下载文档原格式
湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高一下学期开学自主检测数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A ．对任意m Z Î，有()20m f =B ．函数()f x 的值域为[)0,¥+C ．存在Z n Î，使得()219n f +=D ．函数()f x 在区间(),a b 上单调递减的充要条件是：存在Z k Î，使得()()1,2,2k k a b +Í.(1)若点34,55B æöç÷èø，求cos AOC Ð的值；(2)设203AOB x x p æöÐ=<<ç÷èø，四边形ABCD 的最大值.20．某医药公司研发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，由监测数据可知，服用后6小时内每毫升血液中含药量y （单位：微克）与时间关系满足如图所示的曲线，当[]0,1.5t Î时，曲线是二次函数图象的一部分，当[]1.5,6Î时，曲线是函数()log 2.5a y t =++易知1,,222x ABD ACD BDA AOB p Ð=Ð=Ð=Ð=即1232x CAD COD p Ð=Ð=-，则在Rt △ABD 中，sin 2sin 2x AB AD ADB =×Ð=，同理，sin 2sin 32x CD AD CAD p æö=×Ð=-ç÷èø，则22sin 12sin 32sin 22322x x x y p æö=+++-=++ç÷èø32sin3cos sin 3sin 3cos 2222x x x x ++-=++即2e e 10x x p -+=，此时240010p p ì->ï>íï>î，方程有2根，即函数()F x 有两个零点；③当a<0时，()020h a =->，()2220h a =-<，此时方程无大于等于2的解，函数()F x 无零点；综上所述：当1a =时，函数()F x 有一个零点；当01a <<时，函数()F x 有两个零点；当0a £或1a >时，函数()F x 无零点.。
湘一实验中学新生入学考试数 学 试 卷时量：90分钟满分：100分 一. 计算（每小题3分，共24分） 1. =⨯2525243______________________ 2. =⨯-+60)6712743(3. =⨯+⨯⨯399973125888.04. =÷-⨯+⨯4.0155.009.075.3851875.3 5.=-⨯⨯+333456123122456123 6.=+÷⨯)15019123.0()5625.01.0( 7.=+++30119201171211561138.=÷⨯÷001.001.01.01二、填空题（每小题3分，共45分）9.有1、2、3、4、5、6数字卡片各一张，每次取两张组成一个两位数，可以组成__________个偶数。
10.+⨯+1232123…+123123⨯的和除以7的余数是11. 分数中125，1912，2310，74，2215中，最小的分数与最大的分数的最简整数比是_______________12.为迎接五城运动会，某校设计一个正方形与一个圆形的花坛种花，它们的周长相等，则这个正方形花坛的面积是圆形的花坛的面积是圆形的花坛面积的百分之几？（14.3=π）答13.价格为40元的某种商品的税额一般在%5.6和%6之间，这两种税额差是 元（税额指：缴纳的税款）14.观察等式：22333223323636)321(321,39)21(21,111==++=++==+=+==；请计算 =+++++333333654321 。
15.某个体商店以每双6.5元购进一批拖鞋，售价为7.4元，卖到还剩5双时，除成本外还获利44元，则共卖出______________双拖鞋。
16.有一串数，前面两个数分别是1,2003,从第3个数开始，每个数都是前2个数的差（以大数减小数），则这串数的第205个数是________________________.17.“八一建军节”那天，某中队少先队员以每小时4千米的速度从学校往相距17千米的舟桥部队去慰问，出发0.5小时后，战士们闻讯前往迎接，每小时比少先队员快2千米，再过几小时他们在途中相遇？答__ _____________小时。
2024年湖南省长沙市一中岳麓中学中考模拟数学试题一、单选题1．下列各数中，属于有理数的是（ ）A B ．πC D ．2-2．“五一”假期，人们旅游热情高涨．5月5日从长沙市文旅广电局获悉，根据大数据建模分析显示：2024年“五一”假期，长沙市共计接待游客6174800人次，则6174800用科学记数法可表示为（ ） A ．56.174810⨯B ．66.174810⨯C ．661.74810⨯D ．70.6174810⨯3．下列4个图片是长沙市生态环境局网站上的4个信息查询指引标识，在这些图标中，文字上方的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．下列幂的运算中，正确的是（ ） A ．()236a a =B ．236a a a ⋅=C ．632a a a ÷=D ．33(2)6-=-a a5．如图，130AB CD CDE ∠=︒∥,，则A ∠的度数为（ ）A ．70︒B ．65︒C ．50︒D ．40︒6．某校书法兴趣小组20名学生日练字页数如下表所示：这些学生日练字页数的中位数、平均数分别是( ) A ．3页，4页B ．3页，5页C ．4页，4页D ．4页，5页7．如图所示，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个扇形零件圆心角的度数为（ ）A ．40︒B ．50︒C ．130︒D ．140︒8．如图，已知函数2y x =和y x b =-+的图象交于点()1,P a ，则关于x ，y 的方程组20x y x y b -=⎧⎨+=⎩的解是（ ）．A ．12x y =⎧⎨=⎩B ．21x y =⎧⎨=⎩C ．12x y =⎧⎨=-⎩D ．21x y =-⎧⎨=⎩9．在课堂上，侯老师发给每人一张印有Rt A B C '''V （如图）的卡片，然后要求同学们画一个Rt ABC △，使得Rt Rt A B C ABC '''△≌△，小赵和小刘同学先画出了90MBN ∠=︒之后，后续画图的主要过程分别如图所示．对这两种画法的描述中错误的是（ ）A ．小赵同学作图判定Rt Rt ABC ABC '''△≌△的依据是HL B ．小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段A C ''的长 C ．小刘同学作图判定Rt Rt A B C ABC '''△≌△的依据是SASD ．小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段A C ''的长10．下表是周五下午1~4班四节待排的选修课课程表，其中排课需满足以下两点要求：①每班不能3节连续安排选修课；②同一节课最多安排3个班级上选修课．根据以上要求，该课程表最多可排的选修课节数为（ ）A ．12B ．11C ．10D ．9二、填空题 11．如果代数式32x -有意义，那么实数x 的取值范围． 12．因式分解：2x xy -=．13．如图，点C 是»AB 的中点，弦8AB =米，半径5OC =米．则CD =米．14．在平面直角坐标系xOy 中，若点()11,A y ，()23,B y 在反比例函数0k y k x=>()的图象上，则1y 2y （填“>”“<”或“=”）．15．若一个圆锥的底面圆的半径是4，侧面展开图的圆心角的度数是180°，则该圆锥的母线长为．16．如图，等边ABC V 的边长是4，D E 、分别是边AB AC 、上的动点，且BD AE =，F 为DE的中点，连接AF ，当AF 时，BD 的长为．三、解答题17．计算：()2012sin 60π202423-⎛⎫︒+-+-+ ⎪⎝⎭18．先化简，再求值：()()()()221613232a a a a a -++--+，其中2220240a a +-=． 19．学校运动场的四角各有一盏探照灯，其中一盏探照灯B 的位置如图所示，已知坡长AC ＝12m ，坡角α为30°，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角β为27°，最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端C 处，且与地面的夹角为60°，A 、B 、C 、D 在同一平面上．（结果精确到0.1m.参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.50≈1.73．） （1）求灯杆AB 的高度； （2）求CD 的长度．20．我市某学校落实立德树人根本任务，构建“五育并举”教育体系，开设了“厨艺、园艺、电工、木工、编织”五大类劳动课程．为了解七年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了七年级若干名学生进行调查（每人只选一类最喜欢的课程），将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：（1）本次随机调查的学生人数为人；（2）补全条形统计图；（3）若该校七年级共有800名学生，请估计该校七年级学生选择“厨艺”劳动课程的人数； （4）七（1）班计划在“园艺、电工、木工、编织”四大类劳动课程中任选两类参加学校期末展示活动，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“园艺、编织”这两类劳动课程的概率． 21．如图，A 、D 、B 、E 四点在同一条直线上，AD ＝BE ，BC ∥EF ，BC ＝EF ．（1）求证：AC ＝DF ；（2）若CD 为∠ACB 的平分线，∠A ＝25°，∠E ＝71°，求∠CDF 的度数．22．某体育用品专卖店新进一批篮球和足球，已知每个篮球的进价比每个足球的进价多30元，用6000元购进篮球的数量与用4800元购进足球的数量相同． (1)求篮球、足球每个进价分别为多少元？(2)专卖店准备在进价基础上，篮球加价60%作为售价，足球加价50%作为售价．该专卖店平均每天卖出篮球120个，足球100个．为回馈顾客，减少库存，专卖店准备搞活动促销．经调查发现，篮球、足球的销售单价每降低10元，这两种商品每天都可多销售20个，为了使每天获取更大的利润，该专卖店决定把篮球、足球的销售单价都下降a 元．请通过计算说明，如何定价，专卖店才能获取最大利润．23．已知：AB 为O e 的直径，弦CD 交AB 于点H ，点F 为弧AC 上一点，连接DF 交AB 于点E ，交AC 于点G ，AEF BAC ACF ∠=∠+∠．(1)如图1，求证：AB CD ⊥；(2)如图2，在（1）的条件下，连接BD ，当2ACD ACF ∠=∠，4AE =，6BD =时，求AG 的长．24．（1）如图1，在矩形ABCD 中，E 为AD 边上一点，连接BE ，若B E B C =，过C 作CF BE⊥交BE 于点F ，求证：ABE FCB ≌△△．（2）如图2，在菱形ABCD 中，1cos 3A =，过C 作CE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，过E作EF AD ⊥交AD 于点F ，若12ABCD S =菱形时，求EF BC ⋅的值．（3）如图3，在平行四边形ABCD 中，60A ∠=︒，6AB =，5AD =，点E 在CD 上，且2CE =，点F 为BC 上一点，连接EF ，过E 作EG EF ⊥交平行四边形ABCD 的边AD 于点G ，若EF EG ⋅=AG 的长．25．定义：把抛物线1C 上任意点(),P a b 的横坐标和纵坐标乘以k 后变为点(),P ka kb '，若点P '都在抛物线2C 上，则称抛物线2C 为抛物线1C 的“k 倍抛物线”．例如：抛物线2y x =的任意一点()2,P n n ，乘以2-后变为()22,2P n n -'-，点P '都在抛物线212y x =-上，所以抛物线212y x =-是抛物线2y x =的“2-倍抛物线”．已知抛物线2:2C y mx mx n =-++，根据所给条件完成下列问题：(1)当1m =，1n =-时，求1C 的“2倍抛物线”2C 的解析式；(2)如图1，当3n m =，且0m >时，1C 与x 轴交于点A 、B ，1C 的“1-倍抛物线”3C 与x 轴交于点C 、D ，与1C 交于点E 、F ，是否存在合适的m 值，使得四边形AECF 是矩形，如果存在求出m 的值；如果不存在请说明理由；(3)如图2，当m =0n =时，抛物线1C 的顶点记为M ，与x 轴的正半轴交于点A ，抛物线1C 的“k 倍抛物线”4C 顶点为N ，点P 在抛物线4C 上，满足PMN AMN S S =V V ，且90PNM ∠=︒．当k 时，求k的值．1。
20一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。
以下每小题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个选项，其中有且只有一个选项时正确的。
请将正确选项的代号填入题后的括号里。
不填、多填或错填都得0分）1．方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+612y x y x 的实数解的个数为（ ）（A ） 1 （B ） 2 （C ） 3 （D ） 42．口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个。
现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（ ） （A ） 14 （B ） 16 （C ） 18 （D ） 203．已知c b a 、、是三个互不相等的实数，且三个关于x 的一元二次方程02=++c bx ax ，02=++a cx bx ，02=++b ax cx 恰有一个公共实数根，则abccabbca222++的值为（ ）（A ） 0 （B ） 1 （C ） 2 （D ） 34．已知△ABC 为锐角三角形，⊙O 经过点B 、C ，且与边AB 、AC 分别相交与点D 、E 。
若⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等，则⊙O 一定经过△ABC 的（ ） （A ） 内心 （B ） 外心 （C ） 重心 （D ） 垂心5．方程256323+-=++y y x x x 的整数解()y x ，的解的个数（ ） （A ） 0 （B ） 1 （C ） 3 （D ） 无穷多 二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．如图点A 、C 都在函数()033 x xy =的图像上，点B 、D 都在x 轴上，且使得△OAB 、△BCD 都是等边三角形，则点D 的坐标为 。
7．如图，在直角三角形ABC 中，︒=∠90ACB ，4=CA ，点P 是半圆弧AC 的中点，连接BP ，线段BP 把图形APCB （指半圆和三角形ABC 组成的图形）分成两部分，则这两部分面积之差的绝对值是 。
湖南省长沙市2024年中考模拟数学试题一、单选题1．3-的倒数为（ ） A ．3B ．3-C ．13D ．13-2．苏州地铁4号线，2017年上半年通车试运营，主线全程长约为42000m ，北起相城区荷塘月色公园，南至吴江同津大道站，共设31站．将42000用科学记数法表示应为（ ） A ．0.42×105B ．4.2×104C ．44×103D ．440×1023．下列等式成立的是（ ） A ．1232a a a+=B ．11111a a a a a ++=--- C ．1111x x x +=++ D ．()()()222112222m m m m m ---=---4．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A ．B ．C ．D ．5．下列长度的三根木棒首尾相接，不能做成三角形框架的是（ ） A ．5cm ，7cm ，10cm B ．5cm ，7cm ，13cm C ．7cm ，10cm ，13cmD ．5cm ，10cm ，13cm6．某市教育体育局想要了解本市初二年级8万名学生的期中数学成绩，从中抽取了2000名学生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是( ) A ．2000名学生是总体的一个样本 B ．每位学生的数学成绩是个体 C ．8万名学生是总体D ．2000名学生是样本的容量7．如图所示，已知正方形ABCD 的面积是8平方厘米，正方形EFGH 的面积是62平方厘米，BC 落在EH 上，ACG V 的面积是4.9平方厘米，则ABE V 的面积是（ ）A ．0.5平方厘米B ．2平方厘米CD ．0.9平方厘米8．如图，在V ABC 中，∠B ＝30°，若AB ∥CD ，CB 平分∠ACD ，则∠ACD 的度数为（ ）A ．30°B ．40°C ．60°D ．90°9．一次函数y kx b =+与正比例函数y kbx =（k ，b 为常数，且0kb ≠）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．张浩有红牌和蓝牌各75张，已知张浩能在一个摊位上用2张红牌换1张银牌和1张蓝牌，还能在另一个摊位上用3张蓝牌换1张银牌和1张红牌，若他按照上述方法继续换下去，直到手中的牌无法交换为止，则张浩手中最后有银牌（ ）张A ．62B ．26C ．102D ．103二、填空题11．因式分解：21x -=.12．若不等式组220x a b x ->⎧⎨->⎩的解集为11x -<<，则2009()a b +=.13．在x 2+( )+4=0的括号中添加一个关于x 的一次项．．．，使方程有两个相等的实数根． 14．如图，双曲线ky (k 0)x=>与⊙O 在第一象限内交于P 、Q 两点，分别过P 、Q 两点向x 轴和y 轴作垂线，已知点P 坐标为(1，3)，则图中阴影部分的面积为．15．如图，OA 是O e 的半径，BC 是O e 的弦，OA BC ⊥于点D ，AE 是O e 的切线，AE 交OC 的延长线于点E ．若45AOC ∠=︒，2BC =，则线段AE 的长为．16．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB ，AC 夹角为150°，AB 的长为32cm ，BD的长为14cm ，则»DE的长为cm ．