进行修改和优化
增强图形的视觉效果和表现力
便于对图形进行复制和粘贴，提高工作效率
图形的组合
图形的拆分与组合的技 巧
色彩搭配
色彩对比：使用对比色来突出重点，如红绿、蓝黄等 色彩协调：使用相近色或同色系来保持整体和谐，如蓝绿、红橙等 色彩平衡：注意色彩的分布和比例，避免过于单调或杂乱 色彩渐变：使用渐变色来增加层次感和立体感，如从浅到深、从冷到暖等
旋转：将图形围绕某个点 旋转一定角度
形状变化
基本概念：点、 线、面、体、颜 色、纹理等
技术方法：几何建 模、光照模型、纹 理映射、动画技术 等
艺术创作
抽象画：通过图形的拆分与组合， 创造出独特的艺术风格
拼贴画：将不同的图形进行拆分 与组合，形成独特的视觉效果
插画设计：利用图形的拆分与组 合，设计出独特的插画作品
海报设计：通过图形的拆分与组 合，设计出独特的海报作品
遵循美学原则
保持图形的简洁性和统一性 注意图形的比例和布局 避免过度装饰和复杂化 考虑图形的色彩搭配和视觉效果

《奥赛天天练》第44讲，基础提炼，例2【题目】：如下图所示，请将这个正方形分成两块，使得两块的形状、大小都相同，并且每一块都含有A、B、C、D、E五个字母：【解析】：将如上图所示的一个6×6的正方形方格图分割成两块的形状、大小都相同的图形，有以下特征：①分割成两块图形关于方格图的对称中心成中心对称。

②图形中只有一条连贯且不交叉的分割线，分割线也是关于方格图的对称中心对称的中心对称图形。

第一步：因为“每一块都含有A、B、C、D、E五个字母”，那么两个同样的字母必然属于不同的两块，我们先在相邻的两个同样的字母之间画出分割线（如下图一）。

第二步：根据上面第二条特征，我们把对称位置的分割线补齐（如下图二）。

第三步：如下图三、图四：尝试先将一组字母（A、B、C、D、E五个字母）连接起来，再补全分割线。

本题有两种分割方法。

分割技巧：连接时用铅笔尝试不同的连接方法，找到合适的分组及不同的解答方法；补全分割线时，一定要留心观察两块图形的对称性及分割线的对称性，利用对称性可以更快捷地找到分割方法。

另注：①中心对称图形：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与自身重合，那么我们就说，这个图形是中心对称图形。

②中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与另一个图形重合，那么我们就说，这两个图形成中心对称。

这一点就称为对称中心。

成中心对称时，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。

《奥赛天天练》第44讲，巩固训练，习题2【题目】：把下图分成形状、大小相同的八块：【解析】：直接把题中这个不规则图形分成形状、大小相同的八块，无从下手。

仔细观察，可以看出这个图形可以分成三个相同的正方形即三大格（如下图一）；但三大格格数太少，分成相同的八块还是不好分，因此我们把每大格再平均分成4份，整个图形就被平均分成了12小格（如下图二）。

