2023-2024学年陕西省延安市高一下册期中数学质量检测模拟试题一、填空题1．己知平面向量()1,1a = ，()1,1b =- ，则向量1322a b -=__________．【答案】()1,2-【分析】根据平面向量的坐标运算计算即可.【详解】因为()1,1a =，()1,1b =- 所以()()()13131,11,11,22222a b -=--=- 故答案为：()1,2-.2．若α是第三象限角，则2α是第______象限的角.【答案】二或四【分析】根据α是第三象限角，得到3222k k ππαππ+<<+，Z k ∈，再得到3224k k παπππ+<<+，Z k ∈，然后讨论k 的奇偶可得答案.【详解】因为α是第三象限角，所以3222k k ππαππ+<<+，Z k ∈，所以3224k k παπππ+<<+，Z k ∈，当k 为偶数时，2α为第二象限角，当k 为奇数时，2α为第四象限角.故答案为：二或四.【点睛】本题考查了象限角，考查了由角的象限判断半角的象限，属于基础题.3．已知向量(,1)a x x =+ ，(1,2)b = ，若a b ⊥ ，则x =_____．【答案】23-【分析】将a b ⊥转化为0a b ⋅= 计算即可.【详解】由题意得2(1)320a b x x x ⋅=++=+=，解得23x =-．故答案为：23-4．若4cos5α=-，α是第三象限的角，则πsin4α⎛⎫-=⎪⎝⎭______．【答案】10【分析】计算3sin5α=-，再利用和差公式计算得到答案.【详解】因为4cos5α=-，α是第三象限的角，所以3sin5α==-，)34sin sin cos4225510πααα⎛⎫⎛⎫-=-⨯-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：105．已知向量(3,4)a=-，则向量a的单位向量0a=______．【答案】34,55⎛⎫-⎪⎝⎭或34,55⎛⎫-⎪⎝⎭【分析】根据单位向量的定义即可求解.【详解】由题意可得0=5a aaa=±±，故与a方向相同的单位向量为34=555a,-骣琪琪桫，与a方向相反的单位向量为34=555a,骣琪--琪桫，故答案为：34,55⎛⎫-⎪⎝⎭或34,55⎛⎫-⎪⎝⎭6．在ABC中，若2b=，30B=︒，135C=︒，则=a______．【分析】根据三角形内角关系得角A的大小，再根据两角差的正弦公式求得sin A的值，最后由正弦定理得边a的值.【详解】解：在ABC，可得1801803013515A B C=︒--=︒-︒-︒=︒，又sin15sin(4530)sin45cos30cos45sin304︒=︒-︒=︒︒-︒︒=由正弦定理得sin sina bA B=，所以2sin41sin2b AaB===．7．已知,a b 为单位向量，其夹角为60 ，则(2)•a b b -=__________．【答案】0【详解】()222·2·211cos 6010a b b a b b ︒-=-=⨯⨯⨯-= .8．函数π3π()sin 2,,44f x x x ⎛⎤=∈- ⎝⎦的值域为_____．【答案】[1,1]-【分析】根据正弦函数的图象和性质即得.【详解】因为函数π3π()sin 2,,44f x x x ⎛⎤=∈- ⎥⎝⎦，π3π2,22x ⎛⎤∈- ⎝⎦，所以[]sin 21,1x ∈-，即函数π3π()sin 2,,44f x x x ⎛⎤=∈- ⎥⎝⎦的值域为[1,1]-故答案为：[1,1]-.9．已知向量(4,3)OA = 和(1,2)OB = ，则(2,1)OP =- 用OA 和OB来表示是______．【答案】2OA OB-【分析】设OP OA OB λμ=+，根据(2,1)(4,3)(1,2)λμ-=+可求出结果.【详解】设OP OA OB λμ=+，则(2,1)(4,3)(1,2)λμ-=+，所以24132λμλμ=+⎧⎨-=+⎩，解得12λμ=⎧⎨=-⎩，所以2OP OA OB =- ．故答案为：2OA OB -.10．将函数3sin(2π)y x =-上的点，先保持纵坐标不变，将横坐标放大为原来的两倍，再向左平移π4个单位，得到的函数解析式是______．【答案】π3sin 4y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭【分析】先结合诱导公式化简函数，再根据三角函数图象的伸缩变换与平移变换求得最终函数解析式即可.【详解】解：由于3sin(2π)3sin 2y x x =-=-．将横坐标放大为原来的两倍得解析式为3sin y x =-，再向左平移π4个单位，得到的函数解析式为π3sin 4y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.故答案为：π3sin 4y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.11．已知向量(),12= OA k ，()4,5= OB ，(),10=-OC k ，且A 、B 、C 三点共线，则k =_______【答案】23-【分析】先求出,AB BC的坐标，再根据A 、B 、C 三点共线求出k 的值.【详解】由题得(4,7)AB OB OA k =-=--，(4,5)BC OC OB k =-=--，因为A 、B 、C 三点共线，所以=AB BC λ ，所以(4)57(4)0k k -⋅+--=，所以23k =-.