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高数 2009级期中考试题

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五、 （本题满分7分）
f ( x) , x0 设 f ( x) 的二阶导函数连续， f (0) 0，定义 g ( x) x , f (0), x 0 1. 求 g ( x). 2. 证明 g ( x) 连续.
1.【解】当 x 0 时， g ( x) 因为 lim g ( x) lim
x0
.
x0
2.【证】显然 g ( x) 在 ( ,0) (0, ) 上连续， 又 lim g ( x) lim
x 0
xf ( x) f ( x) f ( x) xf ( x) f ( x) xf ( x) LH lim lim 2 x 0 x 0 x 2x 2x f ( x) f (0) lim g (0) ， g ( x) 在 x 0 点连续, x0 2 2
n
3
.
1 x 2. lim x 0 ln( 1 x) x 2 sin
0
.
x sin x (cos x ln x sin x )dx x .
3. 设y x sin x ( x 0) ，则 dy
1 e tan x , x0 x 4. 设函数 f ( x) arcsin 在x 0处连续 , 则 a 2 2x x0 ae ,
x a
( D ) x a不是f ( x)的极值点， ( a, f ( a ))也不是曲线 y f ( x)的拐点
三、按照要求完成下列各问题（本题共5小题，每小题5分，满分25分）
1. 求 lim (cos x) ln(1 x ) .
x0
2
第 1 页 （共 5 页）
中国石油大学(北京)2008-2009学年第一学期《高等数学》(Ⅰ)期中试题参考答案 【解】
因为当 x a 时， f ( x ) k ，所以 f ( ) k ，
f (a) f (a) f (a) f (a) ) f (a) f ( )( ) k ( ) f (a), 故 f (a ) 0。 k k k k f (a) ) 内有实根。 又 f (a) 0 ，由零点定理知， f ( x) 0 在区间 ( a, a k f (a
B
).
( B) 有可去间断点 x 0 ( D) 有跳跃间断点 x 0 ). ( D) 3
(C ) 2
5. 设 f ( x)的导数在 x a处连续，又 lim ( A) x a是f ( x)的极小值点 (C ) x a是f ( x)的极大值点
1
f ( x) 1, 则( C ). xa ( B ) ( a, f ( a ))是曲线 y f ( x)的拐点
x x0
A
).
( A) 必要但非充分条件 (C ) 充分必要条件
( B ) 充分但非必要条件 ( D ) 既非充分也非必要条件
2. 当 x 0 时, e x cos x 是 x 2的 (
2
D
).
( A) 等价无穷小 ( B) 高阶无穷小 (C ) 低阶无穷小 ( D) 同阶但不等价的无穷小
而当 x a 时， f ( x ) k 0 ， 所以 f ( x) 在 [ a, ) 上单调递增，从而 f ( x) 0 在区间
( a, a
f (a) ) 内有且仅有一个实根. k 1 a
1 2 d2y 2 1 t . 2t dx 2 4t 1 t2
dy . dx
4. 设函数 y y ( x)由方程 xe f ( y ) e y 确定 , 其中 f 可导，且 f 1，求
【解】对方程 xe
f ( y)
e y 两边同时对 x 求导，注意 y 是 x 的函数，
1 ln(1 x2 ) cos x 1 原式 lim ( 1 cos x 1 ) x0 cos x 1
cos x 1 又 lim lim x0 ln(1 x 2 ) x0 1 原式 . e
1 x2 2 1 x2 2
1 4 3
1 x
sin x 2 ex sin x 2e x e x 由 lim e ， 得 lim ( ) lim lim lim 1 0 1 1 ， 4 4 4 x 0 x0 x0 x0 x0 |x| x x x x 1 e 1 e e 1
x 0
从而 g ( x) 在 (,) 上处处连续. 六、 （本题满分7分）
设 f ( x)在[a,)上连续可导 , 且当 x a时，f ( x) k 0, 其中k 为常数， f (a) 试证：若 f (a ) 0，则方程 f ( x) 0 在 (a , a ) 内有且仅有一个实根 . k f (a) 【证明】 f ( x) 在区间 [a, a ] 上满足拉格朗日中值定理的条件，故 k f (a) f (a) f (a) f (a) f (a ) f (a) f ( )(a a) f ( )( ) ， ( a, a )。 k k k k
1 1 x 5 cos ， x 0 3. 设函数 f ( x) , 则函数 f ( x) ( x 1 ， x 0
( A) 在x 0处左极限不存在 (C ) 在x 0处右极限不存在 4. 方程 x 3 2 x 2 6 x 3 0 的实根个数为 ( ( A) 0 ( B) 1 B
中国石油大学(北京)2009-2010学年第一学期 《高等数学》 (Ⅰ)期中试题参考答案( 2009.11.28.) 题号 得分 一 20 二 20 三 25 四 7 五 7 六 7 七 7 八 7 总分 100
一、填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）
1
1. lim (1 2n 3n ) n
从而 f (1) 2 . 又因为 f ( x 5) f ( x) ，所以 f (6) f (1) 0, f (6) f (1) 2 ， 故曲线 y f ( x) 在点 (6, f (6)) 处的切线方程为 y 2 x 12 . 四、 （本题满分7分） 当 x 0 时, 证明 e
2
2
.
5. f ( x) e x 1 在x 0 处带有拉格朗日余项的 一阶泰勒公式为 f ( x) e (1 2 2 ) x 2 (在0与x之间） .
2
二、选择题（本题共5小题，每小题4分，满分20分．在每小题所给出的四个选项中，只有 一个选项符合题目要求）
1. 函数 f ( x) 在 x0 的某去心邻域内有界是 lim f ( x) 存在的 (
e f ( y ) xe f ( y ) f ( y )
dy dy ey ， dx dx
dy e f ( y) e f ( y) 1 y f ( y) f ( y) dx e xe f ( y ) xe (1 f ( y )) x(1 f ( y ))
5. 已知 f ( x)是周期为 5 的连续函数 ，它在 x 0的某个邻域内满足关系 式 f (1 sin x) 3 f (1 sin x) 8 x ( x), 其中 ( x)是当 x 0 时比 x 高阶的无穷小，且 f ( x) 在 x 1处可导，求曲线 y f ( x)在点(6, f (6)) 处的切线方程.
1 2 e x sin x 2. 求 lim . 4 x0 x 1 ex
【解】 lim e 0, 得 lim (
x 0
x0
1 x
2e 1 e
1
1 x
4 x

