2018年高三最新 高三数学第二轮专题(一)(函数、不等式、导数) 精品

第4讲导数与函数的单调性、极值、最值问题高考定位利用导数研究函数的性质,以含指数函数、对数函数、三次有理函数为载体,研究函数的单调性、极值、最值，并能解决简单的问题.真题感悟1。

（2017·全国Ⅱ卷)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1）·e x－1的极值点，则f(x）的极小值为（) A。

－1 B.－2e－3C。

5e－3 D.1解析f′（x）＝［x2＋(a＋2）x＋a－1］·e x－1，则f′（－2）＝[4－2（a＋2)＋a－1］·e－3＝0⇒a＝－1，则f(x)＝(x2－x－1)·e x－1,f′(x)＝(x2＋x－2）·e x－1，令f′（x）＝0，得x＝－2或x＝1,当x〈－2或x>1时，f′(x)〉0，当－2<x〈1时，f′（x)〈0，则f(x)极小值为f（1）＝－1。

答案 A2。

(2017·全国Ⅰ卷)曲线y＝x2＋1x在点（1,2）处的切线方程为________.解析设y＝f（x)，则f′(x)＝2x－错误!，所以f′(1)＝2－1＝1，所以在（1，2)处的切线方程为y－2＝1×(x－1),即y＝x＋1。

答案y＝x＋13。

（2017·全国Ⅰ卷改编)已知函数f(x)＝e x（e x－a）－a2x,其中参数a≤0. （1)讨论f(x）的单调性;（2）若f(x）≥0,求a的取值范围.解 （1）函数f (x ）的定义域为（－∞,＋∞)，且a ≤0.f ′（x )＝2e 2x －a e x －a 2＝(2e x ＋a )(e x －a ).①若a ＝0，则f （x ）＝e 2x ，在(－∞，＋∞)上单调递增。

