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江苏省扬州中学2018届高三年级第四次模拟考试数学试题

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江苏省扬州中学2018届高三年级第四次模拟考试数学试卷必做题部分一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1、已知集合{1,0,2},{21,},A B x x n n Z =-==-∈则A B ⋂= ▲ ．2、已知复数1212,2z i z a i =-=+（其中i 是虚数单位，a R ∈），若12z z ⋅是纯虚数，则a 的值为 ▲ ．3、从集合{1,2,3}中随机取一个元素，记为a ，从集合{2,3,4}中随机取一个元素，记为b ，则a b ≤的概率为 ▲ ．4、对一批产品的长度（单位:毫米）进行抽样检测，样本容量为400， 右图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度 在区间[25,30)的为一等品，在区间[20,25) 和[30,35)的为二等品， 其余均为三等品，则样本中三等品的件数为 ▲ ．5、运行右面的算法伪代码，输出的结果为S= ▲ ．6、若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>则双曲线C 的渐近线方程为 ▲ ．7、正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面边长为2，D 为BC 中点，则三棱锥A -B 1DC 1的体积为 ▲ ．8、函数cos(2)()y x ϕπϕπ=+-≤≤的图象向右平移2π个单位后，与函数sin(2)3y x π=+的图象重合，则ϕ= ▲ ．9、若函数()ln(f x x x =+为偶函数，则a = ▲ ．10、已知数列{}n a 与2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭均为等差数列（n N *∈），且12a =，则10=a ▲ ． 11、若直线20kx y k --+=与直线230x ky k +--=交于点P ，则OP 长度的最大值为 ▲ ．12、如图，已知4AC BC ==，90ACB ∠=，M 为BC 的中点，D 为以AC 为直径的圆上一动点， 则AM DC ⋅的最小值是 ▲ ．S 011011(1)Print For i From ToStep S S i i End ForS ←←++(第12题图)13、已知函数()()22,22,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ ，函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若函数 ()()y f x g x =- 恰有4个零点，则实数b 的取值范围是 ▲ ．14、已知,x y 均为非负实数，且1x y +≤，则22244(1)x y x y ++--的取值范围为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15、已知ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,向量(1,2)m =，2(cos2,cos )2An A =，且1m n ⋅=. (1)求角A 的大小；(2)若2b c a +==，求sin()π-4B 的值16、如图，四棱锥P —ABCD 中，四边形ABCD 为菱形，P A ⊥平面ABCD ，BD 交AC 于点E ，F 是线段PC 中点，G 为线段EC 中点． （1）求证：FG//平面PBD ； （2）求证：BD ⊥FG ．17、已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左焦点为F ，上顶点为A ，直线AF 与直线023=-+y x 垂直，垂足为B ，且点A 是线段BF 的中点. （1）求椭圆C 的方程；（2）若M ，N 分别为椭圆C 的左，右顶点，P 是椭圆C 上位于第一象限的一点，直线MP 与直线4=x 交于点Q ，且9MP NQ =，求点P 的坐标.18、中国古建筑中的窗饰是艺术和技术的统一，给人以美的享受．如图为一花窗中的一部分，呈长方形，长30 cm ，宽26 cm ，其内部窗芯（不含长方形边框）用一种条形木料做成，由两个菱形和六根支条构成，整个窗芯关于长方形边框的两条对称轴成轴对称．设菱形的两条对角线长分别为x cm 和y cm ，窗芯所需条形木料的长度之和为L ． （1）试用x ，y 表示L ；（2）如果要求六根支条的长度均不小于2 cm ，每个菱形的面积为130 cm 2，那么做这样一个窗芯至少需要多长的条形木料（不计榫卯及其它损耗）？19、已知函数2()=x x f x e，（1）求函数()f x 的单调区间；（2）当240m e<<时，判断函数2(),(0)xx g x m x e=-≥有几个零点，并证明你的结论； （3）设函数21111()+()()22⎡⎤=-----⎢⎥⎣⎦h x x f x x f x cx x x ，若函数()h x 在()0,+∞为增函数，求实数c 的取值范围．20、已知数列{}n a 中，11a =，前n 项和为n S ，若对任意的*n N ∈，均有n n k S a k +=-（k 是常数，且*k N ∈）成立，则称数列{}n a 为“()H k 数列”.（1）若数列{}n a 为“(1)H 数列”，求数列{}n a 的前n 项和n S ；（2）若数列{}n a 为“(2)H 数列”，且2a 为整数，试问：是否存在数列{}n a ，使得211||40n n n a a a -+-≤对任意2n ≥，*n N ∈成立？如果存在，求出这样数列{}n a 的2a 的所有可能值，如果不存在，请说明理由。

