图形的分割

大班数学教案及教学反思《图形分割》在设计这个《图形分割》的数学教案时，我的意图主要是通过实践活动，让孩子们能够理解图形的分割，提升他们的空间想象力和数学思维能力。

我希望孩子们能够通过亲自动手操作，发现图形的分割规律，体验到数学的乐趣。

我的教学目标是让孩子们能够理解图形的分割，能够用不同的方式分割图形，并且能够描述和表达分割的过程和结果。

在教学过程中，我发现最难的地方是如何让孩子们理解图形的分割，因为这是一个比较抽象的概念。

所以我的教学难点主要是如何引导孩子们理解并掌握图形的分割方法。

而教学重点则是让孩子们能够通过实践活动，掌握图形的分割方法，并且能够用语言描述分割的过程和结果。

为了完成这个教学任务，我准备了一些教具和学具，包括正方形、长方形、圆形等不同形状的图形，还有一些剪刀和彩笔等绘画工具。

在活动过程开始之前，我先给孩子们展示了一些图形，并引导他们观察和描述这些图形的特征。

然后，我让孩子们分成小组，每组选择一个图形，用剪刀将图形分割成不同的部分。

在分割的过程中，我引导孩子们观察和描述分割的过程和结果。

我让孩子们用彩笔将分割后的图形涂上不同的颜色，并且用语言描述分割的过程和结果。

在活动的重难点部分，我发现有些孩子们对于图形的分割还不是很理解，所以我在活动中给予了他们更多的指导和帮助。

我引导他们观察图形的特征，教他们如何用剪刀正确地分割图形，并且用语言描述分割的过程和结果。

在课后反思中，我认为这次活动总的来说还是成功的。

大多数孩子们都能够理解图形的分割，并且能够用语言描述分割的过程和结果。

但是我也发现有些孩子们对于图形的分割还不是很理解，所以我在以后的的教学中还需要更多地关注这部分孩子，给予他们更多的指导和帮助。

对于拓展延伸部分，我打算让孩子们在家里和家长一起尝试分割不同的图形，并且用语言描述分割的过程和结果。

这样既可以巩固他们在课堂上学习的知识，又可以让他们在实践中体验到数学的乐趣。

重点和难点解析：对于孩子们理解图形的分割这一难点，我认为最重要的是通过实践活动来让他们亲身体验和观察。

幼儿园中班教案《图形的分割》含反思幼儿园中班教案教学目标：1. 能够认得和描述常见的图形；2. 能够把握图形的分割方法；3. 能够通过操作完成对图形的分割。

教学准备：1. 图形卡片；2. 剪刀；3. 胶水。

教学过程：1. 导入（10分钟）首先，老师呈现三张图形卡片——四边形、三角形、圆形，然后提问：“你们认得这些图形吗？它们有什么特点？”在孩子们描述之后，老师总结这些图形的特点，并引导孩子们一起说出这些图形在生活中显现的场景。

2. 讲授（15分钟）老师告知孩子们，除了了解和描述图形外，我们还可以把图形分割成其他简单的图形，让孩子们通过课堂操作来学习图形的分割方法。

首先，老师向孩子们呈现一张由四个相等的正方形构成的大正方形卡片，然后用剪刀把大正方形分割成四个小正方形卡片，并把它们拼成一个又一个的图案。

之后，老师又向孩子们呈现了一个长方形卡片，并将其分割成一个小正方形和一个小长方形。

3. 操作（30分钟）接着，老师将让孩子们本身来操作，首先向孩子们发放一些图形卡片，让他们本身依据本身的想法使用剪刀和胶水把这些图形卡片分割成他们想要的图形。

老师可以在一旁引导和帮忙孩子们，同时激励和表扬孩子们的创意和努力。

4.总结（5分钟）最后，老师请几位孩子到黑板前，向全班呈现他们分割后的图形，并让他们叙述一下他们是如何分割的。

同时，老师也总结了本节课的重点内容，强调了图形的分割方法和应用，并激励孩子们在日常生活中多多尝试分割图形，发挥他们的想象力和创意力。

教学反思：本课教学是通过幼儿们亲身操作图形分割，让他们在实在的操作中学习并把握图形分割的方法，不仅能有效调动幼儿的积极性和参加度，而且也能培育幼儿动手动脑的本领和察看本领。

但这也同时需要老师在教学过程中与幼儿互动、引导和激励，帮忙他们更好地理解和实践学问。

在今后的教学中，我将更关注幼儿的听说读写四个方面的本领培育，环节上尽可能地创设多种形式、有趣味好玩的活动，使得这些活动有意义、带动力，同时也要把握好整堂课的时间，保证每一个环节都有时间到位，使得幼儿可以更好地学习和参加。

第四讲 图形的分割一、正方形的展开图1、找相对面：隔着看2、模型“141”型：最长方向有4个，两边各1个； “231”型：鸭子有嘴又有腿； “222“333判断方法：最长方向有4个，两边各1个（特殊型除外）。

