2015高考语文一轮配套特训：7-5直线、平面垂直的判定及性质(带解析)V

第五节 直线、平面垂直的判定及其性质1．直线与平面垂直的判定与性质是每年高考的必考内容，题型多为解答题，难度适中，属中档题．2．高考对直线与平面垂直的判定与性质的考查常有以下几个命题角度： (1)同真假命题的判断相结合考查；(2)以多面体为载体，证明线面垂直问题；(3)以多面体为载体，考查与线面垂直有关的探索性问题．[例1] (1)(2013·浙江高考)设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面( )A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βC ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥αD ．若m ∥α，α⊥β，则m ⊥β(2)(2013·广东高考)如图1，在边长为1的等边三角形ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，AD ＝AE ，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G .将△ABF 沿AF 折起，得到如图2所示的三棱锥A ­BCF ，其中BC ＝22.①证明：DE ∥平面BCF ； ②证明：CF ⊥平面ABF ；③当AD ＝23时，求三棱锥F ­DEG 的体积V F ­DEG .[自主解答] (1)设直线a ⊂α，b ⊂α，a ∩b ＝A ，∵m ⊥α，∴m ⊥a ，m ⊥b . 又n ∥m ，∴n ⊥a ，n ⊥b ， ∴n ⊥α.(2)①证明：在等边三角形ABC 中，AB ＝AC .∵AD ＝AE ，∴AD DB ＝AEEC，∴DE ∥BC ，∴DG ∥BF ，又BF ⊂平面BCF ，DG ⊄平面BCF ， ∴DG ∥平面BCF .同理可证GE ∥平面BCF . ∵DG ∩GE ＝G ，∴平面GDE ∥平面BCF ， 又DE ⊂平面GDE ， ∴DE ∥平面BCF .②证明：在等边三角形ABC 中，F 是BC 的中点， ∴AF ⊥CF ，∴BF ＝FC ＝12BC ＝12.在图2中，∵BC ＝22，∴BC 2＝BF 2＋FC 2， ∴∠BFC ＝90°， ∴CF ⊥BF .∵BF ∩AF ＝F ，BF ⊂平面ABF ，AF ⊂平面ABF ， ∴CF ⊥平面ABF .③∵AD ＝23，∴BD ＝13，AD ∶DB ＝2∶1，在图2中，AF ⊥FC ，AF ⊥BF ，又BF ∩FC ＝F ，∴AF ⊥平面BCF ， 由①知平面GDE ∥平面BCF ，∴AF ⊥平面GDE .在等边三角形ABC 中，AF ＝32AB ＝32，∴FG ＝13AF ＝36，DG ＝23BF ＝23×12＝13＝GE ，∴S △DGE ＝12DG ·EG ＝118，∴V F ­DGE ＝13S △DGE ·FG ＝3324.[答案] (1)C线面垂直问题的常见类型及解题策略(1)与命题真假判断有关的问题．解决此类问题的方法是结合图形进行推理，或者依据条件举出反例否定．(2)线面垂直的证明．证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．(3)线面垂直的探索性问题．此类问题的解决方法同“线面平行的探索性问题”的求解方法(见本章第四节的[通关锦囊])．如图1所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1F ⊥CD ，如图2所示．(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．解：(1)证明：因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC.又因为DE⊄平面A1CB，BC⊂平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.(2)证明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D，DE⊥CD.又A1D∩CD＝D，A1D⊂平面A1DC，CD⊂平面A1DC，所以DE⊥平面A1DC.因为A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，CD∩DE＝D，CD⊂平面BCDE，DE⊂平面BCDE，所以A1F⊥平面BCDE，又BE⊂平面BCDE，所以A1F⊥BE.(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图所示，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.又因为DE∥BC，所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP.又DP∩DE＝D，DP⊂平面DEP，DE⊂平面DEP，所以A1C⊥平面DEP.从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.[例2] (2014·济南模拟)如图，四棱锥P ­ABCD 中，AB ⊥AC ，AB ⊥PA ，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E ，F ，G ，M ，N 分别为PB ，AB ，BC ，PD ，PC 的中点．求证：(1)CE ∥平面PAD ；(2)平面EFG ⊥平面EMN . [自主解答] (1)法一：取PA 的中点H ，连接EH ，DH . 因为E 为PB 的中点，所以EH ∥AB ，EH ＝12AB .又AB ∥CD ，CD ＝12AB ，所以EH ∥CD ，EH ＝CD ，因此四边形DCEH 是平行四边形． 所以CE ∥DH .又DH ⊂平面PAD ，CE ⊄平面PAD ， 所以CE ∥平面PAD .法二：连接CF .因为F 为AB 的中点，所以AF ＝12AB .又CD ＝12AB ，所以AF ＝CD . 又AF ∥CD ，所以四边形AFCD 为平行四边形． 因此CF ∥AD .又CF ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， 所以CF ∥平面PAD .因为E ，F 分别为PB ，AB 的中点， 所以EF ∥PA .又EF ⊄平面PAD ，PA ⊂平面PAD ， 所以EF ∥平面PAD . 因为CF ∩EF ＝F ，故平面CEF ∥平面PAD .又CE⊂平面CEF，所以CE∥平面PAD.(2)因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA.又AB⊥PA，所以AB⊥EF.同理可证AB⊥FG.又EF∩FG＝F，EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，因此AB⊥平面EFG.又M，N分别为PD，PC的中点，所以MN∥CD.又AB∥CD，所以MN∥AB，所以MN⊥平面EFG.又MN⊂平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN.【互动探究】在本例条件下，证明：平面EMN⊥平面PAC.证明：因为AB⊥PA，AB⊥AC，且PA∩AC＝A，所以AB⊥平面PAC.又MN∥CD，CD∥AB，所以MN∥AB，所以MN⊥平面PAC.又MN⊂平面EMN，所以平面EMN⊥平面PAC.【方法规律】面面垂直的性质应用技巧(1)两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面．这是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”．(2)两个相交平面同时垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于第三个平面，此性质是在课本习题中出现的，在不是很复杂的题目中，要对此进行证明．如图所示，三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，且各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．