②若a <0，则由f ′(x )＝0,得x ＝ln 错误!。

当x ∈错误!时，f ′（x ）<0；当x ∈错误!时，f ′（x )>0.故f (x )在错误!上单调递减，在区间错误!上单调递增。

第1讲 函数图象与性质高考定位 1.以基本初等函数为载体，考查函数的定义域、最值、奇偶性、单调性和周期性；2.利用函数的图象研究函数性质，能用函数的图象性质解决简单问题；3.函数与方程思想、数形结合思想是高考的重要思想方法.真 题 感 悟1.(2017·全国Ⅲ卷)函数y ＝1＋x ＋sin xx 2的部分图象大致为( )解析 法一 易知g (x )＝x ＋sin xx 2为奇函数，其图象关于原点对称.所以y ＝1＋x ＋sin xx 2的图象只需把g (x )的图象向上平移一个单位长度，选项D 满足.法二 当x ＝1时，f (1)＝1＋1＋sin 1＝2＋sin 1>2，排除A ，C.又当x →＋∞时，y →＋∞，B 项不满足，D 满足. 答案 D2.(2017·山东卷)设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0<x <1，2（x －1），x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝( )A.2B.4C.6D.8解析 由已知得a >0，∴a ＋1>1， ∵f (a )＝f (a ＋1)，∴a ＝2(a ＋1－1)， 解得a ＝14，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝f (4)＝2(4－1)＝6.答案 C3.(2017·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则( ) A.f (x )在(0，2)上单调递增 B.f (x )在(0，2)上单调递减C.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称D.y ＝f (x )的图象关于点(1，0)对称解析 由题意知，f (x )＝ln x ＋ln(2－x )的定义域为(0，2)，f (x )＝ln[x (2－x )]＝ ln[－(x －1)2＋1]，由复合函数的单调性知，函数f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，所以排除A ，B ；又f (2－x )＝ln(2－x )＋ln x ＝f (x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称，C 正确，D 错误. 答案 C4.(2016·全国Ⅱ卷)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (x )＝f (2－x )，若函数y ＝|x 2－2x －3|与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1mx i ＝（ ）A.0B.mC.2mD.4m解析 ∵f （x ）＝f （2－x ），∴函数f （x ）的图象关于直线x ＝1对称.又y ＝|x 2－2x －3|＝|（x －1）2－4|的图象关于直线x ＝1对称， ∴两函数图象的交点关于直线x ＝1对称. 当m 为偶数时，∑i ＝1m x i ＝2×m2＝m ；当m 为奇数时，∑i ＝1mx i ＝2×m －12＋1＝m .答案 B考 点 整 合1.函数的性质(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质.证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论.复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则.(2)奇偶性：①若f (x )是偶函数，则f (x )＝f (－x ). ②若f (x )是奇函数，0在其定义域内，则f (0)＝0.③奇函数在关于原点对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的单调区间内有相反的单调性.(3)周期性：①若y ＝f (x )对x ∈R ，f (x ＋a )＝f (x －a )或f (x ＋2a )＝f (x )(a >0)恒成立，则y ＝f (x )是周期为2a 的周期函数.②若y ＝f (x )是偶函数，其图象又关于直线x ＝a 对称，则f (x )是周期为2|a |的周期函数.③若y ＝f (x )是奇函数，其图象又关于直线x ＝a 对称，则f (x )是周期为4|a |的周期函数.④若f (x ＋a )＝－f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫或f （x ＋a ）＝1f （x ），则y ＝f (x )是周期为2|a |的周期函数.易错提醒 错用集合运算符号致误：函数的多个单调区间若不连续，不能用符号“∪”连接，可用“和”或“，”连接. 2.函数的图象(1)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换. (2)在研究函数性质特别是单调性、值域、零点时，要注意结合其图象研究. (3)函数图象的对称性①若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，即f (x )＝f (2a －x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称；②若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝－f (a －x )，即f (x )＝－f (2a －x )，则y ＝f (x )的图象关于点(a ，0)对称.热点一 函数及其表示【例1】 (1)(2017·邯郸调研)函数y ＝lg （1－x 2）2x 2－3x －2的定义域为( )A.(－∞，1]B.[－1，1]C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1 (2)(2015·全国Ⅱ卷)设函数f (x )＝⎩⎨⎧1＋log 2（2－x ），x ＜1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( ) A.3 B.6 C.9D.12解析 (1)函数有意义，则⎩⎨⎧1－x 2>0，2x 2－3x －2≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <1，x ≠2且x ≠－12. 所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1<x <1，且x ≠－12.(2)因为－2＜1，log 212＞log 28＝3＞1，所以f (－2)＝1＋log 2[2－(－2)]＝1＋log 24＝3，f (log 212)＝2log 212－1＝2log 212×2－1＝12×12＝6，故f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9.答案 (1)C (2)C探究提高 1.(1)给出解析式的函数的定义域是使解析式有意义的自变量的集合，只需构建不等式(组)求解即可.(2)抽象函数：根据f (g (x ))中g (x )的范围与f (x )中x 的范围相同求解.2.对于分段函数的求值问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解；形如f (g (x ))的函数求值时，应遵循先内后外的原则.【训练1】 (1)(2017·山东卷)设函数y ＝4－x 2的定义域为A ，函数y ＝ln(1－x )的定义域为B ，则A ∩B ＝( ) A.(1，2) B.(1，2] C.(－2，1)D.[－2，1)(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧a ·2x ，x ≥0，2－x ，x <0(a ∈R )，若f (f (－1))＝1，则a ＝( )A.14B.12C.1D.2解析 (1)由4－x 2≥0得－2≤x ≤2，∴A ＝[－2，2]， 由1－x ＞0得x ＜1，∴B ＝(－∞，1).∴A ∩B ＝[－2，1). (2)∵f (－1)＝2－(－1)＝2，∴f [f (－1)]＝f (2)＝4a ＝1，解得a ＝14.