三、解答题17．（1）计算：())121--+﹣sin30°（2）化简：2a 11a a a++-. 18．（1）计算：()()21122x x x ⎛⎫--+- ⎪⎝⎭；（2）先化简，再求值：()()()23366a a a a +---+，其中1a =-．19．位于河南省郑州市的炎黄二帝巨型塑像，是为代表中华民族之创始、之和谐、之统一．塑像由山体CD 和头像AD 两部分组成．某数学兴趣小组在塑像前50米处的B 处测得山体D 处的仰角为45°，头像A 处的仰角为70.5°，求头像AD 的高度．（最后结果精确到0.1米，参考数据：sin70.5°≈0.943，cos70.5°≈0.334，tan70.5°≈2.824）20．为了加强对青少年防溺水安全教育，5月底某校开展了“远离溺水，珍爱生命”的防溺水安全知识比赛．下面是从参赛学生中随机收集到的20名学生的成绩（单位：分）： 87 99 86 89 91 91 95 96 87 97 91 97 96 86 96 89 100 91 99 97 整理数据：分析数据：解决问题：(1)直接写出上面表格中的a ，b ，c ，d 的值；(2)若成绩达到95分及以上为“优秀”等级，求“优秀”等级所占的百分率； (3)请估计该校1500名学生中成绩达到95分及以上的学生人数．21．如图，已知点B E C F ，，，在一条直线上，BE CF =，AC DE ∥，A D ∠=∠． 求证：ABC DFE △≌△．22．某游船先顺流而下，然后逆流返回．已知水流速度是每小时3千米，游船在静水中的速度是每小时18千米．为使游船在4小时内（含4小时）返回出发地，则游船顺流最远可行多少千米？23．如图，在ABC V 中，AB AC =，30B ∠=︒，线段AB 的垂直平分线MN 交BC 于D ，连接AD ．(1)求DAC ∠的度数； (2)若2BD =，求BC 的长．24．在平面直角坐标系xOy 中，对于直线l 及点P 给出如下定义：过点P 作y 轴的垂线交直线l 于点Q ，若PQ ≤1，则称点P 为直线l 的关联点，当PQ ＝1时，称点P 为直线l 的最佳关联点，当点P 与点Q 重合时，记PQ ＝0．例如，点P （1，2）是直线y ＝x 的最佳关联点．根据阅读材料，解决下列问题．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线1l ：y ＝﹣x +3，2l ：y ＝2x +b ．(1)已知点A （0，4），3(,1)2B ，C （2，3），上述各点是直线1l 的关联点是；(2)若点D （﹣1，m ）是直线1l 的最佳关联点，则m 的值是；(3)点E 在x 轴的正半轴上，点A （0，4），以OA 、OE 为边作正方形AOEF ．若直线l 2与正方形AOEF 相交，且交点中至少有一个是直线1l 的关联点，则b 的取值范围是．25．如图，⊙O为△ABC的外接圆，AC=BC，D为OC与AB的交点，E为线段OC延长线上一点，且∠EAC=∠ABC．(1)求证：直线AE是⊙O的切线．(2)若D为AB的中点，CD=6，AB=16，求⊙O的半径；(3)在（2）的基础上，点F在⊙O上，且»»，△ACF的内心点G在AB边上，求BGBC BF的长．。
2020年长沙市一中系中考一模数学试卷一、选择题（在下列各题的四个选项中,只有一项是符合要求的,请在答题卡中填涂符合题意的选项,本大题共12个小题,每小题3分,共36分)1.在下列选项中，具有相反意义的量是（）A.收入20元与支出30元B.上升了6米和后退了7米C.卖出10斤米和盈利10元D.向东行30米和向北行30米2. x的2倍与y的和的平方用代数式表示为（）A.（2x+y）2B.2x+y2C.2x2+y2D.2（x+y）23.人体中红细胞的直径约为0.0000077m，用科学记数法表示数的结果是（）A.0.77×10﹣5mB.0.77×10﹣6mC.7.7×10﹣5mD.7.7×10﹣6m4.已知点P（x+3，x﹣4）在x轴上，则x的值为（）A.3B.﹣3C.﹣4D.45.下列函数表达式中，y不是x的反比例函数的是（）A.y=3x B.y=x3C.y=12xD.xy=126.数据3，6，7，4，x的平均数是5，则这组数据的中位数是（）A.4B.4.5C.5D.67.下列图形中，不是轴对称图形的是（）A. B. C. D.8.如图所示正三棱柱的主视图是（）A. B. C. D.9.下列事件中是必然事件的是（）A.﹣a是负数B.两个相似图形是位似图形C.随机抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上D.平移后的图形与原来对应线段相等10.如图，某数学兴趣小组将边长为6的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形DAB的面积为（）A.12B.14C.16D.3611.下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的内心到三角形各边的距离都相等；④相等的弦所对的弧相等．其中正确的有（）A.4个B.3个C.2个D.1个12.如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（）A.2√5B.3√5C.92D.254二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分)13. 214的平方根是________．14.如图，点G是△ABC的重心，联结AG并延长交BC于点D，GE∥AB交BC与E，若AB=6，那么GE=________．15.若a+b=2，则代数式3﹣2a﹣2b=________．16. P为正整数，现规定P!=P（P﹣1）（P﹣2）…×2×1．若m!=24，则正整数m=________．17.如图，已知正五边形ABCDE，AF∥CD，交DB的延长线于点F，则∠DFA=________度．18.如图，AD和AC分别是⊙O的直径和弦，且∠CAD=30°，OB⊥AD，交AC于点B，若OB=3，则BC=________．三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分。
FB 长沙市一中自主招生数学测试卷（一）一、选择题（共5小题，每题6分，共30分.以下每小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号内.不填、多填或错填均不得分）1、如果关于x的方程2230x ax a-+-=至少有一个正根，则实数a的取值范围是（）A、22<<-a B、23≤<a C、23≤<-a D、23≤≤-a2、如图，已知：点E、F分别是正方形ABCD的边BCAB、的中点，DFBD、分别交CE于点HG、，若正方形ABCD的面积是240，则四边形BFHG的面积等于……………………（）A、26B、28C、24D、303、设zyx、、是两两不等的实数，且满足下列等式：66633633)()(zxxyxzxxyx---=-+-，则代数式xyzzyx3333-++的值是…………………（）A、0B、1C、3D、条件不足，无法计算4、如图，四边形BDCE内接于以BC为直径的⊙A，已知：︒=∠=∠=30,53cos,10BCEBCDBC，则线段DE的长是…………………（）A、89B、73C、4+33D、3+435、某学校共有3125名学生，一次活动中全体学生被排成一个n排的等腰梯形阵，且这n排学生数按每排都比前一排多一人的规律排列，则当n取到最大值时，排在这等腰梯形阵最外面的一周的学生总人数是…………………（）A、296B、221C、225D、641二、填空题：（共5小题，每题6分，共30分）6、已知：实常数dcba、、、同时满足下列两个等式：⑴0cossin=-+cbaθθ；⑵0sincos=+-dbaθθ（其中θ为任意锐角），则dcba、、、之间的关系式是：。
8、已知一个三角形的周长和面积分别是84、210，一个单位圆在它的内 部沿着三边匀速无摩擦地滚动一周后回到原来的位置（如图），则这个三角 形的内部以及边界没有被单位圆滚过的部分的面积是 。
长沙市一中2023模拟试卷（一）数学一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}2R 4,39x A x x B x =∈<=<∣∣，则（）A.A B B =B.A B =RC.A B A =D.A B A⋃=【答案】C 【解析】【分析】求出集合,A B ，再由交集和并集的定义即可得出答案.【详解】因为{}{}{}{}2R422,392xA x x x xB x x x =∈<=-<<=<=<∣∣∣∣，所以A B A = ，A B B ⋃=.故选：C .2.设2iR,ia a z +∈=，则“1a >”是“z >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据复数模的计算公式及充分条件、必要条件的定义判断即可【详解】由题意得22i 2i iaz a -==-，所以z ==因为z >，所以245a +>，解得1a >或1a <-，故“1a >”是“z >的充分不必要条件.故选：A3.天文计算的需要，促进了三角学和几何学的发展．10世纪的科学家比鲁尼的著作《马苏德规律》一书中记录了在三角学方面的一些创造性的工作．比鲁尼给出了一种测量地球半径的方法：先用边长带有刻度的正方形ABCD 测得一座山的高GT h =（如图①），再于山顶T 处悬一直径为SP 且可以转动的圆环（如图②），从山顶T 处观测地平线上的一点I ，测得OTI α∠=．由此可以算得地球的半径r =（）A.sin 1sin h αα- B.cos 1sin h αα- C.sin 1cos h αα- D.cos 1cos h αα-【答案】A 【解析】【分析】根据解直角三角形，结合正弦函数的概念即可求得答案.【详解】由图可知，OI TI ⊥,故sin OI r OT r h α==+，解得sin 1sin h r αα=-，故选：A ．4.已知函数()f x 的局部图象如图所示，则()f x 的解析式可以是（）A.1()sin 2xf x e xπ=⋅ B.1||()cos2x f x ex π=⋅C.()ln ||sin 2f x x x π=⋅ D.()ln ||cos2f x x x π=【答案】D 【解析】【分析】利用排除法，根据奇偶性和()f x 在()0,1x ∈时的函数值正负可排除.【详解】由图可得()f x 的图象关于y 轴对称，即()f x 为偶函数，其中A 选项，()11()sin sin 22xxf x e x e x f x ππ-⎛⎫-=⋅-=-⋅=- ⎪⎝⎭，故()f x 为奇函数，与图象不符，故排除A ；C 选项，()()ln ||sin ln ||sin 22f x x x x x f x ππ⎛⎫-=-⋅-=-⋅=- ⎪⎝⎭，故()f x 为奇函数，与图象不符，故排除C ；B 选项，当()0,1x ∈时，10xe >，cos02x π>，则()0f x >，与图象不符，故排除B.故选：D.5.已知π3sin cos 65αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.725-B.725C.2425-D.2425【答案】B 【解析】【分析】根据三角恒等变换公式求解.【详解】π313sin cos cos cos ,6225ααααα⎛⎫-+=-+= ⎪⎝⎭所以313sin cos 225αα+=，所以π3sin ,65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭2πππ97cos 2cos212sin 12,3662525ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=-+=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选:B.6.已知函数()πsin (12)6f x x ωω⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭，若存在12,R x x ∈，当122πx x -=时，()()120f x f x ==，则函数()f x 的最小正周期为（）A.2π3B.4π3C.2πD.4π【答案】B 【解析】【分析】由题意可得出2π2T k ⋅=，结合12ω<<，可得32ω=，再由三角函数最小正周期的公式即可得出答案.【详解】因为存在12,R x x ∈，当122πx x -=时，()()120f x f x ==，所以π2π,Z 2T k k k ω⋅=⋅=∈，即,Z 2kk ω=∈，又因为12ω<<，则3k =，所以32ω=，所以函数()f x 的最小正周期为：2π4π332T ==，故选：B .7.设,A B 是平面直角坐标系中关于y 轴对称的两点，且2OA = .若存在,R m n ∈，使得mAB OA +与nAB OB +垂直，且()()2mAB OA nAB OB +-+= ，则AB 的最小值为（）A.1B.C.2D.【答案】D 【解析】【分析】构造向量，利用向量垂直和()()2mAB OA nAB OB +-+= ，结合基本不等式得出a b的最大值2，结合图形可得答案.【详解】如图，,A B 是平面直角坐标系中关于y 轴对称的两点，且2OA =，由题意得：AB OB OA =- ，令()1a OA mAB OA m OA mOB ==+-+'=，则,,A A B '三点共线,()1b OB nAB OB n OB nOA ==++-'=，则,,B A B '三点共线,故有,,,A A B B ''共线，由题意mAB OA + 与nAB OB +垂直，()()2mAB OA nAB OB +-+= ，知OA OB ''⊥uuu r uuu r ，且2a b B A ''-==为定值，在A OB ''△中，224||||2a b a b =+≥ ，当且仅当a b =时，a b取最大值2，此时A OB ''△面积最大，则O 到AB 的距离最远，而2OA = ，故当且仅当a b=，即,A B ''关于y 轴对称时，AB 最小，此时O 到AB 的距离为112B A ='' ，所以2AB ==，故AB = AB的最小值为故选：D.8.如图，已知锐二面角l αβ--的大小为1θ，A α∈，B β∈，M l ∈，N l ∈，AM l ⊥，BN l ⊥，C ，D 为AB ，MN 的中点，若AM MN BN >>，记AN ，CD 与半平面β所成角分别为2θ，3θ，则（）A.122θθ<，132θθ<B.122θθ<，132θθ>C.122θθ>，132θθ<D.122θθ>，132θθ>【答案】A 【解析】【分析】根据面面角的定义求得1AMG θ∠=，根据线面角的定义找到2ANH θ∠=，3FMG θ=∠，通过比较12,θθ的正弦值比较两角的大小，接着根据12,2θθ的范围判断12,2θθ的大小，根据线段长度的大小关系求得13,2θθ的大小关系.【详解】分别过点M 和点B 作BN ，MN 的平行线相交于点G ，因为BN l ⊥，所以MG l ⊥,所以1AMG θ∠=，过A 点作AH MG ⊥，连接NH ，所以2ANH θ∠=，取1,===AM MN AH ,22sin 2θ==AH AN ,此时1222πθθ<=；排除CD.取线段AG 中点为点F ，又C ，D 为AB ，MN 的中点，所以CF 与DM 平行且相等，所以//CD MF ，所以CD 与半平面β所成角为3FMG θ=∠，显然31θθ<，又因为AM MG >，所以132θθ<；排除B.故选：A.【点睛】(1)求直线与平面所成的角的一般步骤：①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．(2)作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为：“连续10日，每天新增疑似病例不超过7人”．过去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下：甲地：中位数为2，众数为3；乙地：平均数为2，方差为3；丙地：平均数为3，极差为5；丁地：平均数为5，众数为6．则一定没有发生大规模群体感染的是（）A.甲地B.乙地C.丙地D.丁地【答案】BC 【解析】【分析】A.举例判断；B.假设出现一次大于7，设108x ≥，利用方差运算判断；C.假设出现了8人，则一定有出现3人情况判断；D.举例判断.【详解】对于甲地，如0，0，1，1，1，3，3，3，3，8，故错误；对于乙地，若出现一次大于7，设108x ≥，则()()()()22222129101222210S x x x x ⎡⎤=-+-++-+-⎣⎦ ，()()()222129122236310x x x ⎡⎤≥-+-++-+>⎣⎦ ，矛盾，故正确；对于丙地，若出现了8人，则一定有出现3人情况，这样平均数就不可能是3，∴丙地不可能有超过7人的情况，故正确．对于丁地，无法判断是否有超过7人的情况，如2，2，3，5，6，6，6，6，6，8，平均数为5，众数为6，故错误；故选：BC ．10.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的离心率为2，且双曲线C 的左焦点在直线0x y +=上，A ，B 分别是双曲线C 的左，右顶点，点P 是双曲线C 的右支上位于第一象限的动点，记PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则下列说法正确的是（）A.双曲线C 的渐近线方程为2y x =±B.双曲线C 的方程为2214x y -=C.12k k 为定值14D.存在点P ，使得121k k +=【答案】BC 【解析】【分析】【详解】因为双曲线C 的左焦点(,0)c -在直线0x y ++=上，所以c =，又离心率为52c e a ==，所以2a =，故2221b c a =-=，所以双曲线方程为2214x y -=，故双曲线的渐近线方程为20x y ±=，故A 错误；B 正确；由题意可得(2,0),(2,0)A B -，设P (m ,n )，可得2214m n -=，即有22144n m =-，所以212212244n n n k k m m m =⋅==+--，故C 正确；因为点P 是双曲线C 的右支上位于第一象限的动点，所以120,0k k >>，则121212k k +≥=⨯=，当且仅当12k k =时，等号成立，由A ，B 为左右顶点，可得12k k ≠，所以121k k +>，故D 错误.