故答案为：23-【点睛】本题主要考查向量的坐标运算和共线向量，考查三点共线，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1,(2,)A a B b ,，且2cos23α=，则a b -=___________.【解析】由2cos23α=利用二倍角的余弦公式和同角公式可得|tan |5α=，再根据三角函数的定义可得2b a =且tan a α=，进一步可得a b -的值.【详解】因为2cos23α=，所以222cos sin 3αα-=，所以2222cos sin 2cos sin 3αααα-=+，所以221tan 21tan 3αα-=+，所以21tan 5α=，所以|tan |α=因为tan 12a bα==，所以2b a =，所以|||2|||a b a a a -=-=|tan |5α==.【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式，考查了同角公式，考查了三角函数的定义，属于基础题.二、单选题13．下列函数中是偶函数的是()A ．y ＝sin2xB ．y ＝－sin xC ．y ＝sin|x |D ．y ＝sin x ＋1【答案】C【详解】A 、B 是奇函数，D 是非奇非偶函数，C 符合f (－x )＝sin|－x |＝sin|x |＝f (x )，∴y ＝sin|x |是偶函数14．下列四个命题中，正确的个数是（）①2()()()a c b c a b c ⋅⋅⋅=⋅⋅ ②零向量垂直于任何向量③“//a b ”等价于“存在实数λ，使得a b λ=”④222()a b a b ⋅=⋅ A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】A【分析】对于①，根据平面向量数量积的定义运算可知①不正确；；对于②，零向量不谈垂直问题；对于③，缺少条件0b ≠ ；对于④，2222()cos ,a b a b a b ⋅=⋅⋅<> .【详解】对于①，等式左边2||||||cos ,cos ,a b c a c b c =⋅⋅<>⋅<>，等式右边2||||||cos ,a b c a b =⋅⋅⋅<>，故①不正确；对于②，零向量的方向是任意的，零向量不谈垂直问题，故②不正确；对于③，“//a b (0)b ≠”等价于“存在实数λ，使得a b λ= (0)b ≠ ”，故③不正确；对于④，2222()cos ,a b a b a b ⋅=⋅⋅<>，故④不正确.故选：A15．设,m n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m n λ= ”是“0m n ⋅<”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据共线向量和向量数量积的定义依次判断充分性和必要性即可得到结果.【详解】若,m n 为非零向量，且存在负数λ，使得m n λ=，则,m n 共线且方向相反，20m n n λ∴⋅=<，充分性成立；当0m n ⋅<时，,m n 的夹角可能为钝角，此时不存在复数λ，使得m n λ= ，必要性不成立；∴“存在负数λ，使得m n λ= ”是“0m n ⋅<”的充分不必要条件.故选：A.16．设ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若cos cos sin b C c B a A +=，则ABC 的形状为（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形【答案】B【分析】根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简求得sin A 的值进而求得A ，判断出三角形的形状.【详解】∵cos cos sin b C c B a A +=，由正弦定理得：()2sin cos sin cos sin sin sin B C C B B C A A +=+==，∵sin 0A ≠，∴sin 1A =，2A π=，故三角形为直角三角形，故选：B.【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，解题的关键时利用正弦定理把等式中的边转化为角的正弦，属于基本知识的考查.三、解答题17．已知tan 1tan 1αα=--，求下列各式的值：（1）sin 3cos sin cos αααα-+；（2）2sin sin cos 2ααα++.【答案】（1）53-；（2）2.6.【解析】由tan 1tan 1αα=--求出1tan 2α=.（1）由sin 3cos sin cos αααα-+分子分母同除以cos α求解；（2）将2sin sin cos 2ααα++，变形为22223sin sin cos 2cos sin cos αααααα+++，再分子分母同除以2cos α求解【详解】因为tan 1tan 1αα=--，所以1tan 2α=.（1）sin 3cos tan 35sin cos tan 13αααααα--==-++；（2）2sin sin cos 2ααα++，22223sin sin cos 2cos sin cos αααααα++=+，223tan tan 2tan 1ααα++=+，31242114++=+，2.6=18．