附加题21A ．选修4-1：几何证明选讲如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，AE=AC ，DE 交AB 于点F ．求证：△PDF ∽△POC ．21B ．选修4-2：矩阵与变换已知矩阵2011M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求矩阵M 的特征值及其相应的特征向量．21C ．选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()3πθρ=∈R ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为2cos ,1cos 2αα=⎧⎨=+⎩x y （α为参数），求直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标。

21D ．选修4-5：不等式选讲设a ，b ，c ，d都是正数，且x y ==xy ．22、甲、乙两班各派三名同学参加知识竞赛，每人回答一个问题，答对得10分，答错得0分，假设甲班三名同学答对的概率都是23，乙班三名同学答对的概率分别是221,,332，且这六名同学答题正确与否相互之间没有影响．（1）记“甲、乙两班总得分之和是60分”为事件A ，求事件A 发生的概率； （2）用X 表示甲班总得分，求随机变量X 的概率分布和数学期望．23、已知函数()()0sin =axf x e bx ，设()n f x 为()1n f x -的导数，*n N ∈．（1）求()1f x ，()2f x ；（2）猜想()n f x 的表达式，并证明你的结论．参考答案1.{－1} ；2. －4；3.89；4.100；5. 1011； 6. y ＝±3x ； 7. 1；8. 56πϕ=； 9.1； 10. 20；11. 1；12. 13. 7,24⎛⎫⎪⎝⎭； 14. 2[,4]314.解：因为,0x y ≥，所以2222()()2x y x y x y +≤+≤+ ，令t x y =+，则01t ≤≤ ．22222244(1)4(1)5214x y x y t t t t ++--≤+-=-+≤．当0xy=且1t =，即0,1x y ==或1,0x y ==时取等号；另一方面，222222244(1)2(1)3213x y x y t t t t ++--≥+-=-+≥ 当16xy ==时取等号．所以222244(1)[,4]3x y x y ++--∈．15.解：(1)由题意得222cos22cos 2cos 1cos 12cos cos 2Am n A A A A A ⋅=+=-++=+又因为1m n ⋅=，所以22cos cos 1A A +=，解得1cos 2A =或cos 1A =- 0,3A A ππ<<∴= ……7分 (2)在ABC ∆中，由余弦定理得22222122b c bc b c bc =+-⋅=+- ①又b c +=b c =，代入①整理得230c -+=，解得c =，∴b =于是a b c === 即ABC △为等边三角形，B 3π∴=πππ-∴-=-==6sin()sin()4344B ……14分16．证明：（Ⅰ）连结PE ，因为G.、F 为EC 和PC 的中点，∴⊂⊄∴，平面，平面PBD PE PBD ,//FG PE FG //FG PE ， ……3分又FG ⊄平面PBD ，PE ⊂平面PBD ，所以FG 平面PBD ……7分（II ）因为菱形ABCD ，所以BD AC ⊥，又PA ⊥面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD PA ⊥， 因为PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，且PA AC A ⋂=，BD ∴⊥平面PAC ， FG ⊂平面PAC ，BD ⊥FG ……14分17. 解（1）22142x y += （过程略） ……6分 （2）方法1：“点参”设00()P x y ，，则直线MP 的方程为00(2)+2y y x x =+，所以006(4,)+2y Q x 所以22000000062(+2)6(+2)(2)+2+2y x y MP NQ x y x x +==，， ……8分 由00()P x y ，在椭圆上得2200122y x =-，所以2000820+2x x MP NQ x -++= ……10分所以20008209+2x x x -++=，解得01x =或02x =-（舍），所以(1,2P ……14分 方法2：“k 参”设直线MP 的方程为(2),(0)y k x k =+>，由22142(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得2222(12)8840k x k x k +++-= 因为2M x =-，所以222412P k x k-=+，所以222244(,),1212k kP k k -++ ……10分 又(4,6)Q k ，所以2244(,),(2,6)1212kMP NQ k k k ==++， 所以22248912k MP NQ k +==+，解得216k =，故k =，所以P ……14分 18.解：（1）水平方向每根支条长为302152x m x -==-cm ，竖直方向每根支条长为261322yy n -==-cm ，2=cm ．所以L 2(15)4(13)822yx =-+-+=822()x y ++cm ． ……6分（2）由题意得11302xy =，即260y x =，由152,132,2x y--⎧⎪⎨⎪⎩≥≥得1301311x ≤≤．……8分 所以260822()L x x =++．令260t x x =+，其导函数2260()10t x x '=-<，（1301311x ≤≤）， 故260t x x =+在130[,13]11上单调递减，故372[33,]11t ∈．……10分 所以822L t =+，其中定义域372[33,]11t ∈……12分 求导得()1)0L t '=>，所以822L t =+在372[33,]11t ∈上为增函数， 故当33t=，即13,20x y ==时L有最小值16+答：做这样一个窗芯至少需要16+长的条形木料． ……16分19.解：（1）222(2)()⋅-⋅-'==x x x xx e x e x x f x ，所以单调增区间0,2，单调减区间为,0-∞、2,+∞ ………4分（2）函数2(),(0)x x g x m x e=-≥有2个零点。