故选：BC【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程，双曲线的简单几何性质，直线的斜率，属于中档题.11.如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，12,O O 为圆柱上下底面的圆心，O 为球心，EF 为底面圆1O 的一条直径，若球的半径2r =，则下列各选项正确的是（）A.球与圆柱的体积之比为2:3B.四面体CDEF 的体积的取值范围为320,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C.平面DEF 截得球的截面面积最小值为4π5D.若P 为球面和圆柱侧面的交线上一点，则PE PF +的取值范围为2⎡+⎣【答案】ABD 【解析】【分析】根据给定的条件，利用球、圆柱的体积公式计算判断A ；利用12CDEF E O CD V V -=建立函数关系判断B ；求出球心O 到平面DEF 距离的最大值判断C ；令点P 在圆柱下底面圆所在平面上的投影点为Q ，设QFE ∠θ=，利用勾股定理建立函数关系，求出值域可判断D .【详解】对于A ，球的体积为34π32π33r V ==，圆柱的体积2π(2)16πV r r '=⨯=，则球与圆柱的体积之比为2:3，A 正确；对于B ，设d 为点E 到平面BCD 的距离，0d r <≤，而平面BCD 经过线段EF 的中点1O ，四面体CDEF 的体积11221163224433233C DEF E O DC O DC d V V S d d --==⋅=⨯⨯⨯⨯=≤ ，所以四面体CDEF 的体积的取值范围为320,3⎛⎤⎥⎝⎦，B 正确；对于C ，过O 作1OH DO ⊥于H ，如图，而122O O DO ⊥，则21211sin DO OH DO O OO DO ∠==，又1DO ==OH =，设截面圆的半径为1r ，球心O 到平面DEF 的距离为1d ，则1d ≤，又1r ==≥=DEF 截球的截面圆面积2116ππ5S r =≥，C 错误；对于D ，令经过点P 的圆柱的母线与下底面圆的公共点为Q ，连接,QE QF ，当Q 与,E F 都不重合时，设QFE ∠θ=，则4cos ,4sin QF QE θθ==，当Q 与,E F 之一重合时，上式也成立，因此4cos ,4sin QF QE θθ==，π[0,)2θ∈，则PE PF +=，令t =26t =+，而02πθ≤<，即0sin 21θ≤≤，因此2612t +≤≤，解得1t ≤≤，所以PE PF +的取值范围为[2+，D 正确.故选：ABD.12.定义：对于定义在区间I 上的函数()f x 和正数()01αα<≤，若存在正数M ，使得不等式()()1212f x f x M x x α-≤-对任意12,x x I ∈恒成立，则称函数()f x 在区间I 上满足α阶李普希兹条件，则下列说法正确的有（）A.函数()f x =[)1,+∞上满足12阶李普希兹条件.B.若函数()ln f x x x =在[]1,e 上满足一阶李普希兹条件，则M 的最小值为2.C.若函数()f x 在[],a b 上满足()01M k k =<<的一阶李普希兹条件，且方程()f x x =在区间[],a b 上有解0x ，则0x 是方程()f x x =在区间[],a b 上的唯一解.D.若函数()f x 在[]0,1上满足1M =的一阶李普希兹条件，且()()01f f =，则存在满足条件的函数()f x ，存在[]12,0,1x x ∈，使得()()1223f x f x -=.【答案】ABC 【解析】【分析】根据李普希兹条件的概念直接可以判断AB 选项，再利用反证法判断C 选项，通过分类讨论可判断D 选项.【详解】A 选项：不妨设12x x >，()()12f x f x ∴-=()()()()1212212121f x f x x x x x -∴==<--，故1M ∃≥，对[)12,1,x x ∀∈+∞，均有()()()121212f x f x M x x -≤-，A 选项正确；B 选项：不妨设12x x >，()ln f x x x = 在[]1,e 单调递增，()()()()1212f x f x f x f x ∴-=-，()()1212f x f x M x x ∴-≤-，即()()()1212f x f x M x x -≤-，即()()1122f x Mx f x Mx -≤-对12x x ∀>，[]12,1,e x x ∈恒成立，即()f x Mx -在[]1,e 上单调递减，()0f x M '∴-≤对[]1,e x ∀∈恒成立，所以1ln M x ≥+对[]1,e x ∀∈恒成立，即2M ≥，即M 的最小值为2，B 选项正确；C 选项：假设方程()f x x =在区间[],a b 上有两个解0x ，t ，则()()000f x f t k x t x t -≤-<-，这与()()00t t f x f x -=-矛盾，故只有唯一解，C 选项正确；D 选项：不妨设12x x >，当1212x x -≤时，()()121212f x f x x x -≤-≤，当1212x x ->时，()()()()()()()()()()()1212121212110101012f x f x f x f f f x f x f f x f x x x x -=-+-≤-+-≤-+-=--<，故对[]12,0,1x x ∀∈，()()1212f x f x -≤，不存在12,x x 使()()1223f x f x -=，D 选项错误；故选：ABC.三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知圆22:(4)16M x y -+=，过点()2,0N 的直线l 与圆M 交于,A B 两点，D 是AB 的中点，则D 点的轨迹方程为__________.【答案】()2231x y -+=【解析】【分析】由圆的垂径定理可得MD DN ⊥，结合向量垂直的条件：数量积为0，化简可得所求轨迹方程，即可求得答案.【详解】圆22:(4)16M x y -+=，所以圆心为()4,0M ，半径为4，设(),D x y ，由线段AB 的中点为D ，可得MD DN ⊥，即有()()(4,)(2,)420MD ND x y x y x x y y ⋅=-⋅-=--+⋅=，即()2231x y -+=，所以点D 的轨迹是以()3,0为圆心，1为半径的圆；故答案为：()2231x y -+=.14.“以直代曲”是微积分中最基本､最朴素的思想方法，如在切点附近，可用曲线在该点处的切线近似代替曲线.曲线ln y x =在点()1,0处的切线方程为__________，利用上述“切线近以代替曲线”的思想方法计算所得结果为__________（结果用分数表示）.【答案】①.1y x =-②.2120【解析】【分析】求出导函数得切线斜率，由点斜式得切线方程，由题意知ln 1x x ≈-，则ln 1≈，即2120≈，即可得出答案．【详解】由已知ln y x =，1y x'=，所以在点()1,0处的切线斜率为1k =，则在点()1,0处的切线方程为1y x =-，由题意知，ln 1x x ≈-，所以ln 1≈-，即112020ln e e 1≈-，所以112020121eln e 112020≈+=+=，即2120≈.故答案为：1y x =-；2120．15.已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点，A 为椭圆的上顶点，B 在x 轴上，20AB AF ⋅= ，且212AF AB AF =+.若坐标原点O 到直线AB 的距离为3，则椭圆C 的标准方程为__________.【答案】2211612x y +=【解析】【分析】由题设可得2a c =，直线AB 的方程为330bx cy bc -+=，点线距离公式表示O 到直线AB 的距离，又222a b c =+联立解得22,a b 即可得出答案.【详解】由20AB AF ⋅= 可得290BAF ∠=，由212AF AB AF =+可得112BF F F =，则△12AF F 是等边三角形，设122F F c =，则2a c =①，∴直线AB 的方程为13x yc b+=-，即330bx cy bc -+=，∴O 到直线AB3=②，又222a b c =+③，联立①②③，解得216a =，212b =，故椭圆C 方程为2211612x y +=.故答案为：2211612x y +=16.已知实数a ，b ，c 满足1e e ln 3a c c b a b +-++≤++，（其中e 为自然对数的底数），则a b c +-的最小值是______.【答案】2ln 2-##ln 4-【解析】【分析】变形给定不等式，构造函数并借助函数的单调性，求出,,a b c 的关系，再利用导数求出函数的最值作答.【详解】1ln 1e e ln 3e e ln 3a c c a c b c b a b a b +-++-++≤++⇔+≤++，令函数()e 1x f x x =--，求导得()e 1x f x '=-，当0x <时，()0f x '<，当0x >时，()0f x '>，因此函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，则()(0)0f x f ≥=，即R x ∀∈，e 1x x ≥+，于是ln 1e 1,e ln 11a c b c a c b c +-+≥++≥-++，即ln 1e e ln 3a c b c a b +-++≥++，当且仅当0,ln 10a c b c +=-+=，即1,e c a c b -=-=时取等号，依题意，1,e c a c b -=-=，1e 2c a b c c -+-=-，令1e (2)x x g x -=-，求导得1e 2()x g x -=-'，当1ln 2x <+时，()0g x '<，当1ln 2x >+时，()0g x '>，从而函数()g x 在(,1ln 2)-∞+上单调递减，在(1ln 2,)++∞上单调递增，min ()(1ln 2)2ln 2g x g =+=-，所以a b c +-的最小值是2ln 2-.故答案为：2ln 2-.【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.四､解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.在数列{}n a 中，11a =-，()*12362,Nn n a a n n n -=+-≥∈.（1）求证：数列{}3n a n +为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n b a n =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）证明见解析；23nn a n =-；（2）122(1)n n n +--+【解析】【分析】（1）根据等比数列的定义证明，由等比数列的通项公式化简，可得数列{}n a 的通项公式；（2）由分组求和法化简求解即可．【小问1详解】()*12362,N n n a a n n n -=+-≥∈ ，∴当2n ≥时，()()11111333263133332233n n n n n n a n a n a n a n n n a n a -----+-+-+===+-++-+-，数列{}3n a n +是首项为132a +=，公比为2的等比数列，32n n a n ∴+=，23nn a n =-；【小问2详解】2322n n n n n b a n a n n n=+==-+=-数列{}n b 的前n 项和()()()()12312...222426...22nn n T b b b n=+++=-+-+-++-()()1212122222...2246...222(1)122n n n nn n n n +-+=+++-++++=⨯=--+-．18.在ABC 中，内角,A B C ､的对边分别为,,a b c ，且满足1tan 12tan a C b B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）求C 的大小；（2）若ABC的面积为，且2CD DA =，求BD 的最小值.【答案】（1）π3C =（2）3【解析】【分析】（1）由正弦定理、同角三角函数的商数关系和两角和正弦公式化简已知式，即可得出答案；（2）由三角函数的面积关系可得40ab =，由2CD DA = ，得23CD b =，再由余弦定理结合均值不等式即可得出答案.【小问1详解】因为1tan 12tan a C b B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用正弦定理得：()sin sin 1sin cos 1sin 2cos sin 2cos sin B C A C B B C B C B +⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，由于π++=A C B ，所以()sin sin B C A +=，即sin sin sin 2cos sin A AB C B=，即2sin cos sin sin sin A C B A B =，由()ππ0,π,sin 0,0,,π,sin 022A A B B ⎛⎫⎛⎫∈≠∈⋃≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故1cos ,0π2C C =<<且π2C ≠，故π3C =.【小问2详解】由于ABC 的面积为113sin 222ab C ab =⋅=，解得：40ab =，由2CD DA =，得23CD b =，在BCD △中，由余弦定理得：222224242222802cos 293933333BD a b a b C a b ab ab ab ab =+-⋅=+-≥⋅-==，故4153BD ≥，当且仅当2,3a b =即415,3a b ==，BD 的最小值为4153.19.如图1，四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，AD AB ⊥，60BCD ∠=︒，AB =，3BC =，E 为线段CD 上一点，满足BC CE =，F 为BE 的中点，现将梯形沿BE 折叠（如图2），使平面BCE ⊥平面ABED .（1）求证：平面ACE ⊥平面BCE ；（2）能否在线段AB 上找到一点P （端点除外）使得直线AC 与平面PCF 所成角的正弦值为34？若存在，试确定点P 的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在点P 是线段AB 的中点，使得直线AC 与平面PCF 所成角的正弦值为34.【解析】【分析】（1）在直角梯形ABCD 中，根据3BE BC ==，60BCD ∠=︒，得BCE ∆为等边三角形，再由余弦定理求得AE ，满足222AE BE AB +=，得到AE BE ⊥，再根据平面BCE ⊥平面ABED ，利用面面垂直的性质定理证明.（2）建立空间直角坐标系：假设在AB 上存在一点P 使直线AC 与平面PCF 所成角的正弦值为34，且AP AB λ=uu u r uu u r，()0,1λ∈，求得平面PCF 的一个法向量，再利用线面角公式34cos ,CA n ==求解.【详解】（1）证明：在直角梯形ABCD 中，3BE BC ==，60BCD ∠=︒，因此BCE ∆为等边三角形，从而3BE =，又AB =，由余弦定理得：212923cos303AE =+-⨯︒=，∴222AE BE AB +=，即AE BE ⊥，且折叠后AE 与BE 位置关系不变，又∵平面BCE ⊥平面ABED ，且平面BCE 平面ABED BE =.∴⊥AE 平面BCE ，∵AE ⊂平面ACE ，∴平面ACE ⊥平面BCE .（2）∵BCE ∆为等边三角形，F 为BE 的中点，∴CF BE ⊥，又∵平面BCE ⊥平面ABED ，且平面BCE 平面ABED BE =，∴CF ⊥平面ABED ，取AB 的中点G ，连结FG ，则//FG AE ，从而FG BE ⊥，以F 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系：则33,,02A ⎫-⎪⎭，330,0,2C ⎛ ⎪⎝⎭，则333,,22CA =--⎪⎭，假设在AB 上存在一点P 使直线AC 与平面PCF 所成角的正弦值为34，且AP AB λ=uu u r uu u r ，()0,1λ∈，∵30,,02B ⎛⎫⎪⎝⎭，∴()3,3,0AB = ，故()3,3,0AP λλ=- ，∴)()33331,21,22CP CA AP λλ=+=---⎝⎭ ，又330,0,2FC ⎛= ⎝⎭，该平面PCF 的法向量为(),,n x y z =，)()333121002203302x y z n CP n FC z λλ-+--=⎧⋅=⇒⎨⎨⋅=⎩⎪=⎪⎩ ，令()21y λ=-得)())321,21,0n λλ=--，∴()()223342332141cos ,CA n λλ=⋅-+-=，解得12λ=或76λ=（舍），综上可知，存在点P 是线段AB 的中点，使得直线AC 与平面PCF 所成角的正弦值为34.【点睛】本题主要考查面面垂直的性质定理和向量法研究线面角问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.20.抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，点A 在抛物线C 上.已知以F 为圆心，()FA FA p >为半径的圆F 交l 于,P Q 两点，若90,PFQ APQ ∠=.（1）求p 的值；（2）过点A 的直线m 交抛物线C 于点B （异于点A ），交x 轴于点M ，过点B 作直线m 的垂线交拋物线C 于点D ，若点A 的横坐标为正实数t ，直线DM 和抛物线C 相切于点D ，求正实数t 的取值范围.【答案】（1）1p =（2）4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）根据题意，可得FS =PS =QS =p ，再设A 到准线l 的距离为d ，即可求得d =FA =FQ，进而通过面积即可求解.