答案 (1)D (2)A热点二 函数的图象及应用 命题角度1 函数图象的识别【例2－1】 (2017·汉中模拟)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e x －1·sin x 的图象大致形状为( )解析 ∵f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e x －1·sin x ，∴f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e －x －1·sin(－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2e x1＋e x －1sin x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e x －1·sin x ＝f (x ).∴函数f (x )为偶函数，故排除C ，D ，当x ＝2时，f (2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e 2－1·sin 2<0，故排除B ，只有A 符合.答案 A命题角度2 函数图象的应用【例2－2】 (1)(2017·历城冲刺)已知f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|＜g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )( ) A.有最小值－1，最大值1B.有最大值1，无最小值C.有最小值－1，无最大值D.有最大值－1，无最小值(2)(2015·全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0，则实数a 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32e ，1 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32e ，34 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32e ，34 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32e ，1 解析 (1)画出y ＝|f (x )|＝|2x －1|与y ＝g (x )＝1－x 2的图象，它们交于A ，B 两点.由“规定”，在A ，B 两侧，|f (x )|≥g (x )，故h (x )＝|f (x )|；在A ，B 之间，|f (x )|<g (x )，故h (x )＝－g (x ).综上可知，y ＝h (x )的图象是图中的实线部分，因此h (x )有最小值－1，无最大值. (2)设g (x )＝e x (2x －1)，h (x )＝ax －a ，由题知存在唯一的整数x 0，使得g (x 0)＜h (x 0)， 因为g ′(x )＝e x(2x ＋1)，可知g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞上单调递增，作出g (x )与h (x )的大致图象如图所示，故⎩⎨⎧h （0）＞g （0），h （－1）≤g （－1），即⎩⎪⎨⎪⎧a ＜1，－2a ≤－3e ，所以32e ≤a <1.答案 (1)C (2)D探究提高 1.已知函数的解析式，判断其图象的关键是由函数解析式明确函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等，以及函数图象上的特殊点，根据这些性质对函数图象进行具体分析判断.2.(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究. 【训练2】 (1)(2017·菏泽二模)函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|log 3x |的图象是( )(2)如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是( )A.(－1，0]B.[－1，1]C.(－1，2]D.(－1，1]解析 (1)当x ≥1时，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|log 3 x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13log 3 x ＝1x .当0<x <1时，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|log 3 x |＝3 log 3 x ＝x .∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|log 3 x |＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，x ，0<x <1.图象为选项A.(2)在同一坐标系中画出函数f (x )与y ＝log 2(x ＋1)的图象，如图所示.根据图象，当x∈(－1，1]时，y＝f(x)的图象在y＝log2(x＋1)图象的上方.所以不等式的解集为(－1，1].答案(1)A(2)D热点三函数的性质与应用【例3】(1)(2017·山东卷)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2).若当x∈[－3，0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.(2)(2017·天津卷)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x).若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为()A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a解析(1)∵f(x＋4)＝f(x－2)，∴f[(x＋2)＋4]＝f[(x＋2)－2]，即f(x＋6)＝f(x)，∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)，又f(x)在R上是偶函数，∴f(1)＝f(－1)＝6－(－1)＝6，即f(919)＝6.(2)法一易知g(x)＝xf(x)在R上为偶函数，∵奇函数f(x)在R上是增函数，且f(0)＝0.∴g(x)在(0，＋∞)上是增函数.又3>log25.1>2>20.8，且a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，∴g(3)>g(log25.1)>g(20.8)，则c>a>b.法二(特殊化)取f(x)＝x，则g(x)＝x2为偶函数且在(0，＋∞)上单调递增，又3>log25.1>20.8，从而可得c>a>b.答案(1)6(2)C探究提高 1.利用函数的奇偶性和周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解.2.函数单调性应用：可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性.【训练3】 (1)(2017·淄博诊断)已知奇函数f (x )＝⎩⎨⎧3x－a （x ≥0），g （x ）（x <0），则f (－2)的值等于________.(2)(2017·石家庄调研)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，且f (2)＝0.若 f (x －1)>0，则x 的取值范围是________.解析 (1)因为函数f (x )为奇函数，所以f (0)＝0，则30－a ＝0，∴a ＝1. ∴当x ≥0时，f (x )＝3x －1，则f (2)＝32－1＝8， 因此f (－2)＝－f (2)＝－8. (2)因为f (2)＝0，f (x －1)>0， 所以f (x －1)>f (2).又因为f (x )是偶函数且在[0，＋∞)上单调递减， 所以f (|x －1|)>f (2)，即|x －1|<2，解得－1<x <3. 答案 (1)－8 (2)(－1，3)1.解决函数问题忽视函数的定义域或求错函数的定义域，如求函数f (x )＝1x ln x 的定义域时，只考虑x >0，忽视ln x ≠0的限制.2.如果一个奇函数f (x )在原点处有意义，即f (0)有意义，那么一定有f (0)＝0；若f (x )为偶函数，则f (|x |)＝f (x ).3.三种作函数图象的基本思想方法(1)通过函数图象变换利用已知函数图象作图；(2)对函数解析式进行恒等变换，转化为已知方程对应的曲线； (3)通过研究函数的性质，明确函数图象的位置和形状.4.