二、等分图形1、形状相同2、大小一样总数÷份数=每份数注意：除不尽，再把每个图形等分（变少为多）特殊型——奚瑞丰老师【例1】下面的图形可以折成一个正方体和一个长方体吗？根据折成的图形判断，每个面上的图案跟哪个图案是相对的。

（）和（）相对； （）和（）相对； （）和（）相对； （）和（）相对； （）和（）相对； （）和（）相对；解析：可以先准备一个这样的平面展开图，让孩子折一下，折好了之后让孩子观察一下每个面，找一下相对的面，之后再打开让孩子说一说相对的面的位置，也可以适当地提问，如：相对的两个面会不会挨着。

根据立体图形平面展开图的特征，可以轻松的观察出对面的图形。

（ ）和（ ）相对；（ ）和（ ）相对； （ ）和（ ）相对； （ ）和（ ）相对； （ ）和（ ）相对； （ ）和（ ）相对；【例2】把一个正方体剪开可以得到多种不同形状的展开图，下面三个都可以折成一个正方体吗？如果可以就是正方体的展开图。

解析：可以亲自和小朋友们折一下，或者通过总结的正方体展开图的规律解释：最长方向有4个，两边各1个（特殊型除外），这样的展开图就是正方形展开图。

观察我们的题目，第一个最长方向有4个，并且两边各1个，所以可以折成正方体；第二个最长方向也是4个，但是剩下的2个正方形在一个方向，所以不能折成正方体；第三个是我们的特殊型中的“222“型，所以可以折成正方体。

1、小朋友们一起玩“拼正方体的展开图”游戏，现在已经有五个小朋友站好了位置，如果你是第六个小朋友，你会站在哪里才能使拼出来的图形可以做成一个正方体呢？请找出四个位置。