先算出12小格平均分成8块，每块的大小是一格半。

再按一格半的大小分割，稍作尝试，很容易把题中的图形平均分成八块（如上面图三、图四）。

图像分割的常用方法
1. 阈值分割：根据像素灰度值与预设阈值之间的大小关系将图片分成黑白两个部分，常用于二值化处理。

2. 区域生长：利用像素之间的空间连通关系，从种子像素开始，将与其相邻的像素逐步合并成同一个区域。

3. 全局图像分割：将图像分成多个颜色或灰度级别，然后根据图像亮度、颜色、纹理、空间信息等特征进行分类，常用于分类、检测、识别等任务。

4. 模型分割：使用先前训练好的模型对图像分类和分割。

例如，利用卷积神经网络(CNN) 对图像进行分类和分割。

5. 基于图的分割：将图像转换成图形结构，建立节点之间的连接关系，通过图形算法对图形进行分割。

6. 边缘检测：检测图像中的边缘线条并将其分割出来，常用于目标检测和识别。

7. 水平集分割：该方法使用曲线(水平集) 对图像进行分割，可以在不同曲线之间自由地移动，因此在较复杂的图像中可以得到更好的分割效果。

几何图形的九大解法一、分割法例1：将两个相等的长方形重合在一起，求组合图形的面积。

（单位：厘米）解：将图形分割成两个全等的梯形。

S组=（7-2+7）×2÷2×2=24（平方厘米）例2：下列两个正方形边长分别为8厘米和5厘米，求阴影部分面积。

解：将图形分割成3个三角形。

S=5×5÷2+5×8÷2+（8-5）×5÷2=12.5+20+7.5=38（平方厘米）例3：左图中两个正方形边长分别为8厘米和6厘米。

求阴影部分面积。

解：将阴影部分分割成两个三角形。

S阴=8×（8+6）÷2+8×6÷2=56+24=80（平方厘米）二、添辅助线例1：已知正方形边长4厘米，A、B、C、D是正方形边上的中点，P是任意一点。

求阴影部分面积。

解：从P点向4个定点添辅助线，由此看出，阴影部分面积和空白部分面积相等。

S阴=4×4÷2=8（平方厘米）例2：将下图平行四边形分成三角形和梯形两部分，它们面积相差40平方厘米，平行四边形底20.4厘米，高8厘米。

梯形下底是多少厘米？解：因为添一条辅助线平行于三角形一条边，发现40平方厘米是一个平行四边形。

所以梯形下底：40÷8=5（厘米）例3：平行四边形的面积是48平方厘米，BC分别是这个平行四边形相邻两条边的中点，连接A、B、C得到4个三角形。

求阴影部分的面积。

解：如果连接平行四边形各条边上的中点，可以看出空白部分占了整个平行四边形的八分之五，阴影部分占了八分之三。

S阴=48÷8×3=18（平方厘米）三、倍比法例1：已知OC=2AO,SABO=2㎡，求梯形ABCD的面积。

解：因为OC=2AO，所以SBOC=2×2=4（㎡）SDOC=4×2=8（㎡）SABCD=2+4×2+8=18（㎡）例2：已知S阴=8.75㎡，求下图梯形的面积。

例2将图12—4中的图形分成四个为s型图案由16个大小一样的小正方形组成，所以拼成的正方形每边正好是4个小正方形．把图12—4分成大小相等的四个部分，每部分的面积都是4个小正方形．
再考虑形状．如果能将图12—4先分成两个面积相等、形状相同的图形，然后再将其中的一个再分成两个面积相等、形状相同的图形,那么达到目的了．
图形的分割与组合
图形的分割与组合是几何学中一个非常有趣味的课题，研究图形的分割与组合问题不仅可以增强几何图形的直观感觉和判断能力，丰富对图形的想象力，提高数学的思维能力，而且还有一定的实用价值，对工厂里的下料、工艺美术的图案设计都有一定的用处．
例1将图12—1所示的图形分成两块，然后拼成一个正方形．
除了上面的几种分法外，还可以这样想，因为6=1+5=2+4=3+3。所以对
余下的三角形分成五个面积相等的小三角形。对6=2+4而言，可先从原三角形
分出的三角形和剩下的三角形分别分成2个和4个面积相等的小三角形，对6=3+3可采用与上面类似的方法进行分割。
解法1将三角形的任一边六等分，再将分点与这边相对的顶点用线段连接起来，见图10-1。
第一种，将图10-4中不规则的那块图形，按图10-5中虚线所示分成三块，拼得的正方形见图10-6。
第二种，将图10-4中的长方形图形，按图10-7中虚线所示分成三块，拼得的正方形见图10-8。
例3有一块长24米、宽15米的长方形地毯，现在要把它移到长20米、宽18米的新房间里去。问是否可以找到一种剪裁法，把长方形地毯分成形状与面积都一样的两块，拼合后正好能铺满新房间的地面？
解：按图12—9中的粗线将长方形分成两块，然后错位对齐，即可拼成新的长方形，见图12—10．
例4图12—11是一块正中间开有长方形孔的长方形木板，尺寸如图所示（单位：厘米）．把它锯成两块，拼成一个面积为100平方厘米的桌面，如何切分．

第5讲 图形的分割【专题精华】在研究用直线、圆等图形分割平面时，我们一般从简单的情况入手分析。

在研究怎样将一个图形分割成满足某种条件的若干块的问题时，要注意到图形的对称性。

【教材深化】[题1] 5条直线最多将平面分成多少个部分？<敏捷思维> 首先考虑5条直线不太简单，我们先研究一些简单的情况，不难知道： 一条直线最多将平面分为2个部分；二条直线最多将平面分为4个部分；三条直线最多将平面分为7个部分；四条直线最多将平面分为11个部分；五条直线最多将平面分为16个部分。