(2)设2221212,,,,,222x x t A t B x D x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,因为AB BD ⊥,所以2114x x x t =--+,求直线m 的方程得11M x tx x t=+，由切线DM ,令0y =，得22M x x =，综上，即可求解.【小问1详解】设准线l 与y 轴交于S ,因为90PFQ ∠= ,由对称性可知:FS =PS =QS =p ,设A 到准线l 的距离为d ,则d =FA =FQ，11222APQ S PQ d p =⋅⋅=⨯= ，解得：1p =.【小问2详解】由（1）设2221212,,,,,222x x t A t B x D x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，从而2222121121,,,,22x t x x AB x t BD x x ⎛⎫⎛⎫--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭uu u r uu u r 因为AB BD ⊥,所以()()()()2222121121.04x t x x AB BD x t x x --⋅=--+=uu u r uu u r又121,x t x x ≠≠，所以()()12104x t x x +++=，又10x t +≠，得2114x x x t=--+①，()221111122ABx t k x t x t -=⋅=+-，所以直线m 的方程为()()21122t y x t x t -=+-，令0y =，得11M x tx x t=+②，由直线DM 与抛物线C 相切于点D ,则切线方程为()22222x y x x x -=-由切线过点M ,令0y =，得22M x x =③，由①②③得111124x t x x t x t--=++，即211340x tx ++=，又存在1x 满足上式,则()23160t ∆=-≥，又0t ≥，则43≥t ，又221||12222t t FA p =+=+>，得1t >.综上,正实数t 的取值范围为4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭21.国球是指在一个国家内广泛开展，并在国际上居于领先地位的球类运动，中国的国球是乒乓球，乒乓球起源于英国的19世纪末.长沙市某社区为了丰富社区老人的退休生活，每年的重阳节定期举行乒乓球比赛.通过资格赛和淘汰赛，该社区的李大爷和张大爷进入决赛争夺冠军，决赛采用五局三胜制，即选手率先获得三局胜利时，比赛结束并赢得冠军.根据以往李大爷和张大爷的比赛胜负数据分析，李大爷和张大爷实力相当，每局获胜的可能性相同，每局比赛相互独立.（1）求张大爷获得乒乓球比赛冠军的概率；（2）冠亚军决赛结束后，社区组委会决定进行趣味性和观赏性极强的“花式乒乓球”对抗赛，“花式乒乓球”对抗赛由刘大爷和周大爷进行比赛，比赛采用三局两胜制，即选手率先获得两局胜利时，比赛结束并赢得冠军.刘大爷和周大爷在一局比赛获胜的概率分别为21,33，且每局比赛相互独立.比赛开始前，工作人员拿来两盒新球，分别为“装有2个白球与1个黄球”的白盒与“装有1个白球与2个黄球”的黄盒.每局比赛前裁判员从盒中随机取出一颗球用于比赛，且局中不换球，该局比赛后，直接丟弃，裁判按照如下规则取球：每局取球的盒子颜色与上一局比赛用球的颜色一致，且第一局从白盒中取球，记两位大爷决出冠军后，两盒内白球剩余的总数为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望.【答案】（1）12（2）分布列见解析；()4727E ξ=；【解析】【分析】（1）张大爷获得乒乓球比赛冠军共进行的局数为3,4,5，求出其对应的概率，由分类加法计数原理即可得出答案.（2）求出随机变量ξ的可能取值及其对应概率，由数学期望公式求解即可得出答案；【小问1详解】记张大爷获得乒乓球比赛冠军共进行的局数为随机变量η，则η的可能取值为3,4,5，记事件A ：“张大爷获得乒乓球比赛冠军”，则()()()()345P A P P P ηηη==+=+=3222223411111111C C 22222222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【小问2详解】设刘大爷和周大爷“花式兵兵球”对抗赛进行了X 局比赛，易知2X =或3X =，则()222152339P X ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()()43129P X P X ==-==，记i W 表示第i 局从白盒中抽取的白色球.i W 表示第i 局从白盒中抽取的黄色球，i X 表示第i 局从黄盒中抽取的黄色球，i X 表示第i 局从黄盒中抽取的白色球，随机变量ξ的所有可能取值为1,2,3；()()()()()()()()12123123123123P P X P WW P X P WW W P W W X P W X W ξ===+=++5214212111111932932323338513⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()()()()()()()()()1212123123223P P X P W W P W X P X P W W X P W X X ξ===++=+5211142121213293233932333281⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()()12123323P P X P W X P X P W X X ξ===+=512412114933933281⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ξ的分布列为：ξ123P358132811481()3532144712381818127E ξ=⨯+⨯+⨯=22.已知函数()11eln 4xf x ax x a -⎛⎫=-> ⎪⎝⎭.（参考数据，e 2.718,ln20.693≈=）（1）证明：()()11ln f x a x ≤-+；（2）若()32f x x ≤-，求实数a 的取值的集合.【答案】（1）见解析（2）{}1a ∈【解析】【分析】（1）设()()()1ln x f x a x ϕ=++，对()x ϕ求导，得到()x ϕ的单调性，证明()max 1x ϕ≤即可证明()()11ln f x a x ≤-+；（2）设()()23g x f x x =+-，对()g x 求导，讨论1a =，1a >和114a <<时，()max 0g x ≤是否成立，即可求出实数a 的取值的集合.【小问1详解】设()()()()11ln eln 1ln xx f x a x ax x a x ϕ-=++=-++，则()11ϕ=，()()()11e ln 1x a x a x xϕ-+=-+'-+，设()()()()11e ln 1xa u x x a x xϕ-+==--++'，则()()212e 11x x a x u x x--+-'=，设()21e1xv x x -=-，()()212e x v x x x -'=-，当02x <<时，()0v x '>，函数()v x 单调递增，当2x >时，()0v x '<，函数()v x 单调递减，所以当0x >时，()()421ev x v ≤=-，因为当01x <<，()()10v x v <=且14a >，此时()()212e 110x x a x u x x--+-'=<，当1x >时，()()221112e 24v x v a x <=-<<+，此时也有()0u x '<，所以当0x >时，()()x u x ϕ'=单调递减，当01x <<时，，()()()10x u x u ϕ'=>=，()x ϕ单调递增，当1x >时，()()()10x u x u ϕ'=<=，()x ϕ单调递减，所以当14a >时，()()11x ϕϕ≤=，所以()()11ln f x a x ≤-+，故原不等式得证.【小问2详解】设()()123eln 23xg x f x x ax x x -=+-=-+-，则()10g =，()()1e ln 12x g x a x -'=--++，令()110g a '=-=，可得1a =，令()()12e ln 1xh x a x -=--+，其中0x >，()1111ee x x a x h x a x x --⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭，令()1ex xp x a -=-，其中0x >，则()11e x xp x --'=，当01x <<时，()0p x '>，此时函数()p x 单调递增，当1x >时，()0p x '<，此时函数()p x 单调递减，所以()()max 11p x p a ==-，①当1a =时，()()10p x p ≤=，则()()10h x p x x'=≤，且()h x '不恒为0，所以函数()g x '在区间()0,∞+上单调递减，所以当01x <<时，()()10g x g ''>=，则()g x 单调递增，当1x >时，()()10g x g ''<=，则()g x 单调递减.所以()()10g x g ≤=，即()32f x x ≤-.②当1a >时，()()110p x p a ≤=-<，则()()10h x p x x'=<，所以函数()g x '在区间()0,∞+上单调递减，因为()11e 1110,2e 0e g a g -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭''，此时存在11,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()10g x '=，且当()()1,1,0x x g x ∈'<，()g x 单调递减，所以()()110g x g >=，不合题意；③当114a <<时，()()max 110p x p a ==->，因为()ln 1ln 1ln 1,1ln ln 0e a aa p a a a a --->-=-=->，由于函数()p x 在区间()1,+∞上单调递减，故存在21ln x a =-，使得当()21,x x ∈时，()0p x >，此时，()()10h x p x x'=>，则函数()g x '在区间()21,x 上单调递增，故当()21,x x ∈时，()()110g x g a ''>=->，()g x 单调递增，所以()()210g x g >=，不满足题意.综上所述，若()32f x x ≤-，则{}1a ∈.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >（或()()f x g x <）转化为证明()()0f x g x ->（或()()0f x g x -<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.。
中考模拟考试数学试题含答案一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.2019的倒数是（）A. 2019B.C.D.2.要使二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（）A. B. C. D.3.如图，由三个相同小正方体组成的立体图形的左视图是（）A. B. C. D.4.2018年10月24日港珠澳大桥全线通车，它是世界上最长的跨海大桥，被称为“新世界七大奇迹之一”，大桥总长度55000米．数字55000用科学记数法表示为（）A. B. C. D.5.如图，直线a∥b，AC⊥AB，AC交直线b于点C，∠1=60°，则∠2的度数是（）A. B. C. D.6.如图，△ABC与△DEF关于y轴对称，已知A（-4，6），B（-6，2），E（2，1），则点D的坐标为（）A. B. C. D.7.分式方程=的解是（）A. B. C. D. 或8.若反比例函数y=的图象经过点（3，1），则它的图象也一定经过的点是（）A. B. C. D.9.不等式组的解集是（）A. B. C. D. 或10.如图，△ABC中，AC=8，BC=5，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则△DBC的周长为（）A. 13B. 12C. 10D. 911.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，已知BD=6，CD=2，则AD的长为（）A. B. C. 3 D.12.如图，△ABC的三条中线AD，BE，CF交于同一点G，若S△ABC=12，则图中阴影部分面积是（）A. 3B. 4C. 5D. 6二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）13.因式分解3x2-3y2=______．14.小燕和小敏在商场参加抽奖活动，每人只有一次抽奖机会：在一个不透明的箱子中装有红、黄、白三种球各1个，这些球除颜色外无其他差别，从箱子中随机摸出1个球，然后放回箱子中，搅匀后再轮到下一个人摸球．她们两人摸到的球颜色不相同的概率是______．15.如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD=25°，则∠BAD=______°．16.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，则BM的长是______．三、计算题（本大题共1小题，共12.0分）17.计算：（1）4×（-）+|-|-+；（2）化简：（a+2b）2-a（a+b）；四、解答题（本大题共5小题，共56.0分）18.某文具店一支铅笔的售价为1.2元，一支圆珠笔的售价为2元，该店在“五一”节举行文具优惠售卖活动，铅笔按原价打8折出售，圆珠笔按原价打9折出售，结果两种笔共卖出60支，卖得金额87元，求铅笔、圆珠笔各卖出多少支？19.中华文明，源远流长：中华汉字，寓意深广，为了传承优秀传统文化，某校团委组织了一次全校3000名学生参加的“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的成绩（成绩x取整数，总分100分）作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表：（1）a=______，b=______；（2）请补全频数分布直方图；（3）这次比赛成绩的中位数会落在______分数段；（4）若成绩在90分以上（包括90分）的为“优”等，则该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等约有多少人？20.在社会实践课上，小聪所在小组要测量一条小河的宽度，如图9，河岸EF∥MN，小聪在河岸MN上的点A处测得河对岸小树C位于东北方向，然后向东沿河岸走了30米，到达B处测得河对岸小树D位于北偏东30°的方向，又有同学测得CD=10米（1）∠EAC=______度，∠DBN=______度；（2）求小河的宽度AE．（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）21.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC和CD上，且BE=CF，连接AE、BF，其相交于点G，将△BCF沿BF翻折得到△BC′F，延长FC′交BA延长线于点H．（1）①求证：AE=BF；②猜想AE与BF的位置关系，并证明你的结论；（2）若AB=3，EC=2BE，求BH的长．22.如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，-3）顶点为D（1）求抛物线的函数关系式；（2）判断△BCD的形状，并说明理由；（3）点P在抛物线上，点Q在直线y=x上，是否存在点P、Q 使以点P、Q、C、O为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：2019的倒数是：．故选：C．直接利用倒数的定义：乘积是1的两数互为倒数，进而得出答案．此题主要考查了倒数，正确把握相关定义是解题关键．2.【答案】D【解析】解：∵二次根式在实数范围内有意义，∴x+2≥0，解得：x≥-2，则实数x的取值范围是：x≥-2．故选：D．直接利用二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式，进而得出答案．此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．3.【答案】D【解析】解：从左边看竖直叠放2个正方形．故选：D．细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定则可．本题主要考查了几何体的三种视图和学生的空间想象能力，难度适中．4.【答案】B【解析】解：数字55000用科学记数法表示为5.5×104．故选：B．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．5.【答案】D【解析】解：如图，∵直线a∥b，∴∠3=∠1=60°．∵AC⊥AB，∴∠3+∠2=90°，∴∠2=90°-∠3=90°-60°=30°，故选：D．根据平行线的性质，可得∠3与∠1的关系，根据两直线垂直，可得所成的角是90°，根据角的和差，可得答案．本题考查了平行线的性质，利用了平行线的性质，垂线的性质，角的和差．6.【答案】B【解析】解：∵△ABC与△DEF关于y轴对称，A（-4，6），∴D（4，6）．故选：B．根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（-x，y），进而得出答案．此题主要考查了关于y轴对称点的性质，准确记忆横纵坐标的关系是解题关键．7.【答案】C【解析】解：在方程两边同乘x-2得：2x-5=-3，解得：x=1，检验：当x=1时，x-2≠0，∴分式方程的解为：x=1．故选：C．根据解分式方程的步骤，最后一定进行检验即可解答．本题考查了分式方程的解，解决本题的关键是解分式方程．8.【答案】D【解析】解：∵反比例函数y=的图象经过点（3，1），∴y=，把点一一代入，发现只有（-1，-3）符合．故选：D．由反比例函数y=的图象经过点（3，1），可求反比例函数解析式，把点代入解析式即可求解．本题运用了待定系数法求反比例函数解析式的知识点，然后判断点是否在反比例函数的图象上．9.