高考复习数学(北师大版)第3章 第3节 课时分层训练18

1 课时分层训练(十八)

三角函数的图像与性质

A组 基础达标

(建议用时：30分钟)

一、选择题

1．函数y＝cos x－32的定义域为( )

A.－π6，π6

B.kπ－π6，kπ＋π6(k∈Z)

C.2kπ－π6，2kπ＋π6(k∈Z)

D．R

C [由cos x－32≥0，得cos x≥32，∴2kπ－π6≤x≤2kπ＋π6，k∈Z.]

2．已知函数f (x)＝sinωx＋π4(ω＞0)的最小正周期为π，则f π8＝( )

【导学号：66482152】

A．1 B．12

C．－1 D．－12

A [由题设知2πω＝π，所以ω＝2，f (x)＝sin2x＋π4，所以f π8＝sin2×π8＋π4＝sin π2＝1.]

3．(2015·四川高考)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( )

A．y＝sin 2x＋π2 2 B．y＝cos 2x＋π2

C．y＝sin 2x＋cos 2x

D．y＝sin x＋cos x

B [A项，y＝sin 2x＋π2＝cos 2x，最小正周期为π，且为偶函数，不符合题意；

B项，y＝cos 2x＋π2＝－sin 2x，最小正周期为π，且为奇函数，符合题意；

C项，y＝sin 2x＋cos 2x＝2sin 2x＋π4，最小正周期为π，为非奇非偶函数，不符合题意；

D项，y＝sin x＋cos x＝2sin x＋π4，最小正周期为2π，为非奇非偶函数，不符合题意．]

4．若函数y＝cosωx＋π6(ω∈N*)图像的一个对称中心是π6，0，则ω的最小值为( )

【导学号：66482153】

A．1 B．2

C．4 D．8

B [由题意知πω6＋π6＝kπ＋π2(k∈Z)⇒ω＝6k＋2(k∈Z)，又ω∈N*，∴ωmin＝2，故选B.]

5．(2017·重庆二次适应性测试)若函数f (x)＝sinωx＋π6－cos ωx(ω＞0)的图像相邻两个对称中心之间的距离为π2，则f (x)的一个递增区间为( )

A.－π6，π3 B．－π3，π6

C.π6，2π3 D．π3，5π6 3 A [依题意得f (x)＝32sin ωx－12cos ωx＝sinωx－π6的图像相邻两个对称中心之间的距离为π2，于是有T＝2πω＝2×π2＝π，ω＝2，f (x)＝sin2x－π6.当2kπ－π2≤2x－π6≤2kπ＋π2，即kπ－π6≤x≤kπ＋π3，k∈Z时，f (x)＝sin2x－π6递增．因此结合各选项知f (x)＝sin2x－π6的一个递增区间为－π6，π3，故选A.]

二、填空题

6．函数f (x)＝sin(－2x)的单调增区间是________．

kπ＋π4，kπ＋3π4(k∈Z) [由f (x)＝sin(－2x)＝－sin 2x,2kπ＋π2≤2x≤2kπ＋3π2得kπ＋π4≤x≤kπ＋3π4(k∈Z)．]

7．已知函数f (x)＝2sin(ωx＋φ)，对于任意x都有f π6＋x＝f π6－x，则f

π6的值为________．

2或－2 [∵f π6＋x＝f π6－x，

∴x＝π6是函数f (x)＝2sin(ωx＋φ)的一条对称轴，

∴f π6＝±2.]

8．函数y＝tan2x＋π4的图像与x轴交点的坐标是________．

kπ2－π8，0，k∈Z [由2x＋π4＝kπ(k∈Z)得，x＝kπ2－π8(k∈Z)，

∴函数y＝tan2x＋π4的图像与x轴交点的坐标是kπ2－π8，0，k∈Z.]

三、解答题

9．(2016·北京高考)已知函数f (x)＝2sin ωxcos ωx＋cos 2ωx(ω>0)的最小正周期为π.