函数是中学数学的核心，函数思想是重要的思想方法，利用函数思想研究方程(不等式)才能抓住问题的本质，对于给定的函数若不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，数形结合直观求解.一、选择题1.(2017·唐山一模)若函数f (x )＝⎩⎨⎧e x －1，x ≤1，5－x 2，x >1，则f (f (2))＝( ) A.1 B.4 C.0D.5－e 2解析 由题意知，f (2)＝5－4＝1，f (1)＝e 0＝1， 所以f (f (2))＝1. 答案 A2.(2017·衡阳二模)已知函数g (x )的定义域为{x |x ≠0}，且g (x )≠0，设p ：函数f (x )＝g (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫11－2x －12是偶函数；q ：函数g (x )是奇函数，则p 是q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析 令h (x )＝11－2x －12(x ≠0)易得h (x )＋h (－x )＝0，h (x )为奇函数，g (x )是奇函数，f (x )为偶函数；反过来也成立.因此p 是q 的充要条件. 答案 C3.(2017·全国Ⅰ卷)函数y ＝sin 2x1－cos x的部分图象大致为()解析 令f (x )＝sin 2x1－cos x，定义域为{x |x ≠2k π，k ∈Z }，又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )在定义域内为奇函数，图象关于原点对称，B 不正确.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，f (π)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π＝－11＋22<0.∴选项A ，D 不正确，只有选项C 满足.答案 C4.已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a ＜b ＜c B.a ＜c ＜b C.c ＜a ＜bD.c ＜b ＜a解析 由f (x )＝2|x －m |－1是偶函数可知m ＝0， 所以f (x )＝2|x |－1.所以a ＝f (log 0.53)＝2|log 0.53|－1＝2log 23－1＝2， b ＝f (log 25)＝2|log 25|－1＝2log 25－1＝4， c ＝f (0)＝2|0|－1＝0，所以c <a <b . 答案 C5.(2016·天津卷改编)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增.若实数a 满足f (2|a －1|)>f (－2)，则a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ 解析 ∵f (x )是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增， ∴在(0，＋∞)上单调递减，f (－2)＝f (2)， ∴f (2|a －1|)>f (2)，∴2|a －1|<2＝212，∴|a －1|<12，即－12<a －1<12，即12<a <32. 答案 A 二、填空题6.(2017·成都诊断)函数f (x )＝2x －12＋3x ＋1的定义域为________.解析 由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧2x －12≥0，x ＋1≠0，解得x >－1. 答案 {x |x >－1}7.(2017·郴州二模)已知函数f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，且f (log 124)＝－3，则a 的值为________.解析 ∵奇函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 124＝－3，而log 124＝－2<0，∴f (－2)＝－3，即f (2)＝3，又∵当x >0时，f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，又2>0， ∴f (2)＝a 2＝3，解之得a ＝ 3. 答案38.(2015·全国Ⅰ卷改编)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )＞f (2x －1)成立的x 的取值范围是________. 解析 由f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，知f (x )为R 上的偶函数，于是f (x )＞f (2x －1)即为f (|x |)＞f (|2x －1|).当x ＞0时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x 2，所以f (x )为[0，＋∞)上的增函数，则由f (|x |)＞f (|2x －1|)得|x |＞|2x －1|，平方得3x 2－4x ＋1＜0，解得13＜x ＜1.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1三、解答题9.已知函数f (x )＝mx 2－2x ＋1有且仅有一个正实数的零点，求实数m 的取值范围. 解 当m ＝0时，f (x )＝－2x ＋1，它显然有一个正实数的零点.当m ≠0时，函数f (x )＝mx 2－2x ＋1的图象是抛物线，且与y 轴的交点为(0，1)， 由f (x )有且仅有一个正实数的零点，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1m >0，Δ＝0或x ＝1m <0，解得m ＝1或m <0.综上所述，m 的取值范围是(－∞，0]∪{1}. 10.(2017·深圳中学调研)已知函数f (x )＝a －22x＋1. (1)求f (0)；(2)探究f (x )的单调性，并证明你的结论； (3)若f (x )为奇函数，求满足f (ax )<f (2)的x 的范围. 解 (1)f (0)＝a －220＋1＝a －1.(2)∵f(x)的定义域为R，∴任取x1，x2∈R且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝a－22x1＋1－a＋22 x2＋1＝2·（2 x1－2 x2）（1＋2 x1）（1＋2 x2），∵y＝2x在R上单调递增且x1<x2，∴0<2 x1<2 x2，∴2 x1－2 x2<0，2 x1＋1>0，2 x2＋1>0. ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2).∴f(x)在R上单调递增.(3)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即a－22－x＋1＝－a＋22x＋1，解得a＝1(或用f(0)＝0去解).∴f(ax)<f(2)即为f(x)<f(2)，又∵f(x)在R上单调递增，∴x<2.∴不等式的解集为(－∞，2).11.已知函数f(x)＝x2－2ln x，h(x)＝x2－x＋a.(1)求函数f(x)的极值；(2)设函数k(x)＝f(x)－h(x)，若函数k(x)在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数a 的取值范围.解(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，令f′(x)＝2x－2x＝0，得x＝1.当x∈(0，1)时，f′(x)＜0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在x＝1处取得极小值为1，无极大值. (2)k(x)＝f(x)－h(x)＝x－2ln x－a(x＞0)，所以k′(x)＝1－2 x，令k′(x)＞0，得x＞2，所以k(x)在[1，2)上单调递减，在(2，3]上单调递增，所以当x＝2时，函数k(x)取得最小值k(2)＝2－2ln 2－a.因为函数k(x)＝f(x)－h(x)在区间[1，3]上恰有两个不同零点，即有k(x)在[1，2)和(2，3]内各有一个零点，所以⎩⎨⎧k （1）≥0，k （2）<0，k （3）≥0，即有⎩⎨⎧1－a ≥0，2－2ln 2－a <0，3－2ln 3－a ≥0，解得2－2ln 2<a ≤3－2ln 3.所以实数a 的取值范围为(2－2ln 2，3－2ln 3].。

