第3章 剪切与挤压
3.1 剪切的概念和实用计算
3.1.1 剪切的概念
力之间的横截面发生相对错动称为剪切变形。
该发生相对错动的面称为剪切面。
剪切变形的受力特点和变形特点归纳如下：作用于构件两侧且与构件轴线垂直的外力，可以简化为大小相等、方向相反、作用线相距很近的一对力，使构件沿横截面发生相对错动。
3.1.2 剪切的实用计算
3.1.2.1 剪切内力—剪力
图3.1 联接件螺栓的剪切变形
图3.2 联接件键的剪切变形
图3.3 联接件销钉的剪切变形
图3.4 焊缝的剪切变形
图3.5 剪切变形的一般情形
图3.6 剪切内力—剪力
3.1.2.2 剪切的实用计算
剪切面上仅有剪应力，假定其均匀分布。
于是螺栓剪切面上应力的大小为 A
Q
=
τ (3.1) 式中Q 为剪切面上的剪力，A 为剪切面的面积。
剪应力τ的方向与Q 相同。
实际是平均剪应力，称其为名义剪应力。
测得破坏载荷后，按（3.1）式求得名义极限剪应力b τ，再除以安全系数n ，得到许用剪应力[τ]，：
[] b
n
ττ= (3.2) 与轴向拉伸（压缩）类似，剪切的强度条件为：
[] ττ≤=
A
Q
(3.3)
对于钢材，常取：
[]()[]στ8060.~.= (3.4)
式中[]σ为其许用拉应力。
【例3.1】电瓶车挂钩由插销联接（例题3.1a 图）。
插销材料为20钢，[]τ=30MPa ，直径d =20mm 。
挂钩及被联接的板件的厚度分别为t =8mm 和1.5t =12mm.牵引力P =15kN 。
试校核插销的剪切强度。
解：插销受力如例题3.1b 图所示。
根据受力情况，插销中段相对于上、下两段，沿m m -和n n -两个面向左错动。
所以有两个剪切面，称为双剪切。
由平衡方程容易求得
2
P Q = 插销横截面上的名义剪应力为
[]τπ
τ<=⨯⨯⨯
⨯==--MPa 9.23)1020(4
210152
33
A
Q
故插销满足强度要求，安全。
3.2 挤压的概念和实用计算
3.2.1 挤压的概念
当螺栓发生剪切变形时，它与钢板接触的侧面上同时发生局部受压现象，这种现象称为挤压，相应的接触面称为挤压面。
在挤压面上的受力之合力称为挤压力以bs P 记之，与之对应的应力称为挤压应力，记为bs σ。
校核插销的剪切强度
3.2.2 挤压的实用计算
挤压应力工程计算中也采用实用计算的方法，即假设挤压应力在挤压计算面积上均匀分布。
于是可得挤压应力为
bs
bs
bs A P =
σ (3.5)它同样也是名义挤压应力。
式中的挤压力bs P 可根据接头部分承受的外力来计算；bs σ的方向与bs P 的相同；bs A 为挤压计算面积。
当挤压面为平面时，该平面的面积就是挤压计算面积。
当挤压面为圆柱面时，则取t d A ⋅=bs ，即该圆柱面在直径平面上的投影面积（图3.7）作为
挤压计算面积。
在公式（3.5）的基础上，结合许用应力，即可建立联接件的挤压强度条件为
[] bs bs
bs
bs σσ≤=
A P (3.6)式中的[]bs σ为材料的许用挤压应力，是采用与确定许用剪应力[]τ 类似的方法确定的。
对于钢材，
[]()[]σσ0271bs .~.= (3.7)
其中的[]σ为材料的许用压应力。
【例3.2】例题3.2a 图所示为一桁架斜杆的一个接头。
由两根相同角钢组成的斜杆所受的轴向拉力P =290kN ，铆钉的直径d =23mm ，联接板的厚度t =12mm ，已知许用应力[]σ=140MPa ,[]τ=100MPa ，[]bs σ=280MPa ，设铆钉是单排排列。
试由型钢表中选择组成斜杆的等边角钢的号码，并计算所需要的铆钉数。
解：1、选择等边角钢。
先设有n 个铆钉。
取两个角钢为分离体，通常假定每个铆钉受力是相等的，即
n
/P Q 2
=
其受力图如例题3.2b 图所示。
由此图可知，斜杆是一根受有n 个轴向外力作用的杆。
由截面法可知截面1-1是斜杆的危险截面，因N 1=N max =P ，而1-1、2-2、3-3、4-4等各铆钉所在截面都有同样的铆钉孔（即截面削弱情况是相同的）。
因此，斜杆所需要的截面号码应当按1-1截面来选择。
根据拉伸强度条件，可得角钢所需的净面积是
[]26
3
m 00207.010
14010290=⨯⨯=≥σP