求证：(1)EF∥平面A1CD；(2)平面A1CD⊥平面A1ABB1.证明：(1)如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，AC∥A1C1，且AC＝A1C1，连接ED，在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DE ＝12AC ，且DE ∥AC .又F 为A 1C 1的中点，所以A 1F ＝12A 1C ＝12AC ，且A 1F ∥A 1C 1∥AC ，所以A 1F ＝DE ，且A 1F ∥DE ，即四边形A 1DEF 为平行四边形，所以EF ∥DA 1.又EF ⊄平面A 1CD ，DA 1⊂平面A 1CD ，所以EF ∥平面A 1CD . (2)由于底面ABC 是正三角形，D 为AB 的中点， 故CD ⊥AB ，又侧棱A 1A ⊥底面ABC ，CD ⊂平面ABC ， 所以AA 1⊥CD ，又AA 1∩AB ＝A ，因此CD ⊥平面A 1ABB 1，而CD ⊂平面A 1CD ，所以平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1.[例3] 如图所示，在四棱锥P ­ABCD 中，AB ⊥平面PAD ，AB ∥CD ，PD ＝AD ，E 是PB 的中点，F 是DC 上的点且DF ＝12AB ，PH 为△PAD 中AD 边上的高．(1)证明：PH ⊥平面ABCD ；(2)若PH ＝1，AD ＝2，FC ＝1，求三棱锥E ­BCF 的体积； (3)证明：EF ⊥平面PAB .[自主解答] (1)证明：由于AB ⊥平面PAD ，PH ⊂平面PAD ，故AB ⊥PH . 又∵PH 为△PAD 中AD 边上的高，∴AD ⊥PH . ∵AB ∩AD ＝A ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ， ∴PH ⊥平面ABCD .(2)由于PH ⊥平面ABCD ，E 为PB 的中点，PH ＝1，故E 到平面ABCD 的距离h ＝12PH ＝12.又∵AB ∥CD ，AB ⊥AD ，∴AD ⊥CD ，故S △BCF ＝12·FC ·AD ＝12×1×2＝22.因此V E ­BCF ＝13S △BCF ·h ＝13×22×12＝212.(3)证明：过E 作EG ∥AB 交PA 于G ，连接DG .由于E 为PB 的中点，所以G 为PA 的中点． ∵AD ＝PD ， ∴DG ⊥PA .∵AB ⊥平面PAD ，DG ⊂平面PAD ， ∴AB ⊥DG .又∵AB ∩PA ＝A ，AB ⊂平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，∴DG ⊥平面PAB .又∵GE ∥12AB ，GE =12AB ，DF ∥12AB ，DF =12AB∴GE ∥DF . GE =DF .∴四边形DFEG 为平行四边形，故DG ∥EF . ∴EF ⊥平面PAB . 【方法规律】垂直关系综合题的类型及解法(1)三种垂直的综合问题．一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化． (2)垂直与平行结合问题．求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用．(3)垂直与体积结合问题．在求体积时，可根据线面垂直得到表示高的线段，进而求得体积．如图所示，在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中(侧棱垂直于底面的三棱柱叫直三棱柱)，AB ＝BB 1，AC 1⊥平面A 1BD ，D 为AC 的中点．求证：(1)B 1C ∥平面A 1BD ； (2)B 1C 1⊥平面ABB 1A 1. 证明：(1)如图所示，连接AB 1，交A 1B 于点O ， 则O 为AB 1的中点．连接OD ， ∵D 为AC 的中点，∴在△ACB 1中，有OD ∥B 1C .又∵OD ⊂平面A 1BD ，B 1C ⊄平面A 1BD . ∴B 1C ∥平面A 1BD .(2)∵AB ＝B 1B ，三棱柱ABC ­A 1B 1C 1为直三棱柱， ∴四边形ABB 1A 1为正方形． ∴A 1B ⊥AB 1.又∵AC 1⊥平面A 1BD ，A 1B ⊂平面A 1BD ， ∴AC 1⊥A 1B .又∵AC 1⊂平面AB 1C 1，AB 1⊂平面AB 1C 1，AC 1∩AB 1＝A ， ∴A 1B ⊥平面AB 1C 1. 又∵B 1C 1⊂平面AB 1C 1， ∴A 1B ⊥B 1C 1.又∵A 1A ⊥平面A 1B 1C 1，B 1C 1⊂平面A 1B 1C 1， ∴A 1A ⊥B 1C 1.又∵A 1A ⊂平面ABB 1A 1，A 1B ⊂平面ABB 1A 1，A 1A ∩A 1B ＝A 1， ∴B 1C 1⊥平面ABB 1A 1.[例4](2014·杭州模拟)在几何体中，AA 1⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，CC 1∥AA 1，AB ＝BC ＝AA 1＝2，CC 1＝1，D ，E 分别是AB ，AA 1的中点．(1)求证：BC 1∥平面CDE ；(2)求二面角E ­DC ­A 的平面角的正切值． [自主解答](1)证明：连接AC 1交EC 于点F ，连接EC 1，由题意知四边形ACC 1E 是矩形，则F 是AC 1的中点，连接DF ，∵D 是AB 的中点，∴DF 是△ABC 1的中位线， ∴BC 1∥DF ，∵BC 1⊄平面CDE ，DF ⊂平面CDE ， ∴BC 1∥平面CDE .(2)过点A 作AH ⊥直线CD ，垂足为H ，连接HE ， ∵AA 1⊥平面ABC ，∴AA 1⊥CD ，又AH ∩AA 1＝A ，AH ，AA 1⊂平面AHE ， ∴CD ⊥平面AHE ， ∴CD ⊥EH ，∴∠AHE 是二面角E ­DC ­A 的平面角． ∵D 是AB 的中点，∴AH 等于点B 到CD 的距离，在△BCD 中，求得点B 到CD 的距离为255，则AH ＝255.在△AEH 中，tan ∠AHE ＝AEAH ＝52，即所求二面角的正切值为5 2.【方法规律】1．求斜线与平面所成的角的步骤(1)作图：作(或找)出斜线在平面上的射影，将空间角(斜线与平面所成的角)转化为平面角(两条相交直线所成的锐角)，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足(有时可以是两垂足)作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算．(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角．(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．2．求二面角的步骤(1)作出二面角的平面角；(2)证明该角就是二面角的平面角；(3)计算该角的大小．以上3步简记为作、证、算．3．作二面角平面角的方法法一：(定义法)在二面角的棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图①，∠AOB为二面角α­a­β的平面角．法二：(垂面法)过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如图②，∠AOB为二面角α­l­β的平面角．法三：(垂线法)过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角．如图③，∠AFE为二面角A­BC­D的平面角．(2012·广东高考)如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE.(1)证明：BD⊥平面PAC；(2)若PA＝1，AD＝2，求二面角B­PC­A的正切值．解：(1)证明：∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥BD .同理由PC ⊥平面BDE 可证得PC ⊥BD . 又∵PA ∩PC ＝P ，PA 、PC ⊂平面PAC ， ∴BD ⊥平面PAC .(2)如图，设BD 与AC 交于点O ，连接OE . ∵PC ⊥平面BDE ，BE 、OE ⊂平面BDE ， ∴PC ⊥BE ，PC ⊥OE .