<全解> 5条直线最多将平面分成16个部分。

<拓展探究> 针对上面一组数据，我们不难发现二条直线分平面的4部分是在一条直线分平面的2部分的基础上增添了2部分；三条直线分平面的7部分恰好是在二条直线分平面的4部分的基础上增添了3部分；类似地，四条直线分平面的11部分是在三条直线分平面的7部分的基础上增添了4部分……仿照此分析法可以得出，n 条直线最多分平面的部分数为：2+2+3+……+（n-1）+n=22++n n 。

[能力冲浪]1、10条直线最多可以把平面分成多少部分？2、20个三角形最多把平面分成多少部分？3、在平面内画六条直线和一个圆，最多能把平面分成几个部分？[题2] 把一个正方形分成形状相同，面积相等的四个图形。

<敏捷思维> 本题是均分图形，答案有多种，既可以用线段分割，也可以用曲线分割，无论是用线段分割，还是用曲线分割，经过旋转，每一种又可以得到很多种分法。

<全解>1、分割线是线段的22、分割线是曲线的。

3、如果选择其中一种，把它的分割线想象成风车的叶轮，让它们旋转起来，还可以得到更多的方法。

如：旋转图⑤可得到下面的图。

如：旋转图⑨，可得到下面的图<拓展探究> 像这类题目，可以凭直觉，先找出部分分法，然后借出想象，“旋”出无数分法。

[能力冲浪]1、将如下图所示的三角形，分成面积相等的4块，你有几种分法？请把各种分法画出来（每种不同的分法思路，用一个图表示）。

几何图形的十大解法（30例）一、分割法例1：将两个相等的长方形重合在一起，求组合图形的面积。

（单位：厘米）2例2：下列两个正方形边长分别为8厘米和5厘米，求阴影部分面积。

例3：左图中两个正方形的边长分别为8厘米和6厘米。

求阴影部分面积。

二、添辅助线例1：已知正方形边长4厘米，A、B、C、D是正方形边上的中点，P是任意一点。

求阴影部分面积。

CPD BA例2：将下图平行四边形分成三角形和梯形两部分，它们面积相差40平方厘米，平行四边形底20.4厘米，高8厘米。

梯形下底是多少厘米？例3：平行四边形的面积是48平方厘米，BC分别是A 这个平行四边形相邻两条边的中点，连接A、B B、C得到4个三角形。

求阴影部分的面积。

C三、倍比法例1： A B 已知：OC=2AO，S ABO=2㎡，求梯形ABCDO 的面积。

D C例2：7.5 已知：S阴=8.75㎡，求下图梯形的面积。

2.5例3： A 下图AB是AD的3倍，AC是AE的5倍，D E 那么三角形ABC的面积是三角形ADE的多少倍？B C四、割补平移例1： A B 已知：S阴=20㎡， EF为中位线E F 求梯形ABCD的面积。

D C例2：10 求左图面积（单位：厘米）5510例3：把一个长方形的长和宽分别增加2厘米，面积增加24平方厘米。

求原长方形的周长。

2五、等量代换例已知：AB平行于EC，求阴影部分面积。

8E 10 D（单位：m）例2：下图两个正方形边长分别是6分米、4分米。

求阴影部分面积。

例3：已知三角形ABC的面积等于三角形AED的面积（形状大小都相同），它们重叠在一起，比较三角形BDF和三角形CEF的面积大小。

（）A A 三角形DBF大B三角形CEF大D C C两个三角形一样大D无法比较B FE六、等腰直角三角形例1：已知长方形周长为22厘米，长7 厘米，求阴影部分面积。

