黑龙江省哈尔滨师大附中2014-2015学年高二下学期第一次月考数学(理)试卷

哈师大附中高二下学期月考数学试卷（文）一、选择题（每题4分，共计40分）1.若3)(,)(03='=x f x x f ，则0x 的值为( )A ．1B ．1-C ．1±D ．2.若直线的参数方程为12()23x t t y t =+⎧⎨=-⎩为参数，则直线的斜率为（ ） A ．23 B ．23- C ．32 D ．32- 3.函数3y x x =+的递增区间是（ ）A ．),0(+∞B ． )1,(-∞C ． ),(+∞-∞D ．),1(+∞4.参数方程4sin 5cos x y θθ=⎧⎨=⎩表示的曲线是( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在y 轴上的椭圆C ．过原点的直线D ．圆心在原点的圆5.方程3269100x x x -+-=的实根个数是( )A.3B.2C.1D.06.以平面直角坐标系的原点为极点, x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l 的参数方程是为参数）t t y t x (31⎩⎨⎧-=+=,圆C 的极坐标方程是4cos ρθ=,则直线l 被圆C 截得的弦长为 ( )B. D.7.()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()f x ,()g x 满足)()(0x g x f '=',则()f x 与()g x 满足（ ） A. ()f x =()g x B. ()f x -()g x 为常数函数C. ()f x =()0g x =D. ()f x +()g x 为常数函数8. 对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足0)()1(≥'-x f x ，则必有（ ）A. (0)(2)2(1)f f f +<B. (0)(2)2(1)f f f +≤C ． (0)(2)2(1)f f f +≥ D. (0)(2)2(1)f f f +>9. 设在函数sin cos y x x x =+的图象上的点00(,)x y 处的切线斜率为k ,若0()k g x =,则函数[]00(),,k g x x ππ=∈-的图象大致为()10. )(x f 是定义在R 上的偶函数,当0x <时,有()()0f x xf x '+<,且(4)0f -=,则不等式()0xf x >的解集为（ ）A. (0,4) B. (-∞,-4) C ．(-∞,-4)∪(0,4)D.(-4,4)二、选择题（每题5分，共计20分）11. 在极坐标系中,曲线1C 和2C 的方程分别为2sin cos ρθθ=和sin 1ρθ=.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线1C 和2C 交点的直角坐标为 .12.在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为2sin ρθ=，过极点的一条直线l 与圆相交于,O A 两点，且45AOx ︒∠=，则OA ＝________.13．若点(2,1)P -(直角坐标系下的坐标)为曲线024cos 22=--θρρ(极坐标系下的方程)的弦的中点，则该弦所在直线的直角坐标方程为________． 14. 已知函数()f x = ⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<-+0,2310,13x x x x x e x 给出如下四个命题: ①()f x 在[2,+∞)上是减函数; ②()f x 的最大值是2; ③函数()y f x =有两个零点; ④()f x ≤234在R 上恒成立.其中正确的命题有 .(把正确的命题序号都填上)三、解答题（每题10分，共计40分）15. 已知函数x x x f ln )(=.（1）求函数)(x f 的单调区间；（2）求函数)(x f 在点)0,1(处的切线方程.16. 已知直线AB 过定点)0,1(，倾斜角为α，曲线为参数）θθθ(sin cos 36:⎪⎩⎪⎨⎧==y x C （1） 求直线AB 的参数方程；（2） 若直线AB 与曲线C 有公共点，求α的范围.17. 三次函数d cx bx x a x f +++=233)(，09)(<-'x x f 的解集为)2,1(. （1） 若07)(=+'a x f 有两个相等的实数根，求)(x f '的解析式；（2） 若)(x f 在),(+∞-∞上单调递增，求a 的取值范围.18. 如图，倾斜角为α的直线经过抛物线x y 82=的焦点F ，且与抛物线交于A 、B 两点.（1）求抛物线的焦点F 的坐标及准线l 的方程；（2）若α为锐角，作线段AB 的垂直平分线m 交x 轴于点P ， A证明：|FP |-| FP |cos2α为定值，并求此定值.