山西省运城市景胜中学2020-2021学年高一上学期9月月考数学试卷及答案

河津二中2021届高三上学期9月第一次月考数 学文试 卷时间120分钟第一卷一、选择题〔本大题共12小题，每题5分，总分值60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.〕1、 集合U=}{1,2,3,4,5,6，S=}{1,4,5,T=}{2,3,4,那么()U S C T ⋂等于〔 〕 A }{1,4,5,6 B }{1,5 C }{4 D }{1,2,3,4,5 2、曲线321y x x =-+在点()1,0处的切线方程为〔 〕A 1y x =-B 1y x =-+C 22y x =+D 22y x =-+3、函数()2log 2y x =+的定义域为〔 〕A (]),13,-∞-⋃+∞⎡⎣B ())(,13,-∞-⋃+∞ C (]2,1-- D (])2,13,--⋃+∞⎡⎣4、幂函数y ＝()f x 的图象经过点1(4,)2，那么(2)f =〔 〕A ．14B ．22C ． 4D ． 2 5、以下说法中，正确的选项是 〔 〕A ．命题“假设22am bm <，那么a b <〞的逆命题是真命题.B ．命题“x R ∃∈，20x x ->〞的否认是：“x R ∀∈，20x x -≤〞 C ．命题“p 或q 〞为真命题，那么命题“p 〞和命题“q 〞均为真命题 D ．x R ∈，那么“1x >〞是“2x >〞的充分不必要条件6、 以下函数中，在其定义域是减函数的是( ) A. 12)(2++-=x x x f B. x x f 1)(= C. ||)41()(x x f = D. )2ln()(x x f -=7、 函数xx x f 2)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是〔 〕 A ．〔3，4〕 B ．〔2，e 〕 C ．〔1，2〕 D ．〔0，1〕8、二次函数4)(2+-=ax x x f ，假设)1(+x f 是偶函数，那么实数a 的值为( )A. -1B. 1C. -2D. 29、设函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-=)2(1)21()2()2()(x x x a x f x是R 上的单调递减函数，那么实数a 的取值范围为( )A ．(-∞，2)B ．(-∞，813]C ．(0,2)D ．[813,2)10、函数22xy x =-的图像大致是〔 〕11、21[1,0]()1(0,1]x x f x x x +∈-⎧=⎨+∈⎩，那么如图中函数的图象错误的选项是〔 〕12、〔文〕函数()f x 的定义域为R ，(1)2f -=，对任意x R ∈，'()2f x >，那么()24f x x >+的解集为〔 〕)(1,A -+∞ )(1,1B - )(,1C -∞- )(,D -∞+∞二．填空题：〔本大题共4小题，每题5分。

2020-2021学年山西省运城市某校高三（上）9月月考数学（理）试卷一、选择题1. 设集合M ={x|1≤x ≤2}，N ={x ∈Z |x 2−2x −3<0}，则M ∩N =( ) A.[1,2] B.(−1,3) C.{1} D.{1,2}2. 已知a +bi(a, b ∈R)是1−i1+i 的共轭复数，则a +b =( ) A.1 B.12C.−12D.−13. 已知向量a →，b →满足|a →|=2，|b →|=1，(a →−b →)⊥b →，则a →，b →的夹角是( ) A.π3 B.π6C.2π3D.5π64. 1943年，我国病毒学家黄祯祥在美国发表了对病毒学研究有重大影响的论文“西方马脑炎病毒在组织培养上滴定和中和作用的进一步研究”，这一研究成果，使病毒在试管内繁殖成为现实，从此摆脱了人工繁殖病毒靠动物、鸡胚培养的原始落后的方法．若试管内某种病毒细胞的总数y 和天数t 的函数关系为：y ＝2t−1，且该种病毒在细胞的个数超过108时会发生变异，则该种病毒细胞实验最多进行的天数为(参考数据：lg 2≈0.3010)( ) A.25 B.26 C.27 D.285. 已知函数 f(x)=(12x −sin x)⋅2x −12+1 ，则函数 y =f(x) 的图象大致为( )A.B.C. D.6. 已知x ，y 满足约束条件 {2x +y ≤4,2x −3y ≤0，x ≥1, 且不等式x +y −a ≥0恒成立，则实数a 的取值范围为( )A.(−∞,3)B.(−∞,53]C.(−∞,3]D.(−∞,1]7. 如图，等边△ABC 为圆锥的轴截面，D 为AB 的中点，E 为弧BC 的中点，则直线DE 与AC 所成角的余弦值为（ ）A.13B.12C.√22D.348. 第24届国际数学大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的．如图，会标是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的一个锐角为θ，且sin θ+2sin (θ+π2)=√5.若在大正方形内随机取一点，则该点取自小正方形区域的概率为( )A.14B.15C.25D.359. 已知抛物线C:y =14x 2的焦点为F ，O 为坐标原点，点A 在抛物线C 上，且|AF|=2，点P 是抛物线C 的准线上的一动点，则|PA|+|PO|的最小值为( ) A.√13 B.2√13 C.3√13 D.2√610. 在四面体ABCD 中，AB =AC =2√3，BC =6，AD ⊥平面ABC ，四面体ABCD 的体积为√3．若四面体ABCD 的顶点均在球O 的表面上，则球O 的表面积是( )A.49π4B.49πC.49π2D.4π11. 已知函数f(x)={4x +3,x ≤0，2x +log 9x 2−9,x >0. 则函数y =f(f(x))的零点所在区间为( )A.(3,72)B.(−1, 0)C.(72,4)D.(4, 5)12. 在△ABC 中，已知AB →⋅AC →=9，b =c ⋅cos A ，△ABC 的面积为6，若P 为线段AB 上的点（点P 不与点A ，点B 重合），且CP →=x ⋅CA →|CA →|+y ⋅CB→|CB →|，则1x +13y+2的最小值为( )A.9B.34C.914D.12二、填空题若(x 2+1x 3)n 展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项为________.已知函数f (x )=x sin x +cos x +x ，则曲线y =f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为________.设F 是双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的右焦点，过点F 向双曲线C 的一条渐近线引垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于点B ，若2AF →=FB →，则双曲线C 的渐近线方程是________.已知函数f (x )=sin (ωx +π6)−12(ω>0)在区间[0,π]上有且仅有3个零点，下述四个结论：①在区间(0,π)上存在x 1，x 2，满足f (x 1)−f (x 2)=2；②f(x)在区间(0,π)上有且仅有2个极大值点； ③ω的取值范围是(2,83]； ④f(x)在区间(0,π8)上单调递增． 其中所有正确结论的编号是________． 三、解答题已知数列{a n }满足12a1−5+22a2−5+⋯+n2an −5=n3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求满足1a 1a 2+1a2a 3+⋯+1an a n+1<19的最大正整数n ．如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠ADC =120∘，且DE//FC ，DE ⊥平面ABCD ，DE =2FC =2.(1)证明：平面FBE ⊥平面EDB ；(2)求二面角A −EB −C 的余弦值．随着生活水平的提高以及人们身体健康意识的增强，人们参加体育锻炼的次数和时间也在逐渐增多，为了解某地居民参加体育锻炼的时间长短是否与性别有关，某调查小组随机抽取了30名男性、20名女性进行为期一周的跟踪调查，调查结果如下表所示：(1)能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地居民参加体育锻炼的时间长短与性别有关？(2)调查小组发现平均每天参加体育锻炼超过1小时的9名女性中有6人参加了广场舞，若从这9名女性中任意选取3人，用X 表示这3人中参加广场舞的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望． 参考数据：参考公式：K 2=n (ad−bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d )(n=a +b +c +d )．已知椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12，F 1，F 2分别是椭圆的左，右焦点，P 是椭圆C 上一点，且△PF 1F 2的周长是6． (1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 经过椭圆C 的右焦点F 2且与C 交于不同的两点M ，N ，试问：在x 轴上是否存在点Q ，使得直线QM 与直线QN 的斜率的和为定值？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．已知函数f (x )=e x−1−x ln x. (1)判断函数f (x )的单调性；(2)设函数ℎ(x )=f (x )−ax −1，讨论当x ∈[1,+∞）时，函数ℎ(x )的零点个数．平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为 {x =2λ−1λ−1,y =λ−3λ−1,（λ为参数，且λ≠1）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2+8ρcos θ+4ρsin θ+16=0． (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知点A 的极坐标为(2√2,π4)，P 为曲线C 1上的动点，Q 为曲线C 2上的动点，QA 的中点为M ，求|MP|的最小值．已知函数f (x )=|2x −1|+|x +1|． (1)解不等式f (x )≤6；(2)记函数g (x )=f (x )+|x +1|的最小值为m ，若a ，b ，c ∈R ，且a +2b +3c −m =0，求a 2+b 2+c 2的最小值．参考答案与试题解析2020-2021学年山西省运城市某校高三（上）9月月考数学（理）试卷一、选择题1.【答案】D【考点】一元二次不等式的解法交集及其运算【解析】解不等式化简集合N,即可求出结果.【解答】解：因为x2−2x−3<0，即(x−3)(x+1)<0，解得−1<x<3，所以N={x∈Z|−1<x<3}={0,1,2}.因为M={x|1≤x≤2}，所以M∩N={1,2}.故选D.2.【答案】A【考点】共轭复数复数代数形式的混合运算【解析】先利用复数的除法运算法则求出1−i1+i的值，再利用共轭复数的定义求出a+bi，从而确定a，b的值，求出a+b．【解答】解：1−i1+i =(1−i)2(1+i)(1−i)=−2i2=−i，∴a+bi=−(−i)=i，∴a=0，b=1，∴a+b=1.故选A.3.【答案】A【考点】数量积表示两个向量的夹角【解析】由两向量垂直的充要条件建立方程求解；另外一个思路是在直角三角形中，由题设直接得到两向量的夹角．