2018届高考数学（理）二轮专题复习专题二函数、不等式、
导数 1
5 限时规范训练七导数的综合应用限时45分钟，实际用时分值81分，实际得分
一、选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分)
1．如果函数＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断
①函数＝f(x)在区间－3，－12内单调递增；
②函数＝f(x)在区间－12，3内单调递减；
③函数＝f(x)在区间(4,5)内单调递增；
④当x＝2时，函数＝f(x)取极小值；
⑤当x＝－12时，函数＝f(x)取极大值．
则上述判断中正确的是( )
A．①② B．②③
c．③④⑤D．③
解析选D当x∈(－3，－2)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，①错；当x∈－12，2时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，当x∈(2,3)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，②错；当x＝2时，函数＝f(x)取极大值，④错；当x＝－12时，函数＝f(x)无极值，⑤错．故选D
2．若函数f(x)＝2x2－ln x在其定义域内的一个子区间(－1，＋1)内不是单调函数，则实数的取值范围是( )
A．[1，＋∞)B．[1,2)
c1，32D32，2
解析选cf′(x)＝4x－1x＝ 2x－1 2x＋1 x，
∵x＞0，由f′(x)＝0得x＝12
∴令f′(x)＞0，得x＞12；令f′(x)＜0，得0＜x＜12
由题意得－1≥0，－1＜12＜＋1 1≤＜32故c正确．
3．已知函数f(x)(x∈R)满足f′(x)＞f(x)，则( )。