解答题答案（文）CDCBCDBCAC （1，1），2，x －y －3＝0，①③④15. 1ln )(+='x x f（1）由01ln )(>+='x x f 解得e x 1>由0)(<'x f 解得ex 10<< )(x f 的增区间为),1(+∞e ，减区间)1,0(e（2）1)1(='f 所以切线方程为1-=x y16. （1） 为参数）t t y t x (sin cos 1⎩⎨⎧=+=αα （2）曲线223:22=+y x C 代入得2)sin (2)cos 1(322=++ααt t即01cos 6)2(cos 22=+++ααt t由0)2(cos 4cos 3622≥+-=∆αα 解得21cos 21cos 41cos 2-≤≥≥ααα或即 又[)⎪⎭⎫⎢⎣⎡⋃⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∴∈πππαπα,323,0,0 17. 设d cx bx x a x f +++=233)(则c bx ax x f ++='2)(2 09)(<-'x x f 的解集为)2,1(，0)92(2=+-+∴c x b ax 的两根为1，2且0>a 故⎪⎩⎪⎨⎧==-2329ac a b 得到a c a b 2,392=-=（1）由条件0)7(4)2(2=+-=∆a c a b ，代入得1=a 舍去）3(-=a26)(2++='∴x x x f（2）)(x f 在),(+∞-∞上单调递增且0>a ，02)39()(2≥+-+='∴a x a ax x f 的解集为R ，()083922≤--=∆∴a a 即081542≤+-∴a a ，解得2182721827+≤≤-a 取值范围是[21827,21827+-].18. （Ⅰ）解：设抛物线的标准方程为px y 22=，则82=p ，从而.4=p因此焦点)0,2(p F 的坐标为（2，0）. 又准线方程的一般式为2p x -= 从而所求准线l 的方程为2-=x（Ⅱ）解法一：如图作AC ⊥l ，BD ⊥l ，垂足为C 、D ，则由抛物线的定义知|F A |=|FC |,|FB |=|BD |.记A 、B 的横坐标分别为x x x z ，则|F A |＝|AC |＝4cos ||22cos ||2+=++=+a FA p p a FA p x x 解得aFA cos 14||-=， 类似地有a FB FB cos ||4||-=，解得aFB cos 14||+= 记直线m 与AB 的交点为E ，则 a a a a FB FA FB FA FA AE FA FE 2sin cos 4cos 14cos 1421|)||(|212||||||||||||=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=+-=-= 所以aa FE FP 2sin 4cos ||||== 故8sin sin 2·4)2cos 1(sin 42cos ||||222==-=-a a a a a FP FP解法二：设),(A A y x A ，),(B B y x B ，直线AB 的斜率为a k tan =，则直线方程为)2(-=x k y 将此式代入x y 82=,得04)2(42222=++=k x k x k ，故22)2(k k k x x B A +=+记直线m 与AB 的交点为),(E E y x E ，则 22)2(22k k x x x B A E +=+=，kx k y E E 4)2(--=，故直线m 的方程为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-224214k k x k k y .令y =0,得P 的横坐标44222++=kk x P 故a k k x FP P 222sin 4)1(42||=+=-= 从而8sin sin 2·4)2cos 1(sin 42cos ||||222==-=-a a a a a FP FP 为定值.。

2014-2015学年黑龙江省哈尔滨师大附中高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）对下列函数求导正确的是（）A．（x2）′=x B．（）′=﹣C．（）′=D．（ln2）′=2．（5分）复数z=在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）函数y=x+的单调递增区间为（）A．（﹣2，0）∪（0，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．（﹣2，0），（0，2）D．（﹣∞，﹣2），（2，+∞）4．（5分）下列函数中，在x=0处的导数不等于零的是（）A．y=x3+x2B．y=x+e﹣x C．y=（x﹣1）e2D．y=xsinx 5．（5分）已知函数f（x）=x3+2xf'（0），则f'（0）=（）A．﹣1B．0C．1D．26．