【解答】解：设a→，b→的夹角为θ，则0≤θ≤π，因为(a→−b→)⊥b→，所以(a→−b→)⋅b→=a→⋅b→−|b→|2=0.又因为|a→|=2，|b→|=1，所以2|b→|2cosθ−|b→|2=0，即cosθ=12，所以θ=π3.故选A．4.【答案】C【考点】函数模型的选择与应用对数的运算性质【解析】由题意可知2t−1≤108，两边同时取常用对数，利用对数得运算性质即可求出结果．【解答】解：∵y=2t−1，∴2t−1≤108，两边同时取常用对数得：lg2t−1≤lg108，∴(t−1)lg2≤8，∴t−1≤8lg2，∴t≤8lg2+1≈27.6，∴该种病毒细胞实验最多进行的天数为27天.故选C.5.【答案】D【考点】函数的图象【解析】此题暂无解析【解答】解：∵ f(−x)=[12(−x)−sin (−x)]⋅2−x −12−x +1=f(x)，∴ f(x)为偶函数，因此排除A ，C ； 当x =π6时，f(π6)=(π12−12)⋅2π6−12π6+1，∵ π12−12<0，2π6>1， ∴ f(π6)<0，因此排除B . 故选D . 6.【答案】 B【考点】求线性目标函数的最值 【解析】根据线性规划解得目标函数t =x +y 的最小值，即可求出a 的范围. 【解答】解：作出不等式组的可行域，如图：要使x +y −a ≥0恒成立，需使x +y 的最小值大于等于a ， 设t =x +y ，可得y =−x +t ， 由图像可知：经过A 点时，t 最小， 即{x =1,2x −3y =0, 即A (1,23)时，t min =53， 所以a ≤53.故选B . 7. 【答案】 C【考点】异面直线及其所成的角【解析】 此题暂无解析 【解答】解：取BC 中点O ，BO 中点F ，连接OD ，OE ，FE ，DF ，则∠ODE 就是直线DE 与AC 所成角．设AB =4．则OD =2， OF =1，OE =2，DF =√3，EF =√OE 2+OF 2=√5， DE =√DF 2+EF 2=2√2, 所以∠ODE =π4，即直线DE 与AC 所成角的余弦值为√22. 故选C ． 8.【答案】 B【考点】几何概型实际应用 诱导公式同角三角函数间的基本关系 【解析】根据sin θ+2sin (θ+π2)=√5，可得tan θ=12，设小正方形的边长及直角三角形较短的直角边，进而可得到大正方形的边长，进而由几何概型概率公式求解即可.【解答】解：设小正方形的边长为a ，直角三角形较短的直角边为b ,则直角三角形较长的直角边为a +b ，直角三角形的斜边长为√(a +b )2+b 2. ∵ sin θ+2sin (θ+π2)=√5， ∴ sin θ+2cos θ=√5，∴ sin 2θ+4sin θcos θ+4cos 2θ=5， ∴ 4sin θcos θ+3cos 2θ=4， ∴4sin θcos θ+3cos 2θsin 2θ+cos 2θ=4，∴ 4tan θ+3tan 2θ+1=4， 即tan θ=12.∴ba+b =12，即a=b.∴ 大正方形的边长为√(a+b)2+b2=√5a,∴ 由几何概型概率公式可得，该点取自小正方形区域的概率为a25a2=15.故选B.9.【答案】A【考点】直线与抛物线结合的最值问题抛物线的性质【解析】利用抛物线的几何性质以及两点间线段最短得解.【解答】解：由题意得，抛物线的准线方程为y=−1，∵|AF|=2，∴A到准线的距离为2，故A点纵坐标为1.把y=1代入抛物线方程可得x=±2．设A在第一象限，则A(2,1)，取点O关于准线y=−1的对称点为M(0,−2)，连接AM，于是|PA|+|PO|=|PA|+|PM|≥|AM|，则|PA|+|PO|的最小值为|AM|=√(0−2)2+(−2−1)2=√13．故选A.10.【答案】B【考点】球的表面积和体积柱体、锥体、台体的体积计算【解析】设E为BC的中点，O1为△ABC外接圆的圆心，球O的半径为R，由已知条件求出R2，再利用球的表面积公式即可求出答案.【解答】解：四面体ABCD与球O的位置如图所示：设E为BC的中点，O1为△ABC外接圆的圆心，球O的半径为R，∵ AB=AC=2√3，BC=6，∴ BE=EC=3，AE⊥BC，∴ AE=√3，cos∠BAE=AEAB=12，∴ ∠BAE=π3，∴ ∠BAC=2∠BAE=2π3.∵四面体ABCD体积为√3，∴13×12×6×√3×AD=√3，解得：AD=1.∴ DE=2.在四边形OO1AD中，OO1//AD，∠OO1A=90∘，OA=OD，O1A=2AE，OO1=12AD，∴R2=OA2=(2√3)2+(12)2=494，∴ S=4πR2=4π×494=49π.故选B.11.【答案】A【考点】函数零点的判定定理【解析】先分析分段函数的值域，进而利用零点存在定理得到结果．【解答】解：当x≤0时，f(x)∈(3,4]，此时，f(x)无零点，当x>0时，f(x)=2x+log9x2−9=2x+log3x−9为增函数，且f(3)=0．令f(f(x))=0，得f(x)=2x+log3x−9=3.因为f(3)=0<3，f(72)=8√2+log372−9>3，所以函数y =f(f(x))的零点所在区间为(3,72)．故选A . 12.【答案】 C【考点】三角形的面积公式基本不等式在最值问题中的应用 余弦定理平面向量数量积的运算 【解析】先根据向量的数量积及三角形的面积公式即可求出a,b,c 的值，再由题意可得x3+y4=1，最后利用基本不等式即可求出答案. 【解答】解：因为AB →⋅AC →=bc cos A =9，又因为b =c ⋅cos A ， 所以b =3，c cos A =3. 因为 S △ABC =12bc sin A =6， 所以c sin A =4，所以c =5，cos A =35，sin A =45，所以a =4，所以CP →=x3⋅CA →+y4⋅CB →.由点P,A,B 共线知，x 3+y4=1，即4x +3y =12，即4x +(3y +2)=14， 所以1x +13y+2=114(4x +3y +2)(1x +13y +2) =114(5+4x 3y +2+3y +2x) ≥114(5+2√4x3y+2⋅3y+2x)=914，故1x +13y+2的最小值为914. 故选C .二、填空题 【答案】 10【考点】二项展开式的特定项与特定系数 【解析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于0，求得r 的值，即可求得展开式中的常数项的值． 【解答】解：令x =1可得(x 2+1x 3)n展开式的各项系数之和为2n =32，∴ n =5，故其展开式的通项公式为 T r+1=C 5r⋅x 10−5r ， 令10−5r =0，得 r =2，即常数项为 C 52=10. 故答案为：10. 【答案】 x −y +1=0 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】本题主要考查导数的几何意义，根据导数的几何意义求出切线的斜率，按照点斜式写出直线方程即可. 【解答】解：f(x)=x sin x +cos x +x ， f(0)=0sin 0+cos 0+0=1，f ′(x)=sin x +x cos x −sin x +1=x cos x +1， 所以切线的斜率为k =f ′(0)=1，所以切线方程为y −1=x −0，即x −y +1=0. 故答案为：x −y +1=0. 【答案】 y =±√3x 【考点】双曲线的准线方程 【解析】 由题意得右焦点F(c, 0)，设一渐近线OA 的方程为y =bax ，则另一渐近线OB 的方程为y =−bax ，由垂直的条件可得FA 的方程，代入渐近线方程，可得A ，B 的横坐标，由向量共线的坐标表示，结合离心率公式，解方程可得． 【解答】解：设点F 坐标为(c,0)，设双曲线一条渐近线方程为y =ba x ， 则另一条渐近线方程为y =−ba x ，假设过点F 向C 的一条渐近线y =b a x 引垂线，垂足为A ， 则FA 的方程为y =−ab (x −c)，联立方程{y =−ab (x −c)，y =ba x ， 消y 得：(a 2+b 2)x =a 2c ， 得x =a 2c，即A 点的横坐标为a 2c ， 同理可得B 点的横坐标为ca 2a 2−b 2．因为2AF →=FB →， 可得2(c −a 2c )=ca 2a 2−b 2−c ，且a 2+b 2=c 2，a >0，b >0， 解得a =√3b .所以双曲线的渐近线方程是y =±√33x . 故答案为：y =±√33x ． 【答案】 ①④【考点】正弦函数的单调性正弦函数的定义域和值域 函数的零点【解析】本题考查三角函数的图像与性质，根据三角函数图像与性质解答即可. 【解答】解：f (x )在区间[0，π]上有且仅有三个零点，则函数周期T ≤π, 在(0，π)上存在x 1，x 2满足f (x 1)=1，f (x 2)=−1， 即满足f (x 1)−f (x 2)=2， 故①正确；∵ f (x )=sin x −12在y 轴右侧的前四个零点分别是：π6，5π6，13π6，17π6，∴13π6≤ωπ+π6<17π6，解得：2≤ω<83. 故③错误；∵ 2≤ω<83，0<x <π8，∴ π6<ωx +π6<π2∈(−π2, π2)，∴ f(x)在区间(0,π8)上单调递增，故④正确；当ω=2时作出函数大致图象如图所示：由图可知，f(x)在区间(0,π)上只有一个极大值点， 故②错误.故答案为：①④. 三、解答题 【答案】 解：(1)12a1−5+22a2−5+⋯+n2a n−5=n3①， 当n ≥2时，12a 1−5+22a 2−5+⋯+n−12a n−1−5=n−13②，由①−②，得a n =3n+52(n ≥2).因为当n =1时，a 1=4，符合， 所以a n =3n+52．(2)因为1a n a n+1=4(3n+5)(3n+8)=43(13n+5−13n+8)， 所以1a 1a 2+1a2a 3+⋯+1an a n+1=43×[(18−111)+(111−114)+⋯+(13n +5−13n +8)] =43×(18−13n+8). 又1a 1a 2+1a 2a 3+⋯+1a n a n+1<19，即43×(18−13n+8)<19， 解得n <163，所以使得原式成立的最大正整数n 为5． 【考点】数列与不等式的综合数列的求和 数列递推式 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：(1)12a1−5+22a 2−5+⋯+n2a n−5=n3①， 当n ≥2时，12a 1−5+22a 2−5+⋯+n−12a n−1−5=n−13②，由①−②，得a n =3n+52(n ≥2).因为当n =1时，a 1=4，符合， 所以a n =3n+52．(2)因为1a n a n+1=4(3n+5)(3n+8)=43(13n+5−13n+8)， 所以1a 1a 2+1a 2a 3+⋯+1a n a n+1=43×[(18−111)+(111−114)+⋯+(13n +5−13n +8)] =43×(18−13n+8).又1a 1a 2+1a 2a 3+⋯+1a n a n+1<19，即43×(18−13n+8)<19， 解得n <163，所以使得原式成立的最大正整数n 为5．【答案】(1)证明：如图，连结AC 交BD 于点O ，取EB 的中点H ，连结FH ，HO ，∵ 四边形ABCD 为菱形，点H 是EB 的中点，DE//FC ， ∴ HO//FC ，HO=12ED =FC ， ∴ 四边形CFHO为平行四边形， ∴ FH//CO .∵ DE ⊥平面ABCD ，CO ⊂平面ABCD ，∴ DE ⊥CO .又∵ CO ⊥BD ，ED ∩BD =D ， ∴ CO ⊥平面EDB ， ∴ FH ⊥平面EDB . 又FH ⊂平面FBE ，∴ 平面FBE ⊥平面EDB ．