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江苏省扬州大学附属中学2018届高三数学周练(4)(无答案)

江苏省扬州大学附属中学2018届高三数学周练(4)(无答案)

江苏省扬州大学附属中学2018届高三数学周练（4）一、填空题（本大题共有14小题，每题5分，共70分）1、已知集合}4,2,1{},5,4,3,2,1{==A U ，则=A C U .2、已知复数i z i z +=+=3,3121（i 为虚数单位），在复平面内21z z -对应的点在第 象限.3、“βα≠”是“βαsin sin ≠”的 条件.（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）4、已知平面向量),2(),2,1(m -==，且b a ∥，则=+b a 32 .5、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线x y 82=上横坐标为1的点到其焦点的距离为 .6、设函数)22,0)(sin(3)(πϕπωϕω<<->+=x x f 的图象关于直线π32=x 对称，它的周期是π，则=)(x f .7、设函数)(x f 是奇函数且周期为3，1)1(-=-f ，则=)2017(f .8、已知)0,0(232>>=+y x yx ，则xy 的最小值是 . 9、双曲线与椭圆1362722=+y x 有相同焦点，且经过点)4,15(，则其标准方程为 . 10、在△ABC 中，c b a ,,分别为角A ，B ，C 的对边，若15tan ,3,2-===B c a ，则=b .11、如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆)0(12222>>=+b a by a x 被围于由4条直线b y a x ±=±=,所围成的矩形ABCD 内，任取椭圆上一点P ，若),(R n m OB n OA m OP ∈⋅+⋅=，则n m 、满足的一个等式是 .12、已知抛物线)0(2:2>=p px y C 的准线为l ，过M （1，0）且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与C的一个交点为B. 若=，则=p .13、在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线122=-y x 右支上的一个动点. 若点P 到直线01=+-y x 的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为 . 14、已知b a ,为正实数，且2=+b a ，则1222+++b b a a 的最小值为 . 二、解答题（本大题共有6小题，共90分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15、已知向量)1,2(),sin ,(cos -==b a θθ.（1）若b a ⊥，求θθθθcos sin cos sin +-的值；（2)2,0(,2πθ∈=-，求)4sin(πθ+的值.16、如图，A ，B ，C 是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x M 上的三点，其中点A 是椭圆的右顶点，BC 过椭圆M 的中心，且满足AC ⊥BC ，BC =2AC.（1）求椭圆的离心率；（2）若y 轴被△ABC 的外接圆所截得的弦长为9，求椭圆方程.17、某小区有一块三角形空地，如图△ABC ，其中AC =180米，BC =90米，∠C =90°，开发商计划在这片空地上进行绿化和修建运动场所，在△ABC 内的P 点处有一服务站（其大小可忽略不计），开发商打算在AC 边上选一点D ，然后过点P 和点D 画一分界线与边AB 相交于点E ，在△ADE 区域内绿化，在四边形BCDE 区域内修建运动场所. 现已知点P 处的服务站与AC 距离为10米，与BC 距离为100米. 设d DC =米，试问d 取何值时，运动场所面积最大?18、如图，一块弓形薄铁片EMF ，点M 为弧EF 的中点，其所在圆O 的半径为4dm （圆心O 在弓形EMF 内），32π=∠EOF . 将弓形薄铁片裁剪成尽可能大的矩形铁片ABCD （不计损耗），AD ∥EF ，且点A 、D 在弓形弧EMF 上，设θ2=∠AOD .（1）求矩形铁片ABCD 的面积S 关于θ的函数关系式；（2）当矩形铁片ABCD 的面积最大时，求θcos 的值.19、如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆)0(12222>>=+b a by a x 过点)23,1(，离心率为23，又椭圆内接四边形ABCD （点A 、B 、C 、D 在椭圆上）的对角线AC ，BD 相交于点)41,1(P ，且PD BP PC AP 2,2==. （1）求椭圆的方程；（2）求直线AB 的斜率.20、已知函数x x x g ln sin 1)(+⋅=θ在),1[+∞上为增函数，且),0(πθ∈，R m x xm mx x f ∈---=,ln 1)(. （1）求θ的值； （2）若)()(x g x f -在),1[+∞上为单调函数，求m 的取值范围；（3）设xe x h 2)(=，若在],1[e 上至少存在一个0x ，使得)()()(000x h x g x f >-成立，求m 的取值范围.。