（5分）f（x）=x3﹣3x2+2在区间[﹣1，1]上的最大值是（）A．﹣2B．0C．2D．47．（5分）做一个容积为4升的正方形底无盖水箱，要使得材料最省，则此水箱底面边长为（）A．分米B．1分米C．2分米D．4分米8．（5分）直线y=kx+1与曲线y=ax3+x+b相切于点（1，5），则a﹣b=（）A．﹣2B．0C．2D．69．（5分）函数f（x）=ax3﹣3x2+x+1恰有三个单调区间，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，3）B．（﹣∞，3]C．（﹣∞，0）∪（0，3）D．（﹣∞，0）∪（0，3]10．（5分）已知f（x）=x2+sin，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（x）的图象是（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数f（x）=e x，g（x）=kx+k，若函数f（x）的图象恒在函数g （x）图象的上方，则实数k的取值范围是（）A．[0，+∞）B．[0，1）C．（0，1）D．（1，+∞）12．（5分）已知f（x）是可导的函数，且f′（x）＜f（x）对于x∈R恒成立，则（）A．f（1）＜ef（0），f（2015）＞e2015f（0）B．f（1）＞ef（0），f（2015）＞e2015f（0）C．f（1）＞ef（0），f（2015）＜e2015f（0）D．f（1）＜ef（0），f（2015）＜e2015f（0）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）函数f（x）=x﹣2lnx的单调递减区间是．14．（5分）函数f（x）=在x=0处取得极值，则a=．15．（5分）经过点（2，0）且与曲线y=相切的直线方程为．16．（5分）已知函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x．（1）求f（x）的单调区间；（2）求f（x）在区间[0，2]上的最小值和最大值．18．（12分）已知在平面直角坐标系xOy中曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数），曲线C与直线l相交于点A，B，且定点P的坐标为（1，0）．（Ⅰ）求曲线C的普通方程；（Ⅱ）求|PA|•|PB|的值．19．（12分）已知函数f（x）=x3﹣ax2+x（x∈R）．（Ⅰ）若函数y=f（x）在（0，+∞）上为增函数，求a的取值范围；（Ⅱ）若a=1，当x＞1时，求证：f（x）＞x﹣1．20．（12分）已知函数f（x）=x2+mx﹣lnx．（Ⅰ）当m=0时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣x2，当x∈（0，e]（e是自然常数）时，g（x）≥3，求实数m的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=ax3﹣（a+2）x2+6x﹣3（1）当a=﹣2时，求函数f（x）的极值；（2）当a＜2时，讨论函数f（x）零点的个数．22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点（，1），过椭圆的左顶点A作直线l⊥x轴，点M 为直线l上的动点（点M与点A不重合），点B为椭圆右顶点，直线BM交椭圆C于点P．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求证：AP⊥OM；（Ⅲ）试问•是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是，请说明理由．2014-2015学年黑龙江省哈尔滨师大附中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）对下列函数求导正确的是（）A．（x2）′=x B．（）′=﹣C．（）′=D．（ln2）′=【解答】解：（x2）′=2x，（）′=﹣，（）′=，（ln2）′=0，故选：B．2．（5分）复数z=在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵复数z===1+i，∴复数z=在复平面内对应的点（1，1）位于第一象限．故选：A．3．（5分）函数y=x+的单调递增区间为（）A．（﹣2，0）∪（0，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．（﹣2，0），（0，2）D．（﹣∞，﹣2），（2，+∞）【解答】解：对函数y=x+求导数，得：y′=1﹣；令y′＞0，得1﹣＞0，解得x＜﹣2或x＞2；所以函数y的增区间为（﹣∞，﹣2）和（2，+∞）．故选：D．4．（5分）下列函数中，在x=0处的导数不等于零的是（）A．y=x3+x2B．y=x+e﹣x C．y=（x﹣1）e2D．