(2)解：连结EC ，以点O 为坐标原点，分别以OB →，OC →，OH →的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz ，由题意得A(0，−√3，0)，C(0，√3，0)，B(1，0，0)，E(−1，0，2)， 则EB →=(2，0，−2)，AB →=(1，√3，0)，BC →=(−1，√3，0)， 设平面AEB 的法向量为m →=(x 1，y 1，z 1)， 则{EB →⋅m →=0,AB →⋅m →=0,即{2x 1−2z 1=0,x 1+√3y 1=0,取m →=(1，−√33，1). 设平面CEB 的法向量为n →=(x 2，y 2，z 2)， 则{EB →⋅n →=0,BC →⋅n →=0,即{2x 2−2z 2=0,−x 2+√3y 2=0,取n →=(−1，−√33，−1)，cos ⟨m →,n →⟩=m →⋅n→|m →|⋅|n →|=1×(−1)+(−√33)×(−√33)+1×(−1)√1+13+1×√1+13+1=−57，∴ 二面角A −EB −C 的余弦值为−57．【考点】用空间向量求平面间的夹角 平面与平面垂直的判定【解析】 此题暂无解析 【解答】(1)证明：如图，连结AC 交BD 于点O ，取EB 的中点H ，连结FH ，HO ，∵ 四边形ABCD 为菱形，点H 是EB 的中点，DE//FC ， ∴ HO//FC ，HO=12ED =FC ， ∴ 四边形CFHO 为平行四边形， ∴ FH//CO .∵ DE ⊥平面ABCD ，CO ⊂平面ABCD ， ∴ DE ⊥CO .又∵ CO ⊥BD ，ED ∩BD =D ， ∴ CO ⊥平面EDB ， ∴ FH ⊥平面EDB . 又FH ⊂平面FBE ，∴ 平面FBE ⊥平面EDB ．(2)解：连结EC ，以点O 为坐标原点，分别以OB →，OC →，OH →的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz ，由题意得A(0，−√3，0)，C(0，√3，0)，B(1，0，0)，E(−1，0，2)， 则EB →=(2，0，−2)，AB →=(1，√3，0)，BC →=(−1，√3，0)， 设平面AEB 的法向量为m →=(x 1，y 1，z 1)， 则{EB →⋅m →=0,AB →⋅m →=0,即{2x 1−2z 1=0,x 1+√3y 1=0,取m →=(1，−√33，1). 设平面CEB 的法向量为n →=(x 2，y 2，z 2)， 则{EB →⋅n →=0,BC →⋅n →=0,即{2x 2−2z 2=0,−x 2+√3y 2=0,取n →=(−1，−√33，−1)，cos ⟨m →,n →⟩=m →⋅n→|m →|⋅|n →|=1×(−1)+(−√33)×(−√33)+1×(−1)√1+13+1×√1+13+1=−57，∴ 二面角A −EB −C 的余弦值为−57． 【答案】 解：(1)K 2=50×(25×11−5×9)230×20×16×34≈8.104>6.635，所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地居民参加体育锻炼的时间长短与性别有关．(2)由题意得X 可取0，1，2，3. P (X =0)=C 33C 93=184，P (X =1)=C 32C 61C 93=314， P (X =2)=C 31C 62C 93=1528，P (X =3)=C 63C 93=521 ，所以X 的分布列为E (X )=0×184+1×314+2×1528+3×521=2． 【考点】离散型随机变量的期望与方差 离散型随机变量及其分布列 独立性检验【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)K2=50×(25×11−5×9)230×20×16×34≈8.104>6.635，所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地居民参加体育锻炼的时间长短与性别有关．(2)由题意得X可取0，1，2，3.P(X=0)=C33C93=184，P(X=1)=C32C61C93=314，P(X=2)=C31C62C93=1528，P(X=3)=C63C93=521，所以X的分布列为E(X)=0×184+1×314+2×1528+3×521=2．【答案】解：(1)设椭圆C的焦距为2c(c>0)，由椭圆的定义知△PF1F2的周长为2a+2c，所以2a+2c=6.①又因为椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=ca=12，所以a=2c.②联立①②解得a=2，c=1，所以b=√a2−c2=√3，故所求椭圆C的方程为x 24+y23=1．(2)若存在满足条件的点Q(t,0)．当直线l的斜率存在时，设y=k(x−1)，联立x 24+y23=1，消y得(3+4k2)x2−8k2x+4k2−12=0. 设M(x1,y1)，N(x2,y2)，则x1+x2=8k23+4k2，x1x2=4k2−123+4k2.因为k QM+k QN=y1x1−t +y2x2−t=k(x1−1)(x2−t)+k(x2−1)(x1−t)(x1−t)(x2−t)=2kx1x2−k(1+t)(x1+x2)+2ktx1x2−t(x1+x2)+t2=k⋅8k2−243+4k2−8k2(1+t)3+4k2+2t4k2−123+4k2−8k2t3+4k2+t2=k⋅8k2−24−8k2(1+t)+2t(3+4k2)4k2−12−8k2t+t2(3+4k2)=6k(t−4)4t−1k+3t−12，所以要使对任意实数k，k QM+k QN为定值，则只有t=4，此时，k QM+k QN=0．当直线l与x轴垂直时，若t=4，也有k QM+k QN=0．故在x轴上存在点Q(4，0)，使得直线QM与直线QN的斜率的和为定值0．【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题椭圆的标准方程【解析】【解答】解：(1)设椭圆C的焦距为2c(c>0)，由椭圆的定义知△PF1F2的周长为2a+2c，所以2a+2c=6.①又因为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=ca=12，所以a=2c.②联立①②解得a=2，c=1，所以b=√a2−c2=√3，故所求椭圆C的方程为x24+y23=1．(2)若存在满足条件的点Q(t,0)．当直线l的斜率上存在时，设y=k(x−1)，联立x24+y23=1，消y得(3+4k2)x2−8k2x+4k2−12=0.设M(x1,y1)，N(x2,y2)，则x1+x2=8k23+4k2，x1x2=4k2−123+4k2.因为k OM+k ON=y1x1−t+y2x2−t=k(x1−1)(x2−t)+k(x2−1)(x1−t)(x1−t)(x2−t)=2kx1x2−k(1+t)(x1+x2)+2ktx1x2−t(x1+x2)+t2=k⋅8k2−243+4k2−8k2(1+t)3+4k2+2t 4k2−123+4k2−8k23+4k2+t2=k⋅8k2−24−8k2(1+t)+2t(3+4k2) 4k2−12−8k2t+t2(3+4k2)=6k(t−4)4(t−1)2k2+3，所以要使对任意实数k，k QM+k QN为定值，则只有t=4，此时，k QM+k QN=0．当直线l与x轴垂直时，若t=4，也有k QM+k QN=0．故在x轴上存在点Q(4，0)，使得直线QM与直线QN的斜率的和为定值0．【答案】解：(1)由题意得f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=e x−1−ln x−1，所以f′′(x)=e x−1−1x.因为f′′(x)在(0,+∞)上单调递增，且f′′(1)=0，所以当x∈(0,1)时，f′′(x)<0，f′(x)单调递减，当x∈(1,+∞)时，f′′(x)>0，f′(x)单调递增．从而当x∈(0,+∞)时，f′(x)≥f′(1)=0，f(x)单调递增，故函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞)，f(x)无单调递减区间．(2)函数ℎ(x)=f(x)−ax−1=e x−1−x ln x−ax−1，x>0，令ℎ(x)=0，得a=e x−1x−ln x−1x.令g(x)=e x−1x−ln x−1x，则函数ℎ(x)在x∈[1,+∞)的零点个数，等价于直线y=a与函数g(x)的图象在[1,+∞)上的交点个数．又g′(x)=e x−1(x−1)x2+1−xx2=(e x−1−1)(x−1)x2，所以当x∈(1,+∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，所以g(x)在[1,+∞)上的最小值为g(1)=0．又因为当x→+∞时，g(x)→+∞，所以①当a≥0时，直线y=a与函数g(x)的图象在[1,+∞)上有1个交点，②当a<0时，直线y=a与函数g(x)的图象在[1,+∞)上没有交点.综上，当a≥0时，函数ℎ(x)在[1,+∞)上有1个零点，当a<0时，函数ℎ(x)在[1,+∞)上没有零点．【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究函数的单调性函数的零点【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由题意得f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=e x−1−ln x−1，所以f′′(x)=e x−1−1x.因为f′′(x)在(0,+∞)上单调递增，且f′′(1)=0，所以当x∈(0,1)时，f′′(x)<0，f′(x)单调递减，当x∈(1,+∞)时，f′′(x)>0，f′(x)单调递增．从而当x∈(0,+∞)时，f′(x)≥f′(1)=0，f(x)单调递增，故函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞)，f(x)无单调递减区间．(2)函数ℎ(x)=f(x)−ax−1=e x−1−x ln x−ax−1，x>0，令ℎ(x)=0，得a=ex−1x−ln x−1x.令g(x)=ex−1x−ln x−1x，则函数ℎ(x)在x∈[1,+∞)的零点个数，等价于直线y=a与函数g(x)的图象在[1,+∞)上的交点个数．又g′(x)=e x−1(x−1)x2+1−xx2=(e x−1−1)(x−1)x2，所以当x∈(1,+∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，所以g(x)在[1,+∞)上的最小值为g(1)=0．又因为当x→+∞时，g(x)→+∞，所以①当a≥0时，直线y=a与函数g(x)的图象在[1,+∞)上有1个交点，②当a<0时，直线y=a与函数g(x)的图象在[1,+∞)上没有交点.综上，当a≥0时，函数ℎ(x)在[1,+∞)上有1个零点，当a<0时，函数ℎ(x)在[1,+∞)上没有零点．【答案】解：(1)因为{x=2λ−1λ−1，y=λ−3λ−1，所以{x=2+1λ−1，y=1−2λ−1，得2x+y−5=0．又x=2+1λ−1≠2，所以C1的普通方程为2x+y−5=0(x≠2)，将ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，代入曲线C2的极坐标方程，得曲线C2的直角坐标方程为(x+4)2+(y+2)2=4．(2)由点A的极坐标(2√2,π4)，可得点A的直角坐标为(2,2)．设点M(x0,y0)，因为M为QA的中点，所以Q(2x0−2,2y0−2)，将Q代入C2的直角坐标方程得(x0+1)2+y02=1，即M在圆心为(−1,0)，半径为1的圆上．因为P为曲线C1上的动点，所以|MP|的最小值为√5−1=7√55−1，由(1)知C1不过点N(2,1)，当|MP|=7√55−1时，k MN ⋅(−2)=12−(−1)⋅(−2)=−23≠−1，综上知，|MP|的最小值为=7√55−1．