已知飞机从A 地按北偏东30︒的方向飞行2000km 到达B 地，再从B 地按南偏东30︒的方向飞行2000km 到达C 地，再从C地按西南方向飞行到达D 地．求D 地与A 地之间的距离．【答案】【分析】作图后由几何关系及余弦定理求解.【详解】由题意得2000km AB BC ==，60ABC ∠=︒，所以2000km AC =，因为45ACD ∠=︒，CD =，所以AD ==，所以AD CD ==45CAD ∠=︒，D 地在A 地的南偏东45︒，D 地距A地．19．已知向量(sin 21,cos )a x x =- ，(1,2cos )b x = ．设函数()f x a b =⋅．(1)求函数()f x 的解析式并化简，写出其最小正周期；(2)求函数()f x 的单调递减区间；(3)求关于x的方程()f x =在区间π7π,88⎡⎤-⎢⎣⎦上的解集．【答案】(1)()π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，最小正周期为π；(2)π5ππ,π(Z)88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(3)131,2882ππ⎧⎪-⎨⎪⎪⎩⎭【分析】（1）根据数量积坐标运算及三角恒等变换化简得()f x 的解析式，再由周期公式求最小正周期.（2）令ππ3π2π22π242k x k +≤+≤+解得x 的范围即为()f x 的单调递减区间；（3）在π7π,88x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦内解三角方程，用反三角函数表示解集.【详解】（1）函数()2πsin 212cos sin 21cos 2124f x a b x x x x x ⎛⎫=⋅=-+=-++=+ ⎪⎝⎭ ，故函数的周期为2ππ2=．（2）令ππ3π2π22π242k x k +≤+≤+，Z k ∈，得π5πππ88k x k +≤≤+，故函数的单调递减区间为π5ππ,πZ)88k k k ++∈[．（3）由()3f x =得πsin(2)43x +=，因为π7π,88x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以[]π20,2π4x +∈，所以π2arcsin4x +=π2π4x +=-故所求解集为1π3π1,2882⎧⎪--⎨⎪⎪⎩⎭．20．已知向量(cos ,sin )a αα=r ，(cos ,sin )b ββ= ，5a b -= .（1）求cos()αβ-的值；（2）若02πα<<，02πβ-<<，且5sin 13β=-，求sin α的值.【答案】（1）35；（2）3365.【分析】（1，进而通过两边同时平方以及同角的平方关系以及两角差的余弦公式的逆用即可求出结果；（2）结合角范围以及同角的平方关系求出()sin αβ-和cos β的值，进而利用两角和的正弦公式凑角即可求出结果.【详解】（1）因为向量(cos ,sin )a αα=r，(cos ,sin )b ββ= ，所以(cos cos ,sin sin )a b αβαβ-=--，又因为a b -= 22224cos cos 2cos cos sin sin 2sin sin 5αβαβαβαβ+-++-=，即()422cos 5αβ--=，所以()3cos 5αβ-=；（2）因为02πα<<，02πβ-<<，所以0αβπ<-<，所以()4sin 5αβ-==，又因为5sin 13β=-，所以12cos 13β==所以()()()sin sin sin cos cos sin ααββαββαββ=-+=-+-⎡⎤⎣⎦412353351351365⎛⎫=⨯+⨯-= ⎪⎝⎭.21．在ABC 中，角A 为锐角，且22sin sin 4sin sin sin B C B C A m +⎛⎫== ⎪⎝⎭，其中R m ∈．(1)证明：22()4b c m bc+=；(2)求实数m 的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)22⎛⎛- ⎝⎭⎝ 【分析】（1）由2sin sin 4sin sin ()B C B C m+=及正弦定理得证；（2）在2220cos 12b c a A bc+-<=<中将24a bc =代入后剩下关于,b c 的不等式，将其变形为关于2()b c bc +的不等式，即得到m 的取值范围．【详解】（1）由正弦定理sin sin sin a b cA B C ==和22sin sin sin 4sin sin ()B C A B C m+==，得222()4b c a bc m +==，所以22()4b c m bc+=；（2）因为角A 为锐角，所以2220cos 12b c a A bc+-<=<，所以224012b c bcbc+-<<，所以2246bc b c bc <+<，则26()8bc b c bc <+<，即2()68b c bc+<<，所以2648m <<，所以2m <<m <<所以实数m 的取值范围( ．2023-2024学年陕西省延安市高一下册期中数学质量检测模拟试题一、填空题1．己知平面向量()1,1a = ，()1,1b =- ，则向量1322a b -=__________．