∴∠BEO 即为二面角B ­PC ­A 的平面角．由(1)知BD ⊥平面PAC . 又∵OE 、AC ⊂平面PAC ， ∴BD ⊥OE ，BD ⊥AC . 故矩形ABCD 为正方形， ∴BD ＝AC ＝22，BO ＝12BD ＝ 2.由PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，得PA ⊥BC . 又∵BC ⊥AB ，PA ∩AB ＝A ，PA ，AB ⊂平面PAB ， ∴BC ⊥平面PAB .而PB ⊂平面PAB ，∴BC ⊥PB .在Rt △PAB 中，PB ＝PA 2＋AB 2＝5，在Rt △PAC 中，PC ＝PA 2＋AC 2＝3，在Rt △PBC 中，由PB ·BC ＝PC ·BE ，得BE ＝253.在Rt △BOE 中，OE ＝BE 2－BO 2＝23. ∴tan ∠BEO ＝BO OE＝3，即二面角B ­PC ­A 的正切值为3.———————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————个转化——三种垂直关系的转化线线垂直判定判定性质线面垂直判定性质面面垂直性质在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决．如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．种方法——三种垂直关系的证明 (1)判定线线垂直的方法①定义：两条直线所成的角为90°；②平面几何中证明线线垂直的方法；③线面垂直的性质：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b；④线面垂直的性质：a⊥α，b∥α⇒a⊥b.(2)判定线面垂直的常用方法①利用线面垂直的判定定理；②利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”；③利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个也垂直”；④利用面面垂直的性质．(3)判定面面垂直的方法①利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；②判定定理：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β.11。

第5讲直线、平面垂直的判定及其性质一、选择题1．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( )．A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m答案 B2．已知α、β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的( )．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析由面面垂直的判定定理，知m⊥β⇒α⊥β.答案 B3．已知P为△ABC所在平面外的一点，则点P在此三角形所在平面上的射影是△ABC垂心的充分必要条件是( )．A．PA＝PB＝PCB．PA⊥BC，PB⊥ACC．点P到△ABC三边所在直线的距离相等D．平面PAB、平面PBC、平面PAC与△ABC所在的平面所成的角相等解析条件A为外心的充分必要条件，条件C、D为内心的必要条件，故选B.答案 B4.如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在( )．A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部解析由BC1⊥AC，又BA⊥AC，则AC⊥平面ABC1，因此平面ABC⊥平面ABC1，因此C1在底面ABC上的射影H在直线AB上．答案 A5．设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是( )．A．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥αB．若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则n⊥αC．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥αD．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β解析与α、β两垂直相交平面的交线垂直的直线m，可与α平行或相交，故A错；对B，存在n∥α情况，故B错；对D，存在α∥β情况，故D错．由n⊥α，n⊥β，可知α∥β，又m⊥β，所以m⊥α，故C正确，选C.答案 C6．如图(a)，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，如图(b)所示，那么，在四面体A－EFH中必有( )．A．AH⊥△EFH所在平面 B．AG⊥△EFH所在平面C．HF⊥△AEF所在平面 D．HG⊥△AEF所在平面解析折成的四面体有AH⊥EH，AH⊥FH，∴AH⊥面HEF.答案 A二、填空题7.如图，拿一X矩形的纸对折后略微展开，竖立在桌面上，折痕与桌面的位置关系是________．解析折痕与矩形在桌面内的两条相交直线垂直，因此折痕与桌面垂直．答案垂直8．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β.给出下列命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β.其中正确命题的序号是________．解析由面面平行的性质和线面垂直的定义可知①正确；因为l⊥α，α⊥β⇒l∥β或l⊂β，所以l，m平行、相交、异面都有可能，故②错误；由线面垂直的定义和面面垂直的判定定理可知③正确；因为l⊥α，l⊥m⇒m⊂α或m∥α，又m⊂β，所以α，β可能平行或相交，故④错误．答案①③9．已知P为△ABC所在平面外一点，且PA、PB、PC两两垂直，则下列命题：①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC.其中正确的个数是________．解析 如图所示．∵PA ⊥PC 、PA ⊥PB ，PC ∩PB ＝P ，∴PA ⊥平面PBC .又∵BC ⊂平面PBC ，∴PA ⊥BC .同理PB ⊥AC 、PC ⊥AB .但AB 不一定垂直于BC .答案 3个10.如图，PA ⊥圆O 所在的平面，AB 是圆O 的直径，C 是圆O 上的一点，E 、F 分别是点A 在PB 、PC 上的正投影，给出下列结论：①AF ⊥PB ；②EF ⊥PB ；③AF ⊥BC ；④AE ⊥平面PBC .其中正确结论的序号是________．解析 由题意知PA ⊥平面ABC ，∴PA ⊥BC .又AC ⊥BC ，PA ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面PAC .∴BC ⊥AF .∵AF ⊥PC ，BC ∩PC ＝C ，∴AF ⊥平面PBC ，∴AF ⊥PB ，AF ⊥BC .又AE ⊥PB ，AE ∩AF ＝A ，∴PB ⊥平面AEF .∴PB ⊥EF .故①②③正确．答案 ①②③三、解答题11．已知斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是直角三角形，∠C ＝90°，点B 1在底面上射影D 落在BC 上．(1)求证：AC ⊥平面BB 1C 1C ；(2)若AB 1⊥BC 1，且∠B 1BC ＝60°，求证：A 1C ∥平面AB 1D .解析 (1)∵B 1D ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴B 1D ⊥AC .又∵BC ⊥AC ，B 1D ∩BC ＝D ，∴AC ⊥平面BB 1C 1C .(2) ⎭⎪⎬⎪⎫AB 1⊥BC 1AC ⊥BC 1AB 1与AC 相交 ≠⇒⎭⎪⎬⎪⎫BC 1⊥平面AB 1C B 1C ⊂平面AB 1C ⇒BC 1⊥B 1C ， ∴四边形BB 1C 1C 为菱形，∵∠B 1BC ＝60°，B 1D ⊥BC 于D ，∴D 为BC 的中点．