2、兔宝宝最近非常开心，因为她拿着六块相同的拼图拼出了一个非常漂亮的图案。

图形切割的技巧
1. 利用对称性：如果图形有对称性，可以利用对称性来切割图形。

例如一个圆形可以通过任意直径将其切成两个对称的半圆形。

2. 利用重心：图形的重心是一个重要的几何中心点，如果图形有对称性，它的重心就在中心，可以利用重心和对称性来切割图形。

3. 利用旋转：可以选择一个顶点作为旋转中心，对图形进行旋转，然后再沿着旋转轴切割。

这种方法可以用来切割一些规则的多边形。

4. 利用分割线：将图形分割成多个小图形，然后对每个小图形进行切割。

5. 利用相似形：如果两个图形是相似的，可以将一个图形的缩小版放在另一个图形中，然后沿着小图形的轮廓线切割大图形。

6. 利用切割体：将一个图形固定在一个坚硬的底部上，并使用一个切割体（如刀子或剪刀）按照预定的形状切割。

这种方法可以用来切割纸或其它薄的材料。

《图形的分割》中班数学教案一、教学目标1.让幼儿能够识别和命名基本的平面图形，如正方形、长方形、三角形等。

2.培养幼儿对图形进行分割和组合的能力。

3.激发幼儿对数学的兴趣，提高他们的观察能力和动手操作能力。

二、教学重点与难点1.教学重点：让幼儿学会用不同的方法分割图形，并能用分割后的图形进行拼搭。

2.教学难点：引导幼儿发现分割后的图形之间的内在联系，培养他们的空间观念。

三、教学准备1.教具：正方形、长方形、三角形等平面图形卡片；分割图形的模具；剪刀、胶棒等工具。

2.学具：每人一套平面图形卡片；剪刀、胶棒等工具。

四、教学过程1.导入教师展示一张正方形卡片，引导幼儿说出它的名称。

邀请幼儿上台尝试将正方形分割成两个相同的图形，并说出分割后的图形名称。

2.基本概念讲解教师介绍正方形、长方形、三角形等平面图形的基本特征。

通过展示分割后的图形，让幼儿直观地理解分割的概念。

3.分组讨论将幼儿分成小组，每组发放一套平面图形卡片。

教师提出任务：请每组用不同的方法分割一个正方形，并将分割后的图形拼搭成一个新的图形。

4.实践操作幼儿在小组内展开讨论，尝试分割图形并拼搭成新的图形。

教师巡回指导，解答幼儿的疑问，鼓励他们发挥创意。

5.成果展示与评价各组完成作品后，邀请他们上台展示，并介绍自己的创意。

教师对每组的作品进行评价，鼓励幼儿的创意和努力。

6.拓展活动教师提出新的挑战：请幼儿用两个或三个相同的图形分割出一个正方形。

幼儿自由发挥，尝试完成挑战。

鼓励幼儿在日常生活中发现更多的图形分割现象，提高他们的观察能力。

五、课后作业（可选）1.请幼儿回家后，与家长一起用生活中的物品进行图形分割的实践。

2.家长协助幼儿记录实践过程，并分享到班级群，互相交流学习。

六、教学反思通过本次教学活动，大部分幼儿能够掌握图形分割的基本方法，并能用分割后的图形进行拼搭。

在实践操作环节，幼儿的参与度较高，表现出浓厚的兴趣。

但在拓展活动环节，部分幼儿在分割两个或三个相同图形时遇到困难，需要教师个别指导。

几何面积问题除了利用常规的五大模型、各种公式求得之外，还可以用图形分割的思想来做。

我们发现，在迎春杯几何问题中，这类题目很多。

掌握好这种思想方法，可以帮助我们解决很多几何难题。

解题关键：分割其实就是运用特殊的三角形（等角直角三角形、等边三角形等）、正方形、等边图形的特殊性质进行分割而得，所以分割的关键是利用了特殊图形的关系解题。

解题思想：这其实就是一种化整为零的思想，各位同学不仅要学会几何题中的这种方法，更要细细体味这种思想在解决各种问题中的妙用。

模块一、简单分割【例 1】 3个相同的正方形纸片按相同的方向叠放在一起(如图)，顶点A 和B 分别与正方形中心点重合，如果所构成图形的周长是48厘米，那么这个图形覆盖的面积是__________平方厘米.【考点】图形的分割 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，中年级组，复试，4题【解析】 将这3个正方形分割，可知这个图形的周长即为两个正方形纸片的周长之和，故正方形边长为48÷8=6（厘米），则图中每个分割得到的小正方形边长为6÷2=3（厘米），所以这个图形覆盖的面积为6×6×2+3×3×2=90（平方厘米）。

【答案】90平方厘米【例 2】 正方形ABCD 的面积是1平方米，将四条边分别向两端各延长一倍，连结八个端点得到一个正方形(如图)，求大正方形的面积．DCB A【考点】图形的分割 【难度】2星 【题型】解答【解析】 四条边分别向两端各延长一倍，很容易可以观察出，大正方形有9个小正方形组成，所以，大正方形的面积是：199⨯=(平方米)．【答案】9平方米例题精讲知识点拨4-2-4.图形的分割【例 3】 将边长为a 的正方形各边的中点连结成第二个正方形，再将第二个正方形各边的中点连结成第三个正方形，依此规律，继续下去，得到下图那么，边长为a 的正方形面积是图中阴影部分面积的________ 倍.【考点】图形的分割 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，复赛，第6题，4分 【解析】 阴影部分是大正方形的0.5×0.5×0.5×0.5=116，所以正方形是阴影的16倍 【答案】16倍【例 4】 正三角形ABC 的面积是1平方米，将三条边分别向两端各延长一倍，连结六个端点得到一个六边形(如右图)，求六边形的面积．CBA【考点】图形的分割 【难度】3星 【题型】解答【解析】 采用分割法，过A 、B 、C 分别作平行线，得到右上图，其中所有小三角形的面积都相同，所以六边形面积等于13平方米．【答案】13平方米【例 5】 正六边形ABCDEF 的面积是1平方米，将六条边分别向两端各延长一倍，交于六个点，组成如下图的图形，求这个图形的面积．FED CB A FAB CDE【考点】图形的分割 【难度】3星 【题型】解答【解析】 采用分割法，连接正六边形的对角线，会发现，所有的三角形面积都相同，一共有12个小三角形，原来正六边形的面积是1平方米，由6个小三角形组成，所以现在的大图形的面积是：122⨯= (平方米)【答案】2平方米【例 6】 长方形ABCD 的面积是40平方厘米，E 、F 、G 、H 分别为AC 、AH 、DH 、BC 的中点。

第5讲 图形的分割【专题精华】在研究用直线、圆等图形分割平面时，我们一般从简单的情况入手分析。

在研究怎样将一个图形分割成满足某种条件的若干块的问题时，要注意到图形的对称性。

【教材深化】[题1] 5条直线最多将平面分成多少个部分？<敏捷思维> 首先考虑5条直线不太简单，我们先研究一些简单的情况，不难知道： 一条直线最多将平面分为2个部分；二条直线最多将平面分为4个部分；三条直线最多将平面分为7个部分；四条直线最多将平面分为11个部分；五条直线最多将平面分为16个部分。

<全解> 5条直线最多将平面分成16个部分。

<拓展探究> 针对上面一组数据，我们不难发现二条直线分平面的4部分是在一条直线分平面的2部分的基础上增添了2部分；三条直线分平面的7部分恰好是在二条直线分平面的4部分的基础上增添了3部分；类似地，四条直线分平面的11部分是在三条直线分平面的7部分的基础上增添了4部分……仿照此分析法可以得出，n 条直线最多分平面的部分数为：2+2+3+……+（n-1）+n=22++n n 。