【考点】圆锥曲线中的范围与最值问题 与圆有关的最值问题 直线的参数方程 圆的极坐标方程 点到直线的距离公式 【解析】 无 无 【解答】解：(1)因为 {x =2λ−1λ−1，y =λ−3λ−1，所以 {x =2+1λ−1，y =1−2λ−1， 得2x +y −5=0． 又x =2+1λ−1≠2，所以C 1的普通方程为2x +y −5=0(x ≠2)，将ρcos θ=x ，ρsin θ=y ，ρ2=x 2+y 2，代入曲线C 2的极坐标方程， 得曲线C 2的直角坐标方程为(x +4)2+(y +2)2=4． (2)由点A 的极坐标(2√2,π4)，可得点A 的直角坐标为(2,2)．设点M (x 0,y 0)，因为M 为QA 的中点，所以Q (2x 0−2,2y 0−2)，将Q 代入C 2的直角坐标方程得(x 0+1)2+y 02=1， 即M 在圆心为(−1,0)，半径为1的圆上． 因为P 为曲线C 1上的动点， 所以|MP|的最小值为√5−1=7√55−1，由(1)知C 1不过点N (2,1)， 当|MP|=7√55−1时，k MN ⋅(−2)=12−(−1)⋅(−2)=−23≠−1，综上知，|MP|的最小值为=7√55−1．【答案】解：(1)f (x )≤6⇔{x ≤−1,−3x ≤6或{−1<x <12,2−x ≤6或{x ≥12,3x ≤6,解得−2≤x ≤2．即不等式f (x )≤6的解集为{x|−2≤x ≤2}． (2)g(x)=f(x)+|x +1|=|2x −1|+|2x +2|≥|2x −1−2x −2| =3，当且仅当(2x −1)(2x +2)≤0时取等号， ∴ m =3．故a +2b +3c =3．由柯西不等式(a 2+b 2+c 2)(12+22+32)≥(a +2b +3c )2=9， 整理得a 2+b 2+c 2≥914， 当且仅当a1=b2=c3，即a =314，b =614，c =914时等号成立． 所以a 2+b 2+c 2的最小值为914．【考点】 绝对值不等式一般形式的柯西不等式 绝对值不等式的解法与证明 【解析】左侧图片未给出解析 【解答】解：(1)f (x )≤6⇔{x ≤−1,−3x ≤6或{−1<x <12,2−x ≤6或{x ≥12,3x ≤6,解得−2≤x ≤2．即不等式f (x )≤6的解集为{x|−2≤x ≤2}． (2)g(x)=f(x)+|x +1|=|2x −1|+|2x +2|≥|2x −1−2x −2| =3，当且仅当(2x −1)(2x +2)≤0时取等号， ∴ m =3．故a +2b +3c =3．由柯西不等式(a 2+b 2+c 2)(12+22+32)≥(a +2b +3c )2=9， 整理得a 2+b 2+c 2≥914，当且仅当a 1=b 2=c3，即a =314，b =614，c =914时等号成立． 所以a 2+b 2+c 2的最小值为914．。

景胜中学2020—2021学年高一摸底考试（9月）数学试题时间120分钟总分150分一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、设集合M=｛（1,2）｝，则下列关系式成立的是（）A. 1∈MB. 2∈MC.（1,2）∈MD.（2,1）∈M2、若2∈｛1，x2+x｝，则x的值为（）A. －2B. 1C. －1或2D. 1或－23、下列关系中，①－∈R ②∉Q ③|－20|∉N*④|－|∈Q ⑤－5∉Z⑥0∈N正确的个数为（）A. 2B. 3C. 4D. 54、函数y=的自变量x的取值范围为（）A．x≤0 B．x≤1 C．x≥0 D．x≥15、在下列各题中，结论正确的是（）A．若a＞0，b＜0，则＞0 B．若a＞b，a＜0，则＜0C．若a＜0，b＜0，则ab＜0 D．若a＞b，则a﹣b＞06、已知集合A＝{x|1≤x<4}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，实数a的取值集合为（）A. a≥4B. {a|a＞4}C. {a|a≥4}D. a>47、已知⊙O1和⊙O2半径分别为2和6，圆心距O1O2=4，则两圆位置关系( )A.内切B.相离C.外切D.相交8、若不等式组的解集为空集，则a的取值范围是（）Ａ．a>3 Ｂ．a≥3 Ｃ．a < 3 Ｄ．a≤39、关于x 的一元二次方程ax2－4x－1＝0 有实数根，则a 满足（）A. a≥-4 且a≠0 B．a＞4且a≠0 C.a≥4 D．a≠010.、集合B＝{a，b，c}，C＝{a，b，d}，集合A满足A⊆B，A⊆C.则集合A的个数是( )A.2B.3C.4D.511、函数y = k (1－x) 和y = ( k≠0) 在同一平面直角坐标系中的图像可能是( )A. B. C. D.12.、如图，已知直线y=3x+3交x轴于点A,交y轴于点B, 过A、B 两点的抛物线交x轴于另一点C(3,0).若该抛物线的对称轴上存在点Q满足△ABQ是等腰三角形，则点Q的坐标可以是( )A. (1,1)B.(1,0)C. (1,6)D. (1,-6)二、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分。

山西高一高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.的值是（）A．B．C．D．2.半径为2，圆心角为的扇形的面积为（）A．B．C．D．3.下列说法中，正确的是（）A．钝角必是第二象限角，第二象限角必是钝角B．第三象限的角必大于第二象限的角C．小于的角都是锐角D．是终边相同的角4.已知角的终边与单位圆交于点，则等于（）A．B．C．D．15.已知，则（）A．B．C．D．6.的值是（）A．B．C．D．7.已知，，则（）A．B．C．D．8.在中，若，则是（）A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．既非等腰又非直角的三角形9.下列命题正确的是（）A．函数在区间内单调递增B．函数的最小正周期为C．函数的图像是关于点成中心对称的图形D．函数的图像是关于直线成轴对称的图形10.设，则的大小关系是（）A．B．C．D．11.若，，且，，则的值是（）A．B．C．或D．或12.已知定义域为的函数有最大值和最小值，且最大值与最小值的和为6，则（）A．1B．2C．3D．4二、填空题1.化简=_____________．2.函数的最小正周期是_____________．3.设，且．则的值为．4.对于函数＝，给出下列四个命题：①该函数是以为最小正周期的周期函数；②当且仅当时，该函数取得最小值－1；③该函数的图象关于对称；④当且仅当时，.其中正确命题的序号是________ （请将所有正确命题的序号都填上）．三、解答题1.（本题满分10分）已知角的终边经过点，（1）求的值；（2）求的值．2.（本题满分10分）已知是一元二次方程的两根，且，（1）求的值；（2）求的值．3.（本题满分10分）已知函数．（1）求函数的最小正周期及单调递减区间；（2）当时，求的最大值，并求此时对应的的值．4.（本小题满分10分）如图，在直角坐标系中，角的顶点是原点，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于点，且．将角的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点．记．（1）若，求；（2）分别过作轴的垂线，垂足依次为．记△的面积为，△的面积为．若，求角的值．5.（本小题满分12分）已知函数，且的最小正周期为．（1）求函数的解析式及函数的对称中心；（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围．山西高一高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.的值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，答案选A.【考点】诱导公式2.半径为2，圆心角为的扇形的面积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，答案选B.【考点】扇形的面积计算公式3.下列说法中，正确的是（）A．钝角必是第二象限角，第二象限角必是钝角B．第三象限的角必大于第二象限的角C．小于的角都是锐角D．是终边相同的角【答案】D【解析】钝角必是第二象限角，但第二象限角不一定为钝角，故A错；第三象限角不一定大于第二象限角，如，故B错；小于的角除了锐角还有零角与负角，故C错；所以答案选D.【考点】角的概念与终边相同的角4.已知角的终边与单位圆交于点，则等于（）A．B．C．D．1【答案】A【解析】由已知得，所以，所以答案选A.【考点】三角函数的定义与倍角公式5.已知，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，答案选D.【考点】同角三角函数的商数关系6.的值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，答案选C.【考点】两角和的正切公式及其变形应用7.已知，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由得即①，又，所以即，因此②，①+②得，答案选D.【考点】和（差）角公式与倍角公式8.在中，若，则是（）A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．既非等腰又非直角的三角形【答案】B【解析】因为，所以，即，即，所以A-B=0即A=B，所以三角形为等腰三角形，答案选B.【考点】三角形的内角和定理与和（差）角公式9.下列命题正确的是（）A．函数在区间内单调递增B．函数的最小正周期为C．函数的图像是关于点成中心对称的图形D．函数的图像是关于直线成轴对称的图形【答案】C【解析】当时，，所以函数在区间上有增也有减，因此A错；，函数的最小正周期为，因此B错；函数在时的函数值为0，故C正确；正切函数不是轴对称图形，无对称轴，故D错，所以答案选C.【考点】三角函数的图像与性质10.设，则的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，，，所以，答案选B.【考点】三角函数的性质与和（差）角公式11.若，，且，，则的值是（）A．B．C．或D．或【答案】A【解析】，又，所以，，，又，，，所以，答案选A.【考点】和（差）角公式12.已知定义域为的函数有最大值和最小值，且最大值与最小值的和为6，则（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】，构造函数，因为，所以h（x）为奇函数，所以，所以，因此，答案选C.【考点】函数性质的应用二、填空题1.化简=_____________．【答案】4【解析】所以答案为4.【考点】三角恒等变换与辅助角公式2.函数的最小正周期是_____________．【答案】【解析】，最小正周期，所以答案为.【考点】三角函数的周期3.设，且．则的值为．【答案】【解析】因为，所以，，因为而，所以，又，所以，因此，答案为.【考点】和（差）角公式4.对于函数＝，给出下列四个命题：①该函数是以为最小正周期的周期函数；②当且仅当时，该函数取得最小值－1；③该函数的图象关于对称；④当且仅当时，.其中正确命题的序号是________ （请将所有正确命题的序号都填上）．【答案】③④【解析】在同一坐标系中作出正弦曲线与余弦曲线，函数f（x）的图像取两曲线中位于下方的曲线，通过函数的图像可知函数的最小正周期为；当或时，函数取得最小值-1；函数的对称轴为；当且仅当时，，故①②错，③④正确，答案为③④.【考点】三角函数的图像与性质三、解答题1.（本题满分10分）已知角的终边经过点，（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由任意角的三角函数的定义可求出角的正弦值、余弦值、正切值，利用诱导公式将式子化简后代入三角函数值得解；（2）先利用同角三角函数的平方关系化简后再代入三角函数值得解.试题解析：（1）∵角的终边经过点∴， 2分∴= 5分（2）= 10分【考点】1.