连接A 1B ，与AB 1交于点E ，在三角形A 1BC 中，DE ∥A 1C ，∴A 1C ∥平面AB 1D .12．如图所示，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，DB ＝BC ，DB ⊥AC ，点M 是棱BB 1上一点．(1)求证：B 1D 1∥平面A 1BD ；(2)求证：MD ⊥AC ；(3)试确定点M 的位置，使得平面DMC 1⊥平面CC 1D 1D .(1)证明 由直四棱柱，得BB 1∥DD 1，又∵BB 1＝DD 1，∴BB 1D 1D 是平行四边形，∴B 1D 1∥BD .而BD ⊂平面A 1BD ，B 1D 1⊄平面A 1BD ，∴B 1D 1∥平面A 1BD .(2)证明 ∵BB 1⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴BB 1⊥AC .又∵BD ⊥AC ，且BD ∩BB 1＝B ，∴AC ⊥平面BB 1D .而MD ⊂平面BB 1D ，∴MD ⊥AC .(3)解 当点M 为棱BB 1的中点时，平面DMC 1⊥平面CC 1D 1D .取DC 的中点N ，D 1C 1的中点N 1，连接NN 1交DC 1于O ，连接OM ，如图所示．∵N 是DC 的中点，BD ＝BC ，∴BN ⊥DC .又∵DC 是平面ABCD 与平面DCC 1D 1的交线，而平面ABCD ⊥平面DCC 1D 1，∴BN ⊥平面DCC 1D 1.又可证得O 是NN 1的中点，∴BM ∥ON 且BM ＝ON ，即BMON 是平行四边形．∴BN ∥OM .∴OM ⊥平面CC 1D 1D .∵OM ⊂平面DMC 1，∴平面DMC 1⊥平面CC 1D 1D .13．如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图，在直观图中，M 是BD 的中点，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．(1)若N 是BC 的中点，证明：AN ∥平面CME ；(2)证明：平面BDE ⊥平面BCD .(3)求三棱锥D －BCE 的体积．(1)证明 连接MN ，则MN ∥CD ，AE ∥CD ，又MN ＝AE ＝12CD ，∴四边形ANME 为平行四边形， ∴AN ∥EM .∵AN ⊄平面CME ，EM ⊂平面CME ， ∴AN ∥平面CME .(2)证明 ∵AC ＝AB ，N 是BC 的中点，AN ⊥BC ， 又平面ABC ⊥平面BCD ，∴AN ⊥平面BCD .由(1)，知AN ∥EM ，∴EM ⊥平面BCD .又EM ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面BCD .(3)解 V D －BCE ＝V E －BCD ＝13S △BCD ·|EM |＝13×22×42×2＝83.14．如图，在多面体ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，AA 1綉BB 1，AB ＝AC ＝AA 1＝22BC ，B 1C 1綉12BC .(1)求证：A 1B 1⊥平面AA 1C ；(2)若D 是BC 的中点，求证：B 1D ∥平面A 1C 1C .(3)若BC ＝2，求几何体ABC －A 1B 1C 1的体积．(1)证明 ∵AB ＝AC ＝22BC ，AB 2＋AC 2＝BC 2，∴AB ⊥AC ，又AA 1⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，∴AA 1⊥AB ，AA 1∩AC ＝A ，∴AB ⊥平面AA 1C ，又∵AA 1綉BB 1，∴四边形ABB 1A 1为平行四边形． ∴A 1B 1∥AB ，∴A 1B 1⊥平面AA 1C .(2)证明 ∵B 1C 1綉12BC ，且D 是BC 的中点，∴CD 綉C 1B 1，∴四边形C 1CDB 1为平行四边形， ∴B 1D ∥C 1C ，B 1D ⊄平面A 1C 1C 且C 1C ⊂平面A 1C 1C ， ∴B 1D ∥平面A 1C 1C .(3)解 连接AD ，DC 1，V ＝V 三棱柱A 1B 1C 1－ABD ＋V 四棱锥C －AA 1C 1D1 2×1×1×2＋13×(2×1)×1＝526.＝。

直线、平面垂直的判定与性质考纲要求1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．知识梳理1．直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义如果一条直线l 与平面α内的任意直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直． (2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥al ⊥b a ∩b ＝O a ⊂αb ⊂α⇒l ⊥α 性质定理两直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行⎭⎬⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b(1)定义：一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角． (2)范围：⎣⎡⎦⎤0，π2. 3．二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角．(3)二面角的范围：[0，π]． 4．平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直⎭⎬⎫l ⊥αl ⊂β⇒α⊥β 性质定理如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βα∩β＝al ⊥a l ⊂β⇒l ⊥α1．三个重要结论(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)．(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．2．使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”． 3．三种垂直关系的转化线线垂直判定定理性质线面垂直判定定理性质定理面面垂直诊断自测1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)直线l 与平面α内的无数条直线都垂直，则l ⊥α.( )(2)垂直于同一个平面的两平面平行．()(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．()(4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.()答案(1)×(2)×(3)×(4)×解析(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则有l⊥α或l与α斜交或l⊂α或l∥α，故(1)错误．(2)垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，故(2)错误．(3)若两个平面垂直，则其中一个平面内的直线可能垂直于另一平面，也可能与另一平面平行，也可能与另一平面相交，也可能在另一平面内，故(3)错误．(4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的所有直线，则α⊥β，故(4)错误．2．已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则()A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n答案 C解析由题意知，α∩β＝l，所以l⊂β，因为n⊥β，所以n⊥l.3．在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.(1)若P A＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心．