第3讲不等式高考定位1。

利用不等式性质比较大小、不等式的求解、利用基本不等式求最值及线性规划问题是高考的热点，主要以选择题、填空题为主;2.在解答题中,特别是在解析几何中求最值、范围问题或在解决导数问题时常利用不等式进行求解,难度较大。

真题感悟1。

(2017·全国Ⅰ卷）设x，y满足约束条件错误!则z＝x＋y的最大值为(）A。

0 B。

1C.2 D。

3解析根据约束条件画出可行域,如图中阴影部分（含边界），则当目标函数z＝x＋y经过A（3，0）时取得最大值，故z max＝3＋0＝3.答案 D2。

(2016·山东卷)若变量x，y满足错误!则x2＋y2的最大值是(）A。

4 B.9C.10 D。

12解析作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示：x2＋y2表示区域内点到原点距离的平方,由错误!得A(3，－1）。

由图形知，（x2＋y2)max＝|OA|2＝32＋（－1）2＝10。

答案 C3。

(2017·天津卷）若a，b∈R，ab〉0，则错误!的最小值为________。

解析∵a，b∈R,ab〉0，∴错误!≥错误!＝4ab＋错误!≥2错误!＝4，当且仅当错误!即错误!时取得等号。

答案 44.（2017·全国Ⅲ卷)设函数f(x)＝错误!则满足f(x)＋f错误!〉1的x的取值范围是________。

解析当x≤0时，f（x）＋f错误!＝（x＋1）＋错误!，原不等式化为2x＋错误!〉1，解得－错误!〈x≤0，当0〈x≤错误!时，f(x)＋f错误!＝2x＋错误!原不等式化为2x＋x＋错误!〉1，该式恒成立,当x>错误!时，f（x)＋f错误!＝2x＋2x－错误!，又x〉错误!时，2x＋2x－错误!〉2错误!＋20＝1＋错误!>1恒成立,综上可知，不等式的解集为错误!。