任意角的三角函数的定义；2.同角三角函数的平方关系2.（本题满分10分）已知是一元二次方程的两根，且，（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）先求出方程的两根，再根据角的范围确定的值，利用和角公式求出的正切值，最后根据的范围确定角的大小；（2）利用差角公式可求得的正切值，再根据的范围与同角三角函数的基本关系求出角的余弦值.试题解析：（1）方程的两根为和，， 2分， 4分， 6分（2）， 8分10分【考点】1.两角和与差的正切公式；2.同角三角函数的基本关系3.（本题满分10分）已知函数．（1）求函数的最小正周期及单调递减区间；（2）当时，求的最大值，并求此时对应的的值．【答案】（1），减区间为，，；（2）当时，函数的最大值为1【解析】（1）先对解析式进行三角恒等变换，再利用辅助角公式化简，求出函数的最小正周期与单调减区间（注意函数的定义域）；（2）由定义域确定角的范围，从而确定函数的最值是否可取以及取最值得条件.试题解析：（1）2分∴周期为．∵，∴ 4分当，即时函数单调递减，∴的单调递减区间为，，； 6分（2）当时， 7分，当时取到最大值．故当时，函数的最大值为1． 10分【考点】1.三角恒等变换；2.三角函数的最值与单调性4.（本小题满分10分）如图，在直角坐标系中，角的顶点是原点，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于点，且．将角的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点．记．（1）若，求；（2）分别过作轴的垂线，垂足依次为．记△的面积为，△的面积为．若，求角的值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意可知角的终边与单位圆的交点为点B，，利用和角公式可求出；（2）由（1）可知，面积可用角的三角函数值表示，通过面积之间的等式建立一个三角函数方程，利用三角恒等变换化简后得解.试题解析：（1）由三角函数的定义得： 1分因为，所以， 3分所以 5分（2）依题意得：所以 6分7分依题意得： 8分整理得： 9分因为，所以所以即 10分【考点】1.单位圆中三角函数的定义；2.和（差）角公式；3.倍角公式5.（本小题满分12分）已知函数，且的最小正周期为．（1）求函数的解析式及函数的对称中心；（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1），对称中心；（2）【解析】（1）先利用倍角公式将次，再利用辅助角公式化简函数的解析式，根据函数的周期求出的值得到函数的解析式，由此解得函数的对称中心；（2）代入f（x）并化简不等式，（法一）通过分离变量法将问题转化为求函数的最值问题，通过换元法转化为熟悉的函数求出函数的最值，得到m的范围；（法二）通过换元将问题转化为一个二次不等式在给定区间上恒成立的问题，利用二次函数的图像与性质求出问题的解.试题解析：（1）由题得： 2分又函数的周期为，所以，所以 3分所以 4分对称中心为 6分（2）（法一）， 7分设，， 8分设，，则在上是增函数 10分时，， 12分（法二）设， 7分<1>时，即时，， 9分<2> 时，即时，，无解 10分<3> 时，即时，， 11分综上： 12分【考点】1.三角恒等变换；2.函数的最值；3.转化与化归的思想；4.换元法。

2020—2021学年高一年级9月份月考数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分，在每小题的4个选项中，只有项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上.1．（4分）设集合U＝{x∈N|0＜x≤8}，S＝{1，2，4，5}，T＝{3，5，7}，则S∩（∁U T）＝（）A．{1，2，4} B．{1，2，3，4，5，7}C．{1，2} D．{1，2，4，5，6，8}2．（4分）命题“∃x∈R，x2+2x+2≤0”的否定是（）A．∃x∈R，x2+2x+2＞0 B．∃x∈R，x2+2x+2≥0C．∀x∈R，x2+2x+2＞0 D．∀x∈R，x2+2x+2≤03．（4分）若﹣2x2+5x﹣2＞0，则等于（）A．4x﹣5 B．﹣3 C．3 D．5﹣4x4．（4分）已知条件p：x≤1，条件q：，则￢p是q的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（4分）集合P＝{3，4，5}，Q＝{6，7}，定义P*Q＝{（a，b）|a∈P，b∈Q}，则P*Q的真子集个数为（）A．31 B．63 C．32 D．646．（4分）设a＞1＞b＞﹣1，则下列不等式中恒成立的是（）A．B．C．a＞b2D．a2＞2b7．（4分）如果存在x∈R，使得不等式＜1成立，则实数m的取值范围是（）A．（1，3）B．（﹣∞，+∞）C．（∞，1）∪（2，+∞）D．（﹣∞，3）8．（4分）设正实数x，y满足x＞，y＞1，不等式+≥m恒成立，则m的最大值为（）A．2B．4C．8 D．16二、填空题；本大题共7小题，每小题4分，共28分，将答案填写在答题纸上.9．（4分）已知集合A＝{1，2，m3}，B＝{1，m}，A∩B＝B，则m＝．10．（4分）若集合A＝{x|ax2+2x+1＝0，a∈R}至多有一个元素，则a的取值范围是．11．（4分）不等式≥3的解集是．12．（4分）若＜0，给出下列不等式：①；②|a|+b＞0；③a﹣；④﹣ab＞﹣a2．其中错误的不等式是（只填序号）．13．（4分）已知正数x，y满足x+2y＝2，则的最小值为．14．（4分）不等式ax2+2x+c＞0的解集为（﹣，），则不等式﹣cx2+2x﹣a＞0的解集为．15．（4分）已知xy＞0，x+y＝3，则+的最小值为．三、解答题：本大题共4小题，共40分，将解题过程及答案填写在答题纸上.16．（10分）已知集合A＝{x|a﹣1＜x＜2a+3}，B＝{x|﹣2≤x≤4}，全集U＝R．（1）当a＝2时，求A∪B及（∁U A）∩（∁U B）；（2）若A∩B＝A，求实数a的取值范围．17．（10分）设集合A＝{x|x≤﹣2或x≥3}，关于x的不等式（x﹣2a）（x+a）＞0的解集为B（其中a＜0）．（1）求集合B；（2）设p：x∈A，q：x∈B，且￢p是￢q的充分不必要条件，求a的取值范围．18．（12分）已知关于的x不等式（ax﹣1）（x+1）＞0．（1）若此不等式的解集为{x|﹣1}，求实数a的值；（2）若a∈R，解这个关于x的不等式；（3）∀1≤x≤3，（ax﹣1）（x+1）＞2ax﹣a﹣1恒成立，求a的取值范围．19．（8分）正实数a，b，c满足a2﹣3ab+4b2﹣c＝0当最大值时，求最大值．2020—2021学年高一年级9月份月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分，在每小题的4个选项中，只有项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上.1．（4分）设集合U＝{x∈N|0＜x≤8}，S＝{1，2，4，5}，T＝{3，5，7}，则S∩（∁U T）＝（）A．{1，2，4} B．{1，2，3，4，5，7}C．{1，2} D．{1，2，4，5，6，8}【分析】根据集合补集和交集的运算规则直接求解．【解答】解：因为U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，∁U T＝{1，2，4，6，8}，所以S∩（∁U T）＝{1，2，4}，故选：A．【点评】本题考查集合的基本运算，属简单题．2．（4分）命题“∃x∈R，x2+2x+2≤0”的否定是（）A．∃x∈R，x2+2x+2＞0 B．∃x∈R，x2+2x+2≥0C．∀x∈R，x2+2x+2＞0 D．∀x∈R，x2+2x+2≤0【分析】根据特称命题的否定的全称命题进行求解即可．【解答】解：∵“∃x∈R，x2+2x+2≤0”是特称命题，∴根据特称命题的否定的全称命题，得到命题的否定是：∀x∈R，x2+2x+2＞0．故选：C．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．3．（4分）若﹣2x2+5x﹣2＞0，则等于（）A．4x﹣5 B．﹣3 C．3 D．5﹣4x【分析】先由﹣2x2+5x﹣2＞0得出x的取值范围，再将化简成：|2x﹣1|+2|x﹣2|的形式，最后利用绝对值的定义化简即得．【解答】解：由﹣2x2+5x﹣2＞0得：＜x＜2．∴则＝|2x﹣1|+2|x﹣2|＝2x﹣1+2（2﹣x）＝3．故选：C．【点评】本小题主要考查函数的值、根式、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．4．（4分）已知条件p：x≤1，条件q：，则￢p是q的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由题意条件p：x≤1，写出其﹣p中x的范围，将条件q：，由分式不等式的解法解出x的范围，然后判断﹣p是q之间能否互推，从而进行判断；【解答】解：∵条件p：x≤1，∴￢p：x＞1；∵条件q：，∴＜0，解得x＞1或x＜0，∵x＞1⇒x＞1或x＜0，反之则不能；∴﹣p⇒q，q推不出﹣p，∴﹣p是q的充分而不必要条件，故选：A．【点评】此题主要考查逻辑关系的条件和分式方程的求解问题，解题时按部就班的求解，此题思路很明显就是求出﹣p和q，各自x的范围．5．（4分）集合P＝{3，4，5}，Q＝{6，7}，定义P*Q＝{（a，b）|a∈P，b∈Q}，则P*Q的真子集个数为（）A．31 B．63 C．32 D．64【分析】根据条件即可求出集合P*Q的元素个数，从而可得出集合P*Q的真子集个数．【解答】解：根据题意得，P*Q的元素个数为个，∴P*Q的真子集个数为26﹣1＝63个．故选：B．【点评】考查描述法、列举法的定义，元素与集合的关系，分步计数原理的应用，集合真子集个数的计算公式．6．（4分）设a＞1＞b＞﹣1，则下列不等式中恒成立的是（）A．B．C．a＞b2D．a2＞2b【分析】通过举反例说明选项A，B，D错误，通过不等式的性质判断出C正确．【解答】解：对于A，例如a＝2，b＝此时满足a＞1＞b＞﹣1但故A错对于B，例如a＝2，b＝此时满足a＞1＞b＞﹣1但故B错对于C，∵﹣1＜b＜1∴0≤b2＜1∵a＞1∴a＞b2故C正确对于D，例如a＝此时满足a＞1＞b＞﹣1，a2＜2b故D错故选：C．【点评】想说明一个命题是假命题，常用举反例的方法加以论证．7．（4分）如果存在x∈R，使得不等式＜1成立，则实数m的取值范围是（）A．（1，3）B．（﹣∞，+∞）C．（∞，1）∪（2，+∞）D．（﹣∞，3）【分析】由已知结合4x2+6x+3＞0成立，可转化为二次不等式的成立，结合二次函数的性质可求．【解答】解：由＜1成立，又4x2+6x+3＞0恒成立，∴mx2+2mx+m＜4x2+6x+3，整理可得，（m﹣4）x2+（2m﹣6）x+m﹣3＜0成立，①当m＝4时，2x+1＜0可得x＜﹣成立；②m≠4时，（1）m＜4时，存在x∈R，使得（m﹣4）x2+（2m﹣6）x+m﹣3＜0成立，符合题意，（2）m＞4时，则，解可得，m＞4．综上可得，m的范围为R．故选：B．【点评】本题主要考查了二次不等式的成立问题求解参数，体现了分类讨论思想的应用．8．（4分）设正实数x，y满足x＞，y＞1，不等式+≥m恒成立，则m的最大值为（）A．2B．4C．8 D．16【分析】不等式+≥m恒成立，转化为求+的最小值，可得m的最大值．将分母转化为整数，设y﹣1＝b，则y＝b+1，令2x﹣1＝a，x＝（a+1），利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：设y﹣1＝b，则y＝b+1，令2x﹣1＝a，x＝（a+1），a＞0，b＞0．那么：+＝＝2（当且仅当a＝b＝1即x＝1，y＝2时取等号．∴+的最小值为8，则m的最大值为8．故选：C．