[能力冲浪]1、10条直线最多可以把平面分成多少部分？2、20个三角形最多把平面分成多少部分？3、在平面内画六条直线和一个圆，最多能把平面分成几个部分？[题2] 把一个正方形分成形状相同，面积相等的四个图形。

<敏捷思维> 本题是均分图形，答案有多种，既可以用线段分割，也可以用曲线分割，无论是用线段分割，还是用曲线分割，经过旋转，每一种又可以得到很多种分法。

<全解>1、分割线是线段的22、分割线是曲线的。

3、如果选择其中一种，把它的分割线想象成风车的叶轮，让它们旋转起来，还可以得到更多的方法。

如：旋转图⑤可得到下面的图。

如：旋转图⑨，可得到下面的图<拓展探究> 像这类题目，可以凭直觉，先找出部分分法，然后借出想象，“旋”出无数分法。

[能力冲浪]1、将如下图所示的三角形，分成面积相等的4块，你有几种分法？请把各种分法画出来（每种不同的分法思路，用一个图表示）。

图形的分割图形的分割是指将一个图形分割成互不重叠、互不相交的若干个子图形的过程。

在图像处理、计算机视觉等领域中，图形的分割是一项重要的技术，它可以帮助我们识别图像中的不同部分，进而实现诸如目标检测、边缘检测、图像分割等应用。

一、图形的分割方法1. 阈值分割阈值分割是一种简单直观的图形分割方法，它基于灰度值将图像划分为不同的区域。

通过设置一个阈值，可以将图像中灰度值高于阈值的像素点分到一个区域，灰度值低于阈值的像素点分到另一个区域。

这种方法适用于图像中目标与背景之间明显的灰度差异较大的情况。

2. 基于边缘的分割基于边缘的分割方法是利用图像中的边缘信息来实现图形的分割。

通常情况下，图像中不同区域之间的边界往往具有明显的灰度跳变，通过检测这些跳变可以找到图像的分割边界。

常见的边缘检测算法包括Sobel、Canny等。

3. 区域生长分割区域生长分割是一种基于区域的分割方法，它从种子点开始，通过迭代的方式不断将相邻像素与种子像素合并到同一个区域中，直到满足一定的生长准则为止。

区域生长分割方法适用于目标区域较大，且与背景之间的灰度差异较小的图像。

二、图形分割应用图形的分割在各种领域中有着广泛的应用，下面列举几种常见的应用场景：1. 医学图像分割在医学影像学中，图像的分割可以帮助医生识别出图像中的不同组织结构，如肿瘤、血管等，从而实现疾病的诊断和治疗。

2. 遥感图像分割在遥感领域，图像的分割可以帮助我们识别出地表上不同的地物，如建筑物、道路、植被等，从而实现诸如城市规划、资源管理等应用。

3. 自动驾驶在自动驾驶领域，图像的分割可以帮助自动驾驶系统识别出道路标志、行人、车辆等，从而实现自动规划路径、避障等功能。

三、总结图形的分割是一项重要的图像处理技术，它在各种领域中都有着广泛的应用。

不同的图形分割方法适用于不同的应用场景，选择合适的分割方法可以帮助我们更好地实现图像分析、识别和处理的目的。

通过不断的研究和探索，图形的分割技术将会不断得到改进和完善，为我们的生活和工作带来更多的便利和效益。

幼儿园中班教案《图形的分割》含反思（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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大班数学活动教案：图形的分割与组合教案一、教学目标1.掌握图形的分割与组合的基本概念；2.学会利用简单的几何图形，进行分割与组合的操作；3.培养学生的观察能力、逻辑思维能力和创新能力。

二、教学内容1.图形的分割2.图形的组合三、教学步骤步骤一：导入活动通过观察一些简单的图形，如正方形、长方形、圆形、三角形等引入活动。

步骤二：经验探究1.围绕正方形进行讨论，老师提出如下问题：如果一块正方形巧克力分成9小块以后，每小块是一样的，你会怎样切割巧克力？2.给学生展示一张正方形的图形，引导学生思考：这个正方形能不能被分割成9等份？为什么？3.鼓励学生自己动手切割正方形巧克力，并让学生分享自己的切割方法。

步骤三：系统分析1.编组，每组给一张纵横格子相等的网格纸，组员互相交换图形，进行分割。

分组讨论：用4个小正方形拼成一个正方形，最多和最少需要几次切割。

2.引导学生继续探究，是否有其他方法可以分割出4份相等的小正方形？3.让学生继续探讨不同几何图形分割的方法，并让每个小组用木片、纸片或者其他材料自己制作几何图形，再尝试进行分割。

步骤四：知识巩固1.老师让学生自己制作纸片，以及展示自己的图形，进行分割操作；2.学生进行小组PK，一人先选出一个图形进行分割，另一个小组成员通过猜测分割的方式，看能否恢复原状。