答案错误!考点整合1.不等式的解法（1）一元二次不等式的解法.一元二次不等式ax2＋bx＋c〉0（或〈0)(a≠0，Δ＝b2－4ac>0），如果a与ax2＋bx＋c同号，则其解集在两根之外;如果a与ax2＋bx＋c异号，则其解集在两根之间。

限时规范训练五 不等式及线性规划 限时40分钟，实际用时________ 分值80分，实际得分________一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分) 1．设0＜a ＜b ＜1，则下列不等式成立的是( ) A ．a 3＞b 3B.1a ＜1bC ．a b ＞1D ．lg(b －a )＜a解析：选D.∵0＜a ＜b ＜1，∴0＜b －a ＜1－a ，∴lg(b －a )＜0＜a ，故选D. 2．已知a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，则1a ＋4b( )A ．有最小值8B ．有最小值9C ．有最大值8D ．有最大值9解析：选B.因为1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b (a ＋b )＝5＋b a ＋4ab≥5＋2b a ·4a b ＝9，当且仅当b a ＝4a b且a ＋b ＝1，即a ＝13，b ＝23时取“＝”，所以1a ＋4b的最小值为9，故选B.3．对于任意实数a ，b ，c ，d ，有以下四个命题： ①若ac 2＞bc 2，则a ＞b ；②若a ＞b ，c ＞d ，则a ＋c ＞b ＋d ； ③若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd ； ④若a ＞b ，则1a ＞1b.其中正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选B.①ac 2＞bc 2，则c ≠0，则a ＞b ，①正确； ②由不等式的同向可加性可知②正确； ③需满足a 、b 、c 、d 均为正数才成立；④错误，如：令a ＝－1，b ＝－2，满足－1＞－2，但1－1＜1－2.故选B. 4．已知不等式ax 2－bx －1＞0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜－13，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是( )A ．{x |2＜x ＜3}B ．{x |x ≤2或x ≥3}C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13＜x ＜12 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或x ＞12 解析：选B.∵不等式ax 2－bx －1＞0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜－13， ∴ax 2－bx －1＝0的解是x 1＝－12和x 2＝－13，且a ＜0.∴⎩⎪⎨⎪⎧－12－13＝ba ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5.则不等式x 2－bx －a ≥0即为x 2－5x ＋6≥0，解得x ≤2或x ≥3.5．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥12x 2，则z ＝y －x 的取值范围为( )A ．[－2,2] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，2C ．[－1,2]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 解析：选B.作出可行域(图略)，设直线l ：y ＝x ＋z ，平移直线l ，易知当l 过直线3x －y ＝0与x ＋y －4＝0的交点(1,3)时，z 取得最大值2；当l 与抛物线y ＝12x 2相切时，z 取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧z ＝y －x ，y ＝12x 2，消去y 得x 2－2x －2z ＝0，由Δ＝4＋8z ＝0，得z ＝－12，故－12≤z ≤2，故选B.6．设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n的最小值是( ) A.92 B.72 C ．22＋12D ．22－12解析：选A.∵a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝n 1＋n2，∴S n＋8a n＝n1＋n2＋8n＝12⎝⎛⎭⎪⎫n＋16n＋1≥12⎝⎛⎭⎪⎫2n·16n＋1＝92，当且仅当n＝4时取等号．∴S n＋8a n的最小值是92，故选A.7．一条长为2的线段，它的三个视图分别是长为3，a，b的三条线段，则ab的最大值为( )A. 5B. 6C.52D．3解析：选C.如图，构造一个长方体，体对角线长为2，由题意知a2＋x2＝4，b2＋y2＝4，x2＋y2＝3，则a2＋b2＝x2＋y2＋2＝3＋2＝5，又5＝a2＋b2≥2ab，所以ab≤52，当且仅当a＝b时取等号，所以选C.8．设x，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，y≥x，4x＋3y≤12，则x＋2y＋3x＋1的取值范围是( )A．[1,5] B．[2,6]C．[3,11] D．[3,10]解析：选C.画出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，y≥x，4x＋3y≤12的可行域如图阴影部分所示，则x＋2y＋3x＋1＝x＋1＋2y＋2x＋1＝1＋2×y＋1x＋1，y＋1x＋1的几何意义为过点(x，y)和(－1，－1)的直线的斜率．由可行域知y＋1x＋1的取值范围为k MA≤y＋1x＋1≤k MB，即y＋1x＋1∈[1,5]，所以x＋2y＋3x＋1的取值范围是[3,11]．9．设x ，y 满足不等式⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，x ＋y ≥1，x －y ≤1，若M ＝3x ＋y ，N ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －72，则M －N 的最小值为( )A.12 B ．－12C ．1D ．－1解析：选A.作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易求得A (－1,2)，B (3,2)，当直线3x ＋y －M ＝0经过点A (－1,2)时，目标函数M ＝3x ＋y 取得最小值－1.又由平面区域知－1≤x ≤3，所以函数N ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －72在x ＝－1处取得最大值－32，由此可得M －N 的最小值为－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝12.10．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域的形状是三角形，则a 的取值范围是( )A ．a ≥43B ．0＜a ≤1C ．1≤a ≤43D ．0＜a ≤1或a ≥43解析：选D.作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示．其中直线x －y ＝0与直线2x ＋y ＝2的交点是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，而直线x ＋y ＝a 与x 轴的交点是(a,0)．由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需a ≥23＋23或0＜a ≤1，所以选D.11．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －10≥0，x ≤4，y ≤3表示区域D ，过区域D 中任意一点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A 、B ，当∠APB 最大时，cos ∠APB ＝( )A.32 B.12 C ．－32D ．－12解析：选B.画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，易知当点P 到点O 距离最小时，∠APB 最大，此时|OP |＝|3×0＋4×0－10|32＋42＝2，又OA ＝1，故∠OPA ＝π6， ∴∠APB ＝π3，∴cos ∠APB ＝12.12．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0＜f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( ) A ．c ≤3 B ．3＜c ≤6 C ．6＜c ≤9D ．c ＞9解析：选C.由0＜f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，得0＜－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ≤3，由－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ，得3a －b －7＝0，① 由－1＋a －b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ，得 4a －b －13＝0，②由①②，解得a ＝6，b ＝11，∴0＜c －6≤3， 即6＜c ≤9，故选C.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．函数f (x )＝1＋log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －2＝0上，其中mn ＞0，则1m ＋1n的最小值为________．解析：因为log a 1＝0，所以f (1)＝1，故函数f (x )的图象恒过定点A (1,1)． 由题意，点A 在直线mx ＋ny －2＝0上，所以m ＋n －2＝0，即m ＋n ＝2. 而1m ＋1n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ×(m ＋n ) ＝12⎝⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ，因为mn ＞0，所以nm ＞0，m n＞0. 由均值不等式，可得n m ＋m n ≥2×n m ×mn＝2(当且仅当m ＝n 时等号成立)， 所以1m ＋1n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ≥12×(2＋2)＝2，即1m ＋1n 的最小值为2.答案：214．设P (x ，y )是函数y ＝2x(x ＞0)图象上的点，则x ＋y 的最小值为________．解析：因为x ＞0，所以y ＞0，且xy ＝2.由基本不等式得x ＋y ≥2xy ＝22，当且仅当x ＝y 时等号成立．答案：2 215．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥x ，3x ＋2y ≤15，则w ＝4x ·2y的最大值是________．解析：作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．w ＝4x ·2y ＝22x ＋y，要求其最大值，只需求出2x ＋y ＝t 的最大值即可，由平移可知t ＝2x ＋y 在A (3,3)处取得最大值t ＝2×3＋3＝9，故w ＝4x·2y的最大值为29＝512.答案：51216．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，log 13x ，x ＞1，若对任意的x ∈R ，不等式f (x )≤m 2－34m 恒成立，则实数m 的取值范围为________．解析：由题意知，m 2－34m ≥f (x )max .当x ＞1时，f (x )＝log 13x 是减函数，且f (x )＜0；当x ≤1时，f (x )＝－x 2＋x ，其图象的对称轴方程是x ＝12，且开口向下，∴f (x )max ＝－14＋12＝14.∴m 2－34m ≥14，即4m 2－3m －1≥0，∴m ≤－14或m ≥1.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－14∪[1，＋∞)。