【点评】本题考查了基本不等式的性质的运用解决恒成立的问题，利用了换元法转化求解，多次使用基本不等式式解决问题的关键，属于中档题．二、填空题；本大题共7小题，每小题4分，共28分，将答案填写在答题纸上.9．（4分）已知集合A＝{1，2，m3}，B＝{1，m}，A∩B＝B，则m＝2或0或﹣1 ．【分析】根据A∩B＝B即可得出B⊆A，从而得出m＝2或m＝m3，解出m的值，并检验是否满足题意即可．【解答】解：∵A∩B＝B，∴B⊆A，∴m＝2或m＝m3，∴m＝2或m＝0或m＝﹣1或m＝1，∵m＝1时，不满足集合元素的互异性，∴m＝2或0或﹣1．故答案为：2或0或﹣1．【点评】考查列举法的定义，交集的定义及运算，以及子集的定义，集合元素的互异性．10．（4分）若集合A＝{x|ax2+2x+1＝0，a∈R}至多有一个元素，则a的取值范围是{a|a ＝0或a≥1} ．【分析】由集合A＝{x|ax2+2x+1＝0，a∈R}至多有一个元素，得到a＝0或，由此能求出a的取值范围．【解答】解：∵集合A＝{x|ax2+2x+1＝0，a∈R}至多有一个元素，∴a＝0或，解得a＝0或a≥1，∴a的取值范围是{a|a＝0或a≥1}．故答案为：{a|a＝0或a≥1}．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查集合、一元二次函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11．（4分）不等式≥3的解集是[，2）．【分析】由≥3可得，﹣3≥0，整理后即可求解．【解答】解：由≥3可得，﹣3≥0，整理可得，，解可得，，故答案为：[，2）．【点评】本题主要考查了分式不等式的解法的应用，属于基础试题．12．（4分）若＜0，给出下列不等式：①；②|a|+b＞0；③a﹣；④﹣ab＞﹣a2．其中错误的不等式是②（只填序号）．【分析】若＜0，可得b＜a＜0，利用不等式的基本性质即可判断出下列不等式的正误．【解答】解：若＜0，∴b＜a＜0，给出下列不等式：①∵＜0＜，∴正确；②由于|a|+b＜0，因此不正确；③∵＜0，∴﹣＞﹣，又a＞b，∴a﹣，正确；④由b＜a＜0，∴﹣ab＞﹣a2，正确．其中错误的不等式是②．故答案为：②．【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13．（4分）已知正数x，y满足x+2y＝2，则的最小值为9 ．【分析】利用“乘1法”和基本不等式即可得出．【解答】解：∵正数x，y满足x+2y＝2，∴＝＝＝9，当且仅当x＝4y＝时取等号．∴的最小值为9．故答案为：9．【点评】本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质，属于基础题．14．（4分）不等式ax2+2x+c＞0的解集为（﹣，），则不等式﹣cx2+2x﹣a＞0的解集为（﹣2，3）．【分析】根据不等式的解集求出a，c的值，从而求出不等式﹣cx2+2x﹣a＞0的解集即可．【解答】解：∵不等式ax2+2x+c＞0的解集为（﹣，），∴﹣＝﹣+，＝﹣，解得：a＝﹣12，c＝2，故不等式﹣cx2+2x﹣a＞0即﹣2x2+2x+12＞0，故x2﹣x﹣6＜0，解得：﹣2＜x＜3，故不等式的解集是：（﹣2，3），故答案为：（﹣2，3）．【点评】本题考查了解二次不等式问题，考查转化思想，是一道基础题．15．（4分）已知xy＞0，x+y＝3，则+的最小值为．【分析】由题意可得x＞0，y＞0，由柯西不等式可得[（y+1）+（x+2）]（+）≥[•+•]2，即可得到所求最小值．【解答】解：xy＞0，x+y＝3，可得x＞0，y＞0，由柯西不等式可得[（y+1）+（x+2）]（+）≥[•+•]2＝（x+y）2＝9，可得+≥＝，当＝，即有x＝，y＝时，+的最小值为，故答案为：．【点评】本题考查柯西不等式的运用：求最值，考查化简变形能力、以及运算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共4小题，共40分，将解题过程及答案填写在答题纸上.16．（10分）已知集合A＝{x|a﹣1＜x＜2a+3}，B＝{x|﹣2≤x≤4}，全集U＝R．（1）当a＝2时，求A∪B及（∁U A）∩（∁U B）；（2）若A∩B＝A，求实数a的取值范围．【分析】（1）求出a＝2时的集合A，再根据并集和补集、交集的定义计算即可；（2）根据A∩B＝A得出A⊆B，再讨论A＝∅和A≠∅时，从而求出a的取值范围．【解答】解：（1）a＝2时，集合A＝{x|1＜x＜7}，B＝{x|﹣2≤x≤4}，∴A∪B＝{x|﹣2≤x＜7}；又U＝R，∴（∁U A）∩（∁U B）＝∁U（A∪B）＝{x|x＜﹣2或x≥7}；（2）若A∩B＝A，则A⊆B，当a﹣1≥2a+3，即a≤﹣4时，A＝∅，满足题意；当a＞﹣4时，应满足，解得﹣1≤a≤；综上知，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[﹣1，]．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，也考查了分类讨论思想，是基础题．17．（10分）设集合A＝{x|x≤﹣2或x≥3}，关于x的不等式（x﹣2a）（x+a）＞0的解集为B（其中a＜0）．（1）求集合B；（2）设p：x∈A，q：x∈B，且￢p是￢q的充分不必要条件，求a的取值范围．【分析】（1）关于x的不等式（x﹣2a）（x+a）＞0的解集为B（其中a＜0）．利用一元二次不等式的解法即可得出．（2）设p：x∈A，q：x∈B，且￢p是￢q的充分不必要条件，可得q是p的充分不必要条件，进而得出结论．【解答】解：（1）关于x的不等式（x﹣2a）（x+a）＞0的解集为B（其中a＜0）．解得：x＞﹣a，或x＜2a．∴集合B＝（﹣∞，2a）∪（﹣a，+∞），（a＜0）．（2）设p：x∈A，q：x∈B，且￢p是￢q的充分不必要条件，∴q是p的充分不必要条件，∴，等号不能同时成立．解得a≤﹣3．∴a的取值范围是（﹣∞，﹣3]．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18．（12分）已知关于的x不等式（ax﹣1）（x+1）＞0．（1）若此不等式的解集为{x|﹣1}，求实数a的值；（2）若a∈R，解这个关于x的不等式；（3）∀1≤x≤3，（ax﹣1）（x+1）＞2ax﹣a﹣1恒成立，求a的取值范围．【分析】（1）由题意可得﹣1，﹣为方程（ax﹣1）（x+1）＝0（a＜0）的两根，由代入法可得所求值；（2）讨论a＝0，a＞0，a＜0，又分a＝﹣1，a＜﹣1，﹣1＜a＜0时，由二次不等式的解法，即可得到所求解集；（3）由题意可得a（x2﹣x+1）＞x在1≤x≤3恒成立，可得a＞在1≤x≤3恒成立，由f（x）＝，1≤x≤3，结合对勾函数的单调性可得f（x）的最大值，可得a的范围．【解答】解：（1）（ax﹣1）（x+1）＞0的解集为{x|﹣1}，可得﹣1，﹣为方程（ax﹣1）（x+1）＝0（a＜0）的两根，可得＝﹣，即a＝﹣2；（2）当a＝0时，原不等式即为x+1＜0，解得x＜﹣1，解集为{x|x＜﹣1}；当a＞0时，原不等式化为（x﹣）（x+1）＞0，解集为{x|x＞或x＜﹣1}；当a＜0时，原不等式化为（x﹣）（x+1）＜0，①若a＝﹣1，可得（x+1）2＜0，解集为∅；②若a＜﹣1，＞﹣1，可得解集为{x|﹣1＜x＜}；③若﹣1＜a＜0，＜﹣1，可得解集为{x|＜x＜﹣1}；（3）对任意的1≤x≤3，（ax﹣1）（x+1）＞2ax﹣a﹣1恒成立，等价为a（x2﹣x+1）＞x在1≤x≤3恒成立，由于x2﹣x+1＝（x﹣）2+＞0恒成立，可得a＞在1≤x≤3恒成立，由f（x）＝，1≤x≤3，可得f（x）＝，而y＝x+在x＝1时取得最小值2，在x＝3时取得最大值，可得f（x）的最大值为1，则a＞1．即a的取值范围是（1，+∞）．【点评】本题考查二次不等式的解法和不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想和转化思想，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．19．（8分）正实数a，b，c满足a2﹣3ab+4b2﹣c＝0当最大值时，求最大值．【分析】由条件可得c＝a2﹣3ab+4b2，＝＝，运用基本不等式可得a＝2b时，取得最大值，求得c＝2b2，代入运用二次函数的性质求出其最大值即可得答案．【解答】解：由条件可得c＝a2﹣3ab+4b2，＝＝，∵≥2＝4，当且仅当a＝2b时，有最大值，c＝2b2，＝＝﹣（）2+1，当b＝1时，有最大值1．【点评】本题考查基本不等式在最值问题中的应用．在应用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的判断．运用基本不等式解题的关键是寻找和为定值或者是积为定值．。

景胜中学2020-2021学年度第一学期高一年级期中考试数学试题一、选择题（60分）1. 已知集合A={−1, 0, 1}，则集合B={x+y|x∈A, y∈A}中元素的个数是（）A.1B.3C.5D.92. 已知a，b，c是三条不重合的直线，平面α，β相交于直线c，a⊂α，b⊂β，则“a，b 相交”是“a，c相交”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3. 已知x>0，y>0，2x+y=2xy，若x+ay的最小值为8，则正实数a的值为()A.2B.32C.3 D.924. 下列说法正确的是()A.ax2>0(a>0)的解集为RB.不等式x2+x+1>0的解集为⌀C.如果ax2+bx+c=0(a<0, Δ=0)，则ax2+bx+c<0的解集是{x|x≠−b2a}D.x2−6x−7>0的解集和不等式组{x−7>0，x+1>0的解集相同5. 已知全集，函数的定义域为，集合，则下列结论正确的是A. B. C. D.6. “x≠0”是“x<0”是的（）A. 充分而不必要条件B. 充分必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知x>0，y>0，lg2x+lg8y=lg2，则1x +3y的最小值是()A.8B.12C.16D.10+2√38. 若关于x的不等式1<x2+ax+c<9的解集是(m,m+2)∪(4−m,6−m)，则实数c 的值是()A.−6B.0C.6D.99. 如图，阴影部分用集合A，B，U表示为()A.(∁U A)∩BB.(∁U A)∪(∁U B)C.A∩(∁U B)D.A∪(∁U B)10. 抛物线x2=2y离点A(0, a)最近的点恰好是顶点，这个结论成立的充要条件是（）A.a≤0B.a≤12C.a≤1D.a≤211. 设非空集合M同时满足下列两个条件：①M⊆{1, 2, 3, ..., n−1}；②若a∈M，则n−a∈M，(n≥2, n∈N+)．则下列结论正确的是（）A.若n为偶数，则集合M的个数为2n2个B.若n为偶数，则集合M的个数为2n2−1个C.若n为奇数，则集合M的个数为2n−12个D.若n为奇数，则集合M的个数为2n+12个12. 若max{s1, s2, ..., s n}表示实数s1，s2，…，s n中的最大者．设A=(a1, a2, a3)，B=[b1b2 b3]，记A⊗B=max{a1b1, a2b2, a3b3}．设A=(x−1, x+1, 1)，B=[1x−2|x−1|]，若A⊗B=x−1，则x的取值范围为（）A.[1−√3，1]B.[1,1+√2]C.[1−√2，1]D.5π12二、填空题（本题共计20分）13. 设非空集合S={x|m≤x≤p}满足：当x∈S时，x2∈S，给出下三个结论：①若m=1则S={1}；②若m=1，则0.25≤p≤1；③若p=0.5，则−√22≤m≤0，则正确的结论有________个．14. 写出命题“存在x∈R，x2−2x−3>0”的否定是________．15. 方程x2−px+6=0的解集为M，方程x2+6x−q=0的解集为N，且M∩N={2}，那么p+q等于________．