【答案】C【解析】解：，解①得x＞-1，解②得x＜5，所以不等式组的解集为-1＜x＜5．故选：C．分别解两个不等式得到x＞-1和x＜5，然后根据大于小的小于大的取中间确定不等式组的解集．本题考查了解一元一次不等式组：分别求出不等式组各不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，大于大的小于小的无解”确定不等式组的解集．10.【答案】A【解析】解：∵DM垂直平分AB，∴DA=DB，∴△DBC的周长=DC+DB+BC=DC+DA+BC=AC+BC=8+5=13．故选：A．根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，然后利用等线段代换得到△DBC的周长=AC+BC．本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．11.【答案】A【解析】解：由射影定理得，AD2=BD•CD=6×2=12，解得，AD=2，故选：A．根据射影定理计算即可．本题考查的是射影定理，直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．12.【答案】B【解析】解：方法1：∵△ABC的三条中线AD、BE，CF交于点G，∴S△CGE=S△AGE=S△ACF，S△BGF=S△BGD=S△BCF，∵S△ACF=S△BCF=S△ABC=×12=6，∴S△CGE=S△ACF=×6=2，S△BGF=S△BCF=×6=2，∴S阴影=S△CGE+S△BGF=4．设△AFG，△BFG，△BDG，△CDG，△CEG，△AEG的面积分别为S1，S2，S3，S4，S5，S6，根据中线平分三角形面积可得：S1=S2，S3=S4，S5=S6，S1+S2+S3=S4+S5+S6①，S2+S3+S4=S1+S5+S6②，由①-②可得S1=S4，所以S1=S2=S3=S4=S5=S6=2，故阴影部分的面积为4．故选：B．根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，知△ABC的面积即为阴影部分的面积的3倍．考查了三角形的重心，三角形的面积，根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，该图中，△BGF的面积=△BGD的面积=△CGD的面积，△AGF的面积=△AGE的面积=△CGE的面积．13.【答案】3（x+y）（x-y）【解析】解：3x2-3y2=3（x2-y2）=3（x+y）（x-y）．故答案为：3（x+y）（x-y）．先提取公因式3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．14.【答案】解：由题意可得，树状图如下图所示，她们两人摸到的球颜色不相同的概率是：，故答案为：．根据题意可以画出相应的树状图，从而可以求得相应的概率，本题得以解决．本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．15.【答案】65【解析】解：∵∠ACD=25°，∴∠ABD=∠ACD=25°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，则∠DAB=90°-∠ABD=65°，故答案为：65．由圆周角定理得出∠ABD=∠ACD=25°，再根据AB为⊙O的直径知∠ADB=90°，由∠DAB=90°-∠ABD可得答案．本题考查了圆周角定理，解答本题的关键是掌握圆周角定理中在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．16.【答案】+1【解析】解：如图，连接AM，由题意得：CA=CM，∠ACM=60°，∴△ACM为等边三角形，∴AM=CM，∠MAC=∠MCA=∠AMC=60°；∵∠ABC=90°，AB=BC=，∴AC=2=CM=2，∵AB=BC，CM=AM，∴BM垂直平分AC，∴BO=AC=1，OM=CM•sin60°=，∴BM=BO+OM=1+，故答案为：1+．如图，连接AM，由题意得：CA=CM，∠ACM=60°，得到△ACM为等边三角形根据AB=BC，CM=AM，得出BM垂直平分AC，于是求出BO=AC=1，OM=CM•sin60°=，最终得到答案BM=BO+OM=1+．本题考查了图形的变换-旋转，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，准确把握旋转的性质是解题的关键．17.【答案】解：（1）4×（-）+|-|-+=-2+-2+2=-；（2）（a+2b）2-a（a+b）=a2+4ab+4b2-a2-ab=3a+4b2．【解析】（1）先算负整数指数幂，二次根式的化简，绝对值，再算加减法即可求解；（2）先算完全平方公式、单项式乘多项式，再去括号、合并同类项即可求解．考查了负整数指数幂，二次根式，绝对值，完全平方公式，单项式乘多项式，合并同类项，关键是熟练掌握计算法则正确进行计算．18.【答案】解：设铅笔卖出x支，圆珠笔卖出y支，依题意，得：，解得：．答：铅笔卖出25支，圆珠笔卖出35支．【解析】设铅笔卖出x支，圆珠笔卖出y支，根据两种笔共卖出60支且卖得金额87元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．19.【答案】60 0.15 80≤x＜90【解析】解：（1）样本容量是：10÷0.05=200，a=200×0.30=60，b=30÷200=0.15；（2）补全频数分布直方图，如下：（3）一共有200个数据，按照从小到大的顺序排列后，第100个与第101个数据都落在第四个分数段，所以这次比赛成绩的中位数会落在80≤x＜90分数段；（4）3000×0.40=1200（人）．即该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等的大约有1200人．故答案为60，0.15；80≤x＜90；1200．（1）根据第一组的频数是10，频率是0.05，求得数据总数，再用数据总数乘以第四组频率可得a的值，用第三组频数除以数据总数可得b的值；（2）根据（1）的计算结果即可补全频数分布直方图；（3）根据中位数的定义，将这组数据按照从小到大的顺序排列后，处于中间位置的数据（或中间两数据的平均数）即为中位数；（4）利用总数3000乘以“优”等学生的所占的频率即可．本题考查读频数（率）分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．也考查了中位数和利用样本估计总体．20.【答案】45 60【解析】解：（1）由题意得：∠BAC=∠EAC=45°，∠DBN=90°-30°=60°；故答案为：45，60；（2）如图，作BH⊥EF于H，CK⊥MN于K，垂足分别为H、K，则四边形BHCK是矩形，AE=HB，设CK=HB=x，∵∠CKA=90°，∠CAK=45°，∴∠CAK=∠ACK=45°，∴AK=CK=x，BK=HC=AK-AB=x-30，∴HD=x-30+10=x-20，在Rt△BHD中，∵∠BHD=90°，∠HBD=30°，∴tan30°=，∴=，解得x=30+10≈47.3，∴AE=HB≈47.3米；答：河的宽度AE约为47.3米．（1）由题意即可得出结果；（2）作BH⊥EF，CK⊥MN，垂足分别为H、K，则四边形BHCK是矩形，设CK=HB=x，根据tan30°=列出方程，即可解决问题．本题考查解直角三角形的应用、方向角、三角函数等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，学会利用三角函数的定义，列出方程解决问题，属于中考常考题型．21.【答案】（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BA=BC，∠ABC=∠BCD=90°，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴AE=BF；②解：AE⊥BF，理由如下：∵△ABE≌△BCF，∴∠BAE=∠CBF，∵∠ABE=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°，∴∠CBF+∠AEB=90°，即AE⊥BF；（2）解：∵BC=AB=3，EC=2BE，∴EC=2，BE=1，∴C′F=CF=1，由折叠的性质可知，∠C′BF=∠CBF，∠BC′F=∠BCF=90°，∵∠C′FB+∠C′BF=90°，∠HBF+∠FBC=90°，∴∠C′FB=∠HBF，∴HB=HF，∴HC′=HF-C′F=HB-C′F=3+AH-1=2+AH，在Rt△HBC′中，HB2=C′B2+C′H2，即（3+AH）2=32+（2+AH）2，解得，AH=2，∴BH=AH+AB=5．【解析】（1）①根据正方形的性质得到BA=BC，∠ABC=∠BCD=90°，利用SAS定理证明△ABE≌△BCF，根据全等三角形的性质证明结论；②根据全等三角形的性质得到∠BAE=∠CBF，根据垂直的定义证明；（2）根据折叠的性质得到∠C′BF=∠CBF，∠BC′F=∠BCF=90°，证明HB=HF，根据勾股定理列式计算即可．本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、折叠的性质、勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质定理是解题的关键．22.【答案】解：（1）把点A、C坐标代入抛物线表达式得：，解得：，抛物线的表达式为：y=x2+2x-3，顶点D的坐标为（-1，-4）；（2）y=x2+2x-3，令y=0，则x=1或-3，故点B（-3，0），而C、D的坐标分别为：（0，-3）、（-1，-4），则BD=，CD=，BC=，故：BD2=CD2+BC2，故△BCD为直角三角形；（3）存在，理由：①当OC是平行四边形的一条边时，设：点P（m，m2+2m-3），点Q（m，m），则PQ=OC=3，PQ=|m2+2m-3-m|=3，解得：m=-1或2或0或-3（舍去0、-3），故m=-1或2；②当CO是平行四边形的对角线时，设点P（m，m2+2m-3），点Q（n，n），由中线定理得：，解得：m=0或-1（舍去0）；故m=-1或2，则点P（-1，4）或（2，5）．【解析】（1）把点A、C坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）BD=，CD=，BC=，即可求解；（3）分OC是平行四边形的一条边、CO是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、勾股定理运用等，其中（3），要主要分类求解，避免遗漏．中考一模数学试卷及答案一.选择题1.气温由﹣2℃上升了3℃时的气温是（）A．﹣1℃B．1℃C．5℃D．﹣5℃【考点】19：有理数的加法．【专题】511：实数；66：运算能力．【分析】根据题意列出算式，计算即可求出值．【解答】解：根据题意得：﹣2+3＝1，则气温由﹣2℃上升了3℃时的气温是1℃，故选：B．2.若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（）A．x＞﹣1 B．x＝﹣1 C．x≠0 D．x≠﹣1 【考点】62：分式有意义的条件．【专题】513：分式．【分析】先根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．【解答】解：由题意得x+1≠0，解得x≠﹣1，故选：D．3.下列运算计算正确的是（）A．2x•x2＝2x2B．6x6÷2x2＝3x3C．3x2﹣2x2＝x2D．2x+3x＝5x2【考点】4I：整式的混合运算．【专题】512：整式；66：运算能力．【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、原式＝2x3，不符合题意；B、原式＝3x4，不符合题意；C、原式＝x2，符合题意；D、原式＝5x，不符合题意，故选：C．4.下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果，这么球员投篮一次，投中的概率约是（）10 50 100 150 200 250 300 500投篮次数4 35 60 78 104 123 152 251投中次数0.40 0.70 0.60 0.52 0.52 0.49 0.51 0.50投中频率A．0.7 B．0.6 C．0.5 D．0.4【考点】X8：利用频率估计概率．【专题】54：统计与概率．【分析】计算出所有投篮的次数，再计算出总的命中数，继而可估计出这名球员投篮一次，投中的概率．【解答】解：根据频率估计概率的规律，当实验次数越来越大时，频率接近概率，故这名球员投篮一次，投中的概率约为：0.5．故选：C．5.计算（a﹣2）2的结果是（）A．a2﹣4 B．a2﹣2a+4 C．a2﹣4a+4 D．a2+4【考点】4C：完全平方公式．【分析】利用完全平方公式判断即可．【解答】解：（a﹣2）2＝a2﹣4a+4．故选：C．6.以原点为中心，把点A（1，2）顺时针旋转90°得到的点B的坐标是（）A．（﹣2，1）B．（1，﹣2）C．（2，﹣1）D．（﹣1，2）【考点】R7：坐标与图形变化﹣旋转．【专题】531：平面直角坐标系；64：几何直观．【分析】根据点A的坐标为（1，2），然后根据旋转变换只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，可得OD＝AC＝2，BD＝OC＝1，据此求出点B的坐标即可．【解答】解：如图，过点A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥x轴于点D，∵点A（1，2），∴AC＝2，OC＝1，∵点A（1，2）绕着原点顺时针旋转90°得到点B，∴OD＝AC＝2，BD＝OC＝1，∴点B的坐标是（2，﹣1）．故选：C．7.下列哪个几何体，它的主视图、左视图、俯视图都相同（）A．B．C．D．【考点】U1：简单几何体的三视图．【分析】根据几何体的三视图，可得答案．【解答】解：A主视图、左视图都是矩形，俯视图是三角形，故A不符合题意；B、主视图、左视图、俯视图都是圆，故B符合题意；C、主视图、左视图是三角形，俯视图是圆，故C不符合题意；D、主视图俯视图都是矩形，左视图是正方形，故D不符合题意；故选：B．8.某车间20名工人日加工零件数如表所示：这些工人日加工零件数的众数、中位数分别是（）日加工零件数 4 5 6 7 8人数 2 x 5 6 4 A．7、5.5 B．6、5 C．7、6 D．7、6.5【考点】W4：中位数；W5：众数．【专题】541：数据的收集与整理；542：统计的应用；65：数据分析观念；69：应用意识．【分析】根据样本容量可求出x的值，根据众数的意义，求出加工零件的件数出现次数最多的数即为众数，从小到大排列后，计算第10、11位的两个数的平均数即为中位数，计算后作出选择即可．【解答】解：x＝20﹣2﹣5﹣6﹣4＝3工人日加工零件数出现最多是7件，因此，众数是7件；处在第10、11位的两个数的平均数为：（6+7）÷2＝6.5件，因此中位数是6.5件，故选：D．9.如图，在正方形ABCD所在的平面内找一点P，使其与正方形中的每一边所构成的三角形均是等腰三角形，这样的点共有（）A．9个B．8个C．7个D．5个【考点】KI：等腰三角形的判定；LE：正方形的性质．【专题】556：矩形菱形正方形；64：几何直观．【分析】先画出图形，点P1符合P1D＝DC＝P1A＝AB，P1B＝P1C，同理得出P2、P3、P4点；点P5符合P5A＝P5D＝DC＝AB，P5B＝P5C，同理可求出P6，P7，P8点，连接AC和BD的交点也符合．【解答】解：P点有9处，如图，以正方形的各边为边向正方形的内或外作等边三角形，则这些等边三角形的顶点为所作的P点，还有正方形的对角线的交点也满足条件．故选：A．10.如图，在△ABC中，AB＝12，AC＝9，点D是BC边上的一点，AD＝BD＝2DC．设△ABD与△ACD的内切圆半径分别为r1、r2，则r1：r2的值为（）A．2 B．C．D．【考点】MI：三角形的内切圆与内心．【专题】55C：与圆有关的计算；66：运算能力；67：推理能力．【分析】根据切线长定理可得AE＝AG，BE＝BF，DG＝DF，根据已知条件可得AE＝AG＝BE ＝BF＝6，再根据三角形的面积即可求解．【解答】解：如图，设⊙O与△ABD内切于E、F、G．∵DA＝DB，DG＝DF，∴BF＝AG＝BE＝AE，∵AB＝12，∴AE＝BE＝BF＝AG＝6，设DF＝DG＝m，∵AD＝2DC，∴CD＝（m+6），∵S△ABD：S△ADC＝BD：DC＝2：1，∴（24+2m）•r1 ：（18+m）•r2＝2：1，∴r1：r2＝3：2故选：B．二.填空题11.计算2﹣（+）的结果是﹣．【考点】78：二次根式的加减法．【专题】514：二次根式；62：符号意识．【分析】直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．【解答】解：原式＝2﹣﹣＝﹣．故答案为：﹣．12.计算+的结果是﹣x﹣1 ．【考点】6B：分式的加减法．【专题】513：分式；66：运算能力．【分析】首先通分，然后根据同分母分式加减法法则计算即可．【解答】解：+＝﹣＝＝﹣x﹣1故答案为：﹣x﹣1．13.一个口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3、4，随机地摸出一个小球，然后放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球标号的和等于4的概率是．【考点】X6：列表法与树状图法．【专题】11：计算题．【分析】先画树状图展示所有16种等可能的结果数，其中两次摸出的小球标号的和等于4的占3种，然后根据概率的概念计算即可．【解答】解：如图，随机地摸出一个小球，然后放回，再随机地摸出一个小球，共有16种等可能的结果数，其中两次摸出的小球标号的和等于4的占3种，所有两次摸出的小球标号的和等于4的概率＝．故答案为：．14.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于点E．若AB＝AC，且BC＝BE＝EA，则∠ADB的度数为36°．【考点】JA：平行线的性质；KH：等腰三角形的性质．【专题】554：等腰三角形与直角三角形；67：推理能力．【分析】根据等腰三角形的性质求得∠EBC的度数，然后利用平行线的性质求得∠ADB 的度数即可．