(2)若P A⊥PB，PB⊥PC，PC⊥P A，则点O是△ABC的________心．答案(1)外(2)垂解析(1)如图1，连接OA，OB，OC，OP，在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，P A＝PB＝PC，所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心．图1(2)如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于H，D，G.因为PC⊥P A，PB⊥PC，P A∩PB＝P，所以PC⊥平面P AB，又AB⊂平面P AB，所以PC⊥AB，因为PO⊥AB，PO∩PC ＝P，所以AB⊥平面PGC，又CG⊂平面PGC，所以AB⊥CG，即CG为△ABC边AB上的高．同理可证BD，AH分别为△ABC边AC，BC上的高，即O为△ABC的垂心．图24．(2021·日照检测)已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析m⊂α，m⊥β⇒α⊥β，反过来，若m⊂α，α⊥βD m⊥β(m∥β或m与β斜交)，所以“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件．5．(2021·西安联考)已知AB是圆柱上底面的一条直径，C是上底面圆周上异于A，B的一点，D为下底面圆周上一点，且AD⊥圆柱的底面，则必有()A．平面ABC⊥平面BCD B．平面BCD⊥平面ACDC．平面ABD⊥平面ACD D．平面BCD⊥平面ABD答案 B解析因为AB是圆柱上底面的一条直径，所以AC⊥BC，又AD垂直于圆柱的底面，所以AD⊥BC，因为AC∩AD＝A，所以BC⊥平面ACD.由于BC⊂平面BCD.所以平面BCD⊥平面ACD.6．(2018·全国Ⅰ卷)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为()A．8 B．6 2 C．8 2 D．8 3答案 C解析连接BC1，因为AB⊥平面BB1C1C，所以∠AC1B＝30°，AB⊥BC1，所以△ABC1为直角三角形．又AB＝2，所以BC1＝2 3.又B1C1＝2，所以BB1＝232－22＝22，故该长方体的体积V＝2×2×22＝8 2.考点一线面垂直的判定与性质【例1】(2019·全国Ⅱ卷)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.(1)证明：BE ⊥平面EB 1C 1；(2)若AE ＝A 1E ，AB ＝3，求四棱锥E －BB 1C 1C 的体积．(1)证明 由已知得B 1C 1⊥平面ABB 1A 1，BE ⊂平面ABB 1A 1，故B 1C 1⊥BE .又BE ⊥EC 1，B 1C 1∩EC 1＝C 1，B 1C 1，EC 1⊂平面EB 1C 1，所以BE ⊥平面EB 1C 1. (2)解 由(1)知∠BEB 1＝90°.由题设知Rt △ABE ≌Rt △A 1B 1E ， 所以∠AEB ＝∠A 1EB 1＝45°， 故AE ＝AB ＝3，AA 1＝2AE ＝6.如图，作EF ⊥BB 1，垂足为F ，则EF ⊥平面BB 1C 1C ，且EF ＝AB ＝3. 所以四棱锥E －BB 1C 1C 的体积V ＝13×3×6×3＝18.感悟升华 1.证明直线和平面垂直的常用方法有：(1)判定定理；(2)垂直于平面的传递性(a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α)；(3)面面平行的性质(a ⊥α，α∥β⇒a ⊥β)；(4)面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝a ，l ⊥a ，l ⊂β⇒l ⊥α)．2．证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思路．【训练1】 如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，P A ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.证明(1)在四棱锥P－ABCD中，∵P A⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴P A⊥CD，又∵AC⊥CD，且P A∩AC＝A，∴CD⊥平面P AC.又AE⊂平面P AC，∴CD⊥AE.(2)由P A＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝P A.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.又PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵P A⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴P A⊥AB.又∵AB⊥AD，且P A∩AD＝A，∴AB⊥平面P AD，又PD⊂平面P AD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.考点二面面垂直的判定与性质【例2】(2020·全国Ⅰ卷)如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，∠APC＝90°.(1)证明：平面P AB⊥平面P AC；(2)设DO ＝2，圆锥的侧面积为3π，求三棱锥P －ABC 的体积． (1)证明 由题设可知，P A ＝PB ＝PC . 由△ABC 是正三角形，可得△P AC ≌△P AB ，△P AC ≌△PBC . 又∠APC ＝90°，故∠APB ＝90°，∠BPC ＝90°.从而PB ⊥P A ，PB ⊥PC ，又P A ，PC ⊂平面P AC ，P A ∩PC ＝P ， 故PB ⊥平面P AC ，又PB ⊂平面P AB ， 所以平面P AB ⊥平面P AC .(2)解 设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ， 由题设可得rl ＝3，l 2－r 2＝2，解得r ＝1，l ＝ 3. 从而AB ＝ 3.由(1)可得P A 2＋PB 2＝AB 2，故P A ＝PB ＝PC ＝62. 所以三棱锥P －ABC 的体积为 13·12·P A ·PB ·PC ＝13×12×⎝⎛⎭⎫623＝68. 感悟升华 1.判定面面垂直的方法主要是：(1)面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理(a ⊥β，a ⊂α⇒α⊥β)．2．已知平面垂直时，解题一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，将问题转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．【训练2】 (2021·安徽A10联盟检测)如图，在四棱锥A －BCDE 中，△ADE 是边长为2的等边三角形，平面ADE ⊥平面BCDE ，底面BCDE 是等腰梯形，DE ∥BC ，DE ＝12BC ，BE＝DC ＝2，BD ＝23，点M 是DE 边的中点，点N 在BC 上，且BN ＝3.(1)证明：BD ⊥平面AMN ；(2)设BD ∩MN ＝G ，求三棱锥A －BGN 的体积． (1)证明 ∵△ADE 是等边三角形，M 是DE 的中点， ∴AM ⊥DE .又平面ADE ⊥平面BCDE ，平面ADE ∩平面BCDE ＝DE ， ∴AM ⊥平面BCDE ，∵BD ⊂平面BCDE ，∴AM ⊥BD ，∵MD ＝ME ＝1，BN ＝3，DE ∥BC ，DE ＝12BC ，∴MD 綉CN ，∴四边形MNCD 是平行四边形， ∴MN ∥CD .又BD ＝23，BC ＝4，CD ＝2，∴BD 2＋CD 2＝BC 2， ∴BD ⊥CD ，∴BD ⊥MN .又AM ∩MN ＝M ，∴BD ⊥平面AMN . (2)解 由(1)知AM ⊥平面BCDE ， ∴AM 为三棱锥A －BGN 的高． ∵△ADE 是边长为2的等边三角形， ∴AM ＝ 3.