sin x 2e sin x ) lim lim 2 1 1 ， 4 x 0 x 0 | x| x 1 e x
x 0
xf ( x) f ( x) ， x2
x 0
f ( x) lim f ( x) f (0) g (0), 所以 g ( x ) 在 x 0 点连续， x 0 x
f ( x) f (0) f ( x) xf (0) / f ( x) f (0) x lim L H lim 2 x 0 x 0 x x 2x
【解】由已知关系式得 lim [ f (1 sin x) 3 f (1 sin x)] lim [8 x ( x)] 0 ，
x 0 x 0
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中国石油大学(北京)2008-2009学年第一学期《高等数学》(Ⅰ)期中试题参考答案 由 f ( x) 连续， lim [ f (1 sin x) 3 f (1 sin x)] f (1) 3 f (1) 2 f (1) ，从而 f (1) 0 ,
g ( x) g (0) g (0) lim lix 0
f ( x) f (0) ， 2 2
第 3 页( 共 5 页)
中国石油大学(北京)2008-2009学年第一学期《高等数学》(Ⅰ)期中试题参考答案
xf ( x) f ( x) x2 则 g ( x) f (0) 2
x 0
lim
又
x 0
f (1 sin x) 3 f (1 sin x) 8 x ( x) lim 8， x 0 x x
lim
f (1 sin x) 3 f (1 sin x) f (1 sin x) 3 f (1 sin x) sin x lim [ ] x 0 x 0 x sin x x f (1 sin x) 3 f (1 sin x) f (1 sin x) f (1) f (1 sin x) f (1) lim lim [ 3 ] x 0 x 0 sin x sin x sin x f (1 sin x) f (1) f (1 sin x) f (1) lim 3 lim f (1) 3 f (1) 4 f (1) ， x 0 x 0 sin x sin x