【解答】解：设∠BAC＝x°，∵AE＝BE，∴∠ABE＝∠BAE＝x°，∴∠BEC＝2∠BAE＝2x°，∵BE＝BC，∴∠ACB＝∠BEC＝2x°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝2x°，∴x+2x+2x＝180，解得：x＝36，∴∠ABC＝2x＝72°，∴∠EBC＝36°，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠EBC＝36°，故答案为：36°．15.以x为自变量的二次函数y＝x2﹣2（b﹣2）x+b2﹣1的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是b≥．【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．【专题】535：二次函数图象及其性质；66：运算能力．【分析】当△≤0，抛物线在x轴下方无点，此时满足题意；当△＞0时，必须同时满足当x＝0时，y＞0，对称轴x＝b﹣2＞0，才能满足题意，此时b无解．【解答】解：当△≤0，4（b﹣2）2﹣4（b2﹣1）≤0，∴b≥，此时抛物线在x轴下方无点，∴当b≥时，图象不经过第三象限；当△＞0时，4（b﹣2）2﹣4（b2﹣1）＞0，∴b＜，当x＝0时，y＞0，∴b2﹣1＞0，∴b＞1或b＜﹣1，对称轴x＝b﹣2＞0，∴b＞2，∴此时b无解；故答案为b≥．16.如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，AD＝9cm，动点M从点C出发，在CB边上以每秒1cm的速度向点B匀速运动，同时动点N从点C出发，在CD边上以每秒1cm的速度向点D 匀速运动．设运动时间为t秒（0＜t＜8），若∠MAN＝45°，则t的值为 5 ．【考点】LB：矩形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．【专题】556：矩形菱形正方形；55D：图形的相似；69：应用意识．【分析】作GN⊥AN交AM的延长线于点G，过点G作GF⊥DC，GE⊥BC，则△ADN≌△NFG，推出GF＝DN＝EC＝8﹣t，EG＝CF＝9﹣t，ME＝2t﹣8，证明△MEG∽△MBA，利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题．【解答】解：作GN⊥AN交AM的延长线于点G，过点G作GF⊥DC，GE⊥BC，则△ADN≌△NFG，∴GF＝DN＝EC＝8﹣t，EG＝CF＝9﹣t，∴ME＝2t﹣8，∵△MEG∽△MBA，∴，∴，∴t＝5．故答案为5．三.解答题17.解方程组．【考点】98：解二元一次方程组．【分析】两个方程组利用加减消元法即可求出x和y的值．【解答】解：，②﹣①得3x＝﹣9，解得x＝﹣3，把x＝﹣3代入x+y＝1中，求出y＝4，即方程组的解为．18.如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB＝DF，∠B＝∠F，BE＝FC，求证：AC∥ED．【考点】KD：全等三角形的判定与性质．【专题】553：图形的全等；67：推理能力．【分析】由“SAS”可证△ABC≌△DFE，可得∠ACB＝∠DEF，可证AC∥DE．【解答】证明：∵BE＝CF，∴BC＝EF，且∠B＝∠F，AB＝DF，∴△ABC≌△DFE（SAS），∴∠ACB＝∠DEF，∴AC∥DE．19.秋季新学期开学时，某校对七年级新生掌握“中学生日常规范”的情况进行了知识测试，测试成绩全部合格．现学校随机选取了部分学生的成绩，整理并制作成如下的图表（注：A组成绩为60≤x＜70，B组成绩70≤x＜80，C组成绩为80≤x＜90，D组成绩为90≤x ≤100）．请根据上述统计图表，解答下列问题：（1）本次调查共抽查了90 名学生，在扇形统计图中，成绩为“90≤x≤100”所在扇形的圆心角是72 度．（2）如果测试成绩不低于80分为“优秀”等次，请估计全校七年级的800名学生中“优秀”等次的学生约有多少人？（3）请估计选取的七年级学生测试成绩的平均成绩．【考点】V2：全面调查与抽样调查；V5：用样本估计总体；V8：频数（率）分布直方图；VB：扇形统计图；W2：加权平均数．【专题】542：统计的应用；69：应用意识．【分析】（1）根据表格中的数据可以求得抽查的学生数，从而求得成绩为“90≤x≤100”所在扇形的圆心角；（2）根据表格中的数据可以求得“优秀”等次的学生数；（3）根据平均数的定义和表格中的数据可以求得七年级学生的平均成绩．【解答】解：（1）抽查的学生数：36÷0.4＝90，成绩为“90≤x≤100”所在扇形的圆心角是360°×＝72°，故答案为：90，72；（2）800×＝800×0.5＝400，即“优秀”等次的学生约有400人；（3）＝81，即七年级学生的平均成绩是81分．20.某学校要印刷一批艺术节的宣传资料，在需要支付制版费60元和每份资料0.3元印刷费的前提下，甲、乙两个印刷厂分别对学生提出了不同的优惠方案：甲印刷厂提出：需支付制版费，长期客户活动免付版费，所有资料的印刷费按9折收费；乙印刷厂提出：所有资料的印刷费按8折收费．（1）在没有任何优惠方案的情况下，求该学生付费300元可印刷资料多少份？（2）在有优惠方案的情况下，应该选择哪家印刷厂比较优惠？【考点】32：列代数式．【专题】512：整式；66：运算能力．【分析】（1）根据可印刷资料的份数＝（印刷费﹣制版费）÷印制每份资料的印刷费，即可求出结论；（2）设该单位需要印刷资料x份，根据甲、乙两家印刷厂的优惠政策，可用含x的代数式表示出需支付的印刷费，比较后即可得出结论．【解答】解：（1）（300﹣60）÷0.3＝800（张）．答：在没有任何优惠方案的情况下，求该学生付费300元可印刷资料800份．（2）设该单位需要印刷资料x份，选择甲印刷厂需支付费用为60+0.3×0.9x＝（0.27x+60）元，选择乙印刷厂需支付费用为0.3×0.8x＝0.24x元．∵0.24＜0.27，∴无论x为何值，选择乙印刷厂比较优惠．答：选择乙印刷厂比较优惠．21.已知△ABC的外角∠EAC的平分线AD交其外接圆⊙O于点D，连接DB，DC．（1）如图1，求证BD＝CD；（2）如图2，若AC是⊙O的直径，sin∠BDC＝，求tan∠DBA的值．【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KF：角平分线的性质；M5：圆周角定理；MA：三角形的外接圆与外心；T7：解直角三角形．【专题】559：圆的有关概念及性质．【分析】（1）根据圆周角定理可证∠DAC＝∠DBC，根据圆内接四边形的性质可证∠EAD＝∠DCB，又已知∠EAD＝∠DAC，即∠DCB＝∠DBC得证，进而证明即可；（2）如图2，连接DO并延长交BC于F，连接OB，根据圆周角定理得到∠ABC＝90°，求得sin∠BAC＝＝，设BC＝3a，AC＝5a，则AB＝4a，推出OD是BC的垂直平分线，得到BF＝CF＝a，根据三角形中位线定理得到OF＝AB＝2a，求得DF＝DO+OF＝a+2a ＝a，根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】（1）证明：∵AD是∠EAC的平分线，∴∠EAD＝∠DAC，∵∠EAD是圆内接四边形ABCD的外角，∴∠EAD＝∠DCB（圆内接四边形外角等于内对角），又∵∠DAC＝∠DBC，∴∠DCB＝∠DBC，∴DB＝DC；（2）如图2，连接DO并延长交BC于F，连接OB，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵∠BDC＝∠BAC，sin∠BDC＝，∴sin∠BAC＝＝，设BC＝3a，AC＝5a，则AB＝4a，∵OB＝OC，BD＝CD，∴OD是BC的垂直平分线，∴BF＝CF＝a，∵AO＝CO，∴OF是△ABC的垂直平分线，∴BF＝CF＝a，∵AO＝CO，∴OF是△ABC的中位线，∴OF＝AB＝2a，∴DF＝DO+OF＝a+2a＝a，∵∠DBA＝∠ACD，OD＝OC，∴∠ACD＝∠FDC，∴∠DBA＝∠FDC，∴tan∠DBA＝tan∠FDC＝＝＝．22.如图，已知：A（0，2）、B（4，0）（1）①画出线段AB关于x轴对称的线段A1B，并写出直线A1B的解析式；②若反比例函数y＝（k＜0）的图象与直线A1B有两个不同的公共点M、N，作ME⊥x轴于E，NF⊥x轴于F，求k的取值范围及ME+NF的值；（2）将线段AB绕点P旋转180°得到线段CD（点C与点A对应），且点C、D在反比例函数y＝的图象上，直接写出所有符合条件的点C所在图象的函数解析式．【考点】GB：反比例函数综合题．【专题】151：代数综合题；67：推理能力．【分析】（1）①∵线段AB关于x轴对称的线段A1B，得到A1（0．﹣2），设A1B的解析式为：y＝kx+b，解方程组即可得到结论；。
第一套：满分150分2020-2021年长沙市第一中学初升高自主招生数学模拟卷一．选择题（共8小题，满分48分）1．（6分）如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM=（）A．3：2：1 B．5：3：1C．25：12：5 D．51：24：102.（6分）若关于x的一元二次方程（x－2）（x－3）=m有实数根x1,x2，且x1≠x2，有下列结论：①x1=2，x2=3；②1> ；m4③二次函数y=（x－x1）（x－x2）＋m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．其中，正确结论的个数是【】A.0B.1C.2D.33.（6分）已知长方形的面积为20cm2，设该长方形一边长为ycm，另一边的长为xcm，则y与x之间的函数图象大致是（）A. B. C. D.4.（6分）如图，在平面直角坐标系中，⊙O 的半径为1，则直线y x 2=-与⊙O 的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上三种情况都有可能 5．（6分）若一直角三角形的斜边长为c ，内切圆半径是r ，则内切圆的面积与三角形面积之比是（ ）A ．B ．C ．D ．6．（6分）如图，Rt △ABC 中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，D 1是斜边AB 的中点，过D 1作D 1E 1⊥AC 于E 1，连结BE 1交CD 1于D 2；过D 2作D 2E 2⊥AC 于E 2，连结BE 2交CD 1于D 3；过D 3作D 3E 3⊥AC 于E 3，…，如此继续，可以依次得到点E 4、E 5、…、E 2013，分别记△BCE 1、△BCE 2、△BCE 3、…、△BCE 2013的面积为S 1、S 2、S 3、…、S 2013．则S 2013的大小为（ ） A.31003 B.320136 C.310073 D.67147．（6分）抛物线y=ax 2与直线x=1，x=2，y=1，y=2围成的正方形有公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．≤a ≤1B ．≤a ≤2C ．≤a ≤1D ．≤a ≤28．（6分）如图，矩形ABCD 的面积为5，它的两条对角线交于点O 1，以AB ，AO 1为两邻边作平行四边形ABC 1O 1，平行四边形ABC 1O 1的对角线交BD 于点02，同样以AB ，AO 2为两邻边作平行四边形ABC 2O 2．…，依此类推，则平行四边形ABC 2009O 2009的面积为（ ）A.n 25 B.n 22 C.n 31 D.n 23二．填空题：（每题7分，满分42分）9．（7分）方程组的解是 ．10．（7分）若对任意实数x 不等式ax ＞b 都成立，那么a ，b 的取值范围为 ．11．（7分）如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A 是底面圆周上一点，从A 点出发绕侧面一周，再回到A 点的最短的路线长是 ．12．（7分）有一张矩形纸片ABCD ，AD=9，AB=12，将纸片折叠使A 、C 两点重合，那么折痕长是 ．13．（7分）设﹣1≤x ≤2，则|x ﹣2|﹣|x|+|x+2|的最大值与最小值之差为 ．14．（7分）两个反比例函数y=，y=在第一象限内的图象如图所示．点P 1，P 2，P 3、…、P 2007在反比例函数y=上，它们的横坐标分别为x 1、x 2、x 3、…、x 2007，纵坐标分别是1，3，5…共2007个连续奇数，过P 1，P 2，P 3、…、P 2007分别作y 轴的平行线，与y=的图象交点依次为Q 1（x 1′，y 1′）、Q 1（x 2′，y 2′）、…、Q 2（x 2007′，y 2007′），则|P 2007Q 2007|= ．三．解答题：（每天12分，满分60分）15.(12分).已知正实数,,x y z 满足：1xy yz zx ++≠ ,且222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++= .(1) 求111xy yz zx++的值. (2) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.16．（12分）如图，ABC △是等腰直角三角形，CA CB =，点N 在线段AB 上（与A 、B 不重合），点M 在射线BA 上，且45NCM ∠=︒。
2024届湖南省长沙市一中学教育集团重点中学中考数学模拟预测题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．某商品的标价为200元，8折销售仍赚40元，则商品进价为（ ）元． A ．140 B ．120 C ．160D ．1002．一次函数满足，且随的增大而减小，则此函数的图象不经过（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形共有( )个〇．A ．6055B ．6056C ．6057D ．60584．袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出三个球．下列事件是必然事件的是（ ） A ．摸出的三个球中至少有一个球是黑球 B ．摸出的三个球中至少有一个球是白球 C ．摸出的三个球中至少有两个球是黑球 D ．摸出的三个球中至少有两个球是白球5．如图，AB//CD ，130∠=，则2∠的大小是( )A ．30B ．120C ．130D ．1506．下列计算正确的是（ ） A ．a 2+a 2=a 4B ．a 5•a 2=a 7C ．（a 2）3=a 5D ．2a 2﹣a 2=27．已知关于x 的方程()2kx 1k x 10+--=，下列说法正确的是A ．当k 0=时，方程无解B ．当k 1=时，方程有一个实数解C ．当k 1=-时，方程有两个相等的实数解D ．当k 0≠时，方程总有两个不相等的实数解 8．下列各式计算正确的是（ ） A ．（b+2a ）（2a ﹣b ）=b 2﹣4a 2 B ．2a 3+a 3=3a 6 C ．a 3•a=a 4D ．（﹣a 2b ）3=a 6b 39．直线y=3x+1不经过的象限是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．某圆锥的主视图是一个边长为3cm 的等边三角形，那么这个圆锥的侧面积是（ ） A ．4.5πcm 2B ．3cm 2C ．4πcm 2D ．3πcm 2二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．关于x 的一元二次方程x 2﹣2x+m ﹣1＝0有两个实数根，则m 的取值范围是_____． 12．当x ________ 时，分式xx 3- 有意义． 13．高速公路某收费站出城方向有编号为,,,,A B C D E 的五个小客车收费出口，假定各收费出口每20分钟通过小客车的数量分别都是不变的.同时开放其中的某两个收费出口，这两个出口20分钟一共通过的小客车数量记录如下： 收费出口编号 ,A B,B C,C D,D E,E A通过小客车数量（辆）260330300360240在,,,,A B C D E 五个收费出口中，每20分钟通过小客车数量最多的一个出口的编号是___________. 14．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的面积为12，点B 在y 轴上，点C 在反比例函数y =kx的图象上，则k 的值为________.15．如图，从直径为4cm 的圆形纸片中，剪出一个圆心角为90°的扇形OAB ，且点O 、A 、B 在圆周上，把它围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是_____cm ．16．甲乙两地9月上旬的日平均气温如图所示，则甲乙两地这10天日平均气温方差大小关系为2s甲________2s乙．（填“>”或“<”）三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）为了解某中学学生课余生活情况，对喜爱看课外书、体育活动、看电视、社会实践四个方面的人数进行调查统计．现从该校随机抽取n名学生作为样本，采用问卷调查的方法收集数据（参与问卷调查的每名学生只能选择其中一项）．并根据调查得到的数据绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图．由图中提供的信息，解答下列问题：求n 的值；若该校学生共有1200人，试估计该校喜爱看电视的学生人数；若调查到喜爱体育活动的4名学生中有3名男生和1名女生，现从这4名学生中任意抽取2名学生，求恰好抽到2名男生的概率．18．（8分）为了贯彻“减负增效”精神，掌握九年级600名学生每天的自主学习情况，某校学生会随机抽查了九年级的部分学生，并调查他们每天自主学习的时间．根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图（图1，图2），请根据统计图中的信息回答下列问题：（1）本次调查的学生人数是人；（2）图2中α是度，并将图1条形统计图补充完整；（3）请估算该校九年级学生自主学习时间不少于1.5小时有人；（4）老师想从学习效果较好的4位同学（分别记为A、B、C、D，其中A为小亮）随机选择两位进行学习经验交流，用列表法或树状图的方法求出选中小亮A的概率．19．（8分）如图①，在正方形ABCD 的外侧，作两个等边三角形ABE 和ADF ，连结ED 与FC 交于点M ，则图中ADE ≌DFC △，可知ED FC =，求得DMC ∠=______．