【答案】()1,2-【分析】根据平面向量的坐标运算计算即可.【详解】因为()1,1a =，()1,1b =- 所以()()()13131,11,11,22222a b -=--=- 故答案为：()1,2-.2．若α是第三象限角，则2α是第______象限的角.【答案】二或四【分析】根据α是第三象限角，得到3222k k ππαππ+<<+，Z k ∈，再得到3224k k παπππ+<<+，Z k ∈，然后讨论k 的奇偶可得答案.【详解】因为α是第三象限角，所以3222k k ππαππ+<<+，Z k ∈，所以3224k k παπππ+<<+，Z k ∈，当k 为偶数时，2α为第二象限角，当k 为奇数时，2α为第四象限角.故答案为：二或四.【点睛】本题考查了象限角，考查了由角的象限判断半角的象限，属于基础题.3．已知向量(,1)a x x =+ ，(1,2)b = ，若a b ⊥ ，则x =_____．【答案】23-【分析】将a b ⊥转化为0a b ⋅= 计算即可.【详解】由题意得2(1)320a b x x x ⋅=++=+=，解得23x =-．故答案为：23-4．若4cos 5α=-，α是第三象限的角，则πsin 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭______．【答案】10【分析】计算3sin 5α=-，再利用和差公式计算得到答案.【详解】因为4cos 5α=-，α是第三象限的角，所以3sin 5α==-，)34sin sin cos 4225510πααα⎛⎫⎛⎫-=-⨯-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.5．已知向量(3,4)a =- ，则向量a的单位向量0a = ______．【答案】34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】根据单位向量的定义即可求解.【详解】由题意可得0=5a aa a=±±，故与a 方向相同的单位向量为34=555a,-骣琪琪桫，与a 方向相反的单位向量为34=555a ,骣琪--琪桫，故答案为：34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭6．在ABC 中，若2b =，30B =︒，135C =︒，则=a ______．【分析】根据三角形内角关系得角A 的大小，再根据两角差的正弦公式求得sin A 的值，最后由正弦定理得边a 的值.【详解】解：在ABC ，可得1801803013515A B C =︒--=︒-︒-︒=︒，又sin15sin(4530)sin 45cos30cos 45sin 30︒=︒-︒=︒︒-︒︒=由正弦定理得sin sin a b A B =，所以2sin 41sin 2b Aa B===．7．已知,a b 为单位向量，其夹角为60 ，则(2)•a b b -= __________．【答案】0【详解】()222·2·211cos 6010a b b a b b ︒-=-=⨯⨯⨯-= .8．函数π3π()sin 2,,44f x x x ⎛⎤=∈- ⎝⎦的值域为_____．【答案】[1,1]-【分析】根据正弦函数的图象和性质即得.【详解】因为函数π3π()sin 2,,44f x x x ⎛⎤=∈- ⎥⎝⎦，π3π2,22x ⎛⎤∈- ⎝⎦，所以[]sin 21,1x ∈-，即函数π3π()sin 2,,44f x x x ⎛⎤=∈- ⎥⎝⎦的值域为[1,1]-故答案为：[1,1]-.9．已知向量(4,3)OA = 和(1,2)OB = ，则(2,1)OP =- 用OA 和OB来表示是______．【答案】2OA OB-【分析】设OP OA OB λμ=+，根据(2,1)(4,3)(1,2)λμ-=+可求出结果.【详解】设OP OA OB λμ=+，则(2,1)(4,3)(1,2)λμ-=+，所以24132λμλμ=+⎧⎨-=+⎩，解得12λμ=⎧⎨=-⎩，所以2OP OA OB =- ．故答案为：2OA OB -.10．将函数3sin(2π)y x =-上的点，先保持纵坐标不变，将横坐标放大为原来的两倍，再向左平移π4个单位，得到的函数解析式是______．【答案】π3sin 4y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭【分析】先结合诱导公式化简函数，再根据三角函数图象的伸缩变换与平移变换求得最终函数解析式即可.【详解】解：由于3sin(2π)3sin 2y x x =-=-．将横坐标放大为原来的两倍得解析式为3sin y x =-，再向左平移π4个单位，得到的函数解析式为π3sin 4y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.故答案为：π3sin 4y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.11．已知向量(),12= OA k ，()4,5= OB ，(),10=-OC k ，且A 、B 、C 三点共线，则k =_______【答案】23-【分析】先求出,AB BC的坐标，再根据A 、B 、C 三点共线求出k 的值.