45°例2：已知下列两个等腰直角三角形，直角边分别是10厘米和6厘米。

图形的分割图形的分割是指将一个图形分割成互不重叠、互不相交的若干个子图形的过程。

在图像处理、计算机视觉等领域中，图形的分割是一项重要的技术，它可以帮助我们识别图像中的不同部分，进而实现诸如目标检测、边缘检测、图像分割等应用。

一、图形的分割方法1. 阈值分割阈值分割是一种简单直观的图形分割方法，它基于灰度值将图像划分为不同的区域。

通过设置一个阈值，可以将图像中灰度值高于阈值的像素点分到一个区域，灰度值低于阈值的像素点分到另一个区域。

这种方法适用于图像中目标与背景之间明显的灰度差异较大的情况。

2. 基于边缘的分割基于边缘的分割方法是利用图像中的边缘信息来实现图形的分割。

通常情况下，图像中不同区域之间的边界往往具有明显的灰度跳变，通过检测这些跳变可以找到图像的分割边界。

常见的边缘检测算法包括Sobel、Canny等。

3. 区域生长分割区域生长分割是一种基于区域的分割方法，它从种子点开始，通过迭代的方式不断将相邻像素与种子像素合并到同一个区域中，直到满足一定的生长准则为止。

区域生长分割方法适用于目标区域较大，且与背景之间的灰度差异较小的图像。

二、图形分割应用图形的分割在各种领域中有着广泛的应用，下面列举几种常见的应用场景：1. 医学图像分割在医学影像学中，图像的分割可以帮助医生识别出图像中的不同组织结构，如肿瘤、血管等，从而实现疾病的诊断和治疗。