如图②，在矩形()ABCD AB BC >的外侧，作两个等边三角形ABE 和ADF ，连结ED 与FC 交于点M ．()1求证：ED FC =． ()2若20ADE ∠=，求DMC ∠的度数．20．（8分）如图，AB 为⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，且点C 是BD 的中点，过点 C 作AD 的垂线 EF 交直线 AD 于点 E ．（1）求证：EF 是⊙O 的切线；（2）连接BC ，若AB=5，BC=3，求线段AE 的长．21．（8分）某同学报名参加学校秋季运动会，有以下 5 个项目可供选择：径赛项目：100m 、200m 、1000m （分别用 A 1、A 2、A 3 表示）；田赛项目：跳远，跳高（分别用 T 1、T 2 表示）．该同学从 5 个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率 P 为 ；该同学从 5 个项目中任选两个，求恰好是一个径赛项目和一个田赛项目的概率 P 1，利用列表法或树状图加以说明；该同学从 5 个项目中任选两个，则两个项目都是径赛项目的概率 P 2 为 ． 22．（10分）计算：|3﹣1|+（﹣1）2018﹣tan60° 23．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数my x=（0x <）的图象经过点(4,)A n -，AB ⊥x 轴于点B ，点C 与点A 关于原点O 对称， CD ⊥x 轴于点D ，△ABD 的面积为8.（1）求m ，n 的值；（2）若直线y kx b =+（k ≠0）经过点C ，且与x 轴，y 轴的交点分别为点E ，F ，当2CF CE =时，求点F 的坐标．24．某区教育局为了解今年九年级学生体育测试情况，随机抽查了某班学生的体育测试成绩为样本，按A 、B 、C 、D 四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如下的统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：说明：A 级：90分～100分；B 级：75分～89分；C 级：60分～74分；D 级：60分以下 （1）样本中D 级的学生人数占全班学生人数的百分比是 ； （2）扇形统计图中A 级所在的扇形的圆心角度数是 ； （3）请把条形统计图补充完整；（4）若该校九年级有500名学生，请你用此样本估计体育测试中A 级和B 级的学生人数之和.参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1、B【解题分析】设商品进价为x元，则售价为每件0.8×200元，由利润=售价-进价建立方程求出其解即可．【题目详解】解：设商品的进价为x元，售价为每件0.8×200元，由题意得0.8×200=x+40解得：x=120答：商品进价为120元．故选：B．【题目点拨】此题考查一元一次方程的实际运用，掌握销售问题的数量关系利润=售价-进价，建立方程是关键．2、A【解题分析】试题分析：根据y随x的增大而减小得：k＜0，又kb＞0，则b＜0，故此函数的图象经过第二、三、四象限，即不经过第一象限．故选A．考点：一次函数图象与系数的关系．3、D【解题分析】设第n个图形有a n个O(n为正整数),观察图形,根据各图形中O的个数的变化可找出"a n=1+3n(n为正整数)",再代入a=2019即可得出结论【题目详解】设第n个图形有a n个〇(n为正整数)，观察图形，可知：a1＝1+3×1，a2＝1+3×2，a3＝1+3×3，a4＝1+3×4，…，∴a n＝1+3n(n为正整数)，∴a2019＝1+3×2019＝1．故选：D．【题目点拨】此题考查规律型：图形的变化，解题关键在于找到规律 4、A 【解题分析】根据必然事件的概念：在一定条件下，必然发生的事件叫做必然事件分析判断即可. 【题目详解】 A 、是必然事件；B 、是随机事件，选项错误；C 、是随机事件，选项错误；D 、是随机事件，选项错误． 故选A ． 5、D 【解题分析】依据AB//CD ，即可得到1CEF 30∠∠==，再根据2CEF 180∠∠+=，即可得到218030150∠=-=． 【题目详解】解：如图，AB//CD ，1CEF 30∠∠∴==，又2CEF 180∠∠+=，218030150∠∴=-=，故选：D ． 【题目点拨】本题主要考查了平行线的性质，两直线平行，同位角相等． 6、B 【解题分析】根据整式的加减乘除乘方运算法则逐一运算即可。
湖南省长沙市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10题，30分）1．（3分）下列各组数中，互为相反数的是（）A．﹣2与2 B．2与2 C．3与 D． 3与|﹣3|分析：利用绝对值的性质，以及只有符号不同的两个数叫做互为相反数对各选项分析判断后利用排除法求解．解答：解：A、﹣2与2，互为相反数，故本选项正确；B、2与2，不是互为相反数，故本选项错误；C、3与不是互为相反数，故本选项错误；D、3与|﹣3|，不是互为相反数，故本选项错误．故选：A．点评：本题考查了相反数的定义，绝对值的性质，是基础题，熟记概念是解题的关键．2．（3分）下列事件属于必然事件的是（）A．明天一定下雨B．购买1张彩票，中奖C．一个袋中装有5个红球，从中摸出一个是红球D．随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数考点：随机事件．分析：根据必然事件的概念（必然事件指在一定条件下一定发生的事件）可判断正确答案．解答：解：A、明天一定下雨说法错误，因为明天下不下雨，属于可能性中的不确定事件，在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件，故此选项错误；B、购买一张彩票可能中奖；是随机事件，故此选项错误；C、一个袋中装有5个红球，从中摸出一个是红球，是必然事件，故此选项正确；D、随意翻到一本书的某页，这页的页码既可以是偶数也可以是奇数，是随机事件，故此选项错误．故选：C．点评：此题主要考查了随机事件，必然事件、不可能事件的概念．用到的知识点为：确定事件包括必然事件和不可能事件．必然事件指在一定条件下一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．3．（3分）如图，与∠1是内错角的是（）A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5考点：同位角、内错角、同旁内角．分析：根据内错角的定义找出即可．解答：解：根据内错角的定义，∠1的内错角是∠3．故选B．点评：本题考查了“三线八角”问题，确定三线八角的关键是从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．4．（3分）下列运算正确的是（）A．=±2 B．2+=2C．a2•a3=a6 D．（a2）2=a4考点：幂的乘方与积的乘方；实数的运算；同底数幂的乘法．分析：分别进行二次根式的化简、同底数幂的乘法、幂的乘方等运算，然后选择正确答案．解答：解：A、=2，原式错误，故本选项错误；B、2和不是同类项，不等合并，故本选项错误；C、a2•a3=a5，原式计算错误，故本选项错误；D、（a2）2=a4，计算正确，故本选项正确．故选D．点评：本题考查了幂的乘方和积的乘方、二次根式的化简、同底数幂的乘法等运算，掌握运算法则是解答本题的关键．5．（3分）化简的结果是（）A．B．C．D． 2x+2考点：分式的乘除法．专题：计算题．分析：原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．解答：解：原式=•（x﹣1）=．故选C．点评：此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6．（3分）如图，直角三角形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是（）A．B．C．D．考点：点、线、面、体．分析：根据题意作出图形，即可进行判断．解答：解：将如图所示的直角三角形绕直线l旋转一周，可得到圆锥，故选：C．点评：此题考查了点、线、面、体，重在体现面动成体：考查学生立体图形的空间想象能力及分析问题，解决问题的能力．7．（3分）若一个多边形的内角和等于720°，则这个多边形的边数是（）A． 5 B． 6 C．7 D．8考点：多边形内角与外角．专题：压轴题．分析：利用多边形的内角和公式即可求解．解答：解：因为多边形的内角和公式为（n﹣2）•180°，所以（n﹣2）×180°=720°，解得n=6，所以这个多边形的边数是6．故选B．点评：本题考查了多边形的内角和公式及利用内角和公式列方程解决相关问题．内角和公式可能部分学生会忘记，但是这并不是重点，如果我们在学习这个知识的时候能真正理解，在考试时即使忘记了公式，推导一下这个公式也不会花多少时间，所以，学习数学，理解比记忆更重要．8．（3分）如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是（）A．AB=BC B．A C⊥BD C．∠ABC=90°D．∠1=∠2考点：矩形的判定；平行四边形的性质．分析：根据一个角是90度的平行四边形是矩形进行选择即可．解答：解：A、是邻边相等，可判定平行四边形ABCD是菱形；B、是对角线互相垂直，可判定平行四边形ABCD是菱形；C、是一内角等于90°，可判断平行四边形ABCD成为矩形；D、是对角线平分对角，可判定平行四边形ABCD是菱形．故选C．点评：本题主要应用的知识点为：矩形的判定．①对角线相等且相互平分的四边形为矩形．②一个角是90度的平行四边形是矩形．9．（3分）（Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，两等圆⊙A，⊙B外切，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为（）A．πB．πC．πD．π考点：扇形面积的计算；相切两圆的性质．专题：压轴题．分析：已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，则根据勾股定理可知AB=10，两个扇形的面积的圆心角之和为90度，利用扇形面积公式即可求解．解答：解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB==10，∴S阴影部分==．故选A．点评：本题主要考查勾股定理的使用及扇形面积公式的灵活运用．10．（3分）关于x的一元二次方程x2+（m﹣2）x+m+1=0有两个相等的实数根，则m的值是（）A．0 B．8 C．4±2D． 0或8考点：根的判别式．专题：计算题．分析：根据一元二次方程根的判别式的意义，由程x2+（m﹣2）x+m+1=0有两个相等的实数根，则有△=0，得到关于m的方程，解方程即可．解答：解：∵一元二次方程x2+（m﹣2）x+m+1=0有两个相等的实数根，∴△=0，即（m﹣2）2﹣4×1×（m+1）=0，整理，得m2﹣8m=0，解得m1=0，m2=8．故选D．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．二、填空题（共8题，24分）11．（3分）比较大小：＞（填“＞”“＜”“=”）．考点：实数大小比较．分析：因为分母相同所以比较分子的大小即可，可以估算的整数部分，然后根据整数部分即可解决问题．解答：解：∵﹣1＞1，∴＞．故填空结果为：＞．点评：此题主要考查了实数的大小的比较，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法、比较n次方的方法等．当分母相同时比较分子的大小即可．12．（3分）（如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，BC=4，则cosB=．考点：锐角三角函数的定义．分析：利用锐角三角函数的定义，余弦=，解答即可．解答：解：在Rt△ABC中，cosB=．故答案为：．点评：本题考查了要求锐角的三角函数值，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键．13．（3分）若等腰三角形中有一个内角等于70°，则这个等腰三角形的顶角为70或40度．考点：等腰三角形的性质．专题：分类讨论．分析：等腰三角形的一个内角是70°，则该角可能是底角，也可能是顶角，注意分类计算．解答：解：分两种情况：当70°的角是底角时，则顶角度数为40°；当70°的角是顶角时，则顶角为70°．故答案为：70或40．点评：考查了等腰三角形的性质，在解决此类问题的时候，要注意将问题的所有可能的情况找出，分别进行计算．14．（3分）在平面直角坐标系中，若点P（m+3，m﹣1）在第四象限，则m的取值范围为﹣3＜m＜1．考点：点的坐标．分析：点在第四象限的条件是：横坐标是正数，纵坐标是负数．解答：解：∵点P（m+3，m﹣1）在第四象限，∴可得，解得：﹣3＜m＜1．故填：﹣3＜m＜1．点评：本题主要考查了平面直角坐标系中第四象限的点的坐标的符号特点．15．（3分）若反比例函数y=的图象位于第一、三象限，则正整数k的值是1．考点：反比例函数的性质．分析：由反比例函数的性质列出不等式，解出k的范围，在这个范围写出k的整数解则可．解答：解：∵反比例函数的图象在一、三象限，∴2﹣k＞0，即k＜2．又∵k是正整数，∴k的值是：1．故答案为：1．点评：本题考查了反比例函数的性质：当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．16．（3分）（如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，OC⊥AB于C，则OC的长等于3．考点：垂径定理；勾股定理．分析：根据垂径定理可知AC的长，再根据勾股定理可将OC的长求出．解答：解：连接OA，∵AB=8，OC⊥AB，∴AC=AB=4，在Rt△OAC中，OC===3．点评：本题综合考查垂径定理和勾股定理的应用．17．（3分）“莫言荣获诺贝尔文学奖”后，全社会掀起了莫言热”．某校文学社在九年级五个班的学生中就“阅读过莫言作品的人数”进行调查，调查结果如下：班级九（1）九（2）九（3）九（4）九（5）阅读过莫言作品的人数38 40 35 45 42则这五个班的学生中阅读过莫言作品的人数的平均数为40．考点：算术平均数．分析：根据算术平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可．解答：解：这五个班的学生中阅读过莫言作品的人数的平均数为（38+40+35+45+42）÷5=40（人）；故答案为：40．点评：此题考查了算术平均数，掌握算术平均数的计算公式是本题的关键，是一道基础题．18．（3分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD=CD，AD=1，BC=8，∠BDC=90°，则AB的长为5．考点：梯形．分析：作辅助线，先求出DM的长，再求出BN的长，在RT△ANB中运用勾股定理求出AB即可．解答：解：如图，作DM⊥BC交BC于点M，作AN⊥BC交BC于点N，∵BD=CD，BC=8，∠BDC=90°，∴DM=MC=BM=4，∵AD∥BC，AD=1，∴四边形ANMD是矩形，∴NM=1，AN=DM=4，∴BN=8﹣4﹣1=3，∴AB===5，故答案为：5．点评：本题主要考查了梯形及直角三角形的知识，解题的关键是求出DM的长．三、解答题（共8题，66分）19．（6分）计算：（π﹣3.14）0+﹣（）﹣1﹣2sin60°．考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．分析：根据零指数幂、乘方、负指数幂和特殊角的三角函数值进行计算即可．解答：解：原式=1+2﹣2﹣2×=﹣1．点评：本题考查了实数的运算以及考点有：零指数幂、乘方、负指数幂和特殊角的三角函数值．20．（6分）化简求值：（m+n）2﹣（2m+n）（2m﹣n）+3m（m﹣n），其中m=，n=﹣2．考点：整式的混合运算—化简求值．分析：先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．解答：解：（m+n）2﹣（2m+n）（2m﹣n）+3m（m﹣n）=m2+2mn+n2﹣4m2+n2+3m2﹣3mn=﹣mn+2n2，当m=，n=﹣2时，原式=﹣×（﹣2）+2×（﹣2）2=9．点评：本题考查了整式的混合运算和求值的应用，主要考查学生的计算和化简能力，题目比较典型，难度适中．21．（8分）为了建设“魅力校园”，某学校准备推广由学生自行设计的礼仪校服．学生会设计了如图1的调查问卷，在全校学生中进行了一次调查，统计整理相关数据并绘制了如下两幅不完整的统计图（图2，图3）．请根据图中信息，解答下列问（1）计算扇形统计图3中m=70；（2）该校有1960名学生支持选项A，补全条形统计图2；（3）若要从该校某班支持选项A的50名学生中随机选择一名同学试穿礼仪校服，则该班支持选项A的小美同学被选中的概率是多少？考点：条形统计图；扇形统计图；概率公式．分析：（1）用单位“1”减B，C，D的百分比就是A的百分比求解，（2）用支持B的学生数除以它对应的百分比就是全校学生数，用全校学生数乘支持A的学生百分比就是支持A的学生人数，再利用这个数据补全条形统计图．（3）利用概率的公式求解．解答：解：（1）扇形统计图3中1﹣1%﹣4%﹣25%=m%，解得m=70，故答案为：70．（2）该校支持选项A的学生数为：700÷25%×70%=1960，如图，故答案为：1960．（3）该班支持选项A的小美同学被选中的概率是：．点评：本题主要考查了条形统计图和扇形统计图及概率，解题的关键是能把条形和扇形统计图的数据相结合求解．22．（8分）如图，△ABC中，BC=2，∠C=2∠A=45°，在AC边上取一点O，以点O为圆心，OA为半径的圆与AC边相交于点D，⊙O经过点B．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）求CD的长．考点：切线的判定．专题：证明题．分析：（1）连接OB，由OA=OB得∠A=∠OBA，根据三角形外角性质可得∠BOC=2∠A，由于∠C=2∠A=45°，所以∠BOC=45°，于是得到∠OBC=90°，则可根据切线的判定定理得到BC是⊙O的切线；（2）由∠C=∠BOC=45°，可判断△OBC为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得OB=BC=2，OC=BC=2，所以CD=OC﹣OD=2﹣2．