y=xsinx【解答】解：A选项，y=x3+x2的导函数y′=3x2+2x，令x=0得到y′=0；B选项，y=x+e﹣x的导函数y′=1﹣e x，令x=0得到y′=0；C选项，y=（x﹣1）e2的导函数y′=e2，令x=0得到y′=e2；D选项，y=xsinx的导函数y′=sinx+xcosx，令x=0得到y′=0；故选：C．5．（5分）已知函数f（x）=x3+2xf'（0），则f'（0）=（）A．﹣1B．0C．1D．2【解答】解：函数的导数f′（x）=3x2+2f′（0），令x=0，则f′（0）=2f′（0），解得f′（0）=0，故选：B．6．（5分）f（x）=x3﹣3x2+2在区间[﹣1，1]上的最大值是（）A．﹣2B．0C．2D．4【解答】解：f'（x）=3x2﹣6x=3x（x﹣2），令f'（x）=0可得x=0或2（2舍去），当﹣1＜x＜0时，f'（x）＞0，当0＜x＜1时，f'（x）＜0，∴当x=0时，f（x）取得最大值为f（0）=2．故选：C．7．（5分）做一个容积为4升的正方形底无盖水箱，要使得材料最省，则此水箱底面边长为（）A．分米B．1分米C．2分米D．4分米【解答】解：设长方体的底面边长为x分米，高为h分米，表面积为y，则由体积为4，得x2h=4，从而表面积y=x2+4x•h=x2+4x•=x2++≥3=12，当且仅当x2=，即x=2时，y min=12．即水箱用料最省时水箱底面边长为2分米．故选：C．8．（5分）直线y=kx+1与曲线y=ax3+x+b相切于点（1，5），则a﹣b=（）A．﹣2B．0C．2D．6【解答】解：∵y=ax3+x+b过点（1，5），∴a+b=4，∵直线y=kx+1过点（1，5），∴k+1=5，即k=4，又∵y′=3ax2+1，∴k=y′|x=1=3a+1=4，即a=1，∴b=4﹣a=4﹣1=3，∴a﹣b=1﹣3=﹣2．故选：A．9．（5分）函数f（x）=ax3﹣3x2+x+1恰有三个单调区间，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，3）B．（﹣∞，3]C．（﹣∞，0）∪（0，3）D．（﹣∞，0）∪（0，3]【解答】解：∵函数f（x）=ax3﹣3x2+x+1，∴f′（x）=3ax2﹣6x+1，由函数f（x）恰好有三个单调区间，得f′（x）有两个不相等的零点，∴3ax2﹣6x+1=0满足：a≠0，且△=36﹣12a＞0，解得a＜3，∴a∈（﹣∞，0）∪（0，3）．故选：C．10．（5分）已知f（x）=x2+sin，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（x）的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：由f（x）=x2+sin=x2+cosx，∴f′（x）=x﹣sinx，它是一个奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，D．又f″（x）=﹣cosx，当﹣＜x＜时，cosx＞，∴f″（x）＜0，故函数y=f′（x）在区间（﹣，）上单调递减，故排除C．故选：A．11．（5分）已知函数f（x）=e x，g（x）=kx+k，若函数f（x）的图象恒在函数g （x）图象的上方，则实数k的取值范围是（）A．[0，+∞）B．[0，1）C．（0，1）D．（1，+∞）【解答】解：如图示：，若函数f（x）图象恒在函数g（x）图象的上方，即f（x）﹣g（x）＞0恒成立，即e x﹣k（x+1）＞0，即e x＞k（x+1），若k=0，满足条件，若k＜0，则不满足条件．则当k＞0时，g（x）=k（x+1）过定点（﹣1，0），函数f（x）的导数为f′（x）=e x，设切点为（a，b），则对应的切线斜率k=f′（a）=e a，则对应的切线方程为y﹣e a=e a（x﹣a），∵直线过点（﹣1，0），∴﹣e a=e a（﹣1﹣a），解得a=0，此时切线斜率k=f′（0）=1，即此时k=1，则解得0＜k＜1，综上0≤k＜1，故选：B．12．（5分）已知f（x）是可导的函数，且f′（x）＜f（x）对于x∈R恒成立，则（）A．f（1）＜ef（0），f（2015）＞e2015f（0）B．f（1）＞ef（0），f（2015）＞e2015f（0）C．f（1）＞ef（0），f（2015）＜e2015f（0）D．f（1）＜ef（0），f（2015）＜e2015f（0）【解答】解：令，则，由于f'（x）＜f（x），e x＞0对于x∈R恒成立，所以h'（x）＜0在R上恒成立，所以为减函数，∴，即f（1）＜ef（0）；，即f（2015）＜e2015f（0）．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）函数f（x）=x﹣2lnx的单调递减区间是（0，2）．【解答】解：函数y=x﹣lnx的导数为y=1﹣，令y′=1﹣＜0，得x＜2∴结合函数的定义域，得当x∈（0，2）时，函数为单调减函数．