易知GN ＝34CD ＝32，又由(1)知BD ⊥MN ，∴BG ＝BN 2－NG 2＝332.∴S △BGN ＝12BG ·NG ＝12×332×32＝938.∴V A －BGN ＝13S △BGN ·AM ＝13×938×3＝98.考点三 平行与垂直的综合问题角度1 平行与垂直关系的证明【例3】 如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面P AD ⊥平面ABCD ，P A ⊥PD ，P A ＝PD ，E ，F 分别为AD ，PB 的中点．求证：(1)PE ⊥BC ；(2)平面P AB ⊥平面PCD ； (3)EF ∥平面PCD .证明 (1)因为P A ＝PD ，E 为AD 的中点， 所以PE ⊥AD .因为底面ABCD 为矩形，所以BC ∥AD . 所以PE ⊥BC .(2)因为底面ABCD 为矩形，所以AB ⊥AD .又因为平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，AB ⊂平面ABCD ， 所以AB ⊥平面P AD .又PD ⊂平面P AD ，所以AB ⊥PD . 又因为P A ⊥PD ，且P A ∩AB ＝A ， 所以PD ⊥平面P AB .又PD ⊂平面PCD ， 所以平面P AB ⊥平面PCD .(3)如图，取PC 中点G ，连接FG ，DG . 因为F ，G 分别为PB ，PC 的中点， 所以FG ∥BC ，FG ＝12BC .因为ABCD 为矩形，且E 为AD 的中点， 所以DE ∥BC ，DE ＝12BC .所以DE ∥FG ，DE ＝FG .所以四边形DEFG 为平行四边形． 所以EF ∥DG .又因为EF ⊄平面PCD ，DG ⊂平面PCD ， 所以EF ∥平面PCD .感悟升华 1.三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化． 2．垂直与平行的结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用．如果有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．角度2 平行垂直关系与几何体的度量【例4】 (2019·天津卷)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，△PCD 为等边三角形，平面P AC ⊥平面PCD ，P A ⊥CD ，CD ＝2，AD ＝3.(1)设G ，H 分别为PB ，AC 的中点，求证：GH ∥平面P AD ； (2)求证：P A ⊥平面PCD ；(3)求直线AD 与平面P AC 所成角的正弦值． (1)证明 连接BD ，易知AC ∩BD ＝H ，BH ＝DH .又由BG ＝PG ，故GH 为△PBD 的中位线，所以GH ∥PD . 又因为GH ⊄平面P AD ，PD ⊂平面P AD ，所以GH ∥平面P AD . (2)证明 取棱PC 的中点N ，连接DN .依题意，得DN ⊥PC .又因为平面P AC ⊥平面PCD ，平面P AC ∩平面PCD ＝PC ，DN ⊂平面PCD ，所以DN ⊥平面P AC .又P A ⊂平面P AC ，所以DN ⊥P A . 又已知P A ⊥CD ，CD ∩DN ＝D ， 所以P A ⊥平面PCD .(3)解 连接AN ，由(2)中DN ⊥平面P AC ，可知∠DAN 为直线AD 与平面P AC 所成的角． 因为△PCD 为等边三角形，CD ＝2且N 为PC 的中点， 所以DN ＝ 3.又DN ⊥AN ，在Rt △AND 中，sin ∠DAN ＝DN AD ＝33.所以直线AD 与平面P AC 所成角的正弦值为33. 感悟升华 1.平行垂直关系应用广泛，不仅可以证明判断空间线面、面面位置关系，而且常用以求空间角和空间距离、体积．2．综合法求直线与平面所成的角，主要是找出斜线在平面内的射影，其关键是作垂线，找垂足，把线面角转化到一个三角形中求解．【训练3】 如图，AB 是⊙O 的直径，P A 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上不同于A ，B 的一动点．(1)证明：△PBC是直角三角形；(2)若P A＝AB＝2，且当直线PC与平面ABC所成角的正切值为2时，求直线AB与平面PBC 所成角的正弦值．(1)证明∵AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的一动点．∴BC⊥AC，∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC，又P A∩AC＝A，P A，AC⊂平面P AC，∴BC⊥平面P AC，∴BC⊥PC，∴△BPC是直角三角形．(2)解如图，过A作AH⊥PC于H，∵BC⊥平面P AC，∴BC⊥AH，又PC∩BC＝C，PC，BC⊂平面PBC，∴AH⊥平面PBC，∴∠ABH是直线AB与平面PBC所成的角，∵P A⊥平面ABC，∴∠PCA是直线PC与平面ABC所成的角，∵tan∠PCA＝P AAC＝2，又P A＝2，∴AC＝2，∴在Rt △P AC 中，AH ＝P A ·AC P A 2＋AC 2＝233，∴在Rt △ABH 中，sin ∠ABH ＝AH AB ＝2332＝33，故直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值为33.与垂直平行相关的探索性问题立体几何中的探索性问题是近年高考的热点，题目主要涉及线面平行、垂直位置关系的探究，条件或结论不完备的开放性问题的探究，重点考查逻辑推理，直观想象与数学运算核心素养． 【典例】 如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，△PDC 和△BDC 均为等边三角形，且平面PDC ⊥平面BDC .(1)在棱PB 上是否存在点E ，使得AE ∥平面PDC ？若存在，试确定点E 的位置；若不存在，试说明理由． (2)若△PBC 的面积为152，求四棱锥P －ABCD 的体积． 解 (1)存在点E ，当点E 为棱PB 的中点时，使得AE ∥面PDC ，理由如下：如图所示，取PB 的中点E ，连接AE ，取PC 的中点F ，连接EF ，DF ，取BC 的中点G ，连接DG .因为△BCD 是等边三角形，所以∠DGB ＝90°. 因为∠ABC ＝∠BAD ＝90°，所以四边形ABGD 为矩形，所以AD ＝BG ＝12BC ，AD ∥BC .因为EF 为△BCP 的中位线，所以EF ＝12BC ，且EF ∥BC ，故AD ＝EF ，且AD ∥EF ，所以四边形ADFE 是平行四边形，从而AE ∥DF ， 又AE ⊄平面PDC ，DF ⊂平面PDC ， 所以AE ∥平面PDC .(2)取CD 的中点M ，连接PM ，过点P 作PN ⊥BC 交BC 于点N ，连接MN ，如图所示． 因为△PDC 为等边三角形，所以PM ⊥DC .因为PM ⊥DC ，平面PDC ⊥平面BDC ，平面PDC ∩平面BDC ＝DC . 所以PM ⊥平面BCD ，故PM 为四棱锥P －ABCD 的高． 又BC ⊂平面BCD ，所以PM ⊥BC .因为PN ⊥BC ，PN ∩PM ＝P ，PN ⊂平面PMN ，PM ⊂平面PMN ，所以BC ⊥平面PMN . 因为MN ⊂平面PMN ，所以BC ⊥MN . 由M 为DC 的中点，易知NC ＝14BC .设BC ＝x ，则△PBC 的面积为x 2·x 2－⎝⎛⎭⎫x 42＝152，解得x ＝2，即BC ＝2， 所以AD ＝1，AB ＝DG ＝PM ＝ 3.故四棱锥P －ABCD 的体积为V ＝13×S 梯形ABCD ×PM ＝13×1＋2×32×3＝32.素养升华 1.求条件探索性问题的主要途径：(1)先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性．2．涉及点的位置探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点的存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点．平行或垂直关系入手，把所探究的结论转化为平面图形中线线关系，从而确定探究的结果． 