(1)求ω的值； 4 (2)求f (x)的递增区间．

[解] (1)因为f (x)＝2sin ωxcos ωx＋cos 2ωx

＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝2sin2ωx＋π4，

所以f (x)的最小正周期T＝2π2ω＝πω. 4分

依题意，得πω＝π，解得ω＝1. 6分

(2)由(1)知f (x)＝2sin2x＋π4.

函数y＝sin x的递增区间为2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z). 8分

由2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2(k∈Z)，

得kπ－3π8≤x≤kπ＋π8(k∈Z)．

所以f (x)的递增区间为kπ－3π8，kπ＋π8(k∈Z). 12分

10．已知函数f (x)＝(sin x＋cos x)2＋cos 2x.

(1)求f (x)的最小正周期；

(2)求f (x)在区间0，π2上的最大值和最小值．

[解] (1)因为f (x)＝sin2x＋cos2x＋2sin x·cos x＋cos 2x＝1＋sin 2x＋cos 2x＝2sin2x＋π4＋1，3分

所以函数f (x)的最小正周期为T＝2π2＝π. 6分

(2)由(1)的计算结果知，f (x)＝2sin2x＋π4＋1. 7分

当x∈0，π2时，2x＋π4∈π4，5π4，由正弦函数y＝sin x在π4，5π4上的图像知，当2x＋π4＝π2，即x＝π8时，f (x)取最大值2＋1；9分 5 当2x＋π4＝5π4，即x＝π2时，f (x)取最小值0.综上，f (x)在0，π2上的最大值为2＋1，最小值为0. 12分

B组 能力提升

(建议用时：15分钟)

1．(2017·郑州二次质量预测)将函数f (x)＝－cos 2x的图像向右平移π4个单位后得到函数g(x)，则g(x)具有性质( )

【导学号：66482154】

A．最大值为1，图像关于直线x＝π2对称

B．在0，π4上递减，为奇函数

C．在－3π8，π8上递增，为偶函数

D．周期为π，图像关于点3π8，0对称

B [由题意得函数g(x)＝－cos2x－2×π4＝－sin 2x，易知其为奇函数，由－π2＋2kπ＜2x＜π2＋2kπ，k∈Z得－π4＋kπ＜x＜π4＋kπ，k∈Z，所以函数g(x)＝－sin

2x的递减区间为－π4＋kπ，π4＋kπ，k∈Z，所以函数g(x)＝－sin 2x在0，π4上递减，故选B.]

2．设f (x)＝3sin 3x＋cos 3x，若对任意实数x都有|f (x)|≤a，则实数a的取值范围是________．

[2，＋∞) [∵f (x)＝3sin 3x＋cos 3x＝2sin3x＋π6∈[－2,2]．又∵|f (x)|≤a恒成立，∴a≥|f (x)|max，∴a≥2.]

3．已知函数f (x)＝sin(ωx＋φ)0＜φ＜2π3的最小正周期为π.

(1)求当f (x)为偶函数时φ的值； 6 (2)若f (x)的图像过点π6，32，求f (x)的递增区间．

[解] ∵f (x)的最小正周期为π，则T＝2πω＝π，∴ω＝2，

∴f (x)＝sin(2x＋φ). 2分

(1)当f (x)为偶函数时，f (－x)＝f (x)，

∴sin(－2x＋φ)＝sin(2x＋φ)，

将上式展开整理得sin 2xcos φ＝0，

由已知上式对任意x∈R都成立，

∴cos φ＝0.∵0＜φ＜2π3，∴φ＝π2. 5分

(2)f (x)的图像过点π6，32时，sin2×π6＋φ＝32，

即sinπ3＋φ＝32.

6分

又∵0＜φ＜2π3，∴π3＜π3＋φ＜π，

∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3，

∴f (x)＝sin2x＋π3.

9分

令2kπ－π2≤2x＋π3≤2kπ＋π2，k∈Z，

得kπ－5π12≤x≤kπ＋π12，k∈Z，

∴f (x)的递增区间为kπ－5π12，kπ＋π12，k∈Z. 12分