因此，函数y=x﹣lnx的单调递减区间是（0，2）故答案为：（0，2）．14．（5分）函数f（x）=在x=0处取得极值，则a=0．【解答】解：f′（x）=，若函数f（x）=在x=0处取得极值，则f′（0）=0，解得：a=0，故答案为：0．15．（5分）经过点（2，0）且与曲线y=相切的直线方程为4x+y﹣8=0．【解答】解：点P（2，0）不在曲线y=上．设经过点P（2，0）与曲线y=相切的直线方程为y=k（x﹣2），切点为Q（x0，y0），y′=，则k==，y0=，∴﹣4（x0﹣2）=×，解得x0=1，∴k=﹣=﹣4，∴切线方程为：y=﹣4（x﹣2），化为：4x+y﹣8=0．故答案为：4x+y﹣8=0．16．（5分）已知函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，则实数a的取值范围是．【解答】解：f（x）=xlnx﹣ax2（x＞0），f′（x）=lnx+1﹣2ax．令g（x）=lnx+1﹣2ax，∵函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，则g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根．g′（x）==，当a≤0时，g′（x）＞0，则函数g（x）在区间（0，+∞）单调递增，因此g（x）=0在区间（0，+∞）上不可能有两个实数根，应舍去．当a＞0时，令g′（x）=0，解得x=．令g′（x）＞0，解得，此时函数g（x）单调递增；令g′（x）＜0，解得，此时函数g（x）单调递减．∴当x=时，函数g（x）取得极大值．当x趋近于0与x趋近于+∞时，g（x）→﹣∞，要使g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根，则，解得．∴实数a的取值范围是．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x．（1）求f（x）的单调区间；（2）求f（x）在区间[0，2]上的最小值和最大值．【解答】解：（1）函数f（x）的导数为f′（x）=（x﹣1）e x，由f′（x）＞0，可得x＞1；由f′（x）＜0，可得x＜1．则f（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（﹣∞，1）；（2）由（1）可得f（x）在[0，1]递减，在（1，2]递增，即有f（x）在x=1处取得极小值，且为最小值，且为f（1）=﹣e，由f（0）=﹣2，f（2）=0，可得f（x）的最大值为f（2）=0．则f（x）的最小值为﹣e，最大值为0．18．（12分）已知在平面直角坐标系xOy中曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数），曲线C与直线l相交于点A，B，且定点P的坐标为（1，0）．（Ⅰ）求曲线C的普通方程；（Ⅱ）求|PA|•|PB|的值．【解答】解：（Ⅰ）曲线C的普通方程为．（Ⅱ）把（t为参数）代入得，化简得：5t2+4t﹣12=0，设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1t2=﹣，∴|PA|•|PB|=|t1t2|=．19．（12分）已知函数f（x）=x3﹣ax2+x（x∈R）．（Ⅰ）若函数y=f（x）在（0，+∞）上为增函数，求a的取值范围；（Ⅱ）若a=1，当x＞1时，求证：f（x）＞x﹣1．【解答】解：（Ⅰ）由已知f'（x）=x2﹣ax+1≥0，即对x∈（0，+∞）恒成立，∵x＞0时，（当且仅当x=1取等号）∴a≤2…（5分）（Ⅱ）a=1时，，设，则g'（x）=x2﹣x=x（x﹣1）当x≥1时，g'（x）≥0，∴g（x）在[1，+∞）单调递减，∴当x＞1时，，即f（x）＞x﹣1．…（12分）20．（12分）已知函数f（x）=x2+mx﹣lnx．（Ⅰ）当m=0时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣x2，当x∈（0，e]（e是自然常数）时，g（x）≥3，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当m=0时，f（x）=x2﹣lnx，∴，∴k=f'（1）=1，又f（1）=1∴切线方程为y=x …（4分）（Ⅱ）（方法一）当x∈（0，e]时，g（x）=mx﹣lnx≥3，即对x∈（0，e]恒成立．设，则当时，h'（x）＞0；当时，h'（x）＜0∴h（x）的增区间为，减区间为∴∴m≥e2．…（12分）（方法二）g（x）=mx﹣lnx（0＜x≤e），则当x∈（0，e]时，①时，g'（x）≤0，∴g（x）在（0，e]单调递减∴g（x）min=g（e）=em﹣1≤0矛盾，（舍）②时，当时，g'（x）＜0；当时，g'（x）＞0∴g（x）在单调递减，单调递增∴，解得m≥e2综上，实数m的取值范围为[e2，+∞）．…（12分）21．