【详解】由题得(4,7)AB OB OA k =-=--，(4,5)BC OC OB k =-=--，因为A 、B 、C 三点共线，所以=AB BC λ ，所以(4)57(4)0k k -⋅+--=，所以23k =-.故答案为：23-【点睛】本题主要考查向量的坐标运算和共线向量，考查三点共线，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1,(2,)A a B b ,，且2cos23α=，则a b -=___________.【解析】由2cos23α=利用二倍角的余弦公式和同角公式可得|tan |5α=，再根据三角函数的定义可得2b a =且tan a α=，进一步可得a b -的值.【详解】因为2cos23α=，所以222cos sin 3αα-=，所以2222cos sin 2cos sin 3αααα-=+，所以221tan 21tan 3αα-=+，所以21tan 5α=，所以|tan |α=因为tan 12a bα==，所以2b a =，所以|||2|||a b a a a -=-=|tan |α=【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式，考查了同角公式，考查了三角函数的定义，属于基础题.二、单选题13．下列函数中是偶函数的是()A ．y ＝sin2xB ．y ＝－sin xC ．y ＝sin|x |D ．y ＝sin x ＋1【答案】C【详解】A 、B 是奇函数，D 是非奇非偶函数，C 符合f (－x )＝sin|－x |＝sin|x |＝f (x )，∴y ＝sin|x |是偶函数14．下列四个命题中，正确的个数是（）①2()()()a c b c a b c⋅⋅⋅=⋅⋅ ②零向量垂直于任何向量③“//a b ”等价于“存在实数λ，使得a b λ= ”④222()a b a b⋅=⋅ A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】A【分析】对于①，根据平面向量数量积的定义运算可知①不正确；；对于②，零向量不谈垂直问题；对于③，缺少条件0b ≠；对于④，2222()cos ,a b a b a b ⋅=⋅⋅<>.【详解】对于①，等式左边2||||||cos ,cos ,a b c a c b c =⋅⋅<>⋅<>，等式右边2||||||cos ,a b c a b =⋅⋅⋅<>，故①不正确；对于②，零向量的方向是任意的，零向量不谈垂直问题，故②不正确；对于③，“//a b (0)b ≠”等价于“存在实数λ，使得a b λ= (0)b ≠ ”，故③不正确；对于④，2222()cos ,a b a b a b ⋅=⋅⋅<> ，故④不正确.故选：A15．设,m n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m n λ= ”是“0m n ⋅<”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据共线向量和向量数量积的定义依次判断充分性和必要性即可得到结果.【详解】若,m n 为非零向量，且存在负数λ，使得m n λ=，则,m n 共线且方向相反，20m n n λ∴⋅=<，充分性成立；当0m n ⋅<时，,m n 的夹角可能为钝角，此时不存在复数λ，使得m n λ= ，必要性不成立；∴“存在负数λ，使得m n λ= ”是“0m n ⋅<”的充分不必要条件.故选：A.16．设ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若cos cos sin b C c B a A +=，则ABC 的形状为（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形【答案】B【分析】根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简求得sin A 的值进而求得A ，判断出三角形的形状.【详解】∵cos cos sin b C c B a A +=，由正弦定理得：()2sin cos sin cos sin sin sin B C C B B C A A +=+==，∵sin 0A ≠，∴sin 1A =，2A π=，故三角形为直角三角形，故选：B.【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，解题的关键时利用正弦定理把等式中的边转化为角的正弦，属于基本知识的考查.三、解答题17．已知tan 1tan 1αα=--，求下列各式的值：（1）sin 3cos sin cos αααα-+；（2）2sin sin cos 2ααα++.【答案】（1）53-；（2）2.6.【解析】由tan 1tan 1αα=--求出1tan 2α=.（1）由sin 3cos sin cos αααα-+分子分母同除以cos α求解；（2）将2sin sin cos 2ααα++，变形为22223sin sin cos 2cos sin cos αααααα+++，再分子分母同除以2cos α求解【详解】因为tan 1tan 1αα=--，所以1tan 2α=.