江苏省扬州市高三第四次模拟考试（数学）

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江苏省扬州市高三第四次模拟考试数 学．5全卷分两部分：第一部分为所有考生必做部分（满分160分，考试时间120分钟），第二部分为选修物理考生的加试部分（满分40分，考试时间30分钟）． 注意事项：1． 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方． 2．第一部分试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．3．选修物理的考生在第一部分考试结束后，将答卷交回，再参加加试部分的考试．第 一 部 分一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．已知集合{2,3},{1,},{2},A B a A B A B ====若则 ▲ .2．“1x >”是“11x<”的 条件．（充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要）3．复数13z i =+，21z i =-，则复数12z z 在复平面内对应的点位于第 ▲ .象限． 4．某人5 次上班所花的时间（单位：分钟）分别为,8,10,11,9x ，若这组数据的平均数为10，则其方差为 ▲ .5．从[]1,1-内任意取两个实数，这两个数的平方和小于1的概率为 ▲ . 6．若将函数x x y sin 3cos -=的图象向左移)0(>m m 个单位后，所得图象关于y 轴对称，则实数m 的最小值为 ▲ .7．设,αβ为互不重合的平面，,m n 是互不重合的直线，给出下列四个命题： ①//,,//m n n m αα⊂若则②,,//////m n m n ααββαβ⊂⊂若，，则 ③//,,//m n m n αβαβ⊂⊂若，则 ④若,,,,m n n m n αβαβαβ⊥⋂=⊂⊥⊥则； 其中正确命题的序号为 ▲ .8．函数3()f x x ax =+在(1,2)处的切线方程为 ▲ . 9．执行右边的程序框图，若9p =，则输出的S= ▲ .10．已知函数⎩⎨⎧=xx x f 3log )(2)0()0(≤>x x ，且关于x 的方程0)(=-+a x x f 有且仅有两个实根，则实数a 的取值范围是 ▲ .11．已知二次函数)(2)(2R x c x ax x f ∈++=的值域为),0[∞+，则)1(f 的最小值为 ▲ .12．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与抛物线22(0)y px p =>有相同的焦点F ，,P Q 是椭圆与抛物线的的交点，若PQ 经过焦点F ，则椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为▲ .13．在ABC ∆中，3,4,5AB AC BC ===，O 点是内心，且12AO AB BC =λ+λ，则=+21λλ ▲ .14．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若322(1)2010(1)1a a -+-=，320092009(1)2010(1)1a a -+-=-，则下列四个命题中真命题的序号为 ▲ . ①20092009S =； ②20102010S =； ③20092a a <； ④20092S S <二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC =，点D 在边BC 上，1AD C D ⊥。