（12分）已知函数f（x）=ax3﹣（a+2）x2+6x﹣3（1）当a=﹣2时，求函数f（x）的极值；（2）当a＜2时，讨论函数f（x）零点的个数．【解答】解：f'（x）=3ax2﹣3（a+2）x+6=3（ax﹣2）（x﹣1），（1）当a=﹣2时，f'（x）=﹣6（x+1）（x﹣1），令f'（x）=0得x1=1，x2=﹣1，f'（x）＜0时，x＜﹣1或x＞1；f'（x）＞0时，﹣1＜x＜1．∴f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣1）和（1，+∞），单调递增区间为（﹣1，1），f（x）极小值=f（﹣1）=﹣7，f（x）极大值=f（1）=1．（2）①若a=0，则f（x）=﹣3（x﹣1）2∴f（x）只有一个零点．②若a＜0，f′（x）=0的两根为，则，∴当或x＞1时，f'（x）＜0，当时，f'（x）＞0∴f（x）的极大值为∵f（x）的极小值为∴f（x）有三个零点．③若0＜a＜2，则，∴当x＜1或时，f'（x）＞0，当时，f'（x）＜0，∴f（x）的极大值为∴f（x）有一个零点．综上，当a＜0时，f（x）有3个零点；当0≤a＜2时，f（x）有1个零点．22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点（，1），过椭圆的左顶点A作直线l⊥x轴，点M 为直线l上的动点（点M与点A不重合），点B为椭圆右顶点，直线BM交椭圆C于点P．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求证：AP⊥OM；（Ⅲ）试问•是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是，请说明理由．【解答】（Ⅰ）解：由已知，又，∴a2=b2+c2．联立解得：a2=4，b2=2．∴椭圆C的方程为．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，A（﹣2，0），B（2，0），直线BM斜率显然存在，设BM方程为y=k（x﹣2），则M（﹣2，﹣4k），由，得（2k2+1）x2﹣8k2+8k2﹣4=0，△＞0，则，∴，，即．又，，∴，即AP⊥OM．（Ⅲ）解：，∴为定值4．。

哈师大附中2014级高二下学期期中考试数学理科试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的．1. 若复数z 满足)42(i i z +=（i 是虚数单位），则在复平面内,z 对应的点的坐标是 Ａ.)2,4(- Ｂ.)4,2(- Ｃ.)4,2( Ｄ.)2,4(2.函数321()3f x x ax ax =++在(,)-∞+∞单调递增的充要条件是 A ．01a << B ．01a ≤≤ C ．0a <或1a > D ．0a ≤或1a ≥ 3. 已知数据123 n x x x x ，，，，是哈尔滨市n *(3 )n n N ≥∈，个普通职工的2015年的年收入,设这n 个数据的中位数为x ，平均数为y ，方差为z ，如果再加上比尔⋅盖茨的2015年的年收入1n x +（约900亿元），则这1n +个数据，下列说法正确的是 A ．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变 B ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大 C ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变 D ．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变 4. 函数()sin cos f x x x x =-，(0,2)x π∈的单调递减区间为A ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭和3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．(0,)π C ．3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．(,2)ππ 5．某工厂对一批产品进行了抽样检测，下图是根据抽样检测后的产品净重(单位：g)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]．已知样本中产品净重小于100g 的个数是36，则样本中净重（g)在 [98,104)内的产品个数是A ．90B ．75C ．60D ．456．已知函数 ),()(),()(,)(12010x f x f x f x f xe x f x '='== ))(()(*1N n x f x f n n ∈'=-则2016(0)f =A ．2015B ．2016C ． 2017D ． 20187.