16. 已知全集U=R，M={y|y=12x−1}，则C u M=________．三、解答题（本题共计6 小题，19题10 分，共计70分，）17. 已知U={2, 4, 6, 8, 10}，A={2, 4, 6}，B={x|x∈A, 且x<4}，求：（1）∁U A及∁U B；（2）A∩(∁U B)；(3)(∁U A)∪B．18. 设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下面四个命题：（1）若α⊥β，β⊥γ，则α // γ（（2））若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n（3）若m // α，n⊂α，则m // n(4)若α // β，γ∩α＝m，γ∩β＝n，则m // n其中正确命题个数是（）A.1B.2C.3D.419. 已知全集U=R，集合A={x|x2+px+2=0}，B={x|x2−5x+p=0}，若(∁U A)∩B=2，试用列举法表示集合A．20. 比较下列各组中两个代数式的大小．（1）3x2−x+1与2x2+x−1；（2）当a>0，b>0且a≠b时，a a b b与a b b a．21. 等差数列{a n}中，a3+a4=4，a5+a7=6．(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n=[a n]，求数列{b n}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[2.6]=2．22. 设ℎ(x)=x+mx ，x∈[14，5]，其中m是不等于零的常数，（1）写出ℎ(4x)的定义域；（2）求ℎ(x)的单调递增区间；景胜中学2020-2021学年度第一学期高一年级期中考试数学试题答案一、 选择题 （50分）1 CADCA 6 CCDCC 11 BB二、 填空题13.214.“任意x ∈R ，x 2−2x −3≤0”15.2116.{y|−1≤y ≤0}．三、解答题17.解：∵ U ={2, 4, 6, 8, 10}，A ={2, 4, 6}，∴ B ={x|x ∈A, 且x <4}={2}，（1）C U A ={8, 10}，C U B ={4, 6, 8, 10}（2）A ∩(C U B)={4, 6} (3)(C U A)∪B ={2, 8, 10}18.举反例即可如α⊥β，β⊥γ，α⊥γ；错误A19.解：由条件(C U A)∩B =2，则2∈B ，2∉A ，即2是方程x 2−5x +p =0的根，所以4−10+p =0，所以p =6所以集合A ={x|x 2+6x +2=0}={−3+√7，−3−√7}20.解：（1）3x 2−x +1−(2x 2+x −1)=x 2−2x +2=(x −1)2+1>0，∴ 3x 2−x +1>2x 2+x −1；（2）∵ a >0，b >0且a ≠b ，∴ a a b ba b =(a b)a−b ， 当a >b >0时，a b >1，∴ (a b )a−b >1，∴ a a b b >a b b a ．当b >a >0时，a b <1，∴ (a b )a−b >1，∴ a a b b >a b b a ． 综上可得：a a b b >a b b a ．21.解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，∵ a 3+a 4=4，a 5+a 7=6．∴ {2a 1+5d =42a 1+10d =6， 解得：{a 1=1d =25， ∴ a n =25n +35； (2)∵ b n =[a n ]，∴ b 1=b 2=b 3=1，b 4=b 5=2，b 6=b 7=b 8=3，b 9=b 10=4．故数列{b n }的前10项和S 10=3×1+2×2+3×3+2×4=24．22.解：理（1）∵ 4x ∈[14，5]，∴ x ∈[116，54]∴ ℎ(4x)的定义域为[116，54]（2）ℎ′(x)=1−mx 2m <0时，ℎ(x)在[14，5]递增；0<m ≤116时，ℎ(x)在[14，5]递增 116<m ≤25时，ℎ(x)在[√m ，5]递增。

2021年高一上学期9月月考数学试题含答案一、选择题（每小题只有一个正确选项，请把代号涂在答题卡上）（每小题5分，共40分）1、若函数则A、 B、4 C、0 D、22、集合{10},{0,1},{1,2})A B C A B C－，，则(=．===(A) (B) {0,1,2} (C) {1} (D){-1,0,1,2}3、设集合，则下列关系式中正确的是A． B． C． D．4、已知函数，使函数值为5的的值是A．2或-2或 B．2或 C． 2或-2 D．-25、函数的定义域为A、B、C、D、6、下列函数中,在区间上是递增函数的是A．B．C．D．7、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为⑴，；⑵，；⑶，；⑷，；⑸，。

A．⑴、⑵B．⑷C．⑵、⑶D．⑶、⑸8、下列对应关系：①：的平方根；②：的倒数；③：；④表示平面内周长为5的所有三角形组成集合，是平面内所有的点的集合，：三角形三角形的外心。

其中是到的映射的是A、③④B、②④C、①③D、②③二、填空题（每小题5分，共30分）9、已知是奇函数，且当时，，则的值为10．已知集合，试用列举法表示集合=11、函数f(x)=x2+ax－3a－9对任意x∈R恒有f(x)≥0，则f(1)＝12、(1)函数y=x²+x+2的递增区间是;（2分）(2)在上是减函数，则取值范围是(3分).13、(1) 函数y=的值域是（2分）(2)函数y=x2＋x (－1≤x≤3 )的值域是（3分）14．某工厂12年来某产品总产量S与时间t(年)的函数关系如图所示，下列四种说法：(1) 前三年总产量增长的速度越来越快；(2) 前三年总产量增长的速度越来越慢；(3) 第3年后至第8年这种产品停止生产了；(4) 第8年后至第12年间总产量匀速增加。

其中正确的说法是。

高一9月考数学试题二、填空题9、10、11、12、13、14、三、解答题15、(12分)已知集合A=，B={x|2<x<10}，C={x|x<a}，全集为实数集R.求A∪B，(C R A)∩B；(2)如果A∩C≠φ，求a的取值范围。

2021年高一上学期九月月考数学试题 含答案 张彦芳 周颖华 （时间：120分钟，满分：150分）第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)1．设集合M={0，1，2}，N={x|x 2﹣3x+2≤0}，则M ∩N=( )A ．{1}B ．{2}C ．{0，1}D ．{1，2}2. 下列函数中与函数y=x 表示同一函数的是（ ）A ．y=（）2B ． y=C ． y=D ． y=3．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －6 x ≥6f x ＋2 x <6，则f (3)=( )A ．1B ．2C ．4D ．54. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（ ）A ．B ．C ．D ．5.已知全集U=R ，集合则 ( )A.(0，2)B.C.D.6．已知函数f （2x ﹣1）=3x+a ，且f （3）=2，则a 等于（ ）A .3 B.1 C.4 D.-47.是定义域在R 上的奇函数，当时，为常数）， f （-1）=（ ） A ．3 B ．1 C ．-1 D ．-38. 函数f （x ）是定义域为R 的奇函数，当x ＞0时，f （x ）=﹣x+1，则当x ＜0时，f （x ）=（ ） A ．﹣x ﹣1 B ． ﹣x+1 C ． x+1 D ． x ﹣19.函数（a ＞0，a ≠1）的图象可能是（ ）A ．B . C. D.10．若函数f (x )＝x 2－3x －4的定义域为，值域为，则m 的取值范围( ) A ．(0,4] B ．[32，4] C ．[32，3] D ．[32，＋∞) 11.函数f （x ）=x 2+2ax+3在（﹣1，+∞）上是增函数，则f （1）的取值范围是（）A ． C ．12.已知函数f （x ）=，若对任意，都有成立，则a 的取值范围是（ ）A ．（0，]B ． （，1）C ．（1，2）D ．（﹣1，2）第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．已知集合M={（x ，y ）|x+y=2}，N={（x ，y ）|x ﹣y=4}，则M ∩N 等于14.已知集合， 当时，则A 的非空真子集的个数为________．15．国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的部分不纳税；超过800元而不超过4000元按超过800的14%纳税；超过4000元的按全稿酬的11%的税．某人出版了一书共纳税420，这个人的稿费为______元．16.给出下列四个命题：①函数为奇函数；②奇函数的图像一定通过直角坐标系的原点；③函数的值域是；④若函数的定义域为，则函数的定义域为；⑤函数在上是单调递增的，则的取值范围是其中正确命题的序号是 ．（填上所有正确命题的序号）三、解答题(本大题共6个小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分）已知集合A={x|1≤x ≤4}，B={x|x ﹣a ＜0}．（1）当a=3时，求A ∩（∁R B ）（2）若A ⊆B ，求实数a 的取值范围．18. （12分）已知集合A={x 2，2x ﹣1，﹣4}，B={x ﹣5，1﹣x ，9}，C={x|mx=1}，且A ∩B={9}．（1）求A ∪B ；（2）若C ⊆（A ∩B ），求实数m 的值．19．(12分)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象满足f(1-x)＝f(1+x)．(1)求实数a的值(2)若f(x)的图象过(2,0)点，求x∈时f(x)的值域．20．（12分）已知函数f（x）=ax+（其中a、b为常数）的图象经过（1，2）、两点．（1）判断并证明函数f（x）的奇偶性；（2）证明：函数f（x）在区间（1）求实数a的取值范围，使y=f（x）在区间上是单调函数；（2）若a≥1，用g（a）表示函数y=f（x）的最小值，求g（a）的解析式．22. （12分）设f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，当a，b∈（0，+∞）时，均有f（a •b）=f（a）+f（b），已知f（2）=1．求：（1）f（1）和f（4）的值；（2）不等式f（x2）＜2f（4）的解集．高一数学答案一.DCABC DDADC AA二.13. {（3，﹣1）} 14.62 15.3800 16. ①④⑤三. 17.（1）当a=3时，B={x|x﹣3＜0}={x|x＜3}．∁R B={x|x≥3}，故A∩（∁R B）=；（2）∵B={x|x﹣a＜0}={x|x＜a}．当A⊆B时， a＞4，故实数a的取值范围是（4，+∞）．18. 解答：（Ⅰ）由A∩B={9}得9∈A，可得x2=9或2x﹣1=9，∴x=±3或x=5当x=3时，A={9，5，﹣4}，B={﹣2，﹣2，9}，故舍去；当x=﹣3时，A={9，﹣7，﹣4}，B={﹣8，4，9}，∴A∩B={9}满足题意；当x=5时，A={25，9，﹣4}，B={0，﹣4，9}，∴A∩B={﹣4，9}，不满足题意，故舍去．∴A ∪B={﹣8，﹣7，﹣4，4，9}（Ⅱ）∵A∩B={9}．∴当C=∅时，得m=0；此时满足C⊆（A∩B），当C≠∅时，C={}，此时由，解得；∴．19. (1)二次函数f(x)＝x2＋ax＋b的对称轴为x＝－a 2，∴－a2＝1，∴a＝－2.(2)若f(x)，过(2,0)点，∴f(2)＝0，∴22－2×2＋b＝0，∴b＝0，∴f(x)＝x2－2x.当x＝1时f(x)最小为f(1)＝－1，当x＝3时，f(x)最大为f(3)＝3，∴f(x)在值域为．