2018届江苏省扬州中学高三模拟考试(4月)-数学试题及答案-精品

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O 2018届江苏省扬州中学高三数学冲刺训练(5.17 )一、填空题:1. _______________________________________________________ 设全集I ={135,7,9}，集合A= {1 , 3, 9}，则C I A = ________________________2. 计算复数(1 -i )2-匕= ___________________1 —2i3. 已知向量a= (1 —sin日,1), b = ( - , 1 + sinT ),且 a //2b，则锐角日等于 ______4. _________________ 若三点A(2 , 2), B(a, 0), Q0 , b) ,(ab^0)共线，则的值等于.a b5. 如右图，该程序运行后输出的结果为__________lg x, x 06. 设f(x) % ______________________ ，贝S f(f(-2))二.(10x,x, 07.已知集合A= {x | x2—3x + 2v 0}, B= {x | x v a}，若A B,则实数a的取值范围是 ____________ .&已知圆C: x2+ y2= 12,直线I : 4x + 3y = 25，圆C上任意一点A到直线I的距离小于2的概率为______ 9.若等边△ A BC的边长为23，平面内一点M满足CM4CB I CA，贝“MA MB二A10.在正三棱锥P—ABC中, M, N分别是PB PC的中点，若截面AMNL平面PBC则此棱锥中侧面积与底面积的比为11. 已知函数f(x)二e x_2x a有零点，贝卩a的取值范围是12. 设点P ( x o, y o)是函数y =tanx与x ^0 (x€( - , n)图象的交点，贝S(x0 1)( cos2x o 1)的值是_____________13. _______________________________________ 如图，已知椭圆C的中点在原点Q长轴左、右端点M N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN且C, C2的离心率都为e,直线I丄MN I与C交于两点，与C2 交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A, B, CD，若存在直线I，使得BO/ AN求椭圆离心率的取值范围.14 .以0,m间的整数m 1, m N为分子，以m为分母组成分数集合几，其所有元素和为a1 ；以0,m2间的整数m 1,m N为分子，以m2为分母组成不属于集合A1的分数集合A2，其所有元素和为a2 ；……，依次类推以0,m n间的整数m 1,m N为分子，以m n为分母组成不属于Ag 、的分数集合A n,其所有元素和为a n ；则a^a^^a n= _________________三、解答题15.已知△ ABC勺三个顶点的直角坐标分别为qc, 0).(1) 若AB AC =0，求c 的值；(2)若c= 5,求sin / A 的值.16.如图，在斜三棱柱 ABC-ABG 中，侧面AABB 是菱形，且垂直于底面 ABC / AAB= 60°, E , F 分别是AB , BC 的中点.高考 资源网(1)求证：直线EF//平面AACC⑵在线段丄平面ABCF（第17题）何设17.某单位设计的两种密封玻璃窗如图所示：图1是单层玻璃，厚度为8 mm 图2是双层中空玻璃，厚度均为 4 mm中间留有厚度为x的空气隔层.根据热传导知识，对于厚度为d的均匀介质，两侧的温度差为T，单位时间内，在单位面积上通过的热量Q=k ^r，其中k为热传导系数.d假定单位时间内，在单位面积上通过每一层玻璃及空气隔层的热量相等.（注：玻璃的热传导系数为4 10" J mm/C ,空气的热传导系数为2.5 10 J mm/ C .）（1）设室内，室外温度均分别为T1 , T2，内层玻璃外侧温度为T1，外层玻璃内侧温度为T2，且T T；T/ T2 .试分别求出单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量（结果用T , T2及x表示）;（2）为使双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量只有单层玻璃的图1 墙图2._ 2 18•如图’在平面直角坐标系心中，A B分别是椭圆：》八1的左、右顶点,R2, t)( t € R,且t工0)为直线x = 2上一动点, 任意引一直线I与椭圆交于C D,连结PQ 分别和AC AD连线交于E、F。