【训练】 如图，三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，P A ＝1，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°.(1)求三棱锥P －ABC 的体积；(2)在线段PC 上是否存在点M ，使得AC ⊥BM ，若存在点M ，求出PMMC 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)由题知AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°， 可得S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin 60°＝32，由P A ⊥平面ABC ，可知P A 是三棱锥P －ABC 的高． 又P A ＝1，所以三棱锥P －ABC 的体积V ＝13·S △ABC ·P A ＝36.(2)在平面ABC 内，过点B 作BN ⊥AC ，垂足为N .在平面P AC 内，过点N 作MN ∥P A 交PC 于点M ，连接BM .由P A ⊥平面ABC 知P A ⊥AC ，所以MN ⊥AC . 由于BN ∩MN ＝N ，故AC ⊥平面MBN . 又BM ⊂平面MBN ，所以AC ⊥BM .在Rt △BAN 中，AN ＝AB ·cos ∠BAC ＝12，从而NC ＝AC －AN ＝32.由MN ∥P A ，得PM MC ＝AN NC ＝13.A 级 基础巩固一、选择题1．(2021·淮北质检)已知平面α，直线m ，n ，若n ⊂α，则“m ⊥n ”是“m ⊥α”的( )A ．充分不必要条件B ．充分必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 由n ⊂α，m ⊥n ，不一定得到m ⊥α；反之，由n ⊂α，m ⊥α，可得m ⊥n . ∴若n ⊂α，则“m ⊥n ”是“m ⊥α”的必要不充分条件．2．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CD 的中点，则( ) A ．A 1E ⊥DC 1 B ．A 1E ⊥BD C ．A 1E ⊥BC 1 D ．A 1E ⊥AC 答案 C解析 如图，由题设知，A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，且BC 1⊂平面BCC 1B 1，从而A 1B 1⊥BC 1. 又B 1C ⊥BC 1，且A 1B 1∩B 1C ＝B 1，所以BC 1⊥平面A 1B 1CD ，又A 1E ⊂平面A 1B 1CD ，所以A 1E ⊥BC 1.3．(2021·郑州调研)已知m ，l 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列可以推出α⊥β的是( ) A ．m ⊥l ，m ⊂β，l ⊥α B ．m ⊥l ，α∩β＝l ，m ⊂α C ．m ∥l ，m ⊥α，l ⊥β D ．l ⊥α，m ∥l ，m ∥β答案 D解析 在A 中，m ⊥l ，m ⊂β，l ⊥α，则α与β相交或平行，故A 错误； 在B 中，m ⊥l ，α∩β＝l ，m ⊂α，则α与β有可能相交但不垂直，故B 错误； 在C 中，m ∥l ，m ⊥α，l ⊥β，则α∥β，故C 错误；在D 中，l ⊥α，m ∥l ，则m ⊥α，又m ∥β，则α⊥β，故D 正确．4．已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形，若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则P A 与平面ABC 所成角的大小为( ) A.5π12 B ．π3C.π4 D ．π6答案 B解析 如图，取正三角形ABC 的中心为O ，连接OP ，则∠P AO 是P A 与平面ABC 所成的角．因为底面边长为3， 所以AD ＝3×32＝32，AO ＝23AD ＝23×32＝1.三棱柱的体积为34×(3)2AA 1＝94， 解得AA 1＝3，即OP ＝AA 1＝3， 所以tan ∠P AO ＝OPOA＝3，因为直线与平面所成角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π2， 所以∠P AO ＝π3.5. (2020·昆明诊断)如图，AC ＝2R 为圆O 的直径，∠PCA ＝45°，P A 垂直于圆O 所在的平面，B 为圆周上不与点A 、C 重合的点，AS ⊥PC 于S ，AN ⊥PB 于N ，则下列不正确的是( )A．平面ANS⊥平面PBCB．平面ANS⊥平面P ABC．平面P AB⊥平面PBCD．平面ABC⊥平面P AC答案 B解析∵P A⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴P A⊥BC，又AC为圆O直径，所以AB⊥BC，又P A∩AB＝A，∴BC⊥平面P AB，又AN⊂平面ABP，∴BC⊥AN，又AN⊥PB，BC∩PB＝B，∴AN⊥平面PBC，又AN⊂平面ANS，∴平面ANS⊥平面PBC，∴A正确，C，D显然正确．6．(2020·衡水调研)如图，点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列四个结论：①三棱锥A－D1PC的体积不变；②A1P∥平面ACD1；③DP⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1.其中正确的结论的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个答案 C解析对于①，由题意知AD1∥BC1，从而BC1∥平面AD1C，故BC1上任意一点到平面AD1C 的距离均相等，所以以P为顶点，平面AD1C为底面，则三棱锥A－D1PC的体积不变，故①正确；对于②，连接A1B，A1C1，A1C1綉AC，由于①知：AD1∥BC1，所以面BA1C1∥面ACD1，从而由线面平行的定义可得，故②正确；对于③，由于DC⊥平面BCC1B1，所以DC⊥BC1，若DP⊥BC1，则BC1⊥平面DCP，所以BC1⊥PC，则P为中点，与P为动点矛盾，故③错误；对于④，连接DB1，由DB1⊥AC且DB1⊥AD1，可得DB1⊥面ACD1，从而由面面垂直的判定知，故④正确．二、填空题7．(2019·北京卷)已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：________. 答案若m∥α，l⊥α，则l⊥m(或若l⊥m，l⊥α，则m∥α，答案不唯一)解析已知l，m是平面α外的两条不同直线，由①l⊥m与②m∥α，不能推出③l⊥α，因为l可以与α平行，也可以相交不垂直；由①l⊥m与③l⊥α能推出②m∥α；由②m∥α与③l⊥α可以推出①l⊥m.故正确的命题是②③⇒①或①③⇒②.8.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱长为2，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，D 是A 1B 1的中点，F 是BB 1上的动点，AB 1，DF 交于点E ，要使AB 1⊥平面C 1DF ，则线段B 1F 的长为________．答案 12解析 设B 1F ＝x ，因为AB 1⊥平面C 1DF ，DF ⊂平面C 1DF ， 所以AB 1⊥DF ， 由已知可得A 1B 1＝2，设Rt △AA 1B 1斜边AB 1上的高为h ，则DE ＝12h .又12×2×2＝12×h 22＋22，所以h ＝233，DE ＝33.在Rt △DB 1E 中，B 1E ＝⎝⎛⎭⎫222－⎝⎛⎭⎫332＝66. 由面积相等得12×66×x 2＋⎝⎛⎭⎫222＝12×22x ， 得x ＝12.9.如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD ⊥平面PCD (只要填写一个你认为是正确的条件即可)．答案 DM ⊥PC (或BM ⊥PC ) 解析 连接AC ，BD ，则AC ⊥BD ，因为P A ⊥底面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥BD .又P A ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面P AC ，PC ⊂平面P AC ，所以BD ⊥PC . 所以当DM ⊥PC (或BM ⊥PC )时， 有PC ⊥平面MBD .PC ⊂平面PCD ，所以平面MBD ⊥平面PCD . 三、解答题10.如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝BC ＝22，P A ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点．(1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且MC ＝2MB ，求点C 到平面POM 的距离． (1)证明 因为AP ＝CP ＝AC ＝4，O 为AC 的中点， 所以OP ⊥AC ，且OP ＝2 3.连接OB ，因为AB ＝BC ，AB 2＋BC 2＝AC 2，所以△ABC 为等腰直角三角形，且OB ⊥AC ，OB ＝12AC ＝2.由OP 2＋OB 2＝PB 2知，OP ⊥OB .由OP ⊥OB ，OP ⊥AC 且OB ∩AC ＝O ，知PO ⊥平面ABC . (2)解 作CH ⊥OM ，垂足为H .又由(1)可得OP ⊥CH ，所以CH ⊥平面POM . 故CH 的长为点C 到平面POM 的距离． 由题设可知OC ＝12AC ＝2，CM ＝23BC ＝423，∠ACB ＝45°.所以OM ＝253，CH ＝OC ·MC ·sin ∠ACB OM ＝455.所以点C 到平面POM 的距离为455.11. (2021·昆明诊断)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，△P AD 是正三角形，E 为线段AD 的中点．(1)求证：平面PBC ⊥平面PBE ；(2)是否存在满足PF →＝λFC →(λ>0)的点F ，使得V B －P AE ＝34V D －PFB ？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．(1)证明 因为△P AD 是正三角形，E 为线段AD 的中点， 所以PE ⊥AD .因为底面ABCD 是菱形，所以AD ＝AB ，又∠BAD ＝60°， 所以△ABD 是正三角形， 所以BE ⊥AD . 又BE ∩PE ＝E ， 所以AD ⊥平面PBE . 又AD ∥BC ， 所以BC ⊥平面PBE . 又BC ⊂平面PBC ， 所以平面PBC ⊥平面PBE .(2)解 由PF →＝λFC →，知(λ＋1)FC ＝PC ， 所以V B －P AE ＝12V P －ADB ＝12V P －BCD ＝λ＋12V F －BCD ，V D －PFB ＝V P －BDC －V F －BDC ＝λV F －BCD . 因此，λ＋12＝3λ4，得λ＝2.故存在满足PF →＝λFC →(λ>0)的点F ， 使得V B －P AE ＝34V D －PFB ，此时λ＝2.B 级 能力提升12．如图，正三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 相交于点G ，已知△A ′DE 是△ADE 绕直线DE 翻折过程中的一个图形，现给出下列命题： ①恒有直线BC ∥平面A ′DE ； ②恒有直线DE ⊥平面A ′FG ；③恒有平面A ′FG ⊥平面A ′DE ，其中正确命题的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3答案 D解析对于①，∵DE为△ABC的中位线，∴DE∥BC，又知DE⊂平面A′DE，BC⊄平面A′DE，∴BC∥平面A′DE，故①正确；对于②，∵△ABC为等边三角形，AF为BC边上的中线，∴BC⊥AF，又知DE∥BC，∴DE⊥AF，∴DE⊥FG，根据翻折的性质可知，DE⊥A′G，又A′G∩FG＝G，∴DE⊥平面A′FG，故②正确；对于③，由②知DE⊥平面A′FG，又知DE⊂平面A′DE，∴平面A′FG⊥平面A′DE，故③正确．综上，正确的命题为①②③. 13．(2019·全国Ⅰ卷)已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为3，那么P到平面ABC的距离为________．答案 2解析如图，过点P作PO⊥平面ABC于O，则PO为P到平面ABC的距离．再过O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，连接PC，PE，PF，则PE⊥AC，PF⊥BC.所以PE＝PF＝3，所以OE＝OF，所以CO为∠ACB的平分线，即∠ACO＝45°.在Rt△PEC中，PC＝2，PE＝3，所以CE＝1，所以OE＝1，所以PO＝PE2－OE2＝32－12＝ 2.14.如图，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°.以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA.(1)证明：平面ACD ⊥平面ABC ；(2)Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且BP ＝DQ ＝23DA ，求三棱锥Q －ABP 的体积．(1)证明 由已知可得，∠BAC ＝90°，即BA ⊥AC .又BA ⊥AD ，AC ∩AD ＝A ，AC ，AD ⊂平面ACD ，所以AB ⊥平面ACD . 又AB ⊂平面ABC ， 所以平面ACD ⊥平面ABC .(2)解 由已知可得， DC ＝CM ＝AB ＝3， DA ＝AM ＝3 2. 又BP ＝DQ ＝23DA ，所以BP ＝2 2.作QE ⊥AC ，垂足为E ，则QE 綉13DC .由已知及(1)可得DC ⊥平面ABC ，所以QE ⊥平面ABC ，QE ＝1. 因此，三棱锥Q －ABP 的体积为V Q －ABP ＝13×QE ×S △ABP ＝13×1×12×3×22sin 45°＝1.。

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高考一轮总复习 ·数学（文）
3．若平面 α 内的一条直线垂直于平面 β 内的无数条直 线，则 α⊥β.( × )
4．二面角是指两个相交平面构成的图形．( × ) 5．若两个平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直 线垂直于另一个平面．( × )
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由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且 PA＝6，可得 DE＝2，PE＝2 2.
在等腰直角三角形 EFP 中，可得 EF＝PF＝2， 所以四面体 PDEF 的体积 V＝13×12×2×2×2＝43.
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命题角度 2 利用线面垂直证明线线垂直
连接 CG，因为 P 在平面 ABC 内的正投影为 D，所以 D 是正三角形 ABC 的中心，由(1)知，G 是 AB 的中点，所 以 D 在 CG 上，且 CD＝23CG.
由题设可得 PC⊥平面 PAB，DE⊥平面 PAB，所以 DE ∥PC，因此 PE＝23PG，DE＝13PC.
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[双基夯实] 一、疑难辨析 判 断 下 列 结 论 的 正 误 ． ( 正 确 的 打 “√” ， 错 误 的 打 “×”) 1．垂直于同一个平面的两平面平行．( × ) 2．若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直 线平行．( × )
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解析 由 PA⊥平面 ABC 可得△PAC，△PAB 是直角三角 形，且 PA⊥BC.又∠ABC＝90°，所以△ABC 是直角三角形， 且 BC⊥平面 PAB，所以 BC⊥PB，即△PBC 为直角三角形， 故四面体 P－ABC 中共有 4 个直角三角形．