A 由型钢表查得，如选取等边角钢80mm ×80mm ×8mm ，则每一角钢的截面面积12.3cm 2, 角钢的厚度t 1=8mm ，故此二等边角钢组成的斜杆的净面积为
()24242m 107.20m 1092.20cm 3.28.023.122--⨯>⨯=⨯⨯-⨯=A
故可采用两根80mm ×80mm ×8mm 的等边角钢作为斜杆。
2、 计算铆钉数。
以单个铆钉为研究对象，按剪切强度条件式（3.3），可得需要的铆钉数n ，即
[][]个42
10100102310
2902
4
26
233
22≈⨯⨯⨯⨯⨯=
≥
≤==
-/)(/d P
n /d n /P A Q πτπτπτ
3、再进行挤压强度的校核。
因为t =12mm ，t 1=8mm ，故t <2t 1，可见应当检查联接板的挤压情况，按挤压强度条件式（3.6）可得需要的铆钉数n ，即
[][]个410
2801023101210
2906
333
bs bs bs bs bs ≈⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⋅≥
≤⋅==
--σσσd t P n d
t n
/P A P
故根据剪切和挤压强度条件采用四个铆钉。
对于斜杆按四个孔的情况，从截面1-1、2-2、3-3、4-4分别取分离体，从而画出的轴力图如例题3.2c 图所示。
【例3.3】2.5m 3挖掘机减速器的一轴上装一齿轮，齿轮与轴通过平键联接，已知键所受的力为P =12.1kN 。
平键的尺寸为：b =28mm,h =16mm,l 2=70mm,圆头半径R =14mm （例题3.3图）。
键的许用剪应力[]τ=87MPa ，轮毂的[]bs σ=100MPa ，试校核联接的强度。
解：1、校核剪切强度。
键的受力情况如例题3.3c 图所示，此时剪切面上的剪力（例题3.3d 图）为
12100N kN 1.12===P Q
对于圆头平键，其圆头部分略去不计（例题3.3e 图），故剪切面面积为
()()2422p m 1076.11m 4.1278.22-⨯=⨯-=-=⋅=R l b l b A
所以，平键的工作剪应力可按公式（3.1）计算，即 []ττ≤=⨯==
-MPa 3.1010
76.11121004A Q 满足剪切强度条件，安全。
2、 校核挤压强度。
与轴和键比较，通常轮毂抵抗挤压的能力较弱。
轮毂挤压面上的挤压力为
N 12100bs =P 挤压面的面积与键的挤压面相同，设键与轮毂的接触高度为h /2，则挤压面面积（例题 3.3f 图）为
24p bs m 1036.3)4.120.7(2
6.12-⨯=⨯-⨯==
l h A 故轮毂的工作挤压应力由式（3.5）得
[]MPa 100MPa 3610
36.312100
bs 4bs bs bs =≤=⨯==
-σσA P 也满足挤压强度条件。
所以，这一键联接的剪切和挤压强度条件是足够的。
例题3.3图 平键的剪切和挤压
对图3.8所示的侧焊缝，当板条受P 力拉伸时，认为有沿焊缝的最窄处n -n 剪断的趋势，此最窄截面与焊缝底边成 45角。
此外还假定沿受剪面剪应力均匀分布。
所以侧焊缝的剪切强度条件为
[] 7045f
f f f ττ≤===
l h .P l cos h P A Q
(3.8) 式中，[]τ为焊缝的许用剪应力，h f 为贴角焊缝的厚度；l f 为焊缝的总计算长度，即
()f f 22h l l -= （3.9） 对图3.9所示的端焊接，实验证明破坏发生在n -n 截面上。
破坏面n -n 与拉伸方向成一角度，此面既处于剪应力作用下，又处于正应力作用下。
端焊缝内的应力分布极为复杂，不过通常还是认为沿n -n 剪断，仍采用式（3.8）计算焊缝强度，采用式（3.9）计算焊缝的总计算长度。
【例3.4】冲头简化如图所示。
冲头由优质碳钢制成，冲床最大冲裁力为F =400kN ，冲头材料的许用压应力[]440=-σMPa ，钢板的许用切应力[]360=τMPa ，求在最大冲力作用下所能冲剪得圆孔最小直径d 和板的最大厚度t 。
解：(1) 确定圆孔的最小直径d 。
[]
34440
1000
40044=⨯⨯⨯=
≥
-πσπF
d mm
35min =∴d mm
(2) 计算钢板的最大厚度t 。
[]1.10360
35400000
=⨯⨯=≤
πτπd F t
mm
图3.8 侧焊缝 图3.9端焊缝。