如果不能恢复原状，就改变图形，交给另一个小组成员接着进行分割操作。

四、教学反思通过本次活动，我发现，在分组过程中，学生之间的合作和沟通越来越顺畅，他们也开始真正地理解了图形的分割与组合方法。

在教学过程中，我也意识到了要注意学生的思维方式和学习习惯，尽可能地让他们通过自己的思考和探索，理解知识。

同时，我也更加明白了如何设计有趣、实用的数学活动，提高学生的数学素养。

幼儿园中班教案《图形的分割》教学目标1.能够分辨不同形状的图形，如正方形、长方形、三角形等。

2.能够在纸上使用直线将图形分割成相等的部分，对应实际生活中的切割蔬菜、水果等的操作。

3.能够通过分割后的形状判断分割前形状的整体和部分关系。

4.培养观察能力和空间想象力。

5.呈现学习成果。

教学内容本堂课的主要内容是“图形的分割”。

通过图形分割的实践、思考、交流，让幼儿们逐渐建立起对图形形状、分割方式、部分和整体的认识和理解。

教学准备1.确定教学目标：在教案中，需要确定好教学目标，找到适合幼儿学习的方式，对幼儿有明确的导向。

2.准备教具：在本课程中，需要准备纸张、颜料、颜色笔、颜色卡片、剪刀、胶水、色带等。

3.建立学习环境：为了使幼儿保持专注，建立一个干净、安静、舒适、整洁的学习环境是非常重要的。

教学步骤第一步：引入主题1.激发幼儿的学习兴趣，例如：通过积木、玩具比较不同形状，帮助幼儿理解形状的概念；通过观察图形，帮助幼儿认识不同形状的特点。

2.引导幼儿回忆日常生活中，我们常常需要将蔬菜、水果等食材切割成相等的部分，尝试让幼儿进行相应的分割练习。

第二步：分组练习1.分组活动，让幼儿自由分组。

2.每个小组分配一些不同形状的卡片或纸张，并提供颜色笔。

3.让幼儿通过手眼协调、剪纸、折纸、用颜色笔画画等方式进行各种形状的创造和分割，鼓励他们进行自由探索和尝试。

4.在这个环节，要注意及时给予幼儿重要的帮助和鼓励。

第三步：归纳总结1.活动结束后，请幼儿将自己完成的作品进行分享和展示。

2.经过幼儿自己的再创造、再设计，不同形状的图形不再是孤立的事物，他们更明确地把图形之间的联系和转换清晰化。

第四步：教学反思1.教学的活动与目标配合度高，激发了幼儿的学习兴趣，增强了他们对图形的认知。

2.教学设计重点是要尊重幼儿的个体差异，及时给予幼儿个性化的关心与引导。

3.教学中互动方面要注意，及时地为幼儿提供鼓励和帮助，避免过度干预。

幼儿园中班教案《图形的分割》含反思教学目标1.了解正方形、三角形、矩形2.能够观察、辨认和分割图形3.能够自主分割图形并用颜色涂色教学准备1.黑板、白板、彩笔干、水杯2.各种图形的卡片（正方形、三角形、矩形）3.颜色彩笔4.课程设计表5.安全保障材料（手消毒液、纸巾、医疗箱）教学步骤第一步：引入1.引导孩子们观察展示在黑板上的各种形状图形，并提出观察问题2.帮助孩子们辨认出正方形、三角形、矩形及其特点第二步：整体学习1.让孩子们在黑板上观察三种不同形状的图形2.让孩子们来涂色和分割正方形、三角形、矩形3.孩子们需要根据自己的喜好设计颜色第三步：理解掌握1.孩子们在不同图形的分割中进行练习2.同时老师也给出一些分割情境的示例3.孩子们通过它们的观察辨别和思考，最终理解分割的概念第四步：实践应用1.卡片分发：让孩子们拿到自己喜欢的卡片2.挑战任务：让孩子们自主设计自己的卡片，并完成对卡片的分割3.让每个孩子将自己的分割的卡片展示出来，分享自己的成果反思与总结1.教师应该在使用新教学模式时保持耐心和谦虚的态度，理解和尊重孩子们的个性化特点2.教师应该多运用各种不同的教学方法来引导孩子们主动参与课堂学习3.教师应该不断地对自己的课堂教学内容进行反思和总结，不断地修正和创新教学模式通过这门课，孩子们通过看图和做图片实现了开发思维、提高颜色辨别能力。