（1）sin 3cos tan 35sin cos tan 13αααααα--==-++；（2）2sin sin cos 2ααα++，22223sin sin cos 2cos sin cos αααααα++=+，223tan tan 2tan 1ααα++=+，31242114++=+，2.6=18．已知飞机从A 地按北偏东30︒的方向飞行2000km 到达B 地，再从B 地按南偏东30︒的方向飞行2000km 到达C 地，再从C地按西南方向飞行到达D 地．求D 地与A 地之间的距离．【答案】【分析】作图后由几何关系及余弦定理求解.【详解】由题意得2000km AB BC ==，60ABC ∠=︒，所以2000km AC =，因为45ACD ∠=︒，CD =，所以AD ==，所以AD CD ==45CAD ∠=︒，D 地在A 地的南偏东45︒，D 地距A地．19．已知向量(sin 21,cos )a x x =- ，(1,2cos )b x = ．设函数()f x a b =⋅．(1)求函数()f x 的解析式并化简，写出其最小正周期；(2)求函数()f x 的单调递减区间；(3)求关于x 的方程()f x =在区间π7π,88⎡⎤-⎢⎣⎦上的解集．【答案】(1)()π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，最小正周期为π；(2)π5ππ,π(Z)88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(3)131,2882ππ⎧⎪-⎨⎪⎪⎩⎭【分析】（1）根据数量积坐标运算及三角恒等变换化简得()f x 的解析式，再由周期公式求最小正周期.（2）令ππ3π2π22π242k x k +≤+≤+解得x 的范围即为()f x 的单调递减区间；（3）在π7π,88x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦内解三角方程，用反三角函数表示解集.【详解】（1）函数()2πsin 212cos sin 21cos 2124f x a b x x x x x ⎛⎫=⋅=-+=-++=+ ⎪⎝⎭ ，故函数的周期为2ππ2=．（2）令ππ3π2π22π242k x k +≤+≤+，Z k ∈，得π5πππ88k x k +≤≤+，故函数的单调递减区间为π5ππ,πZ)88k k k ++∈[．（3）由()3f x =得πsin(2)43x +=，因为π7π,88x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以[]π20,2π4x +∈，所以π2arcsin4x +=π2π4x +=-故所求解集为1π3π1arcsin,arcsin 238823⎧⎪--⎨⎪⎪⎩⎭．20．已知向量(cos ,sin )a αα=r ，(cos ,sin )b ββ= ，5a b -= .（1）求cos()αβ-的值；（2）若02πα<<，02πβ-<<，且5sin 13β=-，求sin α的值.【答案】（1）35；（2）3365.【分析】（1，进而通过两边同时平方以及同角的平方关系以及两角差的余弦公式的逆用即可求出结果；（2）结合角范围以及同角的平方关系求出()sin αβ-和cos β的值，进而利用两角和的正弦公式凑角即可求出结果.【详解】（1）因为向量(cos ,sin )a αα=r ，(cos ,sin )b ββ= ，所以(cos cos ,sin sin )a b αβαβ-=--，又因为a b -= 22224cos cos 2cos cos sin sin 2sin sin 5αβαβαβαβ+-++-=，即()422cos 5αβ--=，所以()3cos 5αβ-=；（2）因为02πα<<，02πβ-<<，所以0αβπ<-<，所以()4sin 5αβ-==，又因为5sin 13β=-，所以12cos 13β==所以()()()sin sin sin cos cos sin ααββαββαββ=-+=-+-⎡⎤⎣⎦412353351351365⎛⎫=⨯+⨯-= ⎪⎝⎭.21．在ABC 中，角A 为锐角，且22sin sin 4sin sin sin B C B C A m +⎛⎫== ⎪⎝⎭，其中R m ∈．(1)证明：22()4b c m bc+=；(2)求实数m 的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)22⎛⎛- ⎝⎭⎝ 【分析】（1）由2sin sin 4sin sin ()B C B C m+=及正弦定理得证；（2）在2220cos 12b c a A bc+-<=<中将24a bc =代入后剩下关于,b c 的不等式，将其变形为关于2()b c bc +的不等式，即得到m 的取值范围．【详解】（1）由正弦定理sin sin sin a b cA B C ==和22sin sin sin 4sin sin ()B C A B C m+==，得222()4b c a bc m +==，所以22()4b c m bc+=；（2）因为角A 为锐角，所以2220cos 12b c a A bc+-<=<，所以224012b c bcbc +-<<，所以2246bc b c bc <+<，则26()8bc b c bc <+<，即2()68b c bc+<<，所以2648m <<，所以m <<2m <<所以实数m 的取值范围( ．。
