§11.4对面积的曲面积分

Σ
（D） f ( x, y, z ) = xyz 关于 x (或关于 y )为奇函数，故
∫∫ xyzdS = 0 ；
Σ
而在 Σ1 上， f ( x, y, z ) = xyz ≥ 0 ，且 f ( x, y, z ) = xyz ≡ / 0 ，故 于是
∫∫ xyzdS > 0 ．
Σ1
∫∫ xyzdS ≠ 4∫∫ xyzdS ．
其中 L1 为 L 在 y ≥ 0 的部分． 同理，若 L 关于 y 轴对称，则视 f ( x, y ) 关于 x 的奇偶性．
例如，P246 总习题十一 Ex2 解： Σ 既关于 yOz 面对称，又关于 zOx 面对称． （A） f ( x, y, z ) = x 关于 x 为奇函数，故
∫∫ xdS = 0 ；
∑ f (ξ ,η , ζ )∆S
i =1 i i i
n
i
．若当各小块曲面直径的最大值 λ → 0 时，这和的极限总存在，则称此极限为
函数 f ( x, y, z ) 在曲面 Σ 上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，记为
∫∫ f ( x, y, z )dS ，即
Σ
∫∫
Σ
f ( x, y, z )dS = lim ∑ f (ξi ,ηi , ζ i )∆Si ．
Σ
（3） 几何意义：曲面 Σ 的面积为 A = （4）若 Σ 为封闭曲面，则
∫∫ dS ．
Σ
∫∫ f ( x, y, z )dS 也可记为 w ∫∫ f ( x, y, z )dS ．
Σ
∑
2、性质：设函数 f ( x, y, z ) 、 g ( x, y, z ) 在曲面 Σ 上对面积的曲面积分都存在． （1） 线性：设 α 、 β 为常数，则
Σ
而在 Σ1 上， f ( x, y, z ) = x ≥ 0 ，且 f ( x, y, z ) = x ≡ / 0 ，故 （B） f ( x, y, z ) = y 关于 y 为奇函数，故
∫∫ xdS > 0 ．于是 ∫∫ xdS ≠ 4∫∫ xdS ．
Σ1 Σ Σ1 Σ1 Σ Σ1
∫∫ ydS = 0 ；而 ∫∫ xdS > 0 ，于是 ∫∫ ydS ≠ 4∫∫ xdS ．
Σ Σ1 Σ2
【P216 脚注①:分片光滑的曲面是指由有限个光滑曲面所组成的曲面． 】 （3） 保号性：若在 Σ 上， f ( x, y, z ) ≤ g ( x, y, z ) ，则
∫∫ f ( x, y, z )dS ≤ ∫∫ g ( x, y, z )dS ．
Σ Σ
（4） 绝对值不等式：
∫∫ f ( x, y, z )dS ≤ ∫∫
ρ ( x, y, z ) ，其中 ρ ( x, y, z ) 在 Σ 上非负、连续；
∆M i ≈ ρ (ξi ,ηi , ς i )∆Si
n n
(i = 1, 2," (ξi ,ηi , ς i )∆Si ，
i =1 i =1
【P215 脚注②：曲面的直径是指曲面上任意两点间距离的 记 λ 为 n 小块曲面的直径中的最大值， 最大值】 则所求的质量为
Σ
2 1 + yx + yz2 dzdx ．
Dzx
2
例1 解
计算
∫∫ z dS ，其中 ∑ 为球面 x
2
2
+ y 2 + z 2 = a 2 被平面 z = h （ 0 < h < a ）截出的顶部．
Σ
∑ 的方程为 z = a 2 − x 2 − y 2 ，
−x a2 − x2 − y 2
， zy =
λ →0
i =1
n
其中， f ( x, y, z ) 称为被积函数， Σ 称为积分曲面， dS 称为面积元素． 说明： （1）若 f ( x, y, z ) 在光滑曲面 Σ 上连续，则
∫∫ f ( x, y, z )dS 存在．
Σ
1
（2）物理意义：面密度为 ρ =
ρ ( x, y, z ) 的曲面型薄片 Σ 的质量为 M = ∫∫ ρ ( x, y, z )dS ．
∫∫ [α f ( x, y, z ) + β g ( x, y, z )]dS = α ∫∫ f ( x, y, z )dS + β ∫∫ g ( x, y, z )dS ；
Σ Σ Σ
（2） 对积分曲面具有可加性：若 ∑ = ∑1 + ∑ 2 ，则
∫∫ f ( x, y, z )dS = ∫∫ f ( x, y, z )dS + ∫∫ f ( x, y, z )dS ；
∫∫ ( x
Σ
2
+ y 2 + z 2 )dS = ∫∫ ( x 2 + y 2 + z 2 )dS + ∫∫ ( x 2 + y 2 + z 2 )dS
