2013年全国高中数学联赛冲刺卷(2)
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2013年全国高中数学联赛冲刺卷（2）一试
姓名 得分
一．填空题（每题8分，共64分）
1.如果关于x 的不等式2
120ax x a -++<的解集为空集，则a 的取值范围是 。
2.已知F 1、F 2分别是椭圆22
1(03)9x y b b
+=<<的左、右焦点。
若在椭圆的右准线上存在一点P ，使得线段PF 1的垂直平分线过点F 2，则b 的取值范围是 。
3.2009年全国高中数学联赛一试由8道填空题和3道解答题组成，其中填空题每小题7分；解答题分步给分，第一题 14分，分三步各步的分数为4，4，6分；第二、第三题 为15分，分三步每步5分，解答题中第n 步不得分则第m （m>n ）步也不得分，那么共有 种得分方式恰好能够得到80分。
4.已知函数31,1,()23, 1.1
x x f x x x x -≤⎧⎪=+⎨>⎪-⎩，若函数()y g x =的图象与函数1(1)y f x -=+的图象关于直线y x =对称，则(11)g = 。
5.设n 为自然数，()f n 为2
1n +的各位数之和，定义11()(),()(()),k k f n f n f n f f n +==则 2010(2009)f = 。
6.已知复数列{}n a
的通项为：(1)111.n a i ⎛⎛⎛
=++++ ⎝⎝ 则1n n a a +-= 。
7.已知四面体的6 条棱长分别为2、2、2、2、a 、a ，且这样的四面体恰有两个，则a 的取值范围是 。
8.已知(){}(){}
22,2,,(6)4A x y x y B x y x y =+≤=-+≤， 则()12121,122,,,(),(,)22x x y y C x y x y x y A x y B ⎧
++⎫===∈∈⎨⎬⎩⎭
所表示区域的面积是 。
二．填空题
9.（16分）设22sin sin ,2A B A B π+=<<，求证：.2A B π+=
10.（20分）已知F 1、F 2分别是双曲线2
2
13y x -=的左、右焦点，过F 1斜率为k 的直线1l 交双曲线的左、右两支分别于A 、C 两点，过F 2且与1l 垂直的直线2l 交双曲线左、右两支分别于D 、B 两点。
（1）求k 的取值范围；
（2）求四边形ABCD 面积的最小值。
11.（20分）已知数列{}n a 满足210111,,,21n n n a a a n N a -+-+==∈+求证：2 1.21
n
n n a <<+
加试
姓名得分
一．如图，在锐角∆ABC中，AA1,BB1是两条角平分线，I,O,H分别是∆ABC的内心、外心、
垂心，连接HO，分别交AC,BC于点P,Q。
已知C,A1,I,B1四点共圆。
求证：PQ=AP+BQ.
B
A
二．正整数m,n 满足(2m+1,2n+1)=1,求()2112112
21,221.m m n n ++++++++ 其中(a,b)表示a,b 的最大公约数。
三．实数a,b,c 满足222,0,a b c λλ++=>试求{}222min (),(),()U a b b c c a =---的最
大值。
四．正n 边形的顶点处写着数1，2，⋯，n,每步可将两个相邻点处的数对调。
求使每个数都顺时针移过2n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
位所需的最少步数。