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2009西安交大高数期中考试

2009西安交大高数期中考试

13、（本小题4分）真空中有一平面电磁波，其电矢量沿x轴振动，相应的波的表达式为
，式中c为电磁波在真空中的传播速率，则该电磁波沿_________
方向传播，磁矢量 沿___________振动。
二、计算题（共42分）
1、（本小题10分）三个同方向、同频率的简谐振动为
， ， ，
试求合振动的表达式。
2、（本小题10分）在真空中有A、B两个点电荷，带电量分别为 和 ，相距为 ，它们都以角速度 绕 轴转动（自上向下看逆时针转动）， 轴与 连线相垂直，其交点为 ，与正电荷相距 ，如图所示，求 点处的磁感应强度 。
2、（本小题6分）两根长直导线通有电流I，图示有三种环路；在每种情况下，
等于：
______________________________(对环路a)。
______________________________(对环路b)。
______________________________(对环路c)。
3、（本小题4分）一半径为R的细长带电圆柱面，其电荷面密度均匀为 ，当圆柱面以匀
角速度 绕其轴线旋转时，圆柱面内部磁感应强度大小为__________________。
4、（本小题2分）有一根无限长直导线绝缘地紧贴在矩形导体线圈的中心轴OO′上，
则直导线与矩形线圈间的互分）一矩形线框长为a宽为b，置于均匀磁场 中，线框绕OO′轴，
以匀角速度旋转(如图所示)。设t=0时，线框平面处于纸面内，则任
一时刻感应电动势的大小为______________。
6、（本小题4分）在某个电子感应加速器中，从上向下看时，电子沿逆时针方向旋转，如图
所示。则电子正在加速运动时，加速器中的磁场方向应该是垂直于纸面（填进去或
2009学年度第二学期高年级文科数学期中试卷

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北京四中2008—2009学年度第二学期高二年级文科数学期中试卷（试卷满分：150分 考试时间：120分钟）A 卷 本卷满分：100分一、选择题（每题5分，共60分）1. 已知点P 是曲线1x 2x y 3++=上的一点，过点P 的切线l 平行于直线3x 2y -=，则切线l 的方程是（ ）A. 1x 21y +-=B. 1x 2y +=C. y=2xD. x 2y 1x 2y =+=或 2. 函数x x 1)x ('f )x (f -=的导函数为，则f(x)的单调递增区间是（ ） A. )0,(-∞ B. ),1(+∞ C. （0，1） D. ),1()0,(+∞-∞3. 已知复数i )6m m ()4m (z 22--+-=是纯虚数，则实数m=（ ）A. 2±B. 2-C. 2D. 34. 用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，应假设（ ）A. 三内角都不大于60°B. 三内角都大于60°C. 三内角至多有一个大于60°D. 三内角至多有两个大于60°5. 函数)1x ()1x (y 2-+=在x=1处的导数值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 46. 设函数)x (f y =的导函数)x ('f y =的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是（ ）A. x a y =B. x log y a =C. x xe y =D. x ln x y =7. 设2i 1i 1a ,R a +++∈且是实数，则a=( ) A. 21 B. 1 C. 23 D. 2 8. 若)2x ln(b x 21)x (f 2++-=在区间),1(+∞-上单调递减，则实数b 的取值范围是（ ） A. ),1[+∞- B. ),1(+∞- C. ]1,(--∞ D. )1,(--∞9. ),0()x (f +∞是定义在上的可导函数，且满足0)x (f )x ('xf ≤+，对任意正数a ，b ，若a<b ，则必有（ ）A. )a (bf )b (af ≤B. )b (af )a (bf ≤C. )b (bf )a (af ≤D. )a (af )b (bf ≤ 10. 函数d cx bx ax )x (f 23+++=的图象如图所示，且f(x)在0x x =与x=2处取得极值，则)1(f )1(f -+的值一定（ ）A. 等于0B. 大于0C. 小于0D. 小于或等于011. 定义在R 上的函数f(x)满足)y (f )x (f )y x (f +=+，R y ,x ∈，且f(1)=2，有下面的四个式子：①)1(nf )1(f 2)1(f +++ ；②⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2)1n (n f ；③)1n (n +；④)1(f )1n (n +，则其中与)n (f )2(f )1(f +++ 相等的有（ ） A. ①③ B. ①②C. ①②③D. ①②③④ 12. n 个连续自然数按如下规律排成下表，根据规律，从2008到2010的箭头方向依次为（ ） 03 →4 7 → 8 11… ↓ ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ 1→ 2 5 → 6 9 → 10 A. ↓ → B. → ↑ C. ↑ → D. → ↓二、填空题（每题5分，共20分）13、计算：=+-i43i 23___________。