2. 遥感图像分割在遥感领域，图像的分割可以帮助我们识别出地表上不同的地物，如建筑物、道路、植被等，从而实现诸如城市规划、资源管理等应用。

3. 自动驾驶在自动驾驶领域，图像的分割可以帮助自动驾驶系统识别出道路标志、行人、车辆等，从而实现自动规划路径、避障等功能。

三、总结图形的分割是一项重要的图像处理技术，它在各种领域中都有着广泛的应用。

不同的图形分割方法适用于不同的应用场景，选择合适的分割方法可以帮助我们更好地实现图像分析、识别和处理的目的。

通过不断的研究和探索，图形的分割技术将会不断得到改进和完善，为我们的生活和工作带来更多的便利和效益。

理解立体几何图形的切割立体几何图形在我们的日常生活中随处可见，从一杯咖啡的杯子到一幢高楼大厦的外形，都可以被视为立体几何图形。

而对于立体几何图形的切割也是一个非常重要的概念。

理解了立体几何图形的切割，有助于我们更好地理解它们的性质和特点。

本文将重点探讨立体几何图形的切割以及其应用。

一、切割的定义与原理切割是指将一个立体几何图形分割成两个或多个较小的部分的过程。

常见的切割方法有切块和切面两种。

切块是指将立体几何图形分割成数个立方体或其他几何形状的块状部分。

切面是指将立体几何图形通过一个平面分割成两个或多个平面图形。

在进行切割时，需要考虑到切割的方向、位置以及切割前后的图形性质等因素。

二、立体几何图形的切割应用1. 工程建设在工程建设中，立体几何图形的切割应用非常广泛。

比如在建造一座大楼时，可以通过切割立体图形来确定每层的平面图形，从而更好地进行施工规划。

又或者在制造一件复杂的零件时，通过将立体图形进行切割，可以使得制造过程更加简化和高效。

2. 数学教育立体几何的切割也是数学教育中的重要内容之一。

通过切割，学生可以更加直观地理解立体几何图形的性质和特点。

同时，通过进行切割实验，学生还可以通过观察切割后图形的变化，进一步探究立体几何的基本概念。

3. 艺术设计立体几何的切割在艺术设计中起到了重要的作用。

通过切割，可以将原本单一的立体几何图形转化为多个不同形状的图形，从而为艺术家提供更多的设计灵感。

许多艺术品的独特之处正是来源于艺术家对立体几何图形进行切割的巧妙运用。

三、立体几何图形切割的案例1. 瓦楞纸板的制作瓦楞纸板是一种常见的包装材料，其制作过程就是通过切割纸板的方式得到的。

通过对纸板进行切割，可以使得纸板具有更好的柔韧性和强度，提高其抗压能力，从而更好地满足包装需求。

2. 建筑模型的制作建筑模型的制作通常也需要对立体几何图形进行切割。

通过对模型材料进行切割，可以更好地还原建筑物的外观和内部结构。

同时，通过切割也可以使得建筑模型更加易于展示和拆卸。

数学上的折线分割在数学中，折线分割（又称折线剖分）是指将一个平面图形分成若干个连通区域的图形分割方法。

具体来说，折线分割是指用一条或多条折线将一个平面图形分割成若干个连通区域，使得每个区域内部没有边界，而不同区域之间只有一条公共边界。

折线分割的性质折线分割具有以下性质：连通性：每个分割后的区域都是连通的，即可以在不同区域之间沿着折线连续地移动。

唯一性：给定一个平面图形和一条折线，分割后的区域是唯一的。

局部性：折线分割只与折线的位置有关，与图形的内部结构无关。

可加性：如果一个图形可以被两条折线同时分割，那么它也可以被这两条折线依次分割。

折线分割的方法为了对一个平面图形进行折线分割，可以采用以下方法：扫描法：从图形的一个边界开始，沿着边界逐点扫描，遇到折线时根据折线的方向进行分割。

搜索法：从图形的任意一点开始，沿着折线搜索，遇到边界时根据折线的方向进行分割。

计算法：利用计算机算法对图形进行折线分割。

具体来说，可以采用以下算法：射线法：从图形的一个边界开始，沿着边界逐点发射射线，遇到折线时根据折线的方向进行分割。

扫描线算法：类似于扫描法，但使用扫描线代替射线。

基于图形的算法：根据图形的内部结构和边界信息进行分割。

折线分割的应用折线分割在计算机科学、图像处理和地理信息系统等领域具有广泛的应用。

例如，在计算机图形学中，折线分割可以用于计算图形的面积、周长和质心等属性；在图像处理中，折线分割可以用于图像分割和目标识别；在地理信息系统中，折线分割可以用于地图的简化和地理信息的编码。

总之，折线分割是一种常用的图形分割方法，在数学、计算机科学和工程等领域具有广泛的应用。

通过研究折线分割，我们可以更好地理解图形的性质和结构，为实际应用提供有效的工具和方法。

图形的分割怎样把一个图形按规定的要求分割成若干部分，这就是图形的分割。

合理分割图形，是很讲究方法和技巧的。

而这种训练，可以培养我们的创造性思维，发展空间观念，丰富想像，提高观察能力。

这里，介绍几种常见的图形分割思维与方法。

一．中心分割法通过图形的中心或边的中心的直线，可以把图形平均分成两部分。

例1．用一条线段把一个长方形平均分割成两块。

解析：过长方形的中心的任意一条直线都可以把长方形平均分割成两块。

例2．在一块长方形的地里有一口正方形的水井。

试画一条线把除井外的这块地平分成两块。

解析：分别找到长方形地和水井的中心，通过这两点的线就能平分。

例3．下图为5个面积为1的正方形拼成的。

试用一直线将此图形划分为面积相等的两块。

例4．用一条线把一个梯形分割成两块面积一样大小的图形。

解析：找到上底、下底的中点，过两点画的线就能把梯形平分成两块。

二．旋转分割法例5．将图1中的正方形分割成形状和大小一样的4块，并且每一块恰好都有1、2、3、4这4个数字。

解析：正方形分割成4块，根据它的中心对称性，一般是从中心点分开的，只要找到其中一块的大小和形状，那么围绕中心点旋转90°，就会得到第二块，接下来，每次转动90°，都会得到第三块，第四块。

该题中，怎样找出关键的第一块呢？因为每一块中只能有1、2、3、4这四个数字，所以相同的两个数字必须分开。

我们先将两个并列在一起的“4”分开，在两个“4”间画一段划分线，然后将它分别绕中心点旋转90°、180°、270°，得到另外3段划分线。

照此方法，画出所有数字的划分线，如图2。

中间的4个小方格，必然分别属于4小块的，因此必须分开。

这个正方形的面积是8*8=64所以，分开后的4块各有16个小正方形，在图2的基础上，从最里层开始，沿着划分线，根据题意，就容易得到图3。

例6．请将图1所示的正方形分成两块，使得这两块的形状和大小都相同，并且每一块中都含有A、B、C、D、E这五个字母。

几何面积问题除了利用常规的五大模型、各种公式求得之外，还可以用图形分割的思想来做。

我们发现，在迎春杯几何问题中，这类题目很多。

掌握好这种思想方法，可以帮助我们解决很多几何难题。

解题关键:分割其实就是运用特殊的三角形（等角直角三角形、等边三角形等）、正方形、等边图形的特殊性质进行分割而得，所以分割的关键是利用了特殊图形的关系解题。

解题思想:这其实就是一种化整为零的思想，各位同学不仅要学会几何题中的这种方法，更要细细体味这种思想在解决各种问题中的妙用。

模块一、简单分割【例 1】 3个相同的正方形纸片按相同的方向叠放在一起(如图)，顶点A 和B 分别与正方形中心点重合，如果所构成图形的周长是48厘米，那么这个图形覆盖的面积是__________平方厘米.【考点】图形的分割 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，中年级组，复试，4题 【解析】 将这3个正方形分割，可知这个图形的周长即为两个正方形纸片的周长之和，故正方形边长为48÷8=6（厘米），则图中每个分割得到的小正方形边长为6÷2=3（厘米），所以这个图形覆盖的面积为6×6×2+3×3×2=90（平方厘米）。