教师应该多考虑孩子们的精神世界和兴趣爱好，为他们提供一个开心的学习环境。

对于孩子们的教学评价，要注重主客观评价相结合。

让孩子们更好地理解、掌握知识，同时也保持学习的愉悦感。

分割图形是几何学中一个非常有趣味的课题，研究图形的分割问题不仅可以增强对几何图形的直观感受和判断能力，丰富对图形的想象力，提高数学思维能力，而且还有一定的实用价值.一、将正方形分割成若干个小正方形1926年前苏联数学家鲁金对“完美正方形”的存在提出了猜想.所谓“完美正方形”，是指它可以分割成一些边数各不相等且边长为整数的正方形.分割成小正方形的个数称为它的阶.1936年这个问题引起了英国剑桥大学三一学院的四个学生塔特、斯通、布鲁克斯、史密斯的兴趣.他们当时考虑了这样一个问题：把一个矩形分割成边长各不相等的正方形.值的说明的是,当时人们已经知道长为33、宽为32的矩形可以作正方形分割，如图1.斯通从一开始就怀疑“完美正方形”的存在，然而无法证实自己的想法；而其余三人则致力于寻找一个实际存在的“完美正方形”，但是几经失败后也开始倾向于斯通的看法.图1就在一筹莫展之际，柏林的施柏拉格居然找到了一个真实存在的“完美正方形”.这无疑是对塔特、斯通等人的一记闷棍，然而他们并没有气馁，很快改变了自己的研究方向.在理论的指导下，在1938年终于找到了一个由39个不同整数边的正方形组成的大正方形，被称为“39阶完美正方形”，如图2.这一成果大大增强了他们继续研究的信心，通过研究，发现了宽为176、长为177的矩形可分为边长不等的11个长方形（如图3）.光阴流逝，一晃过去了几十年，当年的大学生都成了蜚声数坛的组合数学专家和图论专家，他们的研究成果被成功地运用到电子、化学、建筑学、运筹学、通讯学和计算机等多个领域，成为造福人类的有力工具.图2图3数贝拾海601964年，塔特的学生威尔逊博士找到了一个25阶的完美正方形，后来这个图形保持了12年的最佳记录，直到威尔科克斯所创造的24阶完美正方形（如图4）.图41978年荷兰数学家特温特技术大学的杜依维斯廷，用大型电子计算机找出了一个21阶的完美正方形（如图5）.1962年荷兰数学家丢伐斯丁证明了小于或等于19阶的完美正方形不存在；1978年他又证明了20阶的完美正方形不存在，因而可以断定：21阶完美正方形是最小阶“完美正方形”，这个结论也同时被前苏联数学家鲁奎所证明.图5那么如何将矩形分割为边数各不相等且边长为整数的正方形呢？办法是先作一个草图，然后用尽可能少的未知数标出每个正方形的边长，再写出这些边长应满足的关系式，最后再求解这个方程组.图6如图6，先设相邻三个正方形的边长分别为x、y、z，然后按下列顺序求出其余正方形的边长：x+y、2x+y、y-z、y-2x、y-3z、2y-5z.由矩形对边相等的性质，可得出(2y-5z)+(y-2x)+(y-z)=(2x+y)+(x+y)，（2x+y)+(2y-5z)=(x+y)+y＋(y-z)3x-2y+8z=0,x-4z=0.令z=1，得x=4，y=10.这样便求得矩形被分割后的三个正方形的边长.下面我们再来看177×176的矩形是怎样分割成边数各不相等且边长为整数的正方形的.如图7，用两个未知数x，y表示所有正方形的边长，由矩形的水平边长相等得，(9x-5y)+(-2y)=(2x+5y)+(x+2y)+(x+y)+(2x+y)，即9x-16y=0，解得x=16、y=9，于是得到177×176矩形被分割后的正方形的边长.图71992年，布卡姆和杜伊维斯廷给出了21-28阶全部207个完美正方形：截至2018年，已经知道的21-35阶完美正方形的个数为：1，8，12，30，172，541，1372，3949，10209，26234，71892，196357，528866，1420439，3784262.二、将正方形分割成若干个直角三角形将一个正方形分割成若干个边长不相等的直角三角形，且使正方形的边长尽可能小，分割后的直角三角形数目也尽可能地少.这一问题最早由日本的铃木昭雄提出.至今虽然取得一些进展，但似乎看不见最终的结论.1966年，有人将一个边长为39780的大正方形分割若干个三角形；在以后的15年内，人们找到了20种数贝拾海61将边长在1000以下的正方形分割为三角形的方式.1968年，有人将边长为1248的正方形分割为5个直角三角形，如图8.1976年，有人将边长为48的正方形分割为7个直角三角形，如图9.以上分别是分割的直角三角形数最少和大正方形边长最小的，迄今为止的最好纪录.图8图9三、将正方形分割成若干个锐角三角形将一个正方形分割成若干个锐角三角形，要求分割的锐角三角形的个数尽可能少（虽不要求边长为整数）也是让人感兴趣的问题.如图10、图11、图12、图13分别是将正方形分割成11个、10个、9个、8个锐角三角形的图形，将正方形分割成8个锐角三角形是一种巧妙的方法，要想再减少锐角三角形的个数是不可能的.有趣的是，人们证明了如下事实：用边长分别为1、2、3……的正方形去覆盖平面，至少可以铺满整个平面的四分之三；还有人已经证明：要用边长大小不等的小正方体去填满一个大正方体是不可能的，亦即完美正方体是不存在的.图10图11图12图13四、分割其他图形如果把三角形、平行四边形分割成大小完全不同的正三角形，人们发现这种分割方式是不存在的.如果降低某些要求，比如允许某些正三角形边长相等，则可以找到这种分割方式.可将一个平行四边形分割成13个小正三角形（据称这是最小阶数的分割），如图14；可将一个正三角形分割成15个小正三角形，如图15.如果把正三角形记为“+”，把倒三角形记为“-”，在某种意义下，这种分割方式是完美的，那么图14、图15都可视为是完美分割图形.图14图15至此，数学家们的研究并没有停止，他们还将完美分割图形的问题推广到莫比乌斯带、圆柱面、环面和克莱因瓶上，也取得了许多有趣的成果.数贝拾海62。