函数22()ln 3f x a x x ax =+-在1x =处取到极小值，则实数a 的值为 A ．1 B ．2 C ．1或12D ． 1或2 8．从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：A ．70.9kgB ．71.2kgC ．70.55kgD ．71.05kg9. 设函数3()3,01f x x x a a =-+<<，若()f x 的三个零点为123,,x x x ，且123x x x <<，则A ．12x <-B ．20x <C ．201x <<D ．32x > 10．已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点()1,(1)f 处切线的斜率是 A ．2 B ． 1 C ．3D ． 2-11.已知函数()1ln af x x x=-+，若存在00,x > 使0()0f x ≤成立，则得取值范围是 A. 1a ≥ B. 01a <≤ C. 1a < D. 1a ≤ 12．()f x 为定义域为(0,)+∞的可导函数，若xx f x x f )(ln )(＞'，则 A.)()(2,2ln )()2(2e f e f e f f ＞＜ B.)()(2,2ln )()2(2e f e f e f f ＜＜ C. )()(2,2ln )()2(2e f e f e f f ＜＞ D.)()(2,2ln )()2(2e f e f e f f ＞＞ 二、填空题 ：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.设随机变量ξ服从正态分布(4,9)N ，若()(4)P a P a ξξ>=<-，则实数a 的值为 ．14.在区间]2,0[和]1,0[分别取一个数，记为,x y ，则x x y 22+-≤的概率为 . 15.已知函数()f x 的图像如右图所示，()f x '是()f x 的导函数，将下列 三个数值(2)(1),(1),(2)f f f f ''-由小到大．．．．排列顺序为 16． 在矩形ABCD 中，对角线AC 与相邻两边所成的角分别为α、β，1 2则有22sin sin 1αβ+=，类比到空间中的一个正确命题是：在长方体1111ABCD A BC D -中，对角线1AC 与相邻三个面所成的角分别为α、β、γ，则222sin sin sin αβγ++=__________.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线1C 的极坐标方程为θρ22sin 12+=，直线的极坐标方程为θθρcos sin 24+=.（Ⅰ）写出曲线1C 与直线的直角坐标方程；（Ⅱ）设Q 为曲线1C 上一动点，求Q 点到直线距离的取值范围.18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥E ABCD -中，AE D E ⊥， CD ⊥平面ADE , AB ⊥平面ADE ，6CD DA ==，2AB =，3DE =.（Ⅰ）求证：平面ACE ⊥平面CDE ；（Ⅱ）求平面CED 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值.19．（本小题满分12分）长时间用手机上网严重影响着学生身心健康及学习成绩，某校为了解高二年级A ，B 两班学生手机上网的时长，分别从这两个班中随机抽取6名同学进行调查，将他们平均每周手机上网时长作为样本数据，A 班（单位：小时/每周）：9，37，11，20，13，24；B 班：11，36，21，25，27，12（单位：小时/每周）．注：规定学生平均每周手机上网的时长超过21小时，称为“过度用网”．（Ⅰ）根据两组数据绘制茎叶图（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字），根据样本数据，分别估计A ，B 两班的学生平均每周上网时长的平均值，并比较哪个班的学生平均上网时间较长；CDABE（II ）从A 班、B 班的样本中各随机抽取2名学生的数据，记“过度用网”的学生人数为ξ，写出ξ的分布列和数学期望()E ξ．20．（本小题满分12分）设a 为实数，()ln f x x ax =- （I ）当1a =时，求函数()f x 的单调区间； （II ）求函数()f x 的极值.21．（本小题满分12分）设椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点与抛物线24y x =的焦点重合，离心率12e =，12,F F 分别为左、右焦点，AB（I ）求椭圆C 的标准方程；（II ）求1ABF ∆的面积的最大值.22．（本小题满分12分）设函数()()xf x mxe m R =∈，其中(0)1f '=（I ）求实数m 的值；（II ）求函数()f x 在区间[2,0]-的最值；（III ）是否存在实数a ，使得对任意的12,(,)x x a ∈+∞，当12x x <时，恒有2121()()()()f x f a f x f a x a x a-->--成立，若存在，求a 的取值范围，若不存在，请说明理由.。