2018届江苏省扬州中学高三4月双周练数学试题及答案 精品

2018届江苏省扬州中学高三4月双周练数学试题及答案 精品

高三双周练数学试卷2018.4.18.一、填空题：1．已知集合{0}A x x =>，{1012}B =-，，，，则A B 等于 ▲ ．2．已知虚数z 满足216i z z -=+，则||z = ▲ ．3．抛物线22y x =的准线方程为 ▲ ．4．函数()2ln f x x x =-的单调递减区间为 ▲ ．5．某射击运动员在四次射击中分别打出了10，x ，10，8环的成绩，已知这组数据的平均数为9，则这组数据的标准差是 ▲ ．6．已知直线3430x y +-=与直线6140x my ++=平行，则它们之间的距离是 ▲ ．7．角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(1,2)P ，则)cos(απ-的值是 ▲ ．8．若一个正四棱锥的底面边长为2cm ，侧棱长为3cm ，则它的体积为 ▲ cm 3.9．若实数,a b 满足20101a b b a a +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，则22a ba b++的最大值为_____▲____.10．将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6）先后抛掷两次得到的点数m 、n 分别作为点P 的横、纵坐标，则点P 不在．．直线5x y +=下方的概率为 ▲ .11.已知函数2()21f x x ax =-+，若存在(,)42ππϕ∈，使(sin )(cos )f f ϕϕ=，则实数a 的取值范围____▲_____.12．已知点(2,0),(4,0)A B -，圆,16)()4(:22=+++b y x C 点P 是圆C 上任意一点，若PA PB为定值，则b =____▲____.13．在正项等比数列{}n a 中，43215a a a a +--=，则56a a +的最小值为____▲___.14.已知函数()sin f x x x =+，不等式()cos f x ax x ≥在[0,]2π上恒成立，则实数a 的取值范围为_____▲______.二、解答题：本大题共6小题，共90分． 15．(本小题满分14分)如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是平行四边形. （1）若CF⊥AE，AB⊥AE，求证：平面ABFE⊥平面CDEF ； （2）求证：EF//平面ABCD.ABCD EF16．(本小题满分14分)已知函数()2cos()(05)63f x x x ππ=+≤≤，点B A ,分别是函数)(x f y =图象上的最高点和最低点．（1）求点B A ,的坐标以及⋅的值；（2）设点B A ,分别在角])2,0[,(,πβαβα∈的终边上，求)22sin(βα-的值．17．(本小题满分14分) 在平面直角坐标系xoy 中，椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为21，右焦点F （1,0），点P 在椭圆C 上，且在第一象限内，直线PQ 与圆O ：222b y x =+相切于点M. （1）求椭圆C 的方程；（2）求|PM|·|PF|的取值范围；（3）若OP⊥OQ，求点Q的纵坐标t的值.18．(本小题满分16分)如图（1），有一块形状为等腰直角三角形的薄板，腰AC的长为a米（a为常数），现在斜边AB上选一点D，将△ACD 沿CD折起，翻扣在地面上，做成一个遮阳棚，如图（2）. 设△BCD的面积为S，点A到直线CD的距离为d. 实践证明，遮阳效果y与S、d的乘积Sd成正比，比例系数为k（k为常数，且k>0）.（1）设∠ACD=θ，试将S表示为θ的函数；（2）当点D在何处时，遮阳效果最佳（即y取得最大值）？ABCD图（2）19．（本小题满分16分）对于函数(),()f xg x，如果它们的图象有公共点P，且在点P 处的切线相同，则称函数()f x和()g x在点P处相切，称点P 为这两个函数的切点.设函数2=-≠,()ln()(0)f x ax bx a=.g x x（1）当1a=-,0b=时, 判断函数()g x是否相切？并说明f x和()理由；（2）已知a b=，0a>，且函数()g x相切，求切点P的坐f x和()标；（3）设0-，问是否存在符合条件的函a>，点P的坐标为1(,1)e数()g x，使得它们在点P处相切？若点P的坐标为f x和()2(e,2)呢？（结论不要求证明）20．（本小题满分16分）设数列{}n a 的通项公式为n a pn q =+(,0)n N p *∈>，数列{}n b 定义如下：对于正整数m ，m b 是使得不等式n a m ≥成立的所有n 中的最小值.（1）若11,23p q ==-，求3b ;（2）若2,1p q ==-，求数列{}m b 的前2m 项和公式;（3）是否存在p 和q ，使得32m b m =+()m N *∈？如果存在，求p和q 的取值范围？如果不存在，请说明理由.附加题部分：21B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3 3 c d ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11，属于特征值1的一个特征向量为α2＝_______…………………………………………⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 3－2 ．求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．21C ．选修4—4：极坐标与参数方程 已知圆的极坐标方程为：()2πcos 604ρθ--+=． （1）将极坐标方程化为普通方程；（2）若点P (x ，y )在该圆上，求x ＋y 的最大值和最小值．