20. 解:由已知有，解得，∴．…（3分）（1）f（x）是奇函数．…（4分）证明由题意f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称，…（5分）又，…（6分）∴f（x）是奇函数．…（7分）（2）证明：任取x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2，…（8分），，…（10分）∵x1﹣x2＜0，x1x2﹣1＞0，x1x2＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），…（11分）故函数f（x）在区间[1，+∞）上单调递增．…（12分）21. 解：（1）函数f（x）=x2+2ax+2，x∈的对称轴为x=﹣a，∵f（x）在上是单调函数．∴﹣a≤﹣5或﹣a≥5，得出：a≥5或a≤﹣5，（2）∵a≥1，∴﹣a≤﹣1，当﹣5≤﹣a≤﹣1，即1≤a≤5时，f（x）min=f（﹣a）=2﹣a2，即a＞5，f（x）min=f（﹣5）=27﹣10a，∴g（a）=22. 解答：（1）∵f（a•b）=f（a）+f（b），令a=b=1得，f（1）=f（1）+f（1），∴f（1）=0；令a=b=2，则f（4）=f（2）+f（2）=2；（2）∵f（x2）＜2f（4），∴f（x2）＜f（16）；∵f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，∴0＜x2＜16；故﹣4＜x＜0或0＜x＜4；故不等式f（x2）＜2f（4）的解集为（﹣4，0）∪（0，4）．29675 73EB 珫34586 871A 蜚21638 5486 咆+20213 4EF5 仵31738 7BFA 篺BQ26103 65F7 旷23339 5B2B 嬫38966 9836 頶]y35841 8C01 谁h。

2020-2021学年度第一学期9月份月检测2020级数学试卷（考试时间：120分钟 满分：150分） 命题人： 命题时间：2020.09一、 单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1、已知集合{}16,M x x x N =<<∈，{}1,2,3N =-，那么M N =（ ）A ．{}1,2,3,4B ．{}1,2,3,4,5C ．{}2,3D ．{}2,3,42、已知全集U ＝{－1，0，1，2，3}，集合A ＝{0，1，2}，B ＝{－1，0，1}，那么(∁U A )∩B 等于( )A. {－1}B. {0，1}C. {－1，2，3}D. {－1，0，1，3}3、“x ＝3”是“x 2－2x －3＝0”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4、给定下列命题：①a >b ⇒a 2>b 2；②a 2>b 2⇒a >b ；③a >b ⇒b a <1；④a >b ⇒1a <1b .其中正确的命题个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．35、已知集合A ＝{x |x ≥1}，B ＝{x |x 2－2x －3<0}，那么A ∪B 等于( )A. {x |1≤x <3}B. {x |x >－1}C. {x |1<x <3}D. {x |x ≥1}6、若命题p ：∀n ∈N，n 2>2n ，则非p 为( )A. ∀n ∈N，n 2>2nB. ∃n ∈N，n 2≤2nC. ∀n ∈N，n 2≤2nD. ∃n ∈N，n 2＝2n7、已知不等式240x ax ++<的解集为空集，则a 的取值范围是（ ） A ．44a -≤≤ B ．44a -<< C ．4a ≤-或4a ≥ D ．4a 或4a >8、“不等式x 2－2x ＋m ≥0在R 上恒成立”的一个充分不必要条件是( )A. m ≥1B. m ≤1C. m ≥0D. m ≥2二、 多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9、若集合A ＝{x |x 2－8x ＋15＝0}，B ＝{x |ax －1＝0}，且A ∩B ＝B ，则实数a 的值可以为( )A. 15B. 0C. 3D. 1310、下列命题中是全称命题并且是假命题的是( )A. π是无理数B. 若2x 为偶数，则任意x ∈NC. 对任意x ∈R，x 2＋2x ＋1>0D. 所有菱形的四条边都相等11、下列四个结论中正确的是( )A. a ＞b ，c ＜d ⇒a －c ＞b －dB. a ＞b ＞0，c ＜d ＜0⇒ac ＞bdC. a ＞b ＞0⇒3a ＞3bD. a ＞b ＞0⇒1a 2＞1b 212. 已知关于x 的不等式kx 2-2x +6k <0(k ≠0),则下列说法中正确的是( )A . 若不等式的解集为{x |x <-3或x >-2},则k = -B . 若不等式的解集为,则k =C . 若不等式的解集为R,则k <-D . 若不等式的解集为⌀,则k ≥三、 填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13、满足{1，3}∪A ＝{1，3，5}的集合A 共有________个．14、已知集合A ＝{0，2，a }，B ＝{1，a 2－a }，若A ∩B 中只有一个元素，则实数a 的值为________．15、命题“2x ∀>，24x >”的否定是______.16、已知不等式ax 2－ax ＋1≥0恒成立，那么实数a 的取值范围为________．四、 解答题:本题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17、(本小题满分10分)解下列关于x 的不等式．(1) －6x 2－5x ＋1<0； (2) x ＋1x ≤318、(本小题满分12分)已知集合P ＝{x |－2≤x ≤10}，Q ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．(1)求集合∁R P ；(2)若P ⊆Q ，求实数m 的取值范围； (3)若P ∩Q ＝Q ，求实数m 的取值范围．19、(本小题满分12分)已知不等式20x ax b -+>的解集为(,1)(2,)-∞-+∞，求不等式20x ax b ++>的解集20、(本小题满分12分)已知不等式2320ax x -+>的解集为{}1x x x b 或， （1）求a 、b 的值；（2）若不等式2(3)0x b a x c -+->恒成立，则求出c 的取值范围.21、(本小题满分12分)某摩托车生产企业,上年度生产摩托车投入成本为1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为1000辆.本年度为了适应市场需要,计划提高产品档次,适度增加投入成本,若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x <1),则出厂价相应提高的比例为0.75x ,同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量.(1) 写出本年度预计的年利润y 与x 之间的关系式;(2) 要使本年度的利润比上年度有所增加,则投入成本增加的比例x应在什么范围内? .22、(本小题满分12分)已知p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0).（1）以上两个命题对应的不等式的解集分别记作集合A，集合B，求集合A，B.（2）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.2020-2021学年度第一学期9月份月检测2020级数学试卷答案（考试时间：120分钟 满分：150分）命题人： 命题时间：2020.09一、 单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.二、 多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.三、 填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13____4__________ 14____－1__________ 15__2x ∃>，24x ≤__ 16_______[0，4] ____四、 解答题:本题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17、(本小题满分10分)(1) 原不等式转化为6x 2＋5x －1>0，因为方程6x 2＋5x －1＝0的解为x 1＝16，x 2＝－1，所以根据y ＝6x 2＋5x －1的图象可得原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1或x >16.(2) 原不等式变形为x ＋1x －3≤0，即2x －1x ≥0，所以不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥12或x <0.18、(本小题满分12分)解 (1)∁R P ＝{x |x <－2或x >10}．(2)由P ⊆Q ，需⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m ≥10，得m ≥9，即实数m 的取值范围为{m |m ≥9}．(3)由P ∩Q ＝Q 得，Q ⊆P ，①当1－m >1＋m ，即m <0时，Q ＝∅，符合题意；②当1－m ≤1＋m ，即m ≥0时，需⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，1－m ≥－2，1＋m ≤10，得0≤m ≤3；综上得m ≤3，即实数m 的取值范围为{m |m ≤3}．19、(本小题满分12分)解：由题知：11x =-，22x =为方程20x ax b -+=的根.所以1212a b -+=⎧⎨-⨯=⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩.所以220x x +->，解得：1x >或2x <-.20、(本小题满分12分)【答案】（1）a =1,b=2（2）16c <- 【解析】试题分析: (1)由题意可得0a >且()2x b a 3x c 0-+-=的根为1和b.代入可解得a,b.(2)由恒成立可知,只需判别式Δ0<即可.试题解析：（1）由题意知a ＞0且1，b 是方程ax2﹣3x+2=0的根，∴a=1，又21b a⨯=，∴b=2 （2）由不等式x2﹣2（3+1）x ﹣c ＞0恒成立可知 Δ644c 0=+< 即 c 16<-21、(本小题满分12分)(1) 由题意得每辆车投入成本为1×(1+x )万元,出厂价为1.2×(1+0.75x )万元,年销售量为1000×(1+0.6x )辆,所以y =[1.2×(1+0.75x )-1×(1+x )]×1000×(1+0.6x )=-60x 2+20x +200(0<x <1) (2) 要使本年度的利润比上年度有所增加,则即解得0<x <.因此要使本年度的利润比上年度有所增加,则投入成本增加的比例x 应满足x ∈22、(本小题满分12分)（1）由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，记集合A ＝[－2，10].由x 2－2x ＋1－m 2≤0，得1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)，记集合B ＝[1－m ，1＋m ]. （2）因为p 是q 的必要不充分条件，所以BA ，所以⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≥－2，1＋m ≤10且等号不同时取到，解得0<m ≤3.故实数m 的取值范围为(0，3].。