哈师大附中2011级高三第一次月考数学试题(理科)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，，则（）A. B. C. D.2．设集合A，B是两个集合，①，，；②，，；③，，.则上述对应法则中，能构成A到B 的映射的个数为（）A. B. C. D.3．若a>0,b>0,且函数在x=1处有极值，则ab的最大值（）A.2B.3C.6D.94．设命题甲：关于的不等式对一切恒成立，命题乙：对数函数在上递减，那么甲是乙的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5．函数的单调增区间为（）A. B. C.和 D.和6．已知命题：；命题：，则下列命题中为真命题的是（）A. B. C. D.7．函数为定义在上的偶函数, 且满足, 当时,则（）A. B. C. D.8．函数的图像大致为（）9．已知函数是定义在实数集R上的奇函数，是的导函数,且当，设，则a，b，c的大小关系是（）A. B. C. D.10．已知函数的图象与直线交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为，则＋＋…＋的值为（）A．B．C．D．11．已知函数的零点，其中常数满足，，则的值为（）A. B. C. D.12．设定义域为的函数，，关于的方程有7个不同的实数解，则的值为（）A. B. C. D.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若函数，则的反函数 .14．设函数的定义域和值域都是，则 .15．若不等式对任意的均成立，则实数的取值范围是 .16．设函数给出下列四个命题：①当时，是奇函数；②当时，方程只有一个实数根；③的图像关于点对称；④方程至多有两个实数根.其中正确的命题有 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）已知处取得极值，且.（Ⅰ）求常数的值；（Ⅱ）求的极值.18．（本小题满分12分）定义在上的函数满足对任意恒有，且不恒为.（Ⅰ）求的值；（II）试判断的奇偶性，并加以证明；（Ⅲ）当时为增函数，求满足不等式的的取值集合.19．（本小题满分12分）已知函数.(Ⅰ)求函数的解析式；(II)若方程有两个不相等的实根，求实数的取值范围．20．（本小题满分12分）已知函数在处取得极值.(Ⅰ)求实数的值；(II)关于的方程在区间上有两个不同的实数根,求实数的取值范围；21．（本小题满分12分）已知函数在点处的切线方程为．（I）求，的值；（II）对函数定义域内的任一个实数，恒成立，求实数的取值范围．22．（本小题满分12分）已知函数，，其中的函数图象在点处的切线平行于轴．（Ⅰ）确定与的关系；（II）若，试讨论函数的单调性；（Ⅲ）设斜率为的直线与函数的图象交于两点（）证明：．答案（理科）二、填空题：13、14、115、16、①②③三、解答题17、解：(1)由已知有即：(2)由（Ⅰ）知，当x<－1时，或x>1时，内分别为增函数；在（－1，1）内是减函数.因此，当x=－1时，函数f(x)取得极大值f(－1)=1；当x=1时，函数f(x)取得极小值f(1)=－118、解：(1)令(2)令，则为偶函数（3）原问题 所以，解集为 19、（1）设，则 所以，（2）原问题有两个不等实根令20、解:(1) 时,取得极值, 故解得经检验符合题意. （2）由知 由,得令则在区间上恰有两个不同的实数根等价于在区间上恰有两个不同的实数根.当时, ,于是在上单调递增; 当时, ,于是在上单调递减. 依题意有, 解得,21、解：（Ⅰ）由而点在直线上，又直线的斜率为 故有（Ⅱ）由（Ⅰ）得 由及 令22/)1(ln 1)1()ln 2()1)(ln 1()(1ln 2)(+--=+--+-=⇒+-=x xx x x x x x x x g x x x x x g 令，故在区间上是减函数，故当时，，当时， 从而当时，，当时， 在是增函数，在是减函数，故要使成立，只需故的取值范围是22、解：（1）依题意得，则由函数的图象在点处的切线平行于轴得：∴（2）由（1）得∵函数的定义域为∴当时，由得，由得，即函数在(0,1)上单调递增，在单调递减；当时，令得或，若，即时，由得或，由得，即函数在，上单调递增，在单调递减；若，即时，由得或，由得，即函数在，上单调递增，在单调递减；若，即时，在上恒有，即函数在上单调递增，综上得：当时，函数在(0,1)上单调递增，在单调递减；当时，函数在单调递增，在单调递减；在上单调递增；当时，函数在上单调递增，当时，函数在上单调递增，在单调递减；在上单调递增．（3）依题意得，证，即证因，即证令（），即证（）令（）则∴在（1，+）上单调递增，∴=0，即（）综①②得（），即．。