09级高等数学下学期期中试题

09级高等数学下学期期中试题

1 1．交换积分⎰⎰21ln 0),(x dy y x f dx 的积分顺序。

2．求由曲面22y x z +=与224y x +=以及0=z 所围区域的体积。

3．设平面薄板D 以1,0,===x y x y 为边界，其上每一点密度y y x =),(ρ，求此平面薄板的质量。

4．计算三重积分⎰⎰⎰+Ωdxdydz y x xz 22， 其中Ω是由222y x z --≤与22y x z +≥所确定的区域。

5．计算积分⎰L xyds ，其中L 是上半圆周：0,122≥=+y y x . 6．计算xdz zdy ydx L ⎰++，其中L 是从)1,2,1(A 到)0,0,0(B 的直线段。

7．计算dy x e dx y x e y Lx )()(32+++⎰， L 是由,2x y =1,0==x y 所围平面区域的正向边界。

8．计算dS z⎰⎰∑1，其中曲面∑是4222=++z y x 被22y x z +=所截的部分。

9．求⎰⎰=∑dxdy z I 2，其中∑是22y x z +=介于1=z 与2=z 之间部分曲面的外侧。

10．求⎰⎰++=∑zdxdy ydzdx xdydz I 32， 其中曲面∑是上半球面222y x z +-=的内侧。

11．求2)'('''y y y +=的通解。

12．求0sin 22=-+x y dxdy xy 的通解。

13．若 0)()3(2=++++dy bxy e dx y e aye x x x 是全微分方程，则b a ,该为何值？并求此种情况下微分方程的通解。

14．求x x e y y x 2sin +=-''的通解。

高等数学：2009期中试题

高等数学：2009期中试题

高 等 数 学 期 中 考 试 试 题（2009年11月）一． 填空题 (每空4分，共20分)1. 设处可导，在a x x f =)(则 1)()2(lim 20---+→x x e x a f x a f = . 2. =--+∞→)23(lim 2323x x x x x _______. 3．=-∞→531sinlim 23x x x x ___________. 4. =⎩⎨⎧=+=-=1222|,arctan )1ln(t dx y d ty t x 则设___________. 5.==-==0|d 2)(x y y x x y y xy 所确定，则由方程设______________.二. 单项选择题 (每小题4分，共20分)1. 设数列}{n a ,}{n b 满足不存在lim 存在lim ）（，n n n n n n b a b a +∞→∞→，则}{n a ,}{n b (A ) 可能都收敛； (B ) 可能都发散；(C ) 必有一个收敛； (D ) 必有一个无界..)(;)(;)(;)(.____|sin |112)(0.221可去间断点无穷间断点跳跃间断点振荡间断点的是函数D C B A x x ee xf x x x-++== 3. 当0x →+0时，x x x ++是x cos 1-的_____ 阶无穷小量. (A ) 21； (B ) 31； (C ) 41； (D ) 81. .2,2)(;3,3)(;1,1)(;1,1)(._____)1,1(12.432-===-=-===-=+=++=b a D b a C b a B b a A y x y b ax x y 处相切，则在点与若曲线 5. 设处在则0)(,1cos )(7.1==x x f xx x f _______. (A ) 不连续; (B ) 连续不可导; (C ) 可导但导函数不连续; (D ) 导函数连续.1. ()nn n 121lim +++→∞ ;2．)1ln(2022lim x xx x e -→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+;3.)2cos 1)(sin (tan 2tan lim 40x x x xx x --→.1. 已知0|,arcsin )(),2323(=='-+=x dx dy x x f x x f y 求;2.y x x y x '+=求设,)(cos sin ;3.).0(,cos 2)99()(2y y x x y n 与求设=五．(6分) 证明: 函数处的二阶导数不存在在0|sin |)(==x x x x f .六．(6分).lim }{,,11,,11,1111121n n n n n n x x x x x x x x x ∞→--++=++==收敛并求极限证明设七．(6分),0)(lim ,0)(lim ),0()(00<=>=+∞+∞→+→B x f A x f x f x x 内连续，且在设 .0)(=ξξf ，使求证：至少存在一点。