【答案】90平方厘米【例 2】 正方形ABCD 的面积是1平方米，将四条边分别向两端各延长一倍，连结八个端点得到一个正方形(如图)，求大正方形的面积．DCB A【考点】图形的分割 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 四条边分别向两端各延长一倍，很容易可以观察出，大正方形有9个小正方形组成，所以，大正方形的面积是:199⨯=(平方米)．【答案】9平方米【例 3】 将边长为a 的正方形各边的中点连结成第二个正方形，再将第二个正方形各边的中点连结成第三个正方形，依此规律，继续下去，得到下图那么，边长为a 的正方形面积是图中阴影部分面积的________ 倍.例题精讲知识点拨4-2-4.图形的分割【考点】图形的分割 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，复赛，第6题，4分 【解析】 阴影部分是大正方形的0.5×0.5×0.5×0.5=116，所以正方形是阴影的16倍 【答案】16倍【例 4】 正三角形ABC 的面积是1平方米，将三条边分别向两端各延长一倍，连结六个端点得到一个六边形(如右图)，求六边形的面积．CBA【考点】图形的分割 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 采用分割法，过A 、B 、C 分别作平行线，得到右上图，其中所有小三角形的面积都相同，所以六边形面积等于13平方米．【答案】13平方米【例5】 正六边形ABCDEF 的面积是1平方米，将六条边分别向两端各延长一倍，交于六个点，组成如下图的图形，求这个图形的面积．FED CB A FAB CDE【考点】图形的分割 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 采用分割法，连接正六边形的对角线，会发现，所有的三角形面积都相同，一共有12个小三角形，原来正六边形的面积是1平方米，由6个小三角形组成，所以现在的大图形的面积是:122⨯= (平方米)【答案】2平方米【例 6】 长方形ABCD 的面积是40平方厘米，E 、F 、G 、H 分别为AC 、AH 、DH 、BC 的中点。

图形的分割图形的分割【典型例题】例1. 将图1中正方形分割成形状和大小一样的四块，并且每一块恰好有1、2、3、4四个数字。

图1分析与解：根据图KCB齿轮油泵形的对称性，将一个正方形分成形状和大小一样的四块，一般可以从正方形的中心点开始分，只要能设法找到其中一块的大小和形状，那么围绕中心点旋转，就会得到第二块，接着转下去，每次转，就会得到第三块，第四块。

2CY齿轮油泵怎样找出关键的第一块呢？因为每一块中只有1、2、3、4四个数字，所以相同的两个数字必须分开，我们先将两个并列在一起的“4”分开，在两个“4”之间画上一段划分线，然后将它分别绕中心旋转，得到另外三段划分线，如图2，仿照上述方法，螺杆油泵可以画出所有这样的划分线，如图3。

图2 图3中间的四个小方格，必然，分属于四小块，不可能两格同属于一块，因此也要分开，注：要这个正方形的面积是个面积单位，因此切分后的每一块的面积为16个面积单位，螺杆油泵即由16个小方格组成，在图3的基础上，从最里层开始沿着划分线，根据题目要求，就容易得到答案了。

具体分法见图4，图中的两块阴影和两块空白部分将图3分成形状和大小一样四块，并且每块中有1、2、3、4四个数字。

渣油泵图4例2. 将图5中图形分成形状相同、YHB卧式齿轮润滑油泵面积相等的两部分，应怎么分？图5分析与解：为了方便，可先将图分成许多的小正方形，如图6，由此可知，图形的面积为32个面积单位，每一部分的面积应为16个面积单位，为了保证分成的两个图形形状相同，沥青保温泵根据最长边为8，其次为7，以及原图形的形状，可知每一部分的最长边只能为7，用两种阴影分别表示出来，下面继续进行类似的推理，可以找到答案。

图6具体分法见图7，图中的阴zyb增压燃油泵影和空白部分将图5分成了形状相同，面积相等的两部分。

图7例3. 图8是由三个同样大小的正三角形组成的，请把它分成形状相同、面积相等的四块。

螺杆油泵图8分析与解：把三个同样大小的正煤焦油泵三角形平均分成四份，每份应占正三角形的，因此先把每个正三角形四等分，选择其中的三份。