22．(本题满分10分)为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者，从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者,其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区间是：[)[)[)[)[]20,25,25,30,30,35,35,40,40,45．（1）求图中x 的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[)35,40岁的人数；（2）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加中心广场的宣传活动，再从这20名中采用简单随机抽样方法选取3名志愿者担任主要负责人，记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望．23. (本题满分10分)若一个正实数能写成n N∈的形式，则称其为“兄弟*)数”.求证：（1）若x为“兄弟数”，则2x也为“兄弟数”；（2）若x为“兄弟数”，k是给定的正奇数，则k x也为“兄弟数”.数学试卷参考答案及评分标准 2018.41．{}1,2 2．5 3．81-=y 4．)2,0( 5．1 6．2 7．55-8．374 9．57 10．56 11. 12. 13.20 14.2a ≤ 15．（1）∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AB//CD，又∵AB⊥AE， ∴AE⊥CD 又∵AE⊥CF，CD∩CF=C，CD 、CF ⊂平面CDEF ，∴AE⊥平面CDEF ，又∵AE ⊂平面ABFE ，∴平面ABFE⊥平面CDEF………7分（2）∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AB//CD又∵AB ⊄平面CDEF ，CD ⊂平面CDEF ，∴AB//平面CDEF 又∵AB ⊂平面ABFE ，平面ABFE ∩平面CDEF=EF ，∴AB//EF 又∵EF ⊄平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴EF//平面ABCD.………14分17.（1）⎪⎩⎪⎨⎧==121c a c (2)分∴c =1，a =2，∴3=b ，∴椭圆方程为13422=+y x …………4分（2）设),(00y x P ，则)20(13402020<<=+x y xPM=0202020202134333x x x y x =--+=-+， (6)分PF=0212x -…………8分∴PM·PF=1)2(41)4(412000+--=-x x x ，∵200<<x ，∴|PM|.|PF|的取值范围是（0,1） (10)分（3）法一：①当PM⊥x 轴时，P )23,3(，Q ),3(t 或),3(t -， 由0=⋅OQ OP 解得32±=t ……………………12分 ②当PM 不垂直于x 轴时，设),(00y x P ，PQ 方程为)(00x x k y y -=-，即000=+--y kx y kx ∵PQ 与圆O 相切，∴31||200=+-k y kx ，∴33)(2200+=-k y kx∴002y kx 33220202--+=k y x k ………………13分又),(00t kkx y t Q +-，所以由0=⋅得00000)(ky x kx y x t +-=……14分∴=+-=200200202)()(ky x kx y x t =++-0020220200202)(y kx y k x y kx x 33)33(22020220220220--++++k y x k y k x k x =33)43)(1()1()33(220222220---++++k x k x k k x =12，∴32±=t ……16分法二：设),(00y x P ，则直线OQ ：x y x y 00-=，∴),(00t t x y Q -， ∵OP⊥OQ，∴OP·OQ=OM·PQ ∴20200222202020)()(3t y t x y x t t x y y x -++⋅=+⋅+………12分 ∴)(33)(22022202202220202020222020t x x y x t y t x y x y x x t y x ++⋅=+++⋅=+⋅+∴)(3)(22022020t x t y x +=+，∴332020202-+=y x x t ………………14分 ∵1342020=+yx ，∴43322xy -=，∴1241320202==x xt ，∴32±=t ……………16分 18. （1）△BCD 中BCDCDBBC ∠=∠sin sin ， ∴45sin )45sin(CDa =+θ，∴)45sin(2+=θaCD …………4分∴BCD CD BC S ∠⋅⋅=sin 21 )45sin(4cos 22+=θθa ， 900<<θ……6分（其中范围1分）（2）θsin a d =…………8分kSd y =)45sin(4cos sin 23+=θθθka )cos (sin 2cos sin 3θθθθ+=ka ………………10分令t =+θθcos sin ，则]2,1(∈t ，21cos sin 2-=t θθ∴)1(44)1(323tt ka t t ka y -=-=在区间]2,1(上单调递增，…………13分∴当2=t 时y 取得最大值，此时4πθ=，即D 在AB 的中点时，遮阳效果最佳.………………16分 19.（1）结论：当1a =-,0b =时,函数()f x 和()g x 不相切.…1分 理由如下：由条件知2()f x x =-，由()ln g x x =，得0x >，错误！未找到引用源。