解答：（1）证明：连接OB，如图，∵OA=OB，∴∠A=∠OBA，∴∠BOC=∠A+∠OBA=2∠A，而∠C=2∠A=45°，∴∠BOC=45°，∴∠OBC=90°，∴OB⊥BC，∴BC是⊙O的切线；（2）解：∵∠C=∠BOC=45°，∴△OBC为等腰直角三角形，∴OB=BC=2，OC=BC=2，∴CD=OC﹣OD=2﹣2．点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了等腰直角三角形的判定与性质．23．（9分）电子商务的快速发展逐步改变了人们的生活方式，网购已悄然进入千家万户．章女士在某网店花220元买了1只茶壶和10只茶杯，已知茶壶的单价比茶杯的单价的4倍还多10元．（1）求茶壶和茶杯的单价分别是多少元？（2）中秋将至，该网店决定推出优惠酬宾活动：买一只茶壶送一只茶杯，茶杯单价打八折．请你计算此时买1只茶壶和10只茶杯共需多少元？考点：二元一次方程组的应用．分析：（1）设茶壶和茶杯的单价分别为x元，y元，根据买了1只茶壶和10只茶杯共花220元，茶壶的单价比茶杯的单价的4倍还多10元，列方程组求解；（2）根据茶杯打八折，求出买1只茶壶和10只茶杯共需的钱数．解答：解：（1）设茶壶和茶杯的单价分别为x元，y元，由题意得：，解得：，答：茶壶和茶杯的单价分别为70元，15元；（2）共需钱数为：70+0.8×15×9=178（元）．答：买1只茶壶和10只茶杯共需178元．点评：本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．24．（9分）如图，在▱ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，∠BMC=90°，连接AN，DN，AN与BM交于点O．（1）求证：△ABM≌△CDN；（2）点P在直线BM上，若BM=3，CM=4，求△PND的周长的最小值．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；轴对称-最短路线问题．分析：（1）利用平行四边形的性质首先得出AB=CD，AM=CN，进而得出△ABM≌△CDN；（2）首先得出平行四边形ABNM为菱形，进而得出当点P位于点M时，NP+DP取到最小值为AD，利用勾股定理求出即可．解答：（1）证明：∵在▱ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，∴AB=CD，在△ABM和△CDN中，，∴△ABM≌△CDN（SAS）；（2）解：∵在▱ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，∴AM∥BN，AM=NB，∴四边形ABNM为平行四边形；在Rt△BCM中，N为BC中点，∴MN=BN，∴平行四边形ABNM为菱形．∴BM垂直平分AN，∴点N关于BM的对称点为点A．∴当点P位于点M时，NP+DP取到最小值为AD．在Rt△BCM中，BM=3，CN=4，由勾股定理得BC=AD=5，又由（1）知，BM=DN=3，∴△PND的周长的最小值：5+3=8．点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形和菱形的性质，得出当点P位于点M时，NP+DP取到最小值为AD是解题关键．25．（10分）设x i（i=1，2，3，…，n）为任意代数式，我们规定：y=max{x1，x2，x3，…，x n}表示x1，x2，…，x n中的最大值，如y=max{1，2}=2（1）求y=max{x，3}；（2）借助函数图象，解决以下问题：①解不等式max{x+1，}≥2②若函数y=max{|x﹣1|，x+a，x2﹣4x+3}的最小值为1，求实数a的值．考点：二次函数的性质；一次函数的性质；反比例函数的性质．专题：新定义．分析：（1）根据规定，分x≥3和x＜3两种情况求解；（2）①画出函数y=x+1和y=的图象得到交点坐标为（1，2），然后根据规定写出不等式的解集即可；②画出函数y=|x﹣1|，y=x2﹣4x+3的图象，可知最小值为y=x+a与抛物线的交点，令y=1根据抛物线解析式求出x的值，再代入直线解析式求出a的值即可．解答：解：（1）y=；（2）①由图可知，两函数图象交点为（1，2），∴不等式max{x+1，}≥2的解集为x＞0；②由图可知，最小值为y=x+a与抛物线y=x2﹣4x+3的交点，∴x2﹣4x+3=1，解得x1=2﹣，x2=2+（舍去），∴×（2﹣）+a=1，解得a=．点评：本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，反比例函数的性质，以及作函数图象，读懂题目信息，理解y=max{x1，x2，x3，…，x n}的意义是解题的关键．26．（10分）如图，顶点为A（1，4）的抛物线与y轴交于点B（0，2），与x轴交于C，D 两点，抛物线上一动点P沿抛物线从点C向点A运动，点P关于抛物线对称轴的对称点为点Q，分别过点P，Q向x轴作垂线，垂足分别为点M，N．抛物线对称轴与x轴相交于点E．（1）求此抛物线的解析式；（2）是否存在点P，使得△ACE与△PMQ相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）设此抛物线的解析式为：y=a（x﹣h）2+k，由已知条件可知，h和k的值，再把B的坐标代入求出a的值即可；（2）假设存在点P，使得△ACE与△PMQ相似，不妨设点P（1﹣t，4﹣2t2），由抛物线的对称性可求出点Q的坐标为（1+t，4﹣2t2），再分两种情况△ACE∽△PMQ或△ACE∽△QMP 讨论求出符合题意的t值即可．解答：解：（1）设此抛物线的解析式为：y=a（x﹣h）2+k，∵顶点为A（1，4）∴此抛物线的解析式为：y=a（x﹣1）2+4，将点B（0，2）代入可求得：a=﹣2，∴此抛物线的解析式为：y=﹣2（x﹣1）2+4=﹣2x2+4x+2．（2）假设存在点P，使得△ACE与△PMQ相似，不妨设点P（1﹣t，4﹣2t2），根据对称性可得，点Q的坐标为（1+t，4﹣2t2），令y=4﹣2（x﹣1）2=0，解得到：x=1±，从而有：C（1﹣），D（1+，0）所以：0＜t＜，由于△ACE与△PMQ相似，则必有：或，当得到，解得t=2﹣或﹣2﹣（舍去）从而得到点P（﹣1，8﹣8）．当得到，解得t=或（舍去），从而得到点P（，），故存在这样的点P，坐标为（﹣1，8﹣8）或（，）．点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式、相似三角形的判定和性质以及解一元二次方程的问题．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．。
2024年湖南省长沙市部分学校中考数学一模试卷一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1. 的倒数是（）A. B. C. D. 2. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标是中心对称图形的是（ ）A. B.C. D.3. 2023年9月9日，上海微电子研发的28nm 浸没式光刻机的成功问世，标志着我国在光刻机领域迈出了坚实的一步．已知为米（ ）A. B. C. D. 4. 值日生每天值完日后，总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，很快就能把课桌摆得整整齐齐，他们这样做的道理是（）A. 两点之间，线段最短B. 两点确定一条直线C. 两点的距离最短D. 以上说法都不对5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）AB.2024-2024-202412024-1202428nm 0.000000028102.810-⨯82.810-⨯62.810-⨯92.810-⨯1010x x -<⎧⎨+≥⎩C. D.6. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为；把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍．根据题意列方程为，其中x 表示（）A. 快马的速度 B. 慢马的速度C. 规定的时间D. 以上都不对7. 如图，是半圆O 直径，C ，D 是圆上的两点，，则的度数为（ ）A. B. C. D. 8. 若三角形的三边长分别为，且满足，则这个三角形的形状是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 无法判断9.如表表格是校女子排球队12名队员的年龄分布：年龄（岁）13141516人数（名）1452则关于这12名队员的年龄的说法正确的是（ ）A. 极差是4B. 中位数是C. 众数是15D. 平均数是1510. 伟大的古希腊哲学家、数学家、物理学家阿基米德有句名言：“给我一个支点，我可以撬动地球！”这句名言道出了“杠杆原理”的意义和价值．“杠杆原理”在实际生产和生活中，有着广泛的运用．比如：小明用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“杠杆原理”．已知阻力和阻力臂的函数图象如图，若小明想使动力不超过，则动力臂（单位：需满足（ ）900900213x x ⨯=+-AB 38BAC ∠=︒D ∠138︒128︒52︒126︒a b c 、、2(3)40a b -+-+=14.51()F N 1()L m 2F 150N 2L )mA. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11因式分解：3x—12xy 2 =__________．12. “八月十五云遮月，正月十五雪打灯”是一句谚语，意思是说如果八月十五晚上阴天的话，正月十五晚上就下雪，你认为农谚说的是______（填写“必然事件”或“不可能事件”或“随机事件”）．13. 一圆锥的底面半径为2，母线长为3，则这个圆锥的侧面积为_______．14. 如图，在矩形中，将四边形沿折叠得到四边形．已知，则_________．15. 一次函数与的图像如图所示，则的解集是_____．16. 如图，是操场上直立的一根旗杆，旗杆上有一点B ，用测角仪（测角仪的高度忽略不计）测得地面上的D 点到B 点的仰角，到A 点的仰角，若米，则旗杆的高度________________米．204L <≤24L <24L >24L ≥ABCD ABFE EF HGFE 50CFG ∠=︒DEF ∠=145y x =+2310y x =+12y y >AC AC 45BDC ∠=︒60ADC ∠=︒3BC =AC =三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17. 计算：．18. 先化简，再求值：，其中，．19. 阅读材料，完成下面问题：如图，点A 是直线外一点，利用直尺和圆规按如下步骤作图．（1）在直线上任取一点，画线段．（2）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交直线于点．（3）分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧交于点，画射线（4）以点A 为圆心，长为半径画弧，交射线于点，画直线．（1）利用，可得到平分，请根据作图过程，直接写出这两个三角形全等的判定依据；（2）若，，求线段的长．20. 高尔基说：“书，是人类进步阶梯．”阅读可以启智增慧，拓展视野．为了解学生寒假阅读情况，开学初学校进行了问卷调查，并对部分学生假期（28天）的阅读总时间作了随机抽样分析．设被抽样的每位同学寒假阅读的总时间为t （小时），阅读总时间分为四个类别：A （0≤t ＜12），B （12≤t ＜24），C （24≤t ＜36），D （t ≥36），将分类结果制成两幅统计图（尚不完整）．的220241(1)22cos302-⎫⎛--+︒+ ⎪⎝⎭()()()22222x y x y x y x ⎡⎤-++-÷⎣⎦3x =5y =-EF EF B AB B AB M BF N M N 12MN C BC AB BC D AD MBC NBC △≌△BC ABF ∠60ABF ∠=︒4AB =BD根据以上信息，回答下列问题：（1）本次抽样的样本容量为，请补全条形统计图；（2）扇形统计图中a 的值为，圆心角β的度数为；（3）若该校有2000名学生，估计寒假阅读的总时间少于24小时的学生有多少名？（4）政教处决定从本次调查阅读时长前四名学生甲、乙、丙、丁中，随机抽取2名同学参加该校“阅读之星”竞选，请用树状图或列表法求恰好选中甲和乙的概率．21. 如图，四边形是菱形，对角线、交于点，点、是对角线所在直线上两点，且，连接、、、，．（1）求证：四边形是正方形；（2）若正方形的面积为72，，求菱形的面积．22. 【发现问题】掷实心球是中考体育考试项目之一，明明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化．【提出问题】实心球竖直高度与水平距离之间有怎样的函数关系？【分析问题】明明利用先进的鹰眼系统记录了实心球在空中运动时的水平距离x （单位：米）与竖直高度y （单位：米）的数据如下表：AECF AC EF O D B EF DE BF =AD AB CD CB 45ADO ∠=︒ABCD ABCD 4BF =AECF水平距离竖直高度根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，明明发现其图象是二次函数的一部分．【解决问题】（1）在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是______米，实心球在空中的最大高度是______米；（2）求满足条件的抛物线的解析式；（3）根据中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于米时，即可得满分分，明明在此次考试中是否得到满分，请说明理由．23. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理：如图（1），其原理是利用流动的河水，水斗舀满河水，将水提升，水流源源不断，流入田地（2），筒车圆O 与水面分别交于点A 、B ，筒车上均匀分布着若干盛水筒，接水槽所在的直线是圆O 的切线，且与直线交于点M ，P 、O 、C 三点共线，是圆O 的直径时；（1）求证：；（2）求证：；（3）若，，，求的长24. 定义：在平面直角坐标系中，若在函数图象W 上存在一点M ，绕原点顺时针旋转后对应点的/mx 0245689/m x 2 3.2 3.6 3.5 3.22 1.19.710MN AB PC BAP MPB ∠=∠2MP MA MB =⋅AB AP =8MB =12MP =BP xOy 90︒N （点N 与M 不重合）仍在此函数图象W 上，则称这个函数为“凡尔赛函数”，其中点M 称为这个函数的“凡尔赛点”（1）函数①，②，③，其中是“凡尔赛函数”是；（填序号）（2）若一次函数是“凡尔赛函数”，点（m 为整数）是这个函数的“凡尔赛点”，求k 的值；（3）若点是二次函数（其中a ，b ，c 为常数，）的“凡尔赛点”，点B 为A 的“后凡尔赛点”，由点A 、B 、C 、D 四点构成的四边形面积记为S ，求S 的取值范围．25. 如图1，在中，，，，是的中点．经过，，三点的交于点，连接．（1）求和的长；（2）如图2，两动点P 、Q 分别同时从点A 和点C 出发匀速运动，当点P 运动到点E 时，点Q 恰好运动到点B ，P 、Q 停止运动，连接．①记，当的面积最大时，求x 的值；②如图3，连接并延长交于点，连接、．当平分时，求的值．的2y x =3y x=2y x =2y kx =+(),P m n ()1,3A 2y ax bx c =++c b a >>Rt ABC △90ABC ∠=︒30C ∠=︒B C =D BC A B D O AC E BE AE BE PQ AP x =PQC △BP O F AF FE BE FBC ∠sin ABF ∠。
中考一模数学试卷及答案1. 1的一个有理化因式是（）【A【B【C 1【D 12. 为了了解学生双休日做作业的时间，老师随机抽查了10位学生双休日做作业时间，结果如下表所示： 作业时间（分钟）90 100 120 150 200 人数2 2 23 1 那么这10位学生双休日做作业时间的中位数与众数分别是（） 【A 】150,150 【B 】120,150 【C 】135,150 【D 】150,1203. 已知P 是ABC ∆内一点，联接PA 、PB 、PC ，把ABC ∆的面积三等分，则P 点一定是（） 【A 】ABC ∆的三边中垂线的交点 【B 】ABC ∆的三条角平分线的交点 【C 】ABC ∆的三条高的叫点 【D 】ABC ∆的三条中线的交点4. 下列运算正确的是个数是①236x x x +=；②235x x x =；③236(3x )9x =；④224(2x )4x =（）【A 】1个 【B 】2个 【C 】3个 【D 】4个5. 在平面直角坐标系内，点A 的坐标为（1,0），点B 的坐标为（a,0）,圆A 的半径为2，下列说法中不正确的是（） 【A 】当a=-1时，点B 在圆A 上 【B 】当a 〈1时，点B 在圆A 内 【C 】当a 〈 -1时，点B 在圆A 外 【D 】当-1 〈a 〈3时，点B 在圆A 内 6. 下列命题中，属于假命题的是（） 【A 】 对角线相等的梯形是等腰梯形【B 】两腰相等的梯形是等腰梯形 【C 】底角相等的梯形是等腰梯形【D 】等腰三角形被平行于底边的直线截成两部分，所截得的四边形的等腰梯形 一、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7. 科学家发现一种病毒的直径为0.000104米，用科学计数法表示为_______米 8. 方程的23x x +=-根是_______9. 已知关于x 的一元二次方程210x bx ++=有两个不相等的实数根，则b 的值为_________10. 将抛物线22y x x =+向左平移两个单位长度，再向下平移3个长度单位，得到的抛物线的表达式为_________11. 已知反比例函数的图像经过点(2,1)p -，则这个函数的图像分别在第_________象限。