Σ1 Σ2
= ∫∫ ( R 2 + z 2 ) ⋅
Dyz
R R −y
2 2
dydz + ∫∫ ( R 2 + z 2 ) ⋅
Dyz R 2 0
R R − y2
2 2
3．
Σ 4 在 xOy 面上的投影区域为 Dxy : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 − x ．
故
w ∫∫ xyzdS = ∫∫ xyzdS = ∫∫ xy(1 − x − y) ⋅
Σ Σ4 Dxy
3dxdy
= 3 ∫ dx ∫
0 1
1
1− x 0
xy (1 − x − y )dy = 3 ∫ x[(1 − x)
§11.4
对面积的曲面积分
教学目的：了解对面积的曲面积分的概念与性质，会求对面积的曲面积分. 教学重点：对面积的曲面积分的计算 教学难点：对面积的曲面积分的计算 教学内容：
一、对面积的曲面积分的概念和性质【以后都假定曲面的边界曲线是分段光滑，且曲面有界】 【引例】曲面型薄片的质量 Σ ：光滑曲面（具有连续转动的切平面的曲面，P215 脚注③） ； 面密度（单位面积的质量）为 ρ = 求其质量 M ． 解：
a 2 − h2
=
2π a 3 3 (a − h ) ． 3
w ∫∫ xyzdS ，其中 ∑ 为由平面 x + y + z = 1 及三个坐标面所围成的四面体的整个边界曲面．
Σ
如图所示， Σ = Σ1 + Σ 2 + Σ 3 + Σ 4 ，
其中 Σ1 : x = 0 ， Σ 2 : y = 0 ， Σ3 : z = 0 ， Σ 4 : x + y + z = 1 ． 于是
zx =
−y a2 − x2 − y2
2 ⇒ 1 + zx + z2 y =
a a2 − x2 − y 2
．
⎧ x2 + y 2 + z 2 = a2 ⇒ x 2 + y 2 = a 2 − h2 ， ⎨ z=h ⎩
从而 ∑ 在 xOy 面上的投影区域为 Dxy : x + y ≤ a − h ．
2 2 2 2
Σ
0, 若f ( x, y, z )关于z为奇函数； ⎧ ⎪ f ( x, y, z )dS = ⎨2 f ( x, y, z )dS， 若f ( x, y, z )关于z为偶函数. ⎪ ∫∫ ⎩ Σ1
其中 Σ1 为 Σ 在 z ≥ 0 的部分． 同理，若 Σ 关于 yOz （或 zOx ）面对称，则视 f ( x, y, z ) 关于 x （或 y ）的奇偶性．
Σ Σ1
（C） f ( x, y, z ) = z 关于 x 且关于 y 均为偶函数函数，故
0
1
y 2 y 3 1− x − ]0 dx 2 3
(1 − x)3 3 1 = 3∫ x ⋅ dx = (1 − t ) ⋅ t 3 dt （令 t = 1 − x ） ∫ 0 0 6 6 = 3 1 1 3 ． ⋅( − ) = 6 4 5 120
3
例3
求
∫∫ ( x
Σ
2
+ y 2 + z 2 )dS ，其中 Σ 为圆柱面 x 2 + y 2 = R 2 被平面 z = 0 及 z = 2 所截得的部分．
∫∫ f ( x, y, z )dS = ∫∫ f [ x, y, z ( x, y)] ⋅
Σ
2 2 1 + zx + zy dxdy ．
Dxy
说明: （1） z = z ( x, y ) 为单值函数，且 Σ 在 xOy 面上的投影为一区域． （2）若曲面 Σ 的方程为 x = x( y, z ) ， Σ 在 yOz 面上的投影区域为 Dyz ，则
II、对弧长的曲线积分的奇偶对称性：设函数 f ( x, y ) 在光滑（或分段光滑）曲线 L 上连续． 若 L 关于 x 轴对称，则
∫
L
0, 若f ( x, y )关于y为奇函数； ⎧ ⎪ f ( x, y )ds = ⎨ 2 f ( x, y )ds, 若f ( x, y )关于y为偶函数. ⎪ ⎩ ∫L1
∫∫ f ( x, y, z )dS = ∫∫ f [ x( y, z), y, z] ⋅
Σ
2 1 + xy + xz2 dydz ．
Dyz
（3）若曲面 Σ 的方程为 y = y ( z , x) ， Σ 在 zOx 面上的投影区域为 Dzx ，则
∫∫ f ( x, y, z )dS = ∫∫ f [ x, y( z, x), z] ⋅
故
∫∫ z dS = ∫∫ (a
2
2
− x2 − y 2 ) ⋅
a a2 − x2 − y2
dxdy