.图形的分割知识解析：把一个几何图形按某种要求分成几个图形，就叫做图形的分割．反过来，按一定的要求也可以把几个图形拼成一个完美的图形，就叫做图形的拼合．将一个或者多个图形先分割开，再拼成一种指定的图形，则叫做图形的剪拼．我们在图形的分割、拼合和剪拼的过程中，都要结合所提供的图形特点来思考．（1）如果把一个图形分割成若干个大小、形状相等的部分，那么就要想办法找图形的对称点，把图形先分少，再分多．（2）图形中，如果有数量方面的要求，可以先从数量入手，找出平分后每块上所含数量的多少，再结合数量来分割图形．（3）如果是要把几个图形拼合成一个大图形，要特别注意每条边的长度，把相等的边长拼合在一起，先拼少的，再拼多的．（4）如果是剪拼图形，要抓住“剪、拼前后图形的面积相等”这个关键，根据已知条件和图形的特点，通过分析推理和必要的计算，确定剪拼的方法．实战演练：模块一、图形的分割【例 1】用一条线段把一个长方形平均分割成两块，一共有多少种不同的分割法？【巩固】画一条直线，将六边形分成大小相等、形状相同的两部分，这样的直线有条．【例 2】下图是一个3×4的方格纸，请用四种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方格的完整．【巩固】下图是一个4×4的方格纸，请用五种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方格的完整．【例 3】图中是由三个正三角形组成的梯形．你能把它分割成4个形状相同、面积相等的梯形吗?【例 4】已知左下图是由同样大小的5个正方形组成的．试将图形分割成4块形状、大小都一样的图形．【例 5】学习与思考对小学生的发展是很重要的，学习改变命运，思考成就未来，请你将下图分成形状和大小都相同的四个图形，并且使其中每个图形都含有“学习思考”这四个字．应怎样分?【巩固】请把下面这个长方形沿方格线剪成形状、大小都相同的4块，使每一块内都含有“奥数读本”这四个字中的一个，该怎么剪?课后练兵：【作业1】怎样把一个等边三角形分别分成89块形状、大小都一样的三角形．【作业2】如右图所示是由三个正方形组成的图形，请把它分成大小、形状都相同的四个图形？【作业3】图是由五个正方形组成的图形．把它分成形状、大小都相同的四个图形，应怎样分？。

图形的分割教案教案标题：图形的分割教案目标：1. 学生能够理解图形的分割概念。

2. 学生能够使用不同的方法将图形进行分割。

3. 学生能够应用图形分割的知识解决问题。

教学重点：1. 图形的分割概念。

2. 图形分割的方法。

3. 图形分割的应用。

教学难点：1. 学生能够理解和应用图形分割的概念。

2. 学生能够选择合适的方法进行图形分割。

教学准备：1. 教师准备多种不同形状的图形模型。

2. 教师准备白板、彩色粉笔或幻灯片展示图形。

教学过程：引入活动：1. 教师出示一个图形模型，例如一个正方形，问学生这个图形是否可以分割成两个相等的部分。

2. 引导学生思考图形分割的概念，并讨论他们的想法。

探究活动：1. 教师出示不同形状的图形模型，例如矩形、三角形、圆形等，并引导学生讨论如何将这些图形分割成两个相等的部分。

2. 学生在小组内合作，使用纸板或其他材料模拟图形分割，尝试不同的方法。

3. 学生展示他们的分割方法，并与全班分享。

讲解与练习：1. 教师讲解图形分割的方法，包括水平分割、垂直分割和对角线分割。

2. 教师出示一些图形，要求学生使用不同的方法进行分割，并解释他们的思路。

3. 学生在小组内练习分割图形，并相互提供反馈和建议。

拓展活动：1. 教师出示一些实际问题，要求学生运用图形分割的知识解决问题，例如将一块蛋糕平均分给几个人。

2. 学生在小组内讨论问题，并提出解决方案。

3. 学生展示他们的解决方案，并与全班分享。

总结与评价：1. 教师总结图形分割的概念和方法，并强调学生的学习成果。

2. 学生进行自我评价，回顾自己在学习过程中的收获和困难。

3. 教师给予学生反馈和建议，鼓励他们继续努力。

教学延伸：1. 学生可以尝试分割更复杂的图形，如五边形、六边形等。

2. 学生可以设计自己的图形分割问题，并与同学分享解决思路。

教学资源：1. 图形模型2. 白板、彩色粉笔或幻灯片展示图形3. 纸板或其他材料4. 实际问题的案例注：教案的具体内容和活动安排可以根据教育阶段和学生的实际情况进行调整和修改。

图形的分割怎样把一个图形按规定的要求分割成若干部分，这就是图形的分割。

合理分割图形，是很讲究方法和技巧的。

而这种训练，可以培养我们的创造性思维，发展空间观念，丰富想像，提高观察能力。

这里，介绍几种常见的图形分割思维与方法。

一．中心分割法通过图形的中心或边的中心的直线，可以把图形平均分成两部分。

例1．用一条线段把一个长方形平均分割成两块。

解析：过长方形的中心的任意一条直线都可以把长方形平均分割成两块。

例2．在一块长方形的地里有一口正方形的水井。

试画一条线把除井外的这块地平分成两块。

解析：分别找到长方形地和水井的中心，通过这两点的线就能平分。

例3．下图为5个面积为1的正方形拼成的。

试用一直线将此图形划分为面积相等的两块。

例4．用一条线把一个梯形分割成两块面积一样大小的图形。

解析：找到上底、下底的中点，过两点画的线就能把梯形平分成两块。

二．旋转分割法例5．将图1中的正方形分割成形状和大小一样的4块，并且每一块恰好都有1、2、3、4这4个数字。

解析：正方形分割成4块，根据它的中心对称性，一般是从中心点分开的，只要找到其中一块的大小和形状，那么围绕中心点旋转90°，就会得到第二块，接下来，每次转动90°，都会得到第三块，第四块。

该题中，怎样找出关键的第一块呢？因为每一块中只能有1、2、3、4这四个数字，所以相同的两个数字必须分开。

我们先将两个并列在一起的“4”分开，在两个“4”间画一段划分线，然后将它分别绕中心点旋转90°、180°、270°，得到另外3段划分线。

照此方法，画出所有数字的划分线，如图2。

中间的4个小方格，必然分别属于4小块的，因此必须分开。

这个正方形的面积是8*8=64所以，分开后的4块各有16个小正方形，在图2的基础上，从最里层开始，沿着划分线，根据题意，就容易得到图3。

例6．请将图1所示的正方形分成两块，使得这两块的形状和大小都相同，并且每一块中都含有A、B、C、D、E这五个字母。

图形分割小学数学班教案一、教学目标：1. 让学生掌握图形分割的基本概念和方法。

2. 培养学生观察、思考、动手操作的能力。

3. 培养学生合作学习的精神和解决问题的能力。

二、教学内容：1. 图形分割的概念：将一个图形分成几个部分的过程。

2. 图形分割的方法：切割法、划分法、折叠法等。

3. 常见图形的分割：正方形、长方形、三角形、圆形等。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：图形分割的基本概念和方法。

2. 教学难点：图形分割的创意方法和实际应用。

四、教学准备：1. 教学材料：彩色纸张、剪刀、胶水、画笔等。

2. 教学工具：投影仪、白板、黑板等。

五、教学过程：1. 导入：通过展示一些分割后的美丽图形，激发学生的兴趣，引出本课的主题。

2. 基本概念：讲解图形分割的概念，让学生理解图形分割的意义。

3. 方法讲解：介绍图形分割的方法，如切割法、划分法、折叠法等。

4. 动手实践：让学生分组进行图形分割实践活动，培养学生的动手操作能力。

5. 创意展示：鼓励学生发挥创意，将图形分割出独特的图案，进行展示和交流。

6. 应用拓展：引导学生思考图形分割在实际生活中的应用，如设计、建筑等。

8. 作业布置：让学生课后继续探索图形分割的方法和应用，准备下一节课的分享。

9. 板书设计：设计简洁清晰的板书，帮助学生理解和记忆图形分割的概念和方法。

六、教学评价：1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的积极参与情况，包括发言、提问和小组讨论等。

2. 动手操作能力：评估学生在实践活动中的动手操作能力，如图形分割的准确性和创意性。

3. 创意展示：评价学生的创意表现，鼓励有创造性和独特性的作品。

4. 小组合作：评估学生在小组合作中的表现，包括沟通、协作和解决问题等能力。

5. 作业完成情况：检查学生课后作业的完成质量，包括图形分割的方法应用和思考题的回答。

七、教学拓展：1. 图形分割与设计：引导学生将图形分割应用于设计领域，如制作卡片、装饰品等。

2. 